Lineare Algebra i - Fachbereich Mathematik · Lineare Unabh angigkeit, Basis Vektoren v1;:::;vmheiˇen linear abh angig, wenn es Skalare B1;:::; m gibt mit 1v1 + + mvm= 0 und mindestens

Lineare Algebra

Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Hoheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite

www.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/ fur Erlauterungen zur Nutzung und zum Copyright.

Lineare Algebra 1-1

Vektorraum der n-Tupel

Sei K = R oder C. Ein Element a ∈ Kn bezeichnet man als n-Tupel,n-Vektor oder einfach Vektor:

a =

a1...an

, ai ∈ K.

Kn ist mit der komponentenweise definierten Addition undSkalarmultiplikation, d.h.

a1...an

+

b1...bn

=

a1 + b1...

an + bn

und λ ·

a1...an

=

λ · a1...

λ · an

fur ai, bi, λ ∈ K, ein Vektorraum.

Lineare Algebra – Vektorraume Vektorraum der n-Tupel 1-1

Oft ist es bequem, n-Tupel als Zeilenvektor

at = (a1, . . . , an) bzw. a = (a1, . . . , an)t

zu schreiben. Durch das Symbol”t“ der Transposition wird von der

Standardkonvention als Spaltenvektor unterschieden.

Lineare Algebra – Vektorraume Vektorraum der n-Tupel 1-2

Linearkombination

Fur Vektoren v1, v2, . . . , vm ∈ Kn bezeichnet man

λ1 · v1 + λ2 · v2 + · · ·+ λm · vm =m∑

i=1

λi · vi

mit Skalaren λi ∈ K als Linearkombination der Vektoren vi.

Die Menge aller solchen Linearkombinationen nennt man die lineare Hulleder vi:

span(v1, . . . , vm) =

{m∑

i=0

λi · vi : λi ∈ K}.

Lineare Algebra – Vektorraume Linearkombination 2-1

Beispiel:

(i) v = (1, 2, 3)t ist eine Linearkombination der Vektoren

v1 = (3, 4, 5)t, v2 = (1, 1, 1)t,

dennv = v1 − 2v2 .

(ii) v = (1, 0)t ist keine Linearkombination der Vektoren

v1 = (0, 1)t, v2 = (0, 2)t,

denn jede Linearkombination von v1 und v2 hat die Form (0, ?)t.

(iii) v = (0, 0, 0, 0)t ist auf verschiedene Art als Linearkombination von

v1 = (1, 1, 0, 0)t, v2 = (0, 2, 2, 0)t, v3 = (0, 0, 3, 3)t, v4 = (4, 0, 0, 4)t

darstellbar:v = λ(12v1 − 6v2 + 4v3 − 3v4), λ ∈ R


Beispiel:

V = R3

(i) v1 = (1,−1, 0)t, v2 = (0, 1,−1)t:

span(v1, v2) = {λ1(1,−1, 0)t + λ2(0, 1,−1)t : λi ∈ R}= {(λ1, λ2 − λ1,−λ2)t : λi ∈ R}

Ebene, orthogonal zu (1, 1, 1)t

(ii) v3 = (−1, 0, 1)t:gleiche lineare Hulle, da

v3 = −v1 − v2(darstellbar als Linearkombination von v1 und v2)keine eindeutige Darstellung von Vektoren in span(v1, v2, v3):

(0, 0, 0)t = λ(v1 + v2 + v3), λ ∈ R


Euklidisches Skalarprodukt und Euklidische Norm

Fur Vektoren x = (x1, . . . , xn)t, y = (y1, . . . , yn)t ∈ Rn ist das kanonischeSkalarprodukt 〈·, ·〉 durch

〈x, y〉 = xty =

n∑

j=1

xjyj

definiert und hat die folgenden Eigenschaften

Positivitat:〈x, x〉 > 0 fur x 6= 0

Symmetrie:〈y, x〉 = 〈x, y〉

Linearitat:〈λx+ %y, z〉 = λ〈x, z〉+ %〈y, z〉

Dabei sind λ, % ∈ R beliebige Skalare.

Lineare Algebra – Vektorraume Skalarprodukt und Norm 5-1

Aufgrund der Symmetrie ist 〈·, ·〉 auch bzgl. des zweiten Argumenteslinear, also eine Bilinearform auf Rn.

Die assoziierten Euklidische Norm ist definiert als

|x| =√x21 + · · ·+ x2n

und hat die folgenden Eigenschaften

Positivitat:|x| > 0 fur x 6= 0

Homogenitat:|λx| = |λ| · |x|

Dreiecksungleichung:|x+ y| ≤ |x|+ |y|

.

Lineare Algebra – Vektorraume Skalarprodukt und Norm 5-2

Lineare Unabhangigkeit, Basis

Vektoren v1, . . . , vm heißen linear abhangig, wenn es Skalare α1, . . . , αmgibt mit

α1v1 + · · ·+ αmvm = 0

und mindestens einem αi 6= 0.Andernfalls heißen sie linear unabhangig. In diesem Fall folgt aus∑

k αkvk = 0 dass α1 = · · · = αm = 0 .

n linear unabhangige Vektoren v1, . . . , vn ∈ Rn spannen den geasmetenRaum auf, d.h. jeder Vektor kann als linear kombination dieser Vektorendargestellt werden. In diesem Fall bezeichnet man {v1, . . . , vn} als Basis.Sind diese Vektoren paarweise orthogonal und hat jeder Betrag eins, d.h.

〈vi, vj〉 =

{1 falls i = j

0 sonst ,

dann beteichnet man sie als Orthonormalbasis.Lineare Algebra – Vektorraume Lineare Unabhangigkeit, Basis 6-1

Die Euklidischen oder kanonischen Einheitsvektoren

e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, · · · , en =

00...1

bilden die Euklidische oder kanonische (Orthonormal-) Basis des Rn.

Lineare Algebra – Vektorraume Lineare Unabhangigkeit, Basis 6-2

Beispiel:

(i) Zwei Vektoren im R2 sind genau dann linear unabhangig, wenn keinerder beiden ein Vielfaches des anderen ist.konkrete Beispiele(1, 0)t, (1, 1)t sind linear unabhangig, denn

α(1, 0)t + β(1, 1)t = (0, 0)t =⇒ β = α = 0

(0, 0)t, (2, 3)t sind linear abhangig, denn

(0, 0)t = 0(2, 3)t =⇒ 1(0, 0)t + 0(2, 3)t = (0, 0)t ,

d.h. ∃ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors


(ii) Drei Vektoren u, v, w im R2 sind immer linear abhangig.

