Masterthesis - UNIVERSITY OF WUPPERTALvolkert/Masterthesis Euler.pdf · Band II: Appendix de superficiebus, Kapitel 1: De lineis curvis in genere (Pastell von Emanuel Handmann, 1753,

Bergische Universität Wuppertal

Fachbereich C / Didaktik der Mathematik

Masterthesis:

Übersetzung und didaktische Überlegungen zu

Leonhard Eulers Introductio in analysin infinitorum,

Band II: Appendix de superficiebus,

Kapitel 1: De lineis curvis in genere

(Pastell von Emanuel Handmann, 1753, Kunstmuseum Basel)

vorgelegt von: Eva Verbocket Prüfer: 1. Herr Prof. Dr. Klaus Volkert

Werlofeld 50 2. Nina Friedrich

52525 Heinsberg

923238 Abgabedatum: 22.10.2014

[email protected]

http://de.wikipedia.org/wiki/Kunstmuseum_Basel

mailto:[email protected]

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung ...................................................................................................................... 3

2 Das Phänomen ‚Leonhard Euler‘ ............................................................................... 5

3 Introductio in analysin infinitorum .............................................................................. 8

3.1 Eulers Vorläufer ............................................................................................................. 8

3.2 Ein Lehrbuch für viele Generationen von Mathematikern ........................................... 13

4 De lineis curvis in genere ............................................................................................ 18

4.1 Über Kurven im Allgemeinen ...................................................................................... 19

4.2 Mathematischer Gehalt ................................................................................................. 27

4.3 Umsetzung in der Schule .............................................................................................. 38

4.3.1 Ablauf der Projektwoche .............................................................................................. 38

4.3.2 Übersicht über die einzelnen Stationen ........................................................................ 42

5 Zusammenfassung .................................................................................................... 100

Literaturverzeichnis ................................................................................................................ 102

Erklärung ................................................................................................................................ 105

3

1 Einleitung

„Leonhard Euler (1707-1783) war nicht nur der produktivste Mathematiker der Menschheits-

geschichte, sondern auch einer der größten Gelehrten seiner Zeiten.“1 – So beurteilt Fellmann

die Verdienste des Mathematikers, der nahezu 900 Bücher und Abhandlungen und rund 3000

bekannte Briefe wissenschaftlichen Inhalts verfasste2. Wegen seiner enormen Leistungen wa-

ren Eulers Ansehen und sein Einfluss schon zu seinen Lebzeiten beeindruckend: Er gewann

zwölf internationale Akademiepreise, wobei die acht Preise seiner Söhne de facto auch Euler

zuzuschreiben sind. Wie sehr Eulers wissenschaftliche Ergebnisse geschätzt wurden, zeigt

sich auch daran, dass ihm Louis XVI. für seine „zweite Schiffstheorie“ 1000 Rubel schenkte

und Katharina II. ihn sogar mit dem doppelten Betrag bedachte.3 Da er in fast allen Zweigen

der Wissenschaft und Technik seiner Zeit, in denen die Mathematik eine führende Rolle spiel-

te – wie z.B. in der Mechanik, der Astronomie, der physikalischen Optik und der Demogra-

phie – fundamentale Resultate erzielte4, galt er auch in den Augen der berühmten Mathemati-

ker Leibnitz und Gauß als maßgebender Meister5.

Doch auch mehr als 300 Jahren nach Eulers Geburt sind der Ruf und das Ansehen Eulers un-

gebrochen: Thiele bezeichnet den gebürtigen Baseler als „größten Mathematiker aller Zei-

ten“6, und auch Kropp hält ihn für den „fruchtbarsten Mathematiker aller Zeiten“

7. Gleicher-

maßen erkennt auch Knobloch Eulers Talent und seine Bereicherung für verschiedene Wis-

senschaften an, da er in ihm den „ideenreichsten Mathematiker“ und einen der „größten Ge-

lehrten aller Zeiten“ sieht.8 Da auch Fueter den Mathematiker als den „prominentesten Aus-

landsschweizer“9 bezeichnet, verdienen Eulers Lehrbücher zu Recht die große Wertschätzung,

die sie bei den nachfolgenden Mathematikergenerationen genossen haben. Zu den herausra-

genden Werken des Mathematikers zählen die Lehrbücher zur Analysis des Unendlichen

(1748), zur Differential- (1755) und zur Integralrechnung (1768-1770), in denen Euler die

jeweilige Theorie systematisch darstellt.10

Im Rahmen dieser Masterarbeit soll der zweite

Band der Introductio in analysin infinitorum in den Blickpunkt gerückt werden, da diesem

bislang in der Forschung wenig Beachtung geschenkt wurde. Beispielsweise deklariert Spei-

1 Fellmann, Beiträge zu Leben und Werk, 14.

2 Ebd.

3 Vgl. Ebd., 33.

4 Vgl. Gelfond, 100.

5 Vgl. Kropp, 149.

6 Thiele, 7.

7 Kropp, 149.

8 Knobloch, VIII.

9 Fueter, 2.

10 Vgl. Lexikon der Mathematik, Bd. 2, 88.

4

ser den zweiten Teil des Werkes als „weniger reizvoll“11

als den ersten, obwohl er doch eine

Fülle genialer Einfälle enthalte und seine historische Wirkung groß gewesen sei. Dieses man-

gelnde Interesse der Forschung an dem zweiten Band der Introductio dürfte auch der Grund

dafür sein, dass neben einer englischen und einer französischen Übersetzung keine aktuelle

deutsche Übersetzung des zweiten Bandes vorliegt. Diesem Mangel soll in der vorliegenden

Arbeit abgeholfen werden, da nach einer kurzen Übersicht über Eulers Leben und einer Ein-

ordnung des Lehrbuches in den historischen Kontext das erste Kapitel des zweiten Bandes De

lineis curvis in genere ins Deutsche übersetzt wird. Zudem wird im Rahmen der vorliegenden

Arbeit der mathematische Gehalt des übersetzen Kapitels herausgearbeitet und anschließend

dargelegt, in welcher Form Eulers Text auch noch rund 265 Jahre nach seinem Erscheinen für

Schülerinnen und Schüler zugänglich gemacht werden kann. Es wird das Konzept einer vier-

tägigen Projektwoche vorgestellt, die sich mit ausgewählten Kapiteln von Eulers erstem Kapi-

tel des zweiten Bandes der Introductio beschäftigt und sich an mathematisch und lateinisch

interessierte Schülerinnen und Schüler richtet.

Ziel dieser Masterarbeit ist es somit zum einen, Neugierde und Interesse für den zweiten Band

der Introductio zu wecken, dem in der Forschung bislang (zu) wenig Beachtung geschenkt

worden ist. Zum anderen begibt man sich als Lehrkraft im Rahmen einer Projektwoche mit

den teilnehmenden Schülerinnen und Schülern auf eine Reise ins achtzehnte Jahrhundert, die

den Jugendlichen nicht nur Eulers Abhandlungen über die Anfänge des heutigen ‚Kartesi-

schen Koordinatensystems‘, sondern auch das „Phänomen Euler“12

näherbringen soll.

11

Vgl. Speiser, XX. 12

Fellmann, Beiträge zu Leben und Werk, 31.

5

2 Das Phänomen ‚Leonhard Euler‘13

Bevor im folgenden Kapitel näher auf die Introductio in analysin infinitorum eingegangen

wird, soll zunächst ein kurzer Überblick über den Lebenslauf ihres Autors gegeben werden.

Dabei werden folgende Lebensphasen unterschieden:

1.) Jünglingsjahre in Basel (1707 bis 1727)

2.) Erster Aufenthalt in Petersburg (1727 bis 1741)

3.) Berliner Jahre (1741 bis 1766)

4.) Zweiter Aufenthalt in Petersburg (1766 bis 1783).

Leonhard Euler wurde am 15. April 1707 in Basel als Sohn des Pfarrers Paul Euler und seiner

Frau Margareta Brucker geboren; jedoch verbrachte Leonhard seine Jugend in Riehen, da sein

Vater 1708 als Pfarrer hierhin berufen worden war.14

Die erste Einführung in die Mathematik

empfing Euler von seinem Vater selbst, der daraufhin sein mathematisches Talent erkannte

und ihm ein „mathematisches Privatissimum“15

bei Jakob Bernoulli (1654 bis 1705) ermög-

lichte. Euler, der durchaus kein Wunderkind war, sich jedoch durch einen hartnäckigen, mit

einem phänomenalen Gedächtnis gepaarten Arbeitswillen auszeichnete16

, wurde daraufhin

von seinem Privatlehrer entdeckt, entscheidend gefördert, protegiert und – vor allem! – als

ihm überlegen akzeptiert.17

Bereits mit vierzehn Jahren immatrikulierte er sich an der Basler

Universität und bewarb sich 1726 mit seiner Dissertation über den Schall um eine frei gewor-

dene Physikprofessur, wobei er jedoch wegen seiner Jugend abgelehnt wurde.18

Aus dieser

Frühperiode in Eulers Schaffen stammen neben der erwähnten Dissertatio physica de sono

auch die Meditationes super problemate nautico, die sich mit der Lösung des Problems der

besten Schiffsbemastung beschäftigt.19

Im Jahre 1727 wurde er auf Geheiß Bernoullis an die Akademie der Wissenschaften in Pe-

tersburg vermittelt, wo er 1730 die Physikprofessur der Akademie und 1733 die Mathematik-

professur annahm.20

In Petersburg lernte er auch seine zukünftige gleichaltrige Frau kennen,

die er 1733 ehelichte; sie schenkte ihm dreizehn Kinder, von denen jedoch nur fünf das Säug-

13

Vgl. Fellmann, Beiträge zu Leben und Werk, 31. 14

Vgl. Fueter, 3. 15

Ebd. 16


Vgl. Ebd., 20. 18

Vgl. Fueter, 3. 19

Vgl. Fellmann, Beiträge zu Leben und Werk , 21. 20

Vgl. Fueter, 4 und Fellmann, Beiträge zu Leben und Werk, 25.

6

lingsalter überlebten.21

In dieser ersten Petersburger Periode ist Eulers rein wissenschaftliche

Produktion gewaltig: seine Abhandlungen machen Aufsehen und bringen ihm Weltruf; sein

Ruhm steigt. „Er beginnt in diesen Jahren etwas ganz Neues, was vor ihm noch niemand in

diesem Umfange unternommen hatte: Er schreibt umfangreiche, zusammenfassende Lehrbü-

cher.“22

Bis zu seinem Weggang nach Berlin (1741) verfasste er in Petersburg allein an die

hundert Arbeiten, darunter die 1736 gedruckte zweibändige Mechanik.23

Seine enorme wis-

senschaftliche Produktion ist umso erstaunlicher, zumal er in dieser Zeit durch einen Abszess

sein rechtes Auge verlor24

.

1741 folgte Euler dem Ruf Friedrichs II. und zog mit seiner Familie nach Berlin, wo er an der

Berliner Akademie zwanzig Jahre lang als Direktor der mathematischen Klasse lehrte; nach

dem Tod des Akademiepräsidenten Maupertuis oblag ihm sogar die Leitung der ganzen Aka-

demie – zwar nicht nominell, jedoch substantiell.25

In dieser Berliner Periode schrieb Euler

die ersten beiden seiner drei zusammenfassenden Lehrbücher, die all die Gebiete thematisie-

ren, die sich auf die Infinitisimalrechnung stützen: die Variationsrechnung sowie die berühmt

gewordene zweibändige Introductio, die „Einführung in die Analysis des Unendlichen“. Auch

seine Überarbeitung samt mathematischer Kommentierung des Artilleriebuches New Princip-

les of Gunnery von B. Rubins und sein Werk über das Schiffsingenieurwesen, Scientia na-

valis, stammen aus dieser Schaffensperiode.26

Wegen seines gestörten Verhältnisses zu Friedrich II. beschloss der Mathematiker die Berli-

ner Akademie zu verlassen und wandte sich wieder Petersburg zu, wo er 1766 mit seiner Fa-

milie ankam. Während seines zweiten Aufenthalts in Petersburg wurde er von Katharina II.

gefördert und unterstützt. Obwohl er an Altersstar litt, der auch nicht durch eine Operation im

Jahre 1771 geheilt werden konnte, steigerte er seine wissenschaftliche Produktion ins Unvor-

stellbare.27

Dass trotz dieser Erkrankung von Eulers rund 900 Abhandlungen und Büchern

etwa die Hälfte – darunter auch sein drittes Lehrbuch über die Integralrechnung – aus der

zweiten Petersburger Zeit von 1766 bis zu seinem Tod stammt, spricht für die gewaltige Ge-

dächtniskraft des Mathematikers. Neben einem erstaunlichen Gedächtnis sei das „Phänomen

Euler“28

laut Fellmann an zwei weitere Faktoren gebunden: zum einen an eine gewaltige

21

Vgl. Fueter, 5. 22

Ebd. 23


Knobloch und Fellmann datieren dieses Ereignis auf das Jahr 1735; Fueter und Thiele auf das Jahr 1738. 25

Vgl. Fueter, 16 und Fellmann, Beiträge zu Leben und Werk, 27. 26


Vgl. Fellmann, Beiträge zu Leben und Werk, 25 und Fueter, 17. 28

Fellmann, Beiträge zu Leben und Werk, 31.

7

Konzentrationsfähigkeit und zum anderen an stete, ruhige Arbeit.29

Erschüttert wurde Eulers

Leben in seiner letzten Schaffensperiode jedoch durch den Tod seiner Ehefrau Katharina im

Jahre 1773, mit der er rund vierzig Jahre zusammengelebt hatte.30

Doch fand er in der Halb-

schwester seiner verstorbenen Frau, Salome Abigael Gsell, eine neue Lebensgefährtin, die er

1776 heiratete und auf deren Pflege und Fürsorge der erblindete Euler angewiesen war. Am

18. September 1783 erlitt der Mathematiker mitten in der Arbeit einen Schlaganfall, dem er

nach wenigen Stunden erlag, und hinterließ den nachfolgenden Generationen ein unvorstell-

bar wertvolles Erbe für all die Wissenschaften, in denen Mathematik eine Rolle spielt.31

Trotz seines unfassbaren Talents berichten Eulers Zeitgenossen, dass der Basler sehr beschei-

den und ein angenehmer Zeitgenosse gewesen sei. Er habe nie Prioritätshändel gekannt, so-

dass er zuweilen generös neue Entdeckungen und Erkenntnisse verschenkte: „Er gönnte je-

dem alles und freute sich stets auch an neuen Entdeckungen anderer.“32

. Seine Freunde rühm-

ten ihn nicht nur für seinen Gerechtigkeitssinn sondern auch für seinen selbstlosen Charakter;

dennoch konnte er leicht aufbrausen, wobei sein Zorn ebenso schnell wieder verschwand, wie

er gekommen war.33

Zudem war er unkompliziert, humorvoll und gesellig, kritisch und drauf-

gängerisch und bewahrte sich zeitlebens seine strenge Religiosität, die er aus seinem Eltern-

haus mitgebracht hatte.34

An dieser Stelle sei darauf verwiesen, dass sowohl bei Fellmann als auch bei Fueter und Thie-

le ausführliche Zeittafeln über Eulers Lebenslauf zu finden sind, die einen detaillierten Über-

blick über seine Schaffensperioden, über seine Tätigkeiten an verschiedenen Akademien und

über seine persönlichen Schicksalsschläge liefern, die sein Leben entschieden beeinflusst ha-

ben.35

29

Vgl. Ebd. 30

Vgl. Fueter, 17. 31

Vgl. Ebd. 32

Fellmann, Beiträge zu Leben und Werk, 27. 33

Vgl. Fueter, 22. 34

Vgl. Fellmann, Beiträge zu Leben und Werk, 21 und Fueter, 22. 35

Vgl. Fellmann, L. Euler, 140 ff. und Fueter, 23 und Thiele, 174 ff..

8

3 Introductio in analysin infinitorum

Nach diesem kurzen Einblick in das Leben des Mathematikers soll im weiteren Verlauf der

Masterarbeit sein Werk Introductio in analysin infinitorum im Mittelpunkt der Analysen ste-

hen. Dabei wird in diesem Kapitel zunächst auf den historischen Kontext von Eulers Einlei-

tung in die Analysis des Unendlichen eingegangen und anschließend die Konzeption und Ent-

stehung dieses zweibändigen Lehrbuches thematisiert. Neben einer Übersicht über Eulers

Vorläufer und damit über all die Mathematiker, die sich ebenfalls mit der von Euler themati-

sierten Materie beschäftigten, sollen also auch die Bibliographie der Introductio und Eulers

Praefatio thematisiert werden. Zudem wird auch der Frage nachgegangen, mit welchen Teil-

gebieten der Mathematik sich der jeweilige Band des Lehrbuches beschäftigt.

3.1 Eulers Vorläufer

Da Euler nicht der erste Mathematiker war, der sich mit dem Aufbau eines Koordinatensys-

tems und der Beziehung zwischen Funktionsgraphen und Funktionsgleichungen beschäftigte,

soll in diesem Kapitel ein Überblick über die Entstehung der Idee des Koordinatensystems

gegeben werden. Bei dieser Entwicklung spielten besonders folgende Mathematiker eine zen-

trale Rolle:

1.) Apollonius von Perge (262? bis 190? v. Chr.)

2.) Oresme, Nicole (1323 bis 1382)

3.) René Descartes (1596 bis 1650) und

4.) Pierre Fermat (1601 bis 1665).36

Boyer stellt fest, dass die Arbeiten des Apollonius von Perge als „the first stage in mathemati-

cal development of coordinates“37

interpretiert werden könnten. In seinem Hauptwerk ‘Coni-

ca‘, das aus acht Büchern besteht, systematisierte der griechische Mathematiker die Lehre von

den Kegelschnitten.38

Hier bediente sich Apollonius nicht nur der Bezeichnungen Ellipse,

Parabel und Hyperbel, sondern zeigt in der 27. Proposition seines ersten Buches auch, dass

36

Vgl. Kropp für Lebensdaten der Mathematiker. 37

Boyer, 47. 38

Vgl. Hofmann, Bd. 1, 47 und Kropp, 41.

9

jede Tangente und jeder Durchmesser im Schnittpunkt mit dem Kegelschnitt als sogenannte

‚schiefwinkeliges‘ Achsen bzw. als ‚schiefwinkeliges‘ Koordinatensystem verwendet werden

können.39

Auf diese Weise sieht er bestimmte Hilfslinien, die von einer gegebenen Figur oder

einer Kurve bestimmt werden – wie etwa die Tangente oder den Durchmesser – als eine Art

Koordinatenachsen an40

, wobei er jedoch keine negativen Werte auf den Achsen zulässt41

.

Dennoch stellt diese Konstruktion des Apollonius einen Vorläufer unseres heutigen Kartesi-

schen Koordinatensystems dar, da bei ihm schon ein grundlegendes Verständnis von der An-

ordnung von Koordinatenachsen erkennbar wird. Obwohl Apollonius nicht als Erfinder der

analytischen Geometrie angesehen werden darf, wird sein Werk – wie wir später sehen wer-

den – entscheidend zur Entdeckung der analytischen Geometrie im 17. Jahrhundert beitragen.

