Lothar Papula

Mathematik für Ingenieure und NaturwissenschaftlerBand 1

Lothar Papula

Mathematikfür Ingenieure undNaturwissenschaftlerBand1Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium

13., durchgesehene Auflage

Mit 609 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 352 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen

STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar.

1. Auflage 19832., durchgesehene Auflage 19843., durchgesehene Auflage 19864., durchgesehene und erweiterte Auflage 19885., verbesserte Auflage 19906., verbesserte Auflage 19917., überarbeitete und erweiterte Auflage 19968., verbesserte Auflage 19989., verbesserte Auflage 2000

10., erweiterte Auflage Oktober 200111., verbesserte und erweiterte Auflage 2007

unveränderter Nachdruck 200812., überarbeitete und erweiterte Auflage 200913., durchgesehene Auflage 2011

Alle Rechte vorbehalten© Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander

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Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, HeidelbergTechnische Redaktion: Gabriele McLemore, WiesbadenSatz: Druckhaus Thomas Müntzer, Bad LangensalzaBilder: Graphik & Text Studio, Dr. Wolfgang Zettlmeier, BarbingDruck und buchbinderische Verarbeitung: Stürtz GmbH, WürzburgGedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem PapierPrinted in Germany

ISBN 978-3-8348-1749-5

Vorwort

Das dreibandige Werk Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler ist einLehr- und Arbeitsbuch fur das Grund- und Hauptstudium der naturwissenschaftlich-tech-nischen Disziplinen im Hochschulbereich. Es wird durch eine mathematische Formel-sammlung, einen Klausurentrainer und ein Buch mit Anwendungsbeispielen zu ei-nem kompakten Lehr- und Lernsystem erganzt. Die Bande 1 und 2 lassen sich demGrundstudium zuordnen, wahrend der dritte Band spezielle Themen uberwiegend ausdem Hauptstudium behandelt.

Zur Stoffauswahl des ersten Bandes

Die Erfahrungen zeigen, dass die Studienanfanger nach wie vor uber sehr unterschied-liche und oft nicht ausreichende mathematische Grundkenntnisse verfugen. Insbesonderein der Algebra bestehen große Defizite. Die Grunde hierfur liegen u. a. in der Verlage-rung der Schwerpunkte in der Schulmathematik und der Abwahl des Faches Mathematikals Leistungsfach in der gymnasialen Oberstufe. Ein nahtloser und erfolgreicher �ber-gang von der Schule zur Hochschule ist daher ohne zusatzliche Hilfen kaum moglich.Dieser erste Band des Lehr- und Lernsystems leistet die dringend benotigte „Hilfestel-lung“ durch Einbeziehung bestimmter Gebiete der Elementarmathematik in das Grund-studium und schafft somit die Voraussetzung fur eine tragfahige Verbindung („Brucke“)zwischen Schule und Hochschule, ein Konzept, das sich bereits in der Vergangenheitbestens bewahrt hat und deshalb konsequent beibehalten wurde.

In dem vorliegenden ersten Band werden die folgenden Stoffgebiete behandelt:

� Allgemeine Grundlagen (u. a. Gleichungen und Ungleichungen, lineare Gleichungs-systeme, binomischer Lehrsatz)

� Vektoralgebra (zunachst in der anschaulichen Ebene und dann im Raum)

� Funktionen und Kurven (als wichtigste Grundlage fur die Differential- und Integral-rechnung)

� Differentialrechnung

� Integralrechnung |ffl{zffl} (mit zahlreichen Anwendungen aus Naturwissenschaftund Technik)

� Potenzreihenentwicklungen (Mac Laurinsche und Taylorsche Reihen)

� Komplexe Zahlen und Funktionen

Eine �bersicht uber die Inhalte der Bande 2 und 3 erfolgt im Anschluss an das Inhalts-verzeichnis.

V

Zur Darstellung des Stoffes

Bei der Darstellung der mathematischen Stoffgebiete wurde von den folgenden �berle-gungen ausgegangen:

� Mathematische Methoden spielen zwar in den naturwissenschaftlich-technischen Dis-ziplinen eine bedeutende Rolle, bleiben jedoch in erster Linie ein (unverzichtbares)Hilfsmittel.

� Aufgrund der veranderten Eingangsvoraussetzungen und der damit verbundenen Defi-zite sollte der Studienanfanger nicht uberfordert werden.

Es wurde daher eine anschauliche, anwendungsorientierte und leicht verstandliche Dar-stellungsform des mathematischen Stoffes gewahlt. Begriffe, Zusammenhange, Satze undFormeln werden durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und an-hand vieler Abbildungen naher erlautert.