αu+ βv + γw = 0

unterbestimmtes, homogenes lineares Gleichungssystem

αu1+βv1 + γw1 = 0

αu2+βv2 + γw2 = 0

fur α, β, γ, das immer eine nichttriviale Losung besitzt.konkretes Beispiel:

α

(01

)+ β

(12

)+ γ

(23

)=

(00

)

fur γ = s, β = −2s und α = s und beliebiges s ∈ R


Beispiel:

(i) Zwei Vektoren im R3 sind linear abhangig, wenn sie parallel sind, d.h.wenn ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist.

(ii) Drei Vektoren sind linear abhangig, wenn zwei Vektoren parallel sindoder wenn ein Vektor in der von den beiden anderen Vektorenaufgespannten Ebene liegt.

(iii) Vier und mehr Vektoren im R3 sind immer linear abhangig.

Test fur lineare Abhangigkeit: homogenes lineares Gleichungssystem

λ1

x1y1z1

+ · · ·+ λn

xnynzn

=

000

fur die Skalare λi

Lineare Unabhangigkeit ⇔ λ1 = · · · = λn = 0 ist einzige Losung.


Konkrete Falle

(i) u = (0, 1, 2)t, v = (1, 2, 3)t sind linear unabhangig, da u ∦ v

(ii) u = (1, 0, 0)t, v = (2, 3, 0)t, w = (4, 5, 6)t sind linear unabhangig, da

λ

100

+ ρ

230

+ σ

456

=

000

=⇒ σ = ρ = λ = 0

(iii) (1, 0, 0)t, (0, 2, 0)t, (0, 0, 3)t, (4, 5, 6)t sind linear abhangig, da

5

100

+ 2

020

+ 2

003

+ (−1)

546

=

000


Matrix

Unter einer (m× n)-Matrix (m,n ∈ N) uber K versteht man einRechteckschema

A = (aij) =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

, aij ∈ K.

Man bezeichnet (ai1, ai2, . . . , ain) als i-ten Zeilen- und (a1j , a2j , . . . , amj)t

als j-ten Spaltenvektor von A. Speziell ist eine (n× 1)-Matrix ein Spalten-und eine (1× n)-Matrix ein Zeilenvektor.

Lineare Algebra – Matrizen Matrix 9-1

Die (n×m)-Matrizen bilden den Vektorraum Kn×m; Rn×m (Cn×m)bezeichnet die reellen (komplexen) Matrizen. Die Vektorraumoperationensind komponentenweise definiert:

C = A±B ⇔ cij = aij ± bijB = λA ⇔ bij = λaij


Beispiel:

Verschiedene Matrixdimensionen

315797

, (i, 1 + i,−1, 3i) ,

0 1 0i 1 + i −i√

3 + 3i 7543 17

,

11 1221 2231 32

Spalten- bzw. Zeilenvektor, quadratische und rechteckige Matrix


Beispiel:

lineare Abbildungen L : R2 → R2 der Ebene festgelegt durch dieBilder der Einheitsvektoren ei (fett)

e1 =

(10

), e2 =

(01

)

e1

e2

Urbild

L(e1) = re1

L(e2) = se2

Streckung

L(e1)

L(e2)

ϑ

Drehung

L(e1)

L(e2)

ϑ

Scherung

A =

(r 00 s

)A =

(cosϑ − sinϑsinϑ cosϑ

)A =

(1 cotϑ0 1

)

Die Spalten von A enthalten die Koordinaten der Vektoren L(ei).


Beispiel:

(i) Auswertung einer linearen Funktion an den Punkten x = 0, 1:

L : p 7→(p(0)p(1)

), p(x) = a0 + a1x

Matrix bzgl. der Monombasis p1 : x 7→ 1, p2 : x 7→ x

(L(p1), L(p2)

)=

(1 01 1

)

Matrix bzgl. der Basis p1 : x 7→ 1− x, p2 : x 7→ x

(p1(0) p2(0)p1(1) p2(1)

)=

(1 00 1

)


(ii) Auswertung eines Polynoms

p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

vom Grad ≤ n an m Stutzstellen x = x1, . . . , xm:Monombasis Vandermonde-Matrix

V =

x01 x11 · · · xn1x02 x12 · · · xn2...

.... . .

...x0m x1m · · · xnm

,

p(x1)...

p(xm)

= V

a0...an

Spalte j: Auswertung des Monoms x 7→ xj an den Punkten xi

Zeile i: Auswertung der Monome x 7→ xj am Punkt xi


Linearitat, Bild und Kern

Sei A eine (m× n)-Matrix. Die durch die Multiplikation der Matrix A miteinem Vektor v

v 7→ Av

definierte Abbildung ist linear, d.h.

A(u+ v) = Au+Av, A(λv) = λ(Av)

fur alle Vektoren u, v ∈ Kn und Skalare λ ∈ K.

Man bezeichnet mit

KernA = {v ∈ Kn : Av = 0} ⊆ Kn

den Kern und mit

BildA = {w ∈ Km : ∃v ∈ Kn mit Av = w} ⊆ Km

das Bild von A.Lineare Algebra – Matrizen Linearitat, Bild und Kern 13-1

Beispiel:

Projektion P parallel zu der Geraden

g : (t, t, t), t ∈ R

von R3 auf die x1x2-Ebene:

P : x 7→

x1 − x3x2 − x3

0

=

1 0 −10 1 −10 0 0

x1x2x3

=⇒

KernP = g, BildP = span

100

,

010

Lineare Algebra – Matrizen Linearitat, Bild und Kern 14-1

Matrix-Multiplikation

Das Produkt einer (`×m)-Matrix A und einer (m× n)-Matrix B ist die(`× n)-Matrix

C = AB , ci,k =m∑

j=1

ai,jbj,k ,

d.h. zur Definition von ci,k werden die Produkte der Elemente aus Zeile ivon A und Spalte k von B summiert:

ci,k

=

ai,1 · · · ai,j · · · ai,m

b1,k...bj,k

...bm,k

Man beachte, dass dazu die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von Bubereinstimmen muss.

Lineare Algebra – Matrizen Matrix-Operationen 1-1

Die Matrixmultiplikation entspricht der Komposition der linearenAbbildungen

T : u 7→ v = Bu, S : v 7→ w = Av ,

d.h. C = AB ist die Matrixdarstellung von S ◦ T .Die Matrix-Multiplikation ist i.a. nicht kommutativ.