Zwar taucht die Idee des Koordinatensystems auch in den frühen amtlichen Landvermes-

sungskarten der Ägypter und in der Astronomie und der Geographie der Griechen auf, aber

bis zur Zeit des Mittelalters wird die graphische Darstellung von veränderlichen Größen nicht

mit der Vorstellung von Koordinaten in Verbindung gebracht.42

Der französische Mathemati-

ker, Naturphilosoph und Theologe Nicole Oresme ist es, der in diesen Zeiten die Entstehung

des heutigen Koordinatensystems entscheidend vorantreibt. In seinem Werk Latitudines for-

marum beschreibt er bei der Berechnung der in diesen Traktaten geometrisch angedeuteten

Zusammenhänge Bewegungen durch die Veränderung von Koordinaten.43

Boyer sieht in der

Arbeit von Oresme die zweite Stufe zur Entwicklung des Kartesischen Koordinatensystems,

da der französische Mathematiker zunächst ein Koordinatensystem festlegt und anschließend

die Punkte der Kurve unter Berücksichtigung dieser Konstruktion bestimmt. Auf diese Weise

könne man bei Oresme „the earliest use of the graphical representation of functions on a co-

ordinate system“44

vorfinden. Diesbezüglich bemerken Coolidge und Youschkevitch, dass

dieser Mathematiker des Mittelalters eine abhängige Variable, Latitudo, in Abhängigkeit von

einer unabhängigen Variable, Longitudo, graphisch darstelle, wobei Latitudo mit dem moder-

nen Begriff ‚Ordinate‘ und Longitudo mit ‚Abszisse‘ gleichzusetzen seien.45

Diese in sein

Koordinatensystem eingetragenen Punkte werden im Folgenden dann durch eine unterbroche-

ne Linie verbunden, wobei Kurven bei Oresme nur in ein oder zwei Fällen auftreten.46

Zudem

findet sich bei ihm nirgends ein Anzeichen dafür, dass er die Vorstellung von einem kurven-

39

Vgl. Coolidge, 122; Scriba & Schreiber, 71f. und Boyer, 23. 40

Boyer, 47. 41

Vgl. Ebd., 27. 42

Vgl. Ebd., 28. 43

Vgl. Hofmann, Bd. 1, 102f.. 44

Boyer, 46f. 45

Vgl. Coolidge, 118 und Youschkevitch, 46f.. 46

Vgl. Coolidge, 118.

10

förmigen Graphen verinnerlicht hätte.47

Aus diesem Grunde zeigt der französische Mathema-

tiker Nicole Oresme zwar ein für seine Zeit beachtliches Verständnis von der allgemeinen

Vorstellung einer Funktion und ihrer graphischen Darstellung, aber auch er ist – ähnlich wie

Apollonius von Perge – eher als Wegbereiter denn als Erfinder der analytischen Geometrie zu

betrachten.48

In der Zeit zwischen 1630 bis 1800 war die Anzahl der Gelehrten, die sich aus heutiger Sicht

für die historische Entwicklung auf wesentliche Art und Weise mit der Mathematik beschäf-

tigten, zahlenmäßig relativ klein. Jedoch standen sie durch Verbreitung ihrer Bücher, ge-

druckter Einzelschriften, durch wissenschaftliche Gesprächszirkel, gedruckte Arbeits- bzw.

Sitzungsberichte der Akademien, Briefwechsel und private Besuche in Kontakt miteinander.

Nicht so die beiden französischen Mathematiker René Descartes (1596-1650) und Pierre de

Fermat (1601-1665), die den Ursprung der Koordinatenmethode nahezu gleichzeitig und im

Wesentlichen unabhängig voneinander um 1637 begründeten.49

René Descartes, latinisiert als Renatus Cartesius, ein Philosoph, der aus einer alten normanni-

schen Adelsfamilie stammt und in der Mathematik die Basis für rationale Vorgehen sieht50

,

veröffentlichte 1637 sein Werk ‚La Geometrie‘. Hier verwendet er als Hilfe dafür, geometri-

sche Probleme zu lösen, einen Vorgänger der modernen Achsengeometrie. Zum einen geht er

davon aus, dass jede Strecke durch eine Zahl repräsentiert werden kann; zum anderen arbeitet

Descartes hinsichtlich der Koordinaten mit einer x-Achse positiver Abszissen.51

Die ‚Ordina-

ten‘ sind Strecken, die schiefwinkelig oder orthogonal an die Abszissenachse angetragen wer-

den, wobei er negative Ordinaten im Gegensatz zu negativen Abszissen anerkennt. Kropp

stellt zudem fest, dass der französische Mathematiker bereits 1637 die bis heute gebräuchli-

chen Symbole und das Prinzip der analytischen Geometrie klar erfasst hatte:

„Indem man der Strecke x der Reihe nach unendlich viele verschiedene Größen beilegt,

erhält man auch unendliche viele für die Strecke y und auf diese Weise unendlich viele

Punkte (...), mit deren Hilfe dann die gesuchte krumme Linie beschrieben werden

kann.“52

.

Als Vorlage für seine Geometrie diente Descartes dabei das siebte Buch der Sammlung des

Pappos, der sich hier auf die Definition der Kegelschnitte des Apollonius beruft.53

Seine

47

Vgl. Coolidge, 118. 48

Vgl. Ebd. 49

Vgl. Scriba & Schreiber, 323f. und Youschkevitch, 52. 50

Vgl. Hofmann, Bd. 2, 5 und Boyer, 74. 51

Vgl. Kropp, 93 und Boyer, 86. 52

René Descartes, zit. nach Kropp, 96. 53

Vgl. Kropp, 94f.

11

Hauptleistung besteht darin, die Beziehungen zwischen der Algebra und der Geometrie von

antiken Beschränkungen befreit und eine Möglichkeit gefunden zu haben, jede Kurve mithilfe

der Achsengeometrie zu konstruieren.54

Descartes Zeitgenosse, Pierre der Fermat, war ein Anwalt, der sehr an den geometrischen Ar-

beiten der klassischen Antike interessiert war und durch das Ringen um die Methoden von

Apollonius zur Koordinatengeometrie geführt wurde. 55

Schon 1629 hat der französische An-

walt das zweite Buch der Loci plani des Apollonius wiederhergestellt und aus den Werken der

großen griechischen Mathematiker wie Apollonios Anregungen für arithmetische und analyti-

sche Probleme entnommen.56

Gegen Ende 1636 verfällt Fermat – ähnlich wie Descartes, von

dessen Arbeiten er damals noch nichts wusste, – auf die achsengeometrische Punktbestim-

mung in der Ebene unter häufiger Verwendung senkrechter Ordinaten.57

Seine Gedanken zur

analytischen Geometrie hält er in der 1636 entstandenen Schrift Ad locos planos et solidos

isagoge fest, in der ‚ebene‘ (Gerade, Kreis) und ‚räumliche‘ (Kegelschnitte) geometrische

Örter thematisiert werden.58

Nach Fermat muss man Gleichungen in zwei Unbekannte (quan-

titatives ignotae) aufstellen – von Variabeln ist hier jedoch noch nicht die Rede; die erste Un-

bekannte, A, entspricht unserer Abszisse x und wird auf einer festen Achse von einem Null-

punkt aus abgetragen.59

Fällt man dann – so Kropp – von einem (nicht auf der Abszissenachse

liegenden) Kurvenpunkt das Lot auf die x-Achse, so erhält man die Ordinate (ordinatim ap-

plicata), y, von Fermat meist durch E bezeichnet. Jedoch legt Fermat in all seinen Arbeiten

noch keine Ordinatenachse fest; er beschränkt seine Ausarbeitungen auf den – dem heutigen

Verständnis nach – ersten Quadranten. Dies hat zur Folge, dass er das Bezugssystem nach

Möglichkeit so anlegt, dass sowohl die Abszisse als auch die Ordinate positiv sind.60

Da Fer-

mats Abhandlung zur Koordinatenmethode erst im Jahre 1679 nach seinem Tode veröffent-

licht worden ist und der französische Anwalt und Mathematiker nichts von Descartes‘ Arbei-

ten wusste, gelten die beiden Franzosen Descartes und Fermat als Erfinder der Achsengeo-

metrie.61

Uneinig ist die Forschung jedoch darin, welcher der beiden Mathematiker weitrei-

chendere Ergebnisse in seinen Arbeiten lieferte. Coolidge geht davon aus, dass Descartes als

Namensgeber des heutigen ‚Kartesischen Koordinatensystems‘ eine wichtigere Basis für die

zukünftige Entwicklung der analytischen Geometrie schuf als seine griechischen Vorgänger

54

Vgl. Coolidge, 128 und Scriba & Schreiber, 328. 55

Vgl. Hofmann, Bd. 1, 50 und Boyer, 74. 56

Vgl. Kropp, 89f.. 57

Vgl. Hofmann, Bd. 2, 21. 58

Vgl. Ebd., 90. 59

Vgl. Kropp, 90f.. 60

Vgl. Kropp, 91 und Boyer, 76. 61

Vgl. Boyer, 82 und Hofmann, Bd. 2, 11.

12

oder sein Zeitgenosse Fermat.62

Auch Kropp vertritt die Ansicht, dass Descartes mit Recht als

Begründer der analytischen Geometrie angesehen wird, da Fermats Abhandlung erst nach

seinem Tod und damit wesentlich später als Descartes Geometrie veröffentlicht wurde.63

Im

Gegensatz dazu vertreten Hofmann und Scriba und Schreiber die Theorie, dass von den karte-

sischen Koordinaten bei Descartes eher noch weniger zu finden sei als bei Fermat und dass

das Wesen der analytischen Methode in der kurzen Abhandlung Fermats deutlicher hervortre-

te als bei seinem Konkurrenten.64

Unabhängig davon, wem der beiden Mathematiker ein grö-

ßeres Verdienst für die weitere Entwicklung der Achsengeometrie gebührt, bleibt festzuhal-

ten, dass beide Mathematiker entschieden zum heutigen Verständnis des Kartesischen Koor-

dinatensystems beitrugen. Ohne diese beiden Mathematiker des 17. Jahrhunderts wäre die

Entstehung der analytischen Geometrie undenkbar.

Trotz ihrer großartigen Ergebnisse sprachen weder Descartes noch Fermat von einem „Koor-

dinatensystem“65

; vielmehr verwendete erst Gottfried Wilhelm Leibniz in einem Brief vom

27.08.1676 an Oldenburg die Begriffe ‚Abszisse‘, ‚Ordinate‘ und ‚Koordinate‘ (1692 in den

Acta eruditorum erschienen).66

Die beiden Brüder Jakob (I) und Johann (I) Bernoulli führten

jedoch als erste die Bezeichnung der ‚cartesischen Koordinaten‘ ein und benannten damit das

Koordinatensystem nach René Descartes, latinisiert Renatus Cartesius.67

Erst bei Newton ist

ein vollständiges Achsenkreuz (mit vier gleichberechtigten Quadranten) zu finden; auf diese

Art und Weise benutzt er nicht nur ebene und (ansatzweise) räumliche kartesische Koordina-

ten in der noch heute üblichen Weise, sondern erkennt negative Koordinaten auch als völlig

gleichberechtigt an.68

Trotz der oben aufgeführten Mathematiker, die sich alle auf ihre Art und Weise mit der Koor-

dinatengeometrie auseinandersetzen, sei darauf verwiesen, dass es für Eulers Lehrbuch Intro-

ductio in analysin infinitorum keine direkten Vorläufer gab – weshalb Eulers Werk umso

mehr Bewunderung verdient.69

Zwar standen die fünf unter J. Bernoullis Leitung in den Jah-

ren 1689 bis 1704 entstandenen Abhandlungen, Positiones arithmeticae de seriebus infinitis

earumque summa finita, als mögliche Vorlage für Eulers Introductio zur Diskussion, wurden

aber aufgrund der inhaltlichen Spannbreite von Eulers Werk als Vorlage verworfen.70

Damit

62

Vgl. Coolidge, 127. 63

Vgl. Kropp, 89. 64

Vgl. Hofmann, Bd. 2, 21f. und Scriba & Schreiber, 329. 65

Vgl. Boyer, 76. 66

Vgl. Scriba & Schreiber, 331 und Youschkevitch, 59. 67

Vgl. Scriba & Schreiber, 331. 68

Vgl. Kropp, 93 und Scriba & Schreiber, 332. 69

Vgl. Krazer & Rudio, VIII. 70

Vgl. Ebd., IX.

13

ist es gerade dieses Fehlen einer direkten Vorlage, das Eulers zweibändiges Lehrbuch so ori-

ginell und unvergleichbar macht.

3.2 Ein Lehrbuch für viele Generationen von Mathematikern

Eulers zweibändiges Lehrbuch zur Einleitung in die Analysis des Unendlichen, das er wäh-

rend seines Aufenthalts in Berlin im Jahre 1745 verfasste, erschien 1748 in voller Ausstattung

bei M. M. Bousquet in Lausanne. Bousquet hatte nämlich von Euler die Vollmacht erhalten,

alle seine Schriften – ausgenommen diejenigen, welche er nach St. Petersburg zu schicken

verpflichtet war – abzudrucken.71

Auf welche Art und Weise Euler Ordnung in das überlieferte Wissensgut brachte und das

mathematisch Relevante systematisch gliederte, vermittelt er dem Leser in seiner Praefatio,

die er dem ersten Band seiner Introductio voranstellte.

Bevor er auf die Einteilung seines Werkes in zwei Bände eingeht, legt Euler seine Absicht

dar, ein leserfreundliches und vollständiges Buch für den an der Mathematik interessierten

Nutzer zu verfassen. Hier wird bereits deutlich, dass die Introductio nach seinem Plan nicht

bloß eine Monographie darstellen sollte, deren Studium das schöpferische Denken anregt und

zu neuen Entdeckungen führt.72

Vielmehr zielt der Basler darauf ab, ein Lehrbuch zu entwer-

fen, das einen pädagogischen Auftrag verfolgt: Es soll den Leser spielend in die schwierigsten

Betrachtungen einführen, indem er an Eulers Entdeckungen, seiner Arbeitsweise und auch an

seinen Fehlversuchen teilhaben darf.73

Nachdem Euler seine Intention klar formuliert hat, geht er auf seine Aufteilung des Lehrbu-

ches in zwei Bände ein und ordnet dabei die beiden Bücher zunächst allgemeinen Themenge-

bieten der Mathematik zu: der erste Band seines Werkes beschäftige sich mit der ‚Höheren

Analysis‘ (ad meram Analysin pertinent74

), wobei der zweite Band sich mit der Thematik

auseinandersetzt, die man zu Eulers Zeiten als Anwendung der höheren Analysis auf die The-

71

Vgl. Fueter, 12 und Kratzer & Rudio, VIIf.; eine ausführliche Bibliographie des Lehrbuches findet sich bei

Kratzer & Rudio, XI. 72

Vgl. Gelfond, 108. 73

Vgl. Fueter, 13f. 74

Krazer & Rudio, Praefatio, 7.

14

orie der Kurven und Flächen – der Geometrie – bezeichnet75

(quae ex Geometria sunt scitu

necessaria, explicavi76

).77

Anschließend legt der Schweizer Mathematiker ausführlich die Inhalte beider Bücher dar und

verfasst auf diese Art und Weise ein für den Leser nützliches Inhaltsverzeichnis. Im Folgen-

den soll allgemein auf die angeführten Themen eingegangen werden, wobei die verwendeten

lateinischen Zitate aus Eulers Praefatio aus dem ersten Band entnommen sind.78

Der größte Teil des ersten Bandes der Introductio, der aus achtzehn Kapiteln besteht, ist der

Theorie der elementaren Funktionen gewidmet einschließlich der Lehre von den unendlichen

Reihen – wie Zahlenreihen, Potenzreihen, rekurrente Reihen und Kettenbrüche. Zudem skiz-

ziert Euler hier die analytische Theorie der trigonometrischen Funktionen. Um einen Über-

blick über die verschiedenen Kapitel des ersten Bandes zu erhalten, sind im Folgenden die

lateinischen Kapitelbezeichnungen mit einer deutschen Übersetzung aufgelistet, die dem

Vorwort des ersten Bandes entnommen sind79

:

1. De functionibus in genere. (Über Funktionen im Allgemeinen)

2. De transformatione functionum. (Über die Umformung von Funktionen)

3. De transformatione functionum per substitutionem. (Über die Umformung von Funkti-

onen durch Substitution)

4. De explicatione functionum per series infinitas. (Über die Darstellung von Funktionen

durch unendliche Reihen)

5. De functionibus duarum pluriumve variabilium. (Über die Funktionen zweier oder

mehrerer Veränderlichen)

6. De quantitatibus exponentialibus ac logarithmis. (Über Exponentialgrößen und Loga-

rithmen)

7. De quantitatum exponentialium ac logarithmorum per series explicatione. (Über die

Darstellung von Exponentialgrößen und der Logarithmen durch Reihen)

8. De quantitatibus transcendentibus ex circulo ortis. (Über transzendente Zahlgrößen,

die aus dem Kreis entspringen)

9. De investigatione factorum trinomialium. (Über die Aufsuchung trinomischer Fakto-

ren)

75

Heute würde man vielleicht von Differentialgeometrie sprechen. 76

Krazer & Rudio, Praefatio, 7. 77

Vgl. Kratzer & Rudio, 7 und Fueter, 12 bzw. Boyer, 181. 78

Vgl. Krazer & Rudio, 7-11. 79

Vgl. Ebd., 1.

15

10. De usu factorum inventorum in definiendis summis serierum infinitarum. (Über den

Gebrauch der gefundenen Produkte zur Bestimmung der unendlichen Reihen durch

Summen)

11. De aliis arcuum atque sinuum expressionibus infinitis. (Über andere unendliche Aus-

drücke für die Bogen und Sinus)

12. De reali functionum fractarum evolutione. (Über die Entwicklung der gebrochenen

Funktionen in reeller Form)

13. De seriebus recurrentibus. (Über die rekurrenten Reihen)

14. De multiplicatione ac divisione angulorum. (Über die Vervielfachung und Teilung von

Winkeln)

15. De seriebus ex evolutione factorum ortis. (Über die Reihen, die der Entwicklung von

Produkten entspringen)

16. De partitione numerorum. (Über die Zerlegung der Zahlen in Teile)

17. De usu serierum recurrentium in radicibus aequationum indagandis. (Über den Ge-

brauch der rekurrenten Reihen bei der Berechnung der Wurzeln der Gleichungen)

18. De fractionibus continuis. (Über Kettenbrüche)

Der zweite Band der Introductio, der 22 Kapitel zzgl. sechs Kapitel Appendix umfasst, setzt

sich vollständig mit der ‚höheren Geometrie‘ (ad Geometriam sublimiorem80

) auseinander.

Dabei werden zunächst Kurven allgemein thematisiert (theoriam linearum curvarum in gene-

re ita proposui81

), sodass die anschließenden Ausführungen auf jeden speziellen Kurventyp

übertragen werden können. Zudem enthält der zweite Band die analytische Geometrie der

Ebene einschließlich einer Kurvendiskussion und einer Übersicht über algebraische und

transzendente Kurven. Des Weiteren beschäftigt sich Euler in diesem Band mit der analyti-

schen Geometrie des Raumes einschließlich der Lehre von den Flächen zweiter Ordnung und

der Behandlung von Raumkurven als Durchschnitt projizierender Zylinder. Die Descartessche

Koordinatenmethode wird vollständig durchgearbeitet und auf den dreidimensionalen Raum

ausgedehnt. Im Anhang findet sich erstmals die Einteilung der Flächen zweiten Grades in fünf

Geschlechter sowie die Eulerschen Formeln zur Koordinatentransformation.

Im Folgenden wird eine Übersicht über alle Kapitel des zweiten Bandes der Introductio ange-

führt, die neben dem lateinischen Titel des jeweiligen Kapitels auch eine eigene deutsche

80


Ebd.

