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ARCHIV FUR ELEKTROTECHNIK XLV. BAND 3. H E F T 196o

Magnetisches Moment und magnet ische Ladung Von

J. FISCHER, Karlsruhe

(Eingegangen am 25. Oktober 1959)

Vergleicht man miteinander die magnetischen Felder eines zylindrischen Permanent- magneten und einer eng gewickelten, gleichstromdurchfiossenen Spule gleicher Gestalt, so kann man die Achse und die Stromst~irke der Spule so einrichten, dab die beiden Felder gleich werden, abgesehen yon der unmittelbaren Nachbarschaft der beiden K6rper. Man kann der Spule zwei magnetische Pole zuschreiben, man kann sie als magnetischen Dipol betrachten. Noch anschaulicher wird die 13bereinstimmung, wenn man Dauermagnet und Elektromagnet gleicher Gestalt miteinander vergleicht. Dort ist alles so, wie wenn die Wicklung des Elektromagneten beim Dauermagneten in dessen Mantelfl~tche eingesunken w~ire 1.

Wenden wir uns yon der Felderzeugung weg und der in einem fremden Feld erlittenen Wir- kung zu, so bestehen tiber die Kraftwirkungen auf den Leitungsstromtrfiger keine Zweifel: die Kraft ~ auf einen vom Strom I durchflossenen linearen, geraden Leiter tier Liinge l is t

Die Feldgr6Be ~ , die wir magnetische Induktion nennen, ist hier

= ~ ~?, (~a) und/~ ist die Permeabilit~t des feldcrftillten Raumcs an der Stelle l.

Wie steht es nun beim Permanentmagneten ? Die eingangs genannte Analogie legt cs nahe, die Kraftwirkungen im fremden Feld demselben Vektor ~ proportional zu setzen; der per- manente Magnetismus wird ja nach der Vorstellung, die auf AZdPi~RE zuriickgeht, yon Str6men hervorgebracht, die verlustlos in geschlossenen Bahnen verlaufen. Deswegen liegt es nahe, ftir das Drehmoment ~ und die Kraft ~ zu setzen

=roB• ~ = p . ~ ; (2) hierin ist m B das magnetische Moment, PB die magnetische Ladung 2

Bevor dieser Gedanke zum Ausdruck kam, hat man wohl allgemein gesetzt

~ = m • Y~, l} = PY~. (3)

Da die magnetischen Feldgr6gen B, H und die mechanischen Gr6Ben M, F gegebene, vorweg definierte Gr6Ben sind, werden also dutch die beiden Beziehungen (2) und (3) zwei voneinander verschiedene magnetische Momente IrtB, lit und zwei voneinander versehiedene magnetisehe Ladungen PB, P definiert. Ein rein formal vorgenommener Vergleich wiirde zu der Feststellung ftihren, dab die beiden Gr6Ben zu einander proportional sind und dab der Proportionalit/its- faktor die Permeabilit/it/z ist, und diese Feststellung reicht gewig fiir eine Dimensionsbetrach- tung aus. Abe t Dimensionen schaffen keine Definitionen, es gilt nur umgekehrt : aus Definitio- hen folgen Dimensionen. Es ist deswegen vor einiger Zeit zu der Yrage, wie das magnetische Dipolmoment und die magnetische Ladung zu definieren seien, yon mehreren Autoren Stellung genommen worden a. Die Frage, weleher yon den beiden Ansiitzen (2), (3) zu bevorzugen ist,

1 J. tTISCIIER: AbriB de r I ) a u e r m a g n e t k u n d e , S. 7 1 - - 7 7 . Ber l in , Gb t t i ngen , He i de l be rg : Sp r inge r 1949. 0" Wir vermeiden das Wort,,Menge", denn seine Bedeutung ist umstritten. a J. WALLOT, A. SOMMERFELD, H. DIESSELHORST, E. HALLI~N, W. DORING, L. KNEISSLER. Die me i s t en

Stellen sind zitiert in der Arbeit des Verfassers: Ann. d. Phys. 6. Folge, Bd. 8 (195o) S. 55--64.

