Literatur Im folgenden ist eine Anzahl von Lehrbüchern, Monographien und zusammenfassenden

Darstellungen angeführt, die im Text nur in besonderen Fällen zitiert werden.

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EHRENFEST, P. u. T.: Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. IV, Teil 32. Berlin 1911.

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ZEISE, H.: Thermodynamik, Bd. I. Leipzig 1944.

52*

Mathematischer Anhang

Im folgenden ist eine Anzahl von mathematischen Definitionen, Formeln und Sätzen zusammengestellt, auf die im Text häufiger Bezug genommen wird. Ferner finden sich hier einige Zwischenrechnungen, die im Text übergangen wurden, um den wesentlichen Gedankengang nicht zu unterbrechen.

1. Die Gamma-Funktion

Die Gamma-Funktion F(z) ist nach EULER definiert durch die Gleichung

. 1 ·2·3· .... (n - I) F(z) = hm nZ •

n~oo z(z + 1) •...• (z + n-I) (A I)

Sie ist eine analytische meromorphe Funktion von z mit einfachen Polen an den Stellen z = 0, - I, - 2, .... Es gelten die Funktionalgleichungen

F(z + I) = z F(z) ,

F(z) F(I - z) =~-SIn:JZ z '

F(~+ z)F(~- z) =_:JZ_. 2 2 COS:JZZ

Spezielle Werte sind

FW=Vn,

F(I) = 1 ,

F(n + 1) = n!

Für positiven Realteil von z gilt

00

(n = 0, 1,2, ... ) .

(A 2)

(A 3)

(A4)

(A 5)

(A 6)

(A 7)

F(z) = f e-t tZ- 1 dt [9t(z) > 0] . (A 8) o

Zahlreiche bestimmte Integrale führen auf Gamma-Funktionen. Besonders wichtig ist die Formel

00 f r(x + Y + 1) e-at'" t1l dt = _1_ x

Y + 1 y+ 1 a_,,- (A 9)

o [9t(a) > 0, 9t(x) > 0, 9t(y) > -1] .

2. Die DIRAcsehe Delta-Funktion

Spezialfälle von GI. (A 9) sind die häufig vorkommenden Integrale

00

f n' X2n + 1 e- ax2 dx = -_.-2 an+1 J

o

J+ 00 1 (n )'/ x2 e-ax2 dx = __ 2

2 a a ' -00

+00 x4 e- ax2 dx=-- _ 2 J 3 (n )'/

4 a2 a '

+00 x6 e- ax2 dx=__ _ . J 15 (n )'/'

8 a3 a -00

2. Die DIRAcsche Delta-Funktion

821

(A 10)

(A 11)

(A 12)

(A 13)

(A 14)

(A 15)

Die DIRAcsche Delta-Funktion 0 (x - t) ist definiert durch die Festsetzung, daß

ist, derart, daß

{ 0 für o (x - t) = 00

für

ß

x =l= t

x =t

f a(x - t) dt = 1 a

(A 16)

(A 17)

wird. Die Delta-Funktion läßt sich durch zahlreiche Grenzübergänge darstellen. Wir erwähnen hier nur

1 . 1 _ (x-t)'

a(x - t) =-/-= 11m ;=e E • (A 18) l n E-->O Yc

Die FouRIER-Zerlegung (s. Ziffer 3) der Delta-Funktion lautet

+a a(x - t) = lim J e2"iS(x-t)ds

a-->oo -a

(A 19)

822 Mathematischer Anhang

Für die Delta-Funktion gelten die Formeln

b(x-t)=b(t-x), b(-x)=b(x), b(ax)=!b(x), (A20)

b [f(x)] = f r5\;'(X")j,,l , wenn I(x) nur einfache Nullstellen Xn hat; (A 21)

xb(x)=O, I(x) b(x) =/(0) b(x), j(a±x)b(x)=/(a)b(x), (A22)

b'(x)=- ! b(x)=-b'(- x),

+00

J I(t) b(x - t) dt = I(x) , (A 23) -00

+00

J I(t) b'(x - t) dt = f'(x) , wenn f'(t) an der Stelle t = x stetig ist. -00

Aus der vorletzten Formel ergibt sich die allgemeinere Bedeutung der DeIta­Funktion. In allgemeiner Operatorenschreibweise kann der Einheitsoperator definiert werden durch die Gleichung

Ea=a.

Für den Fall des Matrix-Operators wird daraus

E Eik ak = ai k

und für den Fall des Integral-Operators (J

J E(x, t) a(t) dt = a(x) . cx

(A 24)

(A 25)

(A 26)

Der Vergleich mit (A 23) zeigt, daß die Delta-Funktion der Einheitskern des Integral-Operators ist. Da die Elemente der Einheitsmatrix üblicherweise mit bik

(KRoNEcKERsches Delta) bezeichnet werden (vgl. Ziffer 6), erklärt sich damit auch die Bezeichnung als Delta-Funktion.

Aus der vorstehenden Interpretation der Delta-Funktion läßt sich eine wichtige Beziehung ableiten. Ist K(x, t) der Kern eines selbstadjungierten Integral­operators!, so ergeben sich die zugehörigen Eigenwerte Ai und Eigenfunktionen rpi aus der Gleichung

(J

J K(x, t) rp(t) dt = A rp(x) . (A 27)2 cx

Die Eigenfunktionen bilden ein vollständiges normiertes Orthogonalsystem. Eine Funktion I(t) im Bereich a.--+ß kann daher entwickelt werden in der Form

1 (t) = Lai rpi(t) (A28) i

mit (J

ai = J rpt(t) I(t) dt. (A 29) cx

Es wird somit

j K(x, t) I(t) dt = ! K(x, t) 1; rp;(t) [j rpt(t) I(t) dt] dt IX (X t <X

(A 30)

----1 Der Kern eines selbstadjungierten Integraloperators ist definiert durch K (x, t) =

= Kt (x, t) = K* (t, x). Vgl. GI. (A 89) u. (A 94). 2 In der Theorie der Integralgleichungen wird als Eigenwert die Größe 1/). bezeichnet.

3. Die FOURIER-Transformation 823

oder mit Benutzung von GI. (A 27)

ß ß J K(x, t) f(t) dt = 2: Ai rpi(X) J rpt(t) f(t) dt. (A 31)

C1: i <X

Daraus folgt K(x, t) = 2: Ai rpi(X) rpt(t) . (A 32)

i

Setzen wir in GI. (A 30) für K(x, t) den Einheitskern und benutzen (A 26), so erhalten wir

o (x - t) = 2: rpi(X) cpf(t) , i

(A 33)

wo die rpi jetzt die Funktionen eines beliebigen vollständigen normierten Ortho­gonalsystems sind.

3. Die FOURIER-Transformation

Nach dem FOURIERSchen Theorem kann eine Funktion f(t), die im Intervall - n ~ t ~ n gegeben und für alle übrigen reellen Werte von t durch f (t + 2 n) = f(t) definiert ist, unter gewissen sehr allgemeinen Voraussetzungen in der Form

00 00

f (t) = t ao + 2: an cos n t + 2: bn sin n t (A 34) n-l n=l

dargestellt werden (FOURIER-Entwicklung). Dabei ist

+n +n

an=~ f f(t)cosntdt, bn=~ f f(t)sinntdt. (A 35) -n -n

Wenn eine Funktion f(x) im Intervall -I ~ x ~ +1 beliebig und für alle übrigen reellen Werte von x durch f(x + 2l) = f(x) definiert ist, gilt eine analoge Ent-

wicklung, bei der in den obigen Formeln lediglich t durch f x ersetzt ist. Wir

haben also 1 00 n:n; 00. n:n;

f(x) =zao + 2: an cos-1- x + 2: bn sm-t- x n=l n=l

(A 36)

mit +1 +1

an =+ f f(x) cos nt X dx, bn =+ f f(x) sinnt x dx . -I -I

(A 37)

In komplexer Form lautet diese Entwicklung

+00 in" x f (X) = 2: cn e I , (A 38)

-00

wo +1 f in"

cn=-fz f(x)e--1-xdx (A 39) -I

ist. Die FOURIER-Entwicklung ist naturgemäß ein Spezialfall der unter Ziffer 2

erwähnten Entwicklung nach einem orthonormalen Funktionensystem. Ist der Bereich -1-++ l unendlich (d. h., wenn es sich um eine nichtperiodische Funktion

824 Mathematischer Anhang

handelt), so muß die diskrete Folge der Entwicklungsfunktionen durch eine dichte Folge ersetzt werden. Der Index-Parameter n wird dann zu einer Variablen y, und an die Stelle der Summierung tritt die Integration über eine zweiparametrige Funktion eillJY• Es gilt dann unter der Voraussetzung, daß f(x) stückweise stetig

+00 ist und daß das Integral J If(x)1 dx existiert,

-00 +00

f(x) = J c(y) eillJY dy , (A 40) -00

1 /+00 , c(y) = 2n f(x) e- illJY dx. (A 41)

-00

f(x) wird als die FOURIER-Transformierte oder Spektralfunktion von c(y) bezeich­net. Mit Hilfe der Beziehungen (A 23), (A 40) und (A 41) kann man die GI. (A 19) unmittelbar verifizieren. Häufig ist es zweckmäßig, die FOURIER-Transformation in einer völlig symmetrischen Form anzuschreiben, indem man die Substitution

1 c(y) = V2n g(y) (A42)

einführt. Dann wird +00

f(x) = vk J g(y) eillJY dy , (A 43) -00

+00

g(y) = V:n J f(x) e- illJY dx . (A 44) -00

In dieser Formulierung wird f(x) als FOURIER-Transformierte vön g(y) bezeichnet und umgekehrt.

4. Die LAPLACE-Transformation

Wenn zwischen zwei Funktionen f(x) und g(y) die Beziehungen

und

00

g(y) = J f(x) e-IlJY dx o

c+ioo

f(x) = ~~i / g(y) ellJY dy c-ioo

(A 45)

(A 46)

bestehen, so wird g(y) als die LAPLAcE-Transformierte von f(x) bezeichnet. Man schreibt diesen Zusammenhang auch

g(y) = ~[f(x)J, f(x) = ~-l[g(Y)J . (A 47)

Für die Frage, welchen Bedingungen die Funktionen f(x) und g(y) genügen müssen und die Diskussion des (als solchen unmittelbar evidenten) Zusammen­hanges mit der FOURIER-Transformation, verweisen wir auf die Spezialliteratur. Dort sind auch die LAPLAcE-Transformierten von zahlreichen speziellen Funk­tionen explizit angegeben. Wir notieren hier nur einige Formeln, die allgemeiner

5. Die EULERsche Summenformel

anwendbar sind. Es gilt mit den obigen Bezeichnungen

~ [/(ax)] =! g(~), (a reell und positiv)

~ [:~] = y g(y) -/(0),

[ d f ] n-l ~ d:n = yn g(y) - I: yn-l-l/(z) (0),

1=0

~[IIW d';] =y-lg(y) ,

~ [! ';-1/(';) d';] = y-l! g(lJ) dlJ,

~ [xn I(x)] = (- l)n ::: '

00

~[x-l/(x)] = J g(lJ) dlJ· y

Das Integral x

] = J fl(';) f2(X - .;) d'; o

wird als Faltungsprodukt bezeichnet und symbolisch

] = /1 * 12

825

(A48)

(A49)

(A 50)

(A 51)

(A 52)

(A 53)

(A 54)

(A 55)

(A 56)

geschrieben. Für diese Operation gilt das kommutative, das assoziative und das distributive Gesetz der Multiplikation. Diese Eigenschaften des Faltungs­produktes folgen aus dem Satz: Die LAPLAcE-Transformierte eines Faltungs­produktes ist gleich dem gewöhnlichen Produkt der LAPLAcE-Transformierten der "Faktoren" des Faltungsproduktes. Es ist also

~ [/1(X) * 12(X)] = gl(y) . g2(y) (A 57)

(Faltungssatz, Theorem von DUHAMEL).

Schließlich ist noch wichtig die Beziehung

~ [ea", I(x)] = g (y - a) (a reell) (Verschiebungssatz) . (A 58)

5. Die EULERsche Summenformel

Ist die Funktion I(x) mit allen Ableitungen bis f(n)(x) stetig, so gilt

m m I: I(k) = J I(x) dx + ~ [/(0) + I(m)] +

k=O 0

+ kf (:~i! U(2k-I) (m) - f(2k-I) (0)] + Rn·

(A59)

Hier ist Rn das Restglied, dessen explizite Gestalt uns nicht zu interessieren braucht, und· die B2k sind die BERNOuLLIschen Zahlen. Die ersten derselben haben die Werte

Bo = 1, BI = - ~, B2 = i, B2k+ 1 = 0 für k = 1, 2, ...

B4 = - 310' B 6 = 4\ •

(A60)

826 Mathematischer Anhang

Für n-+oo erhält man auf der rechten Seite von (A 59) eine im allgemeinen divergente unendliche Reihe. Die Anwendung der GI. (A 59) erfordert, daß für das gewählte n das Restglied IR"I unter dem gewünschten Genauigkeitsgrad liegt. Für die Frage der Abschätzung des Restgliedes verweisen wir auf die Literatur.

6. Matrizen

Ein in n Zeilen und n Spalten geordnetes Schema von n2 reellen oder komplexen Größen Aii heißt eine quadratische Matrix der Ordnung n. Die Ai} werden als die Elemente der Matrix bezeichnet. Wir schreiben

A n A 12 A 13 ·•• Al"

An A 22 A 2a · .. A 2>1

A = [AU] = A31Aa2Aaa ... A an (A 61)

n wird auch die Dimension der Matrix genannt. Neben den quadratischen Matrizen gibt es auch rechteckige Matrizen von etwa m Spalten und n Zeilen mit m;;:;:: n. Wir betrachten hier lediglich den Fall, daß die Matrix nur eine Zeile oder Spalte enthält. Solche Matrizen werden Vektoren genannt; wenn die Unterscheidung wesentlich ist, spricht man von einem Zeilen- oder Spaltenvektor. Vektoren bezeichnen wir im Rahmen der Matrizenrechnung grundsätzlich mit kleinen Buchstaben, etwa

(A62)

Aus den Elementen einer quadratischen Matrix A kann die Determinante IA I gebildet und berechnet werden. Wenn IA 1= 0 ist, wird die entsprechende Matrix singulär genannt. Da zu nicht quadratischen Matrizen keine entsprechen­den Determinanten existieren, sind sie per definitionem singulär.

