Kristallstruktur und Mikrostruktur

2

Kristallstruktur und Mikrostruktur

Vorlesungen

Teil I (Kristallographie)

montags, 9:15 – 10:30 Uhr (Hörsaal 2R4)

Vorlesungsbeginn 16.10.2017

Teil II (Einführung in der Erstarrung von metallichen Schmelzen)

montags, 9:15 – 10:30 Uhr (Hörsaal 2R4)

Vorlesungsbeginn 27.11.2017

Teil III (Erholung, Rekristallisation, Kornvergrößerung)

montags, 9:15– 10:30 Uhr (Hörsaal 2R4)

Vorlesungsbeginn 08.01.2018

Formal keine Anwesenheitspflicht

PD Dr. Nikolay Zotov,

zotov@imw.uni-stuttgart.de

3

Übungen

mittwochs, 15:30-17:00 Uhr, 2P4

Erste Übung: 25.10.2017

PD Dr. Nikolay Zotov (Teil I)

Dr. Ralf Schacherl (Teil II + Teil III)

Email: r.schaherl@is.mpg.de

Die Übungen werden c.a 1 Woche vorher als

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Klausur

Montag 26.02.2018 2R4

Nachklausur

Montag 19.03.2018 2R4

4

Die Bedeutung der Kristallographie in der

Materialwissenschaft

Bergbau

Mineral-Erkundung

Zement-Industrie

Herstellung von Legierungen

Ermüdung

Die Endeckung von neuen

Medikamenten

5

Teil I (Kristallographie)

1 Koordinatensysteme, Das Raumgitter, Das reziproke Gitter, Der Metrik-Tensor

2 Abstrakte Gruppen, Symmetrieoperationen, Punktsymmetrie und Punktsymmetriegruppen

3 Translationssymmetrie, Transformationen des Gitters, Kombinationen von Translationen und

Punksymmetrieoperationen

4 1-, 2- und 3D Raumgruppen

5 Beispiele von Raumgruppen, einfache Kristallstrukturen

6 Symmetrie der Makroskopischen physikalischen Eigenschaften der Kristallen

6

Teil I

Vorlesung 1

Arten von Festkörper-Materialien

Kristallographie/ Ziele des Teils I

Hauptbegriffe

Koordinatensysteme

Der metrische Tensor

Der reziproke Raum

7

Festkörper Materialien

Obsidian

Flatglass

Amorphe Stoffe

(Teil II)Kristalline Stoffe

(Teil I)

Mineralien

Gesteine

StahlStents NiTi

8

Kristalle – homogene Festkörper mit drei-dimensionalem

periodischen inneren Aufbau.

9

Kristallographie ist die Lehre von den Kristallen, die Eigenschaften der

Kristallstrukturen und die Methoden ihrer Beschreibung.

Ziel der Vorlesungen (Teil I) - praktisches Verständnis der grundliegenden

Begriffe der Kristallographie mit Schwerpunkt

Symmetrie

Kristall

Struktur

Kristallstruktur

Der innerliche atomare Aufbau

10

Mineralogie

Kristallphysik

Kristallographie

Kristallchemie

Kristallstruktur

Das Gitter(1D, 2D- oder 3D-Anordnungen von

mathematischen Punkten)

Die Basis(Atome, Moleküle in der

Elementarzelle)

● ● ● ●

● ● ● ●

● ● ● ●

Kristall11

12

NaCl - Struktur

ZrO2 - Struktur

Spinell (ABO3) Struktur

Arten von Gittern (Koordinatensystemen)

Kristallographisches Gitter

(geradlinige Koordinatenlinien)

Nicht-kristallographishes Gitter

Bethe lattice

Penrose Tiling

r

𝐫 = 𝑟1𝒂1 + 𝑟2𝒂2 + 𝑟3𝒂3 =

𝑖=1

3

𝑟𝑖𝒂𝑖

13

(1)

a1, a2 und a3 - Basisvektoren

Komponentenschreibweise

1 x 3 Matrix

r1, r2, r3 sind dimensionslos

1

2

3

r

r

r

0 a1

𝒂2

gekrümmte Koordinatensysteme

14

0 a1

𝒂2

Kristallographisches Gitter

0 a1

𝒂2

0 a1

𝒂2

unendliche Zahl von Koordinatensystemen !

geradlinige Koordinatensysteme

orthogonalenicht-orthogonale

alle Basisvektoren sind

paarweise zueinander orthogonal:

a1 ┴ a2 ┴ a3

a1

a2

a1

a2

15

TiO2

RutilTitanit

CaTiSiO5

a3

Mindestens 2 Basisvektoren sind

nicht zueinander orthogonal:

