528 AI~CH. MATH.

Konvergenz unendlicher Reihen und Gleichverteilung rood 1

Herrn Professor Dr. Kwar i~AWr,ER zum 75. Geburtstag

Von

PETER BUI~DSC~ u ~

1. Ergebnisse. Sind (c~} bzw. {xj} unendliche Folgen komplexer bzw. reeller Zahlen, so sollen hier Reihen der Form

r

(2) ~ ( - 2)~l c~ i = 1

auf Konvergenz untersucht werden, wo [x] ffir reelles x die grSBte gauze Zahl ~ x bezeichnet. Dabei werden gewisse Tatsachen aus der Theorie der Gleichverteilung reeller Folgen modulo Eins eine wesentliche Rolle spielen. Der Satz, yon dem wit zungchst ausgehen, ist eine einfache Anwendung Abelscher partieller Summation und ist noch unabh~ngig yon der Gleichverteilungstheorie.

Satz 1. Unter den obigen Voraussetzungen ii, ber {cl} , {xj} konvergiert die l~eihe (1), ]alls (i) {jcl} eine _NuUfolge ist und (ii) die Reihe ~.](cj -- cj+l) absolut konvergiert.

W~hlt man bier z.B. x i ---- ], so ist Satz 1 nicht interessant, da dann wesentlich schw~chere Voraussetzungen als (i) and (ii) ffir die Konvergenz yon (1) bereits aus- reichen. Die Betonung liegt in Satz 1 auf der Aussage, dal3 er fiir jede Folge {x~} gilt. Die beiden Wahlen

i cj = (]log(j + 1)) -1 bzw. cj ---- ~ ((i + 1)log(i + 1)) -2

i = 1

zeigen fibrigens die Unabhgngigkeit der beiden Voraussetzungen (i), (ii). Um Satz 1 ffir gewisse Folgen {xj} verschgrfen zu kSnnen, ffihren wir eine Begriffsbildung aus der Gleichverteflungstheorie ein. Ist Y ~ {yj} eine reelle unendliche Folge und 0 ~ < f l ~ l , so bezeichne A([:c, fl);j; Y) die Anzahl der yi mit 1 ~ i ~ ] lind

~ y ~ - [y~] < ft. Y heiBt gleichverteilt rood 1, wenn fiir jedes Paar :r fl mit 0 ~ ~ < fl ~ 1 gilt: Die Folge {]-1A([:r f l) ;] ; Y)l] ---- 1, 2, ...} konvergiert gegen fi -- ~. Zum Beispiel ist {?'v~} bei reellem ~ gleichverteilt mod 1 genau dann, wenn v~ irrational ist.

Satz 2. Fi~r ]ede _~olge {xj}, /i~r die {xj/2]j-~ 1,2 . . . . } mod l gleichverteilt ist, konvergiert die Reihe (1), wenn (i') die Folge (jci} beschrSnkt ist und (ii) yon Satz 1 gilt.

Vol. XXIX, 1977 Reihen und gleichverteilung 519

Wir merken an, dab die beiden spezielle Wahlen fOr {cj} nach Satz 1 auch hier die Unabhgngigkeit der Voraussetzungen (i'), (ii) zeigen. Die Sgtze 1 und 2 gestatten es noch nicht, z.B. die Konvergenz der Reihe

(2) ~ (- i)[~i-~ j=l

zu beweisen und damit eine ~Xrage yon H. D. Ruderman [9] zu erledigen. Um die Konvergenz yon Reihen wie (2) beweisen zu kSnnen, betrachten wir wieder eine unendliche l~olge Y wie oben. Unter der Diskrepanz der aus den ersten ] Gliedem yon ]z bestehenden endlichen Folge verstehen wir

(3) D j ( Y i , ' " , Y l ) = S u p ] i - IA ( [= ,~ ) ; ] ; r ) - - ( ~ - - = ) l ,

wobei das Supremum fiber alle Paare ~,/~ mit 0 =< = < /~ _--< 1 zu nehmen ist. Der KOrze halber schreiben wir bei fester Folge Y start Dj (Yl,-. . , y~) meist Dj. !gun sind wir in der Lage zu formulieren

Satz 3. Sei {xt} eine reelle unendliche Folge und Dj ---- D] (xl/2 . . . . . xl/2 ). (1) ist kon- vergent, wenn (i") {iceD1} eine NuU]olge ist und (ii") die Reihe ~ . i D j ( c i - cj+l) absolut konvergiert.

