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Lineare Algebra I
Prof. Dr. Wolfgang [email protected]
Technische Universität Hamburg-Harburg
Wintersemester 2007/2008
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 1 / 309
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 2 / 309
Grundlagen
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 3 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 4 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Einführung Seite 28
Lösung vonx2 + 1 = 0,pq-Formel liefertx1/2 = ±
√−1︸ ︷︷ ︸
verboten
;
x2 − 6 x + 11 = 0 ?
x1/2 = 3±√−2︸ ︷︷ ︸
verboten
Definition
Imaginäre Einheit i :=√−1
Dannx1/2 = ±i ;i2 = −1.
x1/2 = 3±√
2 · i
Allgemeinz = x + i y ; x , y ∈ R
Komplexe Zahl.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 5 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Seite 29
C : = {z = x + i y | x , y ∈ R}
Komplexe Addition & Multiplikation
Mit z1 : = x1 + i y1, z2 : = x2 + i y2
definiere
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)
Aus reellen Rechenregeln unter Beachtung von i2 = −1 :
(x1+i y1)(x2+i y2) = x1x2+i x1y2+i y1x2+i2y1y2 = (x1x2−y1y2)+i(x1y2+y1x2).
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 6 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Zahlenebene C Seite 30
z = a + ib
|z|
z = a− ib
|z|
b
−b
a
C
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 7 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Seite 31
Bezeichnungen
Re(a + i b) = a Realteil
Im(a + i b) = b Imaginärteil
a + i b = a− i b konjugiert Komplexes
|a + i b| : =√
a2 + b2 Betrag ∈ R
z
z|z|
Im(z)
Re(z)
|z|
C
Konsequenzen
z + z = 2Re z
z − z = 2i Im z¯z = z
z · z = |z|2
z1 + z2 = z1 + z2
z1 · z2 = z1 · z2 (Nachrechnen!!!)TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 8 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Seite 31
Division
z1
z2=
z1 · z2
z2 · z2=
z1 · z2
|z2|2
z1 · z2 = (x1 x2 + y1 y2) + i(y1 x2 − x1 y2)
Alsoz1
z2=
(x1 x2 + y1 y2
x22 + y2
2
)+ i
(y1 x2 − x1 y2
x22 + y2
2
)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 9 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Seite 31
Achtung:
C nicht ordenbar.
Aber:
|z1 · z2| = |z1| · |z2|
|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|. z1 + z2
z1
z2
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 10 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Geometrie komplexer Operationen Seite 31
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 11 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
1. Addition wie Vektoraddition in der Ebene Seite 31
C
b1
b2
a2 a1
z1
z2
z2
z1 + z2b1 + b2
a1 + a2
z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 12 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
2. Multiplikation und Division mitPolardarstellung komplexer Zahlen
Seite 32
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 13 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Sinus und Cosinus am Einheitskreis Seite 32
x
y
r = 1
π
32π
π2
ϕ
sinϕ
cosϕ
sin2(ϕ) + cos2(ϕ) = 1
sin(0) = 0cos(0) = 1sin(π2 ) = 1cos(π2 ) = 0
sin(−ϕ) = − sin(ϕ)cos(−ϕ) = cos(ϕ)sin(ϕ+ π) = − sin(ϕ)cos(ϕ+ π) = − cos(ϕ)
Vollkreis hat 360◦
oder eine Bogenlänge von 2π
zu ϕ gehörige Bogenlänge
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 14 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Seite 33
ϕπ2
π 32π
2π
1
-1
sin(ϕ)
cos(ϕ)
Additionstheoreme für sin und cos
sin(ϕ+ ψ) = sin(ϕ) cos(ψ) + sin(ψ) cos(ϕ)cos(ϕ+ ψ) = cos(ϕ) cos(ψ)− sin(ϕ) sin(ψ)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 15 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Seite 33
Geometrischer Beweis −→ Skript.
Analytischer Beweis −→ nächstes Semester.
Einfache Merkregel: kommt gleich.
Benötigt werden etwas später noch:
tan(ϕ) = sinϕcosϕ , nicht definiert bei ϕ = 2n+1
2 π,n ∈ N
cot(ϕ) = cosϕsinϕ , nicht definiert bei ϕ = nπ,n ∈ N.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 16 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Jetzt Polardarstellung von z ∈ C Seite 33
x
y
r = |z|
z
ϕ
r sinϕ
r cosϕ
z = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ))
Kürze ab:
eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Abkürzung gut?
JA:ei(ϕ+ψ) =cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)= cosϕ cosψ − sinϕ sinψ +i(cosϕ sinψ + cosψ sinϕ)= (cosϕ+i sinϕ)(cosψ+i sinψ)= eiϕ eiψ
Dann
z = reiϕ
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 17 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Seite 34
Eulers Formel
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Ist ungeheuer praktisch!
Anwendungsbeispiel: Additionstheoreme vergessen?
Euler liefert:cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ) = ei(ϕ+ψ)
= eiϕ eiψ
= (cosϕ+ i sinϕ)(cosψ + i sinψ)= (cosϕ cosψ − sinϕ sinψ) + i(cosϕ sinψ + cosψ sinϕ)
Vergleiche Real- und Imaginärteile beider Seiten. Fertig!
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 18 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
x
y
r = |z|
z
ϕ
Im(z)
Re(z)
z = Re(z) + i Im(z)= r eiϕ, ϕ = arg z.arg z nur bis auf Vielfache von2π bestimmt.
Praktische Bestimmung von ϕaustanϕ = Im(z)
Re(z)(ϕ = arc tan
(Im(z)Re(z)
))
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 19 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Aber Achtung!
ϕ
tanϕ
0−π2π2
3π2π ϕ2ϕ1
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 20 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
ϕ1
y1
x1
ϕ2
y2
x2
y1
x1=
y2
x2
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 21 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Wozu der Aufstand? Seite 34
Antwort: Multiplikation und Division werden sehr einfach!(r1 ei ϕ1 )(r2 ei ϕ2 ) = r1 · r2︸ ︷︷ ︸
multipliziere Beträge
· ei(ϕ1+ϕ2)︸ ︷︷ ︸addiere Argumente.
(r1 ei ϕ1 )/
(r2 ei ϕ2 ) =(
r1r2
)ei (ϕ1−ϕ2).
Speziell (Formel von de Moivre)
(r ei ϕ)n = rn ei n ϕ
[r(cos φ+ i sinϕ)]n = rn(cos n φ+ i sin n ϕ)⇒ weitere Additionstheoreme
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 22 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
De Moivre rückwärts: Seite 45
Gesucht n-te Wurzel aus
z = r ei ϕ
Eine Antwortn√
z = r1/n ei ϕ/n
Aber auchn√
z = r1/n ei(ϕ/n+ 2πn ·k) k = 1, · · · ,n − 1
da n · 2πn · k = 2π · k
Allgemein:
n√
z = r1/n ei (ϕn + 2πn ·k), k = 0,1, · · · ,n − 1
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 23 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Seite 36
ζ4
ζ0
ζ6
ζ2
ζ5 ζ7
ζ3 ζ1
Die 8 achten Wurzeln aus 1.Die 8 achten ““Einheitswurzeln““.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 24 / 309
Grundlagen Komplexe Zahlen C
Sind Komplexe Zahlen wirklich?
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 25 / 309
Vektorrechnung
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 26 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 27 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Vektoren Seite 38
v
v
v
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 28 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 38
yx2
z
x3
x
x1
v
p
R3 :=
x1
x2x3
: x1, x2, x3 ∈ R
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 29 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 38
R2 :=
{(x1x2
): x1, x2 ∈ R
}∼= Vektoren der Ebene.
R3 :=
x1
x2x3
: x1, x2, x3 ∈ R
∼= Vektoren im Raum.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 30 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 39
Addition von Vektoren:
a =
a1a2a3
,b =
b1b2b3
,a + b =
a1 + b1a2 + b2a3 + b3
Geometrisch: Aneinanderfügen der Vektorpfeile
x1
x2
b
a
ab
a + b
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 31 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 39
Multiplikation mit Skalaren (reellen Zahlen)
a · λ =
a1a2a3
· λ =
a1 · λa2 · λa3 · λ
3 · v
v
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 32 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 39
Zerlegen in vorgegebene Richtungen
a
v uµ · u
λ · v
a = λ v + µ u
In R2 jeder Vektor in Richtungen u, v , die nicht parallel sind.
In R3 in u, v ,w die nicht in einer Ebene liegen.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 33 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Zerlegung eines Vektors invorgegebene Richtungen:
Eines der häufigsten Probleme in derMathematik!
Thema des ganzen 1. Semesters!
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 34 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Beispiel 2.1 (zeichnerische Lösung) Seite 40
K g
v1 v2
K 1
K 2
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 35 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Beispiel (rechnerische Lösung) Seite 40
K 1 : = µ1 v1 K 2 : = µ2 v2 K g gegeben.
Ruhebedingung:K 1 + K 2 + K g = 0v1 µ1 + v2 µ2 = −K g
Komponentenweise:
v11 µ1 + v2
1 µ2 = −K g1
v12 µ1 + v2
2 µ2 = −K g2
Lineares Gleichungssystem:(v1
1 v21
v12 v2
2
)(µ1µ2
)= −
(K g
1K g
2
).
Trigonometrie nicht nötig!
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 36 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
x
y
µ2 · v2
µ1 · v1 µ3 · v3
E =
(E1E2
)
L1
L2 L3
L1
(10
)+ L2
(01
)+ µ1 v1 + µ2 v2 = 0
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 37 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Vektoren
x1...
xn
mit n� 3 treten auf.
L1
(10
)+ L2
(01
)+ µ1 v1 + µ2 v2 = 0
E − µ1 v1 + µ3 v3 = 0
L3
(01
)− µ2 v2 − µ3 v3 = 0
⇔
0BBBBB@100000
1CCCCCA L1 +
0BBBBB@010000
1CCCCCA L2 +
0BBBBBB@v1
1v1
2−v1
1−v1
200
1CCCCCCAµ1 +
0BBBBBB@v2
1v2
200−v2
1−v2
2
1CCCCCCAµ2 +
0BBBBBB@
00v3
1v3
2−v3
1−v3
2
1CCCCCCAµ3 +
0BBBBB@000001
1CCCCCA L3 =
0BBBBB@00−E1−E2
00
1CCCCCA
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 38 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 41
Satz 2.3: Eigenschaften der Vektoroperationen
∀a,b, c ∈ R3 ∀ λ, µ ∈ R :
(i) a + b = b + a(ii) (a + b) + c = a + (b + c)
(iii) ∃! x : = b − a ∈ R3 mit a + x = b(iv) (λ · µ) · a = λ · (µ · a)
(v) λ(a + b) = λ · a + λ · b(vi) (λ+ µ)a = λ a + µ a(vii) 1 · a = a.
Aufgaben:
0 · a = Θ∃ : Θ ∈ R3 mit Aus Eigenschaften folgerbar.a + Θ = a ∀ a.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 39 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 41
Frage: Wie gross sind K 1,K 2? K g
K 1
K 2
v1 v2
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 40 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 41Länge |a| eines Vektors a ?
ya2
z
a3
x
a1
|a|
|p|
|p|2 = a21 + a2
2
|a|2 = |p|2 + a23
|a|2 = |p|2 + a23 = a2
1 + a22 + a2
3
Betrag
|a| =√
a21 + a2
2 + a23
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 41 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 42
Satz 2.5: Eigenschaften der „Längenfunktion“ | · |
∀ a,b ∈ R3,∀ λ ∈ R,
|a| = 0⇔ a = 0
|λ a| = |λ| · |a|
|a + b| ≤ |a|+ |b| (Dreiecksungleichung)
ab
a + b
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 42 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 42
Folgerung aus der Dreiecksungleichung
Wie bei dem reellen Betrag zeigt man auch∣∣|u| − |v |∣∣ ≤ |u − v | (⇔ ±(|u| − |v |) ≤ |u − v |).
Hinweis: Stetigkeit des Betrags.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 43 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Skalar-Produkt = Inneres-Produkt= Punkt-Produkt
Seite 44
a
b
α
|b| · cosα
|a| · cosα
Skalar-Produkt
〈a,b〉 : = |a| · |b| · cosα
Das Skalarprodukt ist eine Zahl.TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 44 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
〈a,b〉 = |a| · |b| · cosα
a
b
α
|a| · cosα = Länge der Projektion von a auf die Richtung von b|b| · cosα = Länge der Projektion von b auf die Richtung von a.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 45 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
〈a,b〉 = |a| · |b| · cosα
Berechnungsformel für cosα:
cosα = 〈a,b〉|a|·|b|
Wenn 〈a,b〉 irgendwie anders berechnet werden kann, findet man einenAlgorithmus für cos(α).
Wir werden sehen:
Man kann 〈a,b〉 =3∑
i=1
ai bi .
Dafür ist etwas Arbeit nötig!
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 46 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Achtung! In vielen Schulen a · b statt 〈a,b〉Das ist gefährlich!Was ist a · b · c?Antwort: QUATSCH!
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 47 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 44
Satz 2.6: Eigenschaften des Skalarproduktes
(i) 〈a,b〉 = 〈b,a〉 ∀ a,b
(ii) 〈a + b, c〉 = 〈a, c〉+ 〈b, c〉 ∀ a,b, c
(iii) 〈λ a,b〉 = λ 〈a,b〉 ∀ a,b ∈ R3, λ ∈ R
(iv) 〈a,a〉 = |a|2 > 0 ∀ a ∈ R3 \ {0}
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 48 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 45
Beweis: 〈a,b〉 = 〈b,a〉
(i)
b
a
α
2π − α
cos(2π − α) = cos(α)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 49 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 45
Beweis: 〈a + b, c〉 = 〈a, c〉+ 〈b, c〉
(ii)
c
a
b
〈a,c〉|c|
〈b,c〉|c|
〈a+b,c〉|c|
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 50 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 45
Beweis: 〈λ a,b〉 = λ〈a,b〉
(iii)
b
a
−a π − α
α cos(π − α) = − cos(α)
(iv) klar.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 51 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 45
Beweis von: 〈a,b〉 =∑n
i=1 ai bi
Mit e1 =
0@ 100
1A , e2 =
0@ 010
1A , e3 =
0@ 001
1A⇒ a =
0@ a1a2a3
1A = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3
⇒ b =
0@ b1b2b3
1A = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3
〈a, b〉 =DP3
i=1 ai ei ,P3
i=1 bj ej
E=P 3
i=1P 3
j=1 ai bj˙ei , ej
¸Wegen 〈ei , ej〉 =
1 i = j0 sonst
⇒ 〈a, b〉 =3X
i=1
ai bi| {z }Ist das nun nicht einfach?