Archly f. EMdrotochnik, XLV. Band, 3. neff 1 1

158 J. FISCHER: Magnetisches Moment und magnetische Ladung Archly ftir Elektrotechnik

ist dabei entweder unentschieden geblieben oder nicht einheitlich beantwortet worden. Wit versuchen im Folgenden, zu einer Entscheidung beizutragen, indem wir einen an sich bekannten Sachverhalt anders wiirdigen, als dies bisher geschehen ist.

In der Mechanik spielt d~e Masse, wie man sagen kann, zwei Rollen: als felderzeugende (gravitierende) Masse und als Faktor der Kraft bei der ]3ewegung eines K6rpers. Von diesem Faktor der Kraft verlangt man, dab er eine Eigenschaft des K6rpers ganz allein sei, die in gar keiner Weise beeinflul3t wird durch die Verteilung der Materie in der Umgebung des K6rpers oder durch Anderungen dieser Verteilung.

In der Elektrik spielt die elektrische Ladung, wie man ebenso sagen kann, zwei Rollen : als felderzeugende Ladung und als Faktor der Kraft auf einen Ladungstr~ger:

~ = Q ~ .

Auch bier verlangt man yon dem Faktor Q der Kraft, dab er unver~ndert bleibe, wenn in dem felderftillten Raum die isolierende Materie in irgendeiner Weise ge~ndert wird: hat man etwa an bestimmter Stelle die Kraft ~ festgestellt, ftillt man hierauf, ohne sonst etwas zu ~ndern, den Feldraum mit einer anderen isolierenden Substanz aus und stellt an derselben Stelle eine andere Kraft 9 ' fest, so schliel3t man daraus auf eine andere FeldstRrke ~', well die elektrische La- dung Q des Prtifk~rpers d iese lbe geblieben ist. Die elektrische Ladung des Prtifk6rpers und das umgebende Medium, das elektrisch polarisiert ist, wirken nicht so zusammen, dab man bei einem Wechsel des Mediums eine Anderung der Gr613e derjenigen Ladung, die ftir die Kraft- wirkungen verantwortlich ist, annehmen miil3te. Der Faktor der Kraft ist erhalten geblieben. Wit sprechen deswegen yon dem Erhaltungssatz: bier der elektrischen Ladung, dort der me- chanischen Masse.

Man kann, aber man mul3 nicht so denken. Dies zeigt das folgende einfache I3eispiel: In einem einheitlichen Dielektrikum wird im Abstand r yon einem einzigen Tr~ger der Ladung Q" das elektrische Feld dargestellt durch

Q" ~) = 4y~ g2 ~0

unabh~ngig yon elektrischen Eigensehaften des Mediums; die Feldgr613e ~) beschreibt des Feld sozusagen geometrisch (genauer: ~/Q" tut dies). Wir halten dies fiir vorteilhaft und beschrei- ben deswegen die Kraft im betrachteten Feldpunkt durch

ez ist also der Faktor der Kraft, der dem Priifk6rper eigentiimlich ist. Hierauf fiillen wir den Feldraum mit einer anderen dielektrischen Substanz einheitlich aus; wenn sich dabei die Feld- gr613e ~) nicht ge~ndert hat, mtissen wir die ge~nderte Kraft, die an derselben Stelle mit dem- selben Prtifk6rper gemessen wird, setzen

Hier also ist der Faktor der Kraft, der dem Priifk6rper eigentiimlich ist, nicht derselbe geblie- ben, er hat sich vielmehr mit dem Wechsel des umgebenden Mediums ge~ndert. Ist dieses ein- heitlich, so braucht man gegen diese an sich zul~ssige Definition des Faktors e keine allzu

�9 grol3en Bedenken zu haben. Schwierig aber wird die Sache dann, wenn das umgebende Medium nicht einheitlich ist; dann h~ngt der Faktor e, der dem Priifk6rper eigenttimlich ist, yon der Anordnung der umgebenden K6rper und deren Anderung ab und damit, wie man sagen kann, eben auch noch vom Feldpunkt. Man darf urteilen: wesentlich einfacher und darum zweck- m~13iger ist diejenige Definition, in der ftir den Faktor der Kraft, der dem Prtifk6rper eigen- ttimlich ist, ein Erhaltungssatz gilt.