Zwei Matrizen sind gleich, wenn alle einander entsprechenden Elemente gleich sind. A = B bedeutet also Ai; = Bu für alle i und j. Die Summe zweier Matrizen der Ordnung n A + B = C ist eine Matrix der gleichen Ordnung mit den Elementen Ai; + Bi; = Cij. Für die Addition von Matrizen gilt das kommu­tative und das assoziative Gesetz. Es ist also

A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C) . (A 63)

Die Multiplikation einer Matrix mit einer skalaren Größe oc ist definiert durch die Gleichung

(A 64)

Es wird also jedes Matrixelement mit dem skalaren Faktor multipliziert. Das kommutative Gesetz ist gültig.

Das Produkt zweier Matrizen A B = C ist eine Matrix mit den Elementen

" Cil = 1: Aij Bik • (A 65) ;=1

Daraus folgt zunächst, daß das Produkt nur gebildet werden kann, wenn die Zahl der Spalten von A gleich der Zahl der Zeilen von B ist. Weiter ergibt sich, daß im allgemeinen das kommutative Gesetz für die Multiplikation von Matrizen nicht gilt, d. h. A B =l= BA ist. Wenn A B = B A ist, sagt man, daß die beiden Matrizen A und B kommutieren oder daß sie vertauschbar sind. Distributives

6. Matrizen 827

und assoziatives Gesetz sind für die Multiplikation von Matrizen gültig. Es ist somit

A (6 + C) F = A 6 F + AC F, A (6 C) = (A 6) C = A 6 C . (A66)

Ist A = [Au] eine quadratische Matrix der Ordnung mund 6 = [B kl ] eine quadratische Matrix der Ordnung n, so bezeichnet

A x 6 = [Au B kl ] (A 67)

eine quadratische Matrix der Ordnung mn, die das direkte Produkt von A und 6 genannt wird. Dabei bezieht sich das Indexpaar i k auf die Zeilen, das Indexpaar jl auf die Spalten. Die weitere Anordnung erfolgt gewöhnlich so, daß ik vor i'k' steht, wenn i < i' und k< k' oder i = i' und k < k' ist (dictionary order). Ein Beispiel mag diese etwas komplizierten Festsetzungen veranschaulichen. Es sei

A = [An Au] , 6 = [Bu Bu ] . (A 68) AnA u BnBu

Dann ist das direkte Produkt

fAU Bn Au B u i Au Bu Au BUl Au Bu An B u i Au Bu Au B ••

Ax6= .-----------------------------;----------------------- .. ----- . Au Bu Au B u ! A •• Bu A •• Bu

Au B n An B •• i A •• B u A •• B ••

Sind A und C quadratische Matrizen der Ordnung m, 6 und F Matrizen der Ordnung n, so gilt, wie man durch Ausrechnen zeigt

(A x 6) (C x F) = A C x 6 F .

Die resultierende Matrix hat naturgemäß die Ordnung mn.

(A69)

quadratische

(A 70)

Eine Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind, heißt Nullmatrix. Sie wird mit 0 bezeichnet. Für eine beliebige Matrix A gilt

0+ A = A 0 A = A 0 = 0 (A 71)

Aus A 6 = 0 folgt jedoch nicht A = 0 oder 6 = 0 oder A = 6 = O.

Eine Matrix, deren Elemente längs der Hauptdiagonalen (d. h. der Diagonalen von der oberen linken zur unteren rechten Ecke) den Wert Eins, im übrigen den Wert Null haben, heißt Einheitsmatrix. Man schreibt

1000 ... 0 0100 ... 0 0010 ... 0

E = [bij ] = 0 0 0 1 ... 0 ' (A 72)

0 .......... 1

wo b;j das unter Ziffer 2 erwähnte KRoNEcKERsche Delta ist, welches durch

{I für i = j

b'i = • Ofüri=l=j

definiert wird. Für eine beliebige Matrix A gilt

EA=AE=A.

(A 73)

(A 74)

Die in der Hauptdiagonalen einer Matrix liegenden Elemente werden Diagonal­elemente schlechthin genannt. Eine Matrix, in welcher nur die Diagonalelemente von Null verschieden sind, heißt Diagonalmatrix. Das allgemeine Element

828 Mathematischer Anhang

einer Diagonalmatrix kann daher geschrieben werden D i flij. Sind D und D' zwei Diagonalmatrizen, so gilt, wie man mit (A 65) leicht beweist,

DD'=D'D, (A 75)

d. h. alle Diagonalmatrizen sind miteinander vertauschbar. Ist umgekehrt D eine Diagonalmatrix, aber nicht ein Vielfaches der Einheitsmatrix, und mit A vertauschbar, so ist auch A eine Diagonalmatrix.

Die Summe der Diagonalelemente einer quadratischen Matrix heißt die Spur (trace) der Matrix. Es ist also

n spur A = 1: Au.

i=l (A 76)

Die Spur des Produktes zweier Matrizen ist unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren. Aus (A 65) und (A 76) folgt nämlich

Ist

so gilt

spur A B = 1: (A B)ii = 1: 1: Ai} B;i = spur BA. i i j

A x B = C,

spur C = spur A . spur B .

(A 77)

(A 78)

(A 79)

Die Matrix, die aus einer gegebenen Matrix A durch Vertauschen von Zeilen und Spalten (Umklappen um die Diagonale) entsteht, heißt Transponierte von A und wird mit A bezeichnet. Es ist also

A = [AuJ, A = [A;iJ. (A80)

Die Transponierte eines Matrixproduktes ist gleich dem Produkt der Transpo­nierten der Faktoren in umgekehrter Reihenfolge.

(A 81)

Die Matrix A ist definiert durch die Vorschrift, daß in der Matrix A jedes Element Ai} durch den Cofaktor von Ai; in I A I ersetzt und von dieser Matrix dann die Transponierte gebildet wird l . Aus dieser Definition folgt mit Benutzung der Eigenschaften der Determinanten

AA=AA=IAIE.

Wenn A singulär ist, haben wir somit

AA=AA=O.

Eine Matrix B, welche die Eigenschaft

AB=BA=E

(A 82)

(A 83)

(A84)

besitzt, heißt die Reziproke von A. Sie wird gewöhnlich mit A-l bezeichnet. Aus dieser Definition folgt in Verbindung mit GI. (A 82)

A-l A =JAT. (A85)

1 In der mathematischen Literatur wird die Matrix A als die Adjungierte von A bezeichnet. In der physikalischen Literatur ist diese Bezeichnung dagegen für die Matrix (A 89) üblich. Wir schließen uns hier der physikalischen Terminologie an.

6. Matrizen 829

Die Reziproke existiert somit nur für nicht singuläre quadratische Matrizen. Die Reziproke eines Produktes ist das Produkt der Reziproken der Faktoren in umgekehrter Reihenfolge, d. h.

F=ABC ... X, F-1=X-1 ... C-1B-1A-1. (A 86)

Die zu A konjugiert komplexe Matrix A* ist dadurch definiert, daß die Elemente von A durch ihre konjugiert komplexen Größen ersetzt werden. Es ist also

A*= [A~].

Dabei gilt, anders als in den Fällen (A 81) und (A 86)

F=ABC ... X, F*=A*B*C* ... X*.

(A 87)

(A 88)

Bildet man die Transponierte der konjugiert komplexen Matrix von A, so erhält man eine Matrix At, welche die Adjungierte von A genannt wird 1. Es ist

und F = ABC ... X, Ft = xt ... Ct Bt At.

(A 89)

(A 90)

Von besonderer Bedeutung sind die Fälle, in denen die Matrix A mit einer der durch die vorstehend angeführten Operationen, oder eine Kombination derselben, daraus abgeleiteten Matrizen identisch ist. Derartige Matrizen werden mit speziellen Namen bezeichnet. Wir führen hier nur die wichtigsten Fälle an. Die Matrix A heißt symmetrisch, wenn

ist, orthogonal, wenn

A = 1...-1

ist, reell, wenn

A=A* ist, selbstadjungiert oder hermitisch, wenn

A = At ist, unitär, wenn

ist. Das inhomogene lineare Gleichungssystem

An Xl + A12 x2 + ... + A1n Xn = }\

A 21 Xl + A 22 X 2 ++ ... + A 2n X n = Y2

An1 Xl + A n2 X 2 + .. , + Ann X n = Yn

kann in Matrixnotierung geschrieben werden

Ax=y.

(A 91)

(A 92)

(A 93)

(A 94)

(A 95)

(A 96)

(A 97)

1 In der mathematischen Literatur wird diese Matrix als die assoziierte Matrix von A bezeichnet.

830 Mathematischer Anhang

Unter der Voraussetzung y =1= 0, IA 1=1= 0 lautet die Lösung

X=A-Iy= fA~ (A 98)

(CRAMERsche Regel). Man sieht daraus, daß die Bestimmung der Reziproken A-I gleichbedeutend ist mit der Auflösung des Gleichungssystems (A 97) nach x.

Das dem System (A 96) entsprechende homogene lineare Gleichungssystem lautet in Matrixnotierung

Ax=O. (A 99)

Es besitzt eine von der trivialen Lösung Xl = x2 = ... = xn = 0 verschiedene Lösung nur, wenn

lAI =0 (A 100) ist.

Ein homogenes Polynom H. Grades in den 2n Variablen xl> X 2, ••• , X n ;

Yl> Y2' ... , Yn wird als Bilinearform bezeichnet. Sie kann geschrieben werden

n X A Y = I A ij Xi Yj·

i,i (A 101)

In dem Spezialfall x = y spricht man von einer quadratischen Form. Da hier der Koeffizient von Xi Xj (i =1= i) den Wert (A ij + A ji ) hat, kann für Ai} und A ji

einzeln (A ij + Aji )/2 gesetzt werden, womit die Matrix A symmetrisch wird. Die quadratische Form kann daher geschrieben werden

n X A x = I Au Xi Xj (A = A).

i,i (A 102)

Sie heißt positiv definit, wenn sie für alle reellen Werte der Variablen positiv ist. Ist sie positiv oder Null, so wird sie semidefinit genannt.

Aus einer Matrix A lassen sich durch Transformationen der Form

(A 103)

(wo P und Q nicht singuläre Matrizen sind) andere Matrizen ableiten, die als äquivalente Matrizen oder Transformierte von A bezeichnet werden. Die wich­tigsten Spezialfälle sind: Die Ähnlichkeitstransformation

P = Q-I, B = Q-I A Q

die kongruente Transformation

P=Q B=QAQ ,

die konjunktive Transformation

P=Qt, B=QtAQ

die reelle orthogonale Transformation

P Q = E, P = a, B = Q A Q = Q-I A Q

die unitäre Transformation

P Q = E, P = Qt, B = Qt A Q = Q-I A Q

(A 104)

(A 105)

(A 106)

(A 107)

(A 108)

Die reelle orthogonale Transformation ist gleichzeitig eine Ähnlichkeitstrans­formation und eine kongruente Transformation. Die Transformationsmatrix Q

6. Matrizen 831

ist orthogonal. Die unitäre Transformation ist gleichzeitig eine Ähnlichkeits­transformation und eine konjunktive Transformation. Die Transformations­matrix Q ist unitär.

Die Gleichung AX=AX (A 109)

kann geschrieben werden

(A E - A) x == K x = O. (A 110)

Man sieht dann sofort, daß eine nichttriviale Lösung nur für

IKI=O (A 111)

existiert. Die Lösungen dieser letzteren Gleichung Ai werden als die Eigenwerte der Matrix A bezeichnet, die zugehörigen Vektoren Xi als die Eigenvektoren. Ist B eine Matrix, die nach (A 104) durch Ähnlichkeitstransformation aus A hervorgeht, so gilt

A E - B = A E - Q-l A Q = Q-l (A E - A) Q (A 112) und weiter

1 A E - B 1 = 1 Q-11 1 A E - All Q 1 = 1 A E - AI· (A 113)

Zwei Matrizen, die durch eine Ähnlichkeitstransformation miteinander verknüpft sind, haben somit die gleichen Eigenwerte. Es ist ferner

Ist

spur Q-l A Q = spur A

IQ-l A Q 1 = IA I·

C=AxB

und sind A~C), A~A), AkB) die Eigenwerte dieser drei Matrizen, so gilt

AiC) = A~A) . AkB) ,

vgl. (A 79).

(A 114)

(A 115)

(A 116)

(A 117)

Für viele Zwecke ist es wichtig, eine gegebene Matrix A auf Diagonalform zu transformieren. Dies ist immer dann möglich, wenn entweder

a) alle Eigenwerte von A voneinander verschieden sind, oder b) die Matrix Asymmetrisch, hermitisch oder unitär ist. Wir betrachten zunächst den Fall a). Es sei Beine Diagonalmatrix. Ihre

Eigenwerte sind dann identisch mit ihren Diagonalelementen. Ist nun A eine (nicht diagonale) Matrix, die mit B nach (A 104) durch eine Ähnlichkeitstrans­formation zusammenhängt, so hat nach dem oben angeführten Satze A die gleichen Eigenwerte wie B. Das Problem der Transformation von A auf Diagonal­form hängt daher eng mit dem der Bestimmung der Eigenwerte zusammen. Die Eigenwerte selbst müssen aus (A 111) ermittelt werden. Setzen wir sie als bekannt voraus, so besteht die Aufgabe darin, eine Matrix X zu bestimmen derart, daß

(A 118)

wird. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Ai alle voneinander verschieden sind. Greifen wir etwa den Eigenwert Ak heraus und bilden damit das Gleichungs­system

(A 119)

so liefert die Lösung desselben den Eigenvektor xk , der aber als Lösung eines homogenen Gleichungssystems nur bis auf einen Faktor bestimmt ist. Wir

832 Mathematischer Anhang

konstruieren nun eine Matrix X, deren Spalten durch die Eigenvektoren von A gebildet werden. Dieselbe genügt nach (A 119) der Gleichung

A X = X [Ai c5ij] . (A 120)

Wird die Gleichung von links mit X-I multipliziert, so erhalten wir GI. (A 118). Die Transformationsmatrix, die A auf Diagonalform bringt, wird somit durch die Eigenvektoren von A gebildet. Diese Reduktion ist eindeutig bis auf die Reihenfolge, in welcher die Eigenwerte in der Diagonalen auftreten.

Wir kommen nun zu den unter b) genannten Fällen. Wird die lineare Trans­formation

x=Qy

auf die quadratische Form (A 102) angewandt, so erhalten wir

xAx=yQAQy=YBy.

(A 121)

(A 122)

Der Übergang von den Variablen Xi zu den Variablen Yi läßt sich somit in der quadratischen Form durch eine kongruente Transformation der symmetrischen Matrix A darstellen. Ist nun Beine Diagonalmatrix, so wird durch diese Trans­formation die gemischte quadratische Form in eine Summe von Quadraten verwandelt. Die Transformation ist jedoch nicht eindeutig; die Diagonalelemente von B sind nicht notwendig die Eigenwerte von A. Wenn die Matrix A reell und die quadratische Form positiv definit ist, kann man die Transformation (A 122) so führen, daß B die Einheitsmatrix wird. Dies ist der in § 7.3 auftretende Fall. Verlangt man andererseits, daß die Diagonalelemente von B die Eigenwerte von A sind, so kommt man auf die orthogonale Transformation, die gleichzeitig eine Ähnlichkeitstransformation und eine kongruente Transformation ist. Da wir dieselbe ausführlich in § 9.10 behandelt haben, brauchen wir hier nicht nochmals darauf einzugehen.