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 52 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 46|〈a,b〉| =
∣∣|a| · |b| · cosα∣∣ ≤ ∣∣a∣∣ · ∣∣b∣∣
Also∣∣∣∑3i=1 ai bi
∣∣∣ ≤ (∑3i=1 a2
i
) 12 ·(∑3
i=1 b2i
) 12
Cauchy - Schwarzsche - Ungleichung CSU∣∣〈a,b〉∣∣ ≤ |a| · |b|Damit zeigt man die Dreiecksungleichung:
|a + b|2 = 〈a + b,a + b〉 = 〈a,a〉+ 2〈a,b〉+ 〈b,b〉≤ |a|2 + 2|a| · |b|+ |b|2
= (|a|+ |b|)2
⇒ |a + b| ≤ |a|+ |b|.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 53 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Anwendungen: Seite 47
1 Satz des Pythagoras→ Spezialfall von Cos-Satz2 Satz von Thales
d cb
aa
〈b, c〉 = 〈a + d ,−a + d〉= −〈a,a〉+ 〈a,d〉 − 〈d ,a〉+ 〈d ,d〉= −|a|2 + |d |2 = 0
3 Cosinus - Satz
b
c
aα |a|2 = 〈a,a〉 = 〈b − c,b − c〉
= |b|2 + |c|2 − 2|b| · |c| cosαTUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 54 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
a
b
|b| · cosα
α
〈a,b〉 = |a| · |b| · cosα
=〈a,b〉|a|
1
· a|a|
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 55 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Folie zum Übers-Bett-Hängen
a
b
α
Projektion von b auf a-Richtung
=〈a,b〉|a| · |a|
· a =〈a,b〉〈a,a〉
· a
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 56 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Kreuzprodukt Seite 47
A Kα
ω
(1) |A| = |ω| · |K | · sinα(2) A senkrecht zu K und ω.(3) K ω A Rechtssystem
Kreuzprodukt von K und ω
A = K × ω
ω
K
A
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Interpretation von |K × ω| = |K | · |ω| · sinα Seite 48
ω K
ωK
K × ω
|ω| · sinααF
F
|K |
|K | · |ω| · sinα = F =Fläche des durch K und ω aufgespannten Parallelogrammes.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 58 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Allgemein also Seite 48
Seien a,b ∈ R3\{0} mit ∠(a,b) = α. Dann ist a× b ∈ R3 definiert durch
(i) |a× b| = |a| · |b| · | sinα|(ii) a× b⊥ a,b(iii) (a,b,a× b) Rechtssystem
Bei a oder b = 0Sei a× b = 0
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Beispiel 2.9 (Sinus-Satz) Seite 48
c
b a
α β
|a| sinβ = |b| sinα
Beweis
|F | =12|b × c| =
12|b| |c| sinα
=12|a× c| =
12|a| · |c| · sinβ �
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Achtung: Seite 49
Skalarprodukt ohne Schwierigkeiten auf Rn verallgemeinerbar.
Aber: Kreuzprodukt lebt nur in R3
Satz 2.10: Eigenschaften des Kreuzproduktes
∀ a,b, c ∈ R3 ∀ λ ∈ R(i) a× b = −b × a(ii) λ(a× b) = (λa)× b = a× (λb)
(iii) a× (b + c) = a× b + a× c(iv) |a× b|2 = |a|2|b|2 − 〈a,b〉2
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 49
Beweis.
(i) a× b
b
a=
−b × a
b
a
(ii) selber machen(iv)
|a× b|2 = |a|2 · |b|2 sin2 α = |a|2 · |b|2(1− cos2 α)
= |a|2 · |b|2 − |a|2|b|2 cos2 α︸ ︷︷ ︸〈a,b〉2
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 49
Beweis: a× (b + c) = a× b + a× c
(iii) 1.Fall a× (b + c), c = λa
b b + c
a
c
b b + c
c
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 50
Beweis: a× (b + c) = a× b + a× c
(iii) 2. Fall |a| 6= 0 und a⊥b, a⊥c
c
b
a× c
a× b
a⊥ auf Zeichenebene (nach oben!)
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 50
Beweis: a× (b + c) = a× b + a× c
(iii) 3. Fall a,b, c ∈ R3 beliebig.(Wird auf Fälle 1 und 2 zurückgeführt).Wir zeigen die Behauptung nur für |a| = 1.Denn, wenn für a = 1
|a| aa× (b + c) = a× b + a× c richtig,dann auch (nach (ii)) ...a× (b + c) = |a|a× (b + c) = |a|a× b + |a|a× c = a× b + a× c.
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 50
immer noch Beweis: a× (b + c) = a× b + a× c
Also o.B.d.A.: |a| = 1Setze dann
b = b − 〈a,b〉a ⊥ac = c − 〈a, c〉a ⊥a.
Danna× (b + c) = a× (b + 〈a,b〉a + c + 〈a, c〉a) = a× ((b + c) + (〈a,b〉+ 〈a, c〉)a︸ ︷︷ ︸
λa
)
mit Fall 1 = a× (b + c) + a× (λa)︸ ︷︷ ︸=0 nach (ii) , (i)
mit Fall 2 = a× b + a× c = a× (b − 〈a,b〉a) + a× (c − 〈a, c〉a)
mit Fall 1 = a× b + a× c. �
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Berechnung von a× b ohne Winkel α Seite 50
e2
e3
e1
e1 =
100
e2 =
010
e3 =
001
e1 × e2 = e3e2 × e3 = e1e3 × e1 = e2
Einsetzen von a =∑
aiei b =∑
bjejin a× b liefert:
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 51
a× b =∑
ai · ei ×∑
bj · ej
=∑
i∑
j ai · bj · ei × ej
=
a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1
Wer soll das behalten?
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 51
Keiner!Definition 2.11 Matrix, Determinante
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
...am1 am2 · · · amn
∈ R(m×n), aij ∈ R
heißt (m,n) - Matrix.m ist die Zeilenzahl, n die Spaltenzahl der Matrix A. Sind Zeilenzahl undSpaltenzahl gleich, so heißt eine Matrix quadratisch.
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Seite 51
Jeder quadratischen Matrix A ∈ Rm,n wird eine reelle Zahl det A ∈ Rzugeordnet, die Determinante von A.
Bei
A =
a11 · · · a1n...
...an1 · · · ann
schreibt man auch∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n...
...an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣ := det A.
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Seite 51
Wir definieren det A für A ∈ Rnn zunächst nur für n = 2 und n = 3.
n=2
det(
a11 a12a21 a22
):= a11 · a22 − a21 · a12
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 51
n = 3
det
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
:=
+a11 · det[
a22 a23a32 a33
]−a12 · det
[a21 a23a31 a33
]+a13 · det
[a21 a22a31 a32
]2× 2 -Determinantennach n = 2Regelausrechnen
Anmerkung: n = 4 greift analog auf n = 3 Definition zurück usw.
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 51Für a,b ∈ R3 und e1,e2,e3 die Einheitsvektoren des R3 setze formal
A(a,b) :=
e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3
Dann ist
det A(a,b) = e1(a2 b3 − b2 a3)
−e2(a1 b3 − b1 a3)
+e3(a1 b2 − b1 a2)
=
a2 b3 − b2 a3b1 a3 − a1 b3a1 b2 − b1 a2
= a× b.
Also:
a× b =
∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 73 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 52
a× b
Fb
a
a
b
c
α
|c| · cosα= Höhe h
Spatprodukt
〈a× b, c〉 = |a× b|︸ ︷︷ ︸Grundfläche F
· |c| · cos(α)︸ ︷︷ ︸Höhe h
= Volumen des durch a,b, c aufgespannten Spates
Spat = Parallelepiped = Parallelotop
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Berechnung des Spatprodukts Seite 53
a× b = det[
a2 a3b2 b3
]e1 − det
[a1 a3b1 b3
]e2 + det
[a1 a2b1 b2
]e3
= : u1 e1 − u2 e2 + u3 e3
V : = 〈a× b, c〉 = 〈u1 e1 − u2 e2 + u3 e3, c〉 = u1 〈e1, c〉︸ ︷︷ ︸c1
−u2 〈e2, c〉︸ ︷︷ ︸c2
+u3 〈e3, c〉︸ ︷︷ ︸c3
= det[
a2 a3b2 b3
]c1 − det
[a1 a3b1 b3
]c2 + det
[a1 a2b1 b2
]c3
= det
c1 c2 c3a1 a2 a3b1 b2 b3
= det
cab
= det
abc
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Da „V = 0⇔ a,b, c in einer Ebene“, ergibt sich neben derBerechnungsmethode für V ein einfacher Test für „a,b, c in Ebene.“
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Etwas Elementargeometrie Seite 53
Geraden:
x2
x1
a
A
bB
b − a
x3
x2
x1
a
A
b B
b − a
× = a + λ u, λ ∈ R︸ ︷︷ ︸Punkt (a) - Richtungs (u) - Darstellung der Gerade oder Parameterdarstellung (Parameter λ)
z.B.: u = b − a.TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 77 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
x1 = a1 + λu1 |(− u2u1
)x2 = a2 + λu2Œ u1 6= 0
x1 = a1 + λu1x2 = a2 + λu2x3 = a3 + λu3Œ u1 6= 0
x2 − u2u1
x1 = a2 − u2u1
a1⇔−u2 x1 + u1 x2 = −u2 a1 + u1 a2
−u2 x1 + u1 x2 = −u2 a1 + u1 a2−u3 x1 + u1 x3 = −u3 a1 + u1 a3
Gleichungsdarstellungen.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 78 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 54
Lemma 2.13
Mit ai ,ui ∈ R3, i = 1,2 seien Mi := {x | x := ai + λ ui , λ ∈ R} i = 1,2.Behauptung
M1 = M2
⇔
a2 − a1 = J u1 für ein J ∈ R und µ ∈ R
und
u2 = κ u1 für ein κ ∈ R, κ 6= 0.
Beweis:→ Skript.Interpretation:→ Tafel!
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Ebenen Seite 55
E
A
0
a
C
c
B
b
v
uX
Parameterdarstellung von X ∈ Ex := Ortsvektor von X
x = a + λu + µ vu, v Vektoren „in E“ nicht parallel, etwa u = b − a, v = c − a.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 80 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 57
Elimination von λ und µ aus xi = ai + λ ui + µ vi i = 1,2,3 führt aufGleichungsdarstellung
n1 x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = δ,xi ,ni , n1, n2, n3, δ ∈ R
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 81 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 58
〈n, x〉 = δ〈n,a〉 = δ
〈n, x〉 = δ = 〈n,a〉⇒ 〈n, x − a〉 = 0
d.h. n ⊥ x − a ∀ x ∈ E n senkrecht auf Ebene.
E
a
x1
x2
n
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Beispiel:
x =
111
+ λ
101
+ µ
11−1
⇔ x1 = 1 + λ+ µ ∗1
x2 = 1 + µ ∗(−2)x3 = 1 + λ− µ ∗(−1)
x1 − 2x2 − x3 = −2
n1 = 1,n2 = −2,n3 = −1, δ = −2
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 83 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 58
A
0
a
C
c
B
b
v
u
n = u × v
Wenn man eine Normale n von E hat und einen Punkt a, so findet man eineGleichung ganz schnell.〈n, x − a〉 = 0
Woher n nehmen?
u = b − av = c − a
}n = u × v .︸ ︷︷ ︸
Fertig!
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 59
Noch besser:Verwende statt Normalenvektor n den
Einheitsnormalenvektor
n0 :=1|n|
n
Hessesche NormalformDie Form〈n0, x − a〉 = 0der Ebenengleichnung heißt Hessesche Normalform
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Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 59
Ed
a
n0
d
P
p
0
p − a
|d |
d = 〈n0,p − a〉n0 d = Projektion von p − a auf n0
|d | = |〈n0,p − a〉|Abstand von Punkt P zu Ebene E .
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 86 / 309
Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum
Seite 59
Hessesche Normalform einer Ebenex = a + λ u + µ v , λ, µ ∈ R
〈 u × v|u × v |
, x − a〉 = 0.
Analog im R2 Parameterform: x = a + λ u , λ ∈ R
u =
(u1u2
)Normale auf Gerade ,n, muss senkrecht stehen auf u.
n :=
(−u2u1
)〈n,u〉 = −u2 · u1 + u1 · u2 = 0
n0 =
− u2√u2
1+u22
u1√u2
1+u22
Geradengleichung:〈n0, x − a〉 = 0 Hesse - Normalform.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 87 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 88 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Allgemeine Vektorräume Seite 65
Definition 2.18:
V 6= ∅ mit Additionu, v −→ u + v ∈ Vund skalarem Vielfachenu ∈ V , λ ∈ R→ λ · u ∈ Vheißt VEKTORRAUM, wenn∀u, v ,w ∈ V und ∀ λ, µ ∈ R (C möglich. Dann komplexer.)
(i) u + v = v + u(ii) (u + v) + w = u + (v + w)
(iii) ∃!x ∈ V : u + x = v .(iv) (λ · µ)u = λ(µ u)
(v) λ(u + v) = λ u + λ v(vi) (λ+ µ)u = λ u + µ u(vii) 1 · u = u.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 89 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Beispiele Seite 66
1. R2& R3
2. Rn :=
x1x2...
xn
: xi ∈ R, i = 1, · · · ,n
mit
x1x2...
xn
+
y1y2...
yn
=
x1 + y1x2 + y2
...xn + yn
, λ ·
x1...
xn
=
λx1...λxn
.
3. a). E eine Ebene des R3 durch 0.+, ·λ wie im R3.
b). G eine Gerade des Rn durch 0.+, ·λ wie in Rn.
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 67
4. a) Πn = Menge aller Polynome
p(x) =∑n
j=0 pjx j ,pj ∈ R, mit
(p + q)(x) =∑n
j=0(pj + qj )x j und
λ p(x) =∑n
j=0 λ pj x j .
b) Πn := Menge aller trigonometrischen Polynome
s(x) = a02 +
∑nk=1(ak cos(kx) + bk sin(kx))
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 91 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 67
5. M Menge V = {f : M → R}Addition und Multiplikation mit λ ∈ R punktweise erklärt
(f + g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ M
(λ f )(x) = λ f (x), x ∈ M.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 92 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Zur Vektor-Interpretation von Funktionen
x =
120−11
ist eine Funktion: {1,2,3,4,5} ⇒ R
x(1) = 1, x(2) = 2, x(3) = 0, x(4) = −1, x(5) = 1
1
2
−1
1 2 3 4 5
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Vektor-Addition ist Funktionen Addition
x1 =
12345
, x2 =
201−1−2
−1
−2
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Funktion ist kontinuierlicher Vektor
f (x) = x2
0 1
fxxf =
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 68
6. Menge aller (m,n)− Matrizen .
λ
a11 · · · a1n...
...am1 · · · amn
=
λa11 · · ·λa1n...
