Leitthema: Wie gut lassen sich Teilchenbahnen vorhersagen? Determinismus, Chaos und Unschärfe

• die präzise Vorhersage von Teilchenbahnen (mechanischer Bewegungen) sind ein sehr wichtiger Erfolg der Physik insbesondere auch für Anwendungen und Technik

• kennen sie überzeugende Beispiele? - Huygens-Cassini Mission zum Saturn (.. Jahre) - Berechnung von Planetenbahnen, Sonnenfinsternissen … - Bewegung von Jonen in Teilchenbeschleunigern, von Elektronen im Elektronenmikroskop

Huygens-Cassini Mission zum Saturn und zum Mond Titan (Huygens-Sonde)

Huygens-Mission Wikipedia

Die Sonde war 5 Jahre unterwegs und wurde immer wieder beim Vorbeiflug an der

Venus, der Erde und am Jupiter beschleunigt.

Zitat Laplace (1749-1827)„Wir müssen also den gegenwärtigen Zustand des Universums als Folge eines früheren Zustandes ansehen und als Ursache des Zustandes, der danach kommt. Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle Kräfte kennt, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde, die sie zusammensetzen, und die überdies umfassend genug wäre, diese Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen, würde in der gleichen Formel die Bewegungen der größten Himmelskörper und die des leichtesten Atoms einbegreifen. Nichts wäre für sie ungewiss, Zukunft und Vergangenheit lägen klar vor ihren Augen.“ [1]

Fragen:

• sind Teilchenbahnen im Prinzip beliebig genau vorhersagbar, wenn wir alle Kräfte kennen?

• Sind die Gleichungen der Mechanik also ‘deterministisch’? (siehe Zitat von Laplace: Laplace'scher Daemon )

Die Frage ob die Bahnen von Massen determiniert sind, wenn wir alle Kräfte kennen, werden wir diskutieren, indem wir die Newtonschen Bewegungsgleichungen etwas umformen, so dass wir ein sehr intuitives und anschauliches Bild von ihnen bekommen, und dieBahnkurven ‘sehen’ können. Wir gehen zur sogenannten ‘Phasenraumdarstellung’ über, bei derdie Bahnkurve in den Variablen Impuls und Ort betrachtet wird (px,x) (wir beschränken uns der Einfachheit halber auf eine Dimension)

dpx/dt = dpx/dx · dx/dt = dpx/dx · vx = Fx

m dvx/dt = 1/vx Fx(x,vx) DGl. für die Bahnkurve in (px,x)

Das ist die Bewegungsgleichung (DGl 1.O) für die Bahnkurve im Phasenraum. Wir können damit an jedem Punkt im Phasenraum die Steigung der Bahnkurveberechnen. Das lässt sich graphisch als Steigungfeld darstellen!

Bahnkurven im ‘Phasenraum’

φL

m

Beispiel:‘Sinuspendel’ (physikalisches Pendel) (kann auch Überschläge machen)

s=L·φF=mg

Fs

m ds/dt = Fs = - mg sin (φ)

ds/ds = - g sin( s/L)/s

Bewegungsgleichung im Phasenraum

s

s

1

2

1.Wir wählen einen Startpunkt im Phasenraum d.h. wir legen s0 und s0 fest z.B. Punkt 1 oder 2

2. Die Steigung an diesem Punkt zeigt uns die Richtung, in welche das Teilchen sich bewegt -angezeigt durch den roten Pfeil. So wandern wir in kleinen Schritten durchs Steigungsfeld.

Steigungsfeld

Ins Steigungsfeld wurden (von Hand) 3 Bahnkurven eingezeichnet, die von den Startpunkten1,2 und 3 ausgehen und die sich ‘in das Steigungsfeld schmiegen’.Bahnkurven 1 und 3: Die Masse startet mit hoher Geschwindigkeit von der Ruhelage des Pendels Der Weg nimmt unbegrenzt zu, wobei die Geschwindigkeit sich periodisch ändert! Hier macht das Pendel Überschläge Bei Bahn 3 schafft sie den Überschlag gerade so. Bei den Punkten bliebe die Masse im instabilen Gleichgewicht senkrecht nach oben stehen.Bahnkurve 2: Hier startet die Masse mit grossem Ausschlag und kleiner Geschwindigkeit. Die Energie reicht nicht zu einem Überschlag – die Masse macht eine nicht harmonische Schwingung. Es wird immer wieder die gleiche Bahnkurve durchlaufen.

