Krummlinige Bewegungen

1. Der waagerechte Wurf

Trick: Zerlegung der Gesamtgeschwindigkeit v und der Strecke s in zwei Komponenten vx,vy , sx und sy :

Die Bahngleichung y(x) muss parabelförmig werden!

Herleitung der Bahngleichung:

Setze sx = x und sy = y

(wie „normales“ Koordinatensystem)

Löse sx = v0 t nach t auf und setze in

sy = h0 - 1/2 g t2 ein:

t = x/v0 y = h0 – ½ g (x/v0)2

= ... „schöner“ zusammenfassen =

ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel (0/h0) und Öffnung –g/2v0

Berechnung des Auftreffwinkels

vy ist die Gegenkathete von α,

vx ist die Ankathete von α

tan α = vy / vx = gt/v0

Anwendungen:

- In welcher Höhe h trifft die Kugel auf eine Wand im Abstand d? (Gegeben v0 und d)

- Wie weit (sx) fliegt eine Kugel bei gegebener Fallhöhe und Anfangsgeschwindigkeit(v0 , h0)?

Lösungen:

1. Fallzeit t über die x- Komponente: t = d/v0

(setze sx = d) einsetzen von t in sy: sy = h0 - 1/2 g(d/v0)2

Lösungen:

1. Fallzeit t über die x- Komponente: t = d/v0

(setze sx = d) einsetzen von t in sy: sy = h0 - 1/2 g(d/v0)2

2. Die Fallzeit t wird über die y- Komponente ausgerechnet: sy = 0 = h0 - 1/2 gt2

auflösen nach t t =

dann einsetzen in sx = v0

2. KreisbewegungenWinkel

Bei einer Kreisbewegung wird der Drehwinkel φ im Bogenmaß angegeben.

Es gilt: φ = b/r

b: Bogenlänge, r: Radius

Winkelgeschwindigkeit

Überstreicht der Ortsvektor ř in gleichen Zeitabschnitten Δt gleiche Drehwinkel Δφ,

dann spricht man von einer Bewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

ω = Δφ/Δt.

Die Winkelgeschwindigkeit hat die Einheit 1/s

Umlaufdauer T und Frequenz f

Die Zeitdauer, die ein Punkt benötigt, um eine Kreisbahn einmal zu durchlaufen, nennt man Umlaufdauer T.

Die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde nennt man Frequenz f.

Zusammenhang: f = 1/T

Einheit: [f] = 1/s = 1Hz (Hertz)

Zusammenhang zwischen ω, f und T:

Während der Zeit T überstreicht der Ortsvektor den Winkel 2π, somit gilt:

ω = 2π/T = 2πf

Zurückgelegter Weg s:

s = rφ = rωt

Bahngeschwindigkeit:

Die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Kreisbahn nennt man Bahngeschwindigkeit.

Es gilt:

V = s/t = rωt /t = rω

Aufgaben: 1. Berechen Sie für den Stunden-, Minuten- und

Sekundenzeiger einer Analoguhr die zugehörigen Winkelgeschwindigkeiten.

2. Wie lang müsste der Minutenzeiger einer Uhr sein, damit sich seine Spitze mit Schallgeschwindigkeit (c = 330m/s) bewegt?

3. Der Radius der Erde beträgt 6,34106 m. Ein geostationärer Satellit umkreist die Erde im Abstand 3,59107m über der Erdoberfläche. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit eines Punktes am Äquator durch die Eigenrotation der Erde und die des Satelliten.

Aufgaben: 4. Die Mondbahn kann nahezu als kreisförmig mit dem

Radius r = 3,84105km betrachtet werden. Die Umlaufdauer des Mondes um die Erde beträgt T = 27d 7h 43min 12. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit des Mondes.

5. Pluto bewegt sich näherungsweise auf einer Kreisbahn mit einer Bahngeschwindigkeit von v = 4,75km/s um die Sonne. Seine mittlere Entfernung zur Sonne beträgt 5,91109km

a) Wie lange dauert auf Pluto ein Jahr?

b) Mit welcher Winkelgeschwindigkeit bewegt sich Pluto auf seiner Bahn?

c) Wie groß ist der Winkel, der in 10Jahren von der Verbindungsstrecke Sonne-Plutoüberstrichen wird?