Lichtquant und Neutrino

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Lichtquant und Neutrino.

Von P. Jordan in Rostoek.

(Eingegangen am 4. Januar 1936.)

Der fr[iher aufgedeekte Zusammenhang zwisehen Liehtquanten und Neutrinos erfiihrt eine Vertiefung nnd Vervollst~ndigung dureh die Feststellung zweier versehiedener Arten yon Neutrinos, analog dem negativen und positiven Elektron. Dadureh erfahren die yon Kr o n ig aus der Theorie des Verfassers abgeleiteten Resultate eine sehr ansehauliehe Deutung. Aueh kann gezeigt werden, dag ein schwarzes Licht[eld nieht nur dureh Bin sehwarzes Neutrinofeld, sondern aueh dureh allgemeinere (thermodynamiseh station~ire) Neutrinofelder realisiert werdenkann. --- Die Arbeit besehriinkt sieh auf deneind4mensionalenStrahlungs-

hohlraum; der dreidimensionale Fall soll spi~ter behandelt werden.

5S 1. Einleitung. Der Zweek der vorliegenden Note ist eine wesen~lich

vertiefte Darstellung der , ,Neutrinotheorie des Lichtes", welche korzlich

dargelegt wurdel) , und we]ehe dureh Untersuchungen K r o n i g s ~) ent-

scheidend gefSrdert worden ist. Wi t legen .bier vorl~ufig einen eindimensionalen Strahlungshohlraum unseren Betraehtungen zugrunde, um ge-

wisse Komplikat ionen zu vermeiden, we]che mit den zun~ehst zu kl~renden

Fragen nieht umnit te lbar zu tun haben. Die Untersuehung des drei-

dimensionalen Falles wird nachfolgen. Die Tendenz unserer Uber-

legungen ist eine radikale Beseitigung des Liehtquantenbegriffes s) und die

Deutung der Liehtprozesse durch Neutrinowirkungen; zur Vermeidung

yon Wiederholungen sei der ansehauliehe Grundgedanke als aus I bekannt

voransgesetzt.

Das eigentliehe Fundament der Neutrinotheorie des Lichtes ist die

in I aufgestellte Beziehung:

a~,~ c,, _ ~ d co ,

- - o o

(1)

1) p. J o r d a n , ZS. f. Phys. 93, 464, 1935. (Ira folgenden als I zitiert.) Eine wiehtige Anregung ffir die Aufstellung dieser Theorie gab L. de B r o g l i e , (vgl. L. de Brog l i e u. J. W i n t e r , C. R. 199, 813, 1934 und die dort zitierten Arbeiten), dessen Auffassungsweise jedoeh mit der hier vertretenen Theorie nicht xTereinbar ist. - - 2) R. de L. K r o n i g , Physiea 2, 491, 854, 965, 1935. Vgl. ferner O. S c h e r z e r , ZS. f. Phys. 97, 725, 1935. - - 3) Abweichend yon der Theorie yon de Brog l i e 11. G. W e n t z e l , ZS. L Phys. 92, 337, 1934, welehe das Liehtquant als reales Gebilde, bestehend aus zwei Neutrinos gleicher Energie, annimmt.

760 1 ) . Jordan,

welehe aus Fourier-Koeffizienten a,,, c,., welche den for die Fermi-Statist ik charakteristischen ~'[ultiplikationsgesetzen 1) geniigen, B o s esche Fourier- koeffizienten b~ herleitet.

K r o n i g hat in einer noch nicht ver5ffentlichten Untersuchung 2) den in I noch fehlenden Nachweis erbringen k5nnen, dag gem~l~ (1) tats~chlich ein lorentzinvarianter Zusammenhang hergestellt werden kann zwischen

dem den Maxwe l l s chen Gleichungen geniigenden Felde ~, .~ und dem der

(Diracschen) Neutrinowellengleichung gehorchenden Spinorfeld a) F1, ~f12, ~fla, ~4, und zwar mit korrekter Beriicksichtigung der notwendigen An- wendung der Di racschen L5cheridee auf die Neutrinos.