...λam1 · · ·λamn
a11 · · · a1n
......
am1 · · · amn
+
b11 · · · b1n...
...bm1 · · · bmn
=
a11 + b11 · · · a1n + b1n...
...am1 + bm1 · · · amn + bmn
.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 96 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 68
Definition 2.23Sei V ein Vektorraum.W ⊂ V heißt Untervektorraum oder Teilvektorraum von V , wenn W mit denVerknüpfungen von V selbst wieder Vektorraum ist.
Vorteil der Begriffsbildung
„V Vektorraum“ bewiesen.W ⊂ V . Dann für u, v ,w ∈ W λ, µ ∈ R klar:
(i) u + v = v + u(ii) (u + v) + w = u + (v + w)
(iv) (λ · µ) · u = λ(µ · u)
(v) λ(u + v) = λ u + λ v(vi) (λ+ µ)u = λ u + µ u(vii) 1 · u = u.
Für „W Vektorraum“ fehlt nur noch
(iii) (∃!x ∈ W : u + x = w) ∀ u,w ∈ W .
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 97 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 68
Satz 2.23
Sei V Vektorraum und W ⊂ V ,W 6= ∅. DannW ist Vektorraum
⇐⇒
a) u + v ∈ W ∀ u, v ∈ Wb) λ u ∈ W ∀ u ∈ W , λ ∈ R
SEHR
PRAKTISCH
Beweis: „⇒„: klar !„⇐“ : zu zeigen : {a),b)} ⇒ (iii).Seien u, v ∈ W . Dann löst x := v + (−1)u die Gleichung u + x = v in Veindeutig.Dies ist auch in W der Fall, wenn nur x ∈ W . Aber
v + (−1)u︸ ︷︷ ︸∈W nach b)︸ ︷︷ ︸
∈W nach a)
∈ W
�TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 98 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Beispiele für Untervektorräume Seite 69
A. Πn = {∑n
i=0 aix i ,ai ∈ R}ist Teilraum des Vektorraumes der reellen Funktionen R −→ R
B. Dito Tn := { a02 +
∑nk=1 ak sin k x + bk cos k x ,a0, · · · ,an,b1, · · · ,bn ∈ R}
C. G := {(
xy
)∈ R2|n1 x + n2 y = 0} n2
1 + n22 6= 0
ist ein Teilraum von R2 (Eine Gerade durch Null, Normale(
n1n2
)).
denn(
xiyi
)∈ G, i = 1,2⇒
{n1 x1 + n2 y1 = 0n1 x2 + n2 y2 = 0
⇒ n1(x1 + x2) + n2(y1 + y2) = 0 also(
x1 + x2y1 + y2
)∈ G.
und(
xy
)∈ G, λ ∈ R⇒ (n1 x + n2 y) = 0
⇒ n1(λ x) + n2(λ y) = 0 also λ(
xy
)∈ G.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 99 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Beispiele für Untervektorräume Seite 69
A. Πn = {∑n
i=0 aix i ,ai ∈ R}ist Teilraum des Vektorraumes der reellen Funktionen R −→ R
B. Dito Tn := { a02 +
∑nk=1 ak sin k x + bk cos k x ,a0, · · · ,an,b1, · · · ,bn ∈ R}
C. G := {(
xy
)∈ R2|n1 x + n2 y = 1} n2
1 + n22 6= 0
ist kein Teilraum von R2 (Eine Gerade nicht durch Null, Normale(
n1n2
)).
denn(
xiyi
)∈ G, i = 1,2⇒
{n1 x1 + n2 y1 = 1n1 x2 + n2 y2 = 1
⇒ n1(x1 + x2) + n2(y1 + y2) = 2 6= 1 also(
x1 + x2y1 + y2
)/∈ G.
und(
xy
)∈ G, λ ∈ R⇒ (n1 x + n2 y) = 1
⇒ n1(λ x) + n2(λ y) = λ also λ(
xy
)/∈ G für λ 6= 1.
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 69
D. = Beispiel 3 (Skript)
Sei L die Menge der Lösungen
x1...
xn
∈ Rn des homogenen
Gleichungssystemsa11 x1 + a12 x2 + · · ·+ a1n xn = 0...
......
...am1 x1 + am2x2 + · · ·+ amn xn = 0
Dann sind mit
x1...
xn
und
y1...
yn
auch
x1 + y1...
xn + yn
und
λx1...λxn
∀ λ ∈ R
Lösungen des Gleichungssystems.⇒ L ist Teilraum des Rn.
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
E. W := {(
xy
)∈ R2 : x2 + y2 = 1} kein Teilraum des R2.
W
/∈W
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 69
E 0u
v
Parameterdarstellung einer Ebene E durch den Nullpunkt mit zweinicht-parallelen Vektoren u und v der Ebene.E = {λ u + µ v : λ, µ ∈ R}
Ziel:Verallgemeinerung einer solchen Darstellung auf allgemeine Vektorräume.
Frage:Was sind dort u, v , · · · ?
Zunächst mal umgekehrt!u, v ,w , · · · gegeben. Bastle daraus einen Vektorraum.
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Seite 69
Definition 2.25 “Linearkombination“
A. Sind v1, · · · , v r ∈ V Vektoren, so heißt jeder Vektor
v =r∑
j=1
λj v j , λj ∈ R
eine Linearkombination von
v1, · · · , v r
B. Ist jeder Vektor aus V Linearkombination von v1, · · · , v r , so “spannenv1, · · · , v r den Raum V auf “
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Beispiele Seite 70
1.
100
= e1,
010
= e2,
001
= e3 spannen R3 auf:
“Beweis“:
x1x2x3
= x1 e1 + x2 e2 + x3 e3
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2.
e3
1
e21
e11
v3v2
v1
v1 =
0@ 110
1A v2 =
0@ 011
1A v3 =
0@ 101
1Aspannen auch den R3 auf, denn0@ x1
x2
x3
1A = 12 (x1+x2−x3)
0@ 110
1A+ 12 (x2+x3−x1)
0@ 011
1A+ 12 (x1−x2+x3)
0@ 101
1A24 = 1
2
0@ x1 + x2 − x3 + x1 − x2 + x3
x1 + x2 − x3 + x2 + x3 − x1
x2 + x3 − x1 + x1 − x2 + x3
1A 35Wie man darauf kommt?→ Später!!
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Seite 70
3. u1 =
110
u2 =
120
u3 =
340
spannen nicht R3 auf, da
e3 /∈ span{u1,u2,u3}. Sie spannen aber den Unterraum
V =
{ x1x2x3
∣∣∣∣x3 = 0}
auf.
Frage: Warumist V Unterraum?
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Seite 70
4. 1, x , x2, · · · , xn spannen Πn auf.
5. 1 cos(x) cos(2x) · · · cos(nx)sin(x) sin(2x) · · · sin(nx)
spannen
Tn := { a02 +
∑nk=1 ak cos(kx) + bk sin(kx)|a0, · · · ,an,b1, · · · ,bn ∈ R} auf.
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Seite 70
Satz 2.27
Sei V Vektorraum und v1, ., v r ∈ V .
(i) W :={∑r
j=1 λj v j : λj ∈ R}
ist Teilraum von V .
(ii) Für jeden Teilraum U ⊂ V mit v1, · · · , v r ∈ U gilt U ⊃ W ; d.h.W ist kleinster Teilraum mit v1, · · · , v r ∈ V .
Bezeichnung 2.28
W :={∑r
j=1 λj v j∣∣λj ∈ R
}= : span{v1, · · · , v r}
v1, · · · , v r erzeugendes System von W .
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Seite 71
Beweis von Satz 2.27
(i)∑r
i=1 λi vi ,∑r
i=1 µi vi ∈ W ⇒∑r
i=1 (λi + µi ) v i ∈ W
∑ri=1 λi vi ∈ W , ν ∈ R⇒
∑ri=1 ν λi v i ∈ W
(ii) ∀ λ1 ∈ R⇒ λi v i ∈ U ⇒ λ1 v1 + λ2 v2 ∈ U
⇒ λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 v3 ∈ U ⇒∑r
i=1 λi vi ∈ U �
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Beispiele
A. span{ 1
10
,
011
} ist eine Ebene durch den Nullpunkt
e3
1
e22
e11
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B. span{ 1
10
,
121
,
011
} ist dieselbe Ebene; denn 121
= 1 ·
110
+ 1 ·
011
ist Linearkombination der Vektoren
(1,1,0)T und (0,1,1)T .
C. span{v1, v2} mit v2 = µ v1 ist gleich span{v1}, denn
∑2i=1 λi v i = λ1 v1 + λ2 v2 = λ1 v1 + λ2 µ v1 = (λ1 + λ2 µ)v1.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 112 / 309
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Seite 71
ZielFinde zu vorgegebenem Unterraum einen minimale Zahl von Vektorenv1, ·, v r ∈ W mitspan{v1, ·, v r} = W .
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 113 / 309
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Seite 71
Definition 2.30 Unheimlich Wichtig!!
(i) v1, · · · , v r ∈ V heißen linear abhängig , wenn
∃ λ1, · · · , λr ∈ R :∑r
i=1 |λi | 6= 0 mit∑r
i=1 λi v i = 0.
(ii) v1, ·, v r ∈ V sind linear unabhängig , wenn∑ri=1 λi v i = 0⇒
∑ri=1 |λi | = 0
Achtung ! Schreibweise!∑ri=1 |λi | 6= 0⇔ ∃ i ∈ {1, · · · , r} : λi 6= 0.
∑ri=1 |λi | = 0⇔ λi = 0, ∀ ∈ {1, · · · , r}.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 114 / 309
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Beispiele Seite 72
A. e1,e2,e3,∈ R3 linear unabhängig, da
3∑i=1
λi ei =
λ1λ2λ3
!=
000
⇒ λi = 0 ∀i .
B.(
11
),
(1−1
)∈ R2 linear unabhängig, da
λ1
(11
)+ λ2
(1−1
)= 0
⇒ λ1 + λ2 = 0λ1 − λ2 = 0⇒ λ1 = λ2
}⇒ 2λ1 = 0
λ1 = λ2λ1 = 0︸ ︷︷ ︸λ1 = λ2 = 0
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 115 / 309
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C.
110
011
linear unabhängig
110
121
011
linear abhängig,
1
110
− 1 ·
121
+
011
= 0
D. u1,u2 ∈ R2 linear abhängig⇔ u1||u2
u1,u2,u3 ∈ R3 linear abhängig⇔ det
u1
u2
u3
= 0.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 116 / 309
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Seite 72
E. Sind v1, · · · , v r ∈ V linear abhängig, so auch v1, · · · v r , v r+1
Beweis:∑r
i=1 λi v i = 0 und∑r
i=1 |λi | 6= 0 so ist∑r+1i=1 µi v i = 0 und
∑r+1i=1 |µi | 6= 0
für µi = λi i = 1, · · · , r , µr+1 = 0.
�
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 117 / 309
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Seite 72
F. Mit
110
,
011
sind auch
110∗∗∗...∗
011∗∗∗...∗
∈ R3+k linear unabhängig.
→ Anbau macht nicht abhängig!
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 118 / 309
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Seite 73
G. Die Funktionen f (x) = 1 und g(x) = x von R nach R sind linearunabhängig, denn die Vektoren(
f (0)f (1)
)=
(11
)und
(g(0)g(1)
)=
(01
)sind linear unabhängig.
Die Funktionen f und g sind diese Vektoren mit “langen Anbauten“.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 119 / 309
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Seite 73
H. „1, x , x2, · · · , xn ∈ Πn sind linear unabhängig“, dennp(x) =
∑nj=0 aj x j ≡ 0 ist nur für a0 = a1 = · · · = an = 0 möglich nach
dem
Fundamentalsatz der Algebra:p ∈ Πn,an 6= 0
⇒ p hat in C genau n Nullstellen.
Folgerung:Ist ein an in
∑nj=0 aj x j = p(x) von Null verschieden, so hat p(x) in R
höchstens n Nullstellen.
Anmerkung:Beweis von H auch ohne Fundamentalsatz möglich. Siehe später→„Interpolation“. (Verallgemeinerung von Beispiel G.)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 120 / 309
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Seite 73
V : Vektorrraum
W ⊂ V Untervektorraum
W = span{v1, v2, · · · , vm}
Ziel
Wähle Teilmenge {w1, · · · ,w r} aus {v1, · · · , vm}, so dass w1, · · · ,w r
linear unabhängig ist und immer noch W = span{w1, · · · ,w r}.
w1, · · · ,w r heißt dann Basis von W .
Geht das?Wir formulieren den Inhalt von Satz 2.32 (und seines Beweises) algorithmisch.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 121 / 309
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Seite 74
W ={ m∑
i=1
µi v i |µi ∈ R}
START
WENN v1, · · · , vm linear unabhängig→r = mw1, · · · ,w r = v1, · · · , vm
STOP
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 122 / 309
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Seite 73
SONST
∃ λ1, · · · , λm ∈ R,∑m
i=1 |λi | 6= 0und
∑mi=1 λi v i = 0.
Sei λj 6= 0.Dann0 =
∑mi=1 λi v i = λj v j +
∑mi=1,i 6=j λi v i ,
alsov j = −
∑mi=1,i 6=j
λiλj
v i ,somit∑m
i=1 µi v i = µj v j +∑m
i=1,i 6=j µi v i
= −∑m
i=1,i 6=j µjλiλj
v i +∑m
i=1,i 6=j µi v i
=∑m
i=1,i 6=j (µi − µjλiλj
)v i
Entferne v j und GO TO START
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Seite 73
Satz 2.32
Sei W := span{v1, · · · , vm} ⊂ V .
(i) Sind v1, · · · , vm linear abhängig und∑m
i=1 λi v i = 0, so istW = span{v1, · · · , v j−1, v j+1 · · · , vm}für jedes j ∈ {1, · · · ,m} mit λj 6= 0.
(ii) Ist W 6= {0}, so gibt es linear unabhängige Vektorenvk1 · · · vkr ∈ {v1, · · · , vm} mit W = span{vk1 , · · · , vkr }.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 124 / 309
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Seite 74
Definitionen 2.33
1. Sei V Vektorraum, S := {v1, · · · , v r}︸ ︷︷ ︸endlich
⊂ V
S ist Basis von Vwenn(i) v1, · · · , v r linear unabhängig(ii) V = span{v1, · · · , v r}.
2. Existiert eine (endliche) Basis von V , so heißt V endlichdimensional.(sonst unendlichdimensional)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 125 / 309
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Beispiele von Basen Seite 75
A. e1 =
100...0
,e2
010...0
· · · ,en =
0...001
bilden die Standardbasis des Rn.