16

Übersetzung enthält. Die lateinischen Originaltitel stammen dabei aus dem Vorwort des zwei-

ten Bandes82

:

1. De lineis curvis in genere. (Über Kurven im Allgemeinen)

2. De coordinatarum permutatione. (Über die Veränderung von Koordinaten)

3. De linearum curvarum algebraicarum in ordines divisione. (Über die Einteilung von

algebraischen Kurven in Reihen)

4. De linearum cujusque ordinis praecipuis proprietatibus. (Über die besonderen Eigen-

schaften von Kurven beliebiger Ordnung)

5. De lineis secundi ordinis. (Über die Kurven zweiter Ordnung)

6. De linearum secundi ordinis subdivisione in genera. (Über die Unterteilung der Kur-

ven zweiter Ordnung in Arten)

7. De ramorum in infinitum excurrentium investigatione. (Über die Aufsuchung von

Zweigen83

, die ins Unendliche verlaufen)

8. De lineis asymptotis. (Über Asymptoten)

9. De linearum tertii ordinis subdivisione in species. (Über die Unterteilung der Kurven

dritter Ordnung in Arten)

10. De praecipuis linearum tertii ordinis proprietatibus. (Über die besonderen Eigenschaf-

ten der Kurven dritter Ordnung)

11. De lineis quarti ordinis. (Über die Kurven vierter Ordnung)

12. De investigatione figurae linearum curvarum. (Über die Aufsuchung der Gestalten von

Kurven)

13. De affectionibus linearum curvarum. (Über die Anordnung/ Eigenschaft von Kurven)

14. De curvatura linearum curvarum. (Über die Krümmung von Kurven)

15. De curvis una pluribusve diametris praeditis. (Über Kurven mit einem oder mehreren

Durchmessern)

16. De inventione curvarum ex datis applicatarum proprietatibus. (Über das Auffinden von

Kurven aus den Eigenschaften der Applikaten)

17. De inventione curvarum ex aliis proprietatibus. (Über das Auffinden von Kurven aus

anderen Eigenschaften)

18. De similitudine et affinitate linearum curvarum. (Über die Ähnlichkeit und die Affini-

tät84

von Kurven)

82

Vgl. Speiser, 1. 83

Gemeint sind die ‚Zweige‘ von Kurven. 84

Diese Bezeichnung ist nach Euler zu einem Terminus technicus geworden.

17

19. De intersectione curvarum. (Über die Schnitte von Kurven)

20. De constructione aequationum. (Über die Konstruktion von Gleichungen)

21. De lineis curvis transcendentibus. (Über transzendente Kurven)

22. Solutio nonnullorum problematum ad circulum pertinentium. (Über die Lösung eini-

ger Probleme, die sich auf den Kreis beziehen)

Appendix

1. De superficiebus corporum in genere. (Über die Oberfläche von Körpern im Allge-

meinen)

2. De sectionibus superficierum a planis quibuscunque factis. (Über den Schnitt von Flä-

chen und beliebigen Ebenen)

3. De sectionibus cylindri, coni et globi. (Über den Schnitt von Zylindern, Kegeln und

Kugeln)

4. De immutatione coordinatum. (Über die Veränderung von Koordinaten)

5. De superficiebus secundi ordinis. (Über die Flächen zweiter Ordnung)

6. De superficierum intersectione mutua. (Über die Schnittmenge zweier Flächen)

Auffällig an dieser Einteilung der Kapitel ist, dass Euler jedem Band zunächst ein allgemeines

Kapitel voranstellt, in dem er die Grundlagen für die folgenden Kapitel zunächst im Allge-

meinen behandelt: so werden dem Leser im ersten Kapitel des ersten Bandes ein fundamenta-

les Wissen über Funktionen (De functionibus in genere) und im ersten Kapitel des zweiten

Bandes prinzipielle Informationen über Kurven (De lineis curvis in genere) vermittelt. Selbst

im Appendix des zweiten Bandes beginnt Euler damit, sich zunächst allgemein mit den Ober-

flächen von beliebigen Körpern auseinanderzusetzen (De superficiebus corporum in genere).

Diese Systematik Eulers unterstreicht zudem den pädagogischen Nutzen und den bereits er-

wähnten didaktischen Auftrag seines Werkes, das nicht einfach eine Abhandlung, sondern

vielmehr ein Lehrbuch für diejenigen Leser sein sollte, die sich in verschiedene Teilgebiete

der Mathematik weiterbilden wollten. Diese didaktische Intention seiner Schrift wird auch

dadurch bestätigt, dass Euler „die Fertigkeit, welche der Infinitesimalkalkül den Mathemati-

kern gegeben hatte, an seinem Vorhof“85

testet. Er lässt also seine damaligen Schüler mit sei-

nem neuen Lehrbuch arbeiten und konnte auf diese Weise den Nutzen seiner Schrift überprü-

fen, wobei dieses Experiment glückte und erfolgreiche Resultate erzielte.

85

Speiser, VII.

18

Am Ende seiner Praefatio entschuldigt sich Euler dafür, nicht all die Mathematiker angege-

ben zu haben, deren Ideen und Ergebnisse er in seinen Ausarbeitungen verwendet hat. Dies

begründet er damit, dass eine ausführliche Auseinandersetzung mit dem historischen Kontext

den Rahmen des Introductio gesprengt hätte (Cum enim mihi propositum esset omnia quam

brevissime pertractare, historia cuiusque problematis magnitudinem operis non mediocriter

auxisset.86

). Zudem hofft der Mathematiker, dass die meisten, die sich mit seiner Einleitung in

die Analysis des Unendlichen auseinandersetzen werden, das Studium seiner Ergebnisse er-

freut und für sie gewinnbringend sein wird (plerisque, qui hoc studio delectantur, non ingrata

esse futura87

). Auch an dieser Einleitung seines Lehrbuches wird erneut die Bescheidenheit

des Baslers deutlich, der – wie bereits erwähnt – einen selbstlosen und gütigen Charakter ge-

habt haben soll und seine Leser gerne an seinen Forschungen teilhaben ließ.

Seine eigene Meinung zu diesem Buch äußerte Euler bereits in einem Brief an Goldbach vom

4. Juli 1744, sodass die Vermutung naheliegt, dass der Mathematiker die Introductio bereits

vor 1748 verfasste. In diesem Brief bezeichnet Euler sein Werk als „Prodomus ad Analysin

infinitorum“ 88

, also als Eilboten für die Analysis im Unendlichen. Trotz aller Bescheidenheit

verfügte er also auch über ein Selbstbewusstsein, das ihn den großen Nutzen der Introductio

für die kommenden Mathematikergenerationen erkennen lässt.

4. De lineis curvis in genere

Nach diesen allgemeinen Informationen zu den beiden Bänden der Introductio soll im Fol-

genden näher auf das erste Kapitel des zweiten Bandes, De lineis curvis in genere, eingegan-

gen werden. Wie bereits erwähnt, handelt es sich bei dabei um eine Art Einleitung in die

Themen des zweiten Bandes: also um die Kurven im Allgemeinen. Neben einer Übersetzung

sollen auch der mathematische Gehalt dieses Kapitels analysiert und anschließend verschie-

dene didaktische Überlegungen für die Umsetzung dieses lateinischen Textes – rund 265 Jah-

re nach seinem Erscheinen – in der Schule angeführt werden.

86


Ebd. 88

Fellmann, L. Euler, 69.

19

4.1 Über Kurven im Allgemeinen

Da eine ausführliche Bibliographie der Introductio dem Vorwort des ersten Bandes entnom-

men werden kann, sei hier lediglich darauf verwiesen, dass die verwendeten Zeichnungen

dem lateinischen Originaltext aus der Auflage von Speiser entnommen worden sind. Zudem

wurden bei der Übersetzung zum einen die englische Übersetzung ‚Introduction to Analysis

of the Infinite – Book II‘ von Blanton und zum anderen die französische Übersetzung ‚Intro-

duction a l’analyse infinitésimale – Tome second‘ von Labey zu Rate gezogen.

Übersetzung von L. Eulers Introductio in analysin infinitorum – Band II, Kapitel 1

Kapitel 1

Über Kurven im Allgemeinen

1. Im Allgemeinen wird eine veränderliche Größe als eine Größe betrachtet, die alle be-

stimmten Größen beinhaltet. In der Geometrie wird eine derartige veränderliche Größe durch

die gerade, unendliche Linie RS (Fig. 1) veranschaulicht. Da es nämlich erlaubt ist, bei einer

unendlichen Geraden eine beliebige be-

grenzte Strecke von wohlbestimmter

Größe abzuschneiden, bietet diese Gera-

de dem Geist dieselbe Vorstellung an wie eine veränderliche Größe. Zuerst muss also auf der

unendlichen Geraden RS ein Punkt A89

gewählt werden, von wo aus die begrenzte abzu-

schneidende Größe ihren Anfang nehmen soll; so wird jede Strecke AP einen endlichen Wert

veranschaulichen, der in der veränderlichen Größe enthalten ist.

2. Sei also x eine veränderliche Größe, die durch die unendliche Gerade RS veranschaulicht

wird. Dann ist es deutlich, dass alle bestimmten Werte von x (selbst)90

, die allerdings alle reell

sind, durch auf der Geraden RS abzuschneidende Teile wiedergegeben werden können. Ist der

Punkt P identisch mit dem Punkt A, so wird das verschwindende Intervall den Wert

89

An dieser Stelle sei darauf verwiesen, dass Euler die Buchstaben keineswegs immer eindeutig verwendet, wie

es z.B. bei dem Buchstaben M später der Fall sein wird. 90

Euler verwendet in Verbindung mit x und y stets eine Form von ipse („selbst“; meist den Genitiv Singular

ipsius) vermutlich um den Kasus des x oder y zu verdeutlichen. In der deutschen Übersetzung soll dieser Ge-

nitiv Singular ipsius jedoch nicht wiedergegeben werden.

20

wiedergeben; je mehr aber der Punkt P von A wegbewegt wird, umso größer wird der be-

stimmte Wert von x, der durch das Intervall AP wiedergegeben werden wird.

Diese Intervalle AP aber werden Abszissen genannt.

So stellen die Abszissen die bestimmten Werte der Veränderlichen x dar.

3. Weil aber die unendliche Gerade RS auf beiden Seiten von A ins Unendliche verläuft, kön-

nen auch von beiden Seiten alle Werte von x abgeschnitten werden. Wenn wir aber nun die

positiven Werte von x durch das Fortschreiten rechts von A abschneiden werden, werden die

Intervalle AP, die links abgetrennt worden sind, negative Werte für x liefern. Umso weiter der

Punkt P nach rechts von A wegbewegt wird, umso größer wird der Wert von x, der durch das

Intervall AP angezeigt wird. Umso mehr der Punkt P nach links bewegt wird, umso kleiner

wird der Wert von x, und wenn P zu A gelangen sollte, möge sein. Wohingegen die

Werte von x kleiner als Null werden, das heißt negativ, wenn P weiter nach links von A weg-

bewegt werden sollte.91

Deshalb sind die Intervalle AP, die links von A abgetrennt worden

sind, negative Werte von x, da ja die Intervalle AP, die rechts weggenommen worden sind,

positive Werte angeben sollen. Willkürlich aber ist, welche Seite dazu ausgewählt wurde,

positive Werte von x darzustellen: entsprechend wird die entgegengesetzte Seite immer die

negativen Werte von x darstellen.

4. Wenn also die unendliche Gerade die Variable x wiedergibt, möchten wir sehen, wie eine

beliebige Funktion

von x möglichst

passend geomet-

risch dargestellt

werden kann. Sei y

eine beliebige

Funktion von x,

sodass y also einen bestimmten Wert annimmt, wenn für x ein begrenzter Wert eingesetzt

wird. Nachdem die unendliche Gerade RAS (Fig. 2) ausgewählt worden ist, um die Werte von

x anzuzeigen, wird für jeden beliebigen Wert von x das entsprechende Intervall AP festgelegt

und (dann) die Senkrechte zu AP der Länge PM errichtet, was dem Wert von y entspricht. Ist

der Wert von y positiv, dann soll PM oberhalb der Geraden RS liegen, wenn aber der Wert

von y negativ ist, soll die Senkrechte (bzw. PM) unterhalb der Geraden RS liegen. Nachdem

91

Obwohl diese Formulierungen den Eindruck erwecken, den Unterschied zwischen positiven und negativen

x-Werten mehrmals zu beschreiben, lassen sich diese Darlegungen auf ebendiese Art und Weise im lateini-

schen Originaltext finden.

21

die positiven Werte von y oberhalb der Geraden RS angeordnet worden sind, liegt für

der Wert von y auf der Geraden RS und für negative Werte von y unterhalb der Geraden RS.

5. Die Figur (zwei) stellt also y als Funktion von x dar; macht man in ihr , so ergibt sich

ein positiver Wert = AB; nimmt man x , so erhält man . Für wird

und für nimmt die Funktion einen negativen Wert an. Folglich liegt die Senkrechte

pM dann unterhalb der Geraden RS. Analog werden auch die Werte von y, welche zu negati-

ven Werten für x gehören, durch Senkrechte dargestellt. Diese liegen oberhalb von RS, falls

sie positiv sind; im entgegengesetzten Fall müssen sie – wie pm – unterhalb der Geraden RS

angeordnet werden. Sollte sich jedoch für irgendeinen Wert von x, wie beispielsweise

, ergeben, so wird die Länge der Senkrechten Null.

6. Wenn also auf diese Weise für alle endlichen Werte von x die entsprechenden Werte von y

bestimmt werden, werden zu den einzelnen Punkten P, die auf der Geraden RS liegen, die

Senkrechten PM errichtet, die die Funktionswerte y angeben. Diese Senkrechten PM schnei-

den unterschiedliche Abschnitte P auf der Geraden RS ab (= mit verschiedenen Punkten M für

verschiedene Punkte P). Dabei werden die Punkte M oberhalb der Geraden RS liegen, falls

die Werte von y positiv sind, oder unterhalb von der Geraden RS, falls die Werte von y nega-

tiv sind, oder auch auf der Geraden RS, falls , wie es bei den Punkten D und E ge-

schieht. Alle diese einzelnen Endpunkte M der Senkrechten werden eine Linie92

bilden, sei es

eine Gerade oder sei es eine Kurve, die also so durch die Funktion y bestimmt wird. Aus die-

sem Grunde wird jede beliebige Funktion von x, die auf diese Art und Weise in die Geometrie

übertragen worden ist, eine gewisse Linie – sei es eine Gerade oder eine Kurve – festlegen,

deren Gestalt von der Natur der Funktion f abhängen wird.

7. Demnach ist die Kurve, die sich aus der Funktion y ergibt, vollständig bekannt, da ja alle

ihre Punkte durch die Funktion y festgelegt werden; für alle einzelnen Punkte P steht nämlich

die Länge der Senkrechten PM fest, deren Endpunkt M auf der Kurve liegt, und so werden

alle Punkte der Kurve gefunden. Wie auch immer die Kurve bestimmt wird, von ihren einzel-

nen Punkten können Senkrechte auf die Geraden RS errichtet werden. So erhält man Interval-

le AP, die die Werte für ein endliches x angeben, und Längen der Senkrechten PM, die die

Funktionswerte y wiedergeben. Infolgedessen gibt es keinen Punkt auf der Kurve, der nicht

auf diese Weise durch die Funktion y bestimmt wird.

92

Euler verwendet die Bezeichnung ‚Linie‘ als Oberbegriff für (gekrümmte) ‚Kurven‘ und ‚Geraden‘.

22

8. Obwohl ziemlich viele Kurven durch eine stetige Bewegung eines Punktes mechanisch

beschrieben werden können und sich auf diese Weise zugleich eine vollständige Kurve den

Augen darbietet, werden wir hier hauptsächlich solche Kurven beachten, die von Funktionen

abstammen, weil diese geeigneter für analytischen Umgang und passender für Rechnungen

sind. Jede beliebige Funktion von x wird also irgendeine Linie liefern – sei es eine Gerade

oder eine Kurve -, weshalb es ebenfalls erlaubt sein wird, zu den Linien eine Funktionsglei-

chung zu bilden. Also wird die Gestalt dieser Linien durch eine derartige Funktion von x aus-

gedrückt, die immer die wahre Länge der Senkrechten MP anzeigen soll, während die Inter-

valle AP, welche zu den Senkrechten MP aus den einzelnen Punkten M der Kurve auf die

Geraden RS gehören, durch veränderliche x angezeigt werden. (= Also wird die Gestalt jeder

Kurve durch eine Funktion von x ausgedrückt. Diese ist dadurch festgelegt, dass das Lot, das

aus dem Punkt M auf die Gerade RS gefällt wird, wobei P den Ausgangspunkt darstellt, der

auf der Geraden RS liegt, diese Funktion darstellt. Also gibt die Länge des Intervalls AP den

Wert von x und die Länge der Senkrechten PM den entsprechenden Funktionswert an.)

9. Aus diesem Verständnis von Kurven folgt sofort die Unterscheidung von stetigen93

, unste-

tigen sowie gemischten Kurven. Das heißt, die Gestalt einer stetigen Kurve wird durch eine

einzige Funktion von x festgelegt werden. Wenn aber eine Kurve so aufgebaut ist, dass ver-

schiedene Teile von ihr, wie BM, MD, DM etc., durch verschiedene Funktionen von x ausge-

drückt werden, sodass, nachdem gemäß einer Funktion der Teil BM bestimmt worden ist,

dann gemäß einer anderen Funktion der Teil MD beschrieben wird, so nennen wir derartige

Kurven unstetig oder gemischt oder irregulär. Dies liegt daran, dass sie nicht von einer einzi-

gen konstanten Vorschrift beschrieben, sondern aus Teilen verschiedener stetiger Kurven zu-

sammengesetzt werden.

10. In der Geometrie aber werden hauptsächlich stetige Kurven thematisiert. Im Folgenden

soll gezeigt werden, dass ebendiese Kurven, die durch eine einfache Bewegung gemäß einer

gewissen unveränderlichen Regel mechanisch beschrieben werden, auch durch eine einzige

Funktion ausgedrückt werden können und deshalb stetig sind. Sei also mEBMDM eine stetige

Kurve, deren Gestalt irgendeine Funktion von x beinhaltet, welche wir y nennen. Es steht fest,

dass, wenn wir endliche Werte von x auf der Geraden RS von dem festgelegten Punkt A aus

abtragen, dann die entsprechenden Werte von y die Längen der Senkrechten PM angeben.

93

Bei Euler bezieht sich ‚stetig‘ immer auf Kurven und nicht auf Funktionen.

23

11. Bei unseren Erklärungen zu Kurven sollten gewisse Bezeichnungen festgehalten werden,

von denen in der Lehre der Kurven sehr oft Gebrauch gemacht wird.

Zuerst also wird die Gerade RS, von der die Werte von x abgeschnitten werden, Achse oder

Direktrix genannt.94

Der Punkt A, von dem die Werte für x abgetragen werden, wird der Ursprung der Abszissen

genannt. (Koordinatenursprung)

Die Teile der Achse AP jedoch, die die endlichen Werte von x wiedergeben, werden Abszis-

sen genannt (x-Koordinaten).

Die Senkrechten PM, die sich vom Ausgangspunkt P bis zur Kurve erstrecken, erhielten den

Namen Applikaten95

.

In diesem Fall werden sie normale oder orthogonale Applikaten genannt, weil sie ja mit der

Achse einen rechten Winkel bilden; wenn aber in ähnlicher Art und Weise die Applikaten PM

einen schiefen Winkel mit der Achse bilden können, werden sie schiefe Applikaten genannt.

Wir werden hier immer die Gestalt der Kurven durch senkrechte Applikaten beschreiben, au-

ßer es wird ausdrücklich das Gegenteil angegeben.

