Lineare Gleichungen

Beispiel:

7x – 2 = 40

Eine Gleichung muss man sich so vorstellen wie eine Waage.Legt man auf die eine Seite Äpfel, so muss man auf die andere Seite gleich viel legen, damit die Wage wieder im Gleichgewicht ist.

Lineare Gleichungen

Beispiel:

7x – 2 = 40

Nur legt man hier jetzt nicht Sachen drauf, sondern führt Rechenoperationen durch. Man addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert.

Ziel ist es, dass das x am Ende alleine auf einer Seite steht.

Lineare Gleichungen

Beispiel:

7x – 2 = 40

Als erstes „sortiert“ man die x auf eine Seite und alles andere auf die andere Seite.

Damit die 7x auf der linken Seite alleine stehen, muss ich die -2 noch „wegbekommen“.Ich addiere also mit +2

+2Damit ich später noch weiß was ich hier gerechnet habe, scheibe ich es mir hinter einen senkrechten Strich

Lineare Gleichungen

Beispiel:

7x – 2 = 40

Wenn alle x auf einer Seite stehen und alles andere auf der anderen Seite, teilt man durch die Zahl, welche vor dem x steht.

+2

7x – 2 +2 = 40 + 2

7x = 42 : 7

7x : 7 = 42 : 7

x = 6

Lineare Gleichungen (allgemein)

3x – 2(5x – 8) = 9 – 4(3x + 7)Checkliste:

Beide Seiten so weit wie möglich vereinfachen.(Denken an bin. Formeln, Klammerregeln, Vorzeichenregeln, Faktorisieren.)

X auf eine Seite, Zahlen auf die andere.

Durch die Zahl vor dem x teilen.

– 16

3x – 10x + 16 = 9 – 12x – 28

– 7x + 16 = – 12x – 19 + 12x

– 7x + 12x + 16 = – 12x + 12x – 19

5x + 16 = – 19

5x +16 – 16 = – 19 – 16

: 5 5x = – 35

5x : 5 = – 35 : 5

x = – 7

Ausklammern

Beispiel:

3 (4a – 2b) – 4a ( 2 – 3b) =

„Regel“:Zwischen den Zahlen und den Klammern steht eigentlich noch ein Malpunkt. Dieser wird jedoch einfach weg gelassen.

Als erstes kontrollieren, ob ich in der Klammer irgendwelche Zahlen / Variablen zusammenfassen kann.

Ist dies nicht der Fall, muss jede Zahl vor der Klammer, mit jeder Zahl in der Klammer mal genommen werden.

Ausklammern

Beispiel:

3 (4a – 2b) – 4a ( 2 – 3b) =

3 ● 4a

12a

3 ● (-2b)

Das Minus und die 2b sind miteinander „verheiratet“. Deswegen muss ich hier mit -2b mal nehmen.

– 6b

- 4a ● 2

Das Minus und die 4a sind miteinander „verheiratet“. Deswegen muss ich hier mit -4a mal nehmen.

– 8a

Ausklammern

Beispiel:

3 (4a – 2b) – 4a ( 2 – 3b) = 12a

Minus mal Minus = Plus

– 6b

- 4a ● (-3b)

– 8a + 12ab

a mal b kann ich nicht weiter verrechnen, daher schreibe ich die Variablen einfach in alphabetischer Reihenfolge hintereinander.

Eigentlich steht zwischen den beiden Variablen noch ein Malpunkt, dieser wird jedoch wieder weg gelassen.

= 4a – 6b + 12ab

Hochzahlen

Beispiele:

Eine Hochzahl gibt an, wie oft eine Zahl oder Klammer mit sich selbst mal genommen wird.

Die Hochzahl gilt immer nur für die Zahl / Klammer, an der sie direkt dran steht.

82 = 8 ● 8

45 = 4 ● 4 ● 4 ● 4 ● 4

(a + b)2 = (a + b) ● (a + b)

Erster Potenzsatz

Beispiel:

Statt 43 schreibe ich 4 ● 4 ● 4

43 ● 44 = 4 ● 4 ● 4

Statt 44 schreibe ich 4 ● 4 ● 4 ● 4

● 4 ● 4 ● 4 ● 4

Erster Potenzsatz

Beispiel:

43 ● 44 = 4 ● 4 ● 4 ● 4 ● 4 ● 4 ● 4

Die 4 wird also insgesamt 7 mal mit sich selbst mal genommen.

= 47

Abkürzung:Immer wenn die Zahl an welcher die Hochzahl dran steht (hier die 4) gleich ist, kann man die Hochzahlen addieren.

43 ● 44 = 43+4 = 47

Regel:Potenzen werden multipliziert, indem man die Hochzahlen addiert.

Zweiter Potenzsatz

Beispiel:

Statt dem Geteiltzeichen, schreibe ich einen Bruch.

56 : 53 =

Die Hochzahlen schreibe ich nun aus.

6

3

5

55 5 5 5 5 5

= 5 5 5

Da ich nur Malpunkte im Bruch stehen habe, darf ich kürzen.

5 5 5=

1

3= 5

Zweiter Potenzsatz

Beispiel:

56 : 53 = 6

3

5

55 5 5 5 5 5

= 5 5 5

5 5 5=

1

3= 5

Abkürzung:Immer wenn die Zahl an welcher die Hochzahl dran steht (hier die 5) gleich ist, kann man die Hochzahlen subtrahieren.

56 : 53 = 56-3 = 53

Regel:Potenzen werden dividiert, indem man die Hochzahlen subtrahiert.

Wurzel

Ich habe ein Quadrat gegeben, von dem ich weiß, dass sein Flächeninhalt 64cm2 groß ist.

64cm2 Wie lang ist eine Seite??

WurzelWir kennen bereits die Flächeninhaltsformel vom Quadrat:

A = a2

Wir wissen außerdem, dass A = 64cm2 ist. Also:

64cm2 = a2

Statt a2 können wir auch a ● a schreiben.

64cm2 = a ● a

Was mit sich selbst mal genommen, gibt 64??

8 ● 8 = 64, also ist eine Seitenlänge 8cm lang.

64cm2

WurzelSchneller geht es, wenn man die sogenannte Wurzel zieht. Das Wurzelziehen ist nur eine „Umkehrung“ des Quadrierens Man sucht die Zahl, welche mit sich selbst mal genommen, die gegebene Zahl gibt.

64cm2

Bsp.:

249 = 7 = 7

225 = 5 = 5

2121 = 11 = 11

WurzelSehr sinnvoll ist es, wenn man die Quadratzahlen bis 121 auswendig lernt:

12 = 122 = 432 = 942 = 1652 = 2562 = 3672 = 4982 = 6492 = 81102 = 100112 = 121

Vorderseite

Rückseite

Vorzeichenregeln

•Plus mal Plus = Plus• Minus mal Minus = Plus

• Minus mal Plus = Minus• Plus mal Minus = Minus

Vorderseite

Rückseite

Checkliste Gleichungen

• Beide Seiten so weit wie möglich vereinfachen.• Variablen auf eine Seite, Zahlen auf die andere• Durch die Zahl vor der Variable teilen.

Vorderseite

Rückseite

Potenzen werden multipliziert,

indem man die Hochzahlen addiert.

Vorderseite

Rückseite

Potenzen werden dividiert,

indem man die Hochzahlen subtrahiert.