B. {1, x , x2, · · · , xn} = Standardbasis des Πn.
C.(
11
),
(10
)ist Basis des R2; also Basis nicht eindeutig.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 126 / 309
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Seite 75
Satz 2.36 (Steinitz)
Sei W := span{v1, · · · , vm} und w1, · · · ,w r ∈ W linear unabhängig, dann(i) r ≤ m(ii) ∃ r Vektoren in {v1, · · · , vm}
( Œdie ersten r ) mit W = span{w1, · · · ,w r , v r+1, · · · , vm}
Folgerung: (Korollar 2.38)
Die Anzahl der Basisvektoren in einer Basis eines endlichdimensionalenVR V ist Basis - unabhängig
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 127 / 309
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Seite 76
Definition 2.39 Dimension eines VRDiese Anzahl heißt die Dimension von V . Bezeichnung: dim V .
Beweis der Folgerung
Seien{
v1, · · · , vm}
und{
w1, · · · ,w r}
Basen
Basis von V linear unabhängig in V
a) v1, · · · , vm w1 · · ·w r Steinitz⇒ r ≤ m
b) w1, · · · ,w r v1 · · · vm ⇒ m ≤ r
aus a) & b) folgt: r = m �
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Seite 76
Korollar 2.37
Sei V endlichdimensional und w1, · · · ,w r ∈ V . Dann gibt es v r+1, · · · , vn, sodass w1, · · · ,w r , v r+1, · · · , vn Basis von V sind.
Beweis
Sei v1, · · · , vn Basis von V .O. B. d. A. nach Steinitz v1, · · · , v r gegen w1, · · · ,w r austauschbar �
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Seite 76
Beweis von Satz 2.36(ii): Induktion nach T : (Dabei fällt (i) nebenbei ab)
r = 1 Austausch von w1 gegen ein v ∈ {v1, · · · , vm}
w1 ∈ span{v1, · · · , vm} ⇒
w1 =∑m
i=1 λi v i
w1 6= 0
}⇒ ∃ i ∈ {1, · · · ,m} : λi 6= 0
Œ.i = 1 Nach Reduktionsalgorithmus (Seite 123) ist dann
v1 = 1λ1{w1 −
∑mi=2 λi v i}
in {w1, v1, v2, · · · , vm} streichbar mit
span{w1, v2, · · · , vm} = V .
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 130 / 309
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Seite 76
Beweis von Satz 2.36 fort.
r → r + 1 (r + 1 ≤ m)
Œw1, · · · ,w r schon ausgetauscht. Situation dannw r+1 ∈ W gegebenw1, · · · ,w r+1 linear unabhängig W = span{w1, · · · ,w r} a)
oderW = span{w1, · · · ,w r , v r+1, · · · , vn} b)
a) w r+1 =∑r
i=1 µi w i ⇒ w1, ...,w r+1 linear abhängig Situation a) unmöglich
b) w r+1 ∈ W ⇒ w r+1 =∑r
i=1 λi w i +m∑
i=r+1
µi v i
︸ ︷︷ ︸mindestens ein µk 6=0 k ∈{r+1,··· ,m}
sonst w r+1 =∑r
i=1 λi w i
zu linear unabhängig von w1, · · · ,w r+1
Streiche vk in {w1, · · · ,w r+1, v r+1, · · · , vm} �
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 131 / 309
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Seite 77
Folgerungen aus Folgerung
dim Rn = n
dim Πn = ]{1, x , x2, · · · , xn} = n + 1
Ist V VR der Dimension n und v1, · · · , vn ∈ V linear unabhängig
⇒ v1, · · · , vn ist Basis
⇒ ∀ v ∈ V ∃ λ1, · · · , λn : v =∑n
i=1 λi v i .
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 132 / 309
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Seite 77Sei V ein Vektorraum, dim V = n <∞, {v1, · · · , vn} eine Basis von V .
x =n∑
i=1
xi v i , xi ∈ R
x1, ..., xn sind die Koordination von x bezüglich der Basis {v1, · · · , vn}
Korollar 2.41
Zuordnung x →
x1...
xn
ist eindeutig.
Beweis: Sei x =∑n
i=1 xi v i , x =∑n
i=1 yi v i
Dann:⇒ 0 = x − x =∑n
i=1 (xi − yi )v i
vi linear unabhängig⇒ xi = yi , i = 1, · · · ,n.
�
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Seite 78
Korollar 2.42 (Dimensionsformel)
U,W Teilräume von V , endlichdimensional. Dann
dim(U + W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W )
Beweis
v1 · · · v r Basis von U ∩W .
Basis von U︷ ︸︸ ︷u1, · · · ,us v1, · · · , v r w1, · · · ,w t
Basis von W .
wenn linear unabhängig, Beweis fertig
Annahme:s∑
j=1
µj uj +r∑
i=1
λi v i
︸ ︷︷ ︸:=u ∈ U
+t∑
k=1
νk wk
︸ ︷︷ ︸−u ∈W
= 0
⇒ u ∈ U ∩ W⇒ u =
∑ri=1 λ1 v i
∣∣∣∣⇒ µj = 0 ∀jνk = 0 ∀k
}⇒ 0 =
∑ri=1 λi v i ⇒ λi = 0 ∀i . �
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Seite 79
Bijektive Abbildung
T :
V −→ Rn
x =∑n
i=1 xi v i −→
x1...
xn
← Koordinatenvektor
mit
T (x+y) = T( n∑
i=1
(xi +yi )v i)
=
x1 + y1...
xn + yn
=
x1...
xn
+
y1...
yn
= T (x)+T (y),∀x , y ∈ V
und T (λ x) = λ T (x).
Rechnung in V ersetzbar durch äquivalente Rechnung im Rn.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 135 / 309
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Seite 79
Definition 2.44
Zwei Vektorräume (V ,+, ·) und (W ,⊕,⊙
) heißen isomorph, wenn∃ Bijektion T : V →W mit
T (x + y) = T (x)⊕
T (y), ∀ x , y ∈ V
T (λ · x) = λ⊙
T (x), ∀ x ∈ V ,∀ λ ∈ R
Satz 2.45
(VA,+, ·), (VB,⊕,⊙
) Dimension n. Dann
VA isomorph Rn isomorph VB.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 136 / 309
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Beispiel Seite 80
V : =
{ x1x2
x1 − x2
: x1, x2 ∈ R
}⊂ R3
Basis:
v1 =
101
, v2 =
01−1
T :
x1x2
x1 − x2
= x1 v1 + x2 v2 →(
x1x2
)∈ R2
Statt mit rechne mit
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 137 / 309
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Seite 81
Nächstes ZielDefiniere Skalarprodukt auf allgemeinem Vektorraum und damit dannOrthogonalität.
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Seite 81
Definition 2.47 (Allgemeines Skalarprodukt)
Sei V (reeller) Vektorraum.
〈·, ·〉 :
{VxVx , y
−→7−→
R〈x , y〉
heißt Skalarprodukt oder inneres Produkt in (oder auf) V , wenn gelten:
(i) 〈x + y , z〉 = 〈x , z〉+ 〈y , z〉 ∀ x , y , z ∈ V(ii) 〈λ · x , y〉 = λ〈x , y〉 ∀ x , y ∈ V ,∀ λ ∈ R(iii) 〈x , y〉 = 〈y , x〉 ∀ x , y ∈ V(iv) 〈x , x〉 > 0 ∀ x ∈ V\{0}
(V , 〈, 〉) = unitärer Raum.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 139 / 309
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Beispiele Seite 81
1. Euklidisches Produkt auf Rn :
x =
x1...
xn
, y =
y1...
yn
〈x , y〉 : =
∑ni=1 xi yi
2. Gewichtetes euklidisches Produkt auf R3 :〈x , y〉G : = 5 x1 · y1 + 3 x2 · y2 + 2 x3 · y3
3. Inneres Produkt auf Πn :
〈p,q〉 : =1∫0
p(x) q(x) d x
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 140 / 309
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Seite 82
Für das normale euklidische Skalarprodukt im R3 galt:
(CSU) 〈x , y〉 ≤ |x | · |y | x , y ∈ R3
⇔
〈x , y〉2 ≤ 〈x , x〉 · 〈y , y〉
Erinnerung: CSU⇒4-Ungleichung
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 141 / 309
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Seite 82
Satz 2.50 CSU
V unitärer Raum mit Skalarprodukt 〈, 〉Dann
〈x , y〉2 ≤ 〈x , x〉 · 〈y , y〉 ∀ x , y ∈ V
BeweisFür x = 0 : trivial!Sei deshalb x 6= 0 Dann∀ t ∈ R : 〈t x + y , t x + y〉 ≥ 0, insbesondere auch fürt = − 〈x,y〉〈x,x〉
0 ≤ t2〈x , x〉+ 2t〈x , y〉+ 〈y , y〉
=〈x , y〉2
〈x , x〉− 2〈x , y〉2
〈x , x〉+ 〈y , y〉
= −〈x , y〉2
〈x , x〉+ 〈y , y〉. �
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Seite 83
t∗ = − 〈x, y〉〈x, x〉
〈t x + y , t x + y〉
0 ≤ t2〈x , x〉+ 2t〈x , y〉+ 〈y , y〉
insbesondere
0 ≤ (t∗)2〈x , x〉+ 2 t∗〈x , y〉+ 〈y , y〉
= −〈x , y〉2
〈x , x〉+ 〈y , y〉
�
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Seite 83
Zusatz:
„=„ ⇔ 〈t∗ x + y , t∗ x + y〉 = 0⇔ t∗ x + y = 0
alsoCSU mit „=„⇔ x , y linear abhängig.
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Seite 83
Mit 〈x , y〉 =∑n
i=0 xiyi gilt : |x | = 〈x , x〉1/2
Allgemeiner(V , 〈, 〉) unitär; dann ist||x || : = 〈x , x〉1/2
die 〈·, ·〉 zugeordnete Norm.
Damit:
CSU
|〈x , y〉| ≤ ||x || · ||y ||
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Seite 90
Satz 2.66 Eigenschaften der 〈, 〉1/2-Norm
(V , 〈·, ·〉, || · ||)unitärer VR mit Norm ||x || := 〈x , x〉1/2. Dann
(i) ||x || = 0⇔ x = 0(ii) ||λ x || = |λ| ||x || ∀ x ∈ V ,∀ λ ∈ R(iii) ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y || ∀ x , y ∈ V
Beweis(i) und (ii) trivial.(iii) wie schon früher mit CSU
0 ≤ ||x + y ||2 = 〈x + y , x + y〉 = 〈x , x〉+ 2〈x , y〉+ 〈y , y〉≤ 〈x , x〉+ 2
√〈x , x〉
√〈y , y〉+ 〈y , y〉
= ||x ||2 + 2||x || · ||y ||+ ||y ||2
= (||x ||+ ||y ||)2 �
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 84
Aus CSU |〈x , y〉| ≤ ||x || · ||y || folgt auch
〈x , y〉||x || · ||y ||
∈ [−1,1]
Bei 〈x , y〉 =3∑
i=1
xi · yi auf R3 war
〈x , y〉||x || · ||y ||
= cos(α)
x
y
α
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 84
Für allgemeine innere Produkte definiert man den Winkel α zwischen x und yüber
〈x , y〉||x || · ||y ||
= cosα
Definition 2.53 Orthogonalität
Man sagt dann auch, x und y seien orthogonal, wenn cosα = 0, also〈x , y〉 = 0 ist.
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Beispiel Seite 84
Bezüglich〈x , y〉 =
∑ni=1 xi yi sind
e1 =
100...0
,e2 =
010...0
, · · · ,en =
0...001
orthogonal. Es gilt sogar
〈ei ,ei〉 = δij =
{1 i = j0 i 6= i
Kronecker - Symbol
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Ortho*basis Seite 84
Sei (V , 〈, 〉) unitärer Raum und v1, · · · , vn Basis (dim V = n).Ist dann
〈v i , v j〉 = 0 ∀ i 6= j
so heißt{v1, · · · , vn} Orthogonalbasis.
Haben alle v i bezüglich||x || = 〈x , x〉1/2
zusätzlich Einheitslänge, d.h. mit
||v i || = 〈v i , v i〉1/2 = 1,∀i ,
so heißt {v1, · · · , vn} eine Orthonormalbasis.
Beispiel: {e1, · · · ,en} ist ONB von Rn mit euklidischem Skalarprodukt.
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 84
Definition 2.53 Ortho*basis
V euklidischer Vektorraum mit 〈, 〉.1. u, v orthogonal wenn 〈u, v〉 = 0.
2. S := {v1, · · · , v r} ⊂ V heißt Orthogonalsystem wennv j 6= 0 ∀ j〈v j , vk 〉 = 0, j 6= k
3. Ein Orthogonalsystem heißt Orthonormalsystem, wenn Längen derVektoren = 1.
4. Orthonormalsystem, welches Basis von V ist, heißt Orthonormalbasis.
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 86
Orthonormalbasen sind schön!{v1, · · · , vn} ONB von (V , 〈, 〉).
v1, · · · , vn Basis⇒ ∀ x ∃
x1...
xn
∈ Rn : x =∑n
i=1 xi v i .
Wie berechnet man xi ?
〈v j , x〉 = 〈v j ,
n∑i=1
xi v i〉
=n∑
i=1
xi 〈v j , v i〉︸ ︷︷ ︸=δij
=n∑
i=1
xi · δij = xj
xj = 〈v j , x〉 Satz 2.58
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 86
v = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn
〈v1, v〉 = 〈vi , α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn〉〈vi , v〉 = α1〈v1, v1〉 + α2〈v1, v2〉 + . . . + αn〈v1, vn〉
= 1 = 0 = 0
also 〈v1, v〉 = α1.
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 86
Satz 2.58v1, ..., vn Orthonormalsystem.
v =n∑
i=1
αi vi , αj = 〈vj , v〉
also
v =n∑
i=1
vi〈vi , v〉︸ ︷︷ ︸„Fourierentwicklung“
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 87
v1, ..., vn Orthonormalsystem
v = v1〈v1, v〉 + v2〈v2, v〉 + . . . + vn〈vn, v〉
Projektionauf v1
Projektionauf v2
Projektionauf vn
Projektion auf span{v1, v2}
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 86
Erinnerung
vi ·〈vi , v〉〈vi , vi〉
Projektion von v auf vi
〈vi , vi〉 = 1vi · 〈vi , v〉 Projektion von v auf vi
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 85
Satz 2.57
V eukl. VR und 〈, 〉 S = {v1, · · · , v r} sei Orthogonalsystem.⇒ v1, · · · , v r linear unabhängig
Beiweis
Annahme:∑r
i=1 λi v i = 0
⇒ λj〈v j , v i〉 =r∑
i=1
λi 〈v j , v i〉 = 〈v j ,
r∑i=1
λi v i〉 = 0 �
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 88
Nun beantworten wir die Frage:
Wie bastle ich mir eine Orthonormalbasis?