Die Transformation der hermitischen Matrizen auf Diagonalform geschieht, abgesehen von den durch den komplexen Charakter bedingten Modifikationen, in ähnlicher Weise wie die der reellen symmetrischen Matrizen, die ja als Spezial­fälle hermitischer Matrizen betrachtet werden können. Zu jeder hermitischen Matrix gibt es stets eine unitäre Matrix, welche sie nach (A 108) auf Diagonalform bringt derart, daß die Diagonalelemente von den Eigenwerten der hermitischen Matrix gebildet werden. Das Gleiche gilt für jede reelle orthogonale oder unitäre Matrix. Die Eigenwerte reeller orthogonaler wie unitärer Matrizen haben stets den absoluten Betrag Eins. Sie sind daher ± 1 oder e± i"" wo C{J reell ist. Eine aus diesen Eigenwerten aufgebaute Diagonalmatrix wird Phasenmatrix genannt.

7. Darstellung von Operatoren durch Matrizen

Es seien a(x) und b(x) zwei Funktionen, die durch die Gleichung

b= Ta (A 123)

verknüpft sind, wo I ein linearer Operator ist. Entwickelt man die beiden Funktionen nach einem Orthogonalsystem C{Ji' so wird

mit

a(x) = Lai C{Ji(X), b(x) = L bi C{Ji(X) (A 124) i i

ß ß bi = f C{J{(x) I [L ak C{Jk(X)] dx = L f C{J{(x) IC{Jk(X) dx' ak

~ k k ~

=LTi/.;ak • k

(A 125)

8. LIEsche Algebra 833

Dabei ist (J

Tik = J tpt(X) Itpk(X) dx (A 126) ot

gesetzt. Die Tik sind die Elemente einer Matrix, die den Operator I im System der tpi darstellt. Sie ist von der Wahl dieser Basis abhängig. Wählt man im besonderen zur Darstellung eines Operators I das System seiner Eigenfunktionen, so wird

(A 127)

wo die Ai die Eigenwerte des Operators sind. In diesem Falle reduziert sich die Matrix [TikJ somit auf eine Diagonalmatrix.

Wählt man zur Darstellung der Funktionen a(x) und b(x) ein kontinuierliches Orthogonalsystem tp(s, x) mit

J tp*(s, x) tp(s, x') ds = t5(x - x') , (A 128) so hat man

a(x) = J ~(s) tp(s, x) ds, b(x) = Jb(s) tp(s, x) ds.

An die Stelle der GI. (A 125) treten dann die Beziehungen

ß(s) = J ~(s') T(s, s') ds' und

T(s, s') = J tp*(s, x) I tp(s', x) dx .

(A 129)

(A 130)

(A 131)

Obwohl man die Bezeichnung Matrix auch für T(s, s') gelegentlich beibehält, handelt es sich tatsächlich, wie man aus (A 130) sieht, um den Kern eines Integral­operators.

8. LIEsche Algebra

Eine LIEsche Algebra ist ein System von Größen Xl' xz, xa' ... , für welche die gewöhnlichen Regeln der Addition und der Multiplikation mit einer komplexen Zahl gelten. Der Unterschied gegenüber einer gewöhnlichen Algebra liegt darin, daß an die Stelle der Multiplikation eine andere Operation [x, y] tritt, welche den folgenden Bedingungen genügt

a) [x, yJ + [y, xJ = O. (A 132)

b) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 (A 133)

(LIE-] AKoBIsche Gleichung).

c) Wenn x und y Elemente sind, ist auch [x, y] ein Element. Sind etwa x und y quadratische Matrizen, so kann eine LIEsche Algebra

definiert werden durch die Regeln für die Addition von Matrizen und eine Ope­ration [x, y] = xy - y x, die also hier den Kommutator von x und y darstellt. Man kann leicht verifizieren, daß der Kommutator den GI. (A 132) und (A 133) genügt.

Man sagt, daß die Elemente xl> xz, ... , Xr die Basis einer endlichen LIEschen Algebra bilden, wenn ein Satz von Zahlen C~k existiert, derart, daß

(A 134)

ist. Die C~k werden als die Strukturkonstanten der Algebra bezeichnet; sie be­stimmen vollständig die abstrakten Eigenschaften der Algebra. Das einfachste Beispiel einer derartigen Algebra bilden die Drehimpuls-Operatoren der Quanten­mechanik.

Münster, Thermodynamik 53

834 Mathematischer Anhang

9. Singularitäten von Funktionen, die durch Potenzreihen mit positiven reellen Koeffizienten dargestellt werden

Es gilt folgender Satz: Die Funktion t(z) sei innerhalb des Konvergenzkreises Po um z = 0 mit dem

endlichen Radius eo durch die Potenzreihe

(A 135)

dargestellt, wo (A 136)

ist, d. h. alle Koeffizienten positiv reell sind. Dann liegt eine der den Konvergenz­radius bestimmenden Singularitäten von t(z) auf der positiven reellen Achse.

Um dies zu beweisen l , entwickeln wir die Funktion t(z) um einen Punkt Zo innerhalb des Konvergenzkreises Po. Dann gilt

. 00

mit

Der Konvergenzradius ezo der Entwicklung (A 137) ist gegeben durch 1

ezo = ~n-==-' lim Vlbnl

n->oo

(A 137)

(A 138)

(A 139)

Wir lassen nun Zo auf einem Kreise R mit dem Radius r < eo um den Nullpunkt wandern. Dann muß ezo ein Minimum durchlaufen 2, wenn die vom Ursprung durch z = Zo gezogene Grade den Konvergenzkreis Po in einer singulären Stelle der Funktion t(z) schneidet. Um die Singularitäten zu finden, haben wir also zu untersuchen, für welche Zo der Betrag von bn maximal wird. Nach (A 138) und (A 136) ist nun

Ibnl = I.~(:) a.zol ~.~I(:)a.zol =.f'{:) a.lzol'· (A 140)

Daraus folgt, daß Ibnl, und damit auch lim Ibnl, seinen größtmöglichen Wert für Zo = I zol erreicht. Im Schnittpunkt der positiven reellen Achse mit dem Konvergenzkreise Po muß daher eine Singularität der Funktion t(z) liegen.

10. Berechnung des Integrals (V 192)

Im Text wird an verschiedenen Stellen zur Berechnung bestimmter Integrale von der Methode der komplexen Integration mit Anwendung des Residuensatzes Gebrauch gemacht. Für die allgemeine Theorie dieses Verfahrens verweisen wir auf die Literatur. Wir wollen dasselbe jedoch an dem konkreten Beispiel der GI. (V 192) etwas ausführlicher erläutern. Das zu berechnende Integral lautet

+00

]= 21" f (ik)-i"eik(E*-U)dk. (A 141) -00

1 Den folgenden Beweis verdanke ich der Freundlichkeit von Herrn Dr. D. PFIRSCH.

2 Von dem Fall, daß der Konvergenzkreis Po die natürliche Grenze der Funktion j(z) ist, können wir absehen, da die Behauptung dann ohnehin erfüllt ist.

11. Ableitung der Entwicklung (XIX 165) 835

Die Aufgabe besteht darin, dieses Integral in ein Integral über eine geschlossene Kurve zu verwandeln, welche die im Ursprung liegende Singularität des Inte­granden (aber keine weitere Singularität) umschließt. Dazu schreiben wir zunächst

E*- U=e, ; =l+ 1, ik=z

und setzen voraus e > O. Dann wird

+ioo +ioo

1 (eCZ 1 f ] = -2-· l+1 dz = -2-· j(z) dz , :n: ~. z :n: ~

-ioo -ioo

(A 142)

(A 143)

wo das Integral über die imaginäre Achse zu erstrecken und um die Singularität im Ursprung rechts herumzuführen ist. Schreiben wir nun

z = r (cos T + i sin T) (A 144) so bekommen wir

eCZ = ecrcos rp eicrsin rp

= ecrcos rp [cos (er sin T) + i sin (er sin T) ] . (A 145)

Der Integrand wird dann

j( ) = ecrcosrp cos (c r sinrp) + i sin (c r sinrp) z rl+ 1 (cosrp + i sin '1')1+ 1

(A 146)

Wir betrachten nun das Verhalten des Integranden auf dem in der negativen Halbebene liegenden Halbkreis vom Radius r um den Ursprung als Mittelpunkt.

Da hier ; ~ T ~ 32:n: ist, wird cos T < O. Der zweite Faktor auf der rechten Seite

von (A 145) ist beschränkt. Lassen wir daher r -+ 00 gehen, so verschwindet der Integrand auf dem genannten Halbkreis stärker als r-1• Der Wert des Integrals (A 143) wird somit nicht geändert, wenn wir auf der rechten Seite noch ein Integral über den unendlich fernen Halbkreis der negativen Halbebene addieren. Damit erhalten wir ein Integral über eine geschlossene Kurve, welche nur die Singularität bei z = 0 einschließt. Es wird also

(A 147)

wobei der Integrationsweg entgegen dem Uhrzeigersinn zu durchlaufen ist. Nach dem Residuensatz ist der Wert dieses Integrals gleich dem Koeffizienten von Zl

in der Entwicklung der Exponentialfunktion. Daraus folgt unmittelbar mit (A 142)

11. Ableitung der Entwicklung (XIX 165)

Das zu berechnende Integral lautet

+00

K*(r)=L J G(-iu) -e-iurdu=K*(-r) 2:n: I+XG(-~u)

-00

Münster, Thermodynamik

(A 148)

(A 149)

53*

836 Mathematischer Anhang

oder, mit z = i u (A 150)

+ioo

K*(r)= -~ .! 2n~

G(z) e-Hdz. 1 + X G(z)

(A 151) -~oo

Hier ist

G (z) = ~ (z cosh z - sinh z) . z

(A 152)

Das Prinzip der Berechnung besteht darin, daß das Integral in zwei Teilintegrale aufgespalten wird, deren Integranden zusätzliche Singularitäten bei z = 0 ent­halten, wodurch der Ausdruck für die Summe der Residuen eine andere Form erhält. Aus GI. (A 152) erhalten wir zunächst

1 G (z) = 2 Z3 (zeZ + ze- z - eZ + e- Z)

_z-l Z z+l -z ---zTe + --zTe .

Setzen wir dies in GI. (A 151) ein, so bekommen wir mit der Abkürzung

F (z) = 1 + X G (z) +ioo

K*(r)=~! z-l _1_eÜ-T)zdz+ 2nt 2z3 F(z)

-ioo

+ioo

+~ ! ~_I_e-ü+T)z dz. 2nt 2z3 F(z)

~ioo

(A 153)

(A 154)

(A 155)

Die beiden neuen Integranden haben Singularitäten für z = O. Für das erste Teilintegral führen wir den Integrationsweg rechts an dieser Singularität vorbei und schließen ihn (vgI. Ziffer 10) über den unendlich fernen Halbkreis der nega­tiven Halbebene. Dieser Integrationsweg wird entgegen dem Uhrzeigersinne (d. h. im mathematisch positiven Sinne) durchlaufen und umschließt neben den in der negativen Halbebene liegenden Nullstellen von F (z) auch die Singularität bei z = O. Auf dem Integrationswege ist ~(z) < O. Da F(z) von der Ordnung elzl ist, muß, damit dort der Integrand stärker als y-l verschwindet, (1 - r) ~ - 1 seIn.

Für das zweite Teilintegral führen wir den Integrationsweg ebenfalls rechts an der Singularität bei z = 0 vorbei und schließen ihn über den unendlich fernen Halbkreis der positiven Halbebene. Dieser Integrationsweg wird im Uhrzeiger­sinne (d. h. im mathematisch negativen Sinne) durchlaufen und umschließt die von den in der positiven Halbebene liegenden Nullstellen der Funktion F (z) herrührenden Singularitäten. Hier muß, da ~ (z) > 0 ist, (1 + r) ~ - 1 sein. Allgemein wird daher vorausgesetzt

(A 156)

Der Wert jedes Teilintegrals ist gleich der mit 2ni multiplizierten Summe der Residuen der vom Integrationswege umschlossenen Singularitäten. Wir haben daher zunächst das Residuum der Singularität bei z = 0 zu ermitteln. Dazu entwickeln wir bei z = 0

1 1 ( 1 )' 1 ( 1 )" F(z) =, F(O) + F z=o z + 2 F z=o Z2 + ... (A 157)

11. Ableitung der Entwicklung (XIX 165) 837

und (mit der Abkürzung rx = 1 - ,)

_e_ =.c 1 + rxz + - (rxZ)2 + . .. -- + - Z + -- -- Z2 + ... IXZ [ 1 ] [I ( 1 )' 1 ( 1 )" ] F(z) 2 F(O) F z=O 2 F z=O

I [X ( 1)'] [I x2 ( 1 )' . 1 ( I)" ] ? =p(Of + F(O) + F z=O Z + 2 F(O) + rx F z=O +2- F z=O z· + ....

Wegen F(z) = F(-z) ist nun

- =0 ( I )' F z=O '

( I)" _ F"(O) F z=O - - F(O) .

Damit wird das fragliche Residuum

_ f I 1 - T I [1 (I -- T)2 I F"(O) 1 Rz=o - X [2 - F(O) - -2 2 F(O)- - 2 [F(6jJ2 f

X [ F"(O) ] = 4 F'(6) 1 + F(O) - ,2 .

~un ist 1 ( Z3 2 5 Z3 2 5 ) G (z) = ~ Z + 2 + 24 + ... - z - -6- - -120 - ...

1 1 =3+30 z2 + .. '.

:\Iit (A 15-1) folgt daraus

und

Es wird somit schließlich

F (0) = 3 +3 X , F" (0) = _L 15

. F(O) + F"(O)

F(O)

_ 3 X ( 15 + 6 X 2) Rz=o -4(x + 3)15 + 5 X -, .

(A 158)

(A 159)

(A 160)

(A 161)1

(A 162)

(A 163)

(A 164)

Es bleiben jetzt noch die Residuen der Pole der Integranden, die durch die Null­stellen der Funktion F(z) bedingt sind, zu berechnen. Da F (z) eine grade Funktion ist, treten diese Nullstellen paarweise in der positiven und negativen Halbebene auf. Bezeichnen wir mit Zn die in der positiven Halbebene liegenden Nullstellen, so gilt

(A 165)

Damit wird die Summe der zugehörigen Residuen

R ~ [ - Zn - I 1 _ Z TZ Z = X " -------- e "e n_ n " '7':' -2 z~ -P(zn)

_ ~~ __ 1_._ e-zn e- Tzn] 2 z~ P(zn) .

