KS C Loesungen - Fakultät Maschinenbau · TUDortmund Fakult¨atMaschinenbau Institutf¨urMechanik Prof.Dr.-Ing.A.Menzel Prof.Dr.-Ing.J.Mosler Herbst 2014 Aufgabe 1(Seite 2 von 3)

TU Dortmund

Fakultat Maschinenbau

Institut fur Mechanik

Prof. Dr.-Ing. A. Menzel

Prof. Dr.-Ing. J. Mosler

Herbst 2014

TU Dortmund





Herbst 2014

Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)

Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Korpern, welche durch dehnstar-re Seile miteinander verbunden sind. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen, wobei das Massentragheitsmoment der gesamten abgesetztenRolle 4 bezuglich des zugehorigen Schwerpunktes D durch θ4 gegeben ist und die Rolle2 als masselos angesehen werden soll. Der Kreisring 1 rollt dabei zu jedem Zeitpunktschlupffrei ab und die Seile sind stets gespannt.

µ0

m1

x1

M0

ϕ1

r1

ϕ2

2 r2

ϕ3

m3

x

y

r3

r4

R4

4

g

1

2

3

m4, θ4ϕ4

α

β

A

B

C

D

Erweitern Sie die folgenden Skizzen der Teilkorper 1, 3 und 4 zu vollstandigen Freikor-perbildern (inklusive etwaiger Auflagerreaktionen). (2,0 Punkte)

Massentragheitskrafte und -momente wurden hier nicht bewertet!

S1

m1gH1

N1

m3g

Cx

CyS2

S3

S3

m4g

Dx

DyM0

θ1θ3

θ4

TU Dortmund





Herbst 2014


a)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) des Kreisrings 1 bezuglich der x1-Koordinate an.(1,0 Punkte)

m1x1 = S1 +H1 −m1g sin(α)

b)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des Kreisrings 1 bezuglich des Schwerpunktsund der ϕ1-Koordinate an. Spezifizieren Sie das zu verwendende Massentragheitsmomentmittels der gegebenen Großen. (1,0 Punkte)

Θ1ϕ1 = −S1r1 +H1r1 mit Θ1 = m1r21

c)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 3 bezuglich der y-Koordinate an. (1,0Punkte)

m4y4︸︷︷︸

=0

= Cy −m3g − S2 − S3 cos(β)

d)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 4 bezuglich des Schwerpunkts undder ϕ4-Koordinate an. (1,0 Punkte)

Θ4ϕ4 = S3r4 −M0

TU Dortmund





Herbst 2014


e)Geben Sie die folgenden kinematischen Bindungen zwischen den Geschwindigkeiten dereinzelnen Koordinaten und der Geschwindigkeit des Freiheitsgrades x1 an. (2,0 Punkte)

ϕ1(x1) = − x1r1

ϕ2(x1) = −2x1r2

ϕ3(x1) = −2x1r3

ϕ4(x1) = −2x1r4

Berechnen Sie die von dem Moment M0 vom Zeitpunkt t = 0 bis zum Zeitpunkt t =t1 verrichtete Arbeit WM0

. Das System befindet sich anfanglich in Ruhe (x1(t = 0) =0, x1(t = 0) = 0) und es gilt x1(t1) = a. (2,0 Punkte)

WM0=

ˆ

M0 dϕ = 2M0a

r4

TU Dortmund





Herbst 2014


Die unten gezeigte Bahn besteht aus zwei reibungsbehafteten Ebenen (Gleitreibungskoef-fizient µ, Lange l) sowie zwei als reibungsfrei anzunehmenden Kreisbogen (Offnungswinkelα). Im Punkt D befindet sich das Ende einer elastischen Feder (Federsteifigkeit c), wel-che in der dargestellten Lage entspannt ist. Bis zu einem Zeitpunkt t ≤ t0 wird ein alsPunktmasse anzusehender Korper (Masse m) im Punkt O in Ruhe gehalten. Dann wirddieser los gelassen, wobei vorausgesetzt werden soll, dass sich der Korper anschließendtatsachlich in Bewegung setzt (Hangabtriebskraft großer als Haftreibungskraft).

µ

µ

m

x

y

α

α

l

l

ϕ

r

r

g

c

O

A

BC

D

NN

a)Geben Sie die potenzielle Energie (Lageenergie) EO

pot des Korpers im Punkt O bezuglichdes angegebenen Nullniveaus NN an. (1,0 Punkte)

EOpot = mg (r (1− cos(α)) + l sin(α))

Geben Sie die verrichtete Reibarbeit WOAR auf der Strecke zwischen den Punkten O und

A an. (1,0 Punkte)

WOAR = −µmg l cos(α)

TU Dortmund





Herbst 2014


Berechnen Sie die Geschwindigkeit vB der Masse im Punkt B. (1,5 Punkte)

vB =√

2 g (r (1− cos(α)) + l sin(α)− µ l cos(α))

b)Die Geschwindigkeit des Korpers im Punkt B ist nun durch vB > 0 vorgegeben. BerechnenSie die Geschwindigkeit im Punkt C. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wertfur vB. (1,0 Punkte)

vC =√

v2B − 2µ g l

c)Die Geschwindigkeit des Korpers im Punkt C ist nun durch vC > 0 vorgegeben. Geben Siezunachst die Funktion der Geschwindigkeit v(ϕ) des Korpers in Abhangigkeit des Winkelsϕ an. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wert fur vC. (1,5 Punkte)

v(ϕ) =√

v2C + 2 g r (1− cos(ϕ))

TU Dortmund





Herbst 2014


Geben Sie des Weiteren die Funktion der Normalkraft N(ϕ) zwischen Korper und Bahnin Abhangigkeit des Winkels ϕ an. (1,5 Punkte)

N(ϕ) = m

(

g (3 cos(ϕ)− 2)− v2Cr

)

Geben Sie die Bedingung fur den Offnungswinkel α an, so dass der Korper an keiner Stelleder kreisformigen Bahn zwischen den Punkten C und D den Kontakt zu dieser verliert.(1,0 Punkte)