16

ba

c

0,0,0

ab

Schiefwinkliges Koordinatensystem

Winkel (a,b) – g

Winkel (b,c) - a

Winkel (c,a) - b

Gitterparameter: a, b, c, a, ß, g

r

# Betrag r des Vektors r;

# Winkel zwischen 2 Vektoren r und r‘

# Abstand zwischen zwei Gitterpunkten

r‘

Gitterkonstanten:

a = │a│; b = │b│; c = │c│

Das kristallographische Gitter

Aufgaben der geometrischen

Kristallographie:

17

Beispiel:

Abhängigkeit der Gitterenergie von dem Ionenabstand

E = - Z2e2/[4pe0 r(A-B)] (2)

Z – Ionenladung

e0 – Dielektrizitätskonstante des Vakuums

NaCl: r(Na-Cl) = 2.82 Å

E = -766 kJ/mol

A

B

18

Der metrische Tensor (Metrik-Tensor) g

g

a a a b a c

b a b b b c

c a c b c c

metrischer Tensor

cos ,rr r r r r

Skalarprodukt

(3)

(4a)

a2 abcos(g) ac cos(ß)

ab cos(g) b2 bc cos(a)

ac cos(ß) bc cos(a) c2(4b)

Der Metrik-Tensor beschreibt vollständig die Symmetrie eines Gittres.

19

Metrik-Tensor

Orthogonales (kartesisches) Gitter

a = b = g = 90o

a.b = 0 a.c = 0 b.c = 0

2

2

2

0 0

0 0

0 0

a

b

c

(5)

Alle gemischte Skalarprodukten sind Null:

20

a = b = c

2

2

2

0 0

0 0

0 0

a

a

a

Metrik-Tensor

Kubisches Gitter

a = b = g = 90o

g = (6)

21

Anwendungen des Metrik-Tensors

Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren r1 und r2:

r1.r2 = (x1a + y1b + z1c).(x2a + y2b + z2c) = (7a)

1 2

1 2 1 2

2

1

1

2

T

T

g

x x

y y

z z

a a a b a c

r r b a b b b c

c a c b c c

r r

= 𝑥1𝑥2𝐚 ⋅ 𝐚 + 𝑥1𝑦2𝐚 ⋅ 𝐛 + 𝑥1𝑧2𝐚 ⋅ 𝐜+𝑦1𝑥2𝐛 ⋅ 𝐚 + 𝑦1𝑦2𝐛 ⋅ 𝐛 + 𝑦1𝑧2𝐛 ⋅ 𝐜+𝑧1𝑥2𝐜 ⋅ 𝐚 + 𝑧1𝑦2𝐜 ⋅ 𝐛 + 𝑧1𝑧2𝐜 ⋅ 𝐜

(7b)

(7c)

r1T = (x1 y1 z1)

22

Der Betrag r eines Vektors r : r = │r.r│½= ( rTgr)½ (8)

Der Winkelkosinus zwischen zwei Vektoren r und r´ :

r.r‘ = rr‘cos(r,r‘)

cos(r,r´) = rTgr´/ [( rTgr)½ ( r´Tgr´)½ ] (9)

Der Abstand zwischen zwei Gitterpunkten:

= [ (r-r´)Tg(r-r´)]½ (10) 2

r r r

Anwendungen des Metrik-Tensors

23

Anwendung des Metrik-TensorsAbstand zwischen Gitterpunkten

r = 1a + 1b + 1c;

r‘ = 0a + 1b + 2c;

r – r‘ = 1a + 0b + (-1)c

r2 = (1 0 -1)

2

2

2

0 0

0 0

0 0

a

a

a

10-1

= (1 0 -1) a2

0-a2

=2 a2 ; r = a2½

ab

c

2c

[111]

[012]

Orthogonales Gitter

r2 = (1 0 -1)

2

2

2

0 0

0 0

0 0

a

b

c

10-1

= (1 0 -1) a2

0-c2

= a2 + c2; r = (a2 + c2)½

Kubischeses Gitter

24

Anwendung des Metrik-Tensors

Winkelkosinusr = 1a + 1b + 1c;

r‘ = 0a + 1b + 0c;

r2 = (1 1 1)

2

2

2

0 0

0 0

0 0

a

a

a

111

= (1 1 1) a2

a2

a2

= 3a2 ; r = a3½

r‘2 = (0 1 0)

2

2

2

0 0

0 0

0 0

a

a

a

010

= (0 1 0) 0a2

0= a2 ; r‘ = a

Winkelcos(r,r‘) = (1 1 1)