x

s

s

1

3

2

xx

Fadenpendel mit Dämpfung: Reibungskraft F = -mg sin(φ) + γ * s (z.B. Luftreibung)

s

s

Hier startet die Masse mit hoher Geschwindigkeit, so dass das Pendel sich überschlägt.Sie verliert aber durch die Reibungsarbeit kontinuierlich Energie, so dass es nicht mehr für einen dritten Überschlag reicht das Pendel macht jetzt eine gedämpfte Schwingung.

Wenn der Punkt im Phasenraum zu einem Zeitpunkt festgelegt ist und alle Kräfte bekannt sind, kann die Bahnkurve im Prinzip beliebig genau für beliebig lange Zeiten berechnet werden. Die Bewegungsgleichung der Mechanik ist also deterministisch!

Hinweis: Unser Verfahren zur Lösung heisst ‘numerische Integration’. Dabei treten natürlich Integrationsfehler auf, die aber mit schlauen Algorithmen und viel Rechenleistung beliebig klein gemacht werden können. Das ist ein Problem der angewandten Mathermatik, nicht der Physik.

Der Nutzen von Näherungen und von analytischen vollständigen Lösungen

In den Grundvorlesungen werden numerische Lösungen im Phasenraum i.A. nicht diskutiert. Statt dessen werden Schwingungen als Lösungen für Kräfte diskutiert, die rücktreibend sindund linear mit der Amplitude anwachsen: m dx/dt = - k*xDiese Differentialgleichung lässt sich analytisch lösen: x(t) = A* sin(2πf t + α) und enthält alleLösungen. Auch unser Fadenpendel macht in guter Näherung harmonische Schwingungen fürkleine Ausschläge, d.h s << L φ << 1. Dann gilt sin(s/L) ≈ s/L (Taylor-Entwicklung)

- g sin( s/L) ≈ - g/L s /s = ds/dt Fadenpendel für kleine Auslenkungen ( Die Bahnkurven im PR sind Ellipsen)

Warum machen wir solche Näherungen?• eine analytische Lösung erlaubt es, allgemeine Aussagen über Schwingungen zu machen wie z.B. Energiebilanz, Aufteileung der Energie zw. Kinetischer und potentieller Energie,… Harmonische Schwingungen sind das exemplarische Beispiel für eine Schwingung.

• Alle periodischen Bewegungen, also auch nichtlineare Schwingungen, lassen sich als Summe von harmonischen Schwingungen mit der Grundfrequenz f und deren Vielfachen darstellen, wobei die einzelnen Beiträge in der Summe unterscheidliche Amplituden und Phasen haben. Mathematisch ist das die ‘Fourierreihe’: s(t)= Σ An sin (2π nf t + αn) (n = 0 .. )

• Nichtlineare Schwingungen haben also ein Frequenzspektrum, das die Grundfrequenz und Vielfache davon enthält!

Hinweis: das gilt nicht nur für Schwingungen sondern auch für periodische Wellen Akustik(Obertöne) und elektromagnetische Wellen

n

Grenzen des Determinismus: deterministisches Chaos und Unschärferelation

Die Voraussetzung des Determinismus war, dass wir alle Kräfte beliebig genau kennen und dieAnfangsbedingungen beliebig genau festlegen können.

Hier gibt es wichtige praktische und grundsätzliche Grenzen

1. Wir können nicht alle Kräfte beliebig gut kennen, kleine Störungen einer Teilchenbahn z.B. durch die Umwelt sind unvermeidbar. Wenn die Differentialgleichung so beschaffen ist, dass es im Phasenraum Bereiche gibt, an denen die Steigungsfelder sich ‘verzweigen’ *), so dass zwei sehr eng benachbarte Punkte im Phasenraum zu ganz unterschiedlichen Bahnen führen, dann reichen winzige Störungen, um eine Voraussage unmöglich zu machen. Solche mechanischen Systeme nennt man chaotisch und es gibt sehr viele davon!