Zur Fundamentalformel(1) leiteten uns in I thermodynamische Er- w~gungen, fiir welche die folgende Identit~t wesentlich war. Fiir ] y] < i ist :

r +~o~ yr+~ - - Y ; ]y] < 1. (2) = _ (l + yr + ~) (l + y ~) 1 - - y

Mit der in I gegebenen Beweismethode kann man abet auch die etwas allgemeinere Identit~t

+ ~ a y r + ~ - - Y y ; ]Yl < 1, (8) ( l + a y ~ + ~ ) ( l + a y ~ ) --

r = - - ~

erhalten, und diese seheinbar geringffigige Verallgemeinerung erweist sich als physikalisch sehr bedeutungsvoll. Sie erm5glicht eine Vertiefung der thermodynamischen Erw~gungen aus I in folgendem Sinne:

2. Neutrinoladung. Wit nehmen zwei Arten yon Neutrinos an, sagen wir ,,positive" und ,,negative", und behaupten, dab bei jedem Lichtprozel~ die Di//erenz der Anzahlen positiver und negativer Neutrinos ungedndert bleibt.

Diese zun~chst nut thermodynamisch - - aus (3) - - erschlossene Feststellung ist nun tatsi~ehlich eine zwangsliiufige Fotgerung aus der Fundamental- /ormel (1). Das ist zu erkennen im Anschlul3 an die yon K r o n i g (a. a. O.)

ausgefiihrte Untersuehung der Beziehung (1); K r o n i g s in abstrakterer Form ausgesproehene Resultate finden damit eine sehr anschauliehe Deutung.

X r o n i g hat ngmlieh eine Hermitesehe MatrixgrSP0e B gefunden, welche mit allen b,, vertauschbar ist, ~lso eine bei allen Lichtprozessen unge~ndert bleibende GrSl3e darstellt. Die Eigenwerte yon B bilden eine iiquid~stante t?dhe mit dem Abstand 1.

1) p. J o r d a n u. E. Wigner , ZS. f. Phys. 47, 631, 1928. - - 2) Nach freundlieher brieflieher Mitteilung. - - 3) Zur Rechtfertigung einer Beiseite- lassung dieser yon K r o n i g jetzt gekl:~irten Frage wurde in I darauf hinge- wiesen, dal3 de Brogl ie bereits einen Zusammenhang zwischen Maxwell- Gleichungen und Diraeseher Neutrinogleichung herzustellen versucht hat. Diese Versuche sind jedoeh mit (1) und dem Kronigschen Resultat nicht im Einklang.

Lichtquant und Neutrino. 761

Ferner gilt die Kronigsehe Beziehung

W = E - - hc B2 --~-- ~- ~ 0, (4)

in welcher E die Gesamtenergie des Neutrinofeldes, V das ,,Volumen" (L~nge) des eindimensionalen Hohlraumes and W der als elektromagnetische Energie in Erscheinung tretende Anteil yon E istl). FOX B 2 = 0 ist also W = E: wir haben ein ,,reines Licht/eld"; es gibt aber auch den Fall W = 0: ein ,,mines Neutrino/eld".

Diese Kronigschen l~esultate erhalten nun einen anschauliehen Sinn, wenn man folgendes flberlegt. Aus den a,, c, k6nnen wir die neuen, aber eben/al~ den Amplituden-Multiplikationsgesetzen fOx Fermi-Statistik gehorchenden Gr61~en

bilden.

a~+) __ a, + icz,

a~-- ) _ a v - - { cv

V9 Dann sind

N(+) V r (+) (+), N(-) V I (-) (-)_,,

0 0

(5)

(6)

die Gesamtzahlen der vorhandenen positiven bzw. negativen Neutrinos; und die yon K r o n i g eingefiihrte Matrix ist:

I B = N(+) - -N( - ) . I (7)

Die somit eingefiibrten beiden Arten yon Neutrinos doxften vermutlich in der relativistischen Formulierung den ,,Neutrinos positiver Energie" und ,,Neutrinol6chern" entsprechen - - des mu~ sich nach Kron igs er- w~hnter Untersuehung der relativistischen Invarianz von (1) entseheiden lessen.

Die festgestellte Unver~nderliehkeit yon N ( + ) - - N (-) bei Licht- prozessen verengert die Analogie von Neutrino und Elektron: es liegt nahe, B als eine ,,Ladung" des Neutrinofeldes zu bezeiehnen, oder etwa als ,,Neutrinoladung" zur Unterscheidung yon der gew5hntich elektrischen

1) Bei Kronig heil~t (4) infolge etwas anderer Normierung der benutzten Gr61~en :

1 B 2 1 w : E - - ~ -t-~.

762 P. Jordan,

Ladung. Dem hier festgestellten neuen ,,Erhaltungsgesetz des Neutrino-

ladung" kommt vielleicht eine i~hnlich universelle Bedeutung zu, wie dem Erhaltungsgesetz der elektrischen Ladung: in bezug auf die fl-Prozesse

wird man iiberzeugt sein diirfen, daI~ auch hier die Neutrinoladung konstant bleibt, sofern man auch dem Neutron eine Neutrinoladung 4- 1 zusehreibt. Das Vorzeichen der Neutrionladung des Neutrons diirfte dabei mal~gebend sein flit das Vorzeichen des Ouotienten yon magnetischem und mechanischem Spinmomentl).