Einen wesentlichen Bestandteil dieses Werkes bilden die �bungsaufgaben am Endeeines jeden Kapitels (nach Abschnitten geordnet). Sie dienen zum Einuben und Vertiefendes Stoffes. Die im Anhang dargestellten (und zum Teil ausfuhrlich kommentierten)Losungen ermoglichen dem Leser eine standige Selbstkontrolle.

Mit der Verbesserung von Bildern wurden die Beispiele noch verstandlicher und opti-miert.

Zur außeren Form

Zentrale Inhalte wie Definitionen, Satze, Formeln, Tabellen, Zusammenfassungen undBeispiele werden besonders hervorgehoben:

� Definitionen, Satze, Formeln, Tabellen und Zusammenfassungen sind gerahmt undgrau unterlegt.

� Anfang und Ende von Beispielen sind durch das Symbol & gekennzeichnet.

Bei der (bildlichen) Darstellung von Flachen und raumlichen Korpern wurden Grau-raster unterschiedlicher Helligkeit verwendet, um besonders anschauliche und aussage-kraftige Bilder zu erhalten.

Zum Einsatz von Computeralgebra-Programmen

In zunehmendem Maße werden leistungsfahige Computeralgebra-Programme wie z. B.MATLAB, MAPLE, MATHCAD oder MATHEMATICA bei der mathematischen Lo-sung naturwissenschaftlich-technischer Probleme in Praxis und Wissenschaft erfolgreicheingesetzt. Solche Programme konnen bereits im Grundstudium ein nutzliches und sinn-volles Hilfsmittel sein und so z. B. als eine Art „Kontrollinstanz“ beim Losen von�bungsaufgaben verwendet werden (�berprufung der von Hand ermittelten Losungenmit Hilfe eines Computeralgebra-Programms auf einem PC). Die meisten der in diesemWerk gestellten Aufgaben lassen sich auf diese Weise problemlos losen.

VI Vorwort

Zur 13. Auflage

In der aktuellen (13.) Auflage wurden kleinere Erganzungen vorgenommen, im Wesentli-chen aber Druckfehler korrigiert, die sich infolge des kompletten Neusatzes der 12. Auf-lage eingeschlichen hatten. Kurzen eines gemeinsamen Faktors in komplizierteren Bru-chen wird in der Regel durch Grauunterlegung gekennzeichnet. Alle Angaben uberIntegrale beziehen sich auf die Integraltafel der Mathematischen Formelsammlung desAutors.

Eine Bitte des Autors

Fur Hinweise und Anregungen – insbesondere auch aus dem Kreis der Studentenschaft– bin ich sehr dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fur diepermanente Verbesserung dieses Lehrwerkes.

Ein Wort des Dankes . . .

. . . an alle Fachkollegen und Studierenden, die durch Anregungen und Hinweise zurVerbesserung dieses Werkes beigetragen haben,

. . . an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Frau Gabriele McLemoreund Herrn Thomas Zipsner, fur die hervorragende Zusammenarbeit wahrend der Entste-hung und Drucklegung dieses Werkes,

. . . an Frau Schulz vom Druck- und Satzhaus „Thomas Muntzer“ fur den ausgezeichne-ten mathematischen Satz.

Wiesbaden, im Sommer 2011 Lothar Papula

Vorwort VII

Inhaltsverzeichnis

I Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Einige grundlegende Begriffe uber Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Definition und Darstellung einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Die Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Teilmengen und Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Gleichungen 3. und hoheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ a x 3 þ b x 2 þ c x ¼ 0 . . 123.3.3 Bi-quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5 Betragsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5.1 Definition der Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.2 Analytische Losung einer Betragsgleichung durch

Fallunterscheidung (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.5.3 Losung einer Betragsgleichung auf halb-graphischem Wege

(Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1 Ein einfuhrendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Der Gaußsche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes . . . . . 35

6 Der Binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

�bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Zu Abschnitt 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

IX

Zu Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Zu Abschnitt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Zu Abschnitt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.1 Definition eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.2 Gleichheit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.3 Parallele, anti-parallele und kollineare Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.4 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.1 Addition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.4.2 Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Vektorrechnung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.1 Komponentendarstellung eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2 Darstellung der Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4 Linear unabhangige Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5 Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kraftesystems . . . . . . 69

3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1 Komponentendarstellung eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2 Darstellung der Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.3 Richtungswinkel eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes . . . . . . . . . . . . . . . . 903.4.2 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.4.2.2 Bewegung von Ladungstragern in einem Magnetfeld

(Lorentz-Kraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.6 Linear unabhangige Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