12. Wenn also irgendeine Abszisse AP durch die Variable x dargestellt wird, sodass ,

dann wird der Funktionswert y die Länge der Applikate PM angeben, und es wird gelten

. Die Gestalt der Kurve, angenommen sie sei stetig, wird also von der Gestalt der

Funktion y abhängen – das heißt von der Art und Weise, wie irgendein y aus x und aus ir-

gendwelchen Konstanten zusammengesetzt wird. Auf der Achse PS wird also der Teil AS der

Ort für positive Abszissen, der Teil AR für negative Abszissen sein; dann aber wird oberhalb

der Achse RS eine Gegend von positiven Applikaten, unterhalb der Achse RS aber die Ge-

gend für negative Applikaten sein.96

13. Wenn also aus jeder beliebigen Funktion von x eine stetige Kurve entsteht, wird auch

durch letztere jene Funktion erkannt und beschrieben werden. Zuerst nämlich sollen die posi-

tiven Werte von x von 0 bis erfolgreich zugeteilt und für die einzelnen Werte entsprechen-

94

Entspricht dem modernen Begriff „x-Achse“ oder „Abszissenachse“. 95

Eulers Bezeichnung ‚Applikate‘ entspricht dem modernen Begriff ‚Ordinate‘. Jedoch soll hier die Bezeich-

nung ‚Applikate‘ beibehalten werden, da Euler den Begriff ‚Ordinate‘ für ein anderes mathematisches Objekt

verwendet. 96

In diesem und im folgenden Paragraphen wird also der Punkt A als Koordinatenursprung betrachtet.

24

de Funktionswerte y gesucht werden, die durch die Applikaten entweder oberhalb oder unter-

halb (der Achse) wiedergegeben werden – je nachdem, ob die Werte entweder positiv oder

negativ sind; so wird der Teil der Kurve BMM entstehen. Als nächstes sollen auf ähnliche Art

und Weise alle negativen Werte von x von 0 bis - zugeteilt werden, und die entsprechenden

Werte von y werden den Teil der Kurve BEm bestimmen, und so wird die gesamte Kurve, die

in der Funktion enthalten ist, dargestellt werden.

14. Weil y die Funktion von x ist, wird entweder y eine explizite Funktion von x sein, oder es

ist eine Gleichung in x und y gegeben, wodurch y durch x bestimmt wird: in beiden Fällen

wird eine Gleichung entstehen, die die Gestalt der Kurve ausdrücken wird. Deswegen wird

die Gestalt einer beliebigen Kurve durch eine Gleichung zwischen zwei Variabeln x und y

festgelegt. Dabei gibt die eine Variable x die Abszissen an, die auf der Achse liegen und den

Punkt A als Ausgangspunkt haben, und die andere Variable y gibt die zu der Achse senkrecht

stehenden Applikaten an. Die Abszissen und die Applikaten jedoch werden zusammen be-

trachtet orthogonale Koordinaten genannt; infolgedessen soll die Gestalt der Kurve durch die

Gleichung zwischen den orthogonalen Koordinaten definiert werden, vorausgesetzt die Glei-

chung definiert y als eine Funktion von x.

15. Da wir die Kenntnisse über Kurven auf Wissen über Funktionen zurückgeführt haben, gibt

es so viele verschiedene Arten von Kurven, wie wir oben97

verschiedene Arten von Funktio-

nen gesehen haben. Aus diesem Grund erscheint es also sinnvoll, zwischen algebraischen und

transzendenten Kurven zu unterscheiden. Eine Kurve sei algebraisch, wenn die Applikate y

eine algebraische Funktion der Abszisse x ist; oder wenn die Gestalt der Kurve durch eine

algebraische Gleichung zwischen den Koordinaten x und y ausgedrückt wird. Diese Art von

Kurven wird gewöhnlich auch geometrische genannt. Eine Kurve ist dagegen dann transzen-

dent, wenn ihre Gestalt durch eine transzendente Gleichung zwischen x und y ausgedrückt

wird, das heißt, dass y eine transzendente Funktion von x wird. Das ist die grundlegende Un-

terscheidung bei stetigen Kurven, wobei diese entweder algebraisch oder transzendent sind.

16. Um aber die Kurve zu einer gegebenen Funktion von x, durch die die Applikate y ausge-

drückt wird, beschreiben zu können, muss insbesondere beachtet werden, ob die Natur der

Funktion entweder einwertig oder aber mehrwertig ist.98

Als erstes setzen wir voraus, dass y

97

Vgl. Introductio Band 1, Kapitel 1, Paragraph 7: „Functiones dividuntur in algebraicas et transcendentes;

illae sunt, quae componuntur per operationes algebraicas solas; hae vero, in quibus operationes transcenden-

tes sunt.“. 98

In der heutigen Analysis werden jedoch nur einwertige Funktionen behandelt.

25

eine einwertige Funktion von x ist, also sei, wobei P irgendeine einwertige Funktion

von x beschreibt. Für jeden beliebigen Wert von x hat auch die Applikate y einen einzigen

bestimmten Wert. Jeder einzelnen Abszisse wird eine einzige Applikate zugeordnet werden,

und deswegen wird die Kurve folgendermaßen beschaffen sein: Trägt man von einem beliebi-

gen Punkt P auf der Achse RS die Applikate PM ab, so wird diese die Kurve immer nur in

einem einzigen Punkt M schneiden. Also werden den einzelnen Punkten auf der Achse ein-

zelne Punkte auf der Kurve zugeordnet werden; weil die Achse auf beiden Seiten ins Unend-

liche verläuft, wird auch die Kurve auf beiden Seiten ins Unendliche laufen. Die Kurve, die

aus einer derartigen Funktion entstanden ist, wird sich in einem stetigen Verlauf auf beiden

Seiten mit der Achse ins Unendliche erstrecken, wie die Figur 2 zeigt, wo die Kurve mE-

BMDM beiderseits ohne irgendeine Unterbrechung ins Unendliche verläuft.

17. Sei y eine zweiwertige Funktion von x, seien also P und Q beides einwertige Funktionen

von x, und sei , sodass √ Also werden jeder einzelnen Abs-

zisse x zwei Applikaten y zugeordnet, beide entweder reell oder komplex, wobei y für

reell und für komplex

ist. Solange also beide Werte von y

reell sind, werden der Abszisse AP

zwei Applikaten PM, PM zugeordnet

werden (Fig. 3), sodass die Senkrechte

zu der Achse im Punkt P die Kurve in

zwei Punkten M und M treffen wird.

Sobald aber gilt, wird die Abszisse x dort keinen Koordinaten zugeordnet werden;

die Senkrechte zu der Achse wird in diesen Punkten niemals die Kurve schneiden, wie das bei

Punkt p in Figur 3 der Fall ist. Aber falls vorher gegolten hätte, hätte nicht

gelten können, außer für den Fall , der die Grenze zwischen reellen und komplexen

Applikaten darstellt. Sobald also die reellen Applikaten verschwinden, wie in C oder G, gilt

dort , und beide Applikaten sind gleich, sodass sich dort die Kurve zurückbiegt.

18. In Figur 3 wird deutlich, dass, solange die Abszisse negativ ist und x zwischen den Gren-

zen AC und AE liegt, die Applikate komplex ist, und es gilt ; links neben E werden

die Applikate wieder reell, was nicht geschehen kann, außer in E gilt , weshalb beide

Applikaten gleich sind. Dann wieder werden den Abszissen AP zwei Applikaten Pm, Pm zu-

geordnet, solange bis wir zu G kommen, wo diese beiden Applikaten gleich werden. Links

von G werden sie schließlich imaginär. Auf diese Art und Weise kann eine Kurve aus zwei

26

voneinander getrennten Teilen, wie MBDBM und FmHm, oder aus mehreren Teilen bestehen.

Dennoch müssen diese Teile als zusammengehörig betrachtet und somit als eine einzige steti-

ge oder reguläre Kurve angesehen werden, weil diese einzelnen Teile aus ein und derselben

Funktion hervorgehen. Diese Kurven haben also die Eigenschaft, dass, wenn in einzelnen

Punkten der Achse die Senkrechten MM gebildet werden, diese immer die Kurve entweder

gar nicht oder in zwei Punkten schneiden; außer die zwei Punkte fallen zusammen, wie das

bei den Applikaten in den Punkten D, F, H und I der Fall ist.

19. Wenn x eine dreiwertige Funktion von x ist, oder wenn y durch eine Gleichung der Form

definiert wird, wobei P, Q und R einwertige Funktionen von x sind,

dann wird für einen beliebigen Wert von x die Applikate y drei Werte haben, die entweder

alle reell sind, oder nur einer ist reell und die anderen beiden sind komplex. Alle Applikaten

werden infolgedessen die Kurve entweder in drei Schnittpunkten schneiden oder nur in einem

einzigen, außer wenn zwei oder auch drei Schnittpunkte identisch sind. Wenn also jeder ein-

zelnen Abszisse wenigstens eine reelle Applikate zugeordnet werden kann, ist es notwendig,

dass die Kurve auf beiden Seiten mit der Achse ins Unendliche verläuft. Also besteht die

Kurve entweder aus einem einzigen stetigen Teil,

wie in Figur 4, oder aus zwei voneinander ge-

trennten Teilen, wie in Figur 5, oder aus einer

größeren Anzahl von Teilen, die dennoch alle

zusammen gehören und dieselbe stetige Kurve

bilden.

27

4.2 Mathematischer Gehalt

Um die Mitte des 18. Jahrhunderts – also in der Entstehungszeit der Introductio – beschäftig-

ten sich die Mathematiker aus dem Zeitalter der Aufklärung hauptsächlich mit folgenden bei-

den Aspekten der Achsengeometrie bzw. der Koordinatenmethode:

1.) Ort der Handlung ist der zwei- oder dreidimensionale euklidische Raum.

2.) Koordinaten sind kartesisch, in besonderen Fällen auch schiefwinkelig – affin oder aus-

nahmsweise ebene oder räumliche Polarkoordinaten.99

In leicht abgewandelter Form werden diese Themen auch, wie wir im Folgenden sehen wer-

den, im ersten Kapitel des zweiten Bandes thematisiert. Euler geht hier auf den zweidimensi-

onalen euklidischen Raum und auf kartesische Koordinaten ein, wobei jedoch in seiner Intro-

ductio diese Bezeichnung noch nicht zu finden ist.

Im ersten Paragraphen des ersten Kapitels stellt Euler eine Beziehung zwischen der Geome-

trie und der Analysis her, wodurch er die beiden Bände seiner Introductio miteinander ver-

bindet und die Ergebnisse seines ersten Bandes ausschlaggebend für seine Abhandlungen im

zweiten Band werden. Diese Verknüpfung der beiden Bücher bewirkt der Mathematiker

dadurch, dass er eine veränderliche Größe mit einer Geraden RS vergleicht: der Zahlenwert

einer veränderlichen Größe (Analysis) entspricht einer Teilstrecke der Geraden RS (Geome-

trie). Bereits jetzt führt er eine Art ‚Zahlenachse‘100

ein, indem er auf der Geraden RS einen

Punkt A wählt und den Abstand des Punktes P von dem Punkt A als endlichen Wert versteht.

Nach dieser kurzen Überleitung in die analytische Geometrie führt er seine vorherigen Ideen

in Paragraph zwei weiter aus und betont erneut, dass dem Abstand des Punktes P von einem

festgelegten Punkt A ein endlicher Zahlenwert zugeordnet werden kann. Da Euler eine umfas-

sende und vollständige Abhandlung über die Anfänge der analytischen Geometrie verfassen

möchte, ist es nicht verwunderlich, dass er häufig Fallunterscheidungen durchführt, um so alle

unterschiedlichen Möglichkeiten abzudecken. Beispielsweise unterscheidet er an dieser Stelle

die beiden Fälle und .

99

Vgl. Scriba & Schreiber, 336f.. 100

Diesen Begriff verwenden auch Gelfand, Glagoleva & Kirillow in ihrem Werk ‚Die Koordinatenmethode‘ auf

Seite 11.

28

1.) Falls ist, gilt: .

2.) Falls P von A ausgehend auf der Geraden RS nach rechts verschoben wird, wird x größer,

und es gilt: .

Für den Fall, dass ist, verschwindet das Intervall AP. Falls jedoch eintritt, gilt,

dass je größer die Strecke AP wird, desto größer wird der Zahlenwert x. Durch diese Unter-

scheidung wird deutlich, dass der Basler sich in diesem Paragraphen mit positiven Zahlenwer-

ten begnügt. Dies ist vermutlich darauf zurückzuführen, dass die Länge einer Strecke in der

Geometrie üblicherweise mit positiven Messwerten bezeichnet wird. Um im Folgenden eine

einheitliche Bezeichnung für die Intervalle AP festzulegen, definiert Euler sie als sogenannte

‚Abszissen‘.101

Auf diese Art und Weise veranschaulicht der Mathematiker geometrisch,

indem er entsprechenden Punkten einer Gerade umkehrbar eindeutig positive reelle Zahlen

zuordnet. Er legt die Koordinaten auf einer Geraden RS fest und versteht die einem Punkt der

Geraden entsprechende Zahl als dessen Koordinate, betrachtet demzufolge also ein eindimen-

sionales Koordinatensystem – ohne diese Bezeichnungen in diesem Paragraphen zu verwen-

den.

Aus der Erkenntnis, dass die Gerade auf beiden Seiten ins Unendliche verläuft und demzufol-

ge auf beiden Seiten von A alle Werte von x abgeschnitten werden können, folgert Euler in

Paragraph drei, dass sowohl positive als auch negative Zahlenwerte graphisch dargestellt

werden können. Er modifiziert seine Überlegungen in Paragraph zwei also dahingehend, dass

er auch den Fall in seine Überlegungen einbezieht, und beweist auf diese Weise erneut,

dass er ein möglichst umfassendes Werk zu verfassen gewillt ist. Somit ergänzt er die beiden

möglichen Fälle aus Paragraph zwei um einen weiteren, sodass er zwischen drei Möglichkei-

ten unterscheidet:

1.) Falls gelte, gilt: .

2.) Falls P von A ausgehend auf der Geraden RS nach rechts verschoben wird, wird x größer

und es gilt: .

3.) Falls P von A ausgehend auf der Geraden RS nach links verschoben wird, wird x kleiner

und es gilt: .

101

Da diese Abszissen einen bestimmten Wert der veränderlichen Größe x darstellen, werden sie im Weiteren

auch mit dem modernen Begriff ‚x-Koordinate‘ bezeichnet.

29

Willkürlich ist jedoch – von einem festgelegten Punkt A auf der Geraden ausgehend – die

Wahl der Seite, die die positiven Werte von x darstellen soll; wobei die negativen Werte von

x stets auf der entgegengesetzten Seite abgebildet werden. Üblicherweise wird die Abszisse

mit einem positiven Vorzeichen versehen, wenn der Punkt P vom festgelegten Punkt A aus in

positivem Richtungssinn, der von A aus nach rechts verläuft, erreicht werden kann, und ent-

sprechend mit einem negativen Vorzeichen im umgekehrten Falle.

Nach diesen Vorüberlegungen widmet sich Euler in Paragraph vier der Frage, wie eine belie-

bige Funktion von x graphisch dargestellt werden könne. Dazu nimmt er zunächst an, dass y

eine Funktion von x sei, die jedem x-Wert durch Einsetzen in die Funktionsgleichung genau

einen y-Wert zuordne. Nach dieser Definition des Funktionsbegriffes wendet er sein Ver-

ständnis einer Zahlenachse aus den ersten drei Paragraphen auf eine unendliche Gerade RAS

an. Dazu sollen auf dieser Geraden zunächst die Abszissen bzw. die Intervalle AP im Punkt M

abgetrennt werden, die den x-Wert festlegen, und anschließend die Senkrechte zu AP mit der

Länge PM errichtet werden, wobei diese Länge den y-Wert bestimmt. Zur Unterscheidung der

Lage der Senkrechten bzw. der y-Werte führt Euler erneut drei verschiedene Fälle an:

1.) Falls gilt, verschwindet die Senkrechte PM bzw. der y-Wert liegt auf der Geraden

RS.

2.) Falls gilt, liegt die Senkrechte PM oberhalb der Geraden RS.

3.) Falls gilt, liegt die Senkrechte PM unterhalb der Geraden RS.

Um diese theoretischen Überlegungen zu veranschaulichen und für den Leser verständlicher

zu machen, wendet er sie in Paragraph

fünf auf die in Figur zwei abgebildete

Funktion von x an und hält fest, für wel-

che Intervalle die oben beschriebenen

Fälle auftreten. Auch wenn Euler an die-

ser Stelle eine andere Reihenfolge als in Kapitel vier verwendet, soll in diesen Ausführungen

die Anordnung der oben beschriebenen Fälle beibehalten werden:

1.) Falls gilt, verschwindet die Senkrechte, wie beispielsweise für oder

.

2.) Falls gilt, liegt die Senkrechte PM oberhalb der Geraden RS, wie für , das

den positiven y-Wert liefert.

30

3.) Falls gilt, liegt die Senkrechte PM unterhalb der Geraden RS, wie für , das

den negativen y-Wert liefert.

Der Vollständigkeit halber verweist Euler auch auf seinen ersten Fall aus Paragraph drei, in

dem er protokolliert hat, dass unter der Bedingung der x-Wert verschwindet. In Figur

zwei lässt sich für den Fall bzw. der positive Wert ablesen.

Im folgenden sechsten Paragraphen fasst Euler seine bisherigen Erkenntnisse zusammen und

erstellt auf diese Art und Weise eine Art Konstruktionsprotokoll dafür, wie eine (einwertige)

Funktion von x in die Geometrie übertragen und wie aus ihr eine gewisse Linie bzw. –

unserem heutigen Verständnis nach – ein ‚Funktionsgraph‘ gewonnen werden kann. Zunächst

wird jeder Abszisse AP ein y-Wert zugeordnet, indem zu den einzelnen Punkten P, die auf der

Gerade RS liegen, die zugehörigen Senkrechten PM errichtet werden. Im Folgenden ergänzt

Euler seine oben aufgeführten drei Fälle über die Lage der Senkrechten bzw. den Wert des y-

Wertes um die Lage der Endpunkte M:


, sodass die Endpunkte D und E auf der Geraden RS liegen.


den positiven y-Wert liefert, sodass auch der Endpunkt M oberhalb der Geraden

RS liegt.


den negativen y-Wert liefert, sodass auch der Endpunkt m unterhalb der Geraden

RS liegt.

Die Endpunkte der Senkrechten zu den Abszissen werden deshalb betrachtet, weil sie eine

Linie bilden – sei es eine Gerade oder eine Kurve –, die eine graphische Darstellung der

Funktion von x ermöglicht. Zudem bemerkt Euler, dass die Gestalt des Graphen von der Na-

tur der Funktion f – etwa dem Grad der Funktion und der Funktionsvorschrift f(x) – abhängt.

Im Anschluss begründet der Mathematiker im siebten Paragraphen seine These, dass alle

Punkte der Kurve durch die Funktion y festgelegt und demzufolge die Kurve, die sich aus der

Funktion y ergibt, eindeutig bestimmt ist. Dies begründet er damit, dass allen Punkten P auf

der Geraden RS eindeutig Senkrechte PM zugeordnet werden können, deren Endpunkte M auf

der Kurve liegen. Durch dieses Verfahren können zudem alle Punkte der Kurve ermittelt wer-

31

den, wobei die Länge der Abszissen AP die x-Koordinate und die Länge der Senkrechten PM

die y-Koordinate der jeweiligen Punkte auf der Kurve angeben.

In Paragraph acht geht Euler darauf ein, dass in seinen vorliegenden Abhandlungen nur solche

Kurven thematisiert werde sollen, die von Funktionen abstammen, da sie für Berechnungen

geeignet sind. Auf diese Art und Weise liefert zum einen die Funktionsgleichung den zugehö-

rigen Graphen, und zum anderen kann anhand des Graphen die zugehörige Funktionsglei-

chung ermittelt werden. Bei dieser Beziehung zwischen der Funktionsgleichung und ihrer

graphischen Darstellung handelt es sich also um eine umkehrbar eindeutige Zuordnung, da

jeder Funktionsgleichung eine bestimmte Kurve und jeder Kurve eine bestimmte Funktions-

gleichung entspricht. Ausschlaggebend für diese Beziehung zwischen Analysis und Geomet-

rie ist, dass die x-Koordinate die Intervalle AP und die y-Koordinate die wahre Länge der

Senkrechten MP eindeutig festlegt.