α ≤ arccos

(v2C3 g r

+2

3

)

d)Die Geschwindigkeit des Korpers im Punkt D ist nun durch vD > 0 vorgegeben. GebenSie die Gleichung zur Bestimmung der Stauchung ∆l der Feder an. Ein Auflosen dieserGleichung nach ∆l ist nicht erforderlich. (1,5 Punkte)

1

2c∆l2 −mg∆l sin(α) =

1

2m v2D

TU Dortmund





Herbst 2014


Das dargestellte System besteht aus zweistarren Kreisscheiben (Masse M1 bzw. M2,Radius jeweils R), welche uber eine starreStange (Masse m, Lange l) verbundensind und schlupffrei auf dem Untergrundabrollen. Die Bewegung findet auf einerschiefen Ebene (Neigungswinkel α) undunter Einfluss der Erdbeschleunigung gstatt. Die wie dargestellt angeknupfte Federist fur den nicht naher spezifizierten Wertξ = ξ0 entspannt. Beachten Sie, dass ξ = 0nicht die statische Ruhelage beschreibt.

M1, R

M2, R

m, l

c

α

ξ

x

NN

g

a)Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten ξ und x an. (1,0 Punkte)

ξ(x) =x

cosα

b)Bestimmen Sie die potentielle Energie Epot in Abhangigkeit der Koordinate ξ und dengegebenen Großen bezogen auf das dargestellte Nullniveau NN. (3,0 Punkte)

Epot(ξ) =M1 g [ ξ sinα +R1 cosα ] +mg

[(

ξ +l

2

)

sinα +R cosα

]

+M2 g [ ( ξ + l ) sinα+R cosα ] +1

2c [ ξ0 − ξ ]2

TU Dortmund





Herbst 2014


c)Bestimmen Sie die kinetische Energie Ekin in Abhangigkeit der Koordinate ξ und dengegebenen Großen. Beachten Sie, dass insbesondere die Massentragheitsmomente nichtals gegeben angesehen werden konnen. (2,0 Punkte)

Ekin(ξ) =1

2M1 ξ

2 +1

2m ξ2 +

1

2M2 ξ

2

+1

2

[1

2M1R

2

]

︸︷︷︸

θ1

[

ξ

R

]2

︸︷︷︸

ϕ21

+1

2

[1

2M2R

2

]

︸︷︷︸

θ2

[

ξ

R

]2

︸︷︷︸

ϕ22

d)Fur einen nicht naher spezifizierten Sonderfall und unter Verwendung einer abweichendenKoordinate η ergeben sich im Folgenden die Energien des Systems zu

Epot(η) = 3mg η sin(α) + 1/2 c η2 , Ekin(η) = 2m η2 .

Stellen Sie basierend auf diesen Energien die Bewegungsgleichung dieses Sonderfalls be-zuglich η auf. (2,0 Punkte)

4 η +c

mη + 3 g sinα = 0

Bestimmen Sie, basierend auf obiger Bewegungsgleichung, die Eigenkreisfrequenz ω0 sowiedie Periodendauer T der Eigenschwingung des Systems. (2,0 Punkte)

ω0 =

√c

4mT = 2 π

√

4m

c

TU Dortmund





Fruhjahr 2014

TU Dortmund





Fruhjahr 2014


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Korpern, die durch dehnstarreSeile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigungg) befinden. Die jeweiligen Massen, Massentragheitsmomente und Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen. Rolle 2 wird von dem konstanten DrehmomentM0 angetrieben.Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Rolle 1 — welche zu allen Zeitpunkten schlupffreiabrollt — und der schiefen Ebene (Neigungswinkel α) betragt µ0. Das Massentragheits-moment der gesamten abgesetzen Rolle 3 ist durch θ3 gegeben.

µ0

m1

x1

M0

ϕ1

r1

ϕ2

m2

r2

ϕ3

m3, θ3

x3

r3

R3

m4

x4

g1

2

3

4

α

a)Tragen Sie im nachfolgenden Bild samtliche fehlenden Krafte bzw. Momente ein. Die Auf-lagersymbole sollen in der Zeichnung beibehalten und nicht freigeschnitten werden. (1,5Punkte)

θ1ϕ1

θ2ϕ2

θ3ϕ3

m1x1

m3x3

m4x4

m1g

m2g

m3gm4g

M0

H1

N1

S1

S1

S2

S2

S3

S3

S4

TU Dortmund





Fruhjahr 2014


b)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 1 bezuglich der der x1-Koordinate an.(1,0 Punkte)

S1 +H1 −m1g sin(α)−m1x1 = 0

c)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 1 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ1-Koordinate an. Spezifizieren Sie θ1 mittels der gegebenen Großen. (1,0 Punkte)

−H1 r1 − 12m1r

21 ϕ1 = 0

d)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ2-Koordinate an. Spezifizieren Sie θ2 mittels der gegebenen Großen. (1,0 Punkte)

M0 + [S2 − S1] r2 − 12m2r

22 ϕ2 = 0

e)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 3 bezuglich der x3-Koordinate an. (1,0Punkte)

S3 − S2 − S4 +m3g −m3x3 = 0

f)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezuglich ihres Schwerpunktesund der ϕ3-Koordinate an. (1,0 Punkte)

S4R3 − S2r3 − θ3ϕ3 = 0

TU Dortmund





Fruhjahr 2014


g)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Masse 4 bezuglich der x4-Koordinate an. (1,0Punkte)

m4g − S3 −m4x4 = 0

h)Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten x1, ϕ1, x3, ϕ3, x4 in Abhangigkeit von ϕ2 an.(2,5 Punkte)

x1 = r2 ϕ2

ϕ1 =r2r1ϕ2

x3 =R3r2R3 + r3

ϕ2

ϕ3 =r2

R3 + r3ϕ2

x4 =R3r2R3 + r3

ϕ2

TU Dortmund





Fruhjahr 2014


Eine Punktmasse m befindet sich auf der dargestellten Bahn und wird aus der Ruhe durcheine vorgespannte Feder auf reibungsfreiem Untergrund bis zum Punkt A beschleunigt.Die geraden Abschnitte der Bahn sind reibungsbehaftet (Reibkoeffizienten µ1 bzw. µ2)wahrend die kreisformigen Abschnitte (Radien R1 bzw. R2) reibungsfrei sind.