(A 166)

Auch hier haben wir wieder den Satz über das Residuum eines Quotienten benutzt. Das negative Vorzeichen des zweiten Terms in der Klammer erklärt sich aus der umgekehrten Integrationsrichtung. Die GI. (A 166) kann einfacher geschrieben werden als

(A 167)

1 Man sieht aus dieser Entwicklung, daß der Integrand von (A 150) keinen Pol bei z = 0 besitzt.

838 Literatur zum mathematischen Anhang

Aus (A 155), (A 164) und (A 167) folgt schließlich

K*()- 3 X [15 + 6 X _ 2]_ T - 4 (X + 3) 15 + 5 X T

L (1 + zn) e-Zn - X 3 cosh Zn T •

z F'(z) n .. ..

12. Ableitung der Verteilungs funktion realer Gase aus der großen Verteilungsfunktion nach GI. (VII 107)

Für den betrachteten Fall lautet die GI. (VII 107) c+ioo

Q = 2: i f e - ~; E d (- :T)' c-ioo

wo - fl/kT jetzt als komplexe Variable aufzufassen ist. Wegen

wird daraus

Q = t(T) ~ V N!

_~_1_ fC+iOOe_ ~; E d (- kf},T)'

t(T) 2n i c-ioo

Gehen wir nun mit Hilfe der konformen Abbildung

Z = t(T) e:T V

(A 168)

(A 169)

(A 170)

(A 171)

(A 172)

auf die z-Ebene über, so wird der Integrationsweg ein Kreis vom Radius t(;) e-C

um den Ursprung, der im Sinne des Uhrzeigers zu durchlaufen ist. Aus GI. (A 171) wird dann

Q. 1 1 E d -NI =-2-' NB z. . nt z (A 173)

Dabei ist das negative Vorzeichen der rechten Seite dadurch beseitigt worden, daß der Integrationsweg jetzt entgegen dem Sinne des Uhrzeigers durchlaufen wird. Der Integrand ist auf dem Integrationsweg regulär und hat im Ursprung einen Pol (N + 1)-ter Ordnung. Nach dem Residuensatz kann daher als Inte­grationsweg eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung, die keine weiteren Singularitäten einschließt, gewählt werden. Durch Einsetzen von (XII 49) in GI. (A 173) erhält man die GI. (XII 50), deren Auswertung mit Hilfe der Sattelpunktmethode in § 12.3 beschrieben ist.

Literatur zum mathematischen Anhang CARSLAW, H. S., u. J. C. JAEGER: Operation al Methods in Applied Mathematics, 2nd ed.

Oxford 1953. COURANT, R., U. D. HILBERT: Methoden der mathematischen Physik, Bd. I. Berlin 1931. DOETscH, G.: Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. Berlin 1937. KNOPp, K.: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 4. Auf!. Berlin 1947. MADELUNG, E.: Die mathematischen Hilfsmittel dES Physikers, 5. Auf!. Berlin 1953. MAGNUS, W., U. F. OBERHETTINGER: Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der

mathematischen Physik, 2. Auf!. Berlin 1948. MARGEN AU, H., and G. M. M URPHY: The Mathematics of Ph ysics and Chemistry. N ew Y ork 1943. TITCHMARSH, E. C.: Introduction to the Theory of Fourier Integrals. Oxford 1937. VAN DER WAERDEN, B. L.: Algebra, Bd. I, 11. Berlin 1955. WHITTAKER, E.T., and G. N. WATSON: ACourse of Modern Analysis, 4. ed. Cambridge 1927.

Verzeichnis der Formelsymbole Es sind nur solche Bezeichnungen aufgeführt, die von allgemeinerer Bedeutung sind.

Thermodynamische Größen A An dem System geleistete Arbeit B Zweiter Virialkoeffizient C Dritter Virialkoeffizient C. Molekülwärme bei konstantem Volumen Cp Molekülwärme bei konstantem Druck D Vierter Virialkoeffizient D Dielektrizitätskonstante E Innere Energie F Freie Energie nach HELMHOLTZ G Freie Energie nach GIBBS, freie Enthalpie H Enthalpie, Wärmeinhalt M Molekulargewicht P Druck Q Dem System zugeführte Wärme R Gaskonstante 5 Entropie T Absolute Temperatur V Volumen Z Fugazität c Konzentration (Moleküle pro Volumeneinheit) fi Aktivitätskoeffizient der Komponente i g Osmotischer Koeffizient h, Partielle Enthalpie pro Molekül P Dampfdruck Pi Partialdruck Si Partielle Entropie pro Molekül Vi Partielles Volumen pro Molekül Xi Molenbruch y Kubischer Ausdehnungskoeffizient x Isotherme Kompressibilität Pi Chemisches Potential

Mittlere molare Größen (pro Molekül) werden durch den Index m bezeichnet, z. B. LI Gm = freie Energie der Mischung pro Molekül. Molekulare Entropie und Enthalpie einheitlicher Stoffe werden durch sund H bezeichnet.

E H(q,p) N NL Q Qr 5 U [V] W w(n)

Energie HAMILToN-Funktion Teilchenzahl LOSCHMIDTsche Zahl

Statistische Größen

Verteilungsfunktion (Zustandssumme) des Gesamtsystems Verteilungsfunktion der potentiellen Energie, Konfigurationsintegral SLATER-Summe Potentielle Energie Virial Wahrscheinlichkeit Potential der Durchschnittskraft für eine Gruppe von n Molekülen

840 Verzeichnis der Formelsymbole

a Kopplungsparameter b l cluster-Integral blm cluster-Integral 11. Art b(l) Verallgemeinertes cluster-Integral b(lm) Verallgemeinertes cluster-Integral II. Art I el Elektrische Elementarladung t (T) Verteilungsfunktion (Zustandssumme) des Einzelmoleküls g(n) Molekulare Verteilungsfunktion (Korrelationsfunktion) einer Gruppe von n Mole-

külen h PLANcKsches Wirkungsquantum k BOLTzMANNsche Konstante m Masse eines Teilchens n Zahl der Freiheitsgrade des Systems n Molekülzahl einer Untergruppe von Molekülen Pi Generalisierter Impuls des i-ten Freiheitsgrades Pi Satz der Impulskoordinaten des i-ten Moleküls, Ortsvektor im Impulsraum des

i-ten Moleküls P Vollständiger Satz der Impulskoordinaten des Systems, Ortsvektor im Impulsraum

des Systems q i Generalisierte Koordinate des i-ten Freiheitsgrades qi Satz der Ortskoordinaten des i-ten Moleküls, Ortsvektor im Konfigurationsraum

des i-ten Moleküls q Vollständiger Satz der Ortskoordinaten des Systems, Ortsvektor im Konfigurations­

raum des Systems q(n) Satz der Ortskoordinaten von n Molekülen, Ortsvektor im Konfigurationsraum

einer Gruppe von n Molekülen

q(ß) Aus den Ortskoordinaten von n-Molekülen bestehender Unter-Satz des Koordinaten­satzes q(N)

rij Schwerpunktsabstand der Moleküle i und j u ij , u (ri;), u (r) Wechselwirkungspotential zwischen zwei Molekülen als Funktion des

Schwerpunktsabstandes v = VjN Volumen pro Molekül w(n) Siehe GI. (VIII 134) e = kT Verteilungsmodul der kanonischen und der großen kanonischen Gesamtheit S Große Verteilungsfunktion (/> GIBBssche Energiefunktion Q Zahl der Eigenfunktionen zwischen E und E + LI E Q* Volumen des Phasenraumes bis zur maximalen Energie E

1 ß=U ßk Unreduzierbares cluster-Integral ß(k) Verallgemeinertes unreduzierbares cluster-Integral E Energie eines Teilchens E = EjV Energiedichte

1

kT DARWIN-FoWLERsches Temperaturanalogon Absolute Aktivität h

Ä = -;!V::::2 =Jl =m==k==T==-

Ä Wellenlänge [,uJ Magnetisches Moment eines Teilchens v Frequenz e Phasendichte e = NjV Molekulare Dichte

e(n) = ( ~r g(n) Molekulare Verteilungsfunktion einer Gruppe aus n Molekülen

a Schwerpunktsabstand zweier Moleküle, für den u (r) = 0 wird. Für unendlich steiles Abstoßungspotential: Durchmesser der starren Kugeln Parameter der kanonischen Gesamtheit

"Pn Eigenfunktion des HAMILToN-Operators

Ein rechter oberer Index in Klammern, z. B. A (n), bedeutet im allgemeinen, daß die betreffende Größe sich in dem jeweils erläuterten Sinne auf eine Gruppe von n Molekülen bezieht.

a a A, [A;;] Q

lAI IA li; A ,E

II a·b a X b AxB

skalare Größe Vektor

Verzeichnis der Formelsymbole

Mathematische Symbole

Matrix mit den Elementen Ai; Matrix mit einer Reihe oder Spalte (Vektor) Determinante mit den Elementen Ai; Kofaktor des Matrixelementes A ij Operator Summierung Produkt Skalares Produkt Vektorielles Produkt Direktes Produkt

[A, BJ ) Kommutator [A, B] ;; - aF v ;F, grad; F, -~-

uq/ Gradient von F im Konfigurationsraum des Moleküls i

JF dqj Integral von F über den Konfigurationsraum des Moleküls i JF dq Integral von F über den Konfigurationsraum des Systems JF dq(n) Integral von F über den Konfigurationsraum von 11 Molekülen JF dn Integral von F über den Phasenraum des Systems a (xv x.' ... ) ] (_X) h D a (Yv y., ... ) , y

]AKOBISC e eterminante

O(a') LANDAusches Größenordnungssymbol 15;; KRONECKERsches Delta 15 (x - t) DIRAcsche Delta-Funktion r(z) Gamma-Funktion

841

Ackermann, P. G., s. Mayer, J. E. 410

Adams, E. N., s. Gold­berger, M. L. 175, 176, 177

Adcock, D. S., u. M. L. Mc­Glashan 798, 799

Ahlberg, J. E., s. Lord, R. C., u. D. H. Andrews 503

Alder, B. J. 702 -, s. Kirkwood, J. G., u.

V. A. Lewinson 684 -, s. Kirkwood, J. G., u.

E. K. Maun 681, 682, 683 Alfrey, T., u. P. Doty 809 Andrews, D. H., s. Lord, R. C.

u. J. E. Ahlberg 503 Arrhenius, S. 760 Ashkin, J., u. W. E. Lamb

593, 597 Aston, J. G. 355 -, s. Eidinoff, M. L. 344, 346,

347 Atack, D., u. O. K. Rice 710 Averbach, B. L., J. E. Hil­

lard u. M. Cohen 634, 635, 636,637

-, s. Rudman, P. S. 635

Baehr, H. D. 451 Bagchi, S. N. 776 -, s. Dutta, M. 776 Bakhuis Roozeboom, H. W.

228 Band, W. 472 -, s. Mayer, L. 453 Barker, J. A. 392, 726, 745,

748,792 -, J. Brown u. F. Smith 748 -, u. W. Fock 748 -, u. F. Smith 748 Barriault, s. Beattie u. Brier­

ley 387 Bartholome, E., s. Clusius, K.

317, 520 Bauer, E. 222 Bawn, C., R. Freeman u. A.

Kamaliddin 808 Baxendale, J. H., B. V.

Enüstem u. J. Stern 798 Beattie, Barriault u. Brierley

387 Beattie, J. A., u. O. C. Bridge­

man 371 -, Brierley u. Barriault 387

Namenverzeichnis

Beattie, J. A., s. Gillespie, L. J. 367

Becker, R. 182, 819 -, u. W. Döring 421, 435 Bell, G. M. 567 Bell, E. E., s. Cleveland, F. F.,

u. K. W. Greenle 344 Bennewitz, K. 522 Benoit, A. M. 806 Benoit, H. 220 Berlin, T. H., u. E. W. Mon­

troll 790 Bergenlid, U., R. W. Hill,

F. J. Webb u. J. Wilks 492

Bergeon, R. 428 Bernal714 Bernouilli 370 Bernstein, H. J. 355 -, s. Miller, E., u. K. West

320 Berthelot, s. Thomsen 522 Beth, E., u. G. E. Uhlenbeck

393,403 -, s. Uhlenbeck, G. E. 393,

395,397 Bethe, H. A. 548, 552, 564,

565, 566, 602, 603 -, u. J. G. Kirkwood 561,

563, 565, 566, 567 -, s. Sommerfeld, A. 819 Bieberbach, L. 241, 423, 677 Bijl, A. 421, 435 Bingen, R. 526 -, s. Prigogine, J., u. J. Jee­

ner 526 Bird, R. B., E. L. Spotz u.

J. O. Hirschfelder 428 -, s. Hirschfelder, J. O. u.

Ch. F. Curtiss 378, 381, 660, 664, 665, 666

Birkhoff, G. D. 109, 155 -, u. O. Koopman 109 Bjerrum, N. 762, 763, 766,

775 Blackman, M. 499, 500, 501 Bleakney, W., s. Gould, A. J.,

u. H. S. Taylor 368 -, s. Rittenberg, D. u. H. C.

Urey 368 Bleaney, s. Simon 518 Bleick, W. E., u. J. E. Mayer

385 Bloch, F. 170, 172, 504

Blue u. Giauque 521 Blue, s. Giauque 521 Boer, J. de 222, 247, 248, 278,

398, 406, 434, 461, 462, 472, 473, 474, 654, 656, 658, 659, 744

-, u. A. Michels 393, 399, 406, 428, 458

-, s. Mayer, J. E. 236, 250 -, s. Michels, A., u. H. Wou-

ters 430 Boggs, s. Kirkwood, J. G. 684 Boltzmann, L. 92, 101, 793 Bonhoeffer, K. F., u. P. Har-

teck 316 Bopp, F. 130 Born, M. 503 -, u. E. Brody 509 -, u. K. Fuchs 228, 410, 416

421 -, H. S. Green 232, 257, 434,

473, 673 -, u. Th. von Karman 493 -, s. Heisenberg, W. u. P.

Jordan 147 Bose, S. N. 78, 484 Bragg, W. L., u. E. J. Wil­

liams 543, 546, 564, 565, 566, 581, 602, 603

Bridgeman, O. C., s. Beattie, J. A. 371

Briegleb, G. 734 -, u. H. Rebelein 356 -, s. Strohmeier, W. 356 Brierley, s. Beattie u. Bar­

riault 387 Brillouin, L. 162 Brinkman, H. C., u. J. J.