An die Ausführung über die eindeutige Zuordnung von Funktionsgraph und Funktionsglei-

chung schließt Euler im nächsten neunten Paragraphen eine Unterscheidung von verschiede-

nen Kurventypen an: stetige, unstetige und gemischte Kurven. Dabei definiert er eine Kurve

genau dann als stetig, wenn sie durch eine einzige Funktionsgleichung in ihrem ganzen Ver-

lauf festgelegt wird. Im Gegensatz dazu versteht er unter einer unstetigen, irregulären oder

gemischten Kurve eine Kurve, die verschiedene Funktionen von x ausgedrückt, sodass sie

sich aus mehreren verschiedenen stetigen Kurven – wie z. B. BM, MD, DM etc. – zusammen-

setzt.

Im zehnten Paragraph knüpft Euler an die vorherigen Ausführungen an und stellt fest, dass in

der Geometrie hauptsächlich die Kurven untersucht werden, die man durch eine einzige Regel

mechanisch erzeugen kann. Da diese Eigenschaft impliziert, dass diese Kurven durch eine

einzige Funktionsgleichung bestimmt werden, handelt es sich bei den in der Geometrie the-

matisierten Graphen um stetige Kurven.

Um alle bisherigen Ergebnisse festzuhalten und einheitliche Bezeichnungen einzuführen, de-

finiert der Basler im elften Paragraphen verschiedene Bestandteile des Koordinatensystems:

1.) Die Gerade RS, von der die die x-Werte abgeschnitten werden, wird Achse oder Direktrix

genannt und entspricht somit dem modernen Begriff der ‚x-Achse‘.

2.) Der Punkt A, der als Anfangspunkt für die Abszissen dient, wird als Ursprung der Abszis-

sen bezeichnet. Es handelt sich dabei also um den ‚Nullpunkt‘ bzw. den ‚Koordinatenur-

sprung‘.

32

3.) Die Teile der Achse AP, die die endlichen Werte von x wiedergeben, werden Abszissen

genannt und stimmen mit der modernen Bezeichnung ‚x-Koordinaten‘ überein.

4.) Die Senkrechten PM, deren Anfangspunkt P auf der Achse und deren Endpunkt M auf der

Kurve liegen, bezeichnet man als Applikaten, wofür heute die Bezeichnungen ‚Ordinate‘ oder

‚y-Koordinate‘ gebräuchlicher sind.

Zudem unterscheidet Euler zwischen den normalen bzw. orthogonalen Applikaten, die senk-

recht auf den zugehörigen Abszissen stehen, und den schiefen Applikaten, welche einen von

90 Grad verschiedenen Winkel mit den Abszissen bilden. Falls nicht anders angegeben, soll in

Eulers weiteren Abhandlungen stets von orthogonalen Applikaten ausgegangen werden.

Nach der Einführung von diesen für die Beschreibung des Koordinatensystems notwendigen

Bezeichnungen beschäftigt sich Euler im zwölften Paragraphen mit dem Aufbau des Koordi-

natensystems. Folgende Skizzen sollen dabei zum leichteren Verständnis von Eulers Ausfüh-

rungen beitragen:

Skizze 1 Skizze 2

Nachdem Euler darauf eingegangen ist, dass mithilfe jedes x-Wertes der zugehörige y-Wert

bestimmt werden kann, folgert der Mathematiker aus dieser Überlegung, dass die Gestalt ei-

ner stetigen Kurve von der Gestalt der Funktion y abhänge. Zudem unterteilt er die Koordina-

tenebene in verschiedene Bereiche (siehe Skizzen), die unterschiedliche Vorzeichen für die

Abszisse und die Applikate implizieren. In Skizze 1 wird deutlich, dass der Teil AS (rosa)

positive und der Teil AP (gelb) negative Abszissen hervorbringt. Im Gegensatz dazu unterteilt

Skizze 2 die y-Werte in positive (beige) und negative (türkis) Ordinate. Durch diese Erläute-

rungen kann an der Lage eines Punktes sofort auf das jeweilige Vorzeichen seiner beiden Ko-

ordinaten geschlossen werden.

Die Erkenntnis aus Paragraph 8, dass zu jeder Funktionsgleichung eindeutig ein Funktions-

graph bestimmt werden kann und umgekehrt, wird nun in Paragraph 13 auf stetige Kurven

übertragen. Da eine stetige Kurve durch eine einzige Funktionsgleichung festgelegt wird,

33

folgt daraus, dass jeder stetigen Kurve eindeutig eine Funktionsgleichung und umgekehrt

auch jeder Funktionsgleichung eindeutig eine stetige Kurve zugeordnet werden kann.

In der zehnten Vorlesung des Werkes Oeuvres complètes, 1re

série, tome 8 auf den Seiten 145

bis 160 kritisiert Cauchy in seiner „Abhandlung über die stetigen Funktionen“ („Mémoire sur

les fonctions continues“) den in diesem Paragraphen thematisierten Stetigkeitsbegriff von

Euler.102

Dort versucht Cauchy den Eulerschen Stetigkeitsbegriff mit einem Gegenbeispiel zu

widerlegen, indem er die Betragsfunktion auf drei verschiedene Weisen darstellt. Da zwei

dieser Schreibweisen der Betragsfunktion Euler-stetig und eine nach Eulers Verständnis un-

stetig sind, wäre ein- und dieselbe Funktion aufgrund eines Notationswechsels gleichzeitig

Euler-stetig und nicht Euler-stetig.103

Unabhängig davon, ob Cauchys Kritik an Euler schlüs-

sig ist, lässt dieses Beispiel den Leser Zweifel gegenüber Eulers Stetigkeitsbegriff hegen.

Um die Gestalt einer Kurve festzulegen, bedarf es – wie Euler in Paragraph 14 darlegt – einer

Gleichung, die die Variabeln x und y enthält, da diese eine Beziehung zwischen den beiden

Koordinaten beliebiger Punkte, die auf der Kurve liegen, herstellt. Dabei gibt x die Abszisse

und y die Applikate an, die senkrecht auf den zugehörigen Abszissen steht. Aus diesem Grund

werden die Abszissen und die Applikaten zusammen betrachtet auch orthogonale Koordinaten

genannt. Die Gleichung, die die beiden Variabeln x und y in Beziehung zueinander setzt, kann

dabei sowohl explizit als auch implizit dargestellt werden. Da Euler an dieser Stelle nicht ge-

nauer auf diese beiden verschiedenen Darstellungsformen einer Funktion eingeht104

, wird bei

der Klärung dieser beiden Begriffe auf einen anderen Autor zurückgegriffen: Eine explizite

Funktionsgleichung mit zwei Veränderlichen liegt vor, wenn man eine Funktion einer Verän-

derlichen, z.B. f(x), mit einer anderen Veränderlichen, z.B. y, gleichsetzt, sodass die Glei-

chung mit x als unabhängiger und y als abhängiger Veränderlichen entsteht. Im

Gegensatz dazu stellt die implizite Funktionsgleichung mit zwei Veränderlichen eine Glei-

chung dar, die auf der einen Seite alle Glieder mit Veränderlichen und Konstanten enthält und

deren andere Seite eine Null ist, z.B. .105

Da Euler eine Beziehung zwischen der Analysis, die im ersten Band der Introductio themati-

siert wird, und der Geometrie, die Gegenstand des zweiten Bandes seines Lehrbuches ist, her-

zustellen versucht, ist es nicht verwunderlich, dass er im fünfzehnten Paragraphen die Unter-

scheidung zwischen algebraischen und transzendenten Kurven auf die zwischen algebraischen

102

Vgl. Volkert, 206. 103

Vgl. Ebd. 104

Dies liegt daran, dass er bei dem Leser das Wissen des ersten Bandes voraussetzt, in dem er sich in Kapitel 1,

Paragraph 8 ausführlich mit expliziten und impliziten Darstellungsformen von Funktionen auseinandersetzt:

„Hae commode distinguntur in explicitas et implicitas.“ 105

Vgl. Demmig, 48 und 50.

34

und transzendenten Funktionen zurückführt.106

Eulers Verständnis nach sind stetige Kurven

entweder transzendent oder algebraisch, wobei eine Kurve genau dann algebraisch ist, wenn

ihre Applikate eine algebraische Funktion der Abszisse x ist, also wenn die Gestalt der Kurve

durch eine algebraische Gleichung zwischen den Koordinaten x und y ausgedrückt werden

kann. Die zugehörige Funktionsgleichung einer algebraischen oder auch geometrischen Kurve

ist demnach eine Funktion, die aus Veränderlichen und Konstanten mit algebraischen Re-

chenarten – wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren bzw. Radizieren

– gebildet werden kann.107

Im Gegensatz dazu bezeichnet man eine Kurve genau dann als

transzendent, wenn y eine transzendente Funktion von x wird. Eine transzendente (= über-

schreitende) Funktion ist dabei eine solche, in der auch andere als algebraische Rechenarten

auftreten können, wie beispielsweise die Sinusfunktion.108

Im sechszehnten Paragraphen klassifiziert Euler die Natur der Funktion von x dahingehend,

dass er zwischen einwertigen und mehrwertigen Funktionen unterscheidet. Wie in diesem und

den folgenden drei Paragraphen dargelegt, hat diese Unterscheidung der Funktionen zwischen

einwertigen und mehrwertigen erhebliche Auswirkungen auf die Gestalt des Funktionsgra-

phen. In diesem Paragraphen thematisiert Euler jedoch zunächst einwertige Funktionen von x,

worunter er die Funktionen versteht, die jedem beliebigen x-Wert genau einen y-Wert zuord-

nen. Dies hat zur Folge, dass die Applikate PM in einem beliebigen Punkt P auf der Achse RS

die Kurve immer nur in einem einzigen Punkt M schneidet. Weil jedem Punkt P der Achse

eine Applikate PM zugeordnet wird und die x-Achse ins Unendliche verläuft, verläuft auch

der Graph einer einwertigen Funktion auf beiden Seiten ins Unendliche, wie Figur zwei zeigt.

Anschließend geht Euler in Paragraph siebzehn auf zweiwertige Funktionen ein, worunter er

solche Funktionen versteht, die gewissen Abszissen zwei Applikaten y zuordnen. Also wird

bei einer derartigen Funktionsgleichung ein Element der Definitionsmenge auf zwei Elemente

der Wertemenge abgebildet, wobei diese y-Werte dabei entweder beide reell oder beide kom-

plex sind. Diese zweiwertigen Funktionen von x sind nach Euler so beschaffen, dass sie von

der Gestalt √ sind, wobei y eine zweiwertige Funktion

von x und P und Q zwei einwertige Funktionen von x darstellen. In einer Fallunterscheidung

gibt der Mathematiker nun an, unter welchen Bedingungen die Applikaten einer zweiwertigen

Funktion reelle bzw. komplexe Zahlenwerte hervorbringen.

106

Vgl. Introductio Band 1, Kapitel 1, Paragraph 7: „Functiones dividuntur in algebraicas et transcendentes;

illae sunt, quae componuntur per operationes algebraicas solas; hae vero, in quibus operationes transcen-

dentes sunt.“. 107

Vgl. Demmig, 46. 108

Vgl. Ebd.

35

1.) Für den Fall liefert die zweiwertige Funktion zwei reelle y-Werte.

2.) Da es für den Fall aufgrund der Definition der Wurzel keine reelle Lösung für y

gibt, liefert die zweiwertige Funktion zwei komplexe y-Werte.

3.) Für den Fall liefert die zweiwertige Funktion nur einen y-Wert bzw. beide Appli-

kate sind identisch.

An Figur 3 wird deutlich, wie sich diese Fälle auf die Darstellung der zu der Funktionsglei-

chung zugehörigen Kurve auswirken. Für den ersten Fall, der zwei reelle y-Werte

hervorbringt, werden die beiden Senkrechten zu der Abszisse die Kurve in zwei Punkten

schneiden, wie z.B. für den Punkt P, dessen Senkrechte die Kurve in den beiden Endpunkten

M und M schneidet. Falls jedoch der zweite Fall eintritt

und zwei komplexe y-Werte einem x-Wert zugeordnet

werden, wird die Abszisse dort keinen Koordinaten

zugeordnet, sodass die Senkrechte zu der Achse in diesen

Punkten die Kurve niemals schneiden wird, wie es für

den Punkt p zutrifft. Der dritte Fall, bei dem die beiden y-Werte identisch sind, beeinflusst die

graphische Darstellung der Funktion von x dahingehend, dass die Kurve sich dort

zurückbiegt, wie beispielsweise die Punkte C oder G darlegen. Zusammenfassend bedeutet

dies also:

1.) Für den Fall schneiden die Applikaten die Kurve in zwei Punkten.

2.) Für den Fall schneiden die Applikaten die Kurve in keinem Punkt.

3.) Für den Fall schneiden die Applikaten die Kurve in einem Punkt.

In Paragraph achtzehn führt Euler seine Überlegungen zu zweiwertigen Funktionen weiter aus

und greift dabei erneut auf Figur drei zurück. Beispielhaft wendet er die drei oben beschriebe-

nen Fälle auf den Graphen dieser Funktion an

und unterscheidet dabei, ob es sich um reelle

oder komplexe bzw. imaginäre Applikaten han-

delt. An nebenstehender Skizze kann man able-

sen, für welche x-Werte die Applikaten reell

(blau) oder komplex bzw. imaginär (rot) oder

sowohl komplex und reell (gelb) ist. Dabei

schneiden die Senkrechte zu den reellen Applikaten (blau) die Kurve in zwei Punkten, die

36

komplexen Applikaten (rot) die Kurve in keinem Punkt und die sowohl komplexen als auch

reellen Applikaten (gelb) die Kurve in einem Punkt. Zudem liefert Figur drei ein Beispiel da-

für, dass auch eine aus zwei voneinander getrennten Teilen (MBDBM und FmHm) bestehen-

de Kurve als eine einzige stetige Kurve angesehen gilt, weil diese in ihren einzelnen Teilen

aus ein und derselben Funktionsgleichung hervorgehen.

Schließlich thematisiert Euler in seinem neunzehnten Paragraphen dreiwertige Funktionen

von x, die y durch eine Gleichung definieren, wobei P, Q und R

einwertige Funktionen von x darstellen. ‚Dreiwertig‘ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass

gewissen Werten von x drei y-Werte zugeordnet werden, von denen entweder alle reell oder

einer reell und zwei komplex sind. Demzufolge schneiden alle

Applikaten die Kurve entweder in drei Schnittpunkten oder in

einem einzigen, da komplexe Applikaten – wie in den vorheri-

gen beiden Paragraphen ausgeführt wurde – die Kurve in kei-

nem Punkt schneiden. Jedoch

besteht die Möglichkeit, dass

zwei oder drei Schnittpunkte

identisch sind, sodass die Ap-

plikaten die Kurve auch in

zwei Schnittpunkten schneiden

kann, falls zwei der drei reellen Applikaten identisch sind. Als Beispiele führt der Basler die

Figuren vier und fünf an, wobei Figur vier eine Kurve beschreibt, die aus einem einzigen ste-

tigen Teil besteht, und Figur fünf eine Kurve darstellt, die sich aus zwei Teilen zusammen-

setzt.

37

Zusammenfassend lässt sich also festhalten, dass die ersten neunzehn Paragraphen des ersten

Kapitels aus dem zweiten Band der Introductio zunächst die grundlegenden Definitionen für

die geometrische Deutung der Gleichungen zweier Unbekannter liefern, wie beispielsweise

die Unterscheidung zwischen einer stetigen und einer unstetigen bzw. gemischten Kurve.109

Außerdem geht Euler darauf ein, auf welche Art und Weise Punkte in einer Art Koordinaten-

system dargestellt werden können, indem man ihnen Abszissen und Applikaten zuordnet.

Auch unterscheidet der Mathematiker zwischen orthogonalen und schiefen Applikaten und

zwischen algebraischen und transzendenten Kurven und liefert zum Ende hin Beispiele für

einwertige, zweiwertige und dreiwertige Funktionen von x.

Neben dieser kurzen inhaltlichen Zusammenfassung sei auch darauf verwiesen, dass man dem

Werk seinen pädagogischen Auftrag für mathematisch interessierte Leser anmerkt. Nicht nur

seine ausführlichen und detaillierten Erörterungen, sondern auch seine eingängigen Definitio-

nen und umfassenden Fallunterscheidungen geben Auskunft darüber, wie wichtig dem Basler

ein leichter Zugang zu seinen mathematischen Abhandlungen war. Als Leser erhält man zu-

dem den Eindruck, dass das Werk in einem Zug niedergeschrieben worden ist110

, wodurch

Euler die nachfolgenden Mathematikergenerationen an seiner Forschung teilhaben lässt. Da-

für spricht auch, dass nicht nur die einzelnen Kapitel, sondern auch die unterschiedlichen Pa-

ragraphen aufeinander aufbauen und so den Entstehungsprozess von Eulers Ergebnissen ab-

bilden.

109

Vgl. Speiser, XX. 110

Vgl. Ebd., VII.

38

4.3 Umsetzung in der Schule

Nach einer Übersicht über den mathematischen Gehalt der ausgewählten Paragraphen aus

Eulers Introductio soll in diesem Kapitel eine Möglichkeit aufgezeigt werden, wie Eulers Ab-

handlungen auch Eingang in den Schulalltag finden können. Um die mathematischen Überle-

gungen des Schweizer Mathematikers für Schülerinnen und Schüler zugänglich zu machen,

wurde deshalb eine Projektwoche mit sechszehn verschiedenen Stationen geplant, die sich

alle auf die ersten neunzehn Paragraphen des ersten Kapitels von Eulers zweitem Band der

Introductio stützen. Diese Projektwoche richtet sich an Jugendliche, die sich zum einen für

mathematische Themen, die auch über den Schulstoff hinausgehen, interessieren und sich

zum anderen für die Übersetzung von einem lateinischen Originaltext mit mathematischem

Inhalt begeistern können. Da der lateinische Text zum Teil komplexe Satzkonstruktionen und

den Schülerinnen und Schülern unbekannte Vokabeln enthält und auch der mathematische

Gehalt dieser Paragraphen die Themen des Unterrichts übersteigt, wie am Beispiel der kom-

plexe Zahlen deutlich wird, wurden als Zielgruppe für diese Projektwoche interessierte Ju-

gendliche der zehnten Jahrgangsstufe bzw. der EF ausgewählt. Als Zeitpunkt für ein derarti-

ges viertägiges Projekt erschien die letzte Woche vor den Sommerferien als geeignet, weil auf

diese Weise das Unterrichtsgeschehen und eventuelle Klausurphasen nicht unterbrochen wer-

den.

4.3.1 Ablauf der Projektwoche

Neben dieser Einschränkung der Zielgruppe und einem Vorschlag für die terminliche Einglie-

derung der Projektwoche in den Schulalltag soll in diesem Kapitel nun der Ablauf der Pro-

jektwoche, die sich vier Tage lang mit Eulers Abhandlungen über die graphische Darstellung

einer Funktion und der Beziehungen zwischen Funktionsgraph und Funktionsgleichung be-

schäftigt, im Mittelpunkt stehen. Folgende Abbildung thematisiert dabei zunächst den Ablauf

der ersten drei Tage der Projektwoche:

39

Verlaufsplan für Tag 1 bis Tag 3:

Beginn: 7:45 Uhr

7:45 Uhr 1. Phase SuS arbeiten selbstständig an Stationen; Lehrkraft gibt

bei Fragen von Seiten der SuS Hilfestellungen

5-Minuten-Pause



Große Pause (20 Minuten)



5-Minuten-Pause


bei Fragen von Seiten der SuS Hilfestellungen (45

Minuten) + Ausfüllen des Lerntagebuches von jedem

einzelnen Schüler (15 Minuten)

Große Pause (20 Minuten)

Lehrkraft sichtet Lerntagebücher, insbesondere Probleme der SuS bei Bearbeitung der einzel-

nen Stationen

12:35 Uhr 5. Phase Plenumsdiskussion: von den SuS notierte Probleme

werden thematisiert, sofern alls SuS die jeweilige Sta-

tion abgeschlossen haben

Ende: ca. 13:00 Uhr

Eine Vorlage der individuellen Lerntagebücher, die die Schülerinnen und Schüler an den ers-

ten drei Tagen in der fünften Phase ausfüllen sollen, ist in untenstehender Abbildung darge-

stellt:

40

Verlaufsplan Tag 4

Um den teilnehmenden Schülerinnen und Schüler eine Anerkennung für ihre Leistungen im

Rahmen dieser Projektwoche auszusprechen, soll an diesem letzten Tag der Projektwoche ein

kleiner Test durchgeführt werden, dessen Bestehen mit einer Urkunde für jeden einzelnen

Schüler belohnt wird. Der Test zum Urkundenerwerb ist unten abgebildet:

41

Nach dieser Wissensabfrage erhalten die Schülerinnen und Schüler für den restlichen Verlauf

des Tages die Möglichkeiten, sich in Gruppen erneut mit einer der sechszehn Stationen ausei-

nanderzusetzen und zu mindestens einer der Stationen ein Plakat zu entwerfen.