Anwendungen yon Satz 3 werden in 3. gegeben.

2. Beweis der Siitze. Um die Konvergenz yon (1) zu zeigen, wenden wir partielle Summation in folgender F e r n an: Sind {b~}, {cj} zwei unendliche Folgen, so gilt for alle natorliehen n

n n - 1

(4) ~. b i c i --- B,~ cn q- ~. S j (cr - - ci+1 ) m i t Br ~- ~ b~. j=i i=I ~=i

Wit nehmen hier bj ~- (-- 1) I~1 und haben daher i

(5) B, = 7 ( - 1)c~ i = 1

abzusehgtzen. Dies kann in folgender Weise gesehehen: Sei G I bzw. Uj die Anzahl der i mit 1 _< i -- ], fOr die [z4] gerade bzw. ungerade ist. Dann ist U i ---- ] -- Gj und nach (5) Bj = G i - - U 1 ---- 2G i -- ] und diese Differenz bleibt abzuschgtzen.

FOr die l~olge Y = {xl/21] = 1, 2 , . . .} folgt aus (3) mit ~ = 0, j~ = .} und D t wie in Satz 3

(6) ]2A([0,.});]; Y)--]1 ~ 2 /Dj ;

hier ist A([0,~); j; Y) die Anzahl der i ,nit 1 _--< i _--<] und 0 <__x,/2 - - [xt/2] <,~ oder gleichbedeutend damit 0--_< x , - 2[x~/2] < 1 oder gleichbedeutend damit: [x~] ist gerade. Also kann (6) geschrieben werden als

(7) ]B,[ = 12G~--- i[ ___ ]Min(l,2D,).

Verwendet man hiervon den trivialen, keine Gleiehverteflungstheorie benfitzenden Teil [ Bt[ <_ ~" in (4), so folgt Satz 1 unmittelbar. Ist fOr {xj} die Folge {xj/2} rood 1

5 2 0 P . BUNDSCHUI-I AF, CH. MATH.

gleichverteilt, so ist D i = Dr . . . . , xl/2 ) --> 0 ffir ]--> oo nach [3, S. 89], also nach (7)

(s) bei n - + o o

wegen (i') yon Satz 2. Nach (ii) konvergiert ~ Bj(c~ - - cr absolut, was Satz 2 be- weist. Aus (4), (7) und (8) erkeant man sofort auch die Richtigkeit yon Satz 3.

B e m e r k u n g . In den S~tzen 1, 2, 3 kann offensichtlich nieht nur die Konvergenz yon (1) behauptet werden, sondern auch die Gleichheit dieses Reihenwerts mit

i

1=i i=i

was ffir die numerische Ermittlung Ton (1) Ton Bedeutung ist.

3. Anwendungen yon Satz 3. Satz 3 ermSglicht es offensichtlich, die Konvergenz yon Reihen (1) zu beweisen, wenn fiir (xt} die Folge {xj/2} rood 1 gleichverteilt ist und dariiber hinaus ffir die Diskrepanz Dt(x l /2 . . . . . xj/2) genfigend g~te obere Ab- sch~tzungen bekannt sind. Fiir solche Absch~tzungen vergleiche man etwa [3, S. l l0ff .] oder [6].

Wir betrachten nun Folgen {xj) mit xj ---- jv~, v~ eine reelle Irrationalit~t. Es wird sich zeigen, da~ die Konvergenzaussagen aufgrund yon Satz 3 umso weitreichender sind, je schlechter sich v~ durch rationale Zahlen approximieren l~t3t oder, was auf dasselbe hinauskommt, je sch~rfer sich die Diskrepanz D i in Satz 3 nach oben ab- sch~tzen l~$t.