2. Prinzipiell gilt immer die Quantenmechanik! Dort gilt als Grundprinzip die Heisenbergsche Unschärferelation. Für unser Fadenpendel heisst das : Δps * Δs h , h = Plancksches Wirkunsquantum

Diese Relation legt fest, dass wir innerhalb eine Fläche der Grösse h im Phasenraum prinzipiell nicht wissen können, wo die Masse sich befindet! Also können wir z.B.auch den Startpunkt prinzipiell nicht genauer bestimmen!

Ob das eine Rolle spielt, hängt allein davon ab, ob unsere ‘Teilchenbahn’ im Phasenraumeinen Bereich einnimmt, dessen Fläche sehr gross gegen h ist, oder in der Grössenordnung vonh liegt! Nur im ersten Fall macht das Konzept von Teilchenbahnen überhaupt Sinn.

*) Ein triviales Beispiel sind die instabilen Gleichgewichtspunkte unseres Pendels.. Es wird nach links oder rechts fallen!

Einige Informationen zu chaotischen Systemen

• Poincaré machte 1889 die Entdeckung, dass es mechanische Systeme gibt, für welche die Teilchenbahnen nicht für beliebig lange Zeiten vorhersagbar sind als er versuchte, Systeme mit 3 Massen unter Gravitationsanziehung zu lösen. Diese Systeme sind im Normalfall immer chaotisch!

Warum folgen unsere Planeten dann regulären Bahnen um die Sonne, obwohl sie sich jaauch gegenseitig anziehen? Der Effekt des Jupiter auf die Bahn des Neptun oder die des NeptunAuf Pluto sind z.B. ziemlich gross!

Antwort1: nicht alle Bahnen sind regulär, die von Pluto ist definitiv chaotisch, d.h. wir wissen nicht wo Pluto in 20 Millionen Jahren sein wird! Inzwischen weiss man, dass auch die inneren Planeten chaotisches Verhalten zeigen auf Zeitskalen von einigen Millionen Jahren.

Antwort2: Es ist ein Wunder! Die Radien der Planetenbahnen zeigen ja eine merkwürdige unverstandene Gesetzmässigkeit (Titus-Bode Gesetz). Es gibt die starke Vermutung, die aber nicht bewiesen ist, dass nur diese Bahnen regulär sein können, alle andere instabil wären. Ähnlich könnte es bei den Saturnringen sein, bei denen es viele Radien- bereiche gibt, auf denen keine Gesteinsbrocken gefunden werden! Aufruhr im Sonnensystem

Chaotische Systeme enthalten oft mehrere Massen oder Kraftzentren. Zur Vorführung im Umterrichteignet sich besonders gut ein gedämpftes 2-d Pendel mit Eisenmasse, die von 3 symmetrischangeordneten Magnetenangezogen wird (siehe Anhang). Für grosse Bereiche möglicher Anfangsbedingungen ist es nicht vorhersagbar bei welchem Magnet das Pendel enden wird!

Ringe des Saturn, aufgenommen aus der ISS Raumstation. Sie werden von Gesteinsbrocken undStaub verursacht, die um Saturn kreisen. Das helle Bild des Planeten in der Mitteselbst wurde gelöscht, damit die Ringe besser sichtbar sind. Die eigentliche Frage ist: Warum gibt es Radienbereiche, die komplett leer sind?

Illustration zu ‘verbote-Nenen’ Bahnen’

Abb: Phasenraum für ein Mehr-Körperproblem:Bahnkurven im (3-D)Phasenraum für einen Stern imGravitationsfeld einer Galaxiechaotische Bewegung von Sternen

Die geschlossenen Bahnkurven ent-Sprechen regulären periodischen Bewegungen. Im Phasenraum domi-nieren aber Gebiete die zu chaotischen Bahnen gehören.

Hinweis: Chaotische Eigenschaften haben die meisten komplexen Systeme, die durch Differential-gleichungen beschrieben werden wie z.B. das Wetter oder das Klimasystem.

Daher kann z.B. das Wetter prinzipiell immer nur für relativ kurze Zeit vorhergesagt werden, egal wie gross die Rechenleistung ist oder wie vollständig die Startinformationen sind.

