m ist 1, denn a gilt - Universität Rostockstrauss/VLmuster.pdf · Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW¨ 1 J • Inverse bez¨uglich der Multiplikation Das Einheitselement bezuglich

Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 1

J

• Inverse bezuglich der Multiplikation

Das Einheitselement bezuglich der Multipki-kation modulo m ist 1, denn ∀a ∈ Z gilt1 · a ≡ a · 1 ≡ a mod m.


J



Beispiel 1. ? Die multiplikative Inverse von 3modulo 5 ist 2, denn 2 · 3 ≡ 1 mod 5.


J



Beispiel 1. ? Die multiplikative Inverse von 3modulo 5 ist 2, denn 2 · 3 ≡ 1 mod 5. Weg:Tabelle auswerten.


J



Beispiel 1. ? Die multiplikative Inverse von 3modulo 5 ist 2, denn 2 · 3 ≡ 1 mod 5. Weg:Tabelle auswerten.

http://ftp.math.uni-rostock.de/ strauss/Wirtschaft/


? Die multiplikative Inverse von 5 modulo 7 istx ∈ Z mit 5x ≡ 1 mod 7. Da die Unglei-chung fur 0 ≤ x < 7 erfullbar ist, findet manschnell durch probieren (oder Untersuchungder entsprechenden Tabelle x = 3). Das istdie einzige Losung in dem Bereich.


? Die multiplikative Inverse von 5 modulo 7 istx ∈ Z mit 5x ≡ 1 mod 7. Da die Unglei-chung fur 0 ≤ x < 7 erfullbar ist, findet manschnell durch probieren (oder Untersuchungder entsprechenden Tabelle x = 3). Das istdie einzige Losung in dem Bereich.

? Gesucht ist die multiplikative Inverse von 4modulo 8. Das ist ein x ∈ Z mit 4 · x ≡ 1mod 8. Das ist nicht erfullbar, denn 4x− 1ist ungerade und kann kein Vielfaches von 8



sein.


sein.? Nullteiler 2 · 3 = 6 ≡ 0 mod 6



Frage 1: Frage: Wann gibt es multiplika-tive Inverse zu a modulo m?

? Was ist die multiplikative Inverse von 71 mo-dulo 113. Es ist ein x ∈ Z mit 71 · x ≡ 1mod 113. Man kann x einschranken auf0 ≤ x < 113, aber auch dann ist das Losender Gleichung durch Probieren schwierig.



Frage 1: Frage: Wann gibt es multiplika-tive Inverse zu a modulo m?

? Was ist die multiplikative Inverse von 71 mo-dulo 113. Es ist ein x ∈ Z mit 71 · x ≡ 1mod 113. Man kann x einschranken auf0 ≤ x < 113, aber auch dann ist das Losender Gleichung durch Probieren schwierig.Frage 2: Wie berechnet man das multipli-



kative Inverse, wenn es existiert?


kative Inverse, wenn es existiert?



• Eulersche Formel und Radizieren

Verwendung der Eulerschen Formel (1707-1781) liefert bessere Einsicht und eine Losung:

zn = a = reiϕ → z = (reiϕ)1n = n

√reiϕn =

n√

r(cosϕ

n+ i sin

ϕ

n)

Das ist der Fall k = 0.


• Eulersche Formel und Radizieren

Verwendung der Eulerschen Formel (1707-1781) liefert bessere Einsicht und eine Losung:

zn = a = reiϕ → z = (reiϕ)1n = n

√reiϕn =

n√

r(cosϕ

n+ i sin

ϕ

n)

Das ist der Fall k = 0. Wenn man die Pe-riodizitat von sin und cos berucksichtigt, gilt



auch

zn = a = rei(ϕ+2π) → z = (rei(ϕ+2π))1n = n

√reiϕ+2π

n =

n√

r(cosϕ + 2π

n+ i sin

ϕ + 2π

n)

Das entspricht dem Fall k = 1.


auch


√reiϕ+2π

n =

n√

r(cosϕ + 2π

n+ i sin

ϕ + 2π

n)


Beispiel 2. Man lose:

w3 = 1 = cos 0 + i sin 0.


auch


√reiϕ+2π

n =

n√

r(cosϕ + 2π

n+ i sin

ϕ + 2π

n)


Beispiel 2. Man lose:

w3 = 1 = cos 0 + i sin 0.



Losung: w0 = cos 0 + i sin 0 = 1,



w1 = cos(0+ 23π)+ i sin(0+ 2

3π) = −12 + i1

2

√3,



w1 = cos(0+ 23π)+ i sin(0+ 2

3π) = −12 + i1

2

√3,

w2 = cos 43π + i sin 4

3π = −12 − i1

2

√3.



w1 = cos(0+ 23π)+ i sin(0+ 2

3π) = −12 + i1

2

√3,

w2 = cos 43π + i sin 4

3π = −12 − i1

2

√3.

Die Losungen w1, w2, w3 liegen auf dem Ein-heitskreis. (Skizze!)



–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1x



Beispiel 3. Sei z5 = i. Gesucht sind dieLosungen der Gleichung.



Es ist |i| = 1 und ϕ = π2.