Satz 4. Sind die Elemente al , a2 . . . . des regulSren Kettenbruchs [a0; a l , a2 . . . . ] der reellen IrrationalitSt z$ bezchrSnkt, 8o konvergiert die ~eihe

(9) ~ C- 1)[~] cj j = l

log j} N l/otg iet die - - log i ab ol t vergiert.

Insbesondere ist Satz 4 auf alle reell-quadratischen Irrationalit~ten z$ anwendbar und wir haben das

KoroUar..[st z$ eine reell-quadratieche Irrationalzahl, so konvergiert (9) mit cj -~ ]-~ bei beliebigem reellem e > O.

Hierin ist natfirlich die Konvergenz der Reihe (2) enthalten. Um Satz 4 zu beweisen, reicht es nach Satz 3, D i = Dt(~* . . . . . ~'v~*) mit z$* = ~/2 nach oben g~t abzu- sch~tzen. Ist a~ ~ h ftir i = 1, 2, . . . , so gibt es nach [2, S. 157] ein H ---- H(h) > 0 so, dab ffir alle ganzrationalen p and natiirlichen q gilt Iv ~ - -P /q l ~ H q -2" Also haben wit ffir alle ganzrationalen p* und natfirlichen q

(10) 1 O* - - P*Iq] > � 89

Vol. XXIX, i977 Reihen und Gleichverteilung 52i

wobei ~* wie oben defmiert ist. Dahe r gilt (10) such fiir den n- ten N~herungsbruch P*n/qn des Ke t t enb ruehs yon v~* *- * [ao, a 1 . . . . ]; anderersei ts ist naeh [2, S. 138ff.]

I ~ * - p*lq. I < (a~n+l q2n)-l "

Also h a t aueh ~* ---- ~/2 besehr/~nkte Ke t t enb ruehe lemen te nnd daher ist nach [7] ~'Dj = 0 (log j) und Satz 4 ergibt sich aus Satz 3.

D a die E lemente al , a2 . . . . des Ke t t enb ruehs der Zahl e bekannt l ieh nieht be- sehr~nkt sind, k a n n fiber die Konvergenz der Reihe (9) ffir ~9 = e nichts aus Satz 4 abgelei te t werden. Wir behaup ten

Satz 5. Die t~eihe o o

(11) ~ (_ 1)c~,~ ~j j= l

konvergiert, /alls {ey log a j} eine ~Yull/olge ist und /alls die Reihe ~. (c1 -- cj+l) log 3 j absolut konvergiert. Insbesondere konvergiert (11) liar cj = j-~ bei beliebigem ~ > O.

Ob m a n bier e dureh ~ ersetzen kann, ist bislang unbekann t , da ffir g d a s im Ver- gleioh zu (13) wesentl ich schws I r ra t ional i t~ tsmaB

q l q ~ _ p [ > q - c ( q ~ 2 )

mi t c = 19 b e k a n n t ist [5], das das yon K. ~ a h l e r [4] gefundene entspreehende Resu l t a t mi t c = 40 verschgff t .

B e w e i s . Nach Satz 3 ist Satz 5 bewiesen, wenn

(12) ] D j = O 0 o g 3 j)

ffir Dj = Dj(e /2 , . . . , j e/2) gezeigt ist. Dazu definieren wit fiir reelles x

II �9 II = ~ {I �9 - ~ [ [ n ganzrat ionaa}.

Sei ~p eine zahlentheoret isehe l~unktion, die yon einer Stelle an nieht f~llt; die reelle I r ra t ionalzahl v q heiBt yon einem Typ < % wenn q[[qvq[[ __ 1/w(q) fiir alle nati ir- l ichen q gilt.

Naeh einem aueh aus der bekann ten Ke t t enbruchen twiek lung yon e folgenden, bis auf die K o n s t a n t e n nicht verbesserbaren 1Resultat aus [1] gilt fiir alle ganzra t ionalen p und natfir l iehen q

(13) q[qe --lot > (loglog4q)/(181og4q),

was ffir v q - - e/2 impliziert ql[q~[] > (loglog4q)/(361og4q). W/~hlen wir ~v(q)= = (36 log 4q)/(loglog 4q), so is t dami t ~ ---- e/2 yon e inem T y p < % l~un liefert eine K o m b i n a t i o n der L e m m a t a 3.2 und 3.3 aus [3, S. 122/3] den

Hil~ssatz 1. Die Irrationalzahl ~ sei vom Typ < % Dann ist

bei bdiebigem natiArlichem m, wobe$ cl eine absolute Konstante ist.