Beispiel:

einige konkrete Matrix-Produkte:

(1 10 100

100 10 1

)

1 3 22 1 33 2 1

=

(321 213 132123 312 231

)

123

( 0 −1

)=

0 −10 −20 −3

(3 4

)( 34

)= 25

(1 ii 1

)(1i

)=

(02i

)


Inverse Matrix

Fur eine invertierbare lineare Abbildung v 7→ Av bezeichnet A−1 dieInverse der (notwendigerweise quadratischen) Matrix A, d.h.

AA−1 = A−1A = E

mit

E =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

. . ....

0 0 · · · 1

der Einheitsmatrix.Fur Produkte quadratischer Matrizen gilt

(AB)−1 = B−1A−1 ;

bei Invertierung von Abbildungen vertauscht sich die Reihenfolge.Lineare Algebra – Matrizen Matrix-Operationen 1-1

Beispiel:

Diagonalmatrix:

A =

(3 00 1/7

), A−1 =

(1/3 0

0 7

)

Dreiecks-Matrix:

B =

(1 01 1

), B−1 =

(1 0−1 1

)

Die Struktur bleibt erhalten.

voll besetzte Matrix:

C =

(−1 2−1 1

), C−1 =

(1 −21 −1

)

Berechnung der Eintrage durch Losen eines linearenGleichungssystems


Transponierte und symmetrische

Werden Zeilen und Spalten einer Matrix A vertauscht so spricht man vonder transponierten Matrix B = At, d.h.

bi,j = aj,i .

Eine Matrix mit A = At bezeichnet man als symmetrisch.Es gelten folgende Regeln:

(AB)t = BtAt, und (At)−1 = (A−1)t .


Rang einer Matrix

Fur eine m× n-Matrix A stimmt die maximale Anzahl linear unabhangigerSpalten mit der maximalen Anzahl linear unabhangiger Zeilen uberein undwird als Rang von A, RangA, bezeichnet. Insbesondere gilt

RangA ≤ min{m,n}

und fur eine invertierbare n× n-Matrix A ist RangA = n.


Beispiel:

typische Falle:

Rang

0 00 00 0

= 0 Rang

1 22 33 4

= 2, Rang

3 46 89 12

= 1

fur die dritte Matrix:

4S1 = 3S2, 2Z3 = 3Z2 = 6Z1


Determinante

Die DeterminantedetA = det(a1, . . . , an)

einer quadratischen Matrix A mit Spalten aj kann durch folgendeEigenschaften definiert werden.

Multilineariat:

det(. . . , αaj + βbj , . . .) = α det(. . . , aj , . . .) + β det(. . . , bj , . . .)

Antisymmetrie:

det(. . . , aj , . . . , ak, . . .) = −det(. . . , ak, . . . , aj , . . .)

Normierung:det(e1, . . . , en) = 1, (ek)` = δk` .

Lineare Algebra – Matrizen Determinanten 1-1

Mit den definierenden Regeln lasst sich eine Determinante als Summen-facher Produkte entwickeln:

detA =∑

i∈Sn

σ(i) ai1,1 · · · ain,n ,

wobei uber alle Permutationen (i1, . . . , in) von (1, . . . , n) summiert wirdund σ das Vorzeichen der Permutation bezeichnet.Man benutzt ebenfalls die Schreibweisen

detA = |A| =

∣∣∣∣∣∣∣

a1,1 · · · a1,n...

...an,1 · · · an,n

∣∣∣∣∣∣∣.

Wegen der hohen Anzahl der Summanden (es exisitieren n!Permutationen) ist die explizite Darstellung der Determinante fur diepraktische Berechnung schlecht geeignet. Sie ist jedoch unmittelbar mitden definierenden Eigenschaften verknupft und wird zum Beweis sowie zurHerleitung einiger anderer Eigenschaften benotigt.


Beispiel:

Determinante einer (2× 2)-Matrix:

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc

nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen

alternative Herleitung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften:

det(ae1 + ce2, be1 + de2) = a det(e1, be1 + de2) + cdet(e2, be1 + de2)

= abdet(e1, e1) + addet(e1, e2)

+ cbdet(e2, e1) + cddet(e2, e2)

= ab · 0 + ad · 1 + cb · (−1) + cd · 0= ad− bc


Beispiel:

Die Determinante einer 3× 3-Matrix ist eine Summe von Produkten, dieden verschiedenen Diagonalen entsprechen.

Dieses sogenannte Sarrus-Schema ist in der Abbildung illustriert.

PSfrag repla ementsa1;1 a1;2 a1;3a2;1 a2;2 a2;3a3;1 a3;2 a3;3a1;1 a1;2 a1;3a2;1 a2;3

= a1;1a2;2a3;3 + a2;1a3;2a1;3 + a3;1a1;2a2;3�a3;1a2;2a1;3 � a1;1a3;2a2;3 � a2;1a1;2a3;3Lineare Algebra – Matrizen Determinanten 3-1

Uberprufung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen:

i Vertauschungen σ(i) Produkt

(1, 2, 3) + a1,1a2,2a3,3(2, 3, 1) → (3, 2, 1)→ (1, 2, 3) + a2,1a3,2a1,3(3, 1, 2) → (2, 1, 3)→ (1, 2, 3) + a3,1a1,2a2,3(3, 2, 1) → (1, 2, 3) − a3,1a2,2a1,3(1, 3, 2) → (1, 2, 3) − a1,1a3,2a2,3(2, 1, 3) → (1, 2, 3) − a2,1a1,2a3,3


Eigenschaften von Determinanten

Die Determinante einer Matrix ist genau dann nicht Null, wenn die Spalten(Zeilen) eine Basis bilden. Insbesondere ist die Determinante einer Matrixmit zwei gleichen Spalten oder Zeilen Null. Daraus folgt, dass sich dieDeterminante nicht andert, wenn man ein Vielfaches einer Spalte (Zeile)zu einer anderen Spalte (Zeile) addiert.Durch Skalierung, Addition und Vertauschung von Zeilen und Spalten lasstsich eine Determinante sukzessive auf Dreiecksform transformieren unddamit als Produkt der modifizierten Diagonalelemente berechnen.Es gelten die folgenden Regeln:

det(AB) = (detA)(detB)

detA = detAt

det(A−1) = (detA)−1


Beispiel:

Transformation von Determinanten auf Dreiecksform durch

Skalierung

Addition

Vertauschen

Berechnung der Determinante von

A =

1 4 0 20 8 0 43 3 3 20 6 0 4

Zeile 3 - 3× Zeile 1:

detA = det

1 4 0 20 8 0 40 −9 3 −40 6 0 4


Vertauschen von Spalte 2 und Spalte 4:

detA = −det

1 2 0 40 4 0 80 −4 3 −90 4 0 6

Zeile 3 + Zeile 2, Zeile 4 - Zeile 2:

detA = −det

1 2 0 40 4 0 80 0 3 −10 0 0 −2

= −1 · 4 · 3 · (−2) = 24


Determinanten speziller Matrizen

Fur einige spezielle (n× n) Matrizen A laßt sich die Determinanteunmittelbar angeben.

