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LINEARE ALGEBRAÜBUNGSSTUNDE 2
JÉRÔME LANDTWING
D-ITETETH ZÜRICH
28. SEPTEMBER 2020
ÜBERBLICK
1 Was bisher geschah
2 LR-Zerlegung
3 AusblickTipps zur SerieNächste Woche
2 21
ABLAUF
Nachbesprechen Abgeben Vorbesprechen SpeziellWoche 1 - - - -Woche 2 - - Serie 1 -Woche 3 - Serie 1 Serie 2 -Woche 4 Serie 1 Serie 2 Serie 3 -Woche 5 Serie 2 Serie 3 Serie 4 -Woche 6 Serie 3 Serie 4 Serie 5 -Woche 7 Serie 4 Serie 5 Serie 6 -Woche 8 Serie 5 Serie 6 Serie 7 MidtermWoche 9 Serie 6 Serie 7 Serie 8 -Woche 10 Serie 7 Serie 8 Serie 9 -Woche 11 Serie 8 Serie 9 Serie 10 -Woche 12 Serie 9 Serie 10 Serie 11 EndtermWoche 13 Serie 10 Serie 11 Serie 12
3 21
WAS BISHER GESCHAH
WAS BISHER GESCHAH
GleichungssystemeGaussalgorithmusI Protokollmatrix
VerträglichkeitsbedingungenI Keine LösungI Eine LösungI unendlich viele Lösungen
Rang einer Matrix
4 21
RANG
r = Rang einer Matrix
= Anzahl nicht Nullzeilen im Endschema
= maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen
= maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten
Zeilenstufenform
∗ ∗ ∗ ∗ ... ∗ c10 0 ∗ ∗ ... ∗ c20 0 0 ∗ ... ∗ c3...
......
......
......
0 0 0 0 0 ∗ cr0 0 0 0 0 0 cr+1...
......
......
......
0 0 0 0 ... 0 cm
5 21
VERTRÄGLICHKEITSBEDINGUNGEN
LGS in Zeilenstufenform (ZSF) a11 a12 a13 b10 a22 a23 b20 0 a33 b3
Fall 1: LGS besitzt eine eindeutige Lösung, falls(a33 6= 0, b3 beliebig)
Fall 2: LGS besitzt keine Lösung, falls(a33 = 0, b3 6= 0)
Fall 3: LGS besitzt unendlich viele Lösungen, falls(a33 = 0, b3 = 0) (Kompabilitätsbedingung /Verträglichkeitsbedingung) erfüllt.
6 21
THEORIE
Matrizen Begriffe
LR-Zerlegung
Lösen von Gleichungssystemen mit LR-Zerlegung
Matrizenrechnung
Matlab
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SPEZIELLE MATRIZEN
Nullmatrix
rechte Dreiecksmatrix
untere Dreiecksmatrix
Einheitsmatrix
Inverse Matrix
Diagonalmatrix
Permutationsmatrix
[1 0 02 0 05 8 2
](1)
aij 6= 0 ⇐⇒ i = j (2)
[1 0 00 1 00 0 1
](3)
[0 420 2
](4)
aij = 0 ∀i , j (5)
[0 1 00 0 11 0 0
](6)
8 21
TRANSPONIERTE
Sei A eine m × n Matrix, dann ist AT die n ×m Matrix mit (AT )ij = Aji
A =
[1 4 65 0 2
]AT =
1 54 06 2
(7)Eine Matrix heisst symmetrisch falls: A = AT
Eine Matrix heisst orthogonal falls A−1 = AT ⇐⇒ AAT = 1Hermit Transponierte: Alle Einträge werden zusätzlich komplex konjugiert.
9 21
LR-ZERLEGUNG
GAUSSELIMINATION MIT PROTOKOLLMATRIX→ LR-ZERLEGUNG
Gaussalgorithmus liefert rechte Dreiecksmatrix (R)
Protokollmatrix ist linke Dreiecksmatrix (L)
Vertauschen von Zeilen (Permutationsmatrix) (P)
ohne Permutation mit Permutation
A = LR PA = LR
Anwenden von Gaussalgorithmus mit Protokoll-matrix.
Protokollmatrix: Eintrag Lij beschreibt: Wie vielMal Zeile j von Zeile i subtrahiert wurde.
Permutationsmatrix: Welche Zeilen wurden ver-tauscht. (Pivotierung, siehe Beispiel)
10 21
BEISPIEL LR-ZERLEGUNG
Beispiel
Berechne eine LR-Zerlegung der Matrix A
A =
2 −1 10 3 −24 −2 1
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BEISPIEL LR-ZERLEGUNG
Beispiel
Berechne eine LR-Zerlegung der Matrix A
A =
2 −1 10 3 −24 −2 1
Lösung
LR =
1 0 00 1 02 0 1
2 −1 10 3 −2
0 0 −1
Notation= 2 −1 10 3 −2
2 0 −1
12 21
BEISPIEL LR-ZERLEGUNG MIT PERMUTATION
Beispiel
Gesucht Matrizen L, R, P so dass LR = PA
A =
0 3 −24 −2 12 −1 1
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BEISPIEL LR-ZERLEGUNG MIT PERMUTATION
Beispiel
Gesucht Matrizen L, R, P so dass LR = PA
A =
0 3 −24 −2 12 −1 1
Lösung
LR =
1 0 00 1 02 0 1
2 −1 10 3 −2
0 0 −1
= 0 0 11 0 0
0 1 0
0 3 −24 −2 1
2 −1 1
= PA
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LÖSEN VON LGS MIT LR-ZERLEGUNG
Ziel: Ax = b lösen
PA = LR LR-Zerlegung mit Gauss PAx = LRxPb = LRx Pb, Rx ausrechnen Pb = b̂, Rx = c
b̂ = Lc Vorwärtseinsetzenc = Rx Rückwärtseinsetzen
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ADDITION
Elementweise
Nur für Matrizen gleicher Dimension[a bc d
]+
[e fg h
]=
[a + e b + fc + g d + h
]Rechenregeln
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
(A + B)T = AT + BT
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MATRIXMULTIPLIKATION
Dimensionen: Eine m× p Matrix wird mit einer p × nMatrix multipliziert. Das Ergebnis ist eine m×n Matrix.
(AB)ij =n∑
k=1
Aik Bkj
Rechenregeln
(A+B)C = AC + BC
A(B+C) = AB + AC
(AB)C = A(BC)
(AB)T = BT AT
AB 6= BA
...
... ......
ai1 ai2 ... aip...
... ......
... b1j ...
... b2j ......
......
... bpj ...
=
. . ....
...... cij ...
......
. . .
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ELEMENTAROPERATIONEN DURCH MATRIXMULTIPLIKATION
Zeilen vertauschen: PermutationsmatrixAddieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen. Bsp. E21 addiert das dreifacheder ersten Zeile zu der zweiten Zeile
E21 =
[1 0 03 1 00 0 1
]
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INVERSE
Eindeutig, falls sie existiert
(AB)−1 = B−1A−1
(AT )−1 = (A−1)T
A invertierbar ⇐⇒ Ax = b für jedes b lösbar⇐⇒ Ax = 0 hat nur die triviale Lösung
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AUSBLICK
TIPPS ZUR SERIE 2
2.1 -
2.2 Dimensionen überprüfen. Üben, üben, üben, ...
2.3 Siehe Folien, Matlab Template für Skizze.
2.4 Matrizeneigenschaften ausnutzen. Überspringen, wenn keine Idee.
2.5 Siehe Folien
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AUSBLICK
Norm und Skalarprodukt
Orthogonalität
Rotationsmatrizen
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