„Lineare Funktionen“moodle.p142306.webspaceconfig.de/pluginfile.php/23111/mod... · 2016. 12. 30. · Lernlandkarte „Lineare Funktionen“ Thema: Lineare Funktionen LE 1.1:

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Lineare Funktionen

Thema

Mathematik ©

1

Lernlandkarte „Lineare Funktionen“

Thema: Lineare Funktionen LE 1.1: � 15 min Seite 1

� Ich kann beschreiben, was man unter einer Funktion versteht.

� Ich kann die drei Darstellungsformen für Funktionen benennen.


i…

Funktionen allgemein

Beispiel: Ein Taxitarif wird wie folgt beschrieben:

Mit jedem gefahrenen Kilometer entstehen Fahrtkosten von 1,50 €/km.

Immer entsteht eine einmalige Grundgebühr von 2,00 €.

Der Taxitarif kann also mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden:

f(x)= 1,5x + 2 wobei gilt: x [km] = Anzahl der gefahrenen km

f(x) [€] = Gesamtpreis der Taxisfahrt in €.

Es gibt also zu jedem gefahrenen Kilometer x nur genau einen (=eindeutig)

zugeordneten Fahrpreis f(x)!

Als Darstellungsformen

von Funktionen eignen sich

• eine Wertetabelle,

• ein Funktionsgraph in

einem Koordinatensystem

• eine Funktionsgleichung.

Jede Darstellungsform hat ihre Vorteile:

• Wertetabelle: Einzelne Wertepaare von x und f(x) werden gezielt aufgelistet.

Hier z.B. die Taxikosten für einige Kilometer.

• Funktionsgraph: Der Verlauf der Funktion wird in seiner Gesamtheit gut dargestellt.

Hier z.B. kann man anhand des Funktionsgraphen recht schnell ablesen, wieviel

Fahrtkosten für eine bestimmte Anzahl an Kilometer entstehen werden.

• Funktionsgleichung: Einzelne Funktionswerte können sehr exakt berechnet werden.

Hier z.B. kann man sehr leicht ausrechnen, wie hoch die Fahrtkosten bei einer Strecke von

12,3 km wären (nämlich: f(12,3)= 1,5(12,3) +2 = 20,45 € )

Definition: Funktion

Unter einer Funktion versteht man eine eindeutige Zuordnung!

Das bedeutet, dass jeder Ausgangsgröße (Variable, meistens „x“)

genau eine andere Größe (meistens f(x) bzw. „y“) eindeutig zugeordnet wird.

Den Wert der eindeutigen Zuordnung nennt man auch Funktionswert. Er wird in der

Regel über eine Funktionsgleichung beschrieben (z.B. f(x)= 1,5x +2 ).

Tabelle

x f(x)

0 2

1 3,5

2 5

4 8

Funktions-

Gleichung

f(x) = 1,5x + 2

Funktions-

Graph

Darstellungsformen

Lerneinheit 1 LE 1

LernClips https://www.youtube.com/watch?v=7rvgaky8LlY

https://www.youtube.com/watch?v=Je7x1r-t34U


� Ich kann beschreiben, was man unter einer Funktion versteht.

� Ich kann die drei Darstellungsformen für Funktionen benennen.


Übungen:

1) Beschreibe, was eine Funktion ist und was keine Funktion ist.

Nenne jeweils ein Beispiel.

2) Mache den Selbsttest – „Funktion bzw. keine Funktion“

http://www.mathe-online.at/tests/fun1/grongr.html

3) Nenne die drei Darstellungsformen von Funktionen.

4) Nenne jeweils einen Vorteil zu jeder Darstellungsform.


� Ich kenne die Normalform einer linearen Funktion und kann diese aufschreiben.

� Ich kann die Steigung (m) in der Normalform erkennen und weiß, was diese zu bedeuten hat.

� Ich kann den y-Achsenabschnitt (b) einer linearen Funktion ermitteln.


i…

Wird eine lineare Funktion in der Form f(x)= mx + b geschrieben,

so spricht man von der sogenannten Normalform oder auch allgemeine Form.

Darin bedeuten: m= Steigung der linearen Funktion

b= f(x)-Achsenabschnitt der Geraden

auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet.

Lineare Funktionen

Begriffe und Eigenschaften linearer Funktionen

Jede lineare Funktion kann als Funktionsgleichung dargestellt

werden (z.B. 2f(x)+3x=29 oder 5-2f(x)=18x usw.)

Im Allgemeinen stellt „x“ dabei die unabhängige Variable (=frei-wählbare Variable) dar.