Dreiecksmatrix: Ist aij = 0 fur i < j oder i > j, so gilt

detA = a11 · · · ann .

Blockdiagonalmatrix: Hat die Matrix B Blockstruktur mit Aij = 0,i 6= j und quadratischen Diagonalblocken Aii, so gilt

detB =k∏i=1

detAii .


Beispiel:

Dreiecksmatrix:

A =

(1 20 3

), detA = 1 · 3 = 3

B =

(4 02 2

), detB = 4 · 2 = 8

Blockmatrix:

C =

(A 00 B

), detC = 3 · 8 = 24


Entwicklung von Determinanten

Die Determinante einer n× n-Matrix A lasst sich nach einer beliebigenZeile oder Spalte entwickeln:

detA =n∑j=1

(−1)i+jai,j det Ai,j (Entwicklung nach Zeile i)

=n∑i=1

(−1)i+jai,j det Ai,j (Entwicklung nach Spalte j) ,

wobei Ai,j die Matrix bezeichnet, die durch Streichen der i-ten Zeile j-tenSpalte von A entsteht.


Beispiel:

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 0 42 0 0 30 6 1 50 0 2 9

∣∣∣∣∣∣∣∣

Entwicklung nach der zweiten Zeile

(−1)2+1 · 2

∣∣∣∣∣∣

3 0 46 1 50 2 9

∣∣∣∣∣∣+ 0 + 0 + (−1)2+4 · 3

∣∣∣∣∣∣

1 3 00 6 10 0 2

∣∣∣∣∣∣

Entwicklung der ersten Determinante nach der ersten Spalte

(−1)1+1 · 3∣∣∣∣

1 52 9

∣∣∣∣+ (−1)2+1 · 6∣∣∣∣

0 42 9

∣∣∣∣ = −3 + 48 = 45

Determinante der Dreiecksmatrix: 1 · 6 · 2 = 12insgesamt: ∆ = −2 · 45 + 3 · 12 = −54


Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem hat die Form

a1,1x1 + · · · + a1,nxn = b1...

......

......

...am,1x1 + · · · + am,nxn = bm

⇔ Ax = b

mit einer Koeffizientenmatrix A = (ai,j), zu bestimmenden Unbekanntenxj und einer rechten Seite b.

Das lineare Gleichungssystem nennt man homogen, wenn b = 0 ist, sonstbezeichnet man es als inhomogen.

Lineare Algebra – Lineare Gleichungssysteme Klassifikation und allgemeine Struktur 1-1

Besitzt das lineare Gleichungssystem keine Losung (im Allgemeinen furm > n), so bezeichnet man es als uberbestimmt. Man spricht in diesemFall auch von einem Ausgleichsproblem. Ein lineares Gleichungssystem mitkeiner eindeutigen Losung (im Allgemeinen fur m < n) nennt manunterbestimmt.


Losungsmenge eines linearen Gleichungssystems

Die Losungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems

Ax = 0,

mit einer m× n Koeffizientenmatrix A ist ein Unterraum U = KernA desVektorraums der n-Tupel (x1, · · · , xn)t.

Besitzt das inhomogene lineare Gleichungssystem

Ax = b

eine Losung v, so gilt fur die allgemeine Losung

x ∈ v + U ,

d.h. die Losungsmenge ist ein affiner Unterraum.

Insbesondere kann also ein inhomogenes lineares Gleichungssystementweder keine, eine (U = {0}) oder unendlich viele (dimU > 0)Losungen besitzen.


Beispiel:

verschiedene Typen von linearen Gleichungssystemen(i) eindeutige Losung:

(3 57 4

)(x1x2

)=

(2960

)

x1 = 8, x2 = 1(ii) unendlich viele Losungen:

(1 −2 43 −2 4

)

x1x2x3

=

(26

)

x3 = t beliebig ⇒ x2 = 2t, x1 = 2


(iii) keine Losung:

1 13 10 2

(x1x2

)=

678

Zeile 3 x2 = 4widerspruchliche Werte fur x1 aus den restlichen Gleichungen:Einsetzen in Zeile 1 x1 = 2Einsetzen in Zeile 2 x1 = 1


Cramersche Regel

Fur ein quadratisches lineares Gleichungssystem Ax = b ist

xi detA = det(a1, . . . , ai−1, b, ai+1, . . . , an) ,

wobei aj die Spalten der Koeffizientenmatrix A bezeichnen.

Ist detA 6= 0, so existiert eine eindeutige Losung x = A−1b fur beliebigesb und die Inverse C = A−1 kann durch

ci,j =det(a1, . . . , ai−1, ej , ai+1, . . . , an)

detA

bestimmt werden, wobei ej der j-te Einheitsvektor ist.

Lineare Algebra – Lineare Gleichungssysteme Direkte Methoden 1-1

Beispiel:

Berechnung der Inversen C der (2× 2)-Matrix

A =

(a bc d

)

Cramersche Regel

c1,1 =

∣∣∣∣1 b0 d

∣∣∣∣detA

=d

detA, c1,2 =

∣∣∣∣0 b1 d

∣∣∣∣detA

=−b

detA,

c2,1 =

∣∣∣∣a 1c 0

∣∣∣∣detA

=−c

detA, c2,2 =

∣∣∣∣a 0c 1

∣∣∣∣detA

=a

detA,

bzw. mit detA = ad− cb

A−1 =1

ad− cb

(d −b−c a

)


Beispiel:

lineares Gleichungssystem

4 −1 −1−3 −4 4−2 2 −1

x1x2x3

=

85−7

eindeutige Losung, da

detA = 4

∣∣∣∣−4 4

2 −1

∣∣∣∣+

∣∣∣∣−3 4−2 −1

∣∣∣∣−∣∣∣∣−3 −4−2 2

∣∣∣∣= −16 + 11 + 14 = 9 6= 0


Cramersche Regel

x1 =1

9

∣∣∣∣∣∣

8 −1 −15 −4 4−7 2 −1

∣∣∣∣∣∣= 1

x2 =1

9

∣∣∣∣∣∣

4 8 −1−3 5 4−2 −7 −1

∣∣∣∣∣∣= −3

x2 =1

9

∣∣∣∣∣∣

4 −1 8−3 −4 5−2 2 −7

∣∣∣∣∣∣= −1


Ruckwarts-Einsetzen

Bei einem linearen Gleichungssystem in oberer Dreiecksform,

r1,1 · · · r1,n. . .