Wie man eine ONB bastelt:−→ 2.62,63 + Tafel
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 90
||x || misst - wie |x | in R2,R3 - die Länge eines Vektors.
Leider ist nicht jede (vernünftige) Längenmessung ||x || über
〈x , x〉1/2 = : ||x ||
mit einem inneren Produkt verbunden.
Es gibt noch andere wichtige Längenmessungen. Für solche fordern wir aberstets die oben gefundenen Eigenschaften.(Satz 2.66)
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 90
Definition 2.67 NormSei V Vektorraum. Eine Abbildung
|| · || :
{V −→ Rx −→ ||x ||
heißt Norm auf V , wenn
(i) ||x || = 0⇔ x = 0(ii) ||λ x || = |λ| · ||x || ∀ x ∈ V , λ ∈ R(iii) ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y || ∀ x , y ∈ V .
(V , || · ||) heißt normierter Raum.
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Beispiele Seite 91
(i) ||x ||2 : =√∑n
i=1 x2i euklidische Norm
(ii) ||x ||∞ : = maxi=1,··· ,n |xi | Maximumnorm
(iii) ||x ||1 : =∑n
i=1 |xi | Summennorm
(iv) Zusammenfassend: ||x ||p : =
(∑ni=1 |xi |p
)1/p
,p ≥ 1
Bemerkungen: 1. x∞ = limp→∞ ||x ||p2. Der Nachweis der Normeigenschaft von || · ||p ist (für p 6= 2) etwasaufwendiger.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 161 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 91
Achtung!
Jeder unitäre Vektorraum (V , 〈·, ·〉) ist vermittels ||x || : = 〈x , x〉1/2
auch normierter Raum (V , || · ||).
Die Umkehrung gilt jedoch nicht!
Es gibt nicht zu jeder Norm || · || ein inneres Produkt 〈·, ·〉, so daß
||x || = 〈x , x〉1/2
Anmerkung:
Notwendig und hinreichend dafür ist die Gültigkeit der sog.Parallelogrammgleichung.
v
u
u + v
u − v||u + v ||2 + ||u − v ||2 = 2||u||2 + 2||v ||2
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 92Aus der Möglichkeit, Längen von Vektoren zu messen, resultiert eineMessmethode für Abstände von Punkten A und B eines normierten Raumes(V , || · ||).
d(A,B) = ||a− b||Distanz Ortsvektoren von A bzw. B.
Man möchte aber oft auch Abstände zwischen Punkten wissen, die nichteinem Vektorraum angehören!
Beispiel:
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 164 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 92NORMIERTER RAUM?
A
a
0
b
Bb − a
DannDistanz (A,B) : = ||b − a||− möglich.Allgemeiner d(a,b)
Definition 2.70 (Metrik)
Sei M eine Menge. Eine Abbildung
d :
{M ×M −→ R+
(x , y) −→ d(x , y)
heißt Metrik, wenn
(d1) d(x , y) = 0⇔ x = y(d2) d(x , y) = d(y , x) ∀ x , y ∈ M(d3) d(x , y) ≤ d(x , z) + d(z, y) ∀ x , y , z ∈ M.
Eine Menge M mit Metrik d heit metrischer Raum.TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 165 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 92
Achtung!
Jeder normierte Raum (V , || · ||) wird mit
(∗) d(x , y) : = ||x − y ||, x , y ∈ V
auch metrischer Raum. Jedoch muss es zu einer Metrik d(x , y) keine Norm|| · || geben mit (∗).
Beispiel:Diskrete Metrik:
d(x , y) : =
{0 bei x = y1 bei x 6= y .
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 166 / 309
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„Mannigfaltigkeiten“ Seite 93
Geraden und Ebenen durch 0 sind Vektorräume.Geraden und Ebenen die nicht durch 0 gehen, sind keine Vektorräume.Sie kommen aber doch auch wohl vor!Sie werden Vektorräume, wenn man den Ursprung „in sie hinein verschiebt“.
L
W ← Vektorraum || zu L
w0
Vektorraum
kein Vektorraum
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Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 93
Definition 2.71 lineare Mannigfaltikeit
Sei V Vektorraum, W Untervektorraum von V ,w0 ∈ V fest.
Dann heißt L : = w0 + W : = {w0 + w |w ∈ W}
Lineare Mannigfaltigkeit in V (oder affiner Raum)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 168 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Beispiele Seite 93
1. Gerade L : = {x : = w0 + λ u|λ ∈ R} = w0 + span{u}
2. Ebene {x ∈ R3|n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = δ}n2
1 + n22 + n2
3 6= 0, δ ∈ R festIst lineare MannigfaltigkeitSei w0 irgendeine Lösung von 〈n, x〉 = δ.Dann
〈n,w0〉 = δ
Für jede Lösung y ist〈n, y〉 = δ
Subtraktion zeigt
〈n, y − w0〉 = 0 (homogen)
Seien u1,u2 l.u. und ⊥ n.Dann y − w0 ∈ span{u1,u2} = W .
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 169 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 93
3. Allgemeiner:Lösungsmenge von
a11 x1 + · · ·+ a1n xn = bn
...am1 x1 + · · ·+ amn xn = bm
ist leer oder lineare Mannigfaltigkeit.Ist y nämlich beliebige Lösung und w0 spezielle Lösung, so lösty − w0 das homogene System.
a11 x1 + · · ·+ a1n xn = 0...
am1 x1 + · · ·+ amn xn = 0
Sei W Lösungsraum davon, so ist y ∈ w0 + W .
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 170 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 94
Satz 2.76Sei V Vektorraum. Zwei lineare Mannigfaltigkeiten
L : = w0 + W
K : = u0 + U
sind genau dann gleich, wenn W = U und w0 − u0 ∈ W gelten.
Beweis
L = K ⇒ Zu w ∈ W ∃ u = u(w) ∈ UZu u ∈ U ∃ w = w(u) ∈ W
}w0 + w = u0 + u.
Bei w = 0⇒ w0 = u0 + u(0) also w0 − u0 = w(0) ∈ UBei u = 0⇒ w0 + w(0) = u0 also w0 − u0 = w(0) ∈ W
Für u ∈ U ist damit u = w0 − u0 + w ∈ WFür w ∈ W ist umgekehrt w = −(w0 − u0) + u ∈ U.
}⇒ U ≡W
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 171 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 94
Fortsetzung Beweis
Sei nun W = U undw0 − u0 ∈W .
Zu zeigenw0 + W = u0 + U.
Aberw0 + W = u0 + (w0 − u0) + W︸ ︷︷ ︸
=W=U
�
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 172 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 94
Satz 2.77Seien
L = w0 + W , K : = w0 + U
lineare Mannigfaltigkeiten in VR V
Dann K ∩ L = ∅ oder K ∩ L = lineare Mannigfaltigkeit.
Beweis
Ist K ∩ L 6= ∅ ⇒ ∃ v0 ∈ K ∩ L
⇒ L = v0 + W ,K = v0 + U.
= K ∩ L = {v0 + v |v ∈ U ∩ W} �
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 173 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 95
Komplexe Vektorräume
Definition wie reelle Vektorräume, nur kommen jetzt die Skalare aus C
Beispiele:
1. Cn : =
{ z1...
zn
: zi ∈ C
} z1
...zn
+
w1...
wn
=
z1 + w1...
zn + wn
, λ
z1...
zn
=
λ z1...
λ zn
2. Πn : =
{p : C→ C | p(z) =
∑ni=0 ai z i ,ai ∈ C
}
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 174 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
3. Sei V = Vektorraum
Definition
V : ={
(x , y) | x , y ∈ V}
mit
(x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2)
(a + ib) (x , y) := (ax − by ,ay + bx)
heißt Komplexifizierung von V
Anmerkung: Denke (x , y) als x + iy .
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 175 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 96Normen auf komplexen Vektorräumen
|| · || : V → R
wie bei reellen Vektorräumen.Metriken
d(·, ·) : V × V → R
dito.
Abweichungen aber beim Skalarprodukt!
Sei V komplexer Vektorraum. 〈·, ·〉 : V × V → C ist inneres oder skalaresProdukt, wenn
(i) 〈u, v〉 = 〈v ,u〉 ∀ u, v ∈ V ←− hier Abweichung!(ii) 〈λ u, v〉 = λ 〈u, v〉 ∀ u, v ∈ V ,∀ λ ∈ C(iii) 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉 ∀ u, v ,w ∈ V(iv) 〈u,u〉 > 0 ∀ u ∈ V \{0}.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 176 / 309
Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume
Seite 96
Folgerungen:
〈u, λ v〉 = 〈λ v ,u〉 = λ 〈v ,u〉= λ 〈v ,u〉 = λ 〈u, v〉
〈u, v + w〉 = 〈v + w ,u〉 = 〈v ,u〉+ 〈w ,u〉= 〈u, v〉+ 〈u,w〉.
Standard - Skalarprodukt auf Cn
〈u, v〉 : =∑n
i=1 ui vi ; u, v ∈ Cn
Zugehörige euklidische Norm
||u||2 =√∑n
i=1 ui ui =√∑n
i=1 |ui |2 ∈ R.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 177 / 309
Lineare Gleichungssysteme
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 178 / 309
Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 179 / 309
Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele
Lineare Gleichungssysteme Seite 98
Im „linearen Gleichungssystem“
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
......
...am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
sind die Koeffizienten aij und die rechten Seiten bi vorgegeben. Gesucht
werden die Unbekannten xj .
Gleichungssysteme können zeilen- oder spaltenorientiert betrachtet werden:
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Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele
Spaltenorientiert
1. Vorgegeben: 1 kg Mehl, 2 kg Zucker
Plan: Erstellen von Vanillekipferln und Haselnussplätzchen. Außer Mehlund Zucker alle Zutaten quasi unbeschränkt.
1 Haselnussplätzchen 25 g Zucker, 5 g Mehl1 Vanillekipferl 10 g Zucker, 10 g Mehl
H = Anzahl Haselnussplätzchen, V = Anzahl Vanillekipferl
Haselnuss Vanille ErgebnisZucker 0.025 · H +0.01 · V = 2Mehl 0.005 · H +0.01 · V = 1
H = 50, V = 75
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 181 / 309
Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele
Seite 99
Zeilenorientiert
2. Von p ∈ Π3 weiß man, dass p(0) = 1,p(1) = 2,p(−1) = 5 undp(−2) = 0 ist.
Ansatz: p(x) = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3
unbekannt (∼ aj )
p(0) = 1⇔1 · a0 + 0 · a1 + 02 · a2 + 03 · a3 = 11 · a0 + 1 · a1 + 12 · a2 + 13 · a3 = 21 · a0 + (−1) · a1 + (−1)2 · a2 + (−1)3 · a3 = 51 · a0 + (−2) · a1 + (−2)2 · a2 + (−2)3 · a3 = 0
ai1 x1 ai2 x2 ai3 x3 ai4 x4 bi
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Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele
3. „Kräfte“ in Stabwerk gesucht
x3
x1 x2
E
x4
x5 x6
vergleiche früher und Skript.
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Fragen zu Seite 104
1 · a0 + 0 · a1 + 02 · a2 + 03 · a3 = 11 · a0 + 1 · a1 + 12 · a2 + 13 · a3 = 21 · a0 + (−1) · a1 + (−1)2 · a2 + (−1)3 · a3 = 51 · a0 + (−2) · a1 + (−2)2 · a2 + (−2)3 · a3 = 0
1. Gibt es eine Lösung?
2. Gibt es keine Lösung?
3. Gibt es mehrere Lösungen?
4. Wie sieht die Lösungsmenge aus?
5. Wie kann ich diese Fragen schnell und genau beantworten?
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 104
1 · a0 + 0 · a1 + 02 · a2 + 03 · a3 = 11 · a0 + 1 · a1 + 12 · a2 + 13 · a3 = 21 · a0 + (−1) · a1 + (−1)2 · a2 + (−1)3 · a3 = 51 · a0 + (−2) · a1 + (−2)2 · a2 + (−2)3 · a3 = 0
⇐⇒0BBB@a11a21
...am1
1CCCA x1 +
0BBB@a12a22
...am2
1CCCA x2 + · · · +
0BBB@a1na2n
...amn
1CCCA xn =
0BBB@b1b2...
bm
1CCCA⇐⇒
n∑j=1
aj · xj = b, aj ,b ∈ Rm
Sichtweise also: Kombiniere b linear aus den aj .
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 104n∑
j=1
aj · xj = b, aj ,b ∈ Rm
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 105
Lösung mehrdeutig: a1, · · · ,an l.a.⇒
∃ z1, · · · , zn :n∑
j=1
aj · zj = 0,
z1...
zn
6= 0.
⇒ Mit Lösung (x1, · · · , xn)T von∑
aj · xj = b ist auch(x1 + z1, · · · , xn + zn)T eine Lösung.
Denn:∑nj=1 aj (xj + zj ) =
∑nj=1 aj xj +
∑nj=1 aj zj = b + 0 = b.
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 105
Fall
a) b ∈ span{a1, · · · ,an}b) a1, · · · ,an linear abhängig
a) ⇒ ∃ x1, · · · , xn :∑n
j=1 aj xj = b
b) ⇒ ∃ z1, · · · , zn :∑n
j=1 aj zj = 0
⇒
x1...
xn
+ µ
z1...
zn
ist Lösung ∀ µ.
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 105 x1...
xn
ist spezielle Lösung des sog.
inhomogenen Systems. (Def. 3.6)n∑
j=1
aj xj = b
z1...
zn
ist Lösung des sog.
homogenen Systemsn∑
j=1
aj · xj = 0
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 190 / 309
Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 105
Satz 3.8Man erhält alle Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems
n∑j=1
aj · xj = b,
indem man zu einer Lösung x1...
xn
dieses Systems alle Lösungen des homogenen Systems
n∑j=1
aj · xj = 0
addiert.
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 106
Beweis
Die Differenz zweier Lösungen
x1...
xn
und
y1...
yn
des inhomogenen
Systems ist wegen
0 = b − b =n∑
j=1
aj xj︸ ︷︷ ︸b
−n∑
j=1
aj yj︸ ︷︷ ︸b
=n∑
j=1
aj (xj − yj )
Lösung des homogenen Systems. �
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 106
∑nj=1 aj · xj = 0
∑nj=1 aj · xj = 0
Lösungsmenge Lösungsraum x1...
xn
speziell
+ L ←− L
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 106
L =
x
∣∣∣∣∣∣n∑
j=1
ajxj = 0
bei n > r = dim span{a1, ...,an}
O.b.d.A. a1, ...,ar l.u.