42

4.3.2 Übersicht über die einzelnen Stationen

Um einen Überblick über die sechszehn Stationen der Projektwoche zu erhalten, die in diesem

Kapitel thematisiert werden, wird zunächst folgende ‚Übersicht über alle Stationen‘ abgebil-

det:

43

Um einer Überfüllung an den jeweiligen Stationen entgegenzuwirken, sollen die Teilnehmer

schon zu Beginn folgendermaßen auf die ersten beiden Stationen verteilt werden. Die eine

Hälfte der Teilnehmer soll sich zunächst mit der ersten und anschließend der Reihe nach mit

den anderen Stationen beschäftigen. Die andere Hälfte der teilnehmenden Schülerinnen und

Schüler erhält den Arbeitsauftrag, sich als erstes mit der zweiten Station auseinanderzusetz-

ten, anschließend der Reihe nach bis Station zwölf einschließlich die Arbeitsblätter der jewei-

ligen Station zu bearbeiten und vor den letzten vier Stationen zunächst die erste Station zu

absolvieren. Diese Einteilung wurde daher vorgenommen, da die letzten vier Stationen einen

spielerischen Umgang mit dem Koordinatensystem enthalten – im Gegensatz zur ersten Stati-

on, die keine neuen Inhalte thematisiert.

Neben den Arbeitsblättern der einzelnen Stationen soll im Folgenden auch die Musterlösung

der jeweiligen Station für die Lehrkraft beigefügt werden, um eine Transparenz der Leis-

tungsanforderungen zu gewährleisten. Die erste dieser sechszehn Stationen beschäftigt sich

mit allgemeinen Informationen über den Mathematiker, wie z.B. mit den Lebensdaten oder

seinen Charaktereigenschaften. Die folgenden Stationen gehen auf ausgewählte Kapitel von

Eulers erstem Kapitel des zweiten Bandes der Introductio ein und thematisieren nicht nur die

Übersetzung ausgewählter Textstellen in ein angemessenes Deutsch, sondern auch verschie-

dene mathematische Überlegungen wie die Darstellung einer Funktion oder den Unterschied

zwischen ein- und mehrwertigen Funktionen. Zudem lassen Eulers Überlegungen die teil-

nehmenden Schülerinnen und Schüler an der Entstehung des heutigen ‚Kartesischen Koordi-

natensystems‘ teilhaben. Zwar verwendete Euler in seinem Lehrwerk an keiner Stelle diese

Bezeichnung, jedoch sind bei ihm zweifelsohne bereits die Anfänge eines Koordinatensys-

tems zu finden. Die letzten vier Stationen dieser Projektwoche dienen im Gegensatz zu den

anderen Aufgabenstellungen dazu, den Teilnehmern spielerisch den Umgang mit dem Koor-

dinatensystem näherzubringen. Jedoch ist es erforderlich, dass die Schülerinnen und Schüler

an diesen vier Stationen Eulers Definitionen – wie beispielsweise für den x-Wert oder den y-

Wert eines Punktes - verinnerlicht haben und anwenden können.

Arbeitsblatt 1: Das Phänomen ‚Leonhard Euler‘

Projektwoche ‚Eulers Introductio in analysin infinitorum – Bd. 2, Kapitel 1, § 1-19‘

44

Das Phänomen ‚Leonhard Euler‘

Leonhard Euler wurde am 15. April 1707 in Basel als Sohn

des Pfarrers Paul Euler und seiner Frau Margareta Brucker

geboren. Die erste Einführung in die Mathematik empfing

Euler von seinem Vater selbst, anschließend lernte er bei

Jakob Bernoulli (1654 bis 1705). Euler, der nicht als

Wunderkind galt, jedoch für seine Hartnäckigkeit bekannt

war und ein phänomenales Gedächtnis und großen

Arbeitswillen hatte, wurde daraufhin von seinem

Privatlehrer entdeckt und gefördert.

Im Jahre 1727 vermittelte Bernoulli ihn an die Akademie

der Wissenschaften in Petersburg, wo er 1730 die

Physikprofessur der Akademie und 1733 die Mathematikprofessur annahm. In Petersburg

lernte er auch seine zukünftige gleichaltrige Frau kennen, die er 1733 heiratete. Sie schenkte

ihm dreizehn Kinder, von denen jedoch nur fünf das Säuglingsalter überlebten. In dieser

ersten Petersburger Periode ist Eulers rein wissenschaftliche Produktion gewaltig: seine

Abhandlungen machen Aufsehen und bringen ihm Weltruf; sein Ruhm steigt. Bis zu seinem

Weggang nach Berlin (1741) verfasste er in Petersburg allein an die hundert Arbeiten. Seine

enorme wissenschaftliche Produktion ist umso erstaunlicher, als er in dieser Zeit sein rechtes

Auge verliert.



dem Tod des Akademiepräsidenten Maupertuis oblag ihm sogar die Leitung der ganzen

Akademie. In dieser Berliner Periode verfasste Euler die ersten beiden seiner drei

zusammenfassenden Lehrbücher: die Variationsrechnung sowie die berühmt gewordene, im

Jahre 1748 entstandene zweibändige Introductio in analysin infinitorum, die „Einführung in

die Analysis des Unendlichen“.

Wegen seines gestörten Verhältnisses zu Friedrich II. beschloss der Mathematiker, die

Berliner Akademie zu verlassen, und wandte sich wieder Petersburg zu, wo er 1766 mit seiner

Familie ankam. Während seines zweiten Aufenthalts in Petersburg wurde er von Katharina II.


Arbeitsblatt 1: Das Phänomen ‚Leonhard Euler‘


45

Jahre 1771 geheilt werden konnte, steigerte er seine wissenschaftliche Produktion ins

Unvorstellbare. Von Eulers rund 900 Abhandlungen und Büchern stammt etwa die Hälfte –

darunter auch sein drittes Lehrbuch über die Integralrechnung – aus der zweiten Petersburger

Zeit von 1766 bis zu seinem Tod, was für die gewaltige Gedächtniskraft des Mathematikers

spricht. Neben einem erstaunlichen Gedächtnis ist das „Phänomen Euler“ an zwei weitere

Faktoren gebunden: zum einen an eine gewaltige Konzentrationsfähigkeit und zum anderen

an stete, ruhige Arbeit. Erschüttert wurde Eulers Leben in seiner letzten Schaffensperiode

jedoch durch den Tod seiner Ehefrau Katharina im Jahre 1773, mit der er rund vierzig Jahre

zusammengelebt hatte. Doch fand er in der Halbschwester seiner verstorbenen Frau, Salome

Abigael Gsell, eine neue Lebensgefährtin, die er 1776 heiratete und auf deren Pflege und

Fürsorge der erblindete Euler angewiesen war. Am 18. September 1783 erlitt der

Mathematiker mitten in der Arbeit einen Schlaganfall, dem er nach wenigen Stunden erlag,

und hinterließ den nachfolgenden Generationen ein unvorstellbar wertvolles Erbe.

Trotz seines unfassbaren Talents berichten Eulers Zeitgenossen, dass der Basler sehr

bescheiden und ein angenehmer Zeitgenosse gewesen sei. Er habe manchmal sogar neue

Entdeckungen und Erkenntnisse verschenkt. Er gönnte jedem alles und freute sich stets auch

an neuen Entdeckungen anderer. Seine Freunde rühmten ihn nicht nur für seinen

Gerechtigkeitssinn, sondern auch für seinen selbstlosen Charakter; dennoch konnte er leicht

aufbrausen, wobei sein Zorn ebenso schnell wieder verschwand, wie er gekommen war.

Zudem war er unkompliziert, humorvoll und gesellig aber auch kritisch und draufgängerisch

und bewahrte sich zeitlebens seine strenge Religiosität, die er aus seinem Elternhaus

mitgebracht hatte.

Fragen:

1.) Wann lebte Leonhard Euler?

2.) In welchen Städten hat er sein Leben verbracht?

3.) Wann verfasste er sein Werk Introductio in analysin infinitorum? Was bedeutet dieser

Titel übersetzt?

4.) Warum wird der Mathematiker als „Phänomen“ bezeichnet?

5.) Wie beschreiben Zeitgenossen Eulers Charakter?

Arbeitsblatt 1: Das Phänomen ‚Leonhard Euler‘ - LÖSUNGEN


46

Das Phänomen ‚Leonhard Euler‘

Leonhard Euler wurde am 15. April 1707 in Basel als Sohn des

Pfarrers Paul Euler und seiner Frau Margareta Brucker geboren. Die

erste Einführung in die Mathematik empfing Euler von seinem

Vater selbst, anschließend lernte er bei Jakob Bernoulli (1654 bis

1705). Euler, der nicht als Wunderkind galt, jedoch für seine

Hartnäckigkeit bekannt war und ein phänomenales Gedächtnis und

großen Arbeitswillen hatte, wurde daraufhin von seinem Privatlehrer entdeckt und gefördert.

Im Jahre 1727 vermittelte Bernoulli ihn an die Akademie der Wissenschaften in Petersburg,

wo er 1730 die Physikprofessur der Akademie und 1733 die Mathematikprofessur annahm. In

Petersburg lernte er auch seine zukünftige gleichaltrige Frau kennen, die er 1733 heiratete. Sie

schenkte ihm dreizehn Kinder, von denen jedoch nur fünf das Säuglingsalter überlebten. In

dieser ersten Petersburger Periode ist Eulers rein wissenschaftliche Produktion gewaltig: seine

Abhandlungen machen Aufsehen und bringen ihm Weltruf; sein Ruhm steigt. Bis zu seinem

Weggang nach Berlin (1741) verfasste er in Petersburg allein an die hundert Arbeiten. Seine

enorme wissenschaftliche Produktion ist umso erstaunlicher, als er in dieser Zeit sein rechtes

Auge verliert.



dem Tod des Akademiepräsidenten Maupertuis oblag ihm sogar die Leitung der ganzen

Akademie. In dieser Berliner Periode verfasste Euler die ersten beiden seiner drei

zusammenfassenden Lehrbücher: die Variationsrechnung sowie die berühmt gewordene, im

Jahre 1748 entstandene zweibändige Introductio in analysin infinitorum, die „Einführung in

die Analysis des Unendlichen“.

Wegen seines gestörten Verhältnisses zu Friedrich II. beschloss der Mathematiker, die

Berliner Akademie zu verlassen, und wandte sich wieder Petersburg zu, wo er 1766 mit seiner

Familie ankam. Während seines zweiten Aufenthalts in Petersburg wurde er von Katharina II.


Jahre 1771 geheilt werden konnte, steigerte er seine wissenschaftliche Produktion ins

Unvorstellbare. Von Eulers rund 900 Abhandlungen und Büchern stammt etwa die Hälfte –

darunter auch sein drittes Lehrbuch über die Integralrechnung – aus der zweiten Petersburger

Zeit von 1766 bis zu seinem Tod, was für die gewaltige Gedächtniskraft des Mathematikers

Arbeitsblatt 1: Das Phänomen ‚Leonhard Euler‘ - LÖSUNGEN


47

spricht. Neben einem erstaunlichen Gedächtnis ist das „Phänomen Euler“ an zwei weitere

Faktoren gebunden: zum einen an eine gewaltige Konzentrationsfähigkeit und zum anderen

an stete, ruhige Arbeit. Erschüttert wurde Eulers Leben in seiner letzten Schaffensperiode

jedoch durch den Tod seiner Ehefrau Katharina im Jahre 1773, mit der er rund vierzig Jahre

zusammengelebt hatte. Doch fand er in der Halbschwester seiner verstorbenen Frau, Salome

Abigael Gsell, eine neue Lebensgefährtin, die er 1776 heiratete und auf deren Pflege und

Fürsorge der erblindete Euler angewiesen war. Am 18. September 1783 erlitt der

Mathematiker mitten in der Arbeit einen Schlaganfall, dem er nach wenigen Stunden erlag,

und hinterließ den nachfolgenden Generationen ein unvorstellbar wertvolles Erbe.

Trotz seines unfassbaren Talents berichten Eulers Zeitgenossen, dass der Basler sehr

bescheiden und ein angenehmer Zeitgenosse gewesen sei. Er habe manchmal sogar neue

Entdeckungen und Erkenntnisse verschenkt. Er gönnte jedem alles und freute sich stets auch

an neuen Entdeckungen anderer. Seine Freunde rühmten ihn nicht nur für seinen

Gerechtigkeitssinn, sondern auch für seinen selbstlosen Charakter; dennoch konnte er leicht

aufbrausen, wobei sein Zorn ebenso schnell wieder verschwand, wie er gekommen war.

Zudem war er unkompliziert, humorvoll und gesellig aber auch kritisch und draufgängerisch

und bewahrte sich zeitlebens seine strenge Religiosität, die er aus seinem Elternhaus

mitgebracht hatte.

Fragen mit Lösungen:

1.) Wann lebte Leonhard Euler? (15.04.1707 bis 18.09.1783)

2.) In welchen Städten hat er sein Leben verbracht? (Basel, Petersburg, Berlin)

3.) Wann verfasste er sein Werk Introductio in analysin infinitorum? Was bedeutet dieser

Titel übersetzt? (1748: Einführung in die Analysis des Unendlichen)

4.) Warum wird der Mathematiker als „Phänomen“ bezeichnet? (gewaltige

Konzentrationsfähigkeit, stete, ruhige Arbeit, erstaunliches Gedächtnis, Arbeitswille,

Hartnäckigkeit, große Produktion trotz Verlust seines Augenlichts, rund 900

Abhandlungen und Bücher)

5.) Wie beschreiben Zeitgenossen Eulers Charakter? (selbstlos, gerecht, leicht

aufbrausend, verschenkt Entdeckungen, gönnt jedem alles, unkompliziert, humorvoll,

streng religiös)

Arbeitsblatt 2: Entstehung der x-Achse (§1 bis §3)


48

1. Arbeitsauftrag: Übersetzen Sie die lateinischen Sätze in angemessenes Deutsch (schlagen

Sie unbekannte Vokabeln im Wörterbuch nach!), und fertigen Sie mit

ihrer Hilfe Skizzen zu Eulers Ausführungen an.

De lineis curvis in genere – Über Kurven im Allgemeinen (Bd. 2, Kapitel 1, §1-§3)

1. Im Allgemeinen wird eine veränderliche Größe als eine Größe betrachtet, die alle bestimm-

ten Größen beinhaltet. In Geometria huiusmodi quantitas variabilis1 conventientissime

repraesentabitur per lineam rectam indefinitam RS. (...) Primum igitur in linea indefinita RS

punctum assumi debet A, von wo aus die begrenzte abzuschneidende Größe ihren Anfang

nehmen soll; so wird jede Strecke AP einen endlichen Wert veranschaulichen, der in der ver-

änderlichen Größe enthalten ist.


wird. Dann ist es deutlich, dass alle bestimmten Werte von x (selbst)2, die allerdings alle reel

sind, durch auf der Geraden RS abzuschneidende Teile wiedergegeben werden können. Scili-

cet, si punctum P in ipso puncto A capiatur, intervallum AP evanescens exhibebit valorem

; quo magis autem punctum P ab A removetur, eo maior valor determinatus ipsius3 x

intervallo AP repraesentabitur. Vocantur autem haec intervalla AP abscissae4. So stellen die

Abszissen die bestimmten Werte der Veränderlichen x dar.

3. Quia vero recta RS indefinita utrinque ab A in infinitum excurrit, utrinque etiam omnes

ipsius3 x valores abscindi poterunt. Wenn wir aber nun die positiven Werte von x durch das

1 quantitas variabilis – eine veränderliche Größe.

2 Euler verwendet in Verbindung mit x und y stets eine Form von ipse („selbst“; meist den Genitiv Singular

ipsius) vermutlich um den Kasus des x oder y zu verdeutlichen. In der deutschen Übersetzung soll dieser Geni-

tiv Singular ipsius jedoch nicht wiedergegeben werden. 3 Bleibt unübersetzt (siehe Fußnote 2).

4 abszissa, ae – Abszisse (Strecken der Geraden RS, die einen bestimmten Wert x darstellen).

Arbeitsblatt 2: Entstehung der x-Achse (§1 bis §3)


49

Fortschreiten rechts von A abschneiden werden, werden die Intervalle AP, die links abge-

trennt worden sind, negative Werte für x liefern. Umso weiter der Punkt P nach rechts von A

wegbewegt wird, umso größer wird der Wert von x, der durch das Intervall AP angezeigt

wird. Umso mehr der Punkt P nach links bewegt wird, umso kleiner wird der Wert von x und

wenn P zu A gelangen sollte, möge x = 0 sein. Wohingegen die Werte von x kleiner als Null

werden, das heißt negativ, wenn P weiter nach links von A wegbewegt werden sollte. Deshalb

sind die Intervalle AP, die links von A abgetrennt worden sind, negative Werte von x, da ja

die Intervalle AP, die rechts weggenommen worden sind, positive Werte angeben sollen.

Willkürlich aber ist, welche Seite dazu ausgewählt wurde, positive Werte von x darzustellen:

semper enim opposita5 valores ipsius

3 x negativos continebit.

5 Ergänze plaga (plaga, ae – Seite).

Arbeitsblatt 2: Entstehung der x-Achse (§1 bis §3) - LÖSUNGEN


50

1. Arbeitsauftrag: Übersetzen Sie die lateinischen Sätze in angemessenes Deutsch (schlagen

Sie unbekannte Vokabeln im Wörterbuch nach!), und fertigen Sie mit

ihrer Hilfe Skizzen zu Eulers Ausführungen an.

De lineis curvis in genere – Über Kurven im Allgemeinen (Bd. 2, Kapitel 1, §1-§3)

1. Im Allgemeinen wird eine veränderliche Größe als eine Größe betrachtet, die alle be-

stimmten Größen beinhaltet. In der Geometrie wird eine derartige veränderliche Größe durch

die gerade, unendliche Linie RS (Fig. 1) veranschaulicht. (...) Zuerst muss also auf der un-

endlichen Geraden RS ein Punkt A1 gewählt werden, von wo aus die begrenzte abzuschnei-

dende Größe ihren Anfang nehmen soll; so wird jede Strecke AP einen endlichen Wert veran-

schaulichen, der in der veränderlichen Größe enthalten ist.


wird. Dann ist es deutlich, dass alle bestimmten Werte von x (selbst)2, die allerdings alle reell

sind, durch auf der Geraden RS abzuschneidende Teile wiedergegeben werden können. Ist der

Punkt P identisch mit dem Punkt A, so wird das verschwindende Intervall den Wert

wiedergeben; je mehr aber der Punkt P von A wegbewegt wird, umso größer wird der be-

stimmte Wert von x, der durch das Intervall AP wiedergegeben werden wird.

Diese Intervalle AP aber werden Abszissen genannt.