c

∆ x

µ = 0

µ = 0

µ = 0

µ1

µ2

l1

l2

R1

R2

α

mϕ

A B

C

D

E

N.N.

g

x

y

a)Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A in Abhangigkeit deraufgebrachten Federstauchung ∆x.

vA =

√c

m∆x

Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt B in Abhangigkeitvon ∆x an, nachdem diese uber den rauhen (Reibkoeffizient µ1) Bahnabschnitt AB derLange l1 geglitten ist.

vB =

√c

m[∆x]2 − 2µ g l1

TU Dortmund





Fruhjahr 2014


b)Berechnen Sie den Betrag der Bahngeschwindigkeit v(ϕ) der Punktmasse im Verlauf desersten reibungsfreien Kreisbogens BC in Abhangigkeit des Winkels ϕ und einer als be-

kannt anzunehmenden Geschwindigkeit vB im Punkt B.

Setzen Sie nicht die Geschwindigkeit vB aus dem vorigen Aufgabenteil ein!

v(ϕ) =√

v2B − 2R1 g [1− cos(ϕ)]

Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt D in Abhangigkeitvon vB an, nachdem diese uber den rauhen (Reibkoeffizient µ2) Bahnabschnitt CD derLange l2 geglitten ist.

vD =√

v2B − 2 g [R1 [1− cos(ϕ)] + l2 sin(α) + l2 µ2 cos(α)]

c)Die beiden Bahnabschnitte AB und CD seien nun als reibungsfrei (µ1 = µ2 = 0) anzu-nehmen, die Punktmasse wird nochmals mit der Feder am Anfang der Bahn beschleunigt.

Berechnen Sie die Vorspannkraft der Feder F0 so, dass die Punktmasse im oberen Kreis-bogen DE (Radius R2) nicht von der Bahn abhebt.

vD =

√√√√√

c

m[∆x]2

︸︷︷︸

F20

cm

−2 g [R1 [1− cos(ϕ)] + l2 sin(α)

mitmv2DR2

≤ mg cos(α)

F0 =√

cm g [R2 cos(α) + 2 [R1 [1− cos(ϕ)] + l2 sin(α)]]

TU Dortmund





Fruhjahr 2014


Im dargestellten System wird ein Korper der Masse m reibungsfrei in einer Nut gefuhrtund ist durch eine Feder (Federsteifigkeit c) und einen Dampfer (Dampfungskonstanted) innerhalb der Nut gestutzt. Uber eine starre, masselose Stange der Lange l ist derKorper mit einer drehbaren Scheibe (Radius R, Masse M) exzentrisch (Exzentrizitat e)verbunden. Die Feder ist in der Lage ϕ = 0 ungespannt. Die Erdbeschleunigung ist zuvernachlassigen.

m

M

x

l

c

d

eR

ϕ

a)Bestimmen Sie mittels der gegebenen Großen die kinetische und potentielle Energie desGesamtsystems. Verwenden Sie dazu die Koordinaten ϕ und x. (2,0 Punkte)

Ekin =1

2MR2 ϕ2 +

1

2mx2

Epot =1

2c x2

TU Dortmund





Fruhjahr 2014


b)Bestimmen Sie die virtuelle Arbeit δW der nichtkonservativen Lasten in Abhangigkeit derKoordinate x. (1,0 Punkte)

δW = −x d δx

c)Geben Sie die kinematische Beziehung der Koordinate x als Funktion von ϕ fur großeAuslenkungen an. (2,5 Punkte)

x(ϕ) = l

(

1−√

1− e2

l2sin2 ϕ

)

+ e (1− cosϕ) mit cos(arcsin(a)) =√1− a2

d)In dem unten dargestellten System rollt eine Scheibe (Masse M , Radius R) schlupffrei aufdem Untergrund ab. Eine Feder (Federsteifigkeit c) ist exzentrisch (Exzentrizitat e) ander Scheibe angebracht. An ihrem außeren Rand ist die Scheibe des Weiteren mit einemDampfer (Dampfungskonstante d) verbunden. In der dargestellten Ruhelage der Scheibe(ϕ = 0) ist die Feder ungespannt. Die Erdbeschleunigung ist zu vernachlassigen.

M

x

y

c

d

e

R

ϕ

TU Dortmund





Fruhjahr 2014


Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung des Systems bezuglich der Koordinateϕ unter der Annahme kleiner Auslenkungen. Geben Sie unbedingt wesentliche Zwischen-schritte an, welche zur Losung der Aufgabe notwendig sind. (3,5 Punkte)

ϕ+ ϕ8 d

3M+ ϕ

2 c e2

3R2M= 0

Wie lauten die Eigenkreisfrequenz ω0 und der Abklingkoeffizient δ des Systems? (1,0Punkte)

ω0 =

√

2 c e2

3R2Mδ =

4 d

3M

TU Dortmund





Herbst 2013

TU Dortmund





Herbst 2013


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Korpern, die durch dehnstarre,schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde(Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen der Korpersind der Zeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Massen 1 und 6auf rauhen schiefen Ebenen gleiten.

g

x1

x3

x4

x6

ϕ2

ϕ3

ϕ5

m 1 m2

m3

m4

m5 m6

R2

r2

R3

r5

βα

C

TU Dortmund





Herbst 2013


a)Zeichnen Sie ein vollstandiges Freikorperbild (2 Punkte)

m1g

m2g

m3g

m4g

m5g

m6g

S 1

S1

S2

S2

S3

S3

S4

S4

S5

S6

H 1

H6

N 1 N6

Ax

Ay

Bx

Dx

Dy

b)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Masse 1 bezuglich der x1-Koordinate an.(1 Punkt)

m1x1 = −S1 −H1 +m1g sinβ

c)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezuglich ihres Schwerpunktesund der ϕ2-Koordinate an. Spezifizieren Sie das Massentragheitsmoment θ2 mittels dergegebenen Großen, wobei der kleinere Radius r2 zu vernachlassigen ist. (1 Punkt)