...0 rn,n

︸︷︷︸R

x1...xn

=

b1...bn

,

mit detR = r1,1 · · · rn,n 6= 0 konnen die Unbekannten xn, . . . , x1nacheinander bestimmt werden:

rn,nxn = bn =⇒ xn = bn/rn,n

und, fur ` = n− 1, . . . 1,

r`,`x`+ · · ·+r`,nxn = b` =⇒ x` = (b` − r`,`+1x`+1 − · · · − r`,nxn) /r`,` .

Dabei werden jeweils die schon berechneten Werte x`+1, . . . , xn verwendet.Bei einem linearen Gleichungssystem mit einer unteren Dreiecksmatrixkann man analog nacheinander x1, . . . , xn bestimmen.


Die Berechnungen konnen mit Hilfe eines Tableaus R|b erfolgen, in demdie Koeffizientenmatrix und die rechte Seite zusammengefasst sind. Fur` = n, . . . , 1 dividiert man die Zeile ` durch r`,` ( Diagonalelementgleich 1) und zieht fur i = `− 1, . . . , 1 das ri,`-fache der `-ten Zeile vonden Zeilen mit niedrigerem Index ab. Dadurch werden oberhalb vonr`,` = 1 Nullen erzeugt. Als Resultat enthalt das Tableau dieEinheitsmatrix und in der letzten Spalte (modifizierte rechte Seite b) dieLosung x.Bei der praktischen Durchfuhrung werden nur die sich andernden Zeilenuntereinander notiert.


Beispiel:

4x1 + 3x2 + x3 = 62x2 + 2x3 = 0

7x3 = 7

Ruckwartseinsetzen

x3 = 7/7 = 1

x2 = (0− 2x3)/2 = (0− 2 · 1)/2 = −1

x1 = (6− 3x2 − x3)/4 = (6− 3(−1)− 1)/4 = 2


alternative Losung mit Hilfe des Tableaus R|b

4 3 1 60 2 2 00 0 7 7

4 3 0 50 2 0 −2

0 0 1 1

4 0 0 8

0 1 0 −1

1 0 0 2

markierte Zeilen (Diagonalelement gleich 1) Losung

x3 = 1, x2 = −1, x1 = 2


Gauß-Elimination

Durch Gauß-Transformationen lasst sich ein lineares Gleichungssystem mitinvertierbarer (n× n)-Koeffizientenmatrix A in maximal n− 1 Schrittenauf obere Dreiecksform bringen.Dazu werden sukzessive die Koeffizienten unterhalb der Diagonalenannulliert, d.h. nach `− 1 Schritten hat das lineare Gleichungssystem dieForm

a1,1x1 + a1,2x2 + . . . + a1,`x` + . . . + a1,nxn = b1a2,2x2 + . . . + a2,`x` + . . . + a2,nxn = b2

......

...a`,`x` + . . . + a`,nxn = b`a`+1,`x` + . . . + a`+1,nxn = b`+1

......

...an,`x` + . . . + an,nxn = bn


Im einzelnen verlauft der `-te Eliminationsschritt wie folgt.

Aus den Koeffizienten a`,`, . . . , an,` wird ein von Null verschiedenerKoeffizient ak,`, das sogenannte Pivot-Element, ausgwahlt, und die`-te mit der k-ten Gleichung vertauscht.

Fur i > ` wird die i-te Gleichung durch eine Linearkombination deri-ten und `-ten Gleichung ersetzt, um den Term mit der Unbekanntenx` zu eliminieren (ai,` → 0):

ai,j ← αiai,j + βia`,j , j = `, . . . , n, bi ← αibi + βib`

(j = ` : αiai,` + βia`,` = 0).

Eine kanonische Wahl bei den Eliminationsschritten ist αi = 1,βi = −ai,`/a`,`; jedoch kann, um gegebenenfalls Bruche zu vermeiden,auch eine andere Wahl getroffen werden, z.B. αi = a`,`, βi = −ai,`.


Ublicherweise werden fur die Eliminationsschritte die Matrix A und dierechte Seite b zu einem Tableau A|b zusammengefasst. Die modifiziertenZeilen werden dann untereinander aufgelistet und die Pivot-Elementemarkiert. Zur besseren Erlauterung konnen die Faktoren αi und βi in einerzusatzlichen Spalte notiert werden. Die resultierende Dreieckform bestehtdann aus den markierten Pivot-Zeilen.Das Schema kann zur simultanen Behandlung mehrerer rechter Seitenbenutzt werden. Insbesondere kann so mit b = (e1, . . . , en) die Inverse derMatrix A bestimmt werden.


Beispiel:

lineares Gleichungssystem

2x2 + x3 −x4 = −13x1 + 2x2 +x4 = 53x1 + x2 − 2x3 +x4 = 36x1 + 4x2 − x3 +x4 = 7

Matrix und rechte Seite

A =

0 2 1 −13 2 0 13 1 −2 16 4 −1 1

, b =

−1537


Ablauf des Gauß-Algorithmus mit Hilfe des Tableaus A|b

0 2 1 −1 −1 1

3 2 0 1 5 0 −1 −2 → Zeile 13 1 −2 1 3 16 4 −1 1 7 1

0 2 1 −1 −1 1

0 -1 −2 0 −2 2 0 → Zeile 20 0 −1 −1 −3 1

0 0 −3 −1 −5 1

0 0 -1 −1 −3 −3 → Zeile 3

0 0 0 2 4 → Zeile 4

Beispielsweise entsteht die drittletzte Zeile des Tableaus, indem die Zeilemit Pivot-Element −1 und die daruberliegende Zeile, gewichtet mit denFaktoren 2 und 1 (notiert in der Kommentarspalte rechts), addiert werden.


Ruckwartseinsetzen fur das resultierende System in Dreiecksform,beginnend mit dem Tableau R|b (erste vier Zeilen)

3 2 0 1 50 −1 −2 0 −20 0 −1 −1 −30 0 0 2 4

3 2 0 0 30 −1 −2 0 −20 0 −1 0 −1

0 0 0 1 2 = x43 2 0 0 30 −1 0 0 0

0 0 1 0 1 = x33 0 0 0 3

0 1 0 0 0 = x21 0 0 0 1 = x1


Zeilenstufenform eines Gleichungssystems

Ein lineares Gleichungssystem mit einer m× n-Koeffizientenmatrix lasstsich mit Gauß-Transformationen auf Zeilenstufenform (Echelon-Form)transformieren:

Ax = b→

0...0 p1 ∗...∗0 0...0 p2 ∗...∗

0 0...0 p3 ∗.... . .