„f(x)“ steht für den Funktionswert von x. f(x) wird häufig auch mit „y“ abgekürzt um anzudeuten, dass es sich um eine

zweite Variable, die sogenannte abhängige Variable handelt.

Es ist sinnvoll, eine beliebig formulierte, lineare Funktionsgleichung so umzuformen,

dass der Funktionswert f(x) (oder die abhängige Variable „y“) alleine auf der „linken Seite“ der Gleichung steht.

Dadurch kann man schneller erkennen, wie der Funktionswert f(x) beschrieben wird.

Wird die Gleichung so umgeformt, dass auf der linken Seite der Gleichung nur f(x) bzw. y steht und auf der rechten Seite

ein Wert mit x und eine Zahl ohne x, so spricht man von der Normalform einer linearen Funktion! (Beispiel: Auflösen der Funktionsgleichung 2f(x) +3x =29 nach „f(x)“: ⇒ 2f(x)+3x = 29 |-3x

2f(x) = -3x + 29 |:2

f(x) = –1,5x +14,5. [= Normalform]

Die Normalform einer linearen Funktion (auch allgemeine Form):

f(x) steht für den Funktionswert von „x“ (Hiweis: „f(x)“ wird gelesen „f von x“ – die Klammern werden also als „von“ ausgesprochen).

In der Literatur wird häufig statt „f(x)= mx+b“ auch „y= mx+b“ geschrieben.

Die Normalform wird manchmal auch wie folgt geschrieben (Dabei haben die Steigung m und der y-Achsenabschnitt b einfach andere Bezeichnungen, sonst nichts.)

• f(x)= mx + n oder • f(x)= ax + b

Wird eine lineare Funktionsgleichung in der Normalform dargestellt, kann die Steigung „m“ und der

y-Achsenabschnitt „b“ direkt abgelesen werden. Damit ist auch das Zeichnen des zugehörigen Funktionsgraphen

recht leicht möglich (siehe auch LE2).

Lineare

Funktionen

QR-Code

Song zu „Linearen Funktionen

http://www.youtube.com/watch?v=blY2qdFV4ag






i…

Lernpfad zu Linearen Funktionen:

• Was ist Steigung

• Was ist der y-Achsenabschnitt • Geradengleichung / Normalform

www.matheprisma.de/Module/

Geraden/index.htm

In der Normalform f(x)= mx + b wird

„mx“ wird auch als lineares Glied und

„b“ als absolutes Glied bezeichnet!

GeoGebra-Applikation:

• Steigung und

• y-Achsenabschnitt

sichtbar machen und verändern!

https://www.geogebra.org/m/guK5CPkJ

Die Normalform linearer Funktionen f(x)= mx + b

Auf dieser Seite betrachten wir die Normalform der Geradengleichung konkreter

und gehen auf die Faktoren „m“ und „b“ genauer ein.

m ist das Maß für die Steigung der Geraden.

Die Steigung kann gut mit dem Steigungsdreiecks

veranschaulicht werden.

Sind zwei Punkte P1 und P2 mit ihren Koordinaten

P1 (x1|y1) und P2 (x2|y2) bekannt,

so kann die Steigung „m“ ermittelt werden, indem man die

Differenz der y-Koordinaten (∆y = y2 – y1) durch die

Differenz der x-Koordinaten (∆x = x2 – x1) der Punkte dividiert:

12

12

xx

yy

x

ym

−

−=

∆∆

=

Die Steigung einer Geraden ist überall gleich groß!

Daher ist es unbedeutend, an welcher Stelle der

Geraden die Steigung „m“ ermittelt wird.

Wenn ∆x= 1 ist, kann die Steigung „m“

direkt abgelesen werden!

y1

y

x

ym ∆=

∆=

∆

∆=

In diesem Fall ist also ∆y= m!

b ist der Schnittpunkt mit der y-Achse

An der Stelle „b“ schneidet die Gerade die y-Achse!

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist ein wichtiger Punkt

einer Linearen Funktion. Einen Punkt gibt man im

Koordinatensystem mit den Koordinaten P(x|y) an.

Beim Schnittpunkt mit der y-Achse „b“ ist der x-Wert immer

Null. Der y-Wert ist hier immer „b“.

Für den Punkt gibt es mehrere Begriffe/Bezeichnungen.

Die häufigsten Bezeichnungen und Schreibweisen sind:

• Ordinate: O(0 | b) oder

• y-Achsenabschnitt: YAA (0 | b) oder

• Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0 | b)

Wie werden am häufigsten von Ordinate sprechen.

Bild 2

= y2- y1

Bild 1

= x2- x1

)5,0(2

1

4

2

26

46m ===

−

−=⇒

12

12

xx

yy

x

ym

−

−=

∆

∆=⇒






Abb. 1

Übungen:

1) Schreibe vier (beliebige) lineare Funktionsgleichungen auf.