Offensiehtlieh erh~lt aueh die aus der Neutrinotheorie des Lichtes resultierende Analog@ yon ~- und fl-Strahlung 2) dureh das Erhaltungsgesetz der Neutrinoladung eine neue Verseh~rfung. - -

Im folgenden betrachten wir die Neutrinotheorie des Lichtes nu t vom thermodynamiseh-statistischen Standpunkt aus, und zwar soll diese Be- trachtung ganz unabhi~ngig yon der Grundgleichung (1) und den obigen Ausffihrungen durehgefiihrt werden, so dal3 aueh ein an Matrizen nicht ge- wShnter Leser alles Folgende priifen kann. ttervorgehoben sei abet noch einmal, dal~ die im folgenden zum Teil induktiv begriindeten Aufstellungen durchweg aus (1) zu deduzieren sind.

Als bekannt vorausgesetzt werden im folgenden lediglich einige die statistische Kinetik der Etementarprozesse uad alas thermodynamische Gleichgewicht bei Fermi-Stat is t ik betreffende Formelna).

3. Beine Licht/elder. Naeh der bisherigen Theorie ist fiir einen eindimensionalen ,,Hohlraum" die Strahlungsdichte 9~ des schwarzen Liehtes gegeben dureh hu 1

9,, : 2 " ~ c " n,. = h . -~ . n ,

~,, (S) Y - - ; y ~ e k ~ 1 . n~ ~ 1 - - y

Haben wir mm schwarze Neutr~nostrahlung in unserem Hohlraum, so besitzt diese analog zu (1) eine Neutrinostrahlungsdich~e

h~ 1 / a~ ~ 4 . ~ - ~ . m ~ = 2 h . - ~ . m ~ ,

(9) Y h,. I m , . = l + y ; y = e kT < l .

Der Unterschied der Faktoren 2 und 4 in (1), (2) rfihrt davon her, dal~ ein Zustand vorgegebenen Impulses alas statistische Gewioht 2 beim

1) Vgl. die Schlul3bemerkung in P. Jordan , Naturwissensch. (ira Er- scheinen). - - ~) P. Jordan, ZS. f. Phys. (im Erscheinen). - - ~) Alle zu- benutzenden Formeln sind ausfiihrlich besprochen z. B. in meinem Buche : Sta- tistische Mechanik auf quantentheoretischer Grundlage. Braunschweig 1933.


Lichtquant und 4 beim Neutrino hat - - sofern wir ftir das letztere eine vierkomponentige Wellen/unkt4on ~Pk a~mehmenl) �9

Die Gesamtstrahlungsdichte - - sie ist im eindimensionalen Falle proportional mit T ~ - - ergibt sieh Ntr beide Fiille gbieh:

u :IQ d ; : fo , (lO) 0 0

ergibt nach (8), (9): k~ T2 ( 1 1 ) Te'~ k2 T 2

u = v : ~ 1 ~ - ~ - ~ 7 + . . . . 6he (11)

(In I war gezeigt, dal3 im dreidimensionalen Hohlraum hingegen u < v ist.)

Wir machen nun die Hypothese, dab der mit schwarzein Licht und der mit schwarzer Neutrinostrahlung geftillte (eindimensionale!) Hohlraum schlechtweg dasselbe sind: die bislang als Absorption eines , ,Liehtquants" durch ein Atom aufgelal]ten Elementarprozesse milssen dan~ in Wahrheit Prozesse mit zwei beteiligten Neutrinos sein.

Wir werden hernaeh zwei Arten Neutrinos unterseheiden, und dem- gemi~g

a(~ ) h (+). (_) h m~7) } (12)

unterscheiden. Zunichst aber nehmen wir Ubereinstimmung der beiden Neutrinostrahlungsdichten an:

m(~ +) = m~ - ) = m~; (13) __ Y jedoeh wollen wir uns keineswegs auf den schwarzen Fall m. 1 - [ - y

besehr~nken, sondern m, als beliebige Ftmktion yon ,u ansetzen.

