Kosmische Hintergrundstrahlung

Theorie

Gliederung

• Einführung• Das Spektrum• Kosmologische

Parameter• Isotropie und

Inflation• Anisotropien• Das

Powerspektrum

• Zeitlicher Überblick

• Primäre Anisotropien

• Bestimmung der kosmologischen Parameter

Einführung

Bei der kosmischen Hintergrundstrahlung handelt es sich um eine fast perfekt isotrope Strahlung aus allen Richtungen des Welt-raums, die das Spektrum eines bei 2.726 Kelvin strahlenden schwarzen Körpers auf weist. Anisotropien erst bei genaueren Messungen im Bereich von 10E-5 Kelvin.

Das Spektrum:

Schwarzkörperstrahlung

- Schwarzer Körper: total absorbierender Körper (z.B. dichtes Gas im thermodynamischen Gleichgewicht) emittiert Strahlung, die nur von ν und T abhängt:

Wν

~

→Für festes ν kann man eine Äquivalenttemperatur T zuordnen ν ↔ T

→ “3-Kelvin-Strahlung“

• Stefan-Boltzmann-Gesetz:

ρGesamt = ∫ Wνdν ~ T4

• Wiensches Verschiebungsgesetz: νmax(T) ~ T

Expansion des Universums:Skalenfaktor R(t) des Universums Maß für dessen Grösse

Strahlung:

• Energiedichte: єr(t)~NPh∙Eph

~R-3(t)∙R-1(t) = єr(t0)∙ R4(t0)/R4(t)• Massendichte: ρr(t)= єr(t)/c² → ρr(t)= ρr(t) R4(t0)/ R4(t) ρr(t) ~ R-4(t)

Nichtrelativistische Materie:

• Erhaltung der Masse: ρ(t)∙R3(t)=const. ↓

ρ(t)= ρ(t) R3 (t0)/ R3 (t)

ρ(t) ~ R-3 (t)

• Heute: ρr < ρ

• Bei t = teq : ρr = ρ

→ ρr(t0)/ ρ(t0) = R(teq)/R(t0)

• Für t < teq : ρr > ρ

→ STRAHLUNGSDOMINIERTE ÄRA

• Strahlung und Materie stark gekoppelt

→ waren im thermischen GG (Tr=Tm) → Schwarzkörperstrahlung

• Nach Rekombination Entkopplung von Strahlung und Materie:

Ephoton~ R-1(t)

• Strahlung behält bei adiabatischer Expansion ihr SK-Spektrum (mit Ann.: Erhaltung der Photonenzahl,

wegen NPhotonen : NMaterie ~ 1010 sinnvoll)

• Tr(t)=Tr0 R(t0)/R(t)

Tr0=(2,726±0,002) K

єr(t)=aTr4(t) a=7.5∙10-16J/m³K4

→ єr(t0) = 4E-14 J∙m-3

ρr(t0) = єr(t0)/c² = 4.5E-31 kg∙m-3

→MATERIEDOMINIERTE ÄRA

Konsequenzen aus Spektrum:Es gab eine dichte,

strahlungsdominierte frühe Phase des Universums.

Unterstützung der Urknalltheorie, da sie eine solche Phase benötigt und eine Reststrahlung aus dieser Zeit vorhergesagt hat.

Kosmologische Parameter• R(t)• Κ(t)=k/R²(t), k = -1...0...1

Ursache: ρ(t) → K(t)=4π/3∙ρ(t)∙G-Л/3• Л • ρkrit=3H0²/8πG• H0=100h∙km s-1Mpc-1=H(t0)

• H(t)=dR/dt∙1/R(t)• H-1 Horizont: von wo aus konnte uns das Licht seit

t=0 erreichen?• Ω = ρ/ρkrit

• Ω0, ΩB

• ΩЛ

• ΩK=-(c/H0)²K• ΩЛ + Ω0 + ΩK =1

Isotropie• Temperatur bis in Bereiche von 10-5K perfekt

isotrop• Nach Urknalltheorie: Bereiche, die zur Zeit

der Entkopplung in keinem kausalen Zusammenhang standen, waren trotzdem homogen.

→ akausale Isotropie → HORIZONTPROBLEM trec

t0 Rbeob.

jetzt Horizont

jetzt

Inflation• Das Horizontproblem kann gelöst werden,

indem man diese akausale Homogenität als Anfangsbedingung annimmt,

oder durch eine neue frühe Phase, in der sich die Raumzeit exponentiell ausdehnt und dabei innerhalb von Sekundenbruchteilen auf das 1050fache ihres Volumens aufbläht hat.