Hermans 215, 220 Brody, E., s. Born, M. 509 Brown, G. W. 50 Brown u. Manow 521 Brown, J., s. Barker, J. A.,

u. F. Smith 748 Browning, G. V., u. J. D.

Ferry 815 Brück, D., s. G. Scheibe 723 Brunauer, St., s. Mayer, J. E.

u. M. Goeppert-Mayer 351 Buckingham, R. A. 386, 390 -, u. J. Corner 387, 400 Buehler, R. J., s. Wentorf,

R. H., J. O. Hirschfelder u. C. F. Curtiss 660

Buff, F. P., u. J. G. Kirkwood 704

-, s. Kirkwood, J. G. 276 Byk, A. 408

Cabannes, J. 209 Callen, H. B., s. Greene, R. F.

193, 205 Careri, G. 671 -, s. Mayer, J. E. 250, 671,

672 Carslaw, H. S., u. J. C. Jae­

ger 239, 838 Carr, C. J., s. Outer, P., u.

B. H. Zimm 801, 807 Cauchy-Hadamard 240, 431,

443,613 Cernuschi, F., u. H. Eyring

664,666 Chang, T. S. 553, 561, 567,

645 Chapman, S., u. T. G. Cow-

ling 389 -, s. Enskog 389 Chester, G. V. 177, 454 Chwoles-Englert, A. 437 Clark, C. W., s. Keesom, W.

H.491 Clausius, R. 115, 375 Clayton, J. 0., u. W. F.

Giauque 519, 520 -, s. Giauque, W. F. 520 Clement, J. R. 509 Cleveland, F. F., K. W.

Greenle u. E. E. Bell 344 Clusius, K. 491, 518 -, u. E. Bartholome 317,520 - u. Frank 521 -, u. K. Hiller 316 -, Kruis u. Konnertz 518 -, Popp u. Frank 521 - u. Riccoboni 518 -, s. Eucken, A., u. H. Woi-

tinek 502 -, s. Frank 518, 521 -, s. Grafe, D., u. A. Kruis

369 Cohen, M.,s. Averbach, B. L.,

u. J. E. Hillard 634, 635, 636, 637

Coleman u. Egerton 518 Corner, J. 384, 387 -, s. Buckingham, R. A. 387,

400 Courant, R., u. D. Hilbert

145, 200, 289, 290, 482, 575, 642, 838

Cowling, T. G., s. Chapman, S. 389

Crommelin, C. A., Martinez u. H. K. Onnes 387

-, s. Onnes, H. K. 387 Curtiss, Ch. F., s. Hirsch­

felder, J. 0., u. R. B. Bird 378,381,660,664,665,666

Namenverzeichnis

Curtiss, Ch. F., s. Rowlinson, J. S. 661, 664, 665, 666

-, s. Wentorf, R. H., R. J. Buehler u. J. O. Hirsch­felder 660

Dannöhl,W., s. Eucken, A. 509 Darwing, C. S., u. R. H.

Fowler 63 Davis, C. 0., u. H. L. John­

ston 322 Davis, L. B., s. Lassettre, E.

N.355 Davydov, B. 162 Debye, P. 390, 485, 488, 509,

527 -, u. E. Hückel 767,768,773 -, u. H. Menke 281 -, s. Einstein, A. 480 Defay, R., u. I. Prigogine 709 -, s. Prigogine, I. 126 Delbrück, M., u. G.Moliere 188 Dennison, P. M. 314 Devonshire, A. F., s. Len-

nard-Jones, J. E. 650, 651, 652, 654, 655, 656, 658, 66i, 663, 665, 666, 667, 668, 671, 672, 685, 686, 687, 689, 690, 691, 698, 701, 749

Dingle, R. B. 441 Dirac, P. A. M. 79 Döring, W., s. Becker, R. 421,

435 Doetsch, G. 130, 196, 838 Domb, C. 691 Donnan, F. G., s. Haas, A. 819 D'Or, L., s. Eucken, A. 328 Doty, P., s. Alfrey, T. 809 Doty, P. M., B. H. Zimm u.

H. Mark 220 Drude, P 503 Duffie, J. A. H., s. Schneider,

W. G. 384, 388 Duhamel825 Dutta, M., u. S. N. Bagchi 776

Eastman, E. D., u. R. T. Milner 525

Ebert, L. 691 -, H. Tschamler u. F. Koh-

ler 723 Eddington, A. S. 440 Edsall, J. T. 804 Egan u. Kemp 521 -, s. Giauque 521 Egerton 518 -, s. Coleman 518 -, s. Emondson 518 Ehrenfest, P. 27, 99, 123, 221 Ehrenfest, P., u. T. 109, 819 Ehrenfest, T., s. Ehrenfest,

P. 109, 819 Eidinoff, M. L., u. J. G.

Aston 344, 346, 347

843

Eigen, M., u. E. Wicke 776 -, s. Wicke, E. 776, 777, 778,

779 Einstein, A. 78, 205, 209, 214,

218, 440, 479, 480, 484 -, u. Debye 480 Eisenschitz, R. 133, 567 Eisenstein, A., u. N. S. Ging-

rich 659, 682 Ellwood, E. C. 635 Emondson u. Egerton 518 Enskog u. Chapman 389 Enüstem, B. V., s. Baxendale.

J. H., u. J. Stern 798 Epstein, L. F., C. J. Hilbert,

M. D. Powers u. G. M. Roc 429

Epstein, P. 181 Eucken, A. 314, 316, 322, 328,

335, 337, 338, 366, 371, 516, 529, 658, 734, 776

-, K. Clusius u. H. Woitinek 502

-, u. W. Dannöhl 509 -, u. L. D'Or 328 Eucken-Wolf 819 Euler 820 Eyring, H., s. Cernuschi, F.

664, 666 -, s. Hirschfelder, J. 0., u.

D. P. Stevenson 650

Falkenhagen, H. 759 Farkas, A. 313 Fermi, E. 79 Ferry, J., G. Gee u. L. R. G.

Treloar 799 Ferry, J. D., s. Browning,

G. V. 815 Feynman, R. P. 454 Fierz, M. 421, 435 -, s. Pauli, W. 155 Fieschi, R., s. Nijboer, B. R.

A. 470, 471 Fink, W. L., u. L. A. Willey

635 Fisher, A. 558 Fixman 282 Flory, P. J. 791, 793 Flory, P. J., u. M. C. Huggins

795 Fock, W., s. Barker, J. A. 748 Fournet, G. 567 Fowler, R. H. 77, 110, 187,

188,207,276,773,776,819 -, u. E. A. Guggenheim 64,

129, 307, 313, 315, 316, 317, 320, 322, 326, 340, 343, 344, 365, 368, 382, 383, 489, 490, 492, 500, 501, 516, 518, 519, 520, 521, 522, 523, 527, 529, 533, 543, 547, 554, 563, 656, 714, 760, 767, 772, 819

844

Fowler, RH., u. H. Jones 440 -, u. G. S. Rushbrooke 792,

793 -, s. Darwin, C. S. 63 Frank u. Clusius 518, 521 -, s. Clusius 521 -, s. Clusius u. Popp 521 Frank, H. S., u. M. S. Tsao

759 Freeman, R., s. Bawn, C., u.

A. Kamaliddin 808 Frenkel, J. 297, 421, 435, 533 Frey, 0., s. Schäfer, K. 567 Frobenius 593, 625 Fuchs, K. 449, 603, 611, 628,

629, 705, 722 -, s. Born, M. 228, 410, 416,

421 -, s. Mayer, J. E. 705 Fürth, R 819 Fujita, H., s. Katsura, S. 230,

436, 437 Fuoss, A. S., s. Fuoss, R M. ;

759 I Fuoss, RM., u. A. S. Fuoss I

759 Fuoss, R M., s. Strauss, V. P.

791 Furukawa, G. T., u. R E.

McCoskey 525 -, R E. McCoskey u. G. I. i

King 525

Gans, R 209 Garikian, G., s. Prigogine, I.

655,749, 751, 752, 754, 757 Garner, C. S., s. Osborne, D. '

W., u. D. M. Yost 344 i Gee, G., u. W. J. C. Orr 800 -, u. C. R G. Treloar 800 -, s. Ferry, J., u. C. R G.

Treloar 799 Geiger-Scheel 10, 819 Geldermans, M., s. Michels,

A.430 Gentile, G. 79 Giauque, W. F. 322, 518, 520 -, u. R Wiebe 639 Giauque u. Blue 521 Giauque, W. F., u. J. O.

Clayton 520 Giauque u. Egan 521 Giauque, W. F., u. H. L.

J ohnston 520 Giauque u. Overstreet 520 - u. Stephenson 521 - u. Stout 521 - u. Wiebe 520 -, s. Blue 521 Giauque, W. F., s. Clayton,

J. O. 519, 520 -, s. Johnston, H. L. 519, 520 Giauque, s. Kemp 521 -, s. Overstreet 521 -, s. Stephenson 521

Namenverzeichnis

Gibbs, J. W. 45, 92, 100, 102, 112, 117, 120, 122, 123, 162, 168, 181, 182, 183, 184, 192, 193, 220, 221, 225, 227, 228, 232, 304, 450, 707, 715, 819, 839

Gillespie, L. J., u. J. A. Beattie 367

Gingrich, N. S. 280, 646, 647 -, s. Eisenstein, A. 659, 682 Glockler, G., u. C. E. Morrell

369 Goens,E., s. Grüneisen, E. 498 Goeppert-Mayer, M., s.

Mayer, J. E. 320, 325, 411, 433, 650, 819

-, s. Mayer, J. E. u. St. Brunauer 351

-, s. Herzfeld, K. F. 237 Gordon, A. R 341 Goldberg, R J., s. Kirkwood,

J. G. 215 Goldberger, M. L., u. E. K.

Adams 175, 176, 177 Goldstein, L. 449 Goller, H., u. E. Wicke 726 Gordon, A. R 759 Gorsky, W. 543, 546 Goudeket, M., s. Michels, A.

398, 430 Gould, A. J., W. Bleakney

u. H. S. Taylor 368 Grafe, D., K. Clusius u. A.

Kruis 369 Green, H. S. 172, 174, 175,

177, 181, 250, 440, 463, 466

-, s. Born, M. 232, 257, 434, 473, 673

Gronwall, T. H., V. K. La Mer u. K. Sandved 775

Groot, S. R de, G. J. Hooy­man u. C. A. ten Seldam 441, 448, 449, 453

Grüneisen, E. 488 -, u. E. Goens 498 Gürsey, F. 237, 242, 243 Guggenheim, E. A. 192, 194,

206, 374, 406, 408, 428, 429,452, 453, 539, 542, 546, 547, 552, 553, 557, 566, 649, 704, 708, 711, 720, 721, 722, 762, 795, 796,809

-, s. Fowler,RH.64, 129,307, 313, 315, 316, 317, 320, 322, 326, 340, 343, 344, 365, 368, 382, 383, 489, 490, 492, 500, 501, 516, 518, 519, 520, 521, 522, 523, 527, 529, 533, 543, 547, 554, 563, 656, 714, 760, 767, 772, 819

-, u. M. L. McGlashan 567, 603, 717, 726

Gutowsky, H. S. 344 Graaff, W. de, s. Michels, A.,

J. M. Lupton u. T. Was­senaar 429

Green, H. S., u. A. J. F. Siegert 176

Greene, R. F., u. H. B. Callen 193, 205

Greenle, K. W., s. Cleveland. F. F., u. E. E. Bell 344

Gropper, L. 393 Gwinn, W. D., s. Pi tz er, K. s.

351, 352, 353, 354

Haar, D. ter 107, 407, 421, 437, 441, 449, 560, 573, 581, 601, 819

-, s. Martin, B. 601 Haas, A., u. F. G. Donnan

819 Haase, R 704, 707, 747 -, u. A. Münster 707 Halpern, 0., u. H. Smereker

819 Hammel, E. F., s. Kilpatrick,

J. E., W. E. Keller u. N. Metropolis 399, 401, 404

Hanke1401 Hansen, M. 609, 634 Happel, H. 428 Harned, H. S. 759 -, u. B. Owen 759 Harrison, S. F., s. Mayer, J. E.

410,416,433,434,450,710 Harteck 518 Harteck, P., s. Bonhoeffer,

K. F. 316 Hartmann, H. 237, 458 Heisenberg, W. 138 -, M. Born u. P. Jordan

147 Heitler, W., s. Herzfeld, K. F.

757 Hellfritz, s. Schulz 808 Hellmann, H. 380, 458 Helmholtz 3, 39, 73, 91, 124,

135, 138, 164, 166, 169, 191, 192, 193, 212, 239, 249, 303, 304, 306, 313, 319, 326, 339, 359, 360, 377, 419, 483, 488, 512, 544, 545, 613, 651, 655, 664, 669, 670, 699, 715, 732, 755, 764, 765, 769, 774,839

Hengstenberg 808 Hermans, J. J., s. Brinkman,

H. C. 215, 220 Hertz, P. 819 Herzberg, G. 306, 309, 311,

318, 327, 328, 333, 334, 338, 341, 351, 354, 362, 368

Herzfeld, K F. 819 -, u. M. Goeppert-Mayer 237 -, u. W. Heitler 757 Heuse, W. 328 Hilbert, D., s. Courant, R.

145, 200, 289, 290, 482, I

575, 642, 838 I

Hilbert, J. C., s. Epstein, L. F., M. D. Powers u. G. M. Roc 429

Hildebrand, J. H. 722, 734, 757

-, u. R. L. Scott 704 Hili, R. W., u. P.L. Smith502 -,So Bergenlid, C., F. J. I

Webb U. J. Wilks 492 . Hill, T. L. 655, 672, 685, 758 ' -, s. Peek, H. M. 664, 665, .

666 Hillard, J. E., S. Averbach,

B. L., U. M. Cohen 634, 635, 636, 637

lIiller, K, s. Clusius, K 316 Hirschfelder, J. 0., F. T.

McClure u. J. F. Weeks 390 i

-, Ch. F. Curtiss u. R. B. i Bird 378, 381, 660, 664, 665, 666

-, D. P. Stevenson u. H. Eyring 650

-, s. Bird, R. B., u. E. L. Spotz 428

-, s. Rice, W. E. 386, 387 -,So Wentorf, R. H., R. J.

Buehler U. C. F. Curtiss 660

van't Hoff, J. H. 707 Hoffman, J. D. 645 Holborn, L., U. J. Otto 387,

388, 429 Hooyman, G. J., s. Groot,

S. R. de, U. C. A. ten Sel­dam 441, 448, 449, 453

Hopf, L., U. G. Lechner 492 Houtappel, R. H. 581 Hove, L. van 237, 593 -, s. Nijboer, B. R. A. 470 -, s. Prigogine, J., U. L.