So stellen die Abszissen die bestimmten Werte der Veränderlichen x dar.

3. Weil aber die unendliche Gerade RS auf beiden Seiten von A ins Unendliche verläuft, kön-

nen auch von beiden Seiten alle Werte von x abgeschnitten werden. Wenn wir aber nun die

positiven Werte von x durch das Fortschreiten rechts von A abschneiden werden, werden die

Intervalle AP, die links abgetrennt worden sind, negative Werte für x liefern. Umso weiter der

Punkt P nach rechts von A wegbewegt wird, umso größer wird der Wert von x, der durch das

1 An dieser Stelle sei darauf verwiesen, dass Euler die Buchstaben keineswegs immer eindeutig verwendet, wie

es z.B. bei dem Buchstaben M später der Fall sein wird. 2 Euler verwendet in Verbindung mit x und y stets eine Form von ipse („selbst“; meist den Genitiv Singular

ipsius) vermutlich um den Kasus des x oder y zu verdeutlichen. In der deutschen Übersetzung soll dieser Ge-

nitiv Singular ipsius jedoch nicht wiedergegeben werden.



51

Intervall AP angezeigt wird. Umso mehr der Punkt P nach links bewegt wird, umso kleiner

wird der Wert von x und wenn P zu A gelangen sollte, möge sein. Wohingegen die

Werte von x kleiner als Null werden, das heißt negativ, wenn P weiter nach links von A weg-

bewegt werden sollte. Deshalb sind die Intervalle AP, die links von A abgetrennt worden sind,

negative Werte von x, da ja die Intervalle AP, die rechts weggenommen worden sind, positive

Werte angeben sollen. Willkürlich aber ist, welche Seite dazu ausgewählt wurde, positive

Werte von x darzustellen: entsprechend wird die entgegengesetzte Seite immer die negativen

Werte von x darstellen.

Skizzen:

a) Eulers Skizze

b) Konstruktionsschritte

Sei RS eine unendliche Gerade / gerade

Linie.

Punkt A wird auf RS gewählt.

Ein weiterer Punkt P wird auf RS gewählt.



52

Je weiter P von A entfernt ist, desto größer

wird x. Falls wird dem Intervall AP

der Wert zugeordnet.

Neben positiven Werten für x (z.B.

Intervall AP1 oder AP2) existieren auch

negative Werte für x (z.B. AP3 oder AP4).

Arbeitsblatt 3: Vergleich x-Achse und Zahlenstrahl (§1 bis §3)


53

1. Arbeitsauftrag: Fritzchen Schlaukopf hat eine Idee! Können Sie sich erklären, wie er auf

die Idee kommt, Eulers Ausführungen mit einem ‚Zahlenstrahl‘ zu

vergleichen?

2. Arbeitsauftrag: Konstruieren Sie nun die Abszissen für die Werte , und

auf folgender „Zahlenachse“, wobei ein Kästchen eine

Längeneinheit darstellt.

3. Arbeitsauftrag: Hein Blöd ist sich unsicher: „Ist jetzt -3 oder -2

größer? Die Abszisse ist doch länger als

die Abszisse !“ Können Sie ihm

weiterhelfen? Berücksichtigen Sie bei Ihren

Überlegungen auch Eulers dritten Paragraphen

(AB2)!

„Das, was der Euler da beschreibt, erinnert

mich irgendwie an einen ‚Zahlenstrahl‘!“

Arbeitsblatt 3: Vergleich x-Achse und Zahlenstrahl (§1 bis §3) - LÖSUNGEN


54

1. Arbeitsauftrag: Fritzchen Schlaukopf hat eine Idee! Können Sie sich erklären, wie er auf

die Idee kommt, Eulers Ausführungen mit einem ‚Zahlenstrahl‘ zu

vergleichen?

Beispiel für einen Zahlenstrahl:

Eine Gerade, auf der ein Ursprung, eine Einheitsstrecke und ein positiver Richtungssinn an-

gegeben sind, nennt man ‚Zahlengerade’ oder ‚Zahlenachse‘. Die Zahl, die die Lage des

Punktes auf der Zahlenachse charakterisiert, ist gleich dem in der gewählten Maßeinheit aus-

gedrückten Abstand des Punktes vom Ursprung. Dieser wird mit dem Zeichen plus versehen,

falls der Punkt vom Ursprung aus im positiven Richtungssinn erreicht werden kann, und mit

dem Zeichen minus im umgekehrten Falle. Sowohl die von Euler konstruierte x-Achse als

auch ein Zahlenstrahl sind also gewissermaßen ‚Zahlengeraden‘ bzw. ‚Zahlenachsen‘, wobei

die Zahl Null auf dem Zahlenstrahl dem Punkt A aus Eulers Abhandlungen entspricht.

2. Arbeitsauftrag: Konstruieren Sie nun die Abszissen für die Werte , und

auf folgender „Zahlenachse“, wobei ein Kästchen eine

Längeneinheit darstellt.

Arbeitsblatt 3: Vergleich x-Achse und Zahlenstrahl (§1 bis §3) - LÖSUNGEN


55

3. Arbeitsauftrag: Hein Blöd ist sich unsicher: „Ist jetzt -3 oder -2

größer? Die Abszisse ist doch länger als

die Abszisse !“ Können Sie ihm

weiterhelfen? Berücksichtigen Sie bei Ihren

Überlegungen auch Eulers dritten Paragraphen

(AB2)!

Die Abszisse umfasst drei und die Abszisse lediglich 2 Län-

geneinheiten. Da gilt, müsste demnach -3 größer als -2 sein. Jedoch wird bei dieser

Überlegung das Vorzeichen der Abszisse nicht berücksichtigt.

Deshalb formuliert Euler im dritten Paragraphen zu Recht: Umso mehr der Punkt P nach links

bewegt wird, umso kleiner wird der Wert von x. Da P1 also weiter von A (dem Koordinaten-

ursprung) entfernt ist als P2, ist die Zahl -3 kleiner die Zahl -2 (obwohl der Betrag von -3 grö-

ßer als der von -2 ist).

Arbeitsblatt 4: Graphische Darstellung einer Kurve (§4)


56

Nachdem Euler in seinen bisherigen Paragraphen eine Zahlengerade beschrieben hat,

beschäftigt er sich nun damit, wie man eine Kurve graphisch darstellen kann.

1. Arbeitsauftrag: Übersetzen Sie die lateinischen Sätze in angemessenes Deutsch, und

ziehen Sie dabei unter Umständen ein Wörterbuch zu Rate.

De lineis curvis in genere – Über Kurven im Allgemeinen (Bd. 2, Kapitel 1, §4)


beliebige Funktion von x möglichst passend geometrisch dargestellt werden kann. Sei y eine

beliebige Funktion von x, sodass y also einen bestimmten Wert annimmt, wenn für x ein

begrenzter Wert eingesetzt wird. Nachdem die unendliche Gerade RAS ausgewählt worden

ist, um die Werte von x anzuzeigen, wird für jeden beliebigen Wert von x das entsprechende

Intervall AP festgelegt und (dann) die Senkrechte zu AP der Länge PM errichtet, was dem

Wert von y entspricht. Scilicet, si valor ipsius1 y prodeat affirmativus

2, is supra rectam RS

constituatur, sin autem valor ipsius1 y negativus oriatur, is infra rectam RS normaliter

applicetur. Sumptis enim valoribus ipsius1 y affirmativis

3 supra rectam RS, evanescentes in

ipsam RS et negativi infra eam cadent.

2. Arbeitsauftrag: An welche Definition erinnert Sie Eulers Aussage „Sei y eine beliebige

Funktion von x, sodass y also einen bestimmten Wert annimmt, wenn für

x ein begrenzter Wert eingesetzt wird.“?

3. Arbeitsauftrag: Beschreiben Sie kurz in eigenen Worten, wie nach Eulers Auffassung

jeder beliebige Punkt einer Kurve konstruiert werden kann, und beziehen

Sie sich ggf. auf Figur 2. Wenden Sie ebendieses Verfahren auf die

Punkte p und P2 in Figur 2 an. Dabei soll der Punkt A der festgesetzte

Punkt auf der Achse sein, der den Anfangspunkt der Abszissen

darstellt.

1 Bleibt unübersetzt.

2 affirmativus, a, um – Gegenteil von negativus, a, um.

3 Sumptis...rectam RS – Ablativus absolutus, der mit einem temporalen Nebensatz wiedergegeben werden kann.

Arbeitsblatt 4: Graphische Darstellung einer Kurve (§4)


57

Zusatzaufgabe: Welche Vorzeichen haben Ihrer Meinung nach die beiden Abszissen Ap

und AP2?

Arbeitsblatt 4: Graphische Darstellung einer Kurve (§4) - LÖSUNGEN


58

Nachdem Euler in seinen bisherigen Paragraphen eine Zahlengerade beschrieben hat,

beschäftigt er sich nun damit, wie man eine Kurve graphisch darstellen kann.

1. Arbeitsauftrag: Übersetzen Sie die lateinischen Sätze in angemessenes Deutsch, und

ziehen Sie dabei unter Umständen ein Wörterbuch zu Rate.



beliebige Funktion von x möglichst passend geometrisch dargestellt werden kann. Sei y eine

beliebige Funktion von x, sodass y also einen bestimmten Wert annimmt, wenn für x ein be-

grenzter Wert eingesetzt wird. Nachdem die unendliche Gerade RAS ausgewählt worden ist,

um die Werte von x anzuzeigen, wird für jeden beliebigen Wert von x das entsprechende In-

tervall AP festgelegt und (dann) die Senkrechte zu AP der Länge PM errichtet, was dem Wert

von y entspricht. Ist der Wert von y positiv, dann soll PM oberhalb der Geraden RS liegen,

wenn aber der Wert von y negativ ist, soll die Senkrechte (bzw. PM) unterhalb der Geraden

RS liegen. Nachdem die positiven Werte von y oberhalb der Geraden RS angeordnet worden

sind, liegt für y = 0 der Wert von y auf der Geraden RS und für negative Werte von y unter-

halb der Geraden RS.

2. Arbeitsauftrag: An welche Definition erinnert Sie Eulers Aussage „Sei y eine beliebige

Funktion von x, sodass y also einen bestimmten Wert annimmt, wenn für

x ein begrenzter Wert eingesetzt wird.“?

An die Definition einer Funktion: Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet!

Arbeitsblatt 4: Graphische Darstellung einer Kurve (§4) - LÖSUNGEN


59

3. Arbeitsauftrag: Beschreiben Sie kurz in eigenen Worten, wie nach Eulers Auffassung

jeder beliebige Punkt einer Kurve konstruiert werden kann, und beziehen

Sie sich ggf. auf Figur 2. Wenden Sie ebendieses Verfahren auf die

Punkte p und P2 in Figur 2 an. Dabei soll der Punkt A der festgesetzte

Punkt auf der Achse sein, der den Anfangspunkt der Abszissen

darstellt.

Sei RAS eine unendliche Gerade. Um nun den Punkt einer Kurve graphisch darzustellen,

müssen zunächst die Abszissen bzw. die Intervalle AP auf der Geraden RAS bestimmt

werden, wobei A den Ausgangspunkt der Intervalle darstellen soll. Zu diesen Strecken wird

nun die Senkrechte errichtet, wobei P einen Punkt auf der Achse und M den Endpunkt der

Senkrechten auf der Kurve darstellt. Auf diese Weise kann jeder beliebige Punkt einer Kurve

eindeutig bestimmt werden. Figur 2 bildete ebendieses Verfahren für die Senkrechte PM ab.

Zusatzaufgabe: Welche Vorzeichen haben Ihrer Meinung nach die beiden Abszissen Ap

und AP2?

Ap hat ein negatives Vorzeichen, da diese Abszisse auf der linken Seite von A liegt, und ent-

sprechend hat AP2 ein positives Vorzeichen, da diese rechts von A angeordnet ist.

Arbeitsblatt 5: Lage der Senkrechten und der Endpunkte (§5 bis §6)


60

Arbeitsauftrag: Ergänzen Sie folgende Aussagen über Figur 2 zu der Lage der

Senkrechten und der Lage ihrer Endpunkte!

Lage der Senkrechten


.

2.) Falls gilt, liegt die Senkrechte PM _________ der Geraden RS, wie für ,

das den positiven y-Wert liefert.

3.) Falls gilt, liegt die Senkrechte PM _________ der Geraden RS, wie für

das den negativen y-Wert liefert.

Arbeitsblatt 5: Lage der Senkrechten und der Endpunkte (§5 bis §6)


61

Lage der Endpunkte


, sodass die Endpunkte _____ und _____ auf der Geraden RS liegen

2.) Falls gilt, liegt die Senkrechte PM _________ der Geraden RS, wie für ,

das den positiven y-Wert liefert, sodass auch der Endpunkt _____ _________

der Geraden RS liegt.

3.) Falls gilt, liegt die Senkrechte PM _________ der Geraden RS, wie für

das den negativen y-Wert liefert, sodass auch der Endpunkt _____ _________

der Geraden RS liegt.

Arbeitsblatt 5: Lage der Senkrechten und der Endpunkte (§5 bis §6) - LÖSUNGEN


62

Arbeitsauftrag: Ergänzen Sie folgende Aussagen über Figur 2 zu der Lage der

Senkrechten und der Lage ihrer Endpunkte!

Lage der Senkrechten


.


den positiven y-Wert liefert.


den negativen y-Wert liefert.

Lage der Endpunkte


, sodass die Endpunkte D und E auf der Geraden RS liegen.


den positiven y-Wert liefert, sodass auch der Endpunkt M oberhalb der Geraden

RS liegt.

Arbeitsblatt 5: Lage der Senkrechten und der Endpunkte (§5 bis §6) - LÖSUNGEN


63


den negativen y-Wert liefert, sodass auch der Endpunkt m unterhalb der Geraden

RS liegt.

Arbeitsblatt 6: Stetige und unstetige Kurven (§9)


64

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie die deutsche Übersetzung von Eulers neuntem Paragraphen

gründlich durch, und achten Sie dabei auf Eulers Definition von stetigen

und unstetigen Kurven!


9. Aus diesem Verständnis von Kurven folgt sofort die Unterscheidung von stetigen1, unsteti-

gen sowie gemischten Kurven. Das heißt, die Gestalt einer stetigen Kurve wird durch eine





Kurven unstetig oder gemischt oder irregulär. Dies liegt daran, dass sie nicht von einer einzi-

gen konstanten Vorschrift beschrieben, sondern aus Teilen verschiedener stetiger Kurven zu-

sammengesetzt werden.

2. Arbeitsauftrag: Begründen Sie mithilfe von Paragraph neun, welche der Kurven nach

Eulers Verständnis stetig und welche unstetig sind2!

Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4

1 Bei Euler bezieht sich ‚stetig‘ immer auf Kurven und nicht auf Funktionen.

2 Der französische Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789 bis 1857) kritisierte später Eulers Stetigkeitsbe-

griff, indem er Eulers Theorie mit einem Gegenbeispiel zu widerlegen versuchte.

Arbeitsblatt 6: Stetige und unstetige Kurven (§9) - LÖSUNGEN


65

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie die deutsche Übersetzung von Eulers neuntem Paragraphen

gründlich durch, und achten Sie dabei auf Eulers Definition von stetigen

und unstetigen Kurven!


9. Aus diesem Verständnis von Kurven folgt sofort die Unterscheidung von stetigen1, unsteti-

gen sowie gemischten Kurven. Das heißt, die Gestalt einer stetigen Kurve wird durch eine





Kurven unstetig oder gemischt oder irregulär. Dies liegt daran, dass sie nicht von einer ein-

zigen konstanten Vorschrift beschrieben, sondern aus Teilen verschiedener stetiger Kurven

zusammengesetzt werden.

2. Arbeitsauftrag: Begründen Sie mithilfe von Paragraph neun, welche der Kurven nach

Eulers Verständnis stetig und welche unstetig sind2!

Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4

1 Bei Euler bezieht sich ‚stetig‘ immer auf Kurven und nicht auf Funktionen.

2 Der französische Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789 bis 1857) kritisierte später Eulers Stetigkeitsbe-

griff, indem er Eulers Theorie mit einem Gegenbeispiel zu widerlegen versuchte.

Arbeitsblatt 6: Stetige und unstetige Kurven (§9) - LÖSUNGEN


66

Die Figuren 1 und 3 sind Eulers Verständnis nach stetige Kurven, da sie durch eine einzige

Funktion von x festgelegt werden können, wie bspw. . Die Figuren 2 und 4 rechnet

Euler aus dem Grunde den unstetigen Kurven zu, weil sie durch verschiedene Funktionen von

x ausgedrückt werden. Dies bedeutet, dass zum Beispiel in Figur 2 die Kurve zunächst durch

die Funktionsgleichung definiert wird; die Kurve von einem bestimmten Punkt an

jedoch eine andere Funktionsgleichung, wie z.B. , abbildet. Auf diese Weise gibt es

zwei verschiedene Funktionsgleichungen, die bestimmte Teile der Kurve aus Figur 2 be-

schreiben, weswegen Euler ihre Graphen als unstetige Kurven bezeichnet.

Arbeitsblatt 7: Definitionen (§11)


67

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie sich folgende Tabelle gründlich durch, und achten Sie dabei

besonders auf die Definitionen, die Euler in seinem elften Paragraphen

anführt!


Originaltext (Latein) Übersetzung (Englisch) Übersetzung (Deutsch)

11. In hac linearum curvarum

explicatione nomina quae-

dam sunt tenenda, quorum

frequentissimus usus existit

in doctrina de lineis curvis.

Primum igitur recta RS, in

qua valores ipsius x abscin-

untur, vocatur axis seu linea

recta directrix.

Punctum A, a quo valores

ipius x mensurantur, dicitur

initium abscissarum.

Portiones autem axis AP,

quibus determinati ipisius x

valores indicantur, vocari

solent abscissae.

Et perpendiculares PM ex

terminis abscissarum P ad

lineam curvam pertingentes

nomen applicatarum obtinu-

erunt.

11. There is some terminolo-

gy which is frequently used

when discussing what is

known about curves.

First of all the straight line

RS, from which the values of

x are cut off, is called the

axis or the straight line di-

rectrix.

The point A, from which the

values of x are measured, is

called the origin of the ab-

scissas.

The parts of the axis, AP, by

which the determined values

of x are indicated, are called

abscissas.

The perpendiculars PM,

reaching from the abscissa to

the curve, are called ordi-

nates.

11. Bei unseren Erklärungen

zu Kurven sollten gewisse

Bezeichnungen festgehalten

werden, von denen in der

Lehre der Kurven sehr oft

Gebrauch gemacht wird.

Zuerst also wird die Gerade

RS, von der die Werte von x

abgeschnitten werden, Achse

oder Direktrix genannt.1

Der Punkt A, von dem die

Werte für x abgetragen wer-

den, wird der Ursprung der

Abszissen genannt. (Koordi-

natenursprung)

Die Teile der Achse AP je-

doch, die die endlichen Wer-

te von x wiedergeben, wer-

den Abszissen genannt (x-

Koordinaten).

1 Entspricht dem modernen Begriff „x-Achse“.



68

Vocantur autem hoc casu

applicatae normales seu or-

thogonales, quia cum axe

angulum rectum constituunt;

cum enim simili modo appli-

catae PM ad angulum obli-

quum cum axe constitui pos-

sint, hoc casu applicatae ob-

liquangulae vocantur; (....)

In this case it is called the

normal or orthogonal ordi-

nate, since it forms a right

angle with the axis. When the

ordinate PM forms an

oblique angle with the axis,

then the ordinate is called

oblique. (...)

Die Senkrechten PM, die

sich vom Ausgangspunkt P

bis zur Kurve erstrecken,

erhielten den Namen Appli-

katen.

