Lehrstuhl für Technische Mechanik/Dynamik Prof. Dr.-Ing. C ...€¦ · Robotertechnik Übersicht 0.2 Lehrstuhl für Technische Mechanik/Dynamik Prof. Dr.-Ing. C. Woernle Manuskripte

Robotertechnik Übersicht 0.1

Lehrstuhl für Technische Mechanik/Dynamik Prof. Dr.-Ing. C. Woernle

Vorlesung

Robotertechnik

Prof. Dr.-Ing. Christoph Woernle

Lehrstuhl für Technische Mechanik/Dynamik Universität Rostock

WS 2018/19



Manuskripte zur Vorlesung zum Download

Prof. Flügge, Dipl.-Ing. Wurst Robotertechnik

Prof. Woernle Robotertechnik (Folien)

http://www.hro.ipa.fraunhofer.de/fhg/agp_iff/Lehre/skripte/index.jsp



Übersicht

1 Bauarten von Industrierobotern 2 Koordinatentransformationen bei Robotern 3 Geschwindigkeit und Beschleunigung 4 Trajektorienberechnung 5 Dynamik von Robotern 6 Regelung von Robotern 7 Zur Kinematik von Parallelrobotern



Einführende Literatur zur Robotertechnik

Bücher Craig, J.: Introduction to Robotics. Mechanics and Control. Reading (Mass.): Addison Wesley, 1989

Sciavicco, L.; Siciliano, B.: Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer, 2011.

Stark, G.: Robotik mit MATLAB. Fachbuchverlag Leipzig, 2009.

Weber, W.: Industrieroboter. Methoden der Steuerung und Regelung. München: Hanser, 2002.

Zeitschriften

The International Journal of Robotics Research

IEEE Journal of Robotics and Automation

Robotertechnik 1 Aufbau von Robotern 1.1


1 Bauarten von Robotern 1.1 Begriffe, Einteilung

1.2 Serielle, hybride und parallele Roboter

Übersicht



Einteilung von Handhabungsgeräten (1)

Handhabungsgeräte

manuell gesteuert programmgesteuert

fest programmiert frei programmiert

Einlegegeräte Industrieroboter (Tele-)Manipulatoren

Serviceroboter

1.1 Begriffe, Einteilung



Einteilung von Handhabungsgeräten (2)

Handhabungsgeräte: Technische Einrichtungen, die Bewegungen in mehreren Bewegungsachsen im Raum ausführen. Manipulatoren: Durch Bediener manuell gesteuerte Bewegungseinrichtung, ggf. mit Kraftverstärkung. Telemanipulatoren: Durch Bediener ferngesteuerte Manipulatoren (z.B. in Kernkraftwerken). Einlegegeräte: Bewegungseinrichtungen, deren Bewegungen hinsichtlich Bewegungsfolge und /oder Wegen/Winkeln nach einem nach einem fest vorgegebenen Programm ablaufen, das ohne mechanischen Eingriff nicht verändert werden kann. Industrieroboter: Industrieroboter sind universell einsetzbare Bewegungsautomaten mit mehreren Achsen, deren Bewegungen hinsichtlich Bewegungsfolge und Wege bzw. Winkel frei programmierbar (d.h. ohne mechanischen Eingriff vorzugeben bzw. änderbar) und gegebenenfalls sensorgeführt sind. Sie sind mit Greifern, Werkzeugen oder anderen Fertigungsmitteln ausrüstbar und können Handhabe- und andere Fertigungsaufgaben ausführen. (nach VDI-Richtlinie 2860) Serviceroboter: Ein Serviceroboter ist eine frei programierbare Bewegungseinrichtung, die teil- oder vollautomatische Dienstleistungen verrichtet. Dienstleistungen sind dabei Tätigkeiten, die der Verrichtung von Leistungen für Menschen und Einrichtungen dienen. (nach Fraunhofer-IPA, Stuttgart)




Aufbau eines Industrieroboters Mechanik

Hauptachsen: Achsen 1,2,3

Nebenachsen (Handachsen)

Endeffektor mit Tool-Center Point (TCP)

“Kinematische Kette”: Gelenkig miteinander verbundene Armsegmente

Antriebe (heute bürstenlose AC Synchronmotoren) mit untersetzenden Getrieben

Antriebe der Handachsen, wirken über Summen- und Differentialgetriebe

KUKA IR 160 (1982)




1 Bauarten von Robotern 1.1 Begriffe, Einteilung


Übersicht



Klassifizierung von Mehrkörpersystemen

allgemeine Darstellung

Beispiel

Körper Gelenke

K

G

nn

offen (Baumstruktur)Mehrkörper- system geschlossen

K Gn n kinematische SchleifenS G Kn n n

teilweise geschlossen vollständig geschlossen

"serielle Kinematik" "hybride Kinematik" "parallele Kinematik"




G 1f

Drehgelenk( evolR ute)

11

2

3

Schubgelenk ( rismP atic)

Drehschubgelenk ( ylC indric)

Kardangelenk ( niveU rsal)

Kugelgelenk ( pherS ical)

Ein räumliches Mehrkörpersystem mit

Körpernhat kinematische Schleifen

Gelenken mit je Gelenkfreiheitsgraden

und den Freiheitsgrad (=Anzahl unabhängiger Lagegrößen)G

K

S G KG G

G1

i

n

ii

nn n n

n f

f f

(Grübler-Kutzbach-Bedingung)

Die Lage des Systems wird durch verallgemeinerte Koordinaten (Winkel oder Verschiebungen)

eindeutig beschrieben. Damit müssen bei einem Robot

S

T1 2

6

[ ]f

n

f

q q qq

er unabhängige Antriebe vorhanden sein.f

s

s2

G 1f G 2f G 2f G 3f


Gelenke und Freiheitsgrad



s

Translationsachse (Schubgelenk)

Rotationsachse (Drehgelenk)

Nebenachsen

Greifer

Translation fluchtend (Teleskop)

Translation nicht fluchtend

Verfahrachse

Rotation fluchtend Rotation nicht fluchtend


Symbolik zur Darstellung kinematischer Ketten nach VDI-Richtlinie 2861



Arb

eits

raum

K

inem

atis

che

Ket

te

kartesisch zylindrisch horizontaler Knickarm

vertikaler Knickarm sphärisch


Typische serielle Roboterkinematiken



Typische Einsatzgebiete: • Palettieren • Beschicken von Werkzeugmaschinen • Brennschneiden und Schweißen in großen Arbeitsräumen (z.B. im Schiffbau)

Eigenschaften: • Durch modularen Aufbau aus Einzelkomponenten an Anwendung anpassbar (Verfahrwege, Nutzlasten) • Ergänzung der kinematischen Kette durch Handachsen • Hohe Nutzlasten und große Arbeitsräume möglich • Gegenüber Knickarmrobotern eingeschränkte Beweglichkeit

Reis Robotics, Baureihe RL


Kartesische Roboter



Zwei Bauarten für vertikale Achse:

als erste Achse als vierte Achse

TCP

Eigenschaften: • Durch Bewegung in der horizontalen Ebene keine Gewichtskrafteinflüsse → hohe Genauigkeiten, große Beschleunigungen möglich. • Für die typischen Anwendungen reichen die vier Achsen aus → kostengünstiger als Knickarmroboter mit sechs Achsen.

Gebräuchliche Benennung: SCARA-Roboter für „Selective Compliance Robot Arm“. Kinematische Kette ist in der horizontalen Ebene nachgiebig und in der vertikalen Richtung steif .

Typische Einsatzgebiete: • Bestücken von Leiterplatten • Montage von Geräten • Beschicken von Maschinen • Palettieren.

Fanuc S-520i 1.2 Serielle, hybride und parallele Roboter

Horizontaler Knickarm-Roboter (SCARA)



Eigenschaften: • Volle Beweglichkeit: sechs Freiheitsgrade im Raum • Umgreifen von Hindernissen möglich • Handachsen meist als “Zentralhand”: drei sich in einem Punkt schneidende Drehachsen • Gewichtsausgleich an Achse 2 durch pneumatische Feder • Gewichtsausgleich an Achse 3 durch Handachs-Antriebe als Gegengewicht • Von allen Roboterbauarten am universellsten einsetzbar.

Einsatzgebiete: • Punktschweißen, Bahnschweißen, Entgraten, Kleberauftrag • Lackieren • Montage • Beschicken von Maschinen • Palettieren u.v.a.m.

hydropneumatischer Gewichtsausgleich

1q

2q

3q

4q

5q6q

Handachs-Motoren als Gegengewicht

KUKA KR 500

TCP


Vertikaler Knickarm-Roboter



Nutzlast am Endeffektor 6 kg 1000 kg Eigenmasse 205 kg 4700 kg Maximale Reichweite 1570 mm 3202 mm Wiederholgenauigkeit <0,1 mm <0,2mm

KR 6/2 KR 1000

Wiederholgenauigkeit: Genauigkeit, mit der eine Lage des Endeffektors erneut angefahren werden kann Absolute Genauigkeit: Genauigkeit mit der eine in Koordinaten vorgegebene Position erreicht werden kann (wird von Herstellern nicht angegeben)

Spektrum der von der KUKA Roboter GmbH angebotenen vertikalen Knickarmroboter


Vertikale Knickarm-Roboter Spezifikationen



Draufsicht

Vertikale Ebene

Fanuc S-710i


Vertikaler Knickarm-Roboter Typischer Arbeitsraum



Eigenschaften: • Teilweise geschlossene kinematische Kette • Antrieb der dritten Achse zum Grundgestell hin zurückverlegt • Kleinere Biegebeanspruchung des 2. Armsegments als beim normalen Knickarmroboter → (theoretisch) höhere Nutzlasten möglich • Parallelführung des Endeffektors, indem nur Antrieb von 2. Achse (Winkel q2 ) bewegt wird

• Arbeitsraum kleiner als beim normalen Knickarmroboter (kein Überkopf-Schwenken von Achse 3 möglich).

Fanuc S-420

1q

2q

3q

4q5q

6q

2. Armsegment

passives Gelenk

Einsatzgebiete: • Punktschweißen, Kleber-, Dichtmittelauftrag • Montage, Palettieren, Handhabung schwerer Bauteile.


Vertikaler Knickarmroboter mit Antrieb der dritten Achse durch Parallelogramm



Eigenschaften: • Teilweise geschlossene kinematische Kette • Handachse bleibt durch Parallelogrammkinematik stets vertikal

• Alternative zum SCARA-Roboter

1q

2q3q

4q

Achse stets vertikal

Antriebe

Typische Einsatzgebiete: • Palettieren • Bandbeschickung Fanuc M-410i


Vertikaler Knickarmroboter mit Parallelführung des Endeffektors



2q1q

3q

Drehgelenke (passiv)

bis zu drei serielle Handachsen

raumfest

Typische Einsatzgebiete: • Mechanische Bearbeitung (Trennen, Bohren, Schleifen) • Schweißen, Brennschneiden

Eigenschaften: • Teilweise geschlossene kinematische Kette • Günstig für Aufnahme von Bearbeitungskräften

Schraubtriebe

Kardangelenke

Schubgelenk (passiv)


Parallelkinematik-Roboter ABB IRB 940 (Tricept)



1q

2q3q

4q

5q

6q Kardangelenk

Kardangelenk

Dreh - Schubgelenk(z.B. Spindeltrieb)

Fanuc F-200iA

Eigenschaften (siehe auch Vergleich serielle/parallele Roboter): • Volle Beweglichkeit: sechs Freiheitsgrade im Raum • Günstige Aufnahme von Bearbeitungskräften • Arbeitsraum eingeschränkt (insbesondere Orientierung)

Stewart, D.: A Platform with Six Degrees of Freedom. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers 180 (1965), pp. 371-386.


Parallelkinematik-Roboter Gough-Stewart-Plattform



„Originale“ Anwendung: Reifentestmaschine, ca. 1954: Gough und Whitehall (Dunlop Rubber Co., Birmingham )

Flugsimulator (CAE SimuFlite, Québec, Canada)

Werkzeugmaschine (Ingersoll, USA)


Gough-Stewart-Plattform weitere Anwendungen



Weitere Parallelkinematiken mit sechs Führungslenkern (1)

Lenkerfußpunkte auf Kreisbahnen geführt: Hexa-Parallelmanipulator (F. Pierrot, Université Montpellier)

Lenkerfußpunkte auf Geraden geführt: Hexaglide-Werkzeugmaschine (Institut für Werkzeugmaschinen und Fertigung, ETH Zürich)

1q

2q 3q

4q

5q6q

Weitere Informationen zu Parallelrobotern: http://www.parallemic.org/

Antrieb durch Linearmotoren




Endeffektor mit Freiheitsgrad 3 bleibt stets parallel zur Grundplatte

Grundplatte

1q 2q

3q

Roboter für Gesichtschirurgie (Charité, Berlin)

ABB IRB 340 FlexPicker

Eigenschaften: • Hohe Dynamik (Beschleunigungen) durch kleine bewegte Massen • Für Pick-and-Place-Anwendungen, Alternative zu SCARA Einsatzgebiete z.B. • Bestücken von Leiterplatten • Lebensmittelindustrie (ABB FlexPicker)

Lenkerfußpunkte paarweise auf Kreisbahn geführt: Delta-Parallelmanipulator (R. Clavel, EPF Lausanne)

zusätzlich Drehung des Greifers über Kardanwelle





Lenkerfußpunkte paarweise auf Ebene geführt: Triplanar-Parallelmanipulator

Antriebe durch Flächen-Schrittmotoren

2q1q

3q

4q

5q

6q

Mechatronik-Laboratorium, Universität Paderborn (Prof. Lückel) Institut für Mechatronik e.V., Chemnitz (Prof. Maisser)





Vorteile von Parallelrobotern gegenüber seriellen Robotern: • Modularer Aufbau mit vielen Gleichteilen • Höhere Dynamik (größere Beschleunigungen) durch kleinere bewegte Massen möglich:

- alle Antriebe können im Grundgestell angeordnet werden - (schwere) Direktantriebe mit hoher Dynamik (z.B. Linearmotoren) möglich - Führungslenker nicht auf Biegung beansprucht, können dadurch leichter gebaut werden

• Höhere Steifigkeit der Lastführung (Nachgiebigkeit der Plattform z.B. unter Bearbeitungskräften) • Empfindlichkeit der Endeffektorlage auf Veränderungen der Bauteilabmessungen (theoretisch) kleiner • Eigenfrequenzen liegen auf Grund der kleineren bewegten Massen höher • Möglichkeit, das System durch redundante Antriebe zu verspannen, um höhere Steifigkeiten zu erzielen

Nachteile von Parallelrobotern gegenüber seriellen Robotern:

• Arbeitsraum wesentlich kleiner, insbesondere in Bezug auf die Orientierung • Kinematische Transformationen bei manchen Bauarten aufwendiger • Singuläre Stellungen schwieriger beherrschbar • Konstruktive Probleme bei Gelenken (kleines Bauvolumen und großer Bewegungsbereich ↔ hohe Steifigkeit) • Empfindlichkeit bzgl. thermischer Ausdehnung der Führungslenker