Sarolea 632 Howe, J. P., s. Lassettre,

E. N. 568 Hückel, E., U. G. Krafft 778 -, s. Debye, P. 767, 768, 773 Hückel, W. 343, 356 Huggins, M. L. 791, 793, 794,

804 -, S. Flory, P. J. 795 Hund, F. 314, 327, 484 Hunt, J. P., U. H. Taube 761 Husimi, K 416, 473

Isihara, A. 712 Ising, E. 237, 537

Namen verzeichnis

Jaeger, J. C., s. Carslaw, H. S. 239, 838

Jagodzinski, H. 537, 540 Jahnke-Emde 23 James, H. M., s. Krieger,

T.J.645 James, R. W. 278 Jaumot, F. E., u. Ch. H.

Sutcliffe 537 J eener, J. S. Prigogine, I. 526 -, --, U. R. Bingen 526 Jeans, S. Rayleigh 481, 482,

484, 485 Johnston, H. L., S. Davis,

C. 0.322 -, U. W. F. Giauque 519, 520 . -, s. Giauque, W. F. 520 Jones, A. C., s. Young, T. F. :

759 Jones, F. '0.'., u. C. Sykes 536 : Jones, F. '0.'., S. Sykes, C. 535 ; Jones, H., s. Fowler, R. H.

440 -, s. Mott, N. F. 476 J oos, B. G. 210 Joos, G. 53, 331, 335, 529 Jordan, P. 819 Jordan, P., S. Heisenberg,

W., U. M. Born 147 Jost, W. 530, 531, 533 -, U. G. Nehlep 533 i

Justi, E., u. M. von Laue 222 I

Kellermann, E. W. 501 Kelley, K K 366

845

Kemble, E. C. 162, 166, 167, 168

Kemp U. Giauque 521 --, s. Egan 521 -, s. Long 521 Khinchin, A. J. 109, 819 Kihara, T. 384, 428, 429 Kikuchi, A. 237, 603, 630,

633, 638, 645, 726 Kilpatrick, J. E. 421 --, W. E. Keller, E. F.

Hammel U. N. Metropolis 399,401,404

-, u. K S. Pitzer 354 -, s. Putnam, \V. E. 372 King, G. J., s. Furukawa, G.

T., U. R. E. McCoskey 525 Kirejew, V. 735, 743 Kirkwood, J. G. 102, 170,

178, 245, 246, 250, 256, 257, 282, 558, 561, 564, 565, 581, 633, 640, 644, 667, 671, 672, 673, 674, 717, 773, 775, 780, 786

--, U. F. P. Buff 276 Kirkwood, J. G., U. R. J.

Goldberg 215 ._, V. A. Lewinson U. B. J.

Alder 684 --, E. K Mann u. B. J. Alder

681, 682, 683 Kac, M., U. J. C. Ward 599 -, u. E. Monroe 264, 275, Kahn, B. 442 691, 692, 694, 695, 697, -, U. G. E. Uhlenbeck 240, 701

410,425, 438, 440-, U. E. Monroe-Boggs 264, Kamaliddin, A., s. Bawn, c., . 674, 678, 679, 682, 684

U. R. Freeman 808 -, u. J. C. Poirier 773, 780, Kammerlingh-Onnes, H. 372, 789

373,427 -, U. J. Riseman 817 -, U. W. H. Keesom 372 ._, J. G., U. Z. W. Salsburg Kar, K C. 819 283, 290 Karman, Th. von, s. Born, M. -, S. Buff, F. P. 704

493 -, S. Bethe, H. A. 561, 563, Kassel, L. S. 341, 344, 347, 565,566,567

350 I -, S. Salsburg, Z. W. 758,759 Katsumori, H., s. Tanaka, T., -, S. Salsburg, Z. W. u.R.W.

u. S. Toshima 600 Zwanzig 237, 293, 297 Katsura, S., U. H. Fujita 230, -, s. Slater, J. C. 385

436,437 -, s. Zwanzig, R. W., K F. Katzoff, S. 743 Stripp U. J. Oppenheim 684 Kaufmann, B. 581 Kistiakowsky, G. B., u. A. G. Keesom, P. H., U. N. Pearl- Nickle 362

man 502,509 -, u. W. W. Rice 344 Keesam, W. H. 380, 388, 390, -, H. Romeyer, J. R.

453, 524 Ruhoff, H. A. Smith u. -, U. C. W. Clark 491 W. E. Vaughan 362 --, U. J. A. Kok 502, 504, 508 Klein, M. J. 155 -, S. Kammerlingh-Onnes, Klein, M., u. L. Tisza 209

H. 372 Knopp, K 622, 838 -, S. Kok, J. A. 508 Kohler, F., S. Ebert, L., u. H. Keller, W. E., S. Kilpatrick, Tschamler 723

J. E., E. F. Hammel u. Kohnstamm, Ph., s. Waals, K.Metropolis399,401,404 J. D. van der 228

846

Kok, J. A., u. W. H. Keesom 508

-, s. Keesom, W. H. 502, 504, 508

Konnertz, s. Clusius u. Kruis 518

Koopman, 0., s. Birkhoff, G. D. 109

Koppe, H. 819 Krafft, G., s. Hücke, E. 778 Kramers, H. A. 773, 790 -, u. G. H. Wannier 568,

569, 573, 575, 576, 577, 596

Kratky, O. 647 Krieger, T. J., u. H. M.

James 645 Kruis, s. Clusius u. Konnertz

518 Kruis, A., s. Grafe, D., u. K.

Clusius 369 Kuhn, H., s. Kuhn, W. 801 Kuhn, W. 805 -, u. H. Kuhn 801 Kunimune, M. 385 Kunst 808 .

Laar, J. J. van 711,757 Ladenburg u. Thiele 518 Lamb, W. E., s. Ashkin, J.

593, 597 La Mer, V. K., s. Gronwall,

T. H., u. K. Sandved 775 Landau, L., u. E. Lifshitz 188,

206,819 Landolt-Börnstein 366, 373,

487, 772 Landsberg, P. T. 441, 443,

448, 449, 453 Lang, H., u. A. Münster 816,

817 Lange, F., s. Simon, F. 518, 525 Laplace 12, 14 Lark-Horowitz u. Miller 682 Lassettre, E. N., u. L. B.

Davis 355 -, u. J. P. Howe 568 Laue, M. von 206 -, s. Justi, G. 222 Lawson, A. W. 567 Lechner, G., s. Hopf, L. 492 Lee, T. D., u. C. N. Yang 230,

604,606, 608, 622 -, s. Yang, C. N. 229, 230,

231, 434, 437, 605 Leibfried, G. 441 Leighton, R. B. 502, 509 Lennard-Jones, J. E. 380,

381,383 -, u. A. F. Devonshire 650,

651, 652, 654, 655, 656, 658, 661, 663, 665, 666, 667, 668, 671, 672, 685, 686, 687, 689, 690, 691, 698, 701, 749

Namenverzeichnis

Lewinson, V. A., s. Kirk­wood, J. G., u. B. J. Alder 684

Lewis, G. N., u. M. Randall 260, 526, 762

Libby, W. F. 369 Lifshitz, E., s. Landau, L.

188,206,819 Lindemann, F. A., s. Nernst,

W.480 Liouville, J. 101 Lipson, H. 537 London,F.440,446,454,755 Long u. Kemp 521 Lord, R. C., J. E. Ahlberg u.

D. H. Andrews 503 Lorentz, H. A. 503 Ludwig, G. 138 Lupton, J. M., s. Michels, A.,

T. Wassenaar u. W. de Graaff 429

MacCormack, K. E., u. W. G. Schneider 390,391,392

MacDougall, P. M. 333 McGlashan, M. L., s. Guggen­

heim, E. A. 567, 603, 717, 726

Madelung, E. 480, 784, 838 Magnus, W., u. F. Ober-

hettinger 347, 838 Majumdar, R. 428 Maue, A.-W. 333 Maun, E. K., s. Kirkwood,

J. G., u. B. J. Alder 681, 682,683

Manow, s. Brown 521 Margenau, H. 385 Margenau, H., u. G. M.

Murphy 53, 200, 289, 329, 331,335,336,345,575,642, 838

Mark, H. 647 Mark, H., s. Doty, P. M., u.

B. H. Zimm 220 Martin, B., u. D. ter Haar 601 Martinez, s. Crommelin, C. A.,

u. H. K. Onnes 387 Marzolph, H., s. Schulz, G.

V.808 Mason, E. A. 389 -, u. W. E. Rice 387, 388,

389,400 Massieu 194 Mathot, V., s. Prigogine, I.

749,757 Mayer, J. E. 256, 258, 264,

269, 286, 288, 289, 290, 291, 410, 433, 436, 451, 620, 705, 710, 773, 789, 790

-, u. P. G. Ackermann 410 -, J. E., s. Bleick, W. E. 385

Mayer, J. E., u. J. de Boer 236,250

-, St. Brunauer u. M. Goep­pert-Mayer 351

-, s. McMillan, W. G. 259, 707, 708

-, u. G. Careri 250, 671, 672 -, u. K. Fuchs 705 -, u. M. Goeppert-Mayer

320, 325, 411, 433, 650, 819

-, u. S. F. Harrison 410, 416, 433, 434, 450, 710

-, u. M. G. Mayer 14, 24, 31, 84, 411, 415, 434

--, u. E. W. Montroll 454, 457, 458, 471, 639

-, u. S. F. Streeter 434, 450, 710

-, s. Montroll, E. W. 428 -, s. Smoluchowski, A., u.

W. A. Weyl 222, 626 -, s. Streeter, S. F. 124, 222 Mayer, L., u. W. Band 453 Mayer, M. G., s. Mayer, J. E.

14,24,31,84,411,415,434 McClure, F. T., s. Hirsch­

felder, J. 0., u. J. F. Weeks 390

McCoskey, R. E., s. Furu­kawa, G. T. 525

-, s. Furukawa, G. T., u. G. J. King 525

McCrea, U. 322 McGlashan, M. L. 720 -, s. Adcock, D. S. 798, 799 McKay, H. A. C. 192 McLellan, A. G. 464, 684 McMahon, H. 0., s. Stephen-

son, C. C. 333 McMillan, W. G., u. J. E.

Mayer 259, 707, 708 Mecke, R. 723 Mendelsohn, K. 453 Menke, H., s. Debye, P. 281 Metropolis, N., s. Kilpatrick,

J. E., W. E. Keller u. E. F. Hammel 399, 401, 404

Michels, A., u. M. Gelder­mans 430

-, u. M. Goudeket 398, 430 -, J. M. Lupton, T. Was-

senaaru.W. de Graafft429 -, u. C. Michels 430 -, u. G. W.Nederbragt 429 -, H. Wijker u. K. H. Wijker

387,429 -, H. Wouters u. J. de Boer

430 -, s. Boer, J. de 397, 399,

406, 428, 458 Michels, C., s. Michels, A. 430 Mie, G. 380, 510, 651

Miller, A. R. 791, 795, 802 Mills, J. M., u. H. W. Thomp­

son 344 Miller, E., K. West u. H. J.

Bernstein 320 Miller, s. Lark-Horowitz 682 Müner, R. T., s. Eastman,

E. D. 525 Müner, S. R. 767 Miyako, R. 405 Mizushima, M., K. Ohno u. A.

Ohno 405 Mochel, J. M., s. Scatchard,

G., u. S. E. Wood 726, 749 De Moivre 14 Moliere, G., s. Delbrück, M.

188 Monroe, E., s. Kirkwood, J. G.

264, 275, 691, 692, 694, 695,697,701

Monroe-Boggs, E., s. Kirk­wood, J. G. 264, 674, 678, 679, 682

Montroll, E. W. 568, 573, 593, 603

-, u. J. E. Mayer 428 -, s. Berlin, T. H. 790 -, s. Mayer, J. E. 454, 457,

458, 471, 639 -, s. Newell, G. F. 542, 568,

571, 572, 573, 578, 582, 596, 599, 602, 603

Morrell, C. E., s. Glockner, G. 369

Morrow, J. c., u. O. K. Rice 704

Morse, P. M. 322 Moser, H. 537 Mott, N. F. 509 -, u. H. Jones 476 Müller, H. 775 Münster, A. 112, 120, 121,

133, 182, 192, 198, 202, 212, 220, 230, 232, 233, 236, 275, 288, 292, 441, 449, 453, 509, 623, 625, 691, 707, 708, 717, 719, 724, 725, 726, 735, 736, 745, 749, 757, 791, 795, 801, 802, 803, 804, 809, 811,816,817,818

-, u. K. Sage1620, 628, 631, 632, 633, 634, 635, 637, 639,711,713

-, s. Haase, R. 707 -, s. Lang, H. 816, 817 Murakami, T. 639 -, u. S. Ono 639 Muto 611 Mulholland, H. P. 309 Murphy, G. M., s. Margenau, H. 53, 200, 289, 329, 331, 335,

336, 345, 575, 642, 838

Namen verzeichnis

Nagamiya, T .237 Nakamura, T. 645 Nasielski, J. 749 Nederbragt, G. W., s. Michels,

A.429 Nehlep, G., s. Jost, W. 533 Nernst, W. 516, 522, 523, 527 -, u. F. A. Lindemann 480 Neumann, J. von 109, 138,

151, 155, 166 Newell, G. F., u. E. W. Mon­

troll 542, 568, 571, 572, 573, 578, 582, 596, 599, 602, 603

Newton 8 Nickle, A. G., s. Kistia­

kowsky, G. B. 362 Nielsen, H. H. 351 Nijboer, B. R. A., u. R.

Fieschi 470, 471 -, u. L. van Hove 470 Nix, F. c., u. W. Shockley

534, 535, 536, 537, 551, 565

Oberhettinger, F., s. Magnus, W. 347, 838

Oguchi, J., u. Y. Takagi 645 Oguchi, T. 600, 601 Ohno, A., s. Mizushima, M.,

u. K. Ohno 405 Ohno, K., s. Mizushima, M.,

u. A. Ohno 405 Onnes, H. K., u. C. A. Crom­

melin 387 -, s. Crommelin, C. A., u.

Martinez 387 Ono, S. 156, 271, 434, 664,

666, 702, 751 -, s. Murakami, T. 639 Onsager, L. 246, 251, 542,581,

594, 607, 625, 773, 775 Oosterhoff, L. J. 355 Oppenheim, J., s. Zwanzig,

R. W., J. G. Kirkwood u. K. F. Stripp 684

Ornstein, L. S., u. F. Zernike 209, 278

Orr, W. J. C. 809, 811 -, s. Gee, G. 800 Osborne, D. W., C. S. Garner

u. D. M. Yost 344 Otto, J., s. Holborn, L. 387,

388, 429 Outer, P., C. J. Carr u. B. H.

Zimm 801,807 Overstreet u. Giauque 521 -, s. Giauque 520 Owen, B., s. Harned, H. S.