Die Empfindlichkeit des Systems Wetter hat Edward Lorenz sehr drastisch ausgedrückt:

“Doss the flap of a butterfly's wing in Brazil set off a tornado in Texas? “

Dieser “Schmetterlingseffekt” wird oft zitiert und ist berühmt.

Spielwiese: Ein applet mit dem sie ein chaotisches Pendel simulieren könnenfinden sie unter: Simulation chaotisches Pendel

Bei diesen Einstellungen gibt es nach einigerZeit eine periodische nicht harmonischeSchwingung (verbeulte Ellipse)

Bei dieser Einstellung ist die Bahn chaotisch.(keine Wiederholung derselben Bahnen)

(Links unten sind jeweils die Bahnkurven im Phasenraum (φ, φ) gezeigt )

Dies ist dasselbe Sinuspendel, wie wir es oben benutzt hatten, dessen Aufhängung jetzt aber hori-zontal von einer äusseren Kraft mit Frequenz omega und Amplitude A periodisch getrieben wird.Wählbar sind A, die Dämpfung λ und die Frequenz omega.

φ

φ

φ

φ

· ·

Unschärferelation der Quantenmechanik

Als erstes Beispiel nehmen wir das Wasserstoffmolekül als Beispiel eines Oszillators: Die Potentielle Energie als Funktion des Abstandes R der beiden Protonen hat ein Minimum Die beiden Protonen können gegeneinander schwingen.

R = 0.74* 10-10 m

p p

Die Abschätzung ergibt, dass fürSchwingungen des Moleküls ungefähr gilt:

ΔR* Δp ≈ 1.3 10-33 Js ≈ 2 h

Die Fläche der Schwingung im Phasenraumist also vergleichbar mit dem PlanckschenWirkungsquantum. Hier macht es keinen Sinnvon einer klassischen Teilchenbahn zu reden!Hier brauchen wir die Quantenmechanik.

4.5 eV

1. Schwingung

0.74 Å

Zur Abschätzung nehmen wir:ΔR = 0.74 10-10 m

<Ekin> = p2/2mp = 0.65 eV (erster Vibr.Zustand)

Daraus Δp ≈ p = sqrt(0.65 eV* 2 mp) = 1.8 10-23 Js/m

ΔR* Δp ≈ 1.3 10-33 Js ≈ 2 h

Experimentell gemessene Energieab-stände der Schwingungsmoden von H2

ΔE = hν0 = 1.3 eV <Ekin> = 1.3/2 eV = 0.65 eV

2. Beispiel: Elektron im homogenen Magnetfeld: Fadenstrahlrohr

Energie derElektronen:Ekin =e*U

R

In diesem Schulversuch sieht man die Kreisbahn der Elek-tronen, weil sie Restgasmoleküle zum Leuchten bringen.

Für Elektronen in Atomen gibt es keine ‘Teilchenbahnen, wir sehen sie aber im Fadenstrahlrohr oder in der Braunschen Röhre (Oszillograph, Röhrenfernseher): warum? Typische Werte: R= 7 cm; U = 265 V Ekin = 265 eV =( 4.246.004)* 10-17 J (Ungenauigkeit der Spannung) Δpx = Δpy = sqrt (2 me * ΔEkin) = 2.8 10-27 Js/m

Aus der Unschärferelation folgt dann: ΔR ≈ h/ Δp ≈ 2.4 10-9 m << R

Die aus der Quantenmechanik folgende Umschärfe liegt hier im Bereich einesAtomdurchmessers – vollkommen irrelevant für dieses Experiment.

Die klassische Teilchenbahn ist hier eine exzellente Näherung, wir können dieklassische Mechanik nutzen, um die Bahn auszurechnen!

Anhang: Chaotisches Pendel mit 3 Magneten

Dieser Aufbau eignet sich sehr gut zur Vorführung in einem Kurs/ einer Übungsgruppe

Die Farben der Startorte geben anbei welchem Magneten die Bahn endet Magnetpositionen

Chaotisches Pendel mit 3 Magneten

Video einer chaotischen Bahn: zum Start in das BildKlicken.