Serielle und parallele Roboter Vor- und Nachteile



Serviceroboter


Serviceroboter: Ein Serviceroboter ist eine frei programmierbare Bewegungseinrichtung, die teil- oder vollautomatisch Dienstleistungen verrichtet. Dienstleistungen sind dabei Tätigkeiten, die nicht der direkten industriellen Erzeugung von Sachgütern, sondern der Verrichtung von Leistungen von für Menschen und Sachgütern dienen. (Fraunhofer-Institut für Produktionstechnik und Automatisierung (IPA), Stuttgart, 1994)

Einsatzgebiete: Gewerblich; häuslicher Bereich

Flugzeugwaschroboter (Putzmeister AG) Haushaltsroboter Care-O-Bot (IPA Stuttgart)

Robotertechnik 2 Koordinatentransformationen 2.1


2 Koordinatentransformationen bei Robotern 2.1 Aufgabenstellung

2.2 Koordinatendarstellung von Vektoren

2.3 Beschreibung von Drehungen

2.4 Lagebeschreibung mit (4,4)-Matrizen

2.5 Denavit-Hartenberg-Parameter

2.6 Vorwärtstransformation

2.7 Rückwärtstransformation

Übersicht



1q

2q3q

4q5q

6qy

y

4q

3q

2q

1q

5q

6q

seriell parallel

6n hier

1K1K

EKEK

6n hier

2.1 Aufgabenstellung

Koordinatentransformationen bei Robotern

Gelenkwinkel bzw.-verschiebungen

Roboterkoordinaten

beschreiben die Bewegungen der angetriebenen Gelenke

1

n

q

q

q

OrtsvektorKardan-Winkel

Weltkoordinaten

beschreiben die Lage (Pose)des Endeffektors im Raum

1

6

E

E

y

y

ry

Vorwärtstransformation(Direkte Kinematik)

( )y f q

Rückwärtstransformation(Inverse Kinematik)

1( )q f y










Übersicht



1ye

1ze

1x

1z

1O

1ys1

xs

1zs

s

1xe

1y

11x xs e

11z zs e

1 1 1, ,

, , ,, , ,

x y z

a v

Schreibweise für Vektoren: Fette Buchstaben usw.

(handschriftlich unterstrichen: usw.).

Zerlegung eines Vektors in Richtung der Basisvektoren (Einheitsvektoren)ei

e e e

v

s

a

1

1 11 1 1

1

1 1 11 1 1

1

1 1

1

1 1 1

.

,

.

,

, ,

x y z

x y z

x y z

x

x y

z

z

x y z

y

s s s

s s s

s s s

s

s

s

K

nes rechtshändigen Koordinatensystems :

Koordinaten (skalare Komponenten) mit

Schreibweise als (3,1)-Matrix

e e e

e e e

s

s

s s s

1

.x

y

z

sss

11y ys e


Koordinatendarstellung von Vektoren



a

cb

a, 0 b a

, 0 b a

x xx

y y y

z z z

a bcc a bc a b

c a b

x x

y y

zz

b ab a

ab

b aMultiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Addition zweier Vektoren

c a b

b a

Rechenoperation geometrisch vektoriell Koordinatendarstellung

Rechenoperationen mit Vektoren (1)




A

a

c

b

ne

Vektorprodukt zweier Vektoren 0

00

xz y

z x y

y x z

y z z y

z x x z

x y y x

ba aa a ba a b

a b a ba b a ba b a b

c ab

c

c

a

bSkalarprodukt zweier Vektoren

T

x

x y z y

z

x x y y z z

m

bm a a a b

b

m a b a b a b

a b

sin nab

A

c a b

c e

cos

m

m ab

m

a b

skalar

Rechenoperationen mit Vektoren (2)


Rechenoperation geometrisch vektoriell Koordinatendarstellung



1ye

1ze

1x

1z

1O1xe

1y1ys

1xs

1zs

ss

2x

2y

2z

2O

2ys

2zs

2xs

2ye2ze

2xe

Skalare Multiplikation mit den Einheitsvektoren :1 1 1

1 21 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 12 2

, ,x y z

x x x x y x z x

y y x y y y z y

z z x z y z z z

s s

s s

s s

e e e

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

s T s

!1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 2x x y y z z x x y y z zs s s s ss s

Zwei Darstellungen des Vektors :

e e e e e e

s

1

1

1

|

|

|

x

y

z

e

e

e

12

2 T1

12 1 1 1 2 T2 2 2 1

2 T1

12 21 21

x

x y z y

z

Eigenschaften der Transformationsmatrix :

Aufbau der Zeilen- und Spaltenvektoren:

Umgekehrte Koordinatentransformation

mit

e

e e e e

e

s T s T

T

T

12 1 12 T

12

12

ist orthogonal

Sechs Orthonormalitätsbedingungen:

Nur drei der neun Elemente von sind voneinander unabängig

Freiheitsgrad drei der Drehung

Weil die Transformationsmatrix die

T T

T

T

Drehungeines Körpers beschreibt, wird sie auch als Drehmatrix bezeichnet.

Transformation von Vektorkoordinaten











Übersicht



1

0 01 11 1

01 1

0

11 1

( ) ( )

( )

t t

tK

Koordinaten des gedrehten körperfesten Vektors

mitzeitlich veränderliche Koordinaten von im Ausgangssystem

konstante Koordinaten vonim mitgedrehten Syst

r

r T r

r r

r r

1

1 01 0

01

01 0 0 01 1 1

const

( )

( ) ( ) ( ) ( )x y z

K

t

t t t t

em Es gilt

zeitlich veränderliche (3,3)-Drehmatrix

Es gilt

r r

T

T e e e

0x

1x1y

0y

0z

1z

0r

1( )trO

tGedrehte Lage (Zeitpunkt )0t

Ausgangslage (Zeitpunkt )

ODrehung eines Körpers um einen Fixpunkt

Beschreibung von Drehungen durch Transformationsmatrizen (Drehmatrizen)




32O O

2z

2x 32y y

3z

3x

2

2

1z

21x x1y

2z 1

21O O 12y

2 1

1 1

1 1 1 11 1

2 2

22 2 2

3 3

33

1 1

3 2

2 2

22 2 2 2

3 3

1 0 00 cos sin0 sin cos

cos 0

x y z

x y z

K K

K K

Transformation von nach

mit der Drehmatrix

Transformation von nach

mit der Drehmatrix

e e e

e

r T r

r

e e

T

r T

T2

2 2

sin0 1 0

sin 0 cos

Drehung um die - Achse 1x

2sin

2cos

2sin

2cos

2

2

2z

2x

3x

3z

2ze3ze

2xe

3xe

1sin

1cos 1

2z

2ze

2ye

1ye 1y

2y

1z

1ze

11cos

1sin

21O O

32O O

Drehung um die - Achse 2y

Drehmatrizen Beispiele (1)



31 2O OO

32y y

3z

3x

2

2

1z

21x x 1y

2z

1

1

3

2 2

22

3 1

1 1

1 1 22 3

1

33

3

K K

Die Hintereinanderschaltung der zu den Einzeldrehungen gehörendenKoordinatentransformationen liefert die Transformation von nach

mit der Drehmatrix

r T rr T T r

r T rT

2 21 1 2

1 1

1 1 2 2

2 21

1 2 1 1 2

1 2 1 1

3

3

2

2 31 0 0 cos 0 sin0 cos sin 0 1 00 sin cos sin 0 cos

cos 0 sinsin sin cos sin cos .cos sin sin cos cos

T T T

T

Drehmatrizen Beispiele (2)




ExEy

Ez

TCP

Drehung um Querachse Nicken (pitch)

Drehung um Längsachse Rollen (roll)

Drehung um Hochachse Gieren (yaw)

0y

0z

0x

0

EKK

Die Drehmatrix der Drehung des endeffektorfesten Koordinatensystems gegenüber dem raumfesten System kann mit Hilfe von drei aufeinanderfolgenden Drehungen um drei unterschiedliche Achsen in v

- -yxz zyxorgegebener Reihenfolge (Drehungen sind nicht kommutativ! ) beschrieben werden. Dies führt auf die

Definition der (oft auch als bzw. Euler-Winkel bezeichneKardan-Win t, die Benkel ennun gen sind in der Literatur nicht einheitlich).

Orientierung des Endeffektors im Raum




O

z

xy

O

z

xy

O

z

xy

O

z

xy

O

z

xy

90 x1. Drehung:

um -A chse

Ausgangslage

Es werden unterschiedliche Endlagen erreicht!

Nichtkommutativität von Drehungen


90 y1. Drehung:

um -Ac hse

90 x2. Drehung:

um -Ac hse

90 y2. Drehung:

um -Ac hse



Ausgangslage0 3K K Winkel

1. Drehung: um

3 0( )x x Winkel

2. Drehung: um 3 1( )y y Winkel

3. Drehunugm:

3 2( )z z

01

0 01 1


( )

( )

T

r T r

23

2 23 3

cos sin 0sin cos 0

0 0 1( )

( )

T

r T rTransformation der Koordinateneines Vektors r

Drehmatrizen 12

1 12 2

cos 0 sin0 1 0

sin 0 cos( )

( )

T

r T r

0 1x x0x

0y

0z

3x

3y3z

0y

0z1z

1y

3x

3y3z

0x

0y

0z1z

2z

2x

1 2y y

0x

0y

0z1z

3x

2y

3y

2x

2z

3x

3y3z 3z

Kardan-Winkel 1. Definition (xyz-Euler-Winkel)



03

213 13

( )

cos 1 , sin 90 90 .

ijT

T T

Berechnen der Kardan-Winkel aus einer gegebenen Drehmatrix :

1. Zwei Lösungen für aus Auswahl von " ", liefert

2.Die dazu gehörenden Winkel und

T

11 12

33 23

cos , sin ,cos cos

cos , sin .cos cos

90

T T

T T

ergeben sich aus

Für ist die Auflösung nach den Kardan-Winkeln nicht möglich ("Rahmensperre").

3 00 01 12 23 3

0 03 3

03

( ) ( ) ( )

( , , )c cos, s sin

1 0 0( , , ) 0 cos sin

0 sin cos

K K

Die gesamte Koordinatentransformation von nach lautet

mit der resultierenden Drehmatrix (Abkürzungen )

r T T T r

r T r

T

03

cos 0 sin cos sin 00 1 0 sin cos 0

0 0 1sin 0 cos

c c c s s( , , ) c s s s c c c s s s s c .

s s c s c s c c s s c c

T







2x

3x

0x

2y

0y

0z

3z

3y

2z

1z

Lösung "+"Lösung " "

Interpretation der beiden Lösungen:

Auswahl von " ", liefert

213 13cos 1 , sin

90 90 .

T T

0y

0z

0x3x

3y 3z

Darstellung der Rahmensperre bei :

Die Berechnung der Kardan-Winkel aus der Drehmatrix istsingulär (Nenner ).

Die Drehachsen der kardanischen Aufhängung liegen in einer Ebene es ist keine Dre

90

cos 0

hung um die -Achse möglich.3x



Ausgangslage0 3K K Winkel

1. Drehung: um

3 0( )z z Winkel

2. Drehung: um 3 1( )y y Winkel

3. Drehunugm:

3 2( )x x

Transformation der Koordinateneines Vektors r

Drehmatrizen 12

1 12 2

cos 0 sin0 1 0

sin 0 cos( )

( )

T

r T r

23

2 23 3


( )

( )

T

r T r

01

0 01 1

cos sin 0sin cos 0

0 0 1( )

( )

T

r T r

1x0x 0y

0z

3x 3y

3z

0y

1y

3x3y

3z

0x

0y

0z

2z

1x

0x

0y

0z

1x

2y

3y

2z

0x 1y

0 1z z

1 2y y

2x

3x

3y3z

3z

2 3x x

Kardan-Winkel 2. Definition (zyx-Euler-Winkel)




3 00 01 12 23 3

0 03 3

03

,c cos, s sin

cos sin 0( , , ) sin cos 0

0 0 1

( ) ( ) ( )

( , )

K K

Die gesamte Koordinatentransformation von nach lautet

mit der resultierenden Drehmatrix (Abkürzungen )

r T T T r

r T r

T

03

cos 0 sin 1 0 00 1 0 0 cos sin

0 sin cossin 0 cos

c c s c c s s s s c s c( , , ) s c c c s s s c s s s c

s c s c c

T

03

231 31

( )

cos 1 , sin 90 90 .

ijT

T T

Berechnen der Kardan-Winkel aus einer gegebenen Drehmatrix :

1. Zwei Lösungen für ausAuswahl von " ", liefert

2.Die dazu gehörenden Winkel und

T

33 32

11 21

cos , sin ,cos cos

cos , sin .cos cos

90

T T

T T

ergeben sich aus

Für ist die Auflösung nach den Kardan-Winkeln nicht möglich ("Rahmensperre").

Kardan-Winkel 2. Definition (zyx-Euler-Winkel)











Übersicht



Geg.: Lage (Pose) von gegenüberPosition von :

Orientierung :

Lage (Pose) von gegenüber

Position von :

Orientierung :

Ges.: Lage (Pose) von geg

1 00

1 10

01

2 1

12 21

12

2

( )

( )

const

const

K K

O t

t

K K

O

K

r

T

r

T

enüber

Position von :

Orientierung :

0

02 20

02

( )

( )

K

O t

t

r

T

2O2x

2y

2z

1y1z

121yr

121zr

20( )tr

010xr

010zr10( )tr

0x

0y

0z

1x

1O

0O

21( )tr

121xr

010yr

020zr

020xr

020yr


Lage eines Körpers im Raum



2 0

0 0 01 120 10 11 12 13 21

20 10 21 22 23 21

2120 10 31 32 33

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x

y y y

zz z

O K

r t r t T t T t T t rr t r t T t T t T t r

rr t r t T t T t T t

Position von gegenüber :

0 01 120 10 21

2 0

02 01 12

( ) ( ) ( )

( ) ( )

t t t

K K

t t

Orientierung von gegenüber :

r r T r

T T T

2O2x

2y

2z

1y1z

121yr

121zr

20( )tr

010xr

010zr10( )tr

0x

0y

0z

1x

1O

0O

21( )tr

121xr

010yr

020zr

020xr

020yr


Lage eines Körpers im Raum



2 0

0 0 01 120 10 11 12 13 21

20 10 21 22 23

20 10 31 32 33

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x

y y

z z

O K

r t r t T t T t T t rr t r t T t T t T t r

r t r t T t T t T t

Die Gleichung für die Position von gegenüber

21

21

0 0 01 120 10 21( ) ( ) ( )

y

zr

t t t

kann umgeschrieben werden in die äquivalente Matrizengleichung

r r T r

0 01 01 01 0 120 11 12 13 10 21

0 01 01 01 0 120 21 22 23 10 21

0 01 01 01 0 120 31 32 33 10 21

02

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1 1

(

x x x

y y y

z z z

r t T t T t T t r t r



P 01 1

2) ( )t t D P

02 2 0

12 2 1

01

1 0

O KO K

K K

homogene Koordinaten des Punktes inhomogene Koordinaten des Punktes in4,4)-Matrix, transformiert homogene Punktkoordinaten

vom System in das System

PPD

(

01 00 11020 21

0 01 12 2

( ) ( )( )1 11

( ) ( )

t tt

t t

0T

T rr r

P D P

oder


Lagebeschreibung durch (4,4)-Matrizen



2 0

01 00 11020 21

0 01 12 2

2 002 0

( ) ( )( )1 11

( ) ( )

( )

O K

t tt

t t

K K

t

0T

Die Matrizengleichung für die Position von gegenüber

kann um die Gleichung für die Orientierung von gegenüber

T rr r

P D P

T

1 12( )t

erweitert werden. Dies führt auf die (4,4)-Matrizengleichung

T T

02 0 01 0 12 120 10 21

T T T

02 01 12

( ) ( ) ( ) ( ).