• Die Inflationstheorie sagt dabei die Entstehung primordialer Dichtefluktuationen voraus, die skaleninvariant sind.

Anisotropien

• Dipolanisotropie im Bereich von mK durch Relativbewegung

• Kompliziertere Strukturen bei T~10-5K:

Vom Bild zum Powerspektrum

• Temperaturverteilung ist Funktion auf Sphäre: ΔT(θ,φ) bzw. ΔT(n) = ΔΘ(n) T T n=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)

• Autokorrelationsfunktion:

C(θ)=⟨ΔΘ(n1)∙ΔΘ(n2)⟩|n1-n2|

=(4π)-1 Σ∞l=0 (2l+1)ClPl(cosθ) , mit cosθ=n1∙n2

• Pl sind die Legendrepolynome:

Pl(cosθ) = 2-l∙dl/d(cos θ)l(cos²θ-1)l.

• Die Koeffizienten Cl bilden das Powerspektrum von ΔΘ(n).

Das Powerspektrum

Dabei ist θ~l-1, l=100 entspricht θ=1°.

Zeitlicher Überblick

teq trec

LSS

Woher kommen die Anisotropien?

• Primäre Anisotropien→ direkt aus LastScatteringSurface (kurz vor und während Rekombination)

• Sekundäre Anisotropien → auf dem Weg zu uns

• „Tertiäre“ Anisotropien: → Vordergründe

Entstehung der primären Anisotropien

• Zeitraum: teq≤ t ≤ trec →

40.000 Jahre ≤ t ≤ 500.000 Jahre

• T ≥ 3000K → Materie ionisiert

• Plasma aus Photonen, Elektronen, Baryonen und dunkler Materie

• Photonen über Thomsonstreuung an Elektronen und diese durch Coulombwechselwirkung an Baryonen stark gekoppelt

• Dunkle Materie wechselwirkt nur über die Gravitation

Außerdem:

• skaleninvariante Dichtefluktuationen (→Inflationsepoche)

• diese kann man sich analog zur Fourierzerlegung als Überlagerung verschiedener normaler Moden (ebener Wellen) vorstellen

• wegen Δρ/ρ << 1 lineare Überlagerung und man kann einzelne Moden mit λ=2π/k betrachten

• Der Horizont überholt die Moden nacheinander → ab jetzt kausale Beeinflussung, zunächst durch Gravitation

• Der Schallhorizont überholt die Moden erst später→ relevant für Photonen, da noch an

Materie gekoppelt

Mathematisches Modell

• Photonen, Elektronen, Baryonen wegen der starken Kopplung wie eine Flüssigkeit behandelt → ρ, v, p

• Dunkle Materie dominiert das durch die Dichtefluktuationen hervorgerufene Gravitationspotential Φ

→ δρ/δt+(ρv)=0

(Kontinuitätsgleichung)

v+(v∙)v = -(Φ+p/ρ)

(Euler Gleichung)

² Φ = 4πGρ

(Poissongleichung der klassischen

Gravitation)

→ erst nach Überholen durch den akustischen Horizont HS

Hs= csH-1 ,

cs: Schallgeschwindigkeit,

können die ersten beiden Gleichungen verwendet werden

• Lösung kann numerisch oder mit Vereinfachungen analytisch bestimmt werden und entspricht grob einem gedämpftem harmonischen Oszillator mit einer antreibenden Kraft

Vereinfachte Betrachtungen

Die dunkle Materiebildet Potentialtöpfe,in die das Plasma aufgrund der Gravitation hineinfällt,der Strahlungsdruck des Photonengases treibt sie wiederum auseinander.

Zunächst: Φ = const, cS=const

→ meffδ²θ/δt² + k²c²θ/3 = meffg

mit: meff =1+R , R=3ρB/4ργ ,

g = -k²c²Ψ/3 – δ²Φ/δt², Φ = -Ψ

Frequenz und Phase:

skc3mkcω eff skHdτω

dτcH,R13c2mcc sseffs

→ Lsg.: θ+Ψ=1/3Ψ(1+3R)cos(ks) - RΨ

für R → 0: θ+Ψ=1/3Ψcos(ks)

adiabatische AB: θ(0)=-2/3Ψ , δθ(0)/δt=0

ergibt sich folgende Schwingung:

Bei der Rekombination...