12m2R

22ϕ2 = S1R2 − S2r2

TU Dortmund





Herbst 2013


d)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 3 bezuglich der x3-Koordinate an.(1 Punkt)

m3x3 = S2 + S3 − S4 −m3g

e)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezuglich des Punktes C und derϕ3-Koordinate an. Spezifizieren Sie die Massentragheitsmomente θ3 mittels der gegebenenGroßen. (1 Punkt)

12m3R

23ϕ3 +m3R

23ϕ3 = 2S2R3 −m3gR3 − S4R3

f)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Masse 6 bezuglich der x6-Koordinate an.(1 Punkt)

m6x6 = S5 −m6g sinα−H6

g)Es sei nun das folgende modifizierte Systemgegeben. Geben Sie ϕ2, ϕ3 und x3 in Abhan-gigkeit von x1 fur das modifizierte Systeman. (3 Punkte)

ϕ2(x1) =x1R2

ϕ3(x1) =x1r22R2R3

x3(x1) = − x1r22R2

g

x1

x3

x4

ϕ2

ϕ3

m1 m2

m3

m4

R2

r2

R3

β

TU Dortmund





Herbst 2013


Ein punktformiger Korper der Masse m gleitet von einer Kraft F angetrieben auf einerreibungsbehafteten schiefen Ebene vom Punkt O zum Punkt A. Auf dem reibungsbehaf-teten Abschnitt betragt der Gleitreibungskoeffizient µ. Die Kraft F wirkt ausschließlichim Abschnitt O − A auf das System ein. Samtliche Kreisbogen weisen den Radius r auf.

m

α

α

rr

µ

l1

g

cϕ0

ϕ0

∆l

A

B C

D

O

F

N.N.

a)Berechnen Sie die Große der richtungstreuen, zeitlich konstanten Kraft F , derart dass derMassenpunkt im Punkt A die Geschwindigkeit vA erreicht. Der Massenpunkt befindet sichim Punkt O in Ruhe. (3 Punkte)

F = 12mv2A

cosαl

+mg (µ cosα + sinα)

b)Wie groß muss der Betrag der Geschwindigkeit vA mindestens sein, damit der Massen-punkt den Punkt B erreicht? (1 Punkt)Hinweis: Es soll hier davon ausgegangen werden, dass die Kraft F nicht mehr auf dieMasse einwirkt und diese standigen Kontakt zur Bahn haben soll.

vA ≥√

2gr (1− sinϕ0)

TU Dortmund





Herbst 2013


c)Wie groß darf die Geschwindigkeit vA des Massenpunkts maximal sein, damit der Massen-punkt die Bahn auf seinem Weg vom Punkt A zum Punkt B nicht verlasst? (3 Punkte)

vA ≤ √gr sinϕ0

d)Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A ist nun durch vA so vorge-geben, dass beide Kriterien aus den vorherigen Teilaufgaben erfullt sind. Geben Sie dieGeschwindigkeit des Massenpunktes in Abhangigkeit der Geschwindigkeit vA im Punkt Dan. (1 Punkt)

vD = vA

e)Im Punkt D stoßt der Massenpunkt gegen eine starre Kontaktplatte, die mit einer Federder Steifigkeit c verbunden ist. Legen Sie die Steifigkeit der Feder c so aus, dass sicheine maximale Stauchung der Feder von ∆l einstellt. Der Betrag der Geschwindigkeit derPunktmasse im Punkt D ist durch vD gegeben. (2 Punkte)

c =(2mg∆l sinα+mv2

D)

∆l2

TU Dortmund





Herbst 2013


Ein System aus starren, homogenen Staben (Lange 2 l und Lange l) und einer starren,homogenen Kreisscheibe (Radius l/2) ist im Punkt A drehbar gelagert. Die Komponentensind starr aneinander befestigt und das System ist daruber hinaus mit den dargestelltenFedern und Dampfern (Materialkonstanten sind der Zeichnung zu entnehmen) verbunden.Im Punkt B wird das System durch eine zeitabhangige Kraft F (t) belastet, wobei in dergezeichneten Ausgangslage F (t = 0) = 0 gilt und die Federn ungespannt sind. Der Ein-fluss der Schwerkraft ist zu vernachlassigen.

A

B

CD

F (t)

ll

l

ll/2

c

cT

d

m

2m

8m

ϕ

x

y

a)Berechnen Sie das Massentragheitsmoment θ(A) des Systems bezuglich des Punktes A. (1Punkt)

θ(A) = 28ml2

b)Geben Sie die horizontale Verschiebung xB des Punkte B sowie die horizontale Geschwin-digkeitskomponente xD des Punktes D in Abhangigkeit von ϕ und ϕ fur große Auslen-kungen des Systems an.( 2 Punkte)

xB =√10/2 l [− sin(ϕ+ arctan(1/3)) + sin(arctan(1/3))]

xD = −√5 l ϕ cos(ϕ+ arctan(1/3))

TU Dortmund





Herbst 2013


c)Geben Sie die potentielle Energie Epot bezuglich des Drehwinkels ϕ fur große Auslenkun-gen des Systems an. (1 Punkt)

Epot = 1/2 cT ϕ2 + 5/2 c l2 [sin(arctan(1/2)− ϕ)− sin(arctan(1/2))]2

Das Massentragheitsmoment des Systems sei nun als θ gegeben. Geben Sie die Bewegungs-Differentialgleichung bezuglich des Drehwinkels ϕ fur große Auslenkungen des Systems an.(3 Punkte)

ϕ + 5 d l2/θ ϕ cos(ϕ+ arctan(1/2))2 + cT/θ ϕ

+ 5 c l2/(2 θ) [2 cos(arctan(1/2)− ϕ) [sin(arctan(1/2− ϕ))− sin(arctan(1/2))]]

=√10F (t) l/(2 θ) cos(ϕ+ arctan(1/2))

d)Es ist nun folgende Bewegungs-Differentialgleichung fur große Auslenkungen in φ gegeben:

4 θ φ+ 3 d l2 cos(φ) φ + c l2[7 sin(φ) cos(φ) + sin(φ) + 2 sin(φ)2

]= l cos(φ)F (t)