Die Absorption eines ,,Liehtquants h e ' dutch ein Atom mug dann also eine Wahrseheinliehkeit haben, die proportional mit einem Ausdruek

1

w -- ~ m ~ , m . . . . . .g(~) d ~

o (14)

d~ 0

ist. Nattirlich k6nnen dabei an Stelle der beiden Integrale aueh diskrete Summen in Betraeht kommen (diese Bemerkung ist yon Bedeutung fiir den

x) In I war ein zuniichst unbestimmtes K statt 4 eingefiibrt worden, in Rtieksieht auf die "con de Brogl ie vertretene Einfiihnmg einer Neutrino- wellenfunktion mit K = 16 Komponenten. Diese Annahme soil jetzt jedoeh ausgesehaltet werden.

764 P. Jordan,

dreidimensionalen Hohlraum); doch k6nnte dies formal dutch Diraesehe (~-Funktionen in (14) beriicksiehtigt werden.

Der ~nverse Emissionsproze$ hat dann eine H~ufigkeit proportional zu 1

w' = ~ [1 - - me,,] ]~1 - - m . . . . ]- g (~) d

0 (14') oo

0

Nun ist naeh der Lichtquantentheorie die Wahrseheinliehkeit (14), wenn wir den darin enthaltenen Proportionalit~tsfaktor entspreehend festlegen, gleich n, und die Wahrseheinlichkeit (14') ist entspreehend gleich 1 ~- n,; es muB also folgende Beziehung gelten:

w = n~; w' = l + n , ; I w ' - w = 1. [ (15)

Die Ausrechnnng yon (15) mit (14), (14') ergibt aber 1

f g (a) d~ = 1, (16) 0

und

0 = - - ~{m,,. + m . . . . . } . g (~ )d%

(17)

+ / 0

Nun kann man yon vornherein g ( 1 - - a ) = g(~) nehmen; dann be- deutet (17) offenbar: G (~) ist in a per~od~seh mit der Periode 1 ; und g (~) = ~ e (~).

Die einfaehste LSsung - - und diejenige, die wir fiir den eindimensionalen Hohlraum tatsaehlieh brauehen - - ist also

g(~) = 1 ; V(~) = 2 ; (18) so da$ wir als Ergebnis

1 co

(19) 0 0

bekommen. Tats~chlieh erhalten wir naeh dieser Formel (19) insbesondere

fiir ein schwarzes Neutrinofeld m~ -- Y aueh ein schwarzes Liehtfeld l + y

Y ; d a s folgt wegen der Identitiit (2), die zu n~ - - l ~ y

f Y~ + ' Y (9.0) ( 1 - ~ y ~ + ~ ) ( l + y ~ ) d ~ - - 1 - - y fiihrt. -


Wir behaupten ferner: Auch bei beliebigem m s ergibt sieh stets ein reines Lieht/eld. Man berechne ni~mlich:

Naeh (19) wird

u - - - - v n , , . d v ; v = v m , . . d v . - - e

0 0

(21)

oz oz ~ oo

u c f I 2] ~ [1 Jd - - = v d v m . , . m . . . . . . do~- t - v d v . m , , + ~ , - - m ~ , , ~ h . 0 (} 0 0

0 0 0 0 0 0

I-Iier heben sieh die in m quadratisehen Teile fort; und es bleibt ~brig:

w e j VC ~- ---- 2 v m , . d v = ~- , (22)

0

U ~ V .

Die (Ibereinst immung (13) gibt also stets ein reines Licht/eld. Jedoch ist (13) nur eine hinreiehende, ke~neswegs aber eine notwendige Bedingung ffir ein reines Lichtfeld.

4. Station~res Neutrino/el& Wenn unser Hohlraum eine gewisss von Null verschiedene Neutrinoladung B enthi~lt, so kann durch Licht-

prozesse niemals ein schwarzes Neutrino/eld m(~+ ) = (-) : Y hergestellt m, 1 + y

werden. Es erhebt sich die Frage, wieso trotzdem ein schwarzes Lieht/eld 1

n , , - hergestellt wird. 1 - - y

Bei vorgegebenem Werte der Differenz N (+) - - N (-) erreicht das Neutrinofeld maximale Entropie bei der Verteilung 1)

m~ +) _ a y l + a y '

Y - - (28)

m(_ ) ~ a

1 + y a

1) Vgl. S. 101, Formel (14) des oben zitierten Buches ; oder auch : P. Jordan, ZS. f. Phys. 41, 711, 1927.