︸︷︷︸A′

x1...xn

=

c1...cm

.

Dabei sind die so genannten Pivots

p1 = a′1,j1 , . . . , pk = a′k,jk , k ≤ m, 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n ,

ungleich Null und k ist der Rang von A.


Der `-te Transformationsschritt verlauft wie folgt:

Ein von Null verschiedenes Matrixelement p` mit Zeilenindex ≥ ` undkleinstem Spaltenindex j` wird als Pivotelement gewahlt und durchZeilenvertauschung in die Position (`, j`) gebracht.

Existiert kein Pivotelement, so ist die Zeilenstufenform erreicht.

Andernfalls werden in den Gleichungen `+ 1, . . . ,m durch Bilden vonLinearkombinationen mit der `-ten Gleichung,

Gli ← αiGli + βiGl`, i = `+ 1, . . . ,m ,

die Terme mit der j`-ten Unbekannten annulliert (ai,j` → 0).

Analog zur Gauß-Elimination werden die Modifikationen desGleichungssystems mit Hilfe eines Tableaus A|b durchgefuhrt, in dem diesich andernden Koeffizienten und Elemente der rechten Seite zeilenweiseaufgelistet werden.


Beispiel:

Transformation eines Gleichungssystems Ax = b auf Zeilenstufenform mitHilfe des Tableaus A|b

0 0 0 1 5 −3 0 9 −1 1

0 2 3 0 −1 4 1 −2 2 0 −2 1 0 → Zeile 10 4 6 1 3 5 2 5 3 10 −2 −3 1 6 −7 −1 6 0 10 0 0 1 5 −3 0 9 4 1

0 0 0 1 5 −3 0 9 −1 −1 −1 −1 → Zeile 20 0 0 1 5 −3 0 9 −1 10 0 0 1 5 −3 0 4 2 10 0 0 1 5 −3 0 9 4 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 → Zeile 4

0 0 0 0 0 0 0 -5 3 → Zeile 30 0 0 0 0 0 0 0 5 → Zeile 5


resultierendes Gleichungssystem in Zeilenstufenform (Zeilen 1-5)

0 2 3 0 −1 4 1 −20 0 0 1 5 −3 0 90 0 0 0 0 0 0 −50 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

x =

2−1305

Koeffizientenmatrix mit Rang gleich 3 (Anzahl der Pivots)keine Losung, da funftes Element der rechten Seite ungleich Null


Losung eines linearen Gleichungssystems inZeilenstufenform

Ein lineares Gleichungssystem Dx = c in Zeilenstufenform,

0 . . . 0 p1 ∗ . . . ∗0 0 . . . 0 p2 ∗ . . . ∗

0 0 . . . 0 p3 ∗ . . . ∗. . .

x1...xn

=

c1...cm

mit Pivots p1, . . . , pk ist genau dann losbar, wenn ck+1 = · · · = cm = 0.Die Losung ist eindeutig, falls k = n. Fur k < n gibt es n− k linearunabhangige Losungen des homogenen linearen Gleichungssystems(ci = 0): dim KernD = n− k.Die Unbekannten, die den Spalten ohne Pivots entsprechen, konnen freigewahlt werden.


Beispiel:

typische Falle von Gleichungssystemen Dx = c in Zeilenstufenform(i) k = n = 4:

1 5 0 30 4 −1 30 0 −2 70 0 0 1

x1x2x3x4

=

−1091

Ruckwarts-Einsetzen eindeutige Losung x = (1,−1,−1, 1)t

(ii) 3 = k < n = 5, c4 6= 0:

4 1 −1 −2 20 2 0 7 10 0 0 1 10 0 0 0 0

x1x2x3x4x5

=

2351

keine Losung, da 0 · x1 + · · ·+ 0 · x5 = 1 (letzte Zeile)Lineare Algebra – Lineare Gleichungssysteme Direkte Methoden 4-1

(iii) 3 = k < n = 5, c4 = 0:

4 1 −1 −2 20 2 0 7 10 0 0 1 10 0 0 0 0

x1x2x3x4x5

=

−5220

ck+1 = 0 =⇒ Dx = c losbarRangD = 3 = n− 2 =⇒zwei linear unabhangige Losungen vi des homogenen Systemsallgemeine Losung:

x = xs + α1v1 + α2v2 , αj ∈ R

mit xs einer speziellen Losung des inhomogenen Systems


Bestimmung von vi durch kanonische Wahl der nicht zu den Pivot-Spaltengehorigen Unbekannten und Berechnung der restlichen Unbekannten uberdas homogene System:

(x3 = 1, x5 = 0) v1 =

1/40100

(x3 = 0, x5 = 1) v2 =

−7/430−11

Setzen von x3 = x5 = 0 spezielle Losung xs = (5/4,−6, 0, 2, 0)t


Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum

Ein Skalar λ heißt Eigenwert einer quadratischen Matrix A, wenn

Av = λv, v 6= 0 .

Die Vektoren v 6= 0 mit Av = λv werden als Eigenvektoren zum Eigenwertλ bezeichnet. Die Eigenvektoren zu einem Eigenwert bilden zusammen mitdem Nullvektor einen linearen Raum, den so genannten Eigenraum

Vλ = Kern(A− λE)

von λ. Das Polynom p definiert durch

p(λ) = det(A− λE)

nennt man das charakteristische Polynom von A. Es gilt

λ Eigenwert von A ⇔ p(λ) = 0Lineare Algebra – Eigenwerte 1-1

Beispiel:

A =

1 2 −10 2 0−1 2 1

Charakteristisches Polynom: p(λ) = −λ(λ− 2)2

Eigenwerte: λ1 = 0, λ2 = 2Eigenwert λ1 = 0, Eigenvektor ‖ (1, 0, 1)t

1 2 −10 2 0−1 2 1

101

=

000

= 0

101

Eigenwert λ2 = 2, Eigenvektor ‖ (1, 1, 1)t

1 2 −10 2 0−1 2 1

111

=

222

= 2

111

Lineare Algebra – Eigenwerte 2-1

Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und imRaum

Ein raumliches kartesisches Koordinatensystem besteht aus 3 sich in einemals Ursprung bezeichneten Punkt O senkrecht schneidenden Zahlengeraden(Achsen), deren Orientierung gemaß der in der Abbildungveranschaulichten

”Rechten-Hand-Regel“ gewahlt ist.PSfrag repla ementsOx1-A hse x2-A hse

x3-A hseXx1 x2x3 PSfrag repla ements ODaumen Zeige�nger

Mittel�nger

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum 3-1

Ein Punkt X wird durch seine als Koordinaten xi bezeichneten Werte derProjektionen auf die Achsen festgelegt: X = (x1, x2, x3). Verwendet mankeine Indexschreibweise, so bezeichnet man die Koordinaten ublicherweisemit (x, y, z) und die Zahlenachsen als x-, y- und z-Achse.Analog definiert man ein ebenenes kartesisches Koordinatensystem.