759 Owen, E. A., u. L. Pickup 635

Partington, J. R. 371 Pauli, W. 155, 188 -, u. M. Fierz 155

847

Pauling, L. 520, 639 -, u. R. C. Tolman 524 -, u. E. B. Wüson 46, 47, 49,

50, 52, 321, 323, 575 Pearlman, N.,s. Keesom, P.H.

502, 509 Peek, H. M., u. T. L. Hill664,

665, 666 Peierls, R. E. 476, 596 Pekeris, C. L. 323 Peterlin, A. 815 Pürsch, D. 834 Pickup, L., s. Owen, E. A. 635 Pierce, W. C. 743 Pitzer, K. S. 351, 354, 355,

406, 639 -, u. W. D. Gwinn 351, 352,

353, 354 -, s. Kilpatrick, J. E. 354 Plancherel, M. 109 Planck, M. 194, 482 Poincare, H. 109 Poirier, J. C. 789 -, s. Kirkwood, J. G. 773,

780, 789 Pople, J. A. 392, 393, 749 Popp, s. Clusius u. Frank 521 Powers, M. D., s. Epstein, L.

F., C. J. Hilbert u. G. M. Roc 429

Prigogine, 1. 198, 723 -, R. Bingen u. J. J eener

526 -, u. R. Defay 126, 709 -, u. G. Garikian 655, 749,

751, 752, 754, 757 -, u. J. Jeener 526 -, u. V. Mathot 749, 757 -, u. S. Raulier 655 -, L. Sarolea u. L. van Hove

632 Prins, J. A., s. Zernike, F. 280 Putnam, W. E., u. J. E. Kil­

patrick 372

Quimby, S. L., u. P. M. Sut­ton 492

Ramakrishnan, A. 237 RandalI, M., s. Lewis, G. ::\.

526, 762 Rankine 380 Raulier, S., s. Prigogine, 1.

655 Rayleigh, Lord 209, 483 Rayleigh u. Jeans 481, 482,

484, 485 Rayne, J. 509 Rebelein, H., s. Briegleb, G.

356 Redlich, O. 260, 526, 762 Regnault 370 Riccoboni, s. Clusius 518

848

Rice, O. K 650, 710, 711 -, s. Atack, D. 710 -, s. Rowden, R. W. 710 -, s. Zimm, B. H. 712 Ricc, W. E., u. J. O. Hirsch­

felder 368, 387 -, s. Mason, E. A. 387, 388,

389,400 Rice, W. W., s. Kistia­

kowsky, G. B. 344 Riseman,J., s. Kirkwood,J.G.

817 Rittenberg, D., W. Bleakney

u. H. C. Urey 368 Ritter 370 Robinson, J. E. 444 Robinson, R. A., u. R. H.

Stokes 759, 763, 772 Roc, G. M., s. Epstein, L. F.,

C. J. Hilbert u. M. D. Powers 429

Rodriguez, A. E. 463, 464, 466, 467, 471

Räck, H. 723 Romeyer, H., s. Kistiakow­

sky, G. B., J. R. Ruhoff, H. A. Smith u. W. E. Vaughan 362

Rosenfeld, L. 166 RosenthaI, A. 109 Rossini, F. 366 Rowden, R. W., u. O. K. Rice

710 Rowlinson, J. S. 390, 391,

393, 429, 750, 751, 752 -, u. C. F. Curtiss 661, 664,

665,666 -, s. Morrow, J. C. 704 Rudman, P. S., u. B. L.

A verbach 635 Ruhemann, M., s. Simon, F.,

u. Cl. von Simson 639 Ruhoff, J. R., s. Kistia­

kowsky, G. B., H. Ro­meyer, H. A. Smith u. W. E. Vaughan 362

Rushbrooke, G. S. 539, 541, 542, 552, 600, 601, 603, 620, 717,819

- u. H. D. Urse1l237 -, u. H. J. Scoins 458, 468,

470, 471, 628, 629, 632, 702

-, s. Fowler, R. H. 792, 793

SageI, K, s. Münster, A. 620, 628, 631, 632, 633, 634, 635,637,639,711,713

Salsburg, Z. W., u. J. G. Kirkwood 758, 759

-, R. W. Zwanzig u. J. G. Kirkwood 237,293,297

-, s. Kirkwood, J. G. 283, 290

Namenverzeichnis

Sandler, Y. L. 317 Sandved, K., s. Gronwall, T.

H., u. La Mer, V. K 775 Sarolea, L. 749, 758 -, s. Prigogine, 1., u.

L. van Hove 632 SaroIea-Mathot, L. 736 Scatchard 636 Scatchard, G. 704, 716, 748,

757 -, S. E. Wood u. J. M.

Mochel 726, 749 Schäfer, K 322, 354, 393,

398,405,640 -, u. O. Frey 567 Scheibe, G., u. D. Brück 723 Schlägl, R. 802 Schlüter, A. 130 Schneider, W. G., u. J. A. H.

Duffie 384, 388 -, s.MacCormack, K.-E.

390,391,392 -, s. Yntema, J. C. 384, 385,

386, 388 Schottky, W. 522 -, H. Ulrich u. C. Wagner

192,225,227 -, s. Wagner, C. 533 Schrädinger, E. 133, 819 Schubert, G. 80, 441 Schulz, G. V. 215, 801, 804,

816,817 Schulz u. Hellfritz 808 -, u. H. Marzolph 808 Scoins, H. J., s. Rushbrooke,

G. S. 458, 468, 470, 471, 628,629,633,702

Scott, R. L., s. Hildebrandt, J. H. 704

Seguin, M. 734 Seitz, F. 476, 480, 489, 490,

494, 496, 499, 500, 530 Seldam, C. A. ten, s. Groot,

S. R. de, u. G. J. Hooy­man 441, 448, 449, 453

Shockley, W., s. Nix, F. C. 534, 535, 536, 537, 551, 565

Siegert, A. J. F. 175, 177, 437 -, s. Green, H. S. 176 Simon, F. 518, 522, 527 -, Cl. von Simson u. M.

Ruhemann 639 -, u. F. Lange 525 -, s. Lange, F. 518 Simson, Cl. von, s. Simon, F.,

u. M. Ruhemann 639 Simon u.Bleaney 518 Slater, J. C. 46, 150, 385 -, u. J. G. Kirkwood 385 Smekal, A. 819 Smereker, H., s. Halpern, O.

819 Smith, F., s. Barker, J. A., u.

J. Brown 748

Smith, P., s. Barker, J. A. 748 Smith, H. A., s. Kistia­

kowsky, G. B., H. Romeyer, J. R. Ruhoff u. W. E. Vaughan 362

Smith, L. G. 355 Smith, P. L., s. Hill, R.W. 502 Smoluchowski, A., J. E.

Mayer u. W. A. Weyl 222, 626

Smoluchowski, M. von 205, 209

Sommerfeld, A. 80, 92, 93, 210,503

-, u. H. A. Bethe 819 -, u. L. Waldmann 819 Sorbo, W. de 491, 492 Spotz, E. L., s. Bird, R. B.,

u. J. O. Hirschfelder 428 Staverman, A. J. 802 Stern, J., s. Baxendale, J. H.,

u. B. V. Enüstem 798 Strauss, U. P., u. R. M.

Fuoss 791 Streeter, S. F., s. Mayer, J. E.

434,450,710 Stephenson u. Giauque 521 Stephenson, C. C., u. H. O.

McMahon 333 Stephenson, s. Giauque 521 Stern, O. 32 Stevenson, D. P., s. Hirsch­

felder, J. 0., u. H. Eyring 650

Stockmayer, W. H. 215, 390, 393

Stokes, R. H., s. Robinson, R. A. 759, 763, 772

Stoner, E. C. 509 Stout, s. Giauque 521 Streeter, S. F., u. J. E. Mayer

124,222 Stripp, K F., s. Zwanzig, R.

W., J. G. Kirkwood u, J. Oppenheim 684

Strohmeier, W., u. G. Brieg­leb 356

Stuart, H. A. 208, 209, 214, 215, 223, 525, 537, 648, 725, 735, 744, 791, 795, 800, 801, 802, 805, 806, 808,815,816,817,818

Sutcliffe, Ch. H., s. Jaumot, F. E. 537

Sutton, P. M., s. Quimby, S. L. 492

Sykes, C., u. F. W. Jones 535 -, s. Jones, F. W. 536 -, u. H. Wilkinson 537

Takagi, Y., s. Oguchi, J. 645 Takahasi, H. 237 Tanaka, T., H. Katsumori u.

S. Toshima 600

Taube, H., s. Hunt, J. P. 761 Taylor, H. S., s. Gould, .-\. J., I

u. W. Bleakney 368 Teller, E., u. K. Weigert 351 Temperley, H. N. V. 237, 581 ' Thiele, s. Ladenburg 518 Thompson, H. W., s. Mills,

J. M. 344 Thomsen n. Berthelot 522 Thurmond, C. D., n. B. H.

Zimm 795 ' Titchmarsh, E. C. 465, 676, I

838 Tisza, L. 222, 626 ~, s. Klein, M. 209 I

Tolman, R. C. 102, 110, 115, '. 138, 156, 162, 166, 182, ' 212, 527, 819

~, s. Pauling, C. 524 Tompa, H. 736, 743, 744, 745,

747, 748, 749 Tonks, L. 237, 239, 297 I

Toshima, S., s. Tanaka, T., u. H. Katsumori 600

Trefftz, E. 600, 601, 602, 603 Treloar, L. R. G., s. Ferry, ].,

u. G. Gee 799 ~,s. Gee, G. 800 Tsao, M' S., s. Frank, H. S.

759 Tschamler, H., s. Ebert. L.,

Namenverzeichnis

\Vagner, c., u. VV. Schottky 533

~,s. Schottky, W., u. H. Ulrich 192, 225, 227

Wakefield, A. J. 600, 601, 602, 603

\Valdmann, L., s. Sommer­feld, A. 819

Wang, J. S. 553 Wang, T. S. 567 Wannier, G. H. 568, 578, 595,

596 ~,s. Kramers, H. A. 568,

569, 573, 575, 576, 577, 596

Ward, J. c., s. Kac, M. 599 \Vassenaar, T., s. Michels, A.,

]. M. Lnpton u. ·W. de Graaff 429

\Vatson, G. ~., s. \Vhittaker, G. T. 13,43,239,289,347, 351, 401, 594, 677, 838

Webb, F. J., s. Bergenlid, U., R. W. HilI u. J. Wilks 492

--, s. Hirschfelder, J. 0., u. !

F. T. McClure 390 I'

\\:eigert, K, s. Teller, E. 351 \\ entorf, R. H., R. J. Bueh- ,

ler, J. O. Hirschfelder u. i

C. F. Curtiss 660 I n. F. Kohler 723 , \\'ergelanel, H. 421, 435 I

Uhlenbeck, G. E., u. E. Beth 393, 395, 397

--, s. Beth, E. 393, 403 ~, s. Kahn, B. 240, 410, 425, I

438, 440 l'lrich, H., s. Schottky W. n.

C. Wagner 192, 225, 227 Urey, H. c., s. Rittenberg, D. . n. W. Bleakney 368 I

t'rsell, H. D. 410 ~, s. Rushbrooke, G. S. 237

Vallet, G. 806 Vanghan, VV. E., s. Kistia-I

kowsky, G. B., H. Romeyer, J. R. Ruhoff u. H. A. Smith 362

\Vest, K, s. MilIer, E., u. H. J. Bernstein 320

Westphal, W. 440 \Veyl, \V. A., s. Smoluchow- ,

ski, A., u.J. E. Mayer222, : 626 !

\Vhittaker, E. T. 92 I --, n. G. ::-;-. Watson 13, 43,

239, 289, 347, 351, 401, !

594, 677, 838

\Vicke, E., n. M. Eigen 776, I,'.

777, 778, 779 ~, s. Eigen, M. 776 --, s. Goller, H. 726 I

Widom, B. 440 \\'iebe, R., s. Giauque, \\ . F.

520,639

Waals, J. H. van der 795,799, Wigner, E. 181 I 802,803 Wijker, H., s. Michels, A .. n.

Waals, J. D. van der, u. Ph. K H. Wijker 387, 429 Kohnstamm 228 I Wijker, K H., s. Michels, A.,

--, sen. 370 I n. H. Wijker 387. 429 Waerden, B. L. van eier 597, I \\'ilkinson, H., s. Sykes. C. I

838 537

Münster} Theml0dynamik

849

Wilks, J., s. Bergenlid, U., R. W. HilI n. F. J. Webb 492

Willey, L. A., s. Fink, W. L. 635

Williams, E.J.,s. Bragg,W. L. 543, 546, 564, 565, 566, 581, 602, 603

Wilson, A. H. 476, 509 Wilson, E. B. 333, 341 --, s. Pauling, L. 46, 47, 49,

50, 52, 321, 323, 575 Winter, Cl. van 333 Witmer, E. E. 328 Witten, L. 229 Woitinek, H., s. Eucken, A.,

u. K Clusins 502 Wood, S. E. 704, 726 ~,s. Scatchard, G., u. J. M.

Mochel 726, 749 Wood, W. W. 671 Wouters, H., s. Michels, A.,

u. J. de Boer 430 Wu, T. Y. 328

Yang, C. N. 597, 599, 630 ~, u. T. D. Lee 229,230,231,

434, 437, 605 ~, s. Lee, T. D. 230, 604, 606,

608, 622 Yntema, J. L., u. W. G.

Schneider 384, 385, 386, 388

Young, T. F., u. A. C. Jones 759

Yost, D. M., s. Osborne, D. W., u. C. S. Garner 344

'{von, J. 245, 255, 276, 282

Zeidler 518 Zeise, H. 819 Zernike, F. 10, 14, 212 --, u. J. A. Prins 280 ---, s. Ornstein, L. S. 209, 278 Zimm, B. H. 710, 711, 712,

804 --, u. O. K Rice 712 ~,s. Doty, P. M., u. H.

Mark 220 ~, s. Outer, P., u. C. J. Carr

801, 807 ---, s. Thurmond, C. D. 795 Z\\'anzig, R. W., ]. G. Kirk­

wood, K F. Stripp u. J. Oppenheim 684

---, s. Salsburg, Z. W., u. J. G. Kirkwood 237, 293, 297

54

Absolute Aktivitäten 187 Absoluter Nullpunkt, Uner­

reichbarkeit des 527 ff. Absolute Temperatur 37, 89,

119, 133, 164, 184 Adiabatische Invarianz des

Phasen volumens 117 Äquipartitionstheorem 42,

115, 134 -, verallgemeinertes 115 Antisymmetrische Eigen­

funktion 57, 63, 75 A priori-Wahrscheinlichkei­

ten, Hypothese der glei­chen 110, 156

Athermische Lösung von Kugelmolekülen 802 ff.