Wir vertreten nun die Meinung, dab dieses Urteil auch bestimmend sein sollte ft~r die Ent- scheidung dariiber, ob die Definitionen 1~t~, P8 oder m, p vorzuziehen sind. Damit abet f~llt die Entscheidung zugunsten yon m und p nach (3) aus, denn fiir diese Gr613en gilt ein Erhaltungs- satz, ftir die anderen nicht. Man sieht das leicht aus der folgenden Gegeniiberstellung :

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Bei pe rmanen ten (also stabilisierten) Daue rmagne t en geniigt es nicht, die magnet ische In- dukt ion einfach propor t iona l zur magnet i schen Feldsfiirke zu setzen, vielmehr ist

~tot =/~, Y? + ,~P (4)

gesicherter Ausdruck der Er iahrung. Die pe rmanen te magnet isehe Polarisat ion 8P ist eine kon- s tante Gr6Be, die gegeben ist durch den (stabilisierten) magnet ischen Zus tand des Dauer- magneten, sie ist insbesondere unabh/ingig yon der St/irke des Feldes : ~P = const H, und damit ist sie eine ausschlieBlich i n n e r e Eigenschaf t des pe rmanen ten Magneten; man nennt sie auch magnet ische Permanenz . ~ ist eine Eigenschai t der Substanz des Magneten. Zur Unterschei- dung yon ~ = tt s nach (1 a) nennen wir ~ t o t nach (4) die gesamte oder totale magnet ische In- duktion. Der Ansatz (4) ist universell, denn er kann spezialisiert werden auf magnet isch weiche und ant n icht fer romagnet ische Subs tanzen 4, 5, 6. Es ist ausnahmslos div ~ t o t ---~ O .

Die magnet i schen Ladungen erkl~rt man nun als die Quellen des Feldes ~8 :

~m = div ~ = - - div ~P; (5)

~m ist die rSmmliche Dichte der magnet i schen Ladung. Hiernaeh ist auch

am = - - Div ~P (6)

die FKtchendichte der magnet i schen Ladung : dor t also, wo die Norma lkomponen te von ~P un- stetig ist, und das kann nur an der Oberfl~tehe yon Magneten sein, dor t ist der Sitz der ma- gnet ischen L a d u n g e n : am = Jn p.

Wenn man nun als die magnet ische Ladung p eines K6rpervolumens z die Gr6Be

p = f ~,,~ dz (7) T

erklart , so ist dami t zuntichst noch nicht viel gesagt. Man braucht ja nur

p = - - f d iv~P dv = - - r a a , a

= - - ~ fin da (8) a

fiber die ganze Oberfl~che a des Magnetismustrt igers oder tiber eine gr6Bere, diese ganz um- hfillende Fliiche zu integrieren, um zu erkennen, dab dann notwendig p = o wird. Man mug eine eindeutige In tegra t ionsvorschr i f t far (7) fordern, m a n muB auch verlangen, dab die nach dieser Vorschrif t definierte Gr613e p im Prinzip meBbar sei; A n n a h m e n also e twa fiber das magnet ische Feld im Einzelnen im I n n e r n des festen K6rpers dtirfen nicht erforderlich werden. Nun gibt es auf der Oberfliiche jedes magnet i sch polaris ier ten K6rpers eine giirtelartige Zone, auf der die normal zur Oberfl~tche gerichtete K o m p o n e n t e des magnet isehen Feldes sehr klein ist. Die neutrale Zone, an deren Fl~iehenelementen die Norma lkomponen te verschwindet , wird

Von dem Erfahrungssatz (4) unterscheide man die Definitionsgleichung

=~,o~ +,~ der tempor/iren (friiher sagte man : induzierten) magnetischen Polarisation ~. Diese ist proportional zur Feld- sti~rke: ~ = z/t0 ~, verschwindet also mit dieser.