Dann ist

zk = cos( π10 + k2π

5 ) + i sin( π10 + k2π

5 ),

k = 0, 1, 2, 3, 4




Dann ist

zk = cos( π10 + k2π

5 ) + i sin( π10 + k2π

5 ),

k = 0, 1, 2, 3, 4

k = 0 :

z0 = cos( π10 + 02π

5 ) + i sin( π10),



arg z0 = 18◦


arg z0 = 18◦

k = 1 :

z1 = cos( π10 + 2π

5 ) + i sin( π10 + 2π

5 ) = i,

arg z1 = 90◦


arg z0 = 18◦

k = 1 :

z1 = cos( π10 + 2π

5 ) + i sin( π10 + 2π

5 ) = i,

arg z1 = 90◦

k = 2 :

z2 = cos( π10 + 22π

5 ) + i sin( π10 + 22π

5 ),

arg z2 = 162◦


arg z0 = 18◦

k = 1 :

z1 = cos( π10 + 2π

5 ) + i sin( π10 + 2π

5 ) = i,

arg z1 = 90◦

k = 2 :

z2 = cos( π10 + 22π

5 ) + i sin( π10 + 22π

5 ),

arg z2 = 162◦

k = 3 :http://ftp.math.uni-rostock.de/ strauss/Wirtschaft/


z3 = cos( π10 + 32π

5 ) + i sin( π10 + 32π

5 ),

arg z3 = 234◦


z3 = cos( π10 + 32π

5 ) + i sin( π10 + 32π

5 ),

arg z3 = 234◦

k = 4 :

z4 = cos( π10 + 42π

5 ) + i sin( π10 + 42π

5 ),

arg z4 = 306◦


z3 = cos( π10 + 32π

5 ) + i sin( π10 + 32π

5 ),

arg z3 = 234◦

k = 4 :

z4 = cos( π10 + 42π

5 ) + i sin( π10 + 42π

5 ),

arg z4 = 306◦

Was ist bei k = 5?

k = 5 :

z5 = cos( π10 + 52π

5 ) + i sin( π10 + 52π

5 ) = z0


z3 = cos( π10 + 32π

5 ) + i sin( π10 + 32π

5 ),

arg z3 = 234◦

k = 4 :

z4 = cos( π10 + 42π

5 ) + i sin( π10 + 42π

5 ),

arg z4 = 306◦

Was ist bei k = 5?

k = 5 :

z5 = cos( π10 + 52π

5 ) + i sin( π10 + 52π

5 ) = z0



–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1x



• Eine Anwendung fur die Diedergruppe D5

z z

z

z z

A

B

C D

E

Wenn man anstelledes Dreiecks das re-gelmaßige Funfeck be-trachtet, hat man beianalogem Vorgehen dieGruppe D5.

Sie soll nicht genau betrachtet werden. Es sollgleich eine Anwendung erlautert werden.



· 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 0 6 7 8 9 5

2 2 3 4 0 1 7 8 9 5 6

3 3 4 0 1 2 8 9 5 6 7

4 4 0 1 2 3 9 5 6 7 8

5 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1

6 6 5 9 8 7 1 0 4 3 2

7 7 6 5 9 8 2 1 0 4 3

8 8 7 6 5 9 3 2 1 0 4

9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Operationstafel der

Gruppe D5.


· 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 0 6 7 8 9 5

2 2 3 4 0 1 7 8 9 5 6

3 3 4 0 1 2 8 9 5 6 7

4 4 0 1 2 3 9 5 6 7 8

5 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1

6 6 5 9 8 7 1 0 4 3 2

7 7 6 5 9 8 2 1 0 4 3

8 8 7 6 5 9 3 2 1 0 4

9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Operationstafel der

Gruppe D5.

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

t1 = (1, 5, 7, 6, 2, 8, 3, 0, 9, 4)

t2 = t21 (5, 8, 0, 3, 7, 9, 6, 1, 4, 2)

t3 = t31 = (8, 9, 1, 6, 0, 4, 3, 5, 2, 7)

t4 = t41 = 9, 4, 5, 3, 1, 2, 6, 8, 7, 0)

t5 = t51 = (4, 2, 8, 6, 5, 7, 3, 9, 0, 1)

t6 = t61 = (2, 7, 9, 3, 8, 0, 6, 4, 1, 5)

t7 = t71 = (7, 0, 4, 6, 9, 1, 3, 2, 5, 8)

t8 = t81 = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

t9 = t91 = t1 = (1, 5, 7, 6, 2, 8, 3, 0, 9, 4)

t10 = t101 = t21 = (5, 8, 0, 3, 7, 9, 6, 1, 4, 2)

Permutationen

von 10 Zah-

len.



Zusammenhang zwischen D5 und Geld

Auf deutschen Geldscheinen (bis 2001) wareine Seriennummer zu finden.



Um den Zusammenhang sichtbar zu machenbraucht man den Buchstabenschlussel:



Buchstaben A D G K L N S U Y Z

stehen fur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9




stehen fur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Seriennr. D Z 8 4 1 6 8 5 0 G 2

dekod. Zahl 1 9 8 4 1 6 8 5 0 2 2

t1(1), t2(9), . . . , t10(2)2 5 2 2 1 2 6 5 5 1 0 2




stehen fur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Seriennr. D Z 8 4 1 6 8 5 0 G 2

dekod. Zahl 1 9 8 4 1 6 8 5 0 2 2

t1(1), t2(9), . . . , t10(2)2 5 2 2 1 2 6 5 5 1 0 2

Diedermultiplikation liefert:



5 · 2︸︷︷︸=8

· 2︸︷︷︸=6

· 1

︸︷︷︸=5

· 2

︸︷︷︸=8

· 6

︸︷︷︸=2

· 5

︸︷︷︸=7

· 5

︸︷︷︸=2

· 1

︸︷︷︸=3

· 0

︸︷︷︸=3

· 2 = 0

︸︷︷︸=0


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