1 1 1

( ) ( )

t t t t

t t

0 0 0

T r T r T r

D D D

01

12

02

1 0

2 1

2 0

,,.

K KK KK K

Diese Gleichung verknüpft die (4,4)-Lagematrizen der Koordinatensysteme:Lage (Pose) von gegenüber Lage (Pose) von gegenüberLage (Pose) von gegenüber

DDD


Lagebeschreibung durch (4,4)-Matrizen



01 12 02

1 0

01 01001

2 1

12 12112

, ,, ,

cos sin 0 0sin cos 0 0

0 0 10 0 0 1

0 0 0 1

0 1 0

0 0 0 1

s l

K K

s

K K

Geg.: Ges.:



D D D

T rD

T rD

2 0

01 0 12 1 01 12 01 1 0 02 010 21 21 10 2002 01 12

02

1 0 0 00 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

sin cos 0 coscos sin 0

l

ll

K K


T r T r T T T r r T rD D D

D

sin0 0 1

0 0 0 1

s

0y0O

20r0x

1y

1z

0z1x

1Os

2z

2x

2y

2O

10r 21r

l


Lagebeschreibung durch (4,4)-Matrizen Beispiel 1



1 0

01 010

01

0 1

,0 0 0 1

K K

K K

Wird die Lage (Pose) von gegenüber beschrieben durch die (4,4)-Lagematrix

so wird umgekehrt die Lage (Pose) von gegenüber eschrieben durch dazu inverse (4,4)-Lag

T rD

b10 1

0110 01 1

10 01 T

01 10

1 10 0 01 T 001 10 10

01

.0 0 0 1

ematrix

Mit den Zusammenhängen für die Drehmatrix

und für den umgekehrten Vektor mit der Koordinatendarstellung

lautet die zu

T rD D

T T

r r

r T r T r

D

01 T 01 T 010

10 01 1 .0 0 0 1

inverse (4,4)-Lagematrix

T T rD D


Inverse (4,4)-Lagematrix



Lagebeschreibung durch (4,4)-Matrizen Beispiel 1 (Forts.)

2 0

02 020

02

0 2

02 T 02 T 0

20 02 1

sin cos 0 coscos sin 0 sin

0 0 10 0 0 1

0 0 0 1

K K

ll

s

K K

Aus der (4,4)-Lagematrix von gegenüber

folgt die dazu inverse Lagematrix von gegenüber

T rD

T TD D

20 2

0220

20

0 0 0 10 0 0 1

sin cos 0 0cos sin 0

.0 0 1

0 0 0 1

ls

T rr

D

0y0O

20r

0x

1y

1z

0z1x

1Os

2z

2x

2y

2O

10r 21r

l

02r




1x

2O

1y

1z

1O

3O

3x

3y

3z

3

7

8

4

51

2

2z2x

2y

4y

4O

4z

4x

12 13 34

21

24

,

, ,

Geg.:Abmessungen, Winkel

Ges:a) Lagematrizen

b) Lagematrix

c) Lagematrix

D D D

D

D


Lagebeschreibung durch (4,4)-Matrizen Beispiel 2










Übersicht



i

i

i

i K

z i

x

Dem -ten Armsegment wird das körperfeste Koordinatensystem wie folgt zugeordnet:

-Achse wird mit frei wählbarem Richtungssinn in die Achse des Gelenks gelegt

-Achse wird in das gemeinsame Lot

1

1

1

i i

i i

i i

i

i

z zz z

z zx

y

der - und der -Achse gelegt.Sie wird von der - zur -Achse gerichtet.Falls sich die - und -Achsen schneiden, ist der Richtungssinn der -Achse frei wählbar.

-Achse Ergänzung zu

1

i i i

i i

i i

O x zz z

O z

m Rechtssystem.

Ursprung wird in den Schnittpunkt der - und der -Achse gelegt.Falls die Gelenkachsen - und parallel sind, ist die Lage von auf der -Achse nicht bestimmt und fr

ei wählbar.

Denavit J, Hartenberg R S: A Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms Based on Matrices.ASME Journal of Applied Mechanics 22 (1955), 201-222.

Denavit-Hartenberg-Parameter (DH-Parameter) ermöglichen die standardisierte geometrischeBeschreibung von kinematischen Ketten durch eine minimale Anzahl von Abmessungen:


Denavit-Hartenberg-Parameter Definition (1)



1

1

i i

i i i

K K

x x

Die Lage (Pose) des Koordinatensystems gegenüber dem System wird durch die vier DH-Parameter beschrieben:

Winkel zwischen der - und der -Achse, gemessen im mathematisch positiv

1

i

i i i

i

i i i

z

s x xz

z z

en Sinn um die -Achse (vorzeichenbehaftet).

Abstand zwischen der - und der -Achsegemessen in Richtung der -Achse (vorzeichenbehaftet).

Kreuzungswinkel zwischen der - und der

,

1

1

1

1

i

i i i

i

x

d z zx

-Achse, gemessen im mathematisch positiven Sinn um die -Achse (vorzeichenbehaftet).

Kreuzungsabstand zwischen der - und der -Achsegemessen in Richtung der -Achse (vorzeichenbeha

,

1

1 0i

i i i

xz z d

ftet)Da die -Achse so gewählt wurde, dass sie von der - zu der -Achse zeigt, ist .


Denavit-Hartenberg-Parameter Definition (2)



iz1,i ir

ix

iy

1iy

1ix

1iO

iOi

i

id

is

1iArmsegment

iArmsegment

iGelenk

, 11,

, 1

cos sin cos sin sin cossin cos cos cos sin sin

0 sin cos0 0 0 1

0 0 0 1

i i i i i i ii i i

i i i i i i ii ii i

i i i

dd

s

T rD

1iGelenk

1iGelenk

1iz

1i iK KLage (Pose) von gegenüber


Denavit-Hartenberg-Parameter Drehgelenk



ixiO

i

iz1,i ir

iy

1iO

i1iz

1ix

1iy

id

is

iArmsegment

1iGelenk

iGelenk 1iArmsegment

1iGelenk

, 11,

, 1

cos sin cos sin sin cossin cos cos cos sin sin

0 sin cos0 0 0 1

0 0 0 1

i i i i i i ii i i

i i i i i i ii ii i

i i i

dd

s

T rD

1i iK KLage (Pose) von gegenüber


Denavit-Hartenberg-Parameter Schubgelenk










Übersicht



23 4

1x 1y

1z

1O

Ez

Ex

EO

1

n

q

q

Roboterkoordinaten



q1

6

E

E

y

y

Weltkoordinaten



ry


( )y f q

, ( )EE Er T

2q

nq

1nq

1q

3q

2nq

1

Ey


Vorwärtstransformation bei seriellen Robotern



2 4

56

3s

1z1Er

1x1y

Ez3s

2s

1s

2z

2x

3z3x

3O

2O

6s

1z

1O1x 1y

Ex

EO

EyEz

4x4z

6z6x

5z

1 variabel 400mm 90 0mm


3 0 variabel 0 0mm




i i i ii s d

12

3

4

5

6

7

1O

5x 5 64O O O

EO

1


Denavit-Hartenberg-Parameter Beispiele (1)



1 1

1 112

2 2

2 223

34

3

cos 0 sin 0mmsin 0 cos 0mm

,0 1 0 400mm0 0 0 1


,0 1 0 250mm0 0 0 1

1 0 0 00 1 0 0

,0 0 10 0 0 1

s

D

D

D

4 4

4 445

5 5

5 556

6 6

6 667


,0 1 0 0mm0 0 0 1


,0 1 0 0mm0 0 0 1

cos sin 0 0mmsin cos 0 0mm

.0 0 1 340mm0 0 0 1

D

D

D

7 1

17 17117 12 23 56 67 .0 0 0 1

EK K K

Lage (Pose) von gegenüber :

T rD D D D D


Denavit-Hartenberg-Parameter Beispiele (2)

1 , 1, , 6 :i iK K i Lagematrizen von gegenüber



2 3

12 23 34 14

4

,

, , ,

K K

K4

Geg.: Abmessungen

Ges: a) Fehlende Achsen der Koordinatensysteme

b) DH-Parameter

c) (4,4)-Lagematrizen

d) Jacobi-Matrix des Systems (siehe Kapitel 3)

D D D D

J

Grundlänge 1z

4O

2z

1O

4z

2

3z

4x

4y

P

1x1y

2

3s

1O

EOEx

EyEz

1z

1x

3

1

2

2z

3z

1y

2 2

3


Denavit-Hartenberg-Parameter Aufgaben










Übersicht



2

3 4

1x 1y

1z

1O

Ez

Ex

EO

, ( )EE Er T

2q

nq

1nq

1q

3q

2nq Ey

1


Rückwärtstransformation bei seriellen Robotern


Roboterkoordinaten1

n

q

q

q


Weltkoordinaten1

6

E

E

y

y

ry


1( )q f y

Im Fall ist der Roboter :Die Rückwärtstransformation hat unendlich viele Lösungen.Anschaulich: Die kinematische Kette kann bei festgehaltenem Endeffektor bewegt wer

dim dimn q y kinematisch redundant

den.



analytische Verfahren numerische (iterative) Verfahren

Newton-Raphson Verfahren

inkrementelle Rücktransformation

nichtlineares algebraisches Gleichungssystem für dieRoboterkoordinaten q

1

1

1

6

( , ) 0

( ,

,

)( , ) 0,

n

n

q qg

qg q

0

Bestimmungsgleichungen für die Rückwärtstransformationy

yy

qg

Algebraischer Ansatz

Geometrischer Ansatz

Schwierigkeiten bei der Rückwärtstransformation:

Mehrdeutigkeit der Lösungen:Zu einer gegebenen Endeffektorlage gibt es mehrere Lösungen.

An den Grenzen des Arbeitsraums treten Sin

gularitäten auf.

Analytische Lösungen, die wegen des Berechnungsaufwandes angestrebt werden, existieren nur in speziellen Fällen (bei den meisten Industrierobotern trifft dies zu).


Lösungsverfahren für die Rückwärtstransformation



!12 231 2 6

6

6

( ) ( ) ( )Eq q q

n

Für einen - achsigen Roboter gelten die folgenden 12 Bestimmungsgleichungen für die Roboterkoordinaten , von denen sechs voneinander unabhängig sind:

D

q

D D


1

, 1 1

!12 23 6 1

!23 6 12 1 1

!6 56 1 23 1 12

1 2 6

2 6 1

6 21 1

2 1

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E

i i

E E

E E

E E

q q q

q q q

q q q q

Weitere Gleichungen werden durch Multiplikation mit von links erhalten :

Die

D y

D

D D D D y

D D D D y

D D D D D y

Auswahl günstiger Gleichungen für die analytische Auflösung nach den Roboterkoordinaten ist i. Allg. schwierig.

Durch geometrische Überlegungen können häufig Bestimmungsgleichungen gefunden werden, die nach den gesuchten Gelenkkoordinaten auflösbar sind.



Analytische Lösungsverfahren für die Rückwärtstransformation



1 2 3T

1 2 3

3

, ,[ ]

, ,

E E E

n

d d dx y

Ebener Roboter mit Achsen

Geg: AbmessungenEndeffektorlage

Ges: Gelenkwinkel

y

12 1 2 12 1 2

123 1 2 3 123 1 2 3

1 1

123 123 1 1 2 12 3 123

123 123

c cos( ), s sin( ),

c cos( ), s sin( )

( ) ( )

c s 0 c c cs c 0

E E

d d d

Mit den Abkürzungen

lauten die Bestimmungsgleichungen

D Dq y


1 1 2 12 3 123

c s 0s c 0s s s0 0 10 0 10 0 0 10 0 0 1

E E E

E E E

xyd d d

00

1x

1y

Ey

Ex

E

2d

3d

1O 2O

3O

EO

1d2

3

1


Beispiel zur Rückwärtstransformation Algebraischer Ansatz



31

31

1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 1 1

1 1 2 12 3 123 2 12 3 123 1 1

c c c c c c

s s s s s s

E E

E E

x

y

d d d x d x d d

d d d y d y d d

Die (1,4)- und (2,4)- Bestimmungsgleichungen

werden quadriert und addier2 2 2 2

31 1 1 31 1 1 31 31 1 2

(1) (2)1 1 1

( ) ( ) ( )

2 cos 2 sin 0.

,

A B C

x d y d x y d d

t,

Diese Bestimmungsgleichung für liefert entsprechend der folgenden Folie zwei Lösungen

Für je

y y y

.

2

2

(1,2)1

2

11 2 31 1 1

11 2 31 1

cos( ) ( )

sin( ) (

d

d

x d c

y d s

den der berechneten Winkel können mit Hilfe der (1,4)- und (2,4)- Bestimmungsgleichungender dazugehörende Winkel eindeutig berechnet werden,

(1,2)2

1

123

1 2 3123

3

(1,2) (1,2) (1,2)3 1 2

.)

c c.

s s

.

E

EE

E

Die (1,1)- und (2,1)-Bestimmungsgleichungen ergeben

womit eindeutig der Winkel erhalten wird,

Der Auflösungablauf ist :

y(2)1

(1)1

(2)2

(1)2

(2)3

(1)3 1. Konfiguration

2. Konfiguration





1O(1)1

(2)1

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2

cos 0

( cos ) ( sin )

cos 2 cos sin

1 cos

( )cos 2

A B C

A C B

A AC C B

A B A

Die Bestimmungsgleichung (Index 1 bei weggelassen)

sin

wird zur Auflösung nach umgestellt und quadriert

2 2

2 2 2(1,2)

2 2

2 2 2(1,2)

cos ( ) 0.

cos

cos .

cos sin 0

sin

C C B

AC B A B CA B

A B C

BC A A B CA

Diese quadratische Gleichung in liefert zwei Lösungen

Einsetzen dieser Lösungen in die Ausgangsgleichung ergibt

2 2

(1) (2)

(1) (2)(1) (2)

(1) (2)

.

cos cos.

sin sin

B

Damit liegen zwei Lösungen im Intervall vor: ,

Die beiden Lösungen entsprechen denbeiden Konfigurationen der kinematischen Kettebei gegebener Endeffektorlage.