(S)∑r
j=1 ajxj = −∑n
j=r+1 ajxj
(⇔∑n
j=1 ajxj = 0)
1. span{a1, ...,ar} = span{a1, ...,an}⇒ −
∑nj=r+1 ajxj ∈ span{a1, ...,ar}, (S lösbar nach x1, ...xr )
2. a1, ...,ar l.u.⇒ S eindeutig lösbar.
3. (x1, ...xr , xr+1, ..., xn)T ∈ L⇒(x1, ..., xr ) durch (xr+1, ..., xn) eindeutig bestimmt.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 194 / 309
Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 107
L =
x1(xr+1, ..., xn)...xr (xr+1, ..., xn)xr+1...xn
, xr+1, ..., xn ∈ R
;
L = span
x1(1,0, ...,0)...xr (1,0, ...,0)10...0
, ...,
x1(0, ...,0,1)...xr (0, ...,0,1)0...01
.
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 107
Satz 3.9
Sei r : = dim span{a1, · · · ,an} und L der Lösungsraum von
n∑j=1
aj xj = 0
Dann ist dim L = n − r
Speziella1, · · · ,an ∈ Rm ⇒ dim span{a1, · · · ,an} ≤ m.
Bei m < n (weniger Gleichungen (unterbestimmt) als Unbekannte) ist L 6= {0}.Es gibt dann also stets nichttriviale Lösungen von
∑nj=0 aj · xj = 0.
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Beispiele
1)x1 + x3 + x4 = 2x2 − x3 + 2x4 = 1
⇔
(10
)x1 +
(01
)x2 +
(1−1
)x3 +
(12
)x4 =
(21
)
Basis des R2 ⇒ lösbar, da b bestimmt kombinierbar.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 197 / 309
Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Beispiele
1) (10
)x1 +
(01
)x2 +
(1−1
)x3 +
(12
)x4 =
(21
)
linear unabhängig⇒ r = 2
n = 4⇒ dim L = 2
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Eine partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Gleichung istx1x2x3x4
=
2100
.
2 linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung bekommen wiraus (
10
)x1 +
(01
)x2 = −
(1−1
)x3 −
(12
)x4
Allgemeine Lösung =
2100
+ µ
−1110
+ ν
−1−201
, µ, ν ∈ R.
�
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
2) Frage: Für welche α ∈ R ist:
1x1 + 1x2 + 2x3 = α2x1 − 2x2 = 43x1 + 1x2 + 4x3 = 2a1 a2 a3
lösbar? 123
1−2
1
204
= a1 + a2
linear unabhängig⇒ r = 2
lösbar⇔
α42
∈ span(a1,a2)⇔ det
α 4 21 2 31 −2 1
= 0.
⇔ α · 8− 4(−2) + 2(−4) = 0⇔ α = 0
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
System ist für α 6= 0 unlösbar!
Für α = 0 ist eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung.
1−10
Eine Lösung der homogenen ist
11−1
.
Da dim L = 3− 2 = 1 reicht das.Allgemeine Lösung x1
x2x3
=
1−10
+ µ
11−1
, µ ∈ R.
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 107
Lösbarkeit bei m = n∑nj=1 aj xj = 0 hat nur die 0 als Lösung.
⇒ dim L = 0⇒ Satz 3.9 n − r = 0
⇒ r : = dim span{a1, · · · ,an} = n
⇒ a1, · · · ,an l. u. also Basis von Rn.
⇒∑n
j=1 aj xj = b eindeutig lösbar ∀b.
⇒∑n
j=1 aj xj = 0 eindeutig lösbar .
⇒∑n
j=1 aj xj = 0 hat nur die Nulllösung.
KREISSCHLUSS
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 202 / 309
Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 107
Satz 3.10Ein lineares n × n - System ist genau dann für alle rechten Seiten eindeutiglösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale Lösung hat.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 203 / 309
Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 107
Satz 3.10 (noch mal)
(1)a11 x1 + · · · + a1n xn = b1
......
an1 x1 + · · · + ann xn = bn
hat für alle b ∈ Rn eine eindeutige Lösung x ∈ Rn.
⇔(2)
a11 x1 + · · · + a1n xn = 0...
...an1 x1 + · · · + ann xn = 0
hat nur die Lösung x = 0.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 204 / 309
Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Seite 107
Hat dagegen (2) eine nichtriviale Lösung, so gilt für (1)
ENTWEDER
(1) hat keine Lösung
b /∈ span{a1, · · · ,an}
ODER
(1) hat∞ - viele Lösungen
x = x speziell + L
Lösungsraum von (2)
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Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten
Zum Merken: Spezialfalln = 1
n × n− System a · x = b
homogenes System inhomogenes Systemhat nur hat genau
a 6= 0 0-Lösung eine Lösung ∀ ba · x = 0 a · x = b⇒ x = 0 x = b
awenn a 6= 0 bei a 6= 0
homogenes System inhomogenes Systemhat mehrere Lösungen
a = 0 0 · x = 0, x beliebigKeine Lösung ∞ - viele Lösungen0 · x = b 6= 0 0 · x = b = 0
geht nicht x beliebig
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Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 207 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Zentraler Algorithmus Seite 108
Ziel nunsogenannter GAUSS - ALGORITHMUSFormt ein Gleichungssystem um in ein anderes mit gleicher Lösungsmenge,welches aber „netter“ ist als das Ausgangsproblem.
Erlaubte Umformungen
(i) Multiplikation einer Gleichung mit Zahl 6= 0(ii) Addition Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen(iii) Vertauschen zweier Gleichungen.
Was sind „nette“ Gleichungssysteme?
−→ Tafel (∆) (∇)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 208 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 108
Kurz - Schreibweise für
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
Schreibe kurza11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...
......
am1 am2 · · · amn bm
m × (n + 1)− Matrix
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 209 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 109
a11 a12 · · · a1,n−1 a1n b1a21 a22 · · · a2,n−1 a2n b2...
......
......
am1 am2 · · · am,n−1 amn bm
x1 x2 · · · xn−1 xn r .S.
weitere erlaubte Umformung
(iv) Vertausche i − te und j − te Spalte (nicht die letzte Spalte). Aber merke,dass dadurch die Position von xi und xj vertauscht wurden.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 210 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 109
a11 a12 a13 · · · · · · a1n b1a21 a22 a23 · · · · · · a2n b2a31 a32 a33 · · · · · · a3n b3...
......
...an1 an2 · · · · · · · · · ann bn
......
......
am1 am2 · · · · · · · · · amn bm
(Fall m > n)
aii = Diagonalelemente der Matrix
ZielEliminiere alle Elemente unterhalb der Diagonale!
GAUSS - ELIMINATION.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 211 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 109
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...
am1 am2 · · · amn bm
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 212 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 109
1. SchrittWENN a11 = 0, finde Element aij 6= 0
WENN dieses nicht existiert⇒ STOP
SONST: Tauschei − te und 1. Zeilej − te und 1. Spalte,
so dass danacha11 6= 0 ist. (a11 heißt Pivot - Element des 1. Schrittes.)
Für i = 2, · · · ,m
Ziehe das ai1/a11 - fache der ersten Zeile von der i − ten Zeile ab.
Resultat: a11 a12 a13 · · · a1n b1
0 a(1)22 a(1)
23 · · · a(1)2n b(1)
2...
...0 a(1)
m2 a(1)m3 · · · a(1)
mn b(1)m
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 213 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 110
2. Schritt (Wenn nicht schon STOP)
Wende 1. Schritt auf das kleinere Systema(1)
22 a(1)23 · · · a(1)
2n b(1)2
a(1)32 a(1)
33 · · · a(1)3n b(1)
3...
a(1)m2 · · · · · · a(1)
mn b(1)m
an. (Falls nicht STOP eintritt).
⇒
a(2)
11 a(2)12 a(2)
23 · · · a(2)1n b(2)
1
0 a(2)22 a(2)
23 · · · a(2)2n b(2)
2
0 0 a(2)33 · · · a(2)
3n b(2)3
......
...0 0 a(2)
m3 · · · a(2)mn b(2)
m
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Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 110
i-ter SchrittWende 1. Schritt an auf das Subsystem
a(i−1)ii · · · a(i−1
in b(i−1)i
...a(i−1)
mi · · · a(i−1)mn b(i−1)
m
von
a(i−1)11 · · · · · · · · · · · · · · · a(i−1)
1n b(i−1)1
0 a(i−1)22
... 0. . .
...... a(i−1)
i−1,i−1 a(i−1)i−1,n b(i−1)
i−1...
... 0 a(i−1)ii · · · a(i−1
in b(i−1)i
......
......
...0 · · · · · · 0 a(i−1)
mi · · · a(i−1)mn b(i−1)
m
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Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 110
i-ter SchrittWiederhole bis zur letzten Gleichung oder bis das Restsystem
verschwindet.
Resultat der ersten Bearbeitungsphase
a(s)11 a(s)
12 · · · a(s)1s a(s)
1,s+1 · · · a(s)1n b(s)
1
0 a(s)22 · · · a(s)
23 a(s)2,s+1 · · · a(s)
2n b(s)2
.... . . . . .
.... . . a(s)
ss a(s)s,s+1 · · · a(s)
sn b(s)3
... 0 0 · · · 0 b(s)s+1
......
......
...0 · · · · · · 0 0 · · · 0 b(s)
m
aii 6= 0
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 216 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 111
Phase 2Es folgt eine theoretische Phase 2:
(wird praktisch aber so NICHT ausgeführt!)
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Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 111
Phase 2 (Theorie)
a(s)11 a(s)
12 · · · a(s)1s a(s)
1,s+1 · · · a(s)1n b(s)
1
0 a(s)22 · · · a(s)
23 a(s)2,s+1 · · · a(s)
2n b(s)2
.... . . . . .
... 0 a(s)ss a(s)
s,s+1 · · · a(s)sn b(s)
3...
... 0 · · · · · · 0 b(s)s+1
......
......
...0 · · · 0 0 · · · · · · 0 b(s)
m
⇓
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Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 112
1 0 · · · 0 a′1,s+1 · · · a′1n b′1
0 1. . .
......
. . . . . . 00 · · · 0 1 a′s,s+1 · · · a′sn b′s0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 b′s+1...0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 b′m
1x1 +a′1,s+1xs+1+ · · ·+ a′1nxn = b′1
1x2 +a′2,s+1xs+1+ · · ·+ a′2nxn = b′2. . .
1xs +a′s,s+1xs+1+ · · ·+ a′snxn = b′s0 = b′s+1...
...0 = b′m
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Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 112
Fall 1
(b′s+1, · · · ,b′m)T 6= 0 ⇒ keine Lösung
Fall 2
(b′s+1, · · · ,b′m)T = 0xs+1, · · · , xn frei wählbar.
Allgemeine Lösung
x =
b′1 − (a′1,s+1xs+1 + · · · + a′1nxn)
b′2 − (a′2,s+1xs+1 + · · · + a′2nxn)...
b′s − (a′s,s+1xs+1 + · · · + a′snxn)
xs+1...
xn
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Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 113
x =
b′1 − (a′1,s+1 xs+1 + · · · + a′1nxn)
b′2 − (a′2,s+1 xs+1 + · · · + a′2nxn)...
b′s − (a′s,s+1 xs+1 + · · · + a′snxn)
xs+1. . .
. . .. . .
xn
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Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 113
x =
b′1...
b′s000...0
+
−a′1,s+1...
−a′s,s+1100...0
xs+1+
−a′1,s+2...
−a′s,s+2010...0
xs+2 + · · ·+
−a′1n...−a′sn
00...01
xn
Diese n− s Vektoren spannen den Lösungsraum L des homogenen Problemsauf.
dim L = n − r ,dim L = n − s ⇒ s = r .
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 222 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 113
In
1 0 . . . 0 a′1,s+1 . . . a′1n
0. . . . . .
......
......
. . . . . . 0...
...0 . . . 0 1 a′s,s+1 . . . a′sn0 . . . . . . . . 0...
...0 . . . . . . . . 0
sind offenbar s Zeilen - Vektoren l. u.
Wenn wir zeigen können, dass sich beim Gauss - Algorithmus die Anzahllinear unabhängiger Zeilen nicht ändert, haben wir mit r = s gezeigt:
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 223 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 114
Satz 3.18 (und Definition von „Rang“)
In einer Matrix
A =
a11 · · · a1n...
...am1 · · · amn
∈ Rm×n
ist die Maximalzahl l. u. Spalten gleich der Maximalzahl l. u. Zeilen (r = s).
Diese Zahl heißt der Rang von A.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 224 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 113
Wir zeigen allgemeiner
Lemma 3.17Sei V ein Vektorraum, seien
v1, · · · vk ∈ V , j ∈ {1, · · · , k − 1}, λ ∈ R
Dann giltv1, · · · , vk l. u. ⇔ v1, · · · , vk−1, vk + λ v j l. u.
und die linearen Erzeugnisse sind gleich.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 225 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 114
Beweis
„⇒ “k−1∑i=1
µi v i + µk (vk + λv j ) = 0⇔
k∑i=1,i 6=j
µi v i + (µj + λµk )v j = 0⇔
a) µi = 0, i = 1. · · · , k ; i 6= j
b)
{µj + λµk︸︷︷︸ = 0
= 0 nach a)
}also auch µj = 0
�
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 226 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 114
Rückweg „⇐ “ genauso:
v1, · · · , vk−1, vk + λv j
addiere −λv j zum letzten Vektor �
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 227 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 115
Verfahren zur Gewinnung einer Basis von span{v1, · · · , vk}
Schreibe v1, · · · , vk zeilenweise in eine Matrix.
Wende die erste Phase des Gauss - Algorithmus an.
Mache Spaltenvertauschungen rückgängig.
⇒ Die von Null verschiedenen Zeilenvektoren sind die gewünschte Basis.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 228 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Beispiel
000111
020111
000112
010111
010000
0 0 0 1 1 10 2 0 1 1 10 0 0 1 1 20 1 0 1 1 10 1 0 0 0 0
↓
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 229 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
2 4 5 6 1 34 1 1 1 1 0 05 1 0 0 0 0 02 2 1 1 1 0 01 0 1 1 1 0 03 0 1 1 2 0 0
↓
1 1 1 1 0 00 −1 −1 −1 0 00 −1 −1 −1 0 00 1 1 1 0 00 1 1 2 0 0
2 4 5 6 1 31 1 1 1 0 00 −1 −1 −1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0
↓
123456
010111
000−1−1−1
000001
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 230 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 115
Praktische Durchführung desGauss - Algorithmus bei m = n.
A Eliminationsphase
Ersetze: „Suche von aij 6= 0 in Restmatrix“durch „Suche |aij | > |akj | ∀ k ≥ j in aktueller erster Spalte“des Restsystems. Tausche dieses „Pivot - Element“ in die aktuelle 1. Zeiledes Restsystems.Ist bei dieser „Spaltensuche“ |aij | < Tol, so signalisiere „numerischeSingularität“.Wird solches nicht festgestellt, so hat das System nach Phase 1 die Form.
a11 a12 · · · a1n b1
a22...
