Lineare Gleichungssysteme:Theorie, Anwendungen, Verallgemeinerungen

Karlheinz Spindler Studiengang Angewandte MathematikHochschule RheinMainStudienort Wiesbaden

Lineare Gleichungssysteme

Aufgabe: Aus 72%-igem und 96%-igem Alkohol sollen 50 Liter 80%-igen Alkohols hergestellt werden. Wieviele Liter der beiden ursprünglichen Sorten müssen verwendet werden?

Lösung: x = Anzahl der Liter des 72%-igen Alkoholsy = Anzahl der Liter des 96%-igen Alkohols

Gesamtflüssigkeitsmenge: Menge an reinem Alkohol:

Ergebnis:

Lineares Gleichungssystem

Solche Gleichungssysteme treten häufig in praktischen Anwendungen auf.

Mechanik: Gleichgewichtsbedingungen• Summe aller Kräfte gleich Null• Summe aller Drehmomente gleich Null

Elektrodynamik: Kirchhoffsche Regeln• Die Summe aller in einen Knoten einfließenden Ströme ist Null.• Die Summe der Spannungsabfälle entlang einer Masche ist Null.

Computertomographie

Prinzip der ComputertomographieÄnderung der Intensität von Röntgenstrahlung beim Durchgang durch eine Folge homogener Materialien:

Erste Bestrahlung

Zweite Bestrahlung

Dritte Bestrahlung

Resultierendes Gleichungssystem:

Systematische Untersuchung linearer Gleichungssysteme

Rang eines Gleichungssystems: maximale Anzahl linear unabhängiger Gleichungen l

• Rangbestimmung• Elimination linear überflüssiger Gleichungen• effektive Bestimmung der Lösungsmenge • ggf. Ermittlung „bestmöglicher“ Näherungslösungenl

Ausgleichsrechnung:

Wenn ein Gleichungssystem mit mehr Glei-chungen als Unbekannten gegeben ist, sucht man eine „bestmögliche“ Näherungslösung.

Typische Anwendung: Herausfiltern von Fehlern bei einer Reihe von Messungen zur Bestimmung von Zustandsvariablen.

Magische Quadrate

DeterminantenJeder (n x n)-Matrix A läßt sich eine Zahl det (A) mit folgenden Eigenschaften zuordnen:

• ist det(A) von Null verschieden, so hat jedes Gleichungssystem Ax=b genau eine Lösung;

•ist det(A)=0, so hat jedes Gleichungssystem Ax=b entweder gar keine oder mehr als eine Lösung.

Lösen polynomialer Gleichungssysteme

DatenkompressionOriginal:

JPEG, 1102 x 821, Rang = 821

Welche Methode wird zur Datenkompression angewandt?

• Darstellung eines JPEG-Bildes durch dessen Grauwertmatrix (hier von der Größe 1102 x 821) • Singulärwertzerlegung dieser Matrix • optimale Approximation durch Matrizen von niedrigerem Rang

r=1; 0.2 % r=2; 0.4 % r=5; 1.1 %

r=10; 2.1% r=20; 4.3 % r=40; 8.5%

Die Behandlung linearer Gleichungssysteme erfordert nur die Anwendung der Grundrechenarten.

Man studiert daher allgemein Rechenbereiche, in denen die Grundrechenarten unbegrenzt ausführbar sind.

Einführung des Körperbegriffs

Körper

Körper Beispiele

Lights out!www.2flashgames.com/play/f-35.htm

Zustand des Spiels

Zustandsänderung durch Umschalten des i-ten Feldes:

Mehrfache Zustandsänderung:

Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal

Beobachtung: Sind a und b mit Zirkel und Lineal konstruierbar, dann auch –a, a+b, 1/a und ab.

Mit anderen Worten: Die konstruierbaren Zahlen bildet einen Teilkörper der Menge der reellen Zahlen.

Warum ist das so?

Wie konstruiert man neue Zahlen aus alten?

• Schnittpunkt zweier Geraden: lineare Gleichung• Schnittpunkt Gerade/Kreis: quadratische Gleichung• Schnittpunkt zweier Kreise: quadratische Gleichung

Eine Menge bereits konstruierter Punkte sei gegeben, und es sei K der von diesen Punkten erzeugte Körper. Wird ein Punkt x konstruiert, der noch nicht in K liegt, so gilt

Delisches Problem: Würfelverdoppelung

Lineare Algebra: systematische Untersuchung linearer Gleichungssysteme bzw. der Lösungs-mengen solcher Systeme.

Kommutative Algebra/Algebraische Geometrie:Systematische Untersuchung polynomialer Glei-chungssysteme bzw. der Lösungsmengen sol-cher Systeme.

Dimensionsbegriff: wird plötzlich sehr problematisch.

3x²y + y³ = x² + y²

(x² + y² + z²)² = 4 (x² + y²)

Mannigfaltigkeiten als deformierte lineare Räume

Analysis/Differentialgeometrie: Zurückführung nichtlinearer auf lineare Probleme

Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!