522 P. BUND$CHUH ARCH. MATH.

Ffir z$ ---- e/2 ermit te ln wir m

~(2m) l o g m ~- ~ v / ( 2 i ) log i _

(.(log m) (log 8m) (log i) (log 8i) ) = 36 iog- og i l o g l o g 8 i " --< log

und also nach Wilfssatz 1 die (10) beweisende Ungleichung

Dj (e/2, . . . , ] e/2) ~ c3 -{- ~- log 3 ~ c4 ~-1 log3 ~,

wenn wir m = [j log -3 j] fiir grol3e J wghlen. Der le tz ten Anwendung yon Satz 3 sehieken wir folgende Definition voraus : Die

reelle I r ra t ionalzahl ~ he i s t yore T y p ~, wenn gilt:

V = Sup {r] l iminfqvl lq~I] = 0}.

Bekannt l ich ist s tets 1 ~ ~ ~ ~ . Z u m Beweis des nachfolgenden Satzes 6 sehicken wir voraus

HilIssatz 2 [3, S. 123]. Die reelle Irrationalzahl v~ babe einen T y p ~ < oo. Dann gilt bei beliebigem e > 0

D j ( ~ . . . . , i ~) = 0 (j-1/,+~)

Satz 6. Fiir reelle algebraische Irrationalzahlen :r konvergiert o o

bei beliebigem e > O.

B e w e i s . Mit ~ ist auch v~ = ~/2 eine reelle algebraische I r ra t ionalzahl . Naeh dem Satz yon R o t h [8] gibt es zu jedem e' > 0 ein c (v ~, e') > 0 so, dal~ ql+~, [I i/vq II

c (z$, e') fiir alle nat i i r l iehen q gilt. Dahe r sind diese v~ yore T y p U = 1 und Hilfs- sa tz 2 liefert bei beliebigem e" > 0

(~4) j D j ( ~ . . . . . j ~ ) = O(i~") .

I s t nun e beliebig wie in Satz 6 vorgegeben, so wenden wir (14) m i t e " -~ el2 an und erhal ten Satz 6 aus Satz 3.

Literaturverzeichnis

[1] P. B~Dsc~un , Irrationalit~tsmaBe Fdr e a, a =~ 0 rational oder Liouville-Zahl. Math. Ann. 192, 229--242 (1971).

[2] G. H. H~DY and E. M. WRIGHT, An introduction to the theory of numbers. 2nd ed., Ox- ford 1945.

[3] L. KU~PERS and H, N~DV, RRV, ITER, Uniform distribution of sequences. New York 1974. [4] K. MA~,ER, On the approximation of ~. Indag. Math. 15, 29--42 (1953).

u XXIX, 1977 Reihen und Gleichverteilung 523

[5] M. MIGNOTTE, Approximations rationnelles de ~ et quelques autres nombres. Bull. Soc. Math. France, M6moire 8?, 121--132 (1974).

[6] I t . NIEDV.RRVaI~m, Methods for estimating discrepancy. In: S. K. ZAI~V.MBA (Ed.), Applica- tions of number theory to numerical analysis, 203--236. New York 1972.

[7] X. OSTROWSKI, Bemerkungen zur Theorie der Diophantischen Approximationen I. Abh. Math. Sere. Univ. Hamburg 1, 77--98 (1922).

[8] K. F. ROT~, Rational approximations to algebraic numbers. Mathematika 2, 1--20 (1955). [9] H. D. RumoRed_w, Advanced problem 6105. Amer. Math. Monthly 88, 573 (1970).

Anschrift des Autors:

P. Bundschuh Mathematisches Inst i tut der Universit~t Weyertal 86--90 ]3-5000 K61n 41

Eingegangen am 10. 1. 1977