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum 3-2

Vektoren im Raum

Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke:

~a =−−→PQ

bezeichnet den Vektor vom Punkt P zum Punkt Q. Alternativ kann einVektor als Parallel-Verschiebung des Raumes interpretiert und mit einemPfeil identifiziert werden.

P1

Q1

P2

Q2

~a

~a

−~a

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Vektoren im Raum 4-1

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, stellen gleichlange Pfeile mit gleicher

Richtung den gleichen Vektor dar,−−−→P1Q1 =

−−−→P2Q2. Die spezielle Darstellung

bezogen auf den Ursprung des Koordinatensystems wird als Ortsvektorbezeichnet und definiert die Koordinaten des Vektors:

−→OA =

a1a2a3

.

Die Koordinaten von ~a lassen sich ebenfalls als Differenz der Koordinatender Punkte Q und P berechnen. Schließlich wird mit

−−→OO =

−−→PP = ~0

der Nullvektor bezeichnet.

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Vektoren im Raum 4-2

Addition von Vektoren

Die Summe von zwei Vektoren entspricht der Hintereinanderschaltungzweier Verschiebungen, −→

PR =−−→PQ+

−−→QR .

P R

Q

~a ~b

~c

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Addition von Vektoren 5-1

Fur die Koordinaten gilt entsprechend

~c = ~a+~b =

a1a2a3

+

b1b2b3

=

a1 + b1a2 + b2a3 + b3

.

Mit −−→QP = −−−→PQ

wird die zu ~a =−−→PQ entgegengesetzte Verschiebung −~a bezeichnet.

Insbesondere gilt~a+ (−~a) = ~0, ~a+~0 = ~a .


Beispiel:

berechne

−→PR =

−−→PQ+

−−→QR,

−→RP =

−−→RQ+

−−→QP = −−−→PQ+

(−−−→QR

)

PSfrag repla ementsP RQ

~a ~b~ �~b �~a


Koordinaten:

P = (1, 1, 1), Q = (4, 2, 7), R = (1, 4, 3)

~a =−−→PQ, ~b =

−−→QR, ~c =

−→PR

~c = ~a+~b =

4− 12− 17− 1

+

1− 44− 23− 7

=

316

+

−32−4

=

032

−~b+ (−~a) =

4− 12− 47− 3

+

1− 41− 21− 7

=

3−24

+

−3−1−6

=

0−3−2

= −~c


Beispiel:

Zerlegung der Gewichtskraft ~fG fur eine schiefe Ebene mit Hilfe desKrafteparallelogramms:

~fG = ~fN︸︷︷︸Normalkraft

+ ~fH︸︷︷︸Hangabtriebskraft

~fH

~fG

~fN


Skalarmultiplikation

Der Vektor s~a entspricht einer s-fachen Verschiebung, d.h.

s

a1a2a3

=

sa1sa2sa3

.

Speziell ist 0~a = ~0.

a1 sa1

a2

sa2

~a

s~a

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Skalarmultiplikation 8-1

Beispiel:

Schnittpunkt S (Schwerpunkt) der Seitenhalbierenden in einem Dreieck:

~s =1

3

(~a+~b+ ~c

)

A B

C

Mb Ma

Mc

S

Darstellung der Punkte auf der Seitenhalbierenden AMa:

~p = ~a+ t(~ma − ~a) = ~a+ t

(1

2~b+

1

2~c− ~a

), t ∈ [0, 1]

t = 2/3 =⇒ ~p = ~s =⇒ S teilt AMa im Verhaltnis 2 : 1analoges Argument fur BMb und CMc

S gemeinsamer Punkt der 3 SeitenhalbierendenLineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Skalarmultiplikation 9-1

Betrag eines Vektors im Raum

Der Betrag von ~a =−−→PQ ist die Lange des Pfeils von P nach Q bzw. von

O nach A, d.h.

|~a| =√a21 + a22 + a23 .

Insbesondere ist |s~a| = |s||~a|.Ein Vektor mit Betrag bzw. Lange 1 wird als Einheitsvektor bezeichnetund man benutzt die Schreibweise

~v0 = ~v/|~v|

fur einen solchen normierten Vektor.

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Betrag 10-1

Beispiel:

~a =

4−18

Betrag:|~a| =

√16 + 1 + 64 = 9

normierter Vektor:

~a0 =

4−18

/9 =

4/9−1/98/9

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Betrag 11-1

Dreiecksungleichung

Fur eine Summe zweier Vektoren gilt

|~a+~b| ≤ |~a|+ |~b|

mit Gleichheit genau dann, wenn ~a und ~b parallel sind, d.h. ~a = s~b.

~a ~b

~a+~bLineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Dreiecksungleichung 12-1

Rechenregeln fur Vektoren

Fur Vektoren gelten die folgenden Rechenregeln.

Kommutativgesetz:~a+~b = ~b+ ~a

Assoziativgesetz:~a+ (~b+ ~c) = (~a+~b) + ~c

Distributivgesetz:s(~a+~b) = s~a+ s~b

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Rechenregeln 13-1

Beispiel:

Flug nach Osten mit 800km/h, Windgeschwindigkeit 50km/h aus WSW

PSfrag repla ementsO ~x + ~p~x ~x + ~y ~p ~d~y

Geschwindigkeitsvektor des Flugzeugs

~x =

(8000

)

Vektor der Windgeschwindigkeit

~y =

(50 cos(π/8)50 sin(π/8)

)


Position nach einer Stunde

~x+ ~y =

(800 + 50 cos(π/8)

50 sin(π/8)

)≈(

846.1919.13

)

~p orthogonale Projektion von ~y auf die Gerade in Richtung von ~xGeschwindigkeitskomponente nach Osten

~x+ ~p =

(800 + 50 cos(π/8)

0

)≈(

846.190

)

Drift nach Norden

~d = ~x+ ~y − (~x+ ~p) =

(0

50 sin(π/8)

)≈(

019.13

)

Gesamtgeschwindigkeit ~vgesamt = ~x+ ~p+ ~d


Winkel zwischen zwei Vektoren

Fur ~a,~b 6= ~0 bezeichnet man mit ^(~a,~b) ∈ [0, π] den kleineren der beidenWinkel, den die mit den Vektoren assoziierten Pfeile in einemgemeinsamen Scheitelpunkt bilden.