5 Nicht ferromagnetisch: ~P = o, /t/tt o = eonstt/~, 1. Magnetisch weich: ~P = o, # :# constn, tt = ](H) positive, eindeutige Funktion, ffir B/iZoH und fiir dB/l~ o dH kommen Zahlenwerte >~ 1 vor (praktisch lo ~ his lo6). Magnetisch hart: ~P = eonst//:# o,/t/it 0 = const//, kleine Zahlenwerte kommen vor (etwa lo bis L2).

6 Das Induktionsgesetz verlangt einen qnellenfreien Vektor:

d~ aus - - rot ~ = ----

dt

folgt notwendig div d ~ = 0. dt

Aber es ware falsch, diesen quellenfreien Vektor einfach proportional zur magnetischen Feldstiirke zn setzen. Nicht tt ~ ist ein ausnahmslos quellenfreier Vektor, sondern i~ ~ + ~P ----- ~ t o t nach (4) ist das, nnd dieser Vektor, aber nicht/* f), ist im Induktionsgesetz gemeint.

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im allgemeinen unendlich schmal sein; wir nennen sie kttrzehalber die neutrale Linie L. Sie ist eine eindeutige, geschlossene Linie auf der Oberfl/iche des K6rpers, sie teilt diese in zwei Teil- oberfl/ichen A, A', und sie ist die Kontur fiir eine (beliebige) Querschnittsfl~iche q des K6rpers. Dann ist durch

p = - - f J~P dA ---- f B, dA (9) A A

die magnetische Ladung eindeutig definiert. Es kann auch A" statt A stehen; an Stelle einer Teiloberfl/iche kann auch jede gr6gere F1/iehe gew/ihlt werden, die die Teilfl/tche v611ig um- hfillt und mit dieser die neutrale Linie L gemeinsam hat. Die zweite Gleichung (9) sagt aus: die magnetische Ladung p ist definitionsweise gleich dem magnetischen Induktionsflug durch die Teiloberfl/iche A, sie wird also durch diesen magnetischen Flug augerhalb vom Magnetismus- trfiger gemessen. Annahmen fiber das Feld im Innern gehen in die Definition nicht ein. Da ~P eine den magnetischen Zustand kennzeichnende K o n s t a n t e ist, die unabh/ingig ist vom .iiugeren Feld, gilt dasselbe auch ftir Qm, ftir am, fiir p. Die so (9) definierte magnetische Ladung ist ein eindeutiges Kennzeichnen, das unabhfingig ist yon der Permeabilit/it im fiugeren Feld- raum und ihrer Verteilung. Dasselbe gilt f fir das magnetische Moment m.

Die magnetische Ladung PB ist bestimmt durch den HtillenfluB des Vektors gp :

pB=r = f H n d A + fHndq; (lo) a A q

die Httllfl/iche a wird gebildet durch eine Teiloberfl/iche A oder A' und die Querschnittsflfiche q des K6rpers. Der Vektorflug von ~ durch q im Innern des K6rpers muB also bekannt oder be- stimmbar sein, damit PB gegeben werden kann.

Wir w/ihlen nun fiir die zweite Gleichung (9) eine der beschriebenen Flfichen im Augenraum und nehmen an, daB die Permeabilit/it/~ einheitlich sei. Dann 1/igt sich (lo) mit (9) vergleichen ; man findet

P PB = ~ + f nn dq" (11) q

Die magnetische Ladung PB wird hiernach durch die Permeabilit/it und also nach dem Gesagten durch die (stetige oder unstetige) V e r t e i l u n g des # im ~iugeren Feldraum bestimmt, sie ist insofern kein eindeutiges Kennzeichen des Magnetismustr~igers. Sie wird augerdem mitbe- stimmt durch den Vektorflug yon s durch den KSrperquerschnitt q, dessen Kontur die neutrale Linie L i s t .

Nun ist bei 1/ingsmagnetisierten K6rpern die Vernachl/issigung des Vektorflusses durch q um so mehr zul/issig, je gestreckter sie sind. Dieser Flug ist aber keineswegs nur Korrektur- gr6Be bei gedrungenen K6rpern. Bei der homogen magnetisierten Kugel zum Beispiel ist die neutrale Linie L Aquator; die in L eingespannte ebene Kreisfl/iche q wird yon g~ normal durch- setzt, und der TeilfluB yon g~ durch den Querschnitt q ist halb so grog, wie der Teilflug durch eine der Halbkugelfl~ichen A, A'.