...werden die Moden in ihrem (Schwingungs)Zustand eingefroren:

• λ>HS(trec): Größe der Fluktuationen bestimmt durch primordiale Fluktuationen→ für alle l gleich groß

SACHS-WOLFE-EFFEKT: Photonen aus „überdichten“ Bereichen

erfahren Rotverschiebung, Photonen aus „unterdichten“ Blauverschiebung bei Verlassen der Bereiche → Temperaturdifferenzen

• λ<HS(trec): Für gleiche Moden (gleiches λ) ist die Phase identisch, da immer alle gleichzeitig bei t(HS=λ) zu schwingen begonnen haben. Die Stärke der Dichtefluktuationen ist für t=trec durch λ bestimmt:

1.PeakKompression

Minimum 2.PeakVerdünnung

Minimum

1°λ>HS(trec) λ<HS(trec)

Materie-d. Strahlungs-d.

Diffusionsdämpfung• Photonen haben mittlere

freie Weglänge gegenüber Compton-streuung, die vom Baryonenanteil abhängig ist.

• Sie bewegen sich zufällig durch die Flüssigkeit → vermischen dadurch heiße und kalte Regionen.

• Für Diffusionslänge ≈ λ exponentieller Abfall der Fluktuationsstärke hin zu kleineren λ.

Mit Baryonen.....steigt die effektive Masse: meff =1+3ρB/4ργ

→ die Flüssigkeit wird in Potentialmulden stärker komprimiert → Kompressionspeaks wachsen gegenüber Verdünnungspeaks

→ außerdem werden alle Peaks höher→“Frequenz“ der Schwingung sinkt (~m-½)

→ Baryonenanteil ΩB

Aus relativer Peakhöhe und Stärke der Dämpfung läßt sich der Baryonenanteil bestimmen, nach bisherigen Daten liegt er bei ΩB=0.06.

Bei Berücksichtigung zeitabhängiger Potentiale...

.. unterscheidet man zwei Strukturbildungsszenarien: • (1) adiabatisch (post-

inflationär) und (2) „isogekrümmt“.

• (1): Kosinusschwingung, verstärkter 1.Peak(2): Sinusschwingung, unterdrückter 1.Peak

• Die Daten bestätigen denersten Fall und sprechendamit für die Inflation.

→ Hubbleparameter h

• Die Verstärkung des 1. Peaks ist abhängig von h, für kleinere Werte von h ist der Effekt stärker→ kleines h verlängert strahlungsdominierte Phase, in der der Effekt entsteht

• Außerdem leichte Verschiebung des Spektrums wegen veränderter Expansionsrate h = 0.65

Projektionseffekte

• Abhängig von Raum-krümmung wird bestimmte Länge in LSS auf verschieden große Beobachtungswinkel abgebildet (Photonen laufen auf Geodäten)

• Auf größere Winkel für positive Krümmung, damit verschiebt sich Spektrum zu kleineren l.

→ Krümmung ΩK

Der Peakabstand verrät uns damit die Krümmung des Universums und nach bisherigen Daten ist es flach.

→ ΩK=0

Auch das bestätigt bzw. fordert eine Inflation.

→ Kosmologische Konstante Λ

• Ω0+Λ=1(flaches U.)• über den späten ISW

Effekt bestimmt: tritt auf in offenem U., das eine Phase schneller Expansion durchläuft - Zeitpunkt abhängig von Λ

• Potentiale sinken, ISW-Effekt stärker für größeres λ ΩΛ=0.7

→ Materieanteil Ω0

• Der Anteil der gesamten Materie wird z.B. über die Skala leq bestimmt:

Ω0↑ → Verschiebung zu kleineren l

• Größeres Ω0 führt außerdem zu insgesamt höheren PeaksΩ0 = 0.3

Best Fit:

Literatur:• MV Berry: Principles of Cosmology and Gravitation• Max Tegmark: Doppler Peaks and all that:..• Lloyd Knox: Adiabatic CDM Models and the

Competition• Hu, Sugiyama, Silk: Nature 386, 37 (97)• Wayne Hu‘s Homepage & PH.D.Thesis• Spektrum der Wissenschaft: Kosmologie und

Teilchenphysik• A.Einstein: Über Relativitätstheorie• Film von Vortrag von M.Bartelmann• Bilder von W.Hu‘s Homepage und mir

Strahlung behält Schwarzkörper-Charakter:• Photonen im Volumen V konstant bei

Expansion:Zur Zeit t: dN(t)=8πν²V(t)dν/(c³(exp(hν/kTr(t)-1))Zur Zeit t´: ν´=νR(t)/R(t´) dν´=dν R(t)/R(t´) V(t´)=V(t) R³(t´)/R³(t)

dN(t´) = dN(t) = =8πν´²V(t´)dν´/(c³exp((hν´R(t´))/(kTr(t)R(t))-1))

mit Tr(t´)=Tr(t) R(t)/R(t´)