~a

~b

∢(~a,~b)

Die beiden Vektoren sind orthogonal, ~a ⊥ ~b, wenn der Winkel gleich π/2ist. Dabei vereinbart man, dass der Nullvektor auf jedem Vektor senkrechtsteht.

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Winkel 15-1

Beispiel:

Winkel zwischen Vektoren

PSfrag repla ements ~a ~b^(~a;~b) = 0 PSfrag repla ements ~a ~b^(~a;~b) = �~a

~b

∢(~a,~b) = π2

PSfrag repla ements~a ~b^(~a;~b) = �4

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Winkel 16-1

Kosinussatz

In einem Dreieck gilt fur den der Seite AB gegenuberliegenden Winkel γ

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .

b

a c

A

B

γ

Als Spezialfall erhalt man fur γ = π/2 den Satz des Pythagoras:

c2 = a2 + b2 .

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Kosinussatz 17-1

Skalarprodukt von Vektoren im Raum

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist durch

~a ·~b = |~a||~b| cos^(~a,~b) = a1b1 + a2b2 + a3b3

definiert. Insbesondere ist~a · ~a = |~a|2

und~a ·~b = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b .

Aus der Koordinatendarstellung des Skalarproduktes folgt

~a ·~b = ~b · ~a

sowie (s~a+ r~b

)· ~c = s~a · ~c+ r~b · ~c ,

d.h. es gelten die fur Produkte ublichen Rechenregeln.Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Skalarprodukt 18-1

Beispiel:

Dreieck mit A = (6, 0), B = (4, 4), C = (0, 0)

~a =−−→CB =

(44

), ~b =

−→CA =

(60

), ~c =

−−→BA =

(2−4

)

C A

B

γ

~b

~a ~c

Winkelberechnung mit Hilfe des Skalarproduktes:

cos γ =

(44

)·(

60

)

∣∣∣∣(

44

)∣∣∣∣∣∣∣∣(

60

)∣∣∣∣=

24√32 · 6

=1√2

=⇒ γ =π

4

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Skalarprodukt 19-1

Illustration des Kosinussatzes:~a = (4, 4)t, ~b = (6, 0)t, ~c = (2,−4)t, γ = π/4

|~c|2 − |~a|2 − |~b|2 = 20− 32− 36 = −48

und−2|~a||~b| cos γ = −2 (4

√2) 6/

√2 = −48 X

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Skalarprodukt 19-2

Satz des Pythagoras

Fur orthogonale Vektoren ~u und ~v gilt

|~u+ ~v|2 = |~u|2 + |~v|2 .

Der Satz ist heute als Satz des Pythagoras (569-475 v. Chr.) bekannt,obwohl ihn bereits die Babylonier 1000 Jahre fruher kannten.Moglicherweise war aber Pythagoras der erste, der ihn bewiesen hat.

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Satz des Pythagoras 20-1

Punkt-Richtungs-Form

Die Punkte X auf einer Geraden durch P mit Richtung ~u lassen sich inparametrischer Form durch

−−→PX = t~u, t ∈ R

darstellen.

~u

P

X

Entsprechend giltxi = pi + tui, i = 1, 2, 3 ,

fur die Koordinaten des Ortsvektors ~x = ~p+ t~u.

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Punkt-Richtungs-Form einer Gerade 21-1

Beispiel:

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

g : ~x =

(13

)+ t

(2−1

), t ∈ R

32~u =

(3

−1.5

)

~p =

(13

)

~x =

(13

)+

(3

−1.5

)=

(4

1.5

)

P

X

−1 0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

X: Parameterwert t = 3/2

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Punkt-Richtungs-Form einer Gerade 22-1

Zwei-Punkte-Form

Die Punkte X auf einer Geraden durch zwei Punkte P 6= Q lassen sich inder Form −−→

PX = t−−→PQ, t ∈ R ,

darstellen. Die Parameterwerte t ∈ [0, 1] entsprechen der Strecke PQ.

−→PQ

−−→PX

P

Q

X

Entsprechend gilt

xi = pi + t(qi − pi), i = 1, 2, 3 ,

fur die Koordinaten des Ortsvektors ~x = ~p+ t(~q − ~p).

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Zwei-Punkte-Form einer Gerade 23-1

Beispiel:

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

g : ~x =

(13

)+ t

(5− 11− 3

), t ∈ R

~p =

(13

)

P

Q = (5, 1)

X

~x =

(13

)+ 1

2

(5− 11− 3

)=

(32

)

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

X teilt PQ im Verhaltnis t : (1− t)t = 1/2 Mittelpunkt zwischen den Punkten P und Q

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Zwei-Punkte-Form einer Gerade 24-1

Parametrische Darstellung einer Ebene

Punkte X auf einer Ebene durch P , die von zwei nicht parallelenRichtungen ~u und ~v aufgespannt wird, erfullen

−−→PX = s~u+ t~v, s, t ∈ R .

X

P

O

s~u

t~v

Lineare Algebra – Vektorrechnung im Raum Parameterdarstellung einer Ebene 25-1

Entsprechend gilt

xi = pi + sui + tvi, i = 1, 2, 3 .

fur die Koordinaten des Ortsvektors ~x = ~p+ s~u+ t~v.


Beispiel:

Ebene durch P = (1, 2, 3), aufgespannt von ~u = (2, 0, 0)t, ~v = (1, 1, 1)t

E : ~x =

123

+ s

200

+ t

111

, s, t ∈ R

X = (1, 1, 2) ∈ E, denn

−−→PX =

0−1−1

=

1

2~u+ (−1)~v

X = (0, 0, 0) /∈ E, denn

−−→PX =

−1−2−3

6= s

200

+ t

111

fur alle s, t


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Lineare Algebra i - Fachbereich Mathematik · Lineare Unabh angigkeit, Basis Vektoren v1;:::;vmheiˇen linear abh angig, wenn es Skalare B1;:::; m gibt mit 1v1 + + mvm= 0 und mindestens