3O2d

1d

1d

2d


Auflösung von A cosβ + B sinβ + C = 0



E

1O

3O

Insgesamt liegt damit der folgende Auflösungablauf vor:

y(2)1

(1)1

(2)2

(1)2

(2)3


2. Konfiguration

Die beiden Lösungen für die Gelenkwinkel entsprechen den beiden möglichen der kinematischen Kette:

Konfigurationen

(1)1

(2)1

(1)2

(2)3

(1)3

(2)2

EO

(1)2O

(2)2O

1x

1y

Ey

Ex





1 2 3T

1 2 3

3

, ,[ ]

, ,

E E E

n

d d dx y

Ebener Roboter mit Achsen

Geg: Abmessungen Endeffektorlage

Ges: Gelenkwinkel

y

2 2 3

!31 21 21

31 1 12

( )

( ( ) )

d O O

d

1

Der Abstand der Punkte und kann in Abhängigkeitder gegebenen Endeffektorkoordinaten und des Gelenkwinkels β ausgedrückt werden,

( )

( )

y

r y

y

r

r r


!2 22

!2 231 21 2

2 T 2 231 31 21 21 2

1 1 31 321 21 31 31 1

2 2 231 1 1 31 1 1 31 31

1

1 2

( ( ) ) 0

2 0

cos cos, sinsin

2 cos 2 sin

( ) ( )

E E

E E

d

d

d

d x x dy y dd

x d y d x y d d

A B

( )r r

r r r

y

r

r r

y y

mit

2

(1) (2)1 1

0

( )

,

C

2 Lösungen , siehe folgende Folie

y1x

1y

2d

3d

1O 2O

3O31r

EO

21r

1x

1y

Ey

Ex

E

2d

3d

1O 2O

3O

EO

1d2

3

1

31y

31x1


Beispiel zur Rückwärtstransformation Geometrischer Ansatz



1O (1)1

(2)1

(1)2

(2)3

(1)3

(2)2

(1,2)1

32

(1,2)31 1 1(1,2) (1,2)

32 31 211 1 (1,2)31 1 1

(1,2)1

cos( ) ( )

sin

x d

y d

Für jeden der berechneten Winkel kann der dazu gehörende Vektor berechnet werden,

Zu jedem ergibt sich der da

r

r r r

2

T21 32(1,2)

11 2 (1,2)

2T21 32(1,2)

11 2

3

T32 3

32 3

T32 3

32 3

cos

( )sin

cos

( )sin

z

E

E z

d d

d d

d d

d d

zugehörende Winkel eindeutig aus

und der dazugehörende Winkel eindeutig aus

r r

r r e

r r

r r e

(1,2)3

nsgesamt ergibt sich der dargestellte Auflösungsablaufzur Berechnung der beiden Lösungen.I y

(2)1

(1)1

(2)2

(1)2

(2)3


2. Konfiguration y

(2)1

(1)1

(2)2

(1)2

(2)3


Auflösungsablauf

21r32r

3O

EO

(1)2O

(2)2O


Beispiel zur Rückwärtstransformation Geometrischer Ansatz



1d

2d3d

1 2 3d d d

1 2 3d d d

1 2 3d d d Lage-Arbeitsraum (dextrous workspace) Gesamtheit aller erreichbaren Lagen (Position und Orientierung) des Endeffektors

Positions-Arbeitsraum (reachable workspace) Gesamtheit aller vom TCP erreichbaren Punkte bei eingeschränkter Orientierung des Endeffektors

TCP

Weitere Einschränkung der Arbeitsräume ergeben sich durch die begrenzten Schwenkwinkel der Gelenke.


Ebener Dreigelenkroboter Arbeitsraum



Seitenansicht Draufsicht


Arbeitsraum Vertikaler Knickarm-Roboter



singuläre Stellung

Ziel

Start

1

2

Hindernis

Bahn II

Bahn I

1

2

2min

2max

1max1min

Start

IZiel

IIZiel

"Arm rechts"

"Arm links"

singuläre Stellung

Bahn I

Bahn II

Die Zielposition kann wegen des Hindernisses nur in der Konfiguration "Arm links" erreicht werden.Befindet sich die kinematische Kette zu Beginn der Bewegung in der Konfiguration "Arm rechts", so ist sie in die Konfiguration "Arm links" zu überführen. Hierbei ist ein Durchgang durch die singuläre Stellung erforderlich.

Konfigurationen

Beispiel


Berücksichtigung der Konfiguration bei der Bahnplanung



Zu jeder der vier dargestellten Konfigurationen gehören zwei mögliche Orientierungen des Handgelenks.

Insgesamt gibt es damit acht Konfigurationen.

Auflösungsablauf

1

1. Konfiguration 2. ‘‘ 3. ‘‘ 4. ‘‘ 5. ‘‘ 6. ‘‘ 7. ‘‘ 8. ‘‘

21 43 65

y

4 5 6, ,

3

2


Konfigurationen eines vertikalen Knickarmroboters

Robotertechnik 3 Jacobi-Matrix 3.1


3 Geschwindigkeit und Beschleunigung 3.1 Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse

3.2 Allgemeine Bewegung eines Körpers im Raum

3.3 Jacobi-Matrix, singuläre Lagen

3.4 Kinematisch redundante Roboter

3.5 Jacobi-Matrix und Kräfte

Übersicht



O

z

x

y

r

y

x

P

ze

sinr

Betrachtet wird die Drehung eines starren Körpers um die raumfeste -Achse mit dem zeitlich veränderlichenDrehwinkel .

Die eines Körperpunkts wird beschrieben durch den Ortsvektor mit

( )

( )

zt

Pr t

Lage den Koordinaten im raumfesten System ,

mit , .

Der Punkt bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius

( ) sin cos ( )( ) ( ) sin sin ( )

cos( )

cos constz

Oxyz

x t r tt y t r t

rz t

r

P

r

r e r

um die Drehachse.

sinr

3.1 Drehung eines Körpers um eine raumfeste Achse

z

Bahn von P

Drehung um eine raumfeste Achse



y

xy

xO

Psinr

v

(3.1)

sin cos ( ) sin sin (00 sin sin ( )

cos( )

z

r t r

r trt

e

v r

v

b) Mit dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit

gilt die Vektorgleichung

Die Auswertung in Koordinaten ergibt)

sin cos ( ) ( )0

t

r t t

O

x

y

r

r v

y

x

P

ze

sinr

z

Die Geschwindigkeit von kann auf zwei Arten berechnet werden: a) Ableiten der Koordinaten von nach der Zeit ( )

( ) sin sin ( )( ) ( ) ( ) sin cos ( ) ( )

0( )

x

y

z

Pt t

v t r tt t v t r t t

v t

r

r v

Eigenschaften des Geschwindigkeitsvektors : Betrag :

proportional zum Abstand von von der Drehachse

Richtung : parallel zur -Ebene, senkrecht zur Drehachse

2 2 2

sin

00

x y z

z

v v v v

v r v P

v xy

v

v

vr v v

senkrecht auf r





O

1 1v r

Die Geschwindigkeitsvektoren der Körperpunkte definieren ein Vektorfeld (Geschwindigkeitsfeld) mit den folgenden Eigenschaften:

Betrag proportional zum Abstand des jeweiligen Punktes von

i

i i iv r

v

v

der Drehachse: .

Richtung von senkrecht auf der Verbindungslinie von der Drehachsezum jeweiligen Punkt

Richtungssinn von nach der Rechtsschraubenregel.

i i

i

i

v r

v

v

2 2v r

2r 1r

ir

iv





Die Größen Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl sind zu unterscheiden:

Winkelgeschwindigkeit zeitliche Änderung des Drehwinkels

Winkel 1 radZeit s s

UmdrehungenZeit

n

Dimension Einheit

Drehzahl (Drehfrequenz) Anzahl Umdrehungen pro Zeiteinheit

Umrechnung

entspricht

also

Beispiel: Die Drehzahl

entspricht der Winke

1 UHzs s

1 11 1 Hz 2s s

2

(U) (U)120 2 2 Hzˆ

min s

n

n

n

lgeschwindigkeit

1 12 2 = 12,56s s

Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl




y

xO

P

Die Beschleunigung von kann auf zwei Arten berechnet werden:

a) Ableiten der Koordinaten von nach der Zeit :

Tangential-t

( )

sin sin sin cossin cos si

0

P

t t

r rr r

v

a v

a

Normal-

b) Zeitableitung der Vektorgleichung :

(Produktregel)

mit und dem Vektor der Winkelbeschleunigung .Damit gil

2

n

n sin0

z

a

v r

a v r r

r r e

t für die Beschleunigung von die Vektorgleichung

Die Auswertung dieser Vektorgleichung in Koordinaten ergibtt n

( ) (3.2)

sin cos0 00 sin sin 0

cos

P

rr

r

a r ra a

a

2

sin cos00 sin sin

cos

sin sin sin cossin cos sin sin

0 0

rr

r

r rr r

a

Beschleunigung

na

ta

a

O

x

y

r

y

x

ze

z

,

na

ta

a

P

Drehung um eine raumfeste Achse Beschleunigung









Übersicht



Wie bei der ebenen Bewegung ist, vgl. Folie 2.12,

Die zeitliche Änderung des körperfesten Vektors wird mit dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit ausged

P Q PQ

P Q PQ

PQ

P

r r rv v r

r

Geschwindigkeit von

rückt,

Damit ist

Die zeitliche Ableitung von ergibt die Beschleunigung von ,

mit

.

(3.3)

( ) (3.4)

PQ PQ

P Q PQ

P

P Q PQ PQ PQ PQ

P Q PQ PQ

PP

r

r r

v v r

v

v v r r r

a a r r

Beschleunigung von

Qv

PQr Pv

O

x

y

z

P

Q

PQr

Qr

Pr

Allgemeine räumliche Bewegung




x

y

1

2d

1d

Geg: Armlängen Gelenkwinkel Gelenkwinkelgeschwindigkeiten

Ges: Ortsvektor von Geschwindigkeit von Beschleunigung von

1 2

1 2

1 2

3 3

3 3

3 3

,,

,

d d

OOO

rva

mit

, zwei Berechnungswege:

3

1 1 2 1231

31 21 32 31 1 1 2 12 12 1 2

31

2

cos cossin sin

0

O

d dxy d dz

P

r r r

Ortsvektor von

Geschwindigkeit von

a) Berechnung durch Zeitableitung der Ortsv

im raumfesten Koordinatensystem entsprechend

mit 1 1 1 12 2 12

31 3 1 1 1 12 2 12 12 1 2

sin sin

cos cos0

d d

d d

r v

ektorkoordinaten

2

Armsegment : Drehbewegung um Armsegment : Allgemeine ebene Bewegung

112

O

1

2

x

y

131x

31y

2

1

2

1O

2O

3O

1O2O

3O

2O3O

32r

21r

31r

Beispiel Roboter mit zwei Drehgelenken




Die Drehung des Armsegments um liefert gemäß die Geschwindigkeit von

mit

Die Auswertung dieser Vektorgleichung ergibt

1

2

2 1 21 1 1

2

1

1 (3.1)

00

z

OO

v r w e

v

b) Vektorielle Berechnung

Am Armsegment gilt der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten der Körperpunkte und

mit der absolu

1 1 11 1

1 1 1 1 1

21

2 3

3 2 2 32

sincossin cos

0

2 (3.3)

ddd d

z

O O

v v r

ten Winkelgeschwindigkeit von Armsegment

.

Die Auswertung der Vektorgleichung ergibt

2 1 2 12

3 2 2 32

1 1 1 2 12

3 1 1 1 2 12

12 21

2

( )

sin cos0cos 0 sin0

z z

d dd d

z

e e

v v r

v

1 1 1 12 2 12

1 1 1 12 2 12

sin sin

cos cos0

d d

d d

x

y

2 32r

1O2O

3O

3v

2v

32r

21r

2 1 21 v r

1

2





, zwei Berechnungswege:

im raumfesten Koordinatensystem2

1 1 1 12 2 12

2 2 1 1 1 12 2 12

sin sin

cos cos0

P

d d

d d

v a

Beschleunigung von

a) Zeitableitung der Geschwindigkeitskoordinaten

mit

Die Drehung des Armsegments um liefert gemäß die Beschleunigung von

2 21 1 1 12 2 12

2 21 1 1 12 2 12 12 1 2

1

1 1

cos cos

sin sin0

1 (3.2)

d d

d d

O P

a

b) Vektorielle Berechnung

mit

1 1 1 1 2 1 2 12

1 1 11 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 120 20

( ) ( )

sincos cos0 0 00 sin 0 0 sin

z z

dd dd d

z z

r r e e

a

Am Armsegment gilt der Zusammenhang zwischen den Beschleunigungen von und

mit

21 1 1

21 1 1 1 1 1

1 2

2 1 2 12 2 2 12 1 1

2

cos

cos sin0 0

2 (3.4)

( ) z

d

d d

P P

a a r r e

a

212 2 12 12 2 12 12 2 12

1 2 12 2 12 1 12 2 12

12 12 1220 20

sin coscos cos0 0 00 sin 0 0 sin cos

0

d dd dd d d

z z

a a

2

212 2 12sin

0d







3.3 Jacobi-Matrizen, singuläre Lagen



Übersicht



x

y

2d

1d

1

2

1O

2O

3 EO O

ExEy

EK

Bei dem ebenen Zweiarm-Roboter aus Folie 3.9 f werden die translatorische und rotatorische Geschwindigkeit des Endeffektor-Koordinatensystems auf dem Armsegment 2 betrachtet.

a) Winkelgeschwindigkei

1 2

1 2

1

2rot

E E

E z z

E z z

E

Ex

K

e e

e e

J

t von Sie ist die Summe Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten und , also

In Matrizenform lautet diese Gleichung

oder ausgeschrieben

1

2

rot

rot

0 00 01 1

Ey

Ez

EE

E

EK

J

J

Die Matrix wird als die des Koordinatensystems bezeichnet. Sie bildet die Gelenk-Winkelgeschwind

Jacobi - Matrix der Rotation

T1 2[ ]

E

igkeiten in den

Winkelgeschwindigkeitsvektor ab.