Bei dem magnetischen Moment m e tri t t eine Komplikation, wie sie das zweite Glied in (ix) bedeutet, nicht ein. Jedoch b l e i b t die Abh/ingigkeit vonder Permeabilit~it des/iugeren Feld- raumes. Nur wenn diese ortsunabh/ingig (tiberall dieselbe) ist, gilt die einfache Proportionali- t/it lit B = m//z. Ist aber # ortsabh/ingig, so hltngt m B yon dieser Verteilung ab und ~tndert sich mit ihr, zum Beispiel also mit wechselnder Anordnung magnetisierbarer K6rper im Feldraum. Wenn m B und PB nicht eindeutige Kennzeichen des magnetisierten K6rpers sind, wie das bei m u n d p der Fall ist, so wird man geneigt sein, den Definitionen m und p den Vorzug zu geben 7

Dann aber zeigt der Vergleich yon (3) mit (1), dab die Kraftwirkungen nicht durch densel- ben Feldvektor ausgedriickt werden. Ist diese Tatsache denn nicht anst6Big, wenn man yon der AiPi~REsehen Anschauung der geschlossenen Molekularstr6me ausgeht ? Eine Antwort kann man etwa so geben:

Das ffir den lee ren R a u m , # = ~u o, ~ = /*o "~ = ~3o, n a c h (2) def in ie r te m a g n e t i s c h e M o m e n t ntB, o n e n n t m a n wohl a u c h das AMP~REsche, u n d ltt n a c h (3) das CouLolUBsche m a g n e t i s c h e M o m e n t . Die t empor~re m a g n e t i s c h e Po la r i sa t ion ~ i s t der Quo t i en t : m a g n e t i s c h e s M o m e n t m ge te i l t d u r c h Vo lumen , d m = ~ dr.

XLV. Band Heft 3 - - x96o J. FISCHER: Magne t i s ches M o m e n t u n d m a g n e t i s c h e L a d u n g 161

Die r/iumliche Kraftdichte, aus der man die Gesamtbewegungsantriebe der K6rper bercch- net, l~Bt sich ausdriicken als

H = I1 -{- ~2 + ~3 = (~ ~ ~ + etn 3"~ - - f ( g r a d # ) n d H ; (12) s

o

hierin ist ~ = # ~), ferner ist (~ der 6rtliche Weft der Stromdichte in den Leitungsstromtr/igern, @m = div ~3 = - - div ~P ist durch die Verteilung der Permanenztr/iger, grad # ist dutch die Verteilung der Permeabilit/it gegeben. Der Ausdruck (x2) zeigt zun/ichst, dab die Kraftdichte durch dr ei verschiedene Vektoren des magnetischen Feldes bestimmt wird: durch ~ , durch und durch - - g r a d # . Lassen wir nun einfachheitshalber [3 unberficksichtigt, betrachten also den Fall/~ = P0, der ffir nicht ferromagnetische Substanzen eine ausgezeichnete und ftir per- manentmagnetische Substanzen, wie erw/ihnt s, eine sehr brauchbare N/iherung darstellt. Dann haben wir nur die Kraftwirkungen auf die Tr/iger der Wirbel (~ yon ~ und die Kraft- wirkungen auf die Trfiger der Quellen @m yon ~ zu betrachten. Sollten diese beiden Kraft- wirkungen nicht doch durch ein und denselben Feldvektor (entweder nur ~ , oder nur ~) zu beschreiben sein ? Zur Beantwortung kann man einen Satz der Elektrizit/itslehre heranziehen, der aussagt: Hat man einerseits ein Stromdichtefeld (~, andererseits ein Permanenzfeld ~P, so sind die hervorgebrachten magnetischen Felder identisch, wenn der Zusammenhang

rot ~P//, : IN (13)