2) Woran erkennt man, dass eine lineare Funktionsgleichung vorliegt?

3) Wie lautet die Normalform/ Allgemeine Form einer linearen Funktion?

4) Forme die folgenden linearen Funktionen in ihre Normalform um.

a) 2- f(x) = 12 + x ⇒ Normalform: .............................................................................

b) 4x +3 = 3x + y – 7 ⇒ Normalform: .............................................................................

c) x+ y = 2 ⇒ Normalform: .............................................................................

d) 0,5x + f(x) -5 = 0 ⇒ Normalform: .............................................................................

e) ( )

12 −=+x

xf ⇒ Normalform: .............................................................................

f) -2x -2f(x) = 7x + 8 ⇒ Normalform: .............................................................................

5) Gib den y-Achsen-Abschnitt der in Abb. 1

dargestellten linearen Funktionen an.

6) Gib die Steigung der in Abb. 1 dargestellten

linearen Funktionen an.

7) Gib die Normalformen der in Abb. 1 dargestellten

linearen Funktionen an.






Vertiefungsbetrachtungen zur Steigung

Steigung in Prozent [%]

Man kann die Steigung auch in Prozent [%] angeben. Dies begegnet einem insbesondere im Straßenverkehr.

(Quelle: www.mued.de)

Steigungswinkel

Steigungen können auch in °(Grad) angegeben werden. Dies findet man häufig bei Kreissegmenten.

Eine Steigungsangabe in °(Grad) kann aber einfach in Prozent [%] oder eine Dezimalzahl umgerechnet werden.

Allgemein gilt:

Die Winkelangabe α° kann umgerechnet werden mit

der Sinus-Funktion.

Es gilt nämlich: ( ) mAK

GK==αtan

Beispiel:

Eine Steigung von 30° entsprechen also

umgerechnet einer Steigung von sin(30°)= 0,5, also m=0,5 oder eben 50%!

LE 1.






Übungen:

1) **Steigungen in Prozent [Quelle: mued.de]

a) Welcher Steigung in Prozent entsprechen die Verhältnisse 0,25; 0,001; 1:2?

b) "100 % Steigung, das ist ja eine senkrechte Wand!" Erkläre den Irrtum.

2) **Auf dem Foto des argentinischen Schildes recht

ist die Strecke 4,5 cm lang und die Höhe 7,5 cm groß. [Quelle: mued.de]

a) Kann ein VW Gol* (maximale Steigung 50 % auf längerer Strecke)

die Steigung hinauf fahren? Begründe deine Antwort ohne Rechnung. (* GOL heißt das südamerikanische Golf-Modell von Volkswagen.)

b) Berechne die Steigung.

3) Steigungen in Grad

a) Welcher Steigung in Prozent

entsprechen 30°, 45° und 60°?

b) Gib die Steigung des abgebildeten

Steigungswinkels in Prozent an.


� Ich kann die Nullstelle / den Schnittpunkt mit der x-Achse einer linearen Funktion berechnen.


GeoGebra-Übung:

• Nullstelle berechnen

• mit Tipps und Lösung!

www.geogebra.org/m/NuHuaSaA

Nullstelle / Schnittpunkt mit der x-Achse

Eine Lineare Funktion verläuft im Koordinatensystem von links

nach rechts. Dabei schneidet sie (irgendwann) beide Achsen

des Koordinatensystems, also die y-Achse und die x-Achse [siehe Bild 1].

Den y-Achsenabschnitt kennen wir bereits aus dem letzten

Kapitel (LE 1.2).

Beispiel:

Von der oben abgebildeten Funktion f(x)= -0,5x + 1 wollen wir die Nullstelle berechnen.

Unser Ansatz lautet: f(x)= 0, also 0= -0,5x +1 |-1

jetzt umformen: -1=-0,5x |:(-0,5)

2 = x

Die Nullstelle liegt also bei x1=2. Der y-Wert von jeder Nullstelle ist immer y=0!

Also können wir die Nullstelle als Punkt mit seinen Koordinaten angeben: N(2|0) . [siehe Bild 1].

Bild 1

Nullstelle bzw. Schnittpunkt mit der x-Achse bestimmen:

Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch Nullstelle genannt.

An dieser Stelle ist der Funktionswert/y-Wert gleich Null.

Der Ansatz, um die Nullstelle/den Schnittpunkt mit der x-Achse zu ermitteln, lautet: f(x)=0 !

Man setzt die ganze Funktion f(x) gleich Null und löst die Gleichung nach x auf.