1

2


Jacobi-Matrix der Rotation



a) Geschwindigkeit von Wird in der vektoriellen Berechnung von von Folie 3.10

mit in

mit

eingesetzt, so ergibt sich

3

2 1 21 1 1

2 2 1 2

1 21

( )

(

E E

E

z

E E E E z

E z

K

v

v vv r e

v v r e

v e r

Diese Darstellung zeigt die Beiträge der Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten und

1 2 2

1 21 2 2 2

1

1 1 2 2

(1) (2)

1 2

)

( )

z E

E z E z E

E

E z E z E

E E

e r

v e r r e rr

v e r e r

v v

zur Geschwindigkeit :

Geschwindigkeit von auf Grund der Gelenk-Winkelgeschwindigkeit

1 1 2 12(1)

11 1 1 1 2 12 1

2 12(2)

2 2 2 12

sin sincos cos

0

sincos0

E

E

z EE

z EE

Od dd d

dd

v

v e r

v e r

Geschwindigkeit von auf Grund der Gelenk-Winkelgeschwindigkeit 22

EO

1x

1y

2Er

21r

Ev(1)

1 1z EE v e r

1O2O

3 EO O (2)2 2z EE v e r

1Er

1

2


Jacobi-Matrix der Translation



11 2

2tr

1 1 2 12 2 12

1 1 2 12 2 12

sin sin sincos cos cos

0 0

E z E z E

E

Ex

Ey

Ez

E

d d dvv d d dv

v e r e r

J

v

In Matrizenform lauten diese Gleichungen

oder ausgeschrieben

1

2

tr

tr

E

E

EK

J

J

Die Matrix wird als die des Koordinatensystems bezeichnet. Sie bildet die Gelenk-Winkelgeschwindigkeite

Jacobi - Matrix der Rotation

T1 2[ ]

E

v

n in den Geschwindigkeitsvektor ab.

1x

1y

2Er

21r

Ev(1)

1 1z EE v e r

1O2O

3 EO O (2)2 2z EE v e r

1Er

1

2


Jacobi-Matrix der Translation



EKDer Rang der Jacobi-Matrizen kennzeichnet die Anzahl der unabhängigenrotatorischen bzw. translatorischen Bewegungsmöglichkeiten von in der betrachteten Stellung des Roboters.

a) Der Rang der Jacobi-M

rot

1

2

rot

0 00 01 1

E

Ex

Ey

Ez

EE

EK

J

J

atrix der Rotation in

beträgt eins, entsprechend der beiden linear abhängigen Spaltenvektoren. Dies bedeutet, dass eine

tr

1 1 2 12 2 1

1 1 2 12

sin sin sincos cos

0

E

Ex

Ey

Ez

E

z

d d dvv d dv

J

v

unabhängige rotatorische Bewegungs-möglichkeit (Drehung um die -Achse) besitzt.

b) Der Rang der Jacobi-Matrix der Translation in

21

2 122

tr

(1) (2)

cos0

E

EE E

d

K

J

v v

beträgt zwei, entsprechend der beiden linear abhängigen Spaltenvektoren und . Dies bedeutet, dass zwei unabhä

,x yngige translatorische

Bewegungsmöglichkeiten (Translation in der -Ebene) besitzt.

1x

1y

2Er

21r

Ev(1)

1 1z EE v e r

1O2O

3 EO O (2)2 2z EE v e r

1Er

1

2


Bedeutung der Jacobi-Matrizen



EKDer Rang der Jacobi-Matrizen kennzeichnet die Anzahl der unabhängigenrotatorischen bzw. translatorischen Bewegungsmöglichkeiten von in der betrachteten Stellung des Roboters.

a) Der Rang der Jacobi-M

rot

1

2

rot

0 00 01 1

E

Ex

Ey

Ez

EE

EK

J

J

atrix der Rotation in

beträgt eins, entsprechend der beiden linear abhängigen Spaltenvektoren. Dies bedeutet, dass eine

tr

1 1 2 12 2 1

1 1 2 12

sin sin sincos cos

0

E

Ex

Ey

Ez

E

z

d d dvv d dv

J

v

unabhängige rotatorische Bewegungs-möglichkeit (Drehung um die -Achse) besitzt.

b) Der Rang der Jacobi-Matrix der Translation in

21

2 122

tr

(1) (2)

cos0

E

EE E

d

K

J

v v

beträgt zwei, entsprechend der beiden linear abhängigen Spaltenvektoren und . Dies bedeutet, dass zwei unabhä

,x yngige translatorische

Bewegungsmöglichkeiten (Translation in der -Ebene) besitzt.

1x

1y

2Er

21r

Ev(1)

1 1z EE v e r

1O2O

3 EO O (2)2 2z EE v e r

1Er

1

2


Bedeutung der Jacobi-Matrizen



Mit Hilfe der Jacobi-Matrizen können die Vorwärts- und Rückwärts-transformationen auf Geschwindigkeitsebene berechnet werden.

Im vorliegenden Fall des ebenen Zweiachsroboters wird der Zusammenhang zwis 1 2

T1 2

,

[ ]

Ex Ey Ev v Ox y

chen den Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten , und den Geschwindigkeitskomponenten , des Punktes in der -Ebene betrachtet.

Geg.: Gelenkwinkel Gelenk-Wi

a) Vorwärtstransformation

T1 2

T

tr

1 1 2 12 2 12

1

[ ]

[ ]

sin sin sincos

E Exy Ex Ey

Exy

Ex

Ey

Exy

O v v

v d d dv d

v

J

v

nkelgeschwindigkeiten .

Ges.: Geschwindigkeit von , .

Mit der "ebenen" (2,2)-Jacobi-Matrix gilt der Zusammenhang

1

1 2 12 2 12 2

tr

cos cos

Exy

d d

J

1x

1y

2Er

21r

Ev(1)

1 1z EE v e r

1O2O

3 EO O (2)2 2z EE v e r

1Er

1

2


Koordinatentransformation auf Geschwindigkeitsebene



Geg.: Gelenkwinkel Geschwindigkeit von , .

Ges.: Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten .

Ist die Jacobi-Matrix regulär, kann das lineare G

T1 2

T

T1 2

tr

[ ][ ]

[ ]

E Exy Ex Ey

Exy

O v v

v

J

b) Rückwärtstransformation

leichungssystem nach aufgelöst werden,

Mit der Determinante der Jacobi-Matrix

tr

1tr

1 1 2 12 2 12tr

1 1 2 12 2 12

1 2 1 12 1 1

sin sin sincos cos cos

(cos sin sin cos

Exy Exy Exy

Exy Exy

Exy

d d dD d d d

D d d

v J v

J v

J

lautet die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel2 1 2 12 1 1 2 2

2 12 12 121

2 12 1 2

1 1 2 12 1 1 2 122

1 1 2 12

) sin( ) sin

sin cos sin1cos sin

sin sin ( cos cos1cos cos

Ex Ex Ey

Ey

Ex Ex

Ey

d d d d

v d v vv dD d

d d v v d dd d vD

Die Auflösung nach ist nicht möglich für , also oder . Eine solche Lage eines Roboters wird als bezeichnet.

1 1 2 12

1 2 2

2 2 2

) ( sin sin )sin

sin 0 0

Ey

Exy

v d dd d

v singuläre Lage


Koordinatentransformation auf Geschwindigkeitsebene



Betrachtet wird die des ebenen Zweiarmroboters gemäß Folie 3.19

oder .

Der Rang der Jacobi-Matrix der Translation bzw. bei ebener Betrachtung in

2 2 2

tr

tr

sin 0 0

E

Exy

Exy z

JJ

v e

singuläre Lage

reduziert sich von zwei auf eins.

Die Beiträge der Gelenk-Winkelgeschwindigkeiten

und

zeigen die gleiche Ri

11 2

2tr

(1) (2)1 1 2 2

E z E

Exy

z E z EE E

r e r

J

v e r v e r

chtung. Dies bedeutet, dass der Punkt nur noch in diese Richtung bewegt werden kann.Die Bewegung in die senkrecht dazu stehende Richtung ist gesperrt.

Die singulären Lagen typischer Industrieroboter

EO

werden in den Folien 3.23 - 3.25 angegeben.

1

2

1O2O

EO

2 2z E e r

2Er

1Er2d1d

1 1z E e r

Ev1y

freie Richtung

gesperrte Richtung


Singuläre Lage des Roboters



Die Winkelgeschwindigkeit und die Geschwindigkeit des Endeffektor-Koordinatensystemssetzen sich additiv aus den Anteilen auf Grund der relativen Gelenkgeschwindigkeiten zusammen:

1

E E E

i

E

K

v

u

2 3 41 2 4 5 6

1 1 2 2 3 4 4

5 6

1 2 3 4 5 5 6 65 6E E E E E E

s

s

u u u u

v u r u r u u r u r u r

0

1

2 4 5

6

3s

1O

EO

1Er

1x 1y

2Er

4 5 6E E E r r r3 4u u

2u

1u

Ev

E5u

Dreh- Dreh- Gelenk

Betrachtet wird ein Roboter mit fünf Drehgelenken(GelenkwinkelAchs -Einheitsvektoren )und einem Schubgelenk(Verschiebung Achs -Einheitsvektor ).

1 2 4 5 6

1 2 4 5 6

3 3

, , , ,, , , ,

s

u u u u u

u

,

,

Dreh-Dreh-Dreh- Schub-


Jacobi-Matrix eines allgemeinen seriellen Roboters



rot

1

2

31 2 4 5 6

4rot

5

6

tr

E

E

E

E

s

J

u u u u u

J

q

J

Die (3,6)-Jacobi-Matrix der Rotation ergibt sich aus

Die (3,6)-Jacobi-Matrix der Translation

0

1

2

31 1 2 2 3 4 4 5 5 6 6

4tr

5

6

E E E E E E

E

s

v u r u r u u r u r u r

J

q

ergibt sich aus

i

i

u

Der -te Spaltenvektor ist bei einem

Drehgelenk: Achs-Einheitsvektoren

Schubgelenk: Nullvektor 0

i Ei

Ei

E

i

i

iO

u rr

u

Der -te Spaltenvektor ist bei einem

Drehgelenk: Vektor mit demVektor von der -ten Gelenkachse zum Punkt

Schubgelenk: Achs-Einheitsvektor


Jacobi-Matrix eines allgemeinen seriellen Roboters



1

2

4s

3

1u2u

3uE

Die Drehachsen liegen in einer Ebene

Die Translation des Endeffektors in der Ebene ist nicht möglich.Der Freiheitsgrad des Endeffektors reduziert sich von vier auf drei

1 2 3, EE

u u u , Singuläre Lage

.

Der Freiheitsgrad des Endeffektors ist 4f . Reguläre Lage der kinematischen Kette


Singuläre Lagen SCARA-Roboter



liegen in einer EbeneDrehung um die Achse senkrecht von nicht möglich

4 5 6 E

Eu u u, ,

2. singuläre Lage (Handachsen - Singularität)

1O

1

2

3s

4

5

6

4O

3u

2u

1u

E

4u5u

6u

liegt in der Ebene von und Translation in Richtung von nicht möglich

4 1 2

2

O

u uu

1. singuläre Lage

Der Freiheitsgrad des Endeffektors ist 6f Reguläre Lage der kinematischen Kette


Singuläre Lagen Zylinderkoordinaten-Roboter



und liegen in einer EbeneTranslation in Richtung von nicht möglich

2 3 4

34

O Eu u

r,

2. singuläre Lage

2Er

1

2

3

4

56

2u3u

4O34r

E

4u 5u

6u

4O

2u

3u

2u

1uE


Singuläre Lagen Vertikaler Knickarm-Roboter

liegt in der Ebene von und Translation in Richtung von nicht möglich

4 1 2

2

O

u uu

1. singuläre Lage

liegen in einer EbeneDrehung um die Achse senkrecht von nicht möglich

4 5 6 E

Eu u u, , 3. singuläre Lage (Handachsen - Singularität)

Der Freiheitsgrad des Endeffektors ist 6f Reguläre Lage der kinematischen Kette



In den singulären Lagen ist die Beweglichkeit des Endeffektors eingeschränkt.Wird eine Bewegungsbahn des Endeffektors so geplant, dass die kinematische Kettein die Umgebung einer singulären Lage kommt, treten hier große Gelenkgeschwindigkeitenauf. Werden die maximalen Gelenkgeschwindigkeiten erreicht, so muss die Bahngeschwindigkeit reduziert werden.

In der Praxis bedeutet die Handachs-Singularität (Folien 3.24, 3.25) die größte Einschränkung für die Bahnplanung.


Bedeutung der singulären Lagen








Übersicht



1

2

3

4Ey

Ex

FallsRoboter ist -fach kinematisch redundanInverse Kinematik hat unendlich viele Lösungen

(

dim dim)

n mn m

q y t

Beispiel

- fach kinematisch redundant

1

2

3

4

,

dim 4 dim 2

2

E

E

xy

q y

q y


Roboterkoordinaten1

n

q

q

q

durch Aufgabenstellungvorgegebene Lagekoordinaten

"Funktionale" Lagekoordinaten1

m

y

y

y

inverse Kinematik1( )q f y

TCP


Kinematisch redundante Roboter



Sechsachsiger Knickarmroboter mit rotierendem bzw. rotationssymmetrischen Werkzeug (z.B. bohren, fräsen, polieren, lackieren)

Drehung des Endeffektors um Werkzeugachse muss nicht vorgegeben werden

nur Lagegrößen werden vorgegeben: Koordinaten des TCP und zwei Richtungswinkel der Werkzeugachse

1 - fach kinematisch redundant

5

dim 6 dim 5

m

y

q y


Kinematisch redundante Roboter Beispiel



Arbeitsbühne Betonverteilermast


Kinematisch redundante Roboter (3) Umgreifen von Hindernissen

(Putzmeister AG)



Bei redundanten Robotern ist das Gleichungssystem für die Rückwärtstransformation unterbestimmt

Gleichungen fürRoboterkoordinaten

1 1 1

1

( , )

( )

( , )

n

m m n

y f q qmn m

y f q q

y f q q

:

Methoden für die Lösung der inversen Kinematik:Ergänzung von weiteren Lagegrößen (Beseitigung der Redundanz) durch Bestimmungsgleichungen der Form

1 1

1

( , , , ) 0

( , , )

( ,

n

n m

n m

g q q

g q

y

y yg q y y

0

Nachteil: Funktionale Bewegungsvorgaben lassen sich meist nur umständlich in solche Gleichungen abbilden

Formulierung einer Optimierungsaufgabe, meist als "lokale" Optimie

, , ) 0nq

y y

.

rungIn einer aktuellen Lage wird das Lage-Inkrement so berechnet, dass es die Zielfunktion

mit der linearisierten Koordinatentransformation

R!T T1

2

R R

( ) min

( ) (

I

q

q q

q q P q p q

G q q y G q

mit 0

als Nebenbedingung.R

( ))

g qq q


Kinematisch redundante Roboter Lösung der inversen Kinematik








Übersicht



Geg.: Durch den Endeffektor auf die Umgebung ausgeübtes Kraft - Momentenpaar

Ges.: Erforderliche Antriebsmomente (bei Drehgelenken) bzw. Antriebskräfte (bei Schubgelenken)(ohne Berücksi

( , )E E

i

F M

chtigung weiterer Kräfte, wie Gewichts-

und Trägheitskräfte)

1

2 4 56

3

1O

EO

EMEF

EFEM


Statischer Zusammenhang zwischen Antriebskräften und Kräften am Endeffektor



EirEF

EM

iuif

it EF

EM

ii u

if

it

ii u

Momentengleichgewicht bzgl.