Geben Sie die linearisierte Form der gegebenen Bewegungs-Differentialgleichung fur kleineAuslenkungen (φ≪ 1) an. (1 Punkt)

φ+ 3 d l2/θ φ+ 2 c l2/θ φ = F (t) l/(4 θ)

Geben Sie fur F (t) = F0 cos(Ω t) die Weg-Zeit-Funktion φ(t) fur den eingeschwungenenZustand an. Spezifizieren Sie dazu die Konstanten der allgemeinen Losung: (2 Punkte)

φ(t) = C cos(Ω t− φ0)

C = F0 l/

(

4 θ

√

4 δ2Ω2 + [ω2 − Ω2]2)

δ = 3 d l2/(8 θ)

tan(φ0) = 2 δΩ/(ω2 − Ω2) ω =√

2 c l2/θ

TU Dortmund





Fruhjahr 2013

TU Dortmund





Fruhjahr 2013


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Korpern, die durch dehnstarre,schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde(Erdbeschleunigung g) befinden. Die beiden den Freiheitsgraden ϑ1 und ϑ2 zugeordne-ten Planetenrollen (je Radius r3, Masse m3) sind an einen ortsfest drehbar gelagertenPlanetentrager (Gesamtmasse M2) angeknupft und rollen in einem rauhen Hohlzylinderschlupffrei ab. Das Seil wird uber eine in Punkt A gelagerte Stufenrolle (Masse M1) ge-lenkt und von einem Masseklotz (Masse M0) gezogen.

g

α ψ

ϕ

ϑ1

ϑ2

x0M0

M2

r3, m3

r3, m3

r1

r2

R1

R2

ls

µ

µ

A

er

eϕ

a)Zeichnen Sie ein Freikorperbild ohne Tragheitskrafte.

gα

α

G1r

G1r

G2r

G2r

G1ϕ

G1ϕ

G2ϕ

G2ϕH1

H2

N1

N2m3g

m3gBx

By

AxAy

S1

S1

S2

S2

M0 g

M1 g

M2 g

TU Dortmund





Fruhjahr 2013


Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) des Klotzes (Masse M0) bzgl. der x0-Koordinatean.

M0 x0 =M0 g − S1

Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der in Punkt A gelagerten Stufenrolle bezug-lich ihres Schwerpunktes und der ψ-Koordinate an. Die schwerpunktsbezogene Massen-tragheit sei als θ1 gegeben und soll hier nicht spezifiziert werden.

θ1 ψ = S1 r1 − S2R1

Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des ortsfest drehbar gelagerten Planetentra-gers (Gesamtmasse M2) bezuglich seines Schwerpunktes und der ϕ-Koordinate an. Dieschwerpunktsbezogene Massentragheit sei als θ2 gegeben und soll hier nicht spezifiziertwerden.

θ2 ϕ = S2 r2 −G1ϕ [R2 + ls]−G2ϕ [R2 + ls]

b)Spezifizieren Sie nun das schwerpunktsbezogene Massentragheitsmoment θ2 des Plane-tentragers. Der Planetentrager besteht aus einer Stufenrolle (kleine Stufung: Radius r2,Masse M2/3, große Stufung: Radius R2, Masse 2 ·M2/3) und zwei angeschweißten Staben(je Lange ls, Masse ms).

θ2 =1

2

M2

3r22 +

1

2

2

3M2R

22 + 2

[

1

12msl

2s +ms

[ls2+R2

]2]

TU Dortmund





Fruhjahr 2013


c)Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit ϑ1 in Abhangigkeit von ϕ an.

ϑ1(ϕ) = ϕR2 + lsr3

d)Geben Sie nun die Winkelgeschwindigkeiten ψ, ϕ, ϑ1 und ϑ2 in Abhangigkeit von x0 an.

ψ(x0) =x0r1

ϕ(x0) = ψR1

r2= x0

R1

r1 r2

ϑ1(x0) = x0R1 [R2 + ls]

r1 r2 r3

ϑ2(x0) = ϑ1 (s.o.)

TU Dortmund





Fruhjahr 2013


Ein punktformiger Korper der Masse m beginnt im Punkt O aus der Ruhelage herauseine glatte, schiefe Ebene (Lange L, µ = 0) herunterzugleiten. Im Punkt 1 geht die schie-fe Ebene tangential in eine rauhe Kreisbahn uber (Gleitreibungskoeffizient µ, Radius r,Winkel θ). Die Geschwindigkeit zwischen Punkt 1 und 2 ist mittels eines außeren Antriebskonstant gehalten, so dass in diesem Bereich v = const. und insbesondere |v1| = |v2| = vgilt.Die rauhe Kreisbahn mundet im Punkt 2 tangential in eine rauhe, schiefe Ebene (Nei-gungswinkel β, Lange L, µ=0). Im Punkt 3 befindet sich ein punktformiger Korper derMasse 2m, welcher dort in Ruhe gehalten wird. Im Punkt 3 geht die glatte, schiefe Ebenetangential in eine glatte Kreisbahn uber (µ=0). Im Punkt 4 befindet sich das Ende einerelastischen Feder (Steifigkeit/Federkonstante c). Das System befindet sich im Schwerfeldder Erde (Erdbeschleunigung g).

µ

θ

ϕ

`

β β

α

L/4

L

L

x

C

m

12

3 4

O

H r

r

N.N.

2m

ψ

g

a)Geben Sie die potentielle Energie EO

pot im Punkt O bezuglich des vorgegebenen NullniveausN.N. in Abhangigkeit der Großen m, g, H , r und ϕ an.

EOpot = mg [H + r (1− cos(ϕ/2))]

TU Dortmund





Fruhjahr 2013


b)Geben Sie die Reibkraft R(ψ) als Funktion von ψ unter Berucksichtigung der Vorgabe|v1| = v bzgl. des Punktes 1 an.Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!

R(ψ) = µ [mg cos(π/2− (θ + α) + ψ)−mv2/r]

Berechnen Sie die auf der Strecke von Punkt 1 zu Punkt 2 verrichtete Reibarbeit WR.