2

2

2

0 0

0 0

0 0

a

a

a

010

(a23½ ) = a2/ a23½ = 0.5774

Winkel = 54.74o

Kubisches Gitter

25

Der reziproke Raum

Mathematik - Fourier Analysis

Festkörperphysik – Bandstruktur

Wellenvektoren

Kristallographie - Beugung

tttf 21 coscos)(

Max von Laue (1912)

Valenzband

Leitungsband

26

Das reziproke Gitter

formale Definition:

a* = b x c/V (11a)

b* = c x a/V (11b)

c* = a x b/V (11c)

V = (a x b).c (11d)

V* = (a* x b*).c* (11e) Vektor (Kreuz) produkt

e: Einheitsvektor senkrecht auf r, r

r, r, e bilden Rechtssystem

sin ,rr r r e r r (12)

27

Eigenschaften des reziproken Gitters I

1/ Das reziproke Gitter hat auch ein affines Koordinatensystem;

2/ Ghkl = ha* + kb* + lc* (13)

3/ a* ist senkrecht zu b und c, b* ist senkrecht zu a und c, c* ist senkrecht zu a und b

a*.b

28

Schwarzenbach (2001)

29

Eigenschaften des reziproken Gitters I

4/ Das Raumgitter und das reziproke Gitter sind dual.

Wenn die Einheit von a, b und c Å ist, dann die Einheit von a*, b* und c* 1/Å ist.

Der Realraum

Der reziproke Raum

30

Das RealgitterDas reziproke Gitter

(15)(14)

a* = b x c/V

b* = c x a/V

c* = a x b/V

a = b* x c*/V*

b = c* x a*/V*

c = a* x b*/V*

Dualität

31

Real Reciprocal

g*

32

RealReciprocal

g V = (Det(g))½

33

Eigenschaften des reziproken Gitters II

(v) Der Vektor Ghkl ist senkrecht auf der Netzebene mit Millerschen Indizes (hkl) wenn

h, k und l ganze Zahlen sind.

(vi) Der Betrag (die Länge) Ghkl des Vektors Ghkl ist proportional zum reziproken Abstand

der (hkl) Netzebene.

Ghkl = dhkl* = 1/dhkl

(21

dhkl = 1/Ghkl (16b)

Ghkl = |Ghkl|

(16a)

(210)

(hkl) = (210); G210 = 2a* + 1b* + 0c*

A

B

34

* * 2 * * 2 * * 2 * * *

2 2

* * * * * *

* * * * * *

* * *

*

*

* *

* *

( ) (

2

1/ )

2 2

hkl hkl

T

h k l kl hl h

G d

h h

k

l

k

k

l

a a b a c a

a b b b c b

a c b c c c

a a b b c c b c a c a b(17b)

Betrag von Ghkl

(17a)

35

Gitterebeneabstand

36

Kubisches Gitter

a = b = c, a=ß=g=90 o

V = a3

a* = bc/V = a2/a3 = 1/a

b* = ac/V = 1/a

c* = ab/V = 1/a

1/a2 0 0

a* = ß* = g* = 90o; g* = 0 1/a2 0

0 0 1/a2

1/a2 0 0 h

Ghkl2 = (h k l) 0 1/a2 0 k ; Ghkl = (h2 + k2 + l2)1/2/a

0 0 1/a2 l

1/dhkl2 = Ghkl

2 = (h2 + k2 + l2)/a2

Ableitung von 1/dhkl

37

Orthorhombisches Gitter

V = abc, a=ß=g=90 o

a* = bc/V = bc/abc = 1/a

b* = ac/V = 1/b

c* = ab/V = 1/c

1/a2 0 0

a* = ß* = g* = 90o; g* = 0 1/b2 0

0 0 1/c2

1/a2 0 0 h

G2 = (h k l) 0 1/b2 0 k ; Ghkl = (h2/a2+ k2/b2 + l2/c2)1/2

0 0 1/c2 l

1/dhkl2= Ghkl

2 = h2/a2+ k2/b2 + l2/c2

Ableitung von 1/dhkl

38

Koordinatensysteme -

Bedeutung

Kristallphysikalische Koordinatensysteme Hilfskoordinatensysteme

kristallographische Koordinatensysteme Beschreibung von Kristallstrukturen,

Reziproke Gitter Beugungstheorie

Festkörperphysik

39

Literatur

P. Paufler, Physikalische Kristallographie, 1986

U. Müller, Anorganische Strukturchemie, Teubner Verlag, 1996

W. Kleber, Einführung in die Kristallographie, 1998

D. Schwarzenbach, Kristallographie, Springer Verlag, 2001

E.J. Mittemeijer, Fundamentals of Materials Science, Springer, 2010

C. Giacovazzo, Fundamentals of Crystallography, 1992

Th. Hahn, International Tables For Crystallography, Vol. A, 1995

http://www.iucr.org/education