Antriebsmoment am DrehgelenkT T

T T T

T T T

T T

( )

( )

( ) )

( )

i

i E Ei E

i

i i i i E Ei E

i i i i E i Ei E

i i i i E i Ei E

Ei i i Ei

E

O

i

t M r F

u t u M r F

u t u M u r F

u t u M u r F

Mu u r F

iO

Gelenk-Schnittkraft

Gelenk-Schnittmoment

Antriebsmoment

i

i

i

f

t

Schnitt an einem Drehgelenk

EO

iO


Antriebsmoment an einem Drehgelenk



Kräftegleichgewicht

Antriebskraft am Schubgelenk T T

T T

i E

i i i i E

Ei i

E

i

f F

u f u F

Mu F

0

Eir

EF

EM

EF

EMif

ii uif

ii u

iu it

itEO

Schnitt an einem Schubgelenk

iO

iO


Antriebskraft an einem Schubgelenk

Gelenk-Schnittkraft

Gelenk-Schnittmoment

Antriebskraft

i

i

i

f

t



1

2 4 56

3

1O

EO

1Er

2Er

4 5 6E E E r r r3 4u u

2u

1u

EM

5u

EF

EFEM

Der gesamte Zusammenhang kann mit Hilfe der transponierten rotatorischen und translatorischen Jacobi-Matrizen aus Folie 3.22 formuliert werden:

1 T1 1 1T22 2

3

4

5

6

E

u u r

u u

2T T

3

T44 4

T5 5 5T6 6 6

rotT

trT

E

E

EE

E

E

E

E

r

u MFu u r

u u r

u u r

J

J

0


Darstellung mit Hilfe der Jacobi-Matrix

Robotertechnik Kapitel 4: Trajektorienberechnung 4.1


4 Trajektorienberechnung 4.1 Hauptkomponenten eines Robotersystems

4.2 Bewegungsarten PTP und CP

4.3 PTP-Bewegung mit trapezförmigem Geschwindigkeitsprofil

4.4 Asynchrone und synchrone PTP-Bewegungen

4.5 PTP-Bewegung mit Überschleifen

4.6 PTP-Bewegung mit sinusoidem Geschwindigkeitsprofil

4.7 CP-Linear- und CP-Zirkularinterpolation

Übersicht



ˆ ˆ,q q

u

1q 2q 3q

4q

5q6q

,q q

Sensordaten- verarbeitung

Sensorsignale

Steuerung

ProgrammiersystemSollwerte der Gelenkkoordinaten

Messgrößen: Gelenkkoordinaten

Regelstrecke (Roboter mit Antrieben)

Stellgrössen

Achs- regler

Interpolation Inverse Kinematik

Generierung von Bahn-Stützpunkten

Hauptkomponenten eines Robotersystems

4.1 Hauptkomponenten eines Robotersystems



Interpolation der Gelenkkoordinaten

„unkontrollierter“ Verlauf der Lagekoordinaten

Anfangslage

IK

IK

a 0( )tq q 1( )tq2( )tq

e e( )tq q IK

IK 1( )ty

2( )ty

IK IK

a 0( )ty y

e e( )ty y

PTP-Bewegung (point-to-point) Der Endeffektor soll gewünschte Lagen anfahren (z.B. um Objekte zu greifen), der Weg hin zu diesen Lagen muss nicht genau festgelegt sein

CP-Bewegung (continuous path) Der Endeffektor muss exakt entlang einer gewünschten Bahn bewegt werden (z.B. für Bahnschweissen, Kleberauftrag, Lackieren, Entgraten)

Endlage

a 0( )tq q 1( )tq 2( )tq

e e( )tq q

a 0( )ty y

e e( )ty y

Interpolation der Lagekoordinaten entlang der Sollbahn

Anfangslage

Endlage

Feininterpolation der Gelenkkoordinaten

Bewegungsarten

4.2 Bewegungsarten PTP und CP



Lage (Gelenkkoordinate)

Geschwindigkeit

Beschleunigung

aT

q

q

0

q

kq

aqeq

aq

Geg.: Startwert , Endwert maximale Geschwindigkeitmaximale Beschleunigung

Ges.: BewegungsdauerVerlauf von

a e

max

max

( )

q qqq

Tq t

0

maxq

aq

q

maxq

maxq maxq

t

t

t

maxq

maxq

kT aT

T

PTP-Bewegung mit trapezförmigem Geschwindigkeitsprofil

4.3 PTP-Bew. m. trapezförmiges Geschwindigkeitsprofil



Zu durchfahrender Weg

Beschleunigungs-/Abbremszeit und -weg

Falls

Fahrzeit mit konstanter Geschwindigkeit

e a

2maxa a max a max a

max1

a 2

kk k

max

1 1,2 2

:

q q q

qT q q T q T

q

q q

qT q q

q

mit

Gesamte Verfahrzeit

Verlauf der Gelenkkoordinate

a

max ka k

max max

2max

a max a a

2max a

2

2 2

1 , 02

( ) ( ),1 ( ) ,2

a

a

a

q

q qT T T

q q

q t t T

q t q q t T T t T T

q q T t T T t T


Geschwindigkeit

Beschleunigung

aT

q

q

0

q

kq

aqeq

aq

0

maxq

aq

q

maxq

maxq maxq

t

t

t

maxq

maxq

kT aT

T

PTP-Bewegung mit trapezförmigem Geschwindigkeitsprofil




Eine Roboterachse soll die qualitativ dargestellte PTP-Bewegung mit trapezförmigem Geschwindigkeitsprofil ausführen.

a) Gegeben:

Gesucht:

b) Gegeben:

1a max

1e max

a k

a

5 120 s160 100 s

,

5

q qq q

T T T

q

,

'

Gesucht:

c) Gegeben:

Gesucht: größte erreichte Geschwindigkeit

1max

1e max

k

1a max

e

a k max

120 s80 100 s

,

5 100 s80 2,5 s

a

qq q

T T T

q qq T

T T q

,

, ,

aT

q

0

maxq

maxq maxq

t

kT aT

T

PTP-Bewegung Aufgabe 1




1q

1maxq

01T

2q

02T

2maxq

3q

03T

3maxq

3maxq′

max1q

Achse 1

Achse 2 (Leitachse)

Achse 3

PTP synchron: Die Verfahrzeiten der Achsen werden an die Achse mit der größten Verfahrzeit (Leitachse) angepasst, so dass alle Achsen ihre Endlage zeitgleich erreichen, z.B. durch Verringerung der maximalen Geschwindigkeit.

PTP asynchron: Jede Achse hat kürzestmögliche Verfahrzeit, die Achsen erreichen ihre Endlagen nicht zeitgleich.

1T

3T

1aT

Geg.: Verfahrzeit der Leitachse , Beschleunigungszeit

Ges.: Angepasste max. Geschwindigkeit

Beschleunigungsweg

Mit konstanter Geschwindigkeit durchfahrener Weg

2

a1

max1

1a1 max1 a12

k1 ma

TT

q

q q T

q q

Angepasste konstante Geschwindigkeit

Angepasste konstante Beschleunigung

x1 2 a1

!1

1 a1 k1 max12 a1

max1 max1 max1max1 max1

max1 max1 max1

( )

2

T T

qq q q qT T

q q qq qq q q

1maxq′

1maxq

t

t

t

Beispiel: Anpassung der Achse 1 an Leitachse 2 durch Verringerung der maximalen Geschwindigkeit.

Synchrone PTP-Bewegung

4.4 Asynchrone und synchrone PTP-Bewegungen



t

1−iT

iiT ,1−

1−iq

iq

1+iqq

iT

1+iT

1+iq

iq

1−iqiiq ,1−

1, +iiq

Wegpunkte

1, +iiT

t

q

0

0

iiq ,1−

1, +iiq

1−iq

iq1+iq

t

q

0

1−iq iq

1+iq

Ziel: Durchfahren von Zwischenlagen ohne StillstandÜbergänge mit konstanter Beschleunigung

Geg.: Gelenklagen (Wegpunkte)Zeitintervalle zwischen aufeinander-folgenden Wegpunkten

1,

i

i i

i

qT

q

undmaximale Beschleunigung

Ges.: Dauer der Überschleifabschnitte(symmetrisch zu den Wegpunkten)

1 i

i

i

qq

T

Beschleunigung Verzögerung

Konstante Geschwindigkeiten

Vorzeichen der Beschleunigung

Dauer der Überschleifabschnitte

11,1

1,

, 1 1,1

, 1 1,11,

0

0sign( )

i ii

i i

i i i i i

i i ii i

q qqT

q q q q

q qT

q

i

In der Beschleunigung stetige Übergänge können z.B. durch Interpolation mit Splines 5. Ordnung erreicht werden.

PTP-Bewegung mit Überschleifen




t

3q

3T

23q

q

2q

1T

2T

12q

1q

12T 23T

23T∆12T∆

12 23 12

max 2

3

12 23

1 2 3

12 23

1s, 5 ,80 s , 15 ,

40 ., ,

, ,

, .

T T qq q

qq q

T T T

T T

Eine Roboterachse soll die qualitativ dargestelltePTP-Bewegung mit Überschleifen ausführen.

Gegeben:

Gesucht:

,





max22 1 2 1

1 1 1 12 11112 12

2 2 11 12 12 1

1

12 1 1

2 max23 2 3 2

3 3 3 23 31323 32

2 2 0

2 0,13 s

10,72 s

2 2 0

q qq q q q

q T T T TqT T

q qT T T T

q

q q T

q qq q q q

q T T T TqT T

11. Bahnsegment ( ):

2. Bahnsegment ( ):

2 3 23 23 23 1

3

23 3 3

23 12 12 12 12 1 22

21

23 23 3 22

2 0,39 s

31,01 s

0,25 s 0,25 s

0, 49 s

q qT T T T

q

q q Tq

q qT T T T T

qT T T T

2Übergang bei :

t

q

01 0,13 sT

12 1 sT

12 0,74 sT 2 0,25 sT 23 0, 49 sT 3 0,39 sT

23 1 sT



112 1

2 112 1

12 12

q q T

q qq

T T

323 3

3 223 1

23 32

q q T

q qq

T T



t


Geschwindigkeit

Beschleunigung

t

t

q

q

maxq

maxq

0

maxq−

0

q

q∆ kq∆

aq∆

aq∆

maxq

eq

aq

kT aTaT

T

PTP-Bewegung mit sinoiden Geschwindigkeitsprofil

4.6 PTP-Bew. m. sinusoidem Geschwindigkeitsprofil

Die Interpolation mit trapezförmigem Geschwindigkeits-verlauf führt zu Sprüngen im Beschleunigungsverlauf, die zu sprungförmigen (harten) Stelleingriffen führen

Hohe Beanspruchung der Mechanik

Anregun

2sin t

gen von Eigenschwingungen des mechanischen Systems (Resonanz).

Aus diesem Grund soll der zeitliche Verlauf der Beschleunigung stetig sein.

Möglichkeit: Beschleunigungsverlauf gemäß einer -Funktion

2max( ) sin , 0 a

aq t q t t T

T

.



0z

0O

ar

0x0y

te

( )s t

er

( )tr

Ende

Beginn

( ) ( ( )) ( ),

( ) ( ),

( ) ( ).

( ) 0

a e

e aa

e a

t

t

t

a e

t s t s t

t s t

t s t

s t s s

Geradeninterpolation zwischen zwei Stützpunkten mit den Ortsvektoren und :

Interpolation von zwischen und

r rr rr r rr r

er e

r e

e awie bei der PTP-Bewegung.

Überschleifen zwischen aufeinanderfolgenden Geraden-abschnitten zur Vermeidung sprungförmiger Beschleunigungs-änderungen.

r r

0z

0O0x

0y

CP-Bewegung Linearinterpolation




1x

1y

c

ar

( )s t

1z

1On

er( )tr Ende

Beginn

0z

0O0x

0y

( ( ))

.

a

a

s t

s R R

Geg.: Ortsvektor zum KreismittelpunktNormalenvektor der Kreisebenezu durchfahrender WinkelAnfangslage des TCP

Ges.: Bahn des TCP

Zu durchfahrende Bogenlänge

Lok

cn

r

r

r c

mit

1

1 1 1 1 1

011 1 1

1

( )

( )1

0

0 0 01 1

, ,

cos

( ( )) sin .

0

( ( )) ( ( )).

ax y z x y

a

x y z

s tR

s tR

K

K

R

s t R

K

s t s t

ales Koordinatensystem

Ortsvektor des TCP in

Bahn des TCP in

r c ne e e e er c n

T e e e

d

r c T d

( )td

CP-Bewegung Linearinterpolation


Robotertechnik 5 Dynamik von Robotern 5.1


5 Dynamik von Robotern 5.1 Grundaufgaben der Roboterdynamik

5.2 Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette

5.3 Bewegungsgleichungen der Achsantriebe

5.4 Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems

Übersicht



1i

rif

ii

1i im g

Lagerkräfte,-momente

Reibm

Antriebsmomen

omente in den Gelen

t

k

e

en

r r

R

, i

i

i

i

f t

Gewichtskräfte

Bearbeitungskräfte,-momente

d'Alembertsche Trägheitskräfte

und -drehmomente

dyn

dyn

,

i

E E

i

i

m g

f t

f

t

Dynamik: Wechselwirkung zwischen Bewegungen und Kräften/Momenten

Bewegung Kräfte und Momente

1q 2q 3q

4q

5q6q

Roboterkoordinaten

(Winkel bzw. Verschiebungen)

qi

EfRi

r1if

Et

Rir

if

R1i

R1i

r1if

5.1 Grundaufgaben der Roboterdynamik

Dynamik von Robotern Kräfte



Trägheits-Drehmoment

A

Antriebskraftf

x

Impulssatz(Newtonsches Grundgesetz)

m x f d x sinA Sm g l d

Drallsatz(Eulersche Gleichung)

f

Trägheitskraftm x

geschwindigkeitsproportionale Reibungskraft

d x

Translationsbewegung Rotationsbewegung

Aufgabe Freischnittbild Bewegungsgleichung

A

g

Gewichtskraftm g

A

S

Reibungsmomentd

Sl

Masse m Massenträgheitsmoment bzgl. A A

Antriebsmoment S


Grundgleichungen der Dynamik



Beispiel

A

d

mgsinA Sm g l d

Bewegungsgleichung

AnfangsbedinguVerlau

ngef des Antrie

n

Bewegung

Gegeben:

Gesucht

bsmom t

:

en s

0 0( ), ( )(

( )

)t t

t

t

1

0

2

01 sin , ( ), ( )SA

m g l

x

x

d t t

Integration der Differentialgleichung (Anfangswertproblem)

Für numerische Integration Übergang auf ZustandsformZusta (Lage)

(Geschwindignd

kesgrö en

it)ß

Zustandsgleichungen (Differentialgleichungssystem 1. Ordnung)

Direkte Dynamik Inverse Dynamik

2 101 1

1 22

0

0

0

202

0

0 ( ),1 1( sin ) ( )

( ) , ( )

SA A

x xx xx x

tm g l d t

t

x x x

a xbx x x

Verla

Gegeb

uf de

Bewegun

s erforderlichenAntriebsm

en:

Gesucht:o

g

m n s

e t

( ), ( ), ( )

( )

t t t

t

sinA Sm g l d

t

Auswertung der algebraischen Gleichung

für alle Zeitpunkte .