766 P. Jordan,

Nun werden wit (19) bei m~, +) =r m(~ -) zu ersetzen haben durch

(+) (-) (+) (+) (-) (-) n ~ = m ~ m . . . . d o : + {m~+~, . [ l - -m~]+m, ,§ (24)

0

Setzen wir hierin die thermodynamisch station~re Verteilung (9,3) ein, so ergibt sich in der Tat ifir das Lichtfeld wieder die P l a n c k s c h e

Y Das folgt, wie leicht zu iiberlegen, aus der Identit~t Formel n i = 1 - - y

(8) b~w. + o o

f a y" + ~ a y~) d 0r = Y (9,5) ( 1 + aye+ 1) (1 + 1 - - y - - o o

w 5. Reines Neutrino/eld. Wenn bei N (+) > N (-) die Temperatur T

des in w 8 besprochenen station/iren Neutrinofeldes auf den absoluten Nullpunkt T = 0 heruntergeht, haben wit, wenn s die maximale vor-

kommende Neutrinoenergie ist,

/ fiir h v > ~, (26)

~r~ - ) ~ 0.

A ~ diesem Neutrino/elde kann, obwohl es eine beliebig groBe Energie enthalten mag, offenbar kein Atom ein ,,Dich~ant" absorbieren. Dies also

ist das ,,reine Neutrino/eld".

Es besteht aber bezi~glich der reinen Neutrinofelder ein wiohtiger Unterschied zwischen dem eindimen~ionalen und dem (mehrdimensionalen, insbesondere) dre~dimensionalen Hohlraum: Nur im eindimensionalen Falle

ist das reine Noutrinofeld ein extremer, seltener Ausnahmefall.

Fi~r einen vorgegebenen Wert yon B = N (+) - - N (-) hat das zugeh6rige

reine Neutrinofeld die Energie

h c B~" (27) E = y - ~

Folglieh gilt allgemein die Ungleichung

hc E > ~ B ~, (~s)

entsprechend (4).

w 6. Der allgemeine Fall. Mit der Aufstellung der Gleichung (24) ist die Frage naoh dem Zusammenhang yon % mit ~(+) m~ - ) ganz allgemein ttc,~

beantwortet women. Es bleibt jedoch noch zu zeigen, dab die Gesamt-


energie W : u V des Lichtfeldes nach (9.4) niemals grOl]er als die Gesamt-

energie E = v V des Neutrinofeldes werden kann - - denn anderenfalls

kSnnte die vorgetragene Theorie nichL richtig sein. Wir beweisen zu diesem Zwecke die Kronigsche Relation (4).

ihnl ich , wie in w 9., wird zun~chst v

_ ~ t (+) ( - ) . ( v - - u ) h ~dv ' jm '~ m, ._~ae~ C 0 0

; ~ , ( + ) . ( + ) ( - - ) (--) + Im,,+~'m,o +m,,+~m~o } d o d v ;

0 0

ferner ist

(+) (--)1 e2B~ (+) ( - ) ( - ) 9,,m, v ,mu j V2 - - dvd /~ {m~+) m.. + m. m~ - - �9

0 0

Daraus ist aber in der Tat die Beziehung

hc 2 (29)

zu en~nehmen. Ein reines Licht[dd ergib~ sich also dann und nut dann, wenn die gesamte Neutrinoladung verschwindet.

bq 7. Es verbleibt endlich noch die Frage, welche Verteflm~g m~ +), m~. --) zu vorgegebenem G. (z. ]3. etwa zu monochromatischem Licht) gehSrt: man

kann iibrigens nicht yon vornherein ganz sicher sein, dal3 jede Verteilung n,

durch (9,4) 4arstellbar ist - - da nicht (9.4), sondern (1) die Grundgleichung der Theorie ist. Ferner scheint es wiinschenswert, die Entropie des ge-

samten Neutrinofeldes mit der des Lichtfeldes genauer zu vergleichen. Auch ist eine einfache ph~nomenologisch-thermodynamische Behandlung des station~ren Neutrinofeldes yon w 4 mSglich. Diese Fragen sollen im hiesigen Insti~ut n~her untersucht werden.

Herrn R. de L. K r o n i g mSchte ich herzlich danken fiir die wertvolle

F6rderung, die ich durch einen raft ibm geftihrten Briefwechsel iiber die Neutrinotheorie des Lichtes erfahren babe. Eine gemeinsame Unter- suchung yon Hern l K r o n i g und mir fiber den dreidimensionalen Hohl-

raum ist in Vorbereitung.

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