- - - Fadenmolekülen 792

Austauschreaktionen von Isotopen 367

Äußere Parameter 36 Austauschentartung 56

Basis-Vektoren des Gitters 693

- - reziproken Gitters 693 BETHEsche Näherung 548ff.,

564,736 BLocHsche Gleichung 170,

172,178 BOLTzMANNsches Entropie­

gesetz 42, 130, 641 BORN-GREENsche Gleichung

257, 273, 463, 672 --, Linearisierungder464, 470 -, Lösung der 463ff.

BRAGG-\VILLIAMssche Nähe­rung 543ff., 564, 641, 688, 722

BucKINGHAM-Potential 386 -, modifiziertes 387

Calorische Zustandsgleichung 249,254

Chemische Konstante 365, 369, 514

Chemisches Potential 89, 184 CLAusIUs-CLAPEYRoNsche

Gleichung 221, 230 Cluster 411, 420 Cluster-Integrale 412, 439 -, verallgemeinerte 266 -, -, unreduzierbare 705 -,lI. Art 267, 455 -, unreduzierbare 414

Sach verzeichnis Cluster-Integrale, 11. Art, un­

reduzierbare 457 Communal entropy 650, 659,

668

Dampfdruck eines Kristalls 513

- einer Flüssigkeit 657 Dampfdruckkonstante 514,

518 DARwIN-FowLERsche Metho­

de 63ff. DEBYEscher Aufladungs­

prozeß 766 DEBYEsche Funktion 487

Temperatur 486 - Theorie der spezifischen

Wärme 485 ff. DEBYE-HücKELsche Grenz­

gesetze 769, 771 -, strengere Begründung 779ff. Theorie 768

Dichtematrix 151,172 Dissoziation, elektrolytische

760 Dissoziationsgleichgewicht

357ff. Durchschnittskraft, Potential

der 246,263

EHRENFEsTSche Gleichungen 222, 234

Eindimensionales System 237 ff., 292 ff., 493 ff., 568ff.

EINsTEINsche Streu formel 282 EINsTEIN-Kondensation

440ff. Elektrolyte, Lösungen star­

ker 759ff. Elektronengas 85, 504 ff. Elektronen wärme der Metalle

503ff. - zweiatomiger Moleküle

326 Empirische Temperatur 32ff.,

116ff., 165 Entartungskriterium 88 Entropie 38, 42, 74, 89, 119,

123, 125, 164, 166, 169, 184, 195, 199

-, Additivität der 167 Entropie-Analogon, 2. GIBBS-

sches 119 -, 3. GIBBssches 123 Ergodenhypothese, Quasi 109 Ergoden-Theorie 108, 155

Erhaltung der Phasenaus­dehnung 102

- - Phasendichte 101 Erhaltungssätze der klassi-

schen Mechanik 97 Excess functions 716 exp-6-PotentiaI387 Extensive Parameter 193

Fadenmoleküle, athermische Lösung von starren 792

-, innere Beweglichkeit 792, 805ff.

Fehlordnung, nicht koopera­tive 530ff.

FERMI-Energie 85 FERMI-DIRAc-Gas, ideales

84 ff., 504 ff. Fernordnungsgrad 546, 550,

572 Feste Lösungen, FucHssche

Theorie 608 ff., 627 ff. - Lösung und ISING-Modell

620ff. FLORY-H UGGINS-Theorie

793ff. Freie Energie nach HELM­

HOLTZ 39, 73, 91, 135, 164, 169

Freiheitsgrade 25 Freies Volumen 649, 650, 662,

670,752 -, Theorie des - - für reine Flüssigkeiten 649 H. -, Theorie des - - für fl üssige Gemische 749 ff.

FRENKELscher Fehlordnungs­typ 530,533

FucHssche Theorie der festen Lösungen 608ff., 627ff.

Fugazität 260

r-Raum 99 Gasentartung 88 GAusssche Verteilung 13 Generalisierte Impulse 25, 94

Koordinaten 25 - Verteilungsfunktionen

192, 196, 198 Generelle Phase 122 Gesamtheit, kanonische

133ff. -, mikrokanonische 112ff. -, quantenstatistische,

mikrokanonische 159ff. -, -, kanonische 163ff., 172 -, große kanonische 182ff. -, virtuelle 99

Geschwindigkeitsausdehnung 107

Geschwindigkeitsverteilungs -gesetz, MAXWELLsches 31

GIBBssche Energiefunktion 113

2. GIBBssches Entropie­Analogon 119

3. GIBBssches Entropie-Analogon 123

GIBBssches Paradoxon 45 - Phasenintegral 133 GIBBs-HELMHOLTzsche Glei-

chung 194 Gitter-Gas 604 ff. Gittermodell für Lösungen

712ff. - - makromolekulare

Lösungen 792 ff. Gleichgewicht, statistisches

104, 154 -, thermodynamisches

124ff., 135, 166 .. - zwischen Isomeren 355 H. Grenzgesetze für unendliche

Verdünnung 707 GÜNTELBERGScher Aufla­

dungsprozeß 766

Halbklassische Näherung 91, 124, 181

HAMILToN-Operator 142 HAMILToNsche Bewegungs-

gleichung 95 - Funktion 95 HAMILToNsches Prinzip 92 Harmonischer Oszillator 48 1. Hauptsatz der Thermo­

dynamik 37, 119, 164 2. Hauptsatz der Thermo­

dynamik 37, 88, 119, 164 Haupttheorem der Wahr­

scheinlichkeitsrechn ung 14 HEISENBERGSche Beweg­

gungsgleichung 154 - Unbestimmtheitsrelation

46, 143, 157 Hemmung 78, 124ff. Heterogene Reaktionen 514 Hochtemperatur-Korrek-

turen 321 ff. Hohlraumstrahlung 482 H.

Idealer Kristall 476 Intensive Parameter 193 ISING-Modell 537, 568ff. Irreguläre Lösung 809 ff.

Kanonische Bewegungsglei-chungen 95 Gesamtheit 133, 172 -, große 183 -, quantenstatistische 163ff., 172 Transformation 97

Kernspin, Einfluß des 309 ff.

Sachverzeichnis

Kettenintegral 458, 460 KIRKWOODSche Gleichung,

Lösung der 674ff. KIRKWOODSche Gleichungen

I. Art 258, 273 - 2. Art 287 Reihenentwicklung 558ff.

Kombinationsfaktor 539 Kommutator 141 Komplexion 18 Kompressibilitätsintegral

278, 470 Kondensation 430 H. Konfigurationsausdehn u ng

106 Konfigurationsintegral 238,

410 Konservative Systeme 93 Kooperative Erscheinungen

540 - Orientierungseffekte in

Lösungen 736ff., 818 Kopplungsparameter 251,

765,780 Korrelation 17 Korrelationsfunktionen 245 Korrelationsmomente 17 Kristallgitter, exakte Theorie

der 493 H. Kritische Daten 660 Kritischer Koeffizient :>72,

657,661, 666 - Punkt der Entmischung

617, 623, 709, 720 Kugelmoleküle, athenl1ische

Lösung von 802 ff.

LAGRANGEsche Funktion 92 - Bewegungsgleichungen 94 LExxARD- J ONES-Potential

380, 397, 652 LE"-f"-fARD- JONES U. DEvo"-f­

SHIRE, Theorie von 651 H., 671

Lichtstreuung 208 ff., 278 ff. LrouvILLEscher Satz 101 -, quanten statistisches

Analogon des 153 "Löcher"-Modell 661 Lösungen von Makromole­

külen 791 ff. starker Elektrolyte 759 ff. von Nichtelektrolyten 702ff.

Lokalisierte Teilchen 40, 58

Makrozustand 16 Massenwirkungsgesetz 360,

365 MASSIEU-PLANcKsche Funk,

tionen 194, 198 Matrix-Methode 568 ff. MAYERsche Integralglei­

chungen 271 H.

851

MAXWELL-BoLTZMA"-fNSches Energieverteilungsgesetz 29, 73, 87, 132, 191, 245, 263

MAXWELLsches Geschwindig­keitsverteilungsgesetz 31

MAxwELLsche Relationen 194 Methode der unbestimmten

Multiplikatoren 21, 642 Mikrozustand 18 Mi ttel wert 10. Mikrokanonische Gesamtheit

112ff. - -, quantenstatistische

159 Molekulare Verteilungsfunk­

tionen 245 -', quantenstatistische Theorie der 472 ff. -, realer Gase, direkte Berechnung 454ff. -, Zusammenhang mit den thermodynamischen Funktionen 248ff.

Molekulare Verteilungsfunk­tionen des eindimensiona­len Systems 292ff. _. von Flüssigkeiten 672 ff. - und Schmelztheorie 691 H.

p-Raum 27

Nahordnung 550 NERNsTscher vVärmesatz

522ff. XERNsTsche Formel für che­

mische Gleichgewichte 365

.N ichtunterscheidbarkeit 56 Normalkoordinaten 337, 477 Normalschwingungen 337 Nullpunktsenergie des Elek-

tronengases 85 .:\ ullpunktsentropie der

Kristalle 515 ff.

ONSAGERSche Umwandlung 595, 626

Ordnungs- U mordnungs-U m­wandlungen 536 ff.

Orientierungseffekte in Lö­sungen, kooperative 736ff. - -, nicht-kooperative 726ff. - makromolekularen Lösungen 811 ff.

Ortho-Wasserstoff 313 ff. Osmotischer Druck 707

Para-Wasserstoff 313ff. PAuLI-Prinzip 57 Permanente Gruppen 76 Phase 26, 99 Phasen ausdehnung 102

54*

852

Phasendichte 100 Phasengeschwindigkeit 101 Phasenmittelwert 100 Phasenpunkt 99 Phasenkoordinaten 99 Phasenraum des Gesamt-

systems 99 - - Moleküls 27 Phasenumwandlungen 221,

228, 288 Photonengas 484 PLANcKsches Strahlungs­

gesetz 483 POISsoNsche Formel 16 POISSON-BOLTzMANNsche

Gleichung 768, 776 POISsoNsche Gleichung 767 POIssoN-Klammer 96 Potential der Durchschnitts-

kraft 246, 263 Potentiale, thermodynami­

sche 193

Quantenstatistik der realen Gase 437ff.

Quantenstatistisches Analo­gon des Prinzips der Er­haltung der Phasendichte 154 - - LIOUVILLEschen Satzes 153 mikrokanonische Gesamt­heit 159 ff. kanonische Gesamtheit 163ff.,I72 Theorie der molekularen Verteilungsfunktionen 472ff. - des zweiten Virial­koeffizienten 393 ff.

Quasi-chemische Gleichung 552, 719, 740, 746, 810

- Näherung553,564,717,745 Quasi -Ergodenhypothese 109

Radiale Verteilungs funktion 245,458,466,680,682,684

- -, experimentelle Be­stimmung 281

RAouLTsches Gesetz 708, 716 RA YLEIGHSches Strahlungs-

gesetz 483 Ringintegral 460 Rotator, freier ebener 50 -, - räumlicher 52, 307 Rotation, innere 342 ff. -, vielatomiger Moleküle

330ff. -, zweiatomiger Moleküle

307ff. Rotationsumwandlungen

639ff.

Sattelpunktmethode 67ff., 80ff.

Semi-Invarianten 558, 781

Sachverzeichnis

SLATER-Summe 169, 394,401, 438

Spezielle Phase 122 Superpositionsprinzip 256,

272,468,673,683,685,702 Superposition der Ionen­

wolken 786 Symmetrische Eigenfunk­

tion 57, 62, 75 Schmelztheorie von KIRK­

WOOD und MONROE 691 ff. - - LENN ARD-J ONES und

DEVONSHIRE 685 ff. SCHOTTKYscher Fehlord­

nungstyp 530 SCHRÖDINGER-Gleichung 47,

53, 142 Schwankungen 11 -, allgemeine Theorie 202ff.

der Energie 137 der Energiedichte am kri­tischen Punkt 625 der extensiven Parameter 202ff. - intensiven Parameter 205ff. - Molekühlzahlen 186, 204,450

Schwingungen vielatomiger Moleküle 334 ff.

- zweiatomiger Moleküle 317

Stabilitätsbedingungen 224, 234

STEFAN -BoLTzMANNsches Gesetz 483

STIRLINGsche Formel 13 Strahlungsdruck 483 Streuung von Röntgen-

strahlen 280

Temperatur, absolute 37, 89, 119, 164

-, empirische 32ff., 116, 165 Theorem der übereinstim­

menden Zustände 405 ff. Thermische Zustandsglei­

chung 249, 370ff., 427, 466,488,655,689

Thermodynamisches Gleich­gewicht 124ff., 135, 166

Thermodynamische Poten­tiale 193

Transformationstheorie, quantenmechanische 147

- der Verteilungsfunktionen 192 ff.

Tröpfchenmodell 421, 437 TRouToNsche Regel 658 Trübung 209, 211

Übergangswahrscheinlich -keiten 156

Überstruktur-U m wandl un­gen 536ff.

Umwandlung, anomale 1. Ordnung 434, 450, 626

-, ONSAGERsche 595, 626 Umwandlungen II. Ordnung

221,234,537,547,557,639 Uniforme Integrale der Be­

wegungsgleichungen 97, 104, 110

VAN'T HOFFsche Gleichung 707

Variationsverfahren 575 Verteilungsfunktion des

Einzelmoleküls 39, 73 - - Gesamtsystems 91,

138, 168 -, generalisierte 192, 196, 198 - der potentiellen Energie

238,244 -, große 187 -, radiale 245, 458, 466, 680,

682, 684 -, radiale, experimentelle

Bestimmung 281 Verteilungsfunktionen, mole­

kulare 245 ff. -, -, des eindimensionalen

Systems 292 ff. -, -, Zusammenhang mit

den thermodynamischen Funktionen 248ff.

-, Transformationstheorie der 192ff.

Verteilungs modul 133 Virial 115, 160 Virialform der Zustands-

gleichung 372, 427 Virialkoeffizient 372, 427 -, zweiter 374ff. -, dritter 428 Virialsatz 115, 160, 249, 375 Virtuelle Gesamtheit 99 - Moleküle, Methode der 802

Wärme 37, 118, 164 Wiederkehrsatz 109, 156 WIENsches Strahlungsgesetz

484

Zugänglichkeit 77, 124 ff., 158 Zustandsgleichung, calorische

249,254 -, thermische 249, 370ff.,

427, 466, 488, 655, 689 -, VAN DER WAALssche 370,

374,378 - von BEATTIE und BRID­

GEMAN 371 -, Virialform der 372, 427 Zweiter Virialkoeffizient,

-, quanten statistische Theorie des 393ff. -, statistische Theorie des 374 ff. - und zwischenmoleku­lare Kräfte 378 ff.