Es ist keine numerische Integrationerforderlich.

Antriebsmoment

Sl


Grundaufgaben der Roboterdynamik







Übersicht



-Massenmatrix, symmetrisch

-Vektor der verallgemeinerten Kreisel- und Zentrif

-Vektor der

ugalkräfte

-Vektor der verallgemeinerten eingeprägt

verallgemeinerten Koordinaten

en Kräft

T( , ) )f f

f

f

f

M M M

k

g

q

(

-Vektor d

e

(Gewicht

er verall

skräfte, Reibungsk

gemeinerten Antriebskräft

e)

e

räft

f

(Freiheitsgrad )

( ) ( ) ( ), ,

f

qM kq q q qg q

Bewegungsgleichungen

3

1O

11,q

22,q

33,q

44,q

55,q

66,q

Anfangsbedingungen

Be

Gegeben:

Gesuch wegunA

gnt

t:

Integration des Differentialgleichungssy

riebskräfte/-momente

stems

0

1

0( ), ( )

( )

, ) ,)

)

(

(

( ( )

t tt

t

q q

q

q qM q qg kq q

Direkte Dynamik Inverse Dynamik

Verlauf der erforderlichenAntriebsm

Gegeben:

Gesucht:

Auswertung der algebraischen

o

Bewegung

Gleichun

e

g

m nte

( ), ( )

( ) ( )

, (

(

)

,

(

, )

)t

q t q t q t

q q q q qg k qM


Bewegungsgleichungen eines Roboters mit Freiheitsgrad f



Bewegungsgleichungen 2 2

0 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1

2 2 2 22 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2

2 c c s (2 ) ( ) c c( )

c s c( )S

m m d m m L m L m m g m g d

m m L m m L m g d

( ) ( , ) ( , )

M q q k q q g q q

mit2 2 2

0 1 1 2 2 2 1 2( ) S Sm m m d

1x

1y

1

1L

1S

1

2

2S

2

g

1

2

Freiheitsgrad

Massen

Trägheitsmomente bzgl. der Schwerpunkte

Antriebsmomente

1 2

1 2 1 2

1 2

2

,

, ,

,

S S

f

m m

S S


Beispiel Bewegungsgleichungen eines ebenen Roboters



Kinetische Energie des Gesamtsystems

Potentielle Energie des Gesamtsystems

Nichtkonserva

nk

nk

d , 1, ,d

( , )

( )

( , )

jj j j

j

U Q j ft q q q

T

U

Q

q q

q

q q

Lagrange - Gleichungen zweiter Art

Klassisches Verfahren der Mechanik, aber für größere S

tive eingeprägte Kräfte: Antriebskräfte, Reibungskräft

ysteme ( ) ineffizient und schlecht implementier ar.

e

b3f


Methoden zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen



e r, 1, ,j j j jm j n

Freischneiden der Teilkörper, Berücksichtigung der Schnittkräfte und -momente

Für alle Teilkörper:Newtonsche Gleichung (Kräftegleichgewicht nach d'Alembert)

Sr F F

Newton - Euler - Methode

K

e rK

r r

, 1, ,Sj j j Sj j j j

j j

j n

Eulersche Gleichung (Momentengleichgewicht nach d'Alembert)

Elimination der Reaktionskräfte und -momente und der abhängigen kinematischen Grössen.

Für die Gene

M M

F M

rierung der Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen ist diese Methode am besten geeignet. Unterschiedliche Möglichkeiten zur Implementierung:

Explizite Berechnung der Terme der Bewegungsgleichung Rekursive Formulierung, insbesondere für offene kinematische Ketten (Roboter) anschaulich.


Methoden zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen



Kräftegleichgewicht

Momentengleichgewicht bzgl.

Antriebsmoment als Komponente des Schnittmoments in Achsrichtung

1

1, 11

T

1

1

1

[ ]

[ ] [ ]

i

i

i

i i

i i i

i

i

S

S S Si S S i

i

ii

S

m

O

m

i Si

a

ar f

u

f f

t

t

u

t

1if

if

1[ ]S im a

1[ ]S S iS S S

if

it

ii u

it

ii u

1 1ii u

1it

1if1it

11i i u

1Si

1,i ir

1ii

Gelenk Körper

11,

ii

r T

1 1,i i f t

1 1,i i v

1 1,i i a

1iK

Koordinaten-system

, iir T

,i if t

,i iv ,i ia

i i iq q q i

iKKoordinaten-system

iO

1iO 1iO


Rekursive Berechnung der inversen Dynamik Gleichgewichtsbedingungen für einen Körper



1 (Endeffektor)n

22,q

, nnq

1 1,n nq

11,q

33,q

1ii

Gelenk Körper

11,r T

1 1f t

1KKoordinaten-system

12

Gelenk Körper

1 1 v 0

1 1 a 0

22,r T

2 2,f t

2 2,v

2 2,a

2KKoordinaten-system

11,

ii

r T

1 1,i i f t

1 1,i i v

1 1,i i a

1iK

Koordinaten-system

1nn

Gelenk Körper

, EEr T

,E Ef t

,E Ev ,E Ea

1nK

Koordinaten-system

Lage

Geschw.

Beschl.

Kraft

1K

1 1 1q q q 1 n n nq q q n

2

3 4

Ef

Et

, iir T

,i if t

,i iv ,i ia

i i iq q q i

iKKoordinaten-system

Inverse Dynamik

( ) ( ) ( ) (, , , , ) q q q q q k q q qgqM

1


Rekursive Berechnung der inversen Dynamik



Bekannt ist die rekursive Berechnungsvorschrift für die inverse Dynamik

Für die direkte Dynamik wird die Beschleunigung der Roboterkoordinaten berechnet,

1

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

(

,

) [

M k gq q q

M g

q q q q q q

q q

Hierfür werden die Massenmatrix und der Vektor benötigt .

, ,

, ) ,

, ,

( )

( ( )

( ),

]

q qq q q q

q q q

gk

M g g

q

k

q

q

q

q

q q

, ),(

Lösung: Mehrfaches Auswerten der inversen Dynamik mit speziell gewählten Eingangsgrößen:

a) Vektor durch Auswerten der inversen Dynamik mit nullgesetzten Gelenkbeschleunigungen

q q

g

q

g

1 2

T

( , , )

( , , ) 1, , [0, , 0,1,0, , 0]

f

i i f

0

0

b) Massenmatrix . Spaltenweise Berechnung

mit

Hierbei werden die Erdbeschleunigung und die Bearbeitungskräfte u

i i

q

q q e e

q qM

q

,

0 Eg

0

nd -momente Null gesetzt,

c) Auflösen des linearen Gleichungssystems nach den Gelenkbeschleunigungen ,Ef

qq q

t

M g

,

,( ),q q q

, ,( )q q q

i

- tes Element

Inverse Dynamik

Direkte Dynamik


Lösung der direkten Dynamik mit Hilfe der rekursiven inversen Dynamik







Übersicht



Circular Spline (raumfest)

Wave Generator (Antrieb)

Flexspline (Abtrieb)

Getriebeübersetzung

mG 50 300qi

q


Robotergetriebe Harmonic Drive Getriebe



Antrieb Abtrieb

1r 2r

etwas kleiner als 2 1r r

Getriebeübersetzung

mG 30 300qi

q

mqq

Antrieb Abtrieb


Robotergetriebe Wolfrom-Planetengetriebe




Robotergetriebe Wolfrom-Planetengetriebe



q

mq

m

R

m

m

mL

m

constd

q

qd

Rotor-TrägheitsmomentReibmo

Antri

me

ebsmoment (Luftspalt)Wellen

ntein Motor u

mome

nd G

Rotor-Dreh

etriebe (

winke

nt

)

l

q

Roboterarm

Getriebe

Motor

mq

m

G

G

G

m

G

qi

q

i

AusgangsmomentEingangsmoment

Momentenverhältnis:

Annahme: keine

Über

Ve

setzu

rluste:

g:

n

Eingangs-Winkelgeschw.Ausgangs-Winkelgeschw.

Motor Getriebe Roboterarm

,( ) ( ) ( )

q

Bewegungsgleichu

Achs-Dreh

ngen

Dynamische Verkopplungenzwischen d

winkel

en Achsen

Achs-Antriebsmoment

M q q q q qk g

(in Bezeichnungen Achsindex weggelassen)

qmmd q

mL

mq

m


Achsantrieb vereinfachtes Modell

Annahmen:Getriebe starr und spielfreigeschwindigkeitsproportionaler Ansatz für Reibungsmomente

Getriebemassen auf Motor und Arm verteilt

Getriebe verlustfrei keine mechanische Kopplung

der Antriebe



M

L R

miu Iu mq

mm m

I

el

mech

m m

I

d, const (1)

d

, const (2)

u u

LR

u u

iL Ri u k q k

t uT

T

Ri u k q ku

Elektrischer Kreis

Annahme : Elektrische Zeitkonstante gegenübermechanischer Zeitkonstante (s.u.) vernachlässigt:

Drallsatz

mmech

m

m mm m

I

m

mL

L

mm m

m

, const (3)

(4)

d

i i

i u i u

T

k i k

k i k i k kq

u

q

dq q

q

für Rotor (mechanische Zeitkonstante

Bei vernachlässigten elektrischen Verlusten istmech. Leistung el. Leistung

Getriebe

)

GG

22 2G G

m

m

m

m

m1, (5)

(3) (2),(4),(5)

(6)k ki i

GR R

q

u

kd

q q

ii

i d i i

Aus mit folgtq

m

mq

mq

mmd qmL

Motorstrominduzierte Spannung

m

I

iu


Dynamik eines einzelnen Achsantriebs







Übersicht



Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette (Freiheitsgrad )

Dynamik der Achsantriebe

In Matrizenform für alle Achsen

2 2G G m G m

2G1

m

m1

( ) ( ) ( ) (1)

, 1,

0

0

,

jjj j jj j

f

d k u j f

f

i i i

i

q q

M q gq q q qk

2 2G1 G1 1

2 2 2G G G

1 1 1

m

m1 m1

m m m

0 0

0 0

(2)

ff f ff f ff f f

d k u

ud k

q q

q

i

q

i

i i i

M D K uq q

Elimination von durch Einsetzen von in Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette mit Antrieben (Regelstrecke)

m

(2) (1)

( ) ( ) ( ),

( )

M Mq q qk D Kq q

q

g u

M

q


Dynamik der kinematischen Kette mit Antrieben (1)



2 2G1 G1

2

1

G

1m1 m1

m

11 1

1

( ) ( ) ( ) 0

( )( ) ( ,) 0

,

f f f

f

f fff

q dM k

kq

M

M M

i i

i

Bewegungsgleichungen der kinematischen Kette mit Antrieben (Regelstrecke):

q q q q

q qq q

12G1 1

2 2G

1

m

G

m1

m m

( ) 0

( ) 0

( ) ( ), ) (

( )

fff f ff f

g ukq

qd k ug

i

i i

Die auf die Antriebe zurückgehend

M M k D g K u

M

q

q

q q q q q q

q

Gien Anteile stehen auf der Hauptdiagonalen der Systemmatrizen.

Mit zunehmenden Getriebeübersetzunge dominieren diese Anteile gegenüber den von der kinematischen Kette herrührenden Anteilen (Übersetz G 50 100i

ungen bei Robotergetrieben )

die untersetzenden Antriebe entkoppeln tendenziell die Bewegungsgleichungen.


Dynamik der kinematischen Kette mit Antrieben (2)

Robotertechnik 6 Regelung von Robotern 6.1


6 Regelung von Robotern 6.1 Aufgaben der Regelung

6.2 Dezentrale Gelenkregelung

6.3 Vorsteuerung durch inverses dynamisches Modell

6.4 Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung

Übersicht



Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems (Regelstrecke)

bzw.

Blockschaltbild

( ) ( ) ( )

( ) (

,

)

),

)

(

,(

q qM k D g K u

M

q q q

q q q q qg k D K u

b q q

q

q

q

q

q

1( ) ,( ) q q qM K u b

u

( )f qy

y

qq

y

Direkte Dynamik Direkte Kinematik

Stellgrössen Gelenk -koordinaten

Endeffektor -Lagekoordinaten

( )J q

qJqJ

( )( )

f q

J qq

Roboter als Regelstrecke

6.1 Aufgaben der Regelung



Lage- regler

Direkte Dynamik ˆ ˆ,q q u

Direkte Kinematik ,q q ,y y

Inverse Kinematik

z

ˆ ˆ,y y

y

4q

3q

2q

1q

5q6q

( )ty

Führungs- grössen-berechnung

Regelstrecke (Roboter mit Antrieben)Steuerung

Sollwerte der Endeffektor-Lagekoordinaten

Sollwerte der Gelenkkoordinaten

Stellgrössen (Steuerspannungen)

Istwerte der Gelenkkoordinaten

Istwerte der Endeffektor-Lagekoordinaten Störungen


Lageregelung auf Gelenkebene Aufgabe

( ) ( )ˆ( ) ( )

t tt t

Berechnen der Stellgrößen so, dass die Gelenkkoordinatenauch bei Störungen den Sollverläufen nachgeführt werden.

Durch eine vorgeschaltete Berechnung der inversen Kinematik wird

u qz q

( )( )

tt

eine Bahnfolgeregelung erreicht: Die Endeffektor-Lagekoordinatenwerden gewünschten Zeitverläufen nachgeführt.

Die Reglerauslegung (Festlegen der Reglerdynamik) erfolgt im Raum der Gelenkkoo

yy

rdinaten.

Für die Lageregler gibt es unterschiedliche Konzepte, z.B. (Dezentrale) Einzel-Gelenkregler, ggf. mit Vorsteuerung durch inverses System Adaptive Regelungen (dezentral oder zentral)(Z

entrale) Regelung durch exakte Linearisierung.

Bei Industrierobotern gebräuchliche Art der Steuerung.



Lage- regler

Direkte Dynamik ˆ ˆ,q q u

Direkte Kinematik ,q q ,y y

z

ˆ ˆ,y y

Berechnen der Stellgrößen so, dass die Endeffektor-Lage-koordinaten auch bei Störungen den Sollverläufennachgeführt werden.

Die Reglerauslegung (Festlegen der Reglerdynamik)

( )ˆ( ) ( ) ( )

tt t t

uy z y

erfolgt im Raum der Endeffektor-Lagekoordinaten.

Die Istwerte der Endeffektor-Lagegrössen werden gemessen(aufwendig) oder durch Vorwärtskinematik aus den Gelenkkoordinaten berechnet.