WR = µm [−v2 θ + g r cos(α)− g r cos(θ + α)]

c)Nehmen Sie an, dass nun |v3| = v am Punkt 3 vorgegeben ist. Geben Sie den Betragder Geschwindigkeit beider Massen v1 (fur Masse m) und v2 (fur Masse 2m) unmittelbarnach dem vollplastischen Stoß an.Hinweis: Mit Ausnahme des Kraftstoßes sind alle etwaigen Krafte wahrend des Stoßvor-gangs zu vernachlassigen!

|v1| = v/3

|v2| = v/3

d)

Bestimmen Sie die Federsteifigkeit/Federkonstante c derart, dass die maximale Stauchungder Feder l/5 betragen soll. Nehmen Sie hier an, dass nur ein Korper der Masse 3mKontakt mit der Feder hat. Die Geschwindigkeit dieser Masse ist im Punkt 4 zu v4 =|v4| = 6 v vorgegeben.

C = 2700mv2

L2 − 30mg sin βL

TU Dortmund





Fruhjahr 2013

Losung 3 (Seite 1 von 2)

Das dargestellte System befindet sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g).Das masselose Seil rollt schlupffrei uber zwei homogene Kreisscheiben (MassenM, m undRadien R, r). Dessen Ende ist mit einer Parallelschaltung einer Feder (Federsteifigkeit c)und eines Dampfers (Dampfungskonstante d) verbunden. Das Seil soll als stets gespanntangenommen werden. Die Feder ist in der Ausgangslage ungespannt.

c

d

y

h

g

M, R

m, rN.N.

Geg.: m, M, r, R, c, d, g.

a)Geben Sie die gesamte kinetische Energie Ekin sowie die gesamte potenzielle Energie Epot

des Systems in Abhangigkeit des Freiheitsgrades y an.

Ekin = y2(M + 34m)

Epot = 2cy2 −mgy +Mgh

4

TU Dortmund





Fruhjahr 2013

Losung 3 (Seite 2 von 2)

b)Geben Sie die zugehorige Bewegungs-Differentialgleichung an.

32my + 2My + 4cy −mg + 4dy = 0

4c)Bei vernachlassigter Schwerkraft und Federsteifigkeit (g = c = 0) sowie einem be-stimmten, nicht naher aufgefuhrten Verhaltnis zwischen den Massen hat die Bewegungs-differentialgleichung die Form

5 m y + d y = 0.

Geben Sie y(t) fur die Anfangsbedingungen y(t = 0) = 0, y(t = 0) = dm

an.

y(t) = 5− 5e(−d

5m)t

2

TU Dortmund





Herbst 2012

TU Dortmund





Herbst 2012


Ein System aus starren, homogenen Staben ist im Punkt A drehbar gelagert und des Wei-teren mit den dargestellten Federn und Dampfern (Materialkonstanten sind der Zeichnungzu entnehmen) verbunden. Im Punkt D ist zusatzlich eine Punktmasse (Masse m) ange-bracht. Im Punkt E wird das System durch eine zeitabhangige Kraft F (t) belastet, wobeiin der gezeichneten Ausgangslage F (t = 0) = 0 gilt und die Federn ungespannt sind. DerEinfluss der Schwerkraft ist zu vernachlassigen.

A

B C

D

E

F (t)l

ll 2 l

c

cT

d

d

mm

4m

ϕ

x

y

a)Berechnen Sie das Massentragheitsmoment θ(A) des Systems bezuglich des Punktes A.

θ(A) =20

3ml2

b)Geben Sie die vertikale Verschiebung yB des Punktes B sowie die Geschwindigkeitskoordi-nate xD des Punktes D in Abhangigkeit von ϕ und ϕ fur große Auslenkungen des Systemsan.

yB = sin(ϕ) l xD = ϕ cos(ϕ) l

TU Dortmund





Herbst 2012


c)Das Massentragheitsmoment des Systems sei nun als θ gegeben. Geben Sie fur die An-nahme kleiner Auslenkungen (ϕ ≪ 1) die Bewegungs-Differentialgleichung bezuglich desDrehwinkels ϕ an.

ϕ+5 d l2

θϕ+

c l2 + cTθ

ϕ =2 l F (t)

θ

Nennen Sie die Bedingung fur die Federkonstante c, so dass sich fur das gegebene Systemeine schwach gedampfte Schwingung ergeben wurde.

c >25 d2 l4 − 4 cT θ

4 θ2 l2

Spezifizieren Sie fur F (t) = F0 cos(Ω t) die Konstanten C und ϕ0 der allgemeinen Losung

ϕ(t) = C cos(Ω t− ϕ0)

fur den eingeschwungenen Zustand.

C =2 l F0

θ√

4 δ2Ω2 + [ω2 − Ω2]2δ =

5 d l2

2 θ

ϕ0 = arctan

(2 δΩ

ω2 − Ω2

)

ω =

√

c l2 + cTθ

TU Dortmund





Herbst 2012


Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Korpern, die durch dehnstar-re, schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld derErde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind derZeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Rollen 1 und 3 auf rauhenEbenen schlupffrei abrollen. Dabei wird Rolle 1 von dem konstanten Drehmoment M0 dieschiefe Ebene hinauf angetrieben. Die Umlenkrolle in Punkt A ist als masselos anzusehen.

g

α

ϕ1

ϕ2

ϕ3

x1

x3

x4

M0

m1 m2

m3

m4

r1 r2

r3

R1

A

1 2

3

4

a)Zeichnen Sie ein vollstandiges Freikorperbild

M0

N1N3

H1H3

S1

S1

S2

S2

S3

S3

m1 g m3 g

m4 g

TU Dortmund





Herbst 2012


b)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 1 bezuglich der x1-Koordinate an.

−S1 +H1 −m1 g sin(α) = m1 x1

c)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 1 bezuglich ihres Schwerpunktesund der ϕ1-Koordinate an. Nehmen Sie θ1 als gegeben an.

M0 − S1 r1 −H1R1 = θ1 ϕ1

d)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezuglich ihres Schwerpunktesund der ϕ2-Koordinate an. Spezifizieren Sie θ2 mittels der gegebenen Großen.