. . ....
ann bn
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 231 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 116
B Lösungsphase
xn : = bn/ann
xi : = (bi −n∑
j=i+1
aijxj )/aii
mit i = n − 1(−1)1
Spare Speicher für x
bn : = bn/ann
bi : = (bi −n∑
j=i+1
aijbj )/aii
mit i = n − 1(−1)1
Lösung am Ende im Speicher von b.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 232 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Beispiel 3.21 (Pivotisierung) Seite 119
Rechnung mit 3-stelliger Gleitpunktarithmetik
[d.h.: nach jedem Rechenschritt werden die führenden 3 Stellen der Mantisse(gerundet) weiterverwendet].
10−4· x1 +x2 = 1 10−4 = 0.100 · 10−3
x1 +x2 = 0
(10−4 1 | 1
1 1 | 0
)exakt−→
10−4 1 | 10 1− 10000︸ ︷︷ ︸
−9999≈−10000
| −10000
Rundung−→(
−10−4 1 | 10 −10−4 | −10−4
)Rückwärts: x2 = 11. Gleichung : 10−4x1 + 1 · 1 = 1⇒ x1 = 0Tatsächliche Lösung: x1 = −1.00010 · · · , x2 = 1.00010 · · ·
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 233 / 309
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Seite 119
Mit Spaltenpivot siehe:(10−4 1 | 1
1 1 | 0
)→(
1 1 | 010−4 1 | 1
)→
1 1 | 00 1− 10−4︸ ︷︷ ︸
≈1
| 1
→(1 1 | 00 1 | 1
)Rückwärts einsetzenx2 = 1(1.00010), x1 = −1(−1.00010)
Fehler: ∼ 10−4 ∼ 10−4
gut!
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 234 / 309
Matrizen
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 235 / 309
Matrizen Definition und Beispiele
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 236 / 309
Matrizen Definition und Beispiele
MATRIZEN Seite 120
Sylvester [1850], Caley [1858]
A =
a11 a12 · · · a1na21 · · · · · · a2n...
...am1 · · · · · · amn
∈ R(m,n) oder C(m×n)
heißt (m,n) - Matrix (m × n - Matrix).
Elemente
aijZeilenindex↗↖ Spaltenindex
m = n⇔ quadratische Matrix.TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 237 / 309
Matrizen Definition und Beispiele
Schreibweisen Seite 120
A = (aij )i = 1, · · · ,mj = 1, · · · , n
A = (a1, · · · ,an), aj : =
a1j...
amj
A =
A1
...Am
, Ai : = (ai1, · · · ,ain)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 238 / 309
Matrizen Definition und Beispiele
Seite 121
Auch Vektoren sind als Matrizen interpretierbar.
x =
x1...
xm
ist (m,1)- Matrix.
Konvention (praktische)
Schreibe (Orts) - Vektoren immer als Spaltvektoren!!
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Matrizen Definition und Beispiele
Seite 121Ai : = (ai1, · · · ,ain) wird manchmal als Zeilenvektor bezeichnet.
Bitte nicht verwirren lassen!
Wenn dieser Zeilen“vektor“ wirklich als „Vektor“ des Rn benutztwerden soll, verstehe unter Zeilenvektor
ni : = (Ai )T
Erklärung: C1...
Cn
T
: = (C1, · · · ,Cn)
(C1, · · · ,Cn)T : =
C1...
Cn
„Transposition“
(macht Zeilen zu Spalten und umgekehrt)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 240 / 309
Matrizen Definition und Beispiele
Vektorraum der (m,n) - Matrizen Seite 122
A + B = (aij ) + (bij ) : = (aij + bij )
λA = λ(aij ) = (λaij ).
Basis1 0 · · · 00 0 · · · 0...
......
0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 00 0 · · · · · · 0...
......
0 0 · · · · · · 0
· · ·
0 · · · · · · · · · 0...
...0 · · · · · · · · · 00 · · · · · · 0 1
R(m,n) isomorph zu R(m×n)
dim R(m,n) = m · n
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 241 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 122
Matrizen dienen zur Beschreibung linearer Abbildungen zwischen endlich -dimensionalen Vektorräumen.
Definition 4.1 Lineare Abbildung
V ,W Vektorräume. DannT : V →W linear, wenn
T (x + y) = T (x) + T (y), ∀ x , y ∈ V
T (λ · x) = λ · T (x), ∀ x ∈ V , λ ∈ R
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Linearität ist wie der „Preis“ beim Einkaufen
Preis
3 Pakete Butter
4 Kg Mehl3l Milch
1 1/2 Kg Braten
=
3∗ Preis (1 Pak. Butter)+4∗ Preis (1 Kg Mehl)+3∗ Preis (1l Milch)+1.5∗ Preis (1 Kg Braten)
Sonderangebote 1 Kg Senf 5 Euro10 Kg Senf 40 Euro sind nichtlinear
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Beispiele (pro) Seite 123
1. Drehungen: Ebene um Nullpunkt.R3 um Achse durch Nullpunkt.
2.x → λx , λ ∈ R fest(
x1x2
)→(λ1x1λ2x2
), λi ∈ R fest.
3. Mit A = (aij )i = 1, · · · ,mj = 1, · · · , n
∈ Rm,n
A : Rn → Rm
Rn 3 x →
a11x1 + · · · + a1nxn...
am1x1 + · · · + amnxn
∈ Rm
linear.↑ Das wird die Standard - Inkarnation einer linearen Abbildung werden.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 245 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 123
4.ddx
:
{Πn → Πn−1p 7→ p′
5.
Int1 :
{Πn → Rp 7→
∫ 10 p(s)ds
Int2 :
{Πn → Πn+1
p 7→∫ x
0 p(s)ds
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 246 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Beispiele (contra) Seite 124
1. Verschiebungx 7→ x + c, c ∈ V c 6= 0 fest.
2. Drehung um Punkt in Ebene 6= Nullpunkt.Drehung des R3 um Achse nicht durch Nullpunkt (und nicht um 2π).
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 124
ACHTUNG!
Sehr wichtig
⇓
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 124
Lineare Abbildung
Lineare Abbildung T : V →W ist durch Wirkung auf eine Basis v1, · · · vn vonV festgelegt.
T : v i → T (v i )
v ∈ V ⇒ ∃!ξ1, · · · , ξm ∈ R : v =n∑
i=1
ξiv i
⇒ T (v) = T (n∑
i=1
ξiv i ) =n∑
i=1
ξi T (v i ) = W
(w ∈ w ⇒ ∃!ζ1, · · · , ζm : w =
m∑i=1
ζiw i
)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 249 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 124
T : V →Wn∑
i=1
ξiv im∑
j=1
ζjw j
ξ1...ξn
−→ ζj
...ζm
Wie? mit Matrix T
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 250 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 125
T : V →W
v1, · · · , vn︸ ︷︷ ︸Basis
w1, · · · ,wm︸ ︷︷ ︸Basis
T : v j → T (v j ) =m∑
i=1
tij w i
v1 v2 · · · vn
w1 t11 t12 · · · t1nw2 t21 t22 · · · t2n...
......
...wm tm1 tm2 · · · tmn
v =∑
ξiv i
„Willst die Matrix Du erhalten,
schreib die Bilder in die Spalten“
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 251 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Rotkäppchens Diätplan
Ananas Wein Orangen SahnePreis 2.00 8 0.50 1.39Fett 0.02 0.01 0.05 30
Zucker 200 30 15 1
Korb mit:
AnanasWein
OrangenSahne
2132
−→ 2 · 2.00 + 1 · 8 + 3 · 0.5 + 2 · 1.39 P2 · 0.02 + 1 · 0.01 + 3 · 0.05 + 2 · 30 F2 · 200 + 1 · 30 + 3 · 15 + 2 · 1 Z
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 125
v ∈ V ⇒ v =n∑
j=1
ξjv j
T (v) =m∑
i=1
ζiw i ζi ?
T (v) = T( n∑
j=1
ξjv j)
=n∑
j=1
ξj T (v i ) =n∑
j=1
ξj
m∑i=1
tij w i =m∑
i=1
( n∑j=1
tijξj
)w i
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 253 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 125
T (v) =n∑
j=1
(ξjT (v i ))
=n∑
j=1
ξj
m∑i=1
tij w i
=n∑
j=1
m∑i=1
ξj tij w i
=m∑
i=1
( n∑j=1
tijξj
)︸ ︷︷ ︸
ζi
w i
ζ1 = t11 ξ1 + · · ·+ t1nξn, · · · , ζm = tm1 ξ1 + · · ·+ tmnξn
FazitLineare Abbildungen lassen sich durch zugeordnete Matrizen in denEntwicklungs- koeffizienten (bzgl. gegebener Basen) ausdrücken.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 254 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 125
T :dim nV →
dim mW
v =n∑
j=1
ξjv j → w =m∑
i=1
ζiw i
ξ1...ξn
→ ζ1
...ζm
=
∑n
j=1 t1jξj...∑n
j=1 tmjξj
T ≈ T =
t11 · · · t1n...
tm1 · · · tmn
Abbildung↔ Matrix
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 255 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Beispiele
1.
T : R3 → R3
e1 → e2
e2 → e3
e3 → e1
T =
e1 e2 e3
e1 0 0 1e2 1 0 0e3 0 1 0
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
2.
T : R3 → R3
v1 =
123
→ w1 =
−15
27
v2 =
234
→ w2 =
111
v3 =
002
→ w3 =
10−1
(1)
T =
v1 v2 v3
w1 1w2 1w3 1
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Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
3.T : R2 → R2
v i = ei ,w i = ei , i = 1,2
e1
e2
T (e1)T (e2)
ϕϕ
ϕ = π4
T =
v1 v2
w1 1/√
2 −1/√
2w2 1/
√2 1/
√2
T(
x1x2
)=
(1/√
2 x1 − 1/√
2 x2
1/√
2 x1 + 1/√
2 x2
)TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 258 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
4.
T : R3 → R3 1−10
→
111
0
1−1
→
110
0
01
→
100
Aber Darstellung bzgl. der Standardbasen gewünscht.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 259 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Was nun?
Wir benötigen für T die Bilder von e1,e2,e3!Aber
T
100
= T
1−10
+ T
01−1
+ T
001
= 111
+
110
+
100
=
221
T
010
= T
01−1
+ T
001
=
110
+
100
=
210
T
001
= T
001
=
100
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 260 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
T e1 =
321
= 3e1 + 2e2 + 1e3
T e2 =
210
= 2e1 + 1e2 + 0 · e3
T e3 =
100
= 1 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3
T =
3 2 12 1 01 0 0
Fertig.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 261 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Test Seite 125
T ·
110
=3 · 1 + 2 · (−1) + 0 · 1 =2 · 1 + 1 · (−1) + 0 · 0 =1 · 1 + 0 · (−1) + 0 · 0 =
111
= T
110
X3 2 1
2 1 01 0 0
1−10
=
b1
b2
b3
v =
< b1, v >< b2, v >< b3, v >
Matrix-Vektor Multiplikation
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 262 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 126
t11 · · · t1n...
tm2 · · · tmn
x1
...xn
=
t11x1 + t12x2 + · · ·+ t1nxnt21x1 + t22x2 + · · ·+ t2nxn
...tm1x1 + tm2x2 + · · ·+ tmnxn
∈ Rm
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 263 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Beispiele Seite 126
1. 1 −1 21 2 31 0 12 −2 0
1
1−1
=
−2000
1 1
2 −13 −1
( 10
)=
123
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 264 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 127
2. x , y ∈ Rn :
xT y = (x1, · · · , xn)
y1...
yn
=
n∑i=1
xiyi =< x , y >eukl.
xT y = yT x = (y1, · · · , yn)
x1...
xn
Aber (noch!) nicht
= xyT oder= yxT !!! 6= Matrix · Vektor.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 265 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Weitere Beispiele für Matrixdarstellungenlineare Abbildungen
Seite 127
Beispiel 4.8V ,W endlich dim. Vektorräume;N : V →W NullabbildungN : v → 0 ∀ v ∈ V
{v1, · · · , vn} bzw. {w1, · · · ,wn}beliebige Basen in V bzw. W
Dann
N (v i ) = 0 =m∑
i=1
0 · w i
⇒ N wird durch Nullmatrix
lusch, lusch −→ 0 =
0 · · · 0...
...0 · · · 0
dargestellt.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 266 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 127Beispiel 4.9V endlich dim. Vektorraum und
I :
{V → Vv → v
die identische Abbildung.Stellt man die Identität bzgl. derselben Basis {v1, · · · , vn} in Bild - undUrbildraum dar, so hat man wegen
I(v j ) = v j = 0v1 + ·+ 0 · v j−1 + 1v j + 0 · v j+1 + · · ·+ 0vn
als j − te Spalte der darstellenden Matrixgerade ei
Es ist also T durch die Einheitsmatrix
En =
1 0 · · · · · · 0
0 1...
... 0. . .
......
.... . . . . . 0
0 0 · · · 0 1
dargestellt.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 267 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 128
Beispiel 4.10Achtung! Identität wird nicht mehr durch E dargestellt, wenn in Urbild und Bild
I : V −→ V
{v1, · · · , vn} {w1, · · · ,wn}
verschiedene Basen verwendet werden.
Wozu so´n Quatsch?Damit wir sie in der Klausur besser fressen können? Nein! Sondern?
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 268 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Ihre Basis für R3 100
,
010
,
001
Karl-Heinz’ Basis 1
23
,
456
,
78
10
︸ ︷︷ ︸
in Ihrem System beschrieben
Wenn Karl-Heinz durch
z1z2z3
einen Vektor beschreibt, dann erhalten Sie
die Darstellung
x1x2x3
in Ihrer Basis über
x1x2x3
= T
z1z2z3
wenn
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 269 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
I
R3 −→ R3
Karl-Heinz’ Weltsicht −→ Ihre WeltsichtT -Matrix
T =
1 4 72 5 83 6 10
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 270 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 129Beispiel 4.11Matrixdarstellung Drehung des R2 um Nullpunkt um Winkel ϕDarstellung bzgl. Standardbasis in Urbild - und Bildraum.
e1
e2
T (e1)T (e2)ϕ
ϕ
Länge erhalten
T(
10
)=
(cosϕsinϕ
)= cosϕ
(10
)+ sinϕ
(01
)T(
01
)=
(cos(π/2 + ϕ)sin(π/2 + ϕ)
)=
(− sinϕcosϕ
)= − sinϕ
(10
)+cosϕ
(01
)T =
(cosϕ− sinϕsinϕ cosϕ
)Tx =
(x1 cosϕ− x2 sinϕx1 sinϕ+ x2 cosϕ
)TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 271 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 130Beispiel 4.12 (Achtung: Theoretisches Beispiel)V = W = R3
T = Spiegelung an
E : = {x ∈ R3|x1 + x2 + x3 = 0}
z1 : =
1−10
, z2 : =
01−1
, z3 =
111
︸ ︷︷ ︸
Beschreibung bzgl. Basis {z1,z2,z3} in Urbild und Bild einfach.