Die La

( )

( )

t

t

y

q

geregler müssen als aufwendige zentrale (verkoppelte) Regler entworfen werden, z.B. durch exakte Linearisierung.

Bei Industrierobotern bisher nicht gebräuchlich.

Führungs- grössen-berechnung

Regelstrecke (Roboter mit Antrieben)Steuerung

Sollwerte der Endeffektor-Lagekoordinaten

Sollwerte der Gelenkkoordinaten

Stellgrössen (Steuerspannungen)

Istwerte der Gelenkkoordinaten

Istwerte der Endeffektor-Lagekoordinaten Störungen

Inverse Dynamik


Kartesische Lageregelung Aufgabe

y

4q

3q

2q

1q

5q6q

( )ty







Übersicht



1 111 111

1

( ) ( ) ( ) 0

0( )(

,

,) ( ) f f

f

fff ff

M M k D

D

q

kM qM

Ausgehend von den nichtlinearen Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems (Regelstrecke)

q q q q

q qq q

1 1 111( ) 0

0( )

( ) ( ) ( ),

fff ff

g K u

uK

q

q g

wird ein einfaches lineares Entwurfsmodells für die dezentralen Gelenkregler

q

q

q q q q D gq qM K uk

in zwei Schrittenhergeleitet:

Dezentrale Achsregelung:Die Bewegung der -ten Achse wird unabhängig von den anderen Achsen geregelt, d.h. es werden nur Abweichungen der Gelenkkoordinaten dieser Achse zurückgeführtKopplungen zwis

j

chen den Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems werden nicht im Reglerentwurf berücksichtigt, sondern als Störungen aufgefasst. Kaskadierte Reglerstruktur, bestehend aus einem Lageregler und einem u nterlagerten Geschwindigkeitsregler.

( )

( ) ( , ) ( ) , 1, , .j j j j jjj jj jj

f

M q k D q g K u j f

1. Vernachlässigung der Nebendiagonalemente der Massenmatrix . Dies führt auf die Differentialgleichungen

M q

q q q q


Dezentrale Gelenkregelung Lineares Entwurfsmodell




Dezentrale Gelenkregelung kaskadierter Gelenkregler

( ) const( )

( ) ( , ), 1, , .

( , )

R

R

j j j j j

j

jj

j jj

j jj jj

MM M

M q D q K u g k j f

z

2. Vernachlässigung der Lageabhängigkeit von , indem eine Lagebetrachtet wird. Mit ist dann

Die verbleiben

q qq

q q q

q q

( , )

, 1, , ,

j

j j jj jj jj

z

f

M q D q K u j f

den Kopplungen im Term werden beim Reglerentwurf als Störgrößen angesehen.

Für jedes der vonenander entkoppelten Systeme

Eingrößenregler entworfen, z.B. als kaskad

q q

ierter PI-Geschwindigkeits- und P-Lageregler.



1s

1s

1

jM

jjD

jjKju

jq

jq

jq

,( )jz q q

Regelstrecke

1 vv

v

T sK T s

pK

jq

jq

kaskadierterGelenkregler

P - Lageregler

PI - Geschwindigkeitsregler


Dezentrale Gelenkregelung kaskadierter Gelenkregler







Übersicht



1s

1s

1

jM

jjD

jjKju

1 vv

v

T sK T s

pK

jq

jq

jq

q

q

,( )jz q q

1 ( )ˆ ˆ ˆ ˆ,( ) q q qK b qM

q

jq

jq

zu anderen Achsen

Nichtlineare Vorsteuerung durch inverse Dynamik(Computed - Torque Feedforward Control) Regelstrecke

Kopplung mit anderen Achsen

juu

kaskadierterGelenkregler

Zur Verbesserung des Führungsverhaltens (=Schleppabstand AAbweichung zwischen Soll- und Istlage )kann mit Hilfe des inversen dynamischen Modells eine Stellgröße aufgeschaltet werden, die das System unter idealen Bedingungen (keine Modell- und Parameterfehler, konsistente Anfangsbedingungen) exakt entlang der Sollbahn führen würde. Die Einzel-Gelenkregler werden dadurch entlastet.

j - te Achse


Dezentrale Gelenkregelung mit Vorsteuerung durch das inverse System







Übersicht



1K

1

( ) ( , ) .

( ) ( , ) .

, ,

Bewegungsgleichungen des Gesamtsystems (Regelstrecke)

Inverse Dynamik

Regelstrecke mit inverser Dynamik beiein-/ausgangslinearisiertes Sy

M q q b q q K u

u K M q w b q q

M M K K b b

, 1, , .j jq w j f

f

stem

bzw.

Dies sind voneinander entkoppelte Doppelintegriererketten.

q w

2q

nq

1nq

1q

3q

2nq

Idee: Kompensation der Streckennichtlinearitäten durch eine nichtlineare Zustandsrückführung und Aufschaltung neuer Eingangsgrössen so, dass das Übertragungsverhalten von den neuen Eingängen zu den Regelgrössen (Gelenkwinkel) durch voneinander entkoppelte Integriererketten beschrieben werden kann, die durch eine lineare Rückführung "einfach" stabilisiert werden können.


Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung (1)



pK

q

q

q

q

q

1( ) ,( ) q q qM K u b

1 ( ) ( ),m K M w bq q q

Su

( )J q

( )f q

w

vK

q

y

y

qJqJ

qq

y

Entkopplungsrückführung Regelstrecke Direkte KinematikStabilisierung

Eingänge desE/A - linearisierten

Systems

Stellgrössen Roboter -koordinaten


Sollwerte der Roboterkoordinaten

Rückführverstärkungen

1

1

diag( , , )

diag( , , )

p p pf

v v vf

K K

K K

K

K


Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung (2) Gesamtsystem



pK

q

q

q

q

q

( )f q

w

vK

q

y

y

qq

y

ein - /ausgangslinearisiertes System Direkte KinematikStabilisierung

Eingänge desE/A - linearisierten

Systems

Roboter -koordinaten


Sollwerte der Roboterkoordinaten

( )J q

qJqJ


Exakte Ein-/Ausgangs-Linearisierung (3) Äquivalentes E/A-linearisiertes System

Robotertechnik 7 Zur Kinematik von Parallelrobotern 7.1


7 Zur Kinematik von Parallelrobotern 7.1 Parallelroboter mit sechs Stablenkern

7.2 Singuläre Stellungen bei Parallelrobotern

Übersicht



1q

2q3q

4q5q

6qy

1K

EK

Parallelroboter mit sechs Freiheitsgraden

1

6

q

q


Roboterkoordinaten


qOrtsvektorKardan-Winkel

Weltkoordinaten


1

6

E

E

y

y

ry


( )y f q


1( )q f y

iq

Betrachtet werden Parallelroboter, deren Eindeffektorplattform(sechs Weltkoordinaten ) durch sechs kinematische Führungskettenmit je einem angetriebenen Gelenk (Roboterkoordinate ) im Raumgeführt w

y

ird. Die kiematischen Führungsketten konnen entweder mitveränderlichen Lenkerlängen oder mit geführten Lenkerfußpunktenrealisiert werden, siehe Folien 7.3 und 7.4.

Parallelroboter mitveränderlichen Lenkerlängen(Stewart-Gough-Plattform)

7.1 Parallelroboter mit sechs Stablenkern



Parallelkinematiken mit sechs Stablenkern (1)

Lenkerlängen veränderlich: Werkzeugmaschine (Ingersoll)

Lenkerfußpunkte auf Kreisbahn geführt: Hexa-Parallelmanipulator (Université Montpellier)

Lenkerfußpunkte auf Geraden geführt: Hexaglide-Werkzeugmaschine (ETH Zürich)




Parallelkinematiken mit sechs Stablenkern (2)

Lenkerfußpunkte paarweise gemeinsam auf Kreisbahn geführt: Delta-Parallelmanipulator (R. Clavel, EPF Lausanne)

Lenkerfußpunkte paarweise gemeinsam auf Ebene geführt: Triplanar-Parallelmanipulator




Parallelkinematiken mit sechs Stablenkern kinematische Transformationen

Endeffektorplattform mit einer kinematischen Führungskette

Fir

Ggf. Führungsmechanismus für Lenkerfußpunkt

Er

ie

ip

i

iF

iP

EK

0K

21 1 1 2( , ) 0, 1, , 6.

i i i

E Ei E i Fi i

P F

g i

Die Bedingung, dass der Abstand der Punkte und der Länge des jeweiligen Lenkers entspricht, liefert sechs geometrische

Sie

y q r T p r

Schleifenschliesbedingungungen

1

6

6

( , ) 0

0( , )

( ,

g

g

g

bilden ein System von sechs nichtlinearen Gleichungen, welchesden Zusammenhang zwischen den Roboterkoordinaten und denWeltkoordinaten definiert,

qy

y q

y q

y q)

( )

( )

0

Dieses Gleichungssystem definiert die kinematischen Transformationen:

Vorwärtstransformation:

Rückwärtstransformation:

Im Gegensatz zu seriellen Robotern kann die Rückwärtstransforma

y y q

q q y

tion hier analytisch berechnet werden, während die Vorwärtstransformation i. Allg.eine numerische (iterative) Lösung des nichtlinearen Gleichungssystemserfordert.




Parallelkinematiken mit sechs Stablenkern kinematische Transformationen

1 1 1 11 11 6 1 6

6 66 6 6 6

1 6 1 6

0

0

g g g gy qy y q q

y qg g g gy y q q

Auf Geschwindigkeitsebene lauten die sechs Schließbedingungen

y q

0

0

g gy qy q

G y G q

1 1

1

1

.y q E y q

E

q y

E

Die kinematischen Transformationen lauten: Vorwärtstransformation

mit der Jacobi-Matrix des Endeffektors

Rückwärtstransformation

mit der

y G G q J G G

J

q G G y

J

1 1 1 1( ) .E y q q y

y q E

inversen Jacobi-Matrix des Endeffektors

Bei seriellen Robotern ist und damit .

J G G G G

G E G J


1q

2q3q

4q5q

6qy

1K

EK



7 Zur Kinematik von Parallelrobotern 7.1 Parallelroboter mit sechs Stablenkern


Übersicht



Singuläre Stellungen bei Parallelrobotern

1 1

1

1

.y q E y q

E

q y

E

Die Funktionen der Vorwärtstransformation

mit der Jacobi-Matrix des Endeffektors

und der Rückwärtstransformation

mit der inversen Jacobi-Mat

y G G q J G G

J

q G G y

J

1 1 1 1( ) .E y q q y

rix des Endeffektors

können in speziellen Lagen des Roboters singulär werden. Unterschieden werden:

Die Jacobi-Matrix der Vorwärtstransforma

J G G G G

Singuläre Stellungen erster Art : E q

0 0

tion bzw. die Matrix sind singulär.Die Rückwärtstransformation ist nicht definiert.Bei festgehaltenem Endeffektor, also , sind Bewegungen der Antriebe möglich, also .Bei versc

J G

y q

y

0 0

hwindenden Antriebskräften, also , können am Endeffektor Kräfte wirken, also .Serielle Roboter können wegen der stets regulären Matrix nur singuläre Stellungen erster Art haben.

wG E

Singuläre1

E y

Die Jacobi-Matrix der Rückwärtstransformation bzw. die Matrix sind singulär.Die Vorwärtstransformation ist nicht definiert.Bei festgehaltenen Antrieben, also

J G Stellungen zweiter Art :

0 00 0

, sind Bewegungen des Endeffektors möglich, also .Bei verschwindenden Kräften am Endeffektor, also , können Antriebskräfte wirken, also .Serielle Roboter können wegen der stets reg

q yw

y ulären Matrix nur singuläre Stellungen erster Art haben.G E




Singuläre Stellungen bei Parallelrobotern Einführendes Beispiel: Gelenkviereck

yq

y

Bei festgehaltener Weltkoordinateist die Roboterkoordinate (infinitesimal) beweglich.

Die Weltkoordinate ist gesperrt.

Bei verschwindendem Antriebs-mo

Singuläre Stellung erster Art :

q qM Mment kann ein Moment auf den Endeffektor wirken.

, yy M, qq M , yy M, qq M , yy M, qq M

1

q

y

f

qM

yM

Freiheitsgrad

Angetriebenes Gelenk mit Roboterkoordinate Antriebsmoment

Endeffektor mit Weltkoordinate Lastmoment

Antrieb Endeffektor

qy

q

Bei festgehaltener Roboterkoordinateist die Weltkoordinate (infinitesimal) beweglich.

Die Roboterkoordinate ist gesperrt.

Bei verschwindendem Lastmoment

Singuläre Stellung zweiter Art :

y

q

MM

kann ein Antriebsmoment wirken.




Singuläre Stellungen bei Parallelrobotern Beispiel: Ebener Parallelmanipulator

Plattform

Translation der Plattform gesperrt

Infinitesimale Drehung möglich

Infinitesimale Drehung möglich

1 1,q 1y

2y

2q

3q

1q

2q

3q

1q


2 2,q

3 3,q

T1 2 3

T1 2 3

T1 2

T

1

[ ]

[ ] .

[ ]

[ ] .x y z

f

q q q

y y

F F M

Freiheitsgrad

Angetriebene Gelenke mit Roboterkoordinaten

Antriebsmomenten

Endeffektor mit Weltkoordinaten

Lastkraft und -moment

q

y

w

xF

yF

3q0

Bei festgehaltener Plattform, , sind Roboterkoordinaten, hier (infinitesimal) beweglich.

Es gibt gesperrte Bewegungs-richtungen der Plattform.

In den gesperr

y


te Bewegungs-richtungen können bei verschwindenden Antriebs-momenten Kräfte auf die Plattform wirken.

0

Bei festgehaltenen Antrieben, , sind (infinitesimale) Bewegungender Plattform, hier eine Drehung,möglich.

Es gibt gesperrte Bewegungender Antriebe.

In den gespe

q Singuläre Stellung zweiter Art :

rrte Bewegungder Antriebe können bei verschwindenden Kräften auf die Plattform Antriebskräfte wirken.

zM



Singuläre Stellungen bei seriellen Robotern Zweiarm-Roboter

1O

EO

freie Richtung

gesperrte Richtung

1y

2y

qEO

EO

7.2 Arten singulärer Stellungen

T1 2

T1 2

T1 2

T

1

[ ]

[ ] .

[ ]

[ ] .x y

f

q q

y y

F F

Freiheitsgrad

Angetriebene Gelenke mit Roboterkoordinaten

Antriebsmomenten

Endeffektor mit Weltkoordinaten

Lastkraft und -moment

q

y

w

1 1,q

2 2,q

xF

yF

0

Bei festgehaltenem Edeffektor, , sind die Roboterkoordinaten (infinitesimal) beweglich.

Eine Bewegungsrichtungen des Endeffektors ist gesperrt.

In der gesperrt

yq


e Bewegungsrichtung kann bei verschwindenden Antriebsmomenten eine Kraft wirken.

Eine singuläre Stellung zweiter Art existiert nicht.

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