Den Schnittpunkt mit der x-Achse/ die Nullstelle schreibt man als Punkt so auf: N(x1 | 0) .

LernClip: Nullstelle bestimmen www.youtube.com/watch?v=TkWIuj6gptg


� Ich kann die Nullstelle / den Schnittpunkt mit der x-Achse einer linearen Funktion berechnen.


Übungen:

1) Bearbeite mindestens zwei Aufgaben der online-Übung unter www.geogebra.org/m/NuHuaSaA

2) Gib bitte die Nullstellen für die folgenden Funktionen an.

Skizziere zwei Funktionen in ein entsprechendes Koordinatensystem und markiere die Nullstellen.

(Forme evtl. die gegebene Gleichung in die Normalform um)

a) f(x) = -2x + 8

b) y = x – 1,5

c) 2x– y = 5x +4

d) (-4)(x-2)= 0,5y


� Ich kann eine Wertetabelle zu einer linearen Funktion anlegen und daraus einen Graphen

erstellen.


Eine Wertetabelle erstellen

Eine Wertetabelle ist ein gutes „Werkzeug“, um einzelne Punkte einer Funktion zu ermitteln.

Eine Wertetabelle eignet sich auch (immer) um den Graphen einer Funktion zu erstellen.

Beispiel:

Bei einem Taxi-Tarif gelten folgende Bedingungen:

Jeder gefahrene Kilometer kostest 1,50 €. Die Grundgebühr beträgt 2,0 €.

Die Funktionsvorschrift zu diesem Tarif könnte man mit Einheiten darstellen als:

( ) [ ]€0,2][€

50,1 +⋅

= kmx

kmxf

oder kurz ohne Einheiten: f(x)= 1,5x + 2 ..

Für diese Funktion kann man eine Wertetabelle ganz einfach anlegen, indem man beliebig gewählte x-Werte (=Zahlen)

für x in die Funktion einsetzt und ausrechnet, welchen Wert man für f(x) herausbekommt.

Wenn ich z.B. wissen möchte, wieviel mich eine 12km-lange Taxifahrt kostet, setze ich für x gleich 12 in die

Funktionsgleichung ein.

Ich berechne den Funktionswert für x=12 zu: f(12)= 1,5⋅(12)+2 = 18+2 = 20 €

In die Wertetabelle trage ich bei x=12,

den f(x)-Wert 20 ein!

Diesen Vorgang kann ich natürlich mit jedem beliebigen x-Wert wiederholen,

so dass ich nach mehreren Rechnungen die Wertetabelle vervollständigen kann zu:

x 0 1 2 … 5 … 12 … 65

f(x) bzw. y 2 3,5 5 … 9,5 20 99,5

Jedes Wertepaar x|f(x) bildet einen Punkt P(x|f(x)) , den ich in einem Koordinatensystem eintragen kann. [Bild 1]

Wenn ich die Punkte verbinde, erhalte ich den Funktionsgraphen [Bild 2]

Linearen Funktionen sind besonders leicht zu zeichnende Funktionen, weil sie immer gerade verlaufen (wie mit dem Lineal gezogen). Daher

reichen bereits zwei Punkte aus, um den gesamten Funktionsgraphen einer linearen Funktion zu zeichnen.

Bild 1 Bild 2

LernClip: Wertetabelle erstellen

www.youtube.com/watch?v=ifaaO-o56MI

x 0 1 … 5 … 12 … 65

f(x) bzw. y 20


� Ich kann eine Wertetabelle zu einer linearen Funktion anlegen und daraus einen Graphen

erstellen.


Übungsaufgaben – LE 1 (Lerneinheit 1)

1) Erstelle für die folgenden Funktionsgleichungen eine Wertetabelle in dem angegebenen Bereich und

skizziere den zugehörigen Funktionsgraphen.

a) f(x) = -2x + 7 [Wertetabelle im Bereich/ Intervall von x=-3 bis x= 5]

b) y = x – 0,25 Bereich/Intervall [-2; 2]

c) 2 – y = 3x -2x +4 Bereich/Intervall [-3; 2]

2) Welche der angegebenen Punkte liegen auf der gegebenen Funktion?

a) f(x) = -x + 2 ; P1(2|8); P2(10|0); P3(0|10); P4(8|2); P5(-4|14)

( )5

1

4−=

xxg ; P1(0|-0,2); P2(4|-0,2); P3(-4|-1,2); P4(-1|-0,45); P5(1|0)

Thema: Lineare Funktionen LE 1: � 5 min Seite 12


Wiederholung zur Lerneinheit 1

Kleines Kreuzworträtsel

zu Linearen Funktionen

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