S2 r2 − S1 r2 =1

2m2 r

22 ϕ2

e)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Rolle 3 bezuglich der x3-Koordinate an.

S3 − S2 −H3 = m3 x3

f)Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezuglich ihres Schwerpunktesund der ϕ3-Koordinate an. Spezifizieren Sie θ3 mittels der gegebenen Großen.

H3 r3 − S2 r3 =1

2m3 r

23 ϕ3

g)Geben Sie die Impulsbilanz (Kraftesatz) der Masse 4 bezuglich der x4-Koordinate an.

S3 −m4 g = m4 x4

TU Dortmund





Herbst 2012


h)Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten x1, ϕ2, x3, ϕ3 und x4 in Abhangigkeit von ϕ1

an.

x1(ϕ1) = ϕ1R1

ϕ2(ϕ1) = −ϕ1R1 + r1r2

x3(ϕ1) = −ϕ1R1 + r1

2

ϕ3(ϕ1) = −ϕ1R1 + r12 r3

x4(ϕ1) = ϕ1R1 + r1

2

TU Dortmund





Herbst 2012


Eine punktformiger Korper der Masse m rutscht aus seiner Ruhelage (Hohe h bezuglichN.N.) im Punkt O eine reibungslose Ebene hinab. Auf seinem Weg uber die Punkte Abis H passiert er 2 reibungsbehaftete Teilabschnitte mit den Gleitreibungskoeffizienten µ1

und µ2. Samtliche Kreisbogen weisen den Radius r auf.

g

y

x

N.N.

O I

B

C

D E

F

G H

A

m

h

α

α α

α

r

rr

rθ

µ1 µ2

l1

l2

l3γ γ

φ

a)Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse zwischen den Punkten Aund B als Funktion des Winkels θ.

v(θ)A→B =√

2g[h− r (1− Cos(θ))]

b)Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt C.

vC =√

2g[h− r(1− Cos(α))− l1(Sin(α) + µ1Cos(α))]

TU Dortmund





Herbst 2012


c)Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt C ist nun durch vC vorgegeben,wobei diese als groß genug vorausgesetzt ist, um Punkt D zu erreichen. Geben Sie dieGeschwindigkeit der Punktmasse in Abhangigkeit der Große vC in den Punkten F und Gan.

vF = vC

vG =√

v2C + 2gl3(Sin(α)− µ2Cos(α))

d)Im Punkt G stoßt die Punktmasse mit dem gegebenen Geschwindigkeitsbetrag vG gegeneinen masselosen Stab, welcher mit einer Drehfeder (Federkonstante cT ) verbunden ist.Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse zwischen den Punkten G undH .

φ =√

2r2[gr(1− Sin(γ)) + 1

2v2G − gr(1− Sin(γ + φ))− 1

2mcTφ2]

TU Dortmund





Fruhjahr 2012

TU Dortmund





Fruhjahr 2012


Ein starrer Stab (Lange 2 l, Masse m) istwie dargestellt gelagert. Die im Punkt A be-findliche Drehfeder weist die Federsteifigkeit(Federkonstante) cT , der im Punkt B ange-schlossene viskose Dampfer die Dampferkon-stante d auf. Im Punkt C ist ein System ausparallel und seriell geschalteten Federn (Fe-dersteifigkeiten bzw. /-konstanten c1 bis c4)angebracht. Zudem wird das unter dem Ein-fluss des Schwerefelds (Erdbeschleunigung g)stehende System im Punkt C durch eine zeit-abhangige Kraft F (t) belastet. Fur den Zeit-punkt t = t0 = 0 gelte F (t0) = 0 sowie, dasssamtliche Federn ungespannt sind.

A

B

C

ϕ

F (t)

c1

c2

c3

c4

d

l

l

cT

g

m

x

y

a)Geben Sie die effektive Steifigkeit (Federkonstante) ceff des Federsystems in Abhangigkeitder Werte c1, c2, c3 und c4 an.

ceff = c1 +1

1

c2+ 1

c3+c4

b)Berechnen Sie das Massentragheitsmoment θ(A) des Stabes bezuglich des Punktes A.

θ(A) = 4/3ml2

TU Dortmund





Fruhjahr 2012


c)Geben Sie die den Betrag der Geschwindigkeit vB des Punktes B sowie die horizontaleVerschiebung xC des Punktes C in Abhangigkeit von ϕ und ϕ fur große Auslenkungendes Systems an.

vB = ϕ lxC = −2 l sin(ϕ)

Die effektive Steifigkeit (Konstante) des Federsystems ist nun durch den Wert c vorgege-ben, ebenso ist der Wert fur das Massentragheitsmoment des Stabes bezuglich des PunktesA als θ festgelegt. Fur die Federkonstante der Drehfeder gilt des Weiteren cT = mg l.

Leiten Sie fur die Annahme kleiner Auslenkungen ϕ≪ 1 die Bewegungs-Differentialgleichungdes Systems bezuglich des Drehwinkels ϕ her.

ϕ+ d l2

θϕ+ 4 c l2

θϕ = 2F (t) l

θ

Nennen Sie die systemspezifische Bedingung fur die Dampferkonstante d, so dass sich furF (t) ≡ 0 und ϕ(t0) 6= 0 eine schwach gedampfte Schwingung ergeben wurde.

d < 4√

θ c/l2

Geben Sie fur die Vorgaben F (t) = F0 cos(Ω t) die Weg-Zeit-Funktion ϕ(t) fur den einge-

schwungenen Zustand an. Nennen Sie zunachst die allgemeine Losung und spezifizierenSie dann die darin enthaltenen Konstanten.