X Inhaltsverzeichnis

4 Anwendungen in der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2 Vektorielle Darstellung einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene . . . . . . 1264.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

�bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Zu Abschnitt 2 und 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Zu Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

III Funktionen und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

1 Definition und Darstellung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

1.1 Definition einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461.2 Darstellungsformen einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1.2.1 Analytische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1471.2.2 Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel) . . . . . . . . . . . . . . 1481.2.3 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1481.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2 Allgemeine Funktionseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.1 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.2 Symmetrieverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.4 Periodizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572.5 Umkehrfunktion oder inverse Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3.1 Ein einfuhrendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . 1643.3 �bergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . 168

3.3.1 Definition der Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.3.2 Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Inhaltsverzeichnis XI

4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.1 Reelle Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . 1734.1.2 Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.2 Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.2.1 Grenzwert einer Funktion fur x ! x 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.2.2 Grenzwert einer Funktion fur x ! �1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.2.3 Rechenregeln fur Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.2.4 Ein Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung eines

mechanischen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.3 Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.4 Unstetigkeiten (Lucken, Pole, Sprunge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.1 Definition einer ganzrationalen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.2 Konstante und lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.3 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.4 Polynomfunktionen hoheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.5 Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion . . . . . . . 2035.6 Interpolationspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.6.1 Allgemeine Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.6.2 Interpolationspolynom von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.7 Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.2 Nullstellen, Definitionslucken, Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion

im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazitat eines Kugelkondensators . . . . . . . . . . . . 222

7 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

7.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.2 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2257.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.4 Ein Anwendungsbeispiel: Beschleunigung eines Elektrons in einem

elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

8 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8.1 Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische Gleichung2. Grades mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

8.2 Gleichungen eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318.3 Gleichungen einer Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2328.4 Gleichungen einer Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2348.5 Gleichungen einer Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.6 Beispiele zu den Kegelschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

XII Inhaltsverzeichnis

9 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439.2 Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2489.3 Tangens- und Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2499.4 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen . . . . . . 2509.5 Anwendungen in der Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

9.5.1 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) . . . . . . . . . . . . . . 2529.5.1.1 Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . 2529.5.1.2 Harmonische Schwingung eines Federpendels

(Feder-Masse-Schwinger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2579.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . . 2589.5.3 Superposition (�berlagerung) gleichfrequenter Schwingungen . . . . . 2659.5.4 Lissajous-Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

10 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

10.1 Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . 27110.2 Arkussinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27210.3 Arkuskosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27410.4 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27510.5 Trigonometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

11 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

11.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28011.2 Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . 28011.3 Spezielle, in den Anwendungen haufig auftretende Funktionstypen

mit e-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.3.1 Abklingfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.3.2 Sattigungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28511.3.3 Wachstumsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28811.3.4 Gedampfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28911.3.5 Gauß-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

12 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

12.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29212.2 Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . 29512.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

13 Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

13.1 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30013.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30013.1.2 Die Hyperbelfunktionen y ¼ sinh x und y ¼ cosh x . . . . . . . . . 30113.1.3 Die Hyperbelfunktionen y ¼ tanh x und y ¼ coth x . . . . . . . . . 30313.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen . . . . . . . 304

13.2 Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30513.2.1 Definition der Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30513.2.2 Die Areafunktionen y ¼ arsinh x und y ¼ arcosh x . . . . . . . . . . 305

Inhaltsverzeichnis XIII

13.2.3 Die Areafunktionen y ¼ artanh x und y ¼ arcoth x . . . . . . . . . . 30613.2.4 Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen . . . 30713.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berucksichtigung

des Luftwiderstandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

�bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Zu Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Zu Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310Zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Zu Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312Zu Abschnitt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Zu Abschnitt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Zu Abschnitt 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316Zu Abschnitt 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Zu Abschnitt 9 und 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Zu Abschnitt 11, 12 und 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

IV Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

1 Differenzierbarkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

1.1 Das Tangentenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3231.2 Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3241.3 Ableitung der elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

2.1 Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.2 Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3322.3 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3332.4 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3352.5 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3372.6 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3432.7 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3442.8 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3462.9 Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3472.10 Differential einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3502.11 Hohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3522.12 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) . . . . 3542.13 Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . 3572.14 Einfache Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik . . . . . . . . . . . . . . . 361

2.14.1 Bewegung eines Massenpunktes(Geschwindigkeit, Beschleunigung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

2.14.2 Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3642.14.3 Elektrischer Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

XIV Inhaltsverzeichnis

3 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

3.1 Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3663.2 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3683.3 Monotonie und Krummung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.3.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3723.3.3 Krummung einer ebenen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