besteht ". Die Identit/it besteht nicht nur hinsichtlich der hervorgebrachten, sie besteht auch hin- sichtlich der erlittenen Wirkung. ])ann aber ist es ganz gleichgiiltig, ob man sich das magnetische Feld yon Leitungsstromtr/igern (| oder von Permanenztr/igern (~P) hervorgebracht denkt. Die Wesensgleichheit (wenn man so sagen darf) der Kraftwirkungen auf Leitungsstromtr/iger und auf Permanenztr/iger kommt nicht darin zum Ausdruck, dab die beiden Kraftwirkungen mit Hilfe desselben Feldvektors ausgedriickt werden miil3ten, sondern darin, dab die (~-Ver- teilung und die ~P-Verteilung, wenn die Beziehung (13) besteht, in der ausge~ibten wie auch in der erlittenen Wirkung einander vollkommen gleichwertig sind, dab sie in magnetischer Hinsicht nicht voneinander unterschieden werden k6nnen. Es ist deswegen gleichgtiltig, ob man die Kraftwirkungen mit den Wirbeln (~ = rot ~1 oder den Quellen (Ore-----div ~) des Feldes erkl~rt. Es handelt sich hier, im Grunde genommen, nur datum, ob man bei der Be- schreibung des Feldes mit Y~ oder mit ~ beginnen will. Das eine ist ebenso zul/issig wie das andere, denn das magnetische Feld ist durch

~tot : # @ "~- ~,~P , div ~to t : O, rotYp : 0 (14)

aus gegebenen Verteilungen [~, ~P, 0 vollst~indig und eindeutig bestimmt.

Prof. Dr . - Ing . JOHANNES FISCHER, Kar l s ruhe , Techn i sche H o c h s e h u l e Kar l s ruhe , L e h r s t u h l u n d I n s t i t u t fiir t heo re t i s che E l e k t r o t e c h n i k u n d MeBtechnik

s Der A u s d r u c k wird e rha l t en , w e n n m a n d a v o n a u s g e h t , dab (~, ~ P , / , an der Mater ie h a f t e n d e E igenscha f t s - gr6Ben s ind, er s t e h t in 13be re in s t immung m i t den FARADAY-MAXWELLschen S p a n n u n g e n , w e n n diese l a u t e n p = ~ �9 ~ I t - - • �9 ~ ~]2 , u n d die a u s i h m zu z i ehenden F o l g e r u n g e n s t e h e n im E i n k l a n g m i t d e m Energ ie - e r h a l t u n g s s a t z . - - I s t /~ n u r v o m Ort , abe r n i ch t yon de r Feldst / i rke abh/~ngig, so k a n n m a n das d r i t t e Glied

1 i n t eg r i e ren zu i3 = - - H2 grad/~.

2 9 Als Beispie l d e n k e n wi t an e inen ge r aden Kre iszy l inder , des sen Mantelf l i iche e inen g le ichm~Sigen zirku-

la ren S t rombe lag yon de r F1/ ichens t romdichte g tr i igt , u n d an e inen gle ichen Kre iszy l inder , der yon e iner ax ia l ge r i ch te ten , h o m o g e n e n Ver t e i lung ~P erfiillt ist . Gilt Ro t ~P//~ ~ g, so s ind die be iden m a g n e t i s c h e n Fe lder h ins ich t l i ch de r ausge f ib t en u n d der e r l i t t enen W i r k u n g ident i sch . Es i s t v o l l k o m m e n gleichwert ig , ob m a n das e rzeug te m a g n e t i s c h e Feld m i t der ax ia len P e r m a n e n z ~P, oder d e m z i rku la ren S t rombe lag (Fl~chens t rom) erkl~rt , es i s t abe r a u c h ffir K r a f t w i r k u n g e n im f r e m d e n Feld v o l l k o m m e n gleichwert ig , ob m a n erkl~rt , dab die IZraf twi rkung d a d u r c h h e r v o r g e b r a c h t werden , dab der K 6 r p e r L e i t u n g s s t r o m t r ~ g e r sei, oder dadurch , dab er P e r m a n e n z t r ~ g e r sei.