T (z1) = z1,T (z2) = z2,T (z3) = −z3
⇒ T =
1 0 00 1 00 0 −1
Vermutlich interessanter: Matrix bzgl. Einheitsvektor.Dazu T (ei ) benötigt.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 272 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 131
Für T (ei ) drücke ei aus in z1, · · · z3
z1λ1 + z2λ2 + z3λ3 = e1
ist lin. Gleichungssystem. 1 0 1 1−1 1 1 00 −1 1 0
Gauss liefert
λ1 =23, λ2 − λ3 =
13
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 273 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 131
Nun
T (23
z1 +13
z2 +13
z3) =23
T (z1) +13
T (z2) +13
T (z3)
=23
z1 +13
z2 − 13
z3
=
1/3−2/3−2/3
← 1. Spalte von T
Rest analog.
(Achtung: Spiegelung rechnet man anders aus!wird später VIEL einfacher)
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 274 / 309
Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen
Seite 133Beispiel 4.15
δ :Πn −→ Rp −→
∫ 10 p(s)ds
1, x , x2, · · · , xn 1
p(x) =n∑
i=0
αixi
p wird bzgl. Basis 1, x , x2, · · · , xn durch α : = {α0, α1, · · · , αn} ∈ Rn+1
dargestellt.
g(xk ) =
∫ 1
0xk dx =
1k + 1
→ [(k + 1)− te Spalte]
Matrix = (· · · , [(k + 1)-te Spalte], · · · )
G = (1,12,
13, · · · , 1
k + 1)
g(p) = Gα
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 275 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 276 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 133
Jetzt: Ziel Matrixmultiplikation
B AU −→ V −→ W
u1, · · · ,up v1, · · · , vn w1, · · · ,wm
(bij ) (aij )
Mit A,B auch A ◦ B =: C linear!
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 277 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 134Matrix (ckj ) ?
x =
p∑j=1
xj uj , B(x) =n∑
i=1
( p∑j=1
bij xj
)v i
A(B(x)) =n∑
i=1
( p∑j=1
bij xj
)A(v i )
=n∑
i=1
( p∑j=1
bij xj
) m∑k=1
aki wk
=m∑
k=1
( p∑j=1
( n∑i=1
akibij
)︸ ︷︷ ︸
ckj
xj )wk
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 278 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 134B A
U −→ V −→ Wu1, · · · ,up v1, · · · , vn w1, · · · ,wm
(bij ) i=1,··· ,nj=1,··· ,p
(aij ) k=1,··· ,mi=1,··· ,n
−→C = A · B
(ckj ) k=1,··· ,mi=1,··· ,n
ckj =n∑
i=1
aki bij
C : = A · B︸ ︷︷ ︸Matrixprodukt
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 279 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Bemerkungen: Seite 135
1) A · B = CInneres Produkt (euklidisch)Längen müssen passen!⇔ Dimension des Bildraumes von B =Dimension des Definitionsbereiches von A.
2) m{
(A)︸︷︷︸n
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 280 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 136
3)A · B erklärt
B · A erklärt
Und wenn das (zufällig) der Fall sein sollte, so sind sie nicht notwendiggleich!
Matrixmultiplikation ist NICHTkommutativ!
Bei AB = BA sind A,B vertauschbar.
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 281 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 137
4)(
0 10 0
)(0 10 0
)=
(0 00 0
)⇒ (Nicht - Null) mal (Nicht - Null) = Null möglich
5) A · x konsistent mit Matrixmultiplikation.
6) Matrixmultiplikation ist assoziativ wichtig! Tafel→ (immer auf die Kleinen!)
Es gelten die Distributivgesetze
1.(A + B)C = AC + BC
2.A(C + D) = AC + AD
2 Stück nötig, da keine Kommutativität
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 282 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 135
7) x =
x1...
xn
y =
y1...
yn
xT : = (x1, · · · , xn)
xT y = (x1, · · · , xn)
y1...
yn
=n∑
i=1
xiyi
yxT =
y1...
yn
(x1, · · · , xn)
=
y1x1 · · · y1xny2x1 · · · y2xn
...ynx1 · · · ynxn
Dyadisches Produkt!↗
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 283 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 135
Auch für x ∈ R, y ∈ R (m 6= n) sind yxT und xyT erklärt (nicht aberxT y , yT x !)
yxT =
y1...
yn
(x1, · · · , xn) =
y1x1 y1x2 · · · y1xny2x1 y2x2 · · · y2xn
......
...ymx1 ymx2 · · · ymxn
xyT =
x1...
xn
(y1, · · · , ym) =
x1y1 x1y2 · · · x1ymx2y1 x2y2 · · · x2ym
......
...xny1 xny2 · · · xnym
Achtung! Dient nur zur Erläuterung↗. Zeigt, dass yxT und xyT Matrizen sind!
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 284 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 138
In der Praxis multipliziert man xyT
und yxT um Gottes Willen NICHTaus.
Warum nicht?Weil die Anwendung dann einfacher wird
yxT z = y (xT z)︸ ︷︷ ︸α ∈ R
= αy
yxTm
nz n
ym xT
n z n
Bild immer Vielfaches von yTUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 285 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
rang(yxT ) = rang
y1x1 y1x2 · · · y1xn...
......
ymx1 ymx2 · · · ymxn
=
{1 wenn x 6= 0 ∧ y 6= 00 sonst.
Bemerkung
Jede Matrix vom Rang 1 hat eine Darstellung yxT .
Beweis
A ∈ Rm,n, (a1, · · · ,an)rang(A) = 1⇒ dim span{a1, · · · ,an} = 1Sei {y} Basis. Dann ∃ λi : ai = yλi ⇒
A =
y1λ1 y1λ2 · · · y1λn...
......
ymλ1 ymλ2 · · · ymλn
⇒ A = y
λ1...λn
T
�
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Matrizen Matrizenprodukt
Folie 2 zum Übers-Bett-Hängen
a
b
α
Pa(b) = a〈a,b〉〈a,a〉
〈a,b〉 = aT b
= Pa(b) =a aT baT a
Pa =aaT
aT aTUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 287 / 309
Matrizen Matrizenprodukt
Seite 86
Satz 2.58
v1, ..., vn Orthonormalbasis
V =n∑
j=1
〈v , v j〉v j
v =n∑
j=1
v j〈v , v j〉 =n∑
j=1
v jv j T v
=(∑
v jv j T)
︸ ︷︷ ︸E
v
E =n∑
j=1
v jv j T
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Matrizen Matrizenprodukt
Seite 214Einfacherer Methode für Spiegelung (Verbesserung von Beispiel 4.12)
Ergänze v1 =
111
zu Orthogonalsystem (v1, v2, v3)
Fourierentwicklung
v = 〈v1,v〉〈v1,v1〉v
1 + 〈v2,v〉〈v2,v2〉v
2 + 〈v3,v〉〈v3,v3〉v
3
v = v1v1 T
v1 T v1 v +v2v2 T
v2 T v2 v +v3v3 T
v3 T v3 v = Ev
Hv = −v1v1 T
v1 T v1 v +v2v2 T
v2 T v2 v +v3v3 T
v3 T v3 v
=(
E − 2v1v1 T
v1 T v1
)v .
Kenntnis von v2 & v3 nicht nötig
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Inhaltsverzeichnis
1 GrundlagenKomplexe Zahlen C
2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume
3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus
4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 140Lineares Gleichungssystem
(LGS)
a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · a1n · xn = b1a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · a2n · xn = b2
...am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · amn · xn = bm
MitA = (aij )i = 1, · · · ,m
j = 1, · · · , n∈ Rm,n
x ∈ Rn,b ∈ Rm
Ist(LGS) ⇔ A x = b
Bestimme also x ∈ Rn mitA x = b
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 141
A : V −→W linear
Basen: v1, · · · , vn −→ w1, · · · ,wn
ist Matrix A zugeordnet.
Umgekehrt: Bei Vorgabe von V ,W mit Basen ist auch A eindeutig Azugeordnet.
Abbildung A hängt aber immer von V ,W und Basen ab.
Wenn wir im Folgenden von einer (m,n)- Matrix A zugehörigen Abbildung Asprechen, meinen wir die zugehörige Abbildung von
V = Rn →W = Rm
mit Basene1, · · · ,en und e1, · · · ,em
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 141
Wie im Gaußschen Algorithmus betrachte zu linearem Gleichungssystem
A x = b
neben der Matrix A die erweiterte Matrix
(A,b) =
a11 · · · a1n | b1... |
...am1 · · · amn | bm
⇓ GAUSS ⇓
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 142
1 0 · · · 0 a′1,r+1 · · · a′1n | b′1
0. . . . . .
......
... |...
.... . . . . . 0
...... |
...0 · · · 0 1 a′r ,rn · · · a′r ,n | b′r0 · · · · · · 0 0 · · · 0 | b′r+1...
......
... |...
0 · · · · · · 0 0 · · · 0 | b′m
Rang =
{r wenn b′r+1, · · · ,b′m = 0r + 1 sonst
Gauss ändert Rang nicht⇒
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 142
Satz 4.23A ∈ Rm,n,b ∈ Rm gegeben.Dann ist
A x = b
genau dann lösbar, wenn
Rang(A,b) = Rang(A).
Besonders wichtiger Fall
A x = bRang A = n ⇒ immer Rang(A,b) = Rang(A)
⇒ A x = b immer lösbar
Wie wir wissen sogar immer eindeutig.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 141
A x = b
A : Rn −→ Rm
xzu findendes Urbild
−→ bvorgegebenes Bild
A = (a1, · · · ,an)
1. Rang A = n ⇔ a1, · · · ,an l.u.⇔ ∀b ∃ höchstens eine Lösung⇔ A injektiv
2. Rang A = m ⇔ dim span{a1, · · · an} = m⇔ ∀b durch a1, · · · ,an linear erzeugbar⇔ A surjektiv
3. Rang A = n = m ⇔ A bijektiv
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 142
Da (n,n)- Matrizen mit vollem Rang n so wichtig sind, bekommen sie einenextra Namen.
Definition 4.24
A ∈ R(m,n) heißt regulär (oder nicht singulär) wenn(i) m = n(ii) Rang (A) = n = maximal.
Ist für A ∈ R(n,n) Rang (A) < n, so heißt A singulär (oder nicht regulär)
Wiederholung:Ist A ∈ R(n,n) regulär, so hat
A x = b
für alle b ∈ Rn eine eindeutige Lösung x ∈ Rn und umgekehrt.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Beispiele regulärer Matrizen Seite 142
1.En = diag(1, · · · ,1) ∈ R(n,n) ist regulär
„Beweis 1“: Die Einheitsvektoren e1, · · · ,en sind linear unabhängig.
„Beweis 2“: En x = b ist für alle b ∈ Rn eindeutig lösbar, nämlich durchx = b
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 142
2.diag(d1, · · · ,dn) ∈ R(n,n) ist regulär
⇔
di 6= 0 ∀ i = 1, · · · ,n
„Beweis 1“ (Skript):(d1e1, · · · ,dnen) sind genau dann l.u. wenn di 6= 0, i = 1, · · · ,n
„Beweis 2“:diag(d1, · · · ,dn)x = b
⇔d1x1 = b1...dnxn = bn
eindeutig lösbar für alle b1, · · · ,bn ⇔ d1, · · · ,dn 6= 0
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 143
3. Dreiecksmatrizen
L =
l11 0 · · · 0
l21 l22. . .
......
. . . 0ln1 · · · · · · lnn
,R =
r11 · · · · · · r1n
0. . .
......
. . . . . ....
0 · · · 0 rnn
sind genau dann regulär, wenn all ihre Diagonalelemente von Nullverschieden sind. Genau dann sind nämlich
L x = b bzw. R x = b
für alle b ∈ Rn eindeutig lösbar. (Vorwärtseinsetzen bzw.Rückwärtseinsetzen)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 143
zu 3. Beispiel:0 1 2 3
1 2 32 3
3
x =
1000
nicht lösbar.
0 1 2 30 1 2 30 0 2 30 0 0 3
x =
0...0
„mehrfach“ lösbar. x = λe1, λ ∈ R
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 143A regulär
⇔
A bijektiv
⇔
A hat Umkehrabbildung (A−1)
Behauptung
(A−1) ist linear.
BeweisZu zeigen ist: Für
y1, y2 ∈ Rn, α, β ∈ R
giltA−1(αy1 + βy2) = αA−1(y1) + βA−1(y2)
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 143
Aber seien
x1 = A−1(y1), y1 = A(x1)⇔
x2 = A−1(y2), y2 = A(x2)
Dann
αy1 + βy2 = αA(x1) + βA(x2) =Linearität von A
A(αx1 + βx2)
Also
A−1(αy1 + βy2) = αx1 + βx2 = αA−1(y1) + βA−1(y2) �
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 143
A regulär
⇔
A bijektiv
⇔
A hat Inverse (A−1)
undA−1 ist linear.
⇒ A−1 wird durch eine Matrix dargestellt
A−1
die inverse Matrix zu A.
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 144
Wegen A−1 · A = id ist
⇒ A−1 · A = E =
1 0 · · · 0
0 1. . .
......
. . . . . . 00 · · · 0 1
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 139
Schreibweise der Einheitsmatrix
E oder I oder
En oder In (Betrag der Dimension)
Für E giltEmB = BBEn = B
}für B ∈ Rm,n
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Behauptung A−1A = E ⇒ AA−1 = E Seite 144
∀x ∈ Rn :
Ax︸︷︷︸durchläuft alle y∈Rn wenn x Rn durchläuft
= A · Ex = A(A−1A)x = (A A−1)Ax
Alsoy = (A A−1)y ∀ y ∈ Rn
⇒ A A−1 = E
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Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Seite 144AlsoA−1A = E = AA−1
Interpretationen:(i) A und A−1 vertauschbar(ii) „Linksinverse“ = „Rechtsinverse“(iii) (A−1)−1 = A
Wenn man die Inverse A−1 hat, kann man formal
A x = b
lösen durchA−1A︸ ︷︷ ︸
E
x = A−1b
alsox = A−1b
Wie rechne ich A−1 aus?
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 308 / 309
Matrizen Lineare Systeme und Inverse
Hauptsatz (der praktischen linearen Algebra)
Wer (unnötig) Matrizen invertiert istDOOF!
Warum? Weil’s zu viel Arbeit macht und anders schneller geht (meistens)!
TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 309 / 309