3.4 Charakteristische Kurvenpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3823.4.1 Relative oder lokale Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3823.4.2 Wendepunkte, Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3883.4.3 Erganzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

3.5 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3943.6 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4003.7 Naherungsweise Losung einer Gleichung nach dem Tangentenverfahren

von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4063.7.1 Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4063.7.2 Tangentenverfahren von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

�bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

Zu Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414Zu Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414Zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

V Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

1 Integration als Umkehrung der Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

2 Das bestimmte Integral als Flacheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

2.1 Ein einfuhrendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4262.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

3 Unbestimmtes Integral und Flachenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

4 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 440

5 Grund- oder Stammintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

6 Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion 446

7 Elementare Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

8 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

8.1 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4538.1.1 Ein einfuhrendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4538.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

Inhaltsverzeichnis XV

8.2 Partielle Integration oder Produktintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4628.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch

Partialbruchzerlegung des Integranden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4688.3.1 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4698.3.2 Integration der Partialbruche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

8.4 Numerische Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4758.4.1 Trapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4768.4.2 Simpsonsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

9 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

9.1 Unendliches Integrationsintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4889.2 Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

10 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

10.1 Einfache Beispiele aus Physik und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49510.1.1 Integration der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49510.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens 49810.1.3 Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes . . . . . 500

10.2 Flacheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50110.2.1 Bestimmtes Integral und Flacheninhalt (Erganzungen) . . . . . . . . . . 50110.2.2 Flacheninhalt zwischen zwei Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

10.3 Volumen eines Rotationskorpers (Rotationsvolumen) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51210.4 Bogenlange einer ebenen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51810.5 Mantelflache eines Rotationskorpers (Rotationsflache) . . . . . . . . . . . . . . . . 52110.6 Arbeits- und Energiegroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52510.7 Lineare und quadratische Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53110.8 Schwerpunkt homogener Flachen und Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

10.8.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53610.8.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Flache . . . . . . . . . . . . . . . . . 53810.8.3 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskorpers . . . . . . . . . . . . . . 544

10.9 Massentragheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54910.9.1 Grundbegriffe und einfache Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54910.9.2 Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55210.9.3 Massentragheitsmoment eines homogenen Rotationskorpers . . . . . 554

�bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

Zu Abschnitt 1 bis 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559Zu Abschnitt 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562Zu Abschnitt 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564Zu Abschnitt 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

XVI Inhaltsverzeichnis

VI Potenzreihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

1 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

1.1 Ein einfuhrendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5701.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

1.2.1 Definition einer unendlichen Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5721.2.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe . . . . . . . . . . . . . . 5731.2.3 �ber den Umgang mit unendlichen Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

1.3 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5781.3.1 Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5791.3.2 Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5831.3.3 Vergleichskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5831.3.4 Leibnizsches Konvergenzkriterium fur alternierende Reihen . . . . . . . . 586

1.4 Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen . . . . . . . . . . . 588

2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

2.1 Definition einer Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5902.2 Konvergenzverhalten einer Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.3 Eigenschaften der Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

3 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

3.1 Ein einfuhrendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5983.2 Potenzreihenentwicklung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599

3.2.1 Mac Laurinsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5993.2.2 Taylorsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6073.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen 608

3.3 Anwendungen der Potenzreihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6103.3.1 Naherungspolynome einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6103.3.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden . . . . . . . . 6213.3.3 Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

3.4 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berucksichtigungdes Luftwiderstandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630

�bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

Zu Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633Zu Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635Zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

VII Komplexe Zahlen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640

1.1 Definition einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6401.2 Komplexe oder Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6431.3 Weitere Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

Inhaltsverzeichnis XVII

1.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6491.4.1 Algebraische oder kartesische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6491.4.2 Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6491.4.3 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6521.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen . . . . . . . . . . 6541.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . 655

2 Komplexe Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

2.1 Grundrechenarten fur komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6632.1.3 Grundgesetze fur komplexe Zahlen (Zusammenfassung) . . . . . . . . . . . 672

2.2 Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6732.3 Radizieren (Wurzelziehen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6752.4 Naturlicher Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681

3 Anwendungen der komplexen Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

3.1 Symbolische Darstellung harmonischer Schwingungen im Zeigerdiagramm 6833.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden Zeiger . . . . . . 6833.1.2 Ungestorte �berlagerung gleichfrequenter Schwingungen . . . . . . . . . . 6873.1.3 Ein Anwendungsbeispiel: �berlagerung gleichfrequenter

Wechselspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6903.2 Symbolische Berechnung eines Wechselstromkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691