ϕ(t) = A cos(Ω t− ϕ0)mit:A = 2F0 l

θ√

4 δ2 Ω2+[ω2−Ω2]2

tan(ϕ0) =2 δΩ

ω2−Ω2

δ = d l2

2 θ

ω = 2 l√

c/θ

TU Dortmund





Fruhjahr 2012


Das dargestellte System besteht aus homoge-nen, starren Korpern, die durch dehnstarre,schlupffrei abrollende Seile miteinander ver-bunden sind und sich im Schwerefeld der Er-de (Erdbeschleunigung g) befinden. Die je-weiligen Massen und Abmessungen der Kor-per sind der Zeichnung zu entnehmen. Dieabgesetze Rolle 3 weist eine Unwucht (Ex-zentrizitat e, Masse me) auf, deren Lage imAusgangszustand durch ϕ3 = 0 gegeben ist.Die Walze 4 rollt schlupffrei auf einer rauhenEbene ab und wird dabei von dem konstan-ten Drehmoment M0 angetrieben.

g

x1

x2 x4

ϕ2

ϕ3

ϕ4

M0

m1

m2

m3

e me

m4

r1

r2

r3

R3

r4

1

23

4

a)Erganzen Sie die hier dargestellten Teilkorper des Systems zu vollstandigen Freikorper-bildern.

M0

m1 g

m4 g

S1

S2

S3

S3S4

S4

S1 + m2 g

me g

N

H

TU Dortmund





Fruhjahr 2012


b)Geben Sie den Impulssatz (Kraftesatz) der Rolle 1 bezuglich der x1-Koordinate an.

S1 −m1 g = m1 x1

Geben Sie den Impulssatz (Kraftesatz) der Rolle 2 bezuglich der x2-Koordinate an.

S2 + S3 − S1 − m2 g = m2 x2

Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Rolle 2 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ2-Koordinate an.

S3 r2 − S2 r2 = 12m2 r

22 ϕ2

Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Rolle 3 bezuglich des Drehzentrums undder ϕ3-Koordinate an.

S4 r3 − S3R3 + me g e cos(ϕ3) = (12m3R

23 + me e

2) ϕ3

Geben Sie den Impulssatz (Kraftesatz) der Walze 4 bezuglich der x4-Koordinate an.

−S4 + H = m4 x4

Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Walze 4 bezuglich ihres Schwerpunktes undder ϕ4-Koordinate an.

−S4 r4 − H r4 + M0 = 12m4 r

24 ϕ4

TU Dortmund





Fruhjahr 2012


c)Geben Sie ϕ2, x2, ϕ3, ϕ4 und x4 in Abhangigkeit von x1 an.

ϕ2(x1) = x1 / r2

x2(x1) = x1

ϕ3(x1) = 2 x1 /R3

ϕ4(x1) = x1 r3 / (R3 r4)

x4(x1) = x1 r3 /R3

d)Betrachten Sie nun die rechts dargestellteWalze (Masse m, Radius r) auf einer um denWinkel α geneigten Ebene. Sie befindet sichim Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigungg), wird von dem konstanten DrehmomentM0 angetrieben und rollt schlupffrei auf derrauhen Ebene ab.

gx

α

ϕ

M0

m

r

Die Walze bewege sich mit x(t = 0) = 2√r g fort und es gelte x(t = 0) = − r. Wie groß

muss M0 sein, so dass zum Zeitpunkt t∗ die Zusammenhange x(t∗) = 0 und x4(t∗) = 3 r

gelten?

M0 = mg r [sin(α) − 34]

TU Dortmund





Fruhjahr 2012


Eine punktformige Masse m beginnt im Punkt O aus der Ruhelage heraus eine rauhe,schiefe Ebene (Neigungswinkel α, Lange l, Gleitreibungskoeffizient µ) herunterzugleiten.Im Punkt A geht die schiefe Ebene tangential in eine glatte Kreisbahn uber (µ = 0).Diese mundet im Punkt B tangential in eine rauhe, schiefe Ebene (Neigungswinkel β,Lange l, Gleitreibungskoeffizient µ). Im Punkt C geht die schiefe Ebene in eine glatteBahn uber, die im Punkt D tangential in eine glatte, schiefe Ebene (Neigungswinkel γ,Lange a, µ = 0) ubergeht. Am Ende dieser schiefen Ebene ist eine Feder (Federkonstantec, ungespannte Lange a/6) befestigt. Das System befindet sich im Schwerefeld der Erde(Erdbeschleunigung g).

g

α

β

γ

ϕ

x1

x2

x3

N.N.

m

A

B

C D

O

c

l

la

a/6

r

h

µ

µ

µ = 0

µ = 0

a)Geben Sie die potentielle Energie EO

pot im Punkt O bezuglich des vorgegebenen NullniveausN.N. an.

EOpot = mg h oder mg [l (sin(α) + sin(β)) + r (cos(α) − cos(β))]

Berechnen Sie den Betrag |vA| der Geschwindigkeit im Punkt A.

|vA| =√

2 g l [sin(α) − µ cos(α)]

TU Dortmund





Fruhjahr 2012


b)Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt A sei nun als |vA| = vA gegeben. (Hinweis:Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!)

Geben Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse auf der Bahn zwischen denPunkten A und B in Abhangigkeit von ϕ an.

|v|(ϕ) =√

v2A − 2 g r [cos(ϕ) − cos(α)]

Wie groß darf vA maximal sein, so dass die Punktmasse nicht von der Kreisbahn abhebt?

vA ≤√

g r [3 cos(β) − 2 cos(α)]

c)Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt B sei nun als |vB| = vB gegeben. (Hinweis:Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!)

Bestimmen Sie die Gesamtenergie des Massepunktes bei x2 = l/2.

Eges(x2 = l/2) = 12mv2B + mg l [sin(β) − µ cos(β) / 2]

Bestimmen Sie den Betrag der Geschwindigkeit im Punkt D.

|vD| =√

v2B + 2 g l [sin(β) − µ cos(β)]

d)Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt D sei nun als |vD| = vD =

√

5/3 g a sin(γ)vorgegeben. (Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrech-nen! Die gegebene Geschwindigkeit ergibt sich nicht aus dem System!)

Um welchen Betrag ∆a wird die Feder gestaucht?

∆a = 0

Documents

KS C Loesungen - Fakultät Maschinenbau · TUDortmund Fakult¨atMaschinenbau Institutf¨urMechanik Prof.Dr.-Ing.A.Menzel Prof.Dr.-Ing.J.Mosler Herbst 2014 Aufgabe 1(Seite 2 von 3)