3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6913.2.2 Komplexe Wechselstromwiderstande und Leitwerte . . . . . . . . . . . . . . . 6933.2.3 Ein Anwendungsbeispiel: Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung 698

4 Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

4.1 Ein einfuhrendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7014.2 Ortskurve einer parameterabhangigen komplexen Große . . . . . . . . . . . . . . . . 7024.3 Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

4.3.1 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einerInduktivitat (Widerstandsortskurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

4.3.2 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einerKapazitat (Leitwertortskurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706

4.4 Inversion einer Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7074.4.1 Inversion einer komplexen Große (Zahl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7074.4.2 Inversionsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7094.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve . . . . . 711

�bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

Zu Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714Zu Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715Zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717Zu Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719

XVIII Inhaltsverzeichnis

Anhang: Losungen der �bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

I Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

Abschnitt 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723Abschnitt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726Abschnitt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727

II Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

Abschnitt 2 und 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732

III Funktionen und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743Abschnitt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745Abschnitt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747Abschnitt 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749Abschnitt 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749Abschnitt 9 und 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750Abschnitt 11, 12 und 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

IV Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763

V Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774

Abschnitt 1 bis 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774Abschnitt 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776Abschnitt 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779Abschnitt 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

VI Potenzreihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

Inhaltsverzeichnis XIX

VII Komplexe Zahlen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

Abschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797Abschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804Abschnitt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806

Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809

XX Inhaltsverzeichnis

Inhaltsubersicht Band 2

Kapitel I: Lineare Algebra

1 Vektoren2 Reelle Matrizen3 Determinanten4 Erganzungen5 Lineare Gleichungssysteme6 Komplexe Matrizen7 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix

Kapitel II: Fourier-Reihen

1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion2 Anwendungen

Kapitel III: Differential- und Integralrechnung fur Funktionenvon mehreren Variablen

1 Funktionen von mehreren Variablen2 Partielle Differentiation3 Mehrfachintegrale

Kapitel IV: Gewohnliche Differentialgleichungen

1 Grundbegriffe2 Differentialgleichungen 1. Ordnung3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten

Koeffizienten4 Anwendungen in der Schwingungslehre5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten

Koeffizienten6 Numerische Integration einer Differentialgleichung7 Systeme linearer Differentialgleichungen

XXI

Kapitel V: Fourier-Transformationen

1 Grundbegriffe2 Spezielle Fourier-Transformationen3 Wichtige „Hilfsfunktionen“ in den Anwendungen4 Eigenschaften der Fourier-Transformation (Transformationssatze)5 Rucktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich6 Anwendungen der Fourier-Transformation

Kapitel VI: Laplace-Transformationen

1 Grundbegriffe2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssatze)3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion4 Rucktransformation aus dem Bildbereich in den Originalbereich5 Anwendungen der Laplace-Transformation

Anhang: Losungen der �bungsaufgaben

XXII Inhaltsubersicht Band 2

Inhaltsubersicht Band 3

Kapitel I: Vektoranalysis

1 Ebene und raumliche Kurven2 Flachen im Raum3 Skalar- und Vektorfelder4 Gradient eines Skalarfeldes5 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes6 Spezielle ebene und raumliche Koordinatensysteme7 Linien- oder Kurvenintegrale8 Oberflachenintegrale9 Integralsatze von Gauß und Stokes

Kapitel II: Wahrscheinlichkeitsrechnung

1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik2 Grundbegriffe3 Wahrscheinlichkeit4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen5 Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung6 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen8 Pruf- oder Testverteilungen

Kapitel III: Grundlagen der mathematischen Statistik

1 Grundbegriffe2 Kennwerte oder Maßzahlen einer Stichprobe3 Statistische Schatzmethoden fur die unbekannten Parameter einer

Wahrscheinlichkeitsverteilung („Parameterschatzungen“)4 Statistische Prufverfahren fur die unbekannten Parameter einer

Wahrscheinlichkeitsverteilung („Parametertests“)5 Statistische Prufverfahren fur die unbekannte Verteilungsfunktion

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung („Anpassungs- oderVerteilungstests“)

6 Korrelation und Regression

XXIII

Kapitel IV: Fehler- und Ausgleichsrechnung

1 „Fehlerarten“ (systematische und zufallige Messabweichungen).Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung

2 Statistische Verteilung der Messwerte und Messabweichungen(„Messfehler“)

3 Auswertung einer Messreihe4 „Fehlerfortpflanzung“ nach Gauß5 Ausgleichs- oder Regressionskurven

Anhang: Teil A: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung undStatistik

Teil B: Losungen der �bungsaufgaben

XXIV Inhaltsubersicht Band 3