In diesem Fall werden sie

normale oder orthogonale

Applikaten genannt, weil sie

ja mit der Achse einen rech-

ten Winkel bilden; wenn aber

in ähnlicher Art und Weise

die Applikaten PM einen

schiefen Winkel mit der

Achse bilden können, werden

sie schiefe Applikaten ge-

nannt. (...)



69

2. Arbeitsauftrag: Euler definiert in diesem Paragraphen sechs verschiedene Bestandteile

unseres heutigen Kartesischen Koordinatensystems. Um welche sechs

handelt es sich dabei? Tragen Sie sie in folgende Tabelle ein:


Beispiel:

axis seu linea recta directrix


rectrix

Achse oder Direktrix (bzw. x-

Achse)



70

3. Arbeitsauftrag: Zeichnen Sie in untenstehende Graphik folgende Bestandteile eines

Koordinatensystems farbig ein: axis, initium abscissarum, abscissa und

applicata! Handelt es sich hier um applicatae orthogonales oder

applicatae obliquangulae?

Arbeitsblatt 7: Definitionen (§11) - LÖSUNGEN


71

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie sich folgende Tabelle gründlich durch, und achten Sie dabei

besonders auf die Definitionen, die Euler in seinem elften Paragraphen

anführt!



11. In hac linearum curvarum

explicatione nomina quae-

dam sunt tenenda, quorum

frequentissimus usus existit

in doctrina de lineis curvis.

Primum igitur recta RS, in

qua valores ipsius x abscin-

untur, vocatur axis seu linea

recta directrix.

Punctum A, a quo valores

ipius x mensurantur, dicitur

initium abscissarum.

Portiones autem axis AP,

quibus determinati ipisius x

valores indicantur, vocari

solent abscissae.

Et perpendiculares PM ex

terminis abscissarum P ad

lineam curvam pertingentes

nomen applicatarum obtinu-

erunt.

11. There is some terminolo-

gy which is frequently used

when discussing what is

known about curves.

First of all the straight line

RS, from which the values of

x are cut off, is called the


rectrix.

The point A, from which the

values of x are measured, is

called the origin of the ab-

scissas.

The parts of the axis, AP, by

which the determined values

of x are indicated, are called

abscissas.

The perpendiculars PM,

reaching from the abscissa to

the curve, are called ordi-

nates.

11. Bei unseren Erklärungen

zu Kurven sollten gewisse

Bezeichnungen festgehalten

werden, von denen in der

Lehre der Kurven sehr oft

Gebrauch gemacht wird.

Zuerst also wird die Gerade

RS, von der die Werte von x

abgeschnitten werden, Achse

oder Direktrix genannt.1

Der Punkt A, von dem die

Werte für x abgetragen wer-

den, wird der Ursprung der

Abszissen genannt. (Koordi-

natenursprung)

Die Teile der Achse AP je-

doch, die die endlichen Wer-

te von x wiedergeben, wer-

den Abszissen genannt (x-

Koordinaten).

1 Entspricht dem modernen Begriff „x-Achse“.



72

Vocantur autem hoc casu


thogonales, quia cum axe

angulum rectum constituunt;

cum enim simili modo appli-

catae PM ad angulum obli-

quum cum axe constitui pos-

sint, hoc casu applicatae ob-

liquangulae vocantur; (....)

In this case it is called the

normal or orthogonal ordi-

nate, since it forms a right

angle with the axis. When the

ordinate PM forms an

oblique angle with the axis,

then the ordinate is called

oblique. (...)

Die Senkrechten PM, die

sich vom Ausgangspunkt P

bis zur Kurve erstrecken,

erhielten den Namen Appli-

katen.

In diesem Fall werden sie


Applikaten genannt, weil sie

ja mit der Achse einen rech-

ten Winkel bilden; wenn aber

in ähnlicher Art und Weise

die Applikaten PM einen

schiefen Winkel mit der

Achse bilden können, werden

sie schiefe Applikaten ge-

nannt. (...)



73

2. Arbeitsauftrag: Euler definiert in diesem Paragraphen sechs verschiedene Bestandteile

unseres heutigen Kartesischen Koordinatensystems. Um welche sechs

handelt es sich dabei? Tragen Sie sie in folgende Tabelle ein:


Beispiel:

axis seu linea recta directrix


rectrix

Achse oder Direktrix (bzw. x-

Achse)

initium abscissarum

origin of the abscissas

Ursprung der Abszissen

(Koordinatenursprung)

abscissae

abscissas

Abszissen (x-Koordinaten)

applicatae bzw. nomen appli-

catarum

ordinates

Applikaten (bzw. Ordinaten)


thogonales

normal or orthogonal ordina-

te


Applikaten

applicatae obliquangulae

oblique ordinate

schiefe Applikaten



74

3. Arbeitsauftrag: Zeichnen Sie in untenstehende Graphik folgende Bestandteile eines

Koordinatensystems farbig ein: axis, initium abscissarum, abscissa und

applicata! Handelt es sich hier um applicatae orthogonales oder

applicatae obliquangulae?

axis: Gerade durch die Punkte O und B

initium abscissarum: Punkt O

abscissa: die Strecke OB

applicata: die Strecke BC

Es handelt sich um orthogonales applicatae, also um orthogonale Applikate, da die Abszisse

OB und die Applikate BC einen rechten Winkel bilden!

Arbeitsblatt 8: positive und negative Absissen und Applikaten (§12)


75

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie sich den zwölften Paragraphen gründlich durch, und

übersetzen Sie die lateinischen Sätze in angemessenes Deutsch!


12. Wenn also irgendeine Abszisse AP durch die Variable x dargestellt wird, sodass AP = x,

dann wird der Funktionswert y die Länge der Applikate PM angeben, und es wird gelten PM

= y. Die Gestalt der Kurve, angenommen sie sei stetig, wird also von der Gestalt der Funktion

y abhängen – das heißt von der Art und Weise, wie irgendein y aus x und aus irgendwelchen

Konstanten zusammengesetzt wird. In axe igitur RS erit portio1 AS locus abscissarum

affirmativarum2, portio AR locus abscissarum negativarum; tum vero supra axem RS existet

regio applicatarum affirmativarum, infra autem erit regio applicatarum negativarum.

2. Arbeitsauftrag: In welchen Bereichen des Koordinatensystems liegen also positive und

negative Abszissen und Applikate? Zeichnen Sie in der ersten Skizze die

Bereiche für positive und negative Abszissen und in der zweiten Skizze

die für positive und negative Applikate farbig ein, und ergänzen Sie den

nebenstehenden Lückentext!

1 portio, portionis f – Teil.

2 affirmativus, a, um – Gegenteil von negativus, a, um.

Arbeitsblatt 8: positive und negative Absissen und Applikaten (§12)


76

Skizze 1

Der Teil AS bringt

_____________ Abszissen,

und der Teil AP

______________Abszissen

hervor.

Skizze 2

Der Teil ___________

der Achse PS bringt

_____________ Applikaten,

und der Teil _____________

der Achse PS bringt

______________Applikaten

hervor.

Arbeitsblatt 8: positive und negative Absissen und Applikaten (§12) - LÖSUNGEN


77

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie sich den zwölften Paragraphen gründlich durch, und

übersetzen Sie die lateinischen Sätze in angemessenes Deutsch!


12. Wenn also irgendeine Abszisse AP durch die Variable x dargestellt wird, sodass AP = x,

dann wird der Funktionswert y die Länge der Applikate PM angeben, und es wird gelten PM

= y. Die Gestalt der Kurve, angenommen sie sei stetig, wird also von der Gestalt der Funktion

y abhängen – das heißt von der Art und Weise, wie irgendein y aus x und aus irgendwelchen

Konstanten zusammengesetzt wird. Auf der Achse PS wird also der Teil AS der Ort für

positive Abszissen, der Teil für negative Abszissen sein; dann aber wird oberhalb der Achse

RS eine Gegend von positiven Applikaten, unterhalb der Achse RS aber die Gegend für

negative Applikaten sein.

2. Arbeitsauftrag: In welchen Bereichen des Koordinatensystems liegen also positive und

negative Abszissen und Applikate? Zeichnen Sie in der ersten Skizze die

Bereiche für positive und negative Abszissen und in der zweiten Skizze

die für positive und negative Applikate farbig ein, und ergänzen Sie den

nebenstehenden Lückentext!

Arbeitsblatt 8: positive und negative Absissen und Applikaten (§12) - LÖSUNGEN


78

Skizze 1

Der Teil AS bringt

positive Abszissen (rosa),

und der Teil AP

negative Abszissen (gelb)

hervor.

Skizze 2

Der Teil oberhalb

der Achse PS bringt

positive Applikaten (beige),

und der Teil unterhalb

der Achse PS bringt

negative Applikaten (türkis)

hervor.

Durch diese Erläuterungen kann an der Lage eines Punktes sofort auf das jeweilige

Vorzeichen seiner beiden Koordinaten geschlossen werden.

Arbeitsblatt 9: algebraische und transzendente Kurven (§15)


79

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie sich den fünfzehnten Paragraphen gründlich durch, und achten

Sie dabei besonders auf Eulers Definition von algebraischen und

transzendenten Kurven! Worauf führt Euler seine Erkenntnisse über

Kurven zurück?


15. Da wir die Kenntnisse über Kurven auf Wissen über Funktionen zurückgeführt haben, gibt

es so viele verschiedene Arten von Kurven, wie wir oben verschiedene Arten von Funktionen

gesehen haben. Aus diesem Grund erscheint es also sinnvoll, zwischen algebraischen und

transzendenten Kurven zu unterscheiden. Eine Kurve sei algebraisch, wenn die Applikate y

eine algebraische Funktion der Abszisse x ist; oder, wenn die Gestalt der Kurve durch eine

algebraische Gleichung zwischen den Koordinaten x und y ausgedrückt wird. Diese Art von

Kurven wird gewöhnlich auch geometrische genannt. Eine Kurve ist dagegen dann

transzendent, wenn ihre Gestalt durch eine transzendente Gleichung zwischen x und y

ausgedrückt wird, das heißt, dass y eine transzendente Funktion von x wird. Das ist die

grundlegende Unterscheidung bei stetigen Kurven, wobei diese entweder algebraisch oder

transzendent sind.

2. Arbeitsauftrag: Recherchieren Sie im Internet, was man unter algebraischen und

transzendenten Kurven bzw. Funktionen versteht!

algebraisch: ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

transzendent: ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

Arbeitsblatt 9: algebraische und transzendente Kurven (§15) - LÖSUNGEN


80

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie sich den fünfzehnten Paragraphen gründlich durch, und achten

Sie dabei besonders auf Eulers Definition von algebraischen und

transzendenten Kurven! Worauf führt Euler seine Erkenntnisse über

Kurven zurück?

Er führt seine Erkenntnisse über Kurven auf das Wissen über Funktionen zurück. Demzufolge

werden algebraische und transzendente Kurven mithilfe von algebraischen und

transzendenten Funktionen definiert.


15. Da wir die Kenntnisse über Kurven auf Wissen über Funktionen zurückgeführt

haben, gibt es so viele verschiedene Arten von Kurven, wie wir oben verschiedene Arten von

Funktionen gesehen haben. Aus diesem Grund erscheint es also sinnvoll, zwischen

algebraischen und transzendenten Kurven zu unterscheiden. Eine Kurve sei algebraisch,

wenn die Applikate y eine algebraische Funktion der Abszisse x ist; oder, wenn die Gestalt

der Kurve durch eine algebraische Gleichung zwischen den Koordinaten x und y ausgedrückt

wird. Diese Art von Kurven wird gewöhnlich auch geometrische genannt. Eine Kurve ist

dagegen dann transzendent, wenn ihre Gestalt durch eine transzendente Gleichung zwischen

x und y ausgedrückt wird, das heißt, dass y eine transzendente Funktion von x wird. Das ist

die grundlegende Unterscheidung bei stetigen Kurven, wobei diese entweder algebraisch oder

transzendent sind.

2. Arbeitsauftrag: Recherchieren Sie im Internet, was man unter algebraischen und

transzendenten Kurven bzw. Funktionen versteht!

Arbeitsblatt 9: algebraische und transzendente Kurven (§15) - LÖSUNGEN


81

1.) http://www.blikk.it/angebote/primarmathe/ma7930.htm (Zugriff: 27. Mai 2014)

Eine Funktion heißt algebraisch, wenn im Funktionsterm nur die Grundrechenarten und das

Wurzelzeichen vorkommen (z.B. lineare oder quadratische Funktionen, Potenzfunktion). Eine

mathematische Funktion heißt transzendent, wenn im Funktionsterm nicht nur die

Grundrechenarten und die Wurzel vorkommen, wenn also über die vorgenannten

Grundoperationen hinausgegangen wird (z. B. Exponentialfunktion).

2.) Wikipedia (Zugriff: 27. Mai 2014)

Algebraische Funktionen sind eine spezielle Klasse von Funktionen, die insbesondere in dem

mathematischen Teilgebiet der Algebra untersucht wird. Sie sind die Lösung einer

algebraischen Gleichung. Funktionen, die nicht algebraisch sind, werden transzendente

Funktionen genannt.

Die Theorie der algebraischen Funktionen wurde in der Vergangenheit von den drei

mathematischen Teilgebieten Funktionentheorie, arithmetische algebraische Geometrie und

algebraische Geometrie aus entwickelt.

Beispiele

Potenzfunktionen, also insbesondere auch quadratische und kubische Funktionen

Polynom-Funktionen

Rationale Funktionen beziehungsweise gebrochen-rationale Funktionen

Wurzelfunktion

Eine Funktion wird transzendent genannt, falls sie nicht algebraisch ist. Hierzu zählen zum

Beispiel

die Exponentialfunktion

die Logarithmusfunktion

Kreis- und Hyperbelfunktionen

o Trigonometrische Funktion

o Hyperbelfunktion

o Arkusfunktion

o Areafunktion

http://www.blikk.it/angebote/primarmathe/ma7930.htm

http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29

http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Teilgebiet

http://de.wikipedia.org/wiki/Algebra

http://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Gleichung

http://de.wikipedia.org/wiki/Funktionentheorie

http://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_algebraische_Geometrie

http://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Geometrie

http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion

http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Funktion

http://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Funktion

http://de.wikipedia.org/wiki/Polynom

http://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Funktion

http://de.wikipedia.org/wiki/Gebrochen-rationale_Funktion

http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelfunktion

http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus

http://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion

http://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelfunktion

http://de.wikipedia.org/wiki/Arkusfunktion

http://de.wikipedia.org/wiki/Areafunktion

Arbeitsblatt 10: Einwertige Funktionen (§16)


82

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie sich den sechszehnten Paragraphen gründlich durch, und

achten Sie dabei besonders auf Eulers Definition von einwertigen

Funktionen! Formulieren Sie anschließend mit eigenen Worten ein

Kriterium, mit dessen Hilfe man erkennen kann, ob eine Funktion

einwertig (uniformis) ist.


16. Um aber die Kurve zu einer gegebenen Funktion von x, durch die die Applikate y

ausgedrückt wird, zu beschreiben, muss insbesondere beachtet werden, ob die Natur der

Funktion entweder einwertig (uniformis) oder aber mehrwertig (multiformis) ist. Als erstes

setzen wir voraus, dass y eine einwertige Funktion von x ist (...). Für jeden beliebigen Wert

von x hat auch die Applikate y einen einzigen bestimmten Wert. Jeder einzelnen Abszisse

wird eine einzige Applikate zugeordnet werden und deswegen wird die Kurve

folgendermaßen beschaffen sein: Trägt man von einem beliebigen Punkt P auf der Achse RS

die Applikate PM ab, so wird diese die Kurve immer nur in einem einzigen Punkt M

schneiden. Also werden den einzelnen Punkten auf der Achse einzelne Punkte auf der Kurve

zugeordnet werden; weil die Achse auf beiden Seiten ins Unendliche verläuft, wird auch die

Kurve auf beiden Seiten ins Unendliche laufen. Die Kurve, die aus einer derartigen Funktion

entstanden ist, wird sich in einem stetigen Verlauf auf beiden Seiten mit der Achse ins

Unendliche erstrecken, wie die Figur 2 zeigt, wo die Kurve mEBMDM beiderseits ohne

irgendeine Unterbrechung ins Unendliche verläuft.

Arbeitsblatt 10: Einwertige Funktionen (§16)


83

2. Arbeitsauftrag: Handelt es sich bei folgenden Kurven um Funktionsgraphen von

einwertigen Funktionen? Begründen Sie!

Kurve 1 Kurve 2

Kurve 3

Kurve 4

Arbeitsblatt 10: Einwertige Funktionen (§16) – LÖSUNGEN


84

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie sich den sechszehnten Paragraphen gründlich durch, und

achten Sie dabei besonders auf Eulers Definition von einwertigen

Funktionen! Formulieren Sie anschließend mit eigenen Worten ein

Kriterium, mit dessen Hilfe man erkennen kann, ob eine Funktion

einwertig (uniformis) ist.


16. Um aber die Kurve zu einer gegebenen Funktion von x, durch die die Applikate y ausge-

drückt wird, zu beschreiben, muss insbesondere beachtet werden, ob die Natur der Funktion

entweder einwertig (uniformis) oder aber mehrwertig (multiformis) ist. Als erstes setzen wir

voraus, dass y eine einwertige Funktion von x ist (...). Für jeden beliebigen Wert von x hat

auch die Applikate y einen einzigen bestimmten Wert. Jeder einzelnen Abszisse wird eine

einzige Applikate zugeordnet werden und deswegen wird die Kurve folgendermaßen be-

schaffen sein: Trägt man von einem beliebigen Punkt P auf der Achse RS die Applikate

PM ab, so wird diese die Kurve immer nur in einem einzigen Punkt M schneiden. Also

werden den einzelnen Punkten auf der Achse einzelne Punkte auf der Kurve zugeordnet wer-

den; weil die Achse auf beiden Seiten ins Unendliche verläuft, wird auch die Kurve auf bei-

den Seiten ins Unendliche laufen. Die Kurve, die aus einer derartigen Funktion entstanden ist,

wird sich in einem stetigen Verlauf auf beiden Seiten mit der Achse ins Unendliche erstre-

cken, wie die Figur 2 zeigt, wo die Kurve mE-

BMDM beiderseits ohne irgendeine Unterbre-

chung ins Unendliche verläuft.

Kriterium:

Ein Funktion ist genau dann einwertig, falls jeder beliebigen Abszisse (x-Wert) genau eine

Applikate (y-Wert) zugeordnet wird. Anhand des Funktionsgraphen lässt sich dies

folgerdermaßen ablesen: Errichtet man zu jeder beliebigen Abzsizze auf der Achse RS die

Senkrechte, so schneidet diese die Kurve in genau einem Punkt. Deshalb wird diese Funktion

auch ein-Wert-ig genannt.

Arbeitsblatt 10: Einwertige Funktionen (§16) – LÖSUNGEN


85

2. Arbeitsauftrag: Handelt es sich bei folgenden Kurven um Funktionsgraphen von

einwertigen Funktionen? Begründen Sie!

Kurve 1 Kurve 2

Kurve 3

Kurve 4

Bei Kurve 2 handelt es sich um den Funktionsgraphen einer einwertigen Funktion, da jedem

beliebigen x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird bzw. die Senkrechte zu einer beliebigen

Abszisse den Graphen immer in einem Punkt schneidet. Die anderen drei Kurven 1, 3 und 4

stellen keine Graphen von einwertigen Funktionen dar, da die Senkrechte zu einer beliebigen

Abszisse der Achse RS die Kurve (meist)1 in zwei Punkten schneidet.

1 Bei den Kurven 1 und 3 existieren jedoch jeweils zwei x-Werte, denen lediglich ein y-Wert zugeordnet wird.

Arbeitsblatt 11: Zweiwertige Funktionen (§17 und §18)


86

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie sich die beiden folgenden Paragraphen gründlich durch, und

achten Sie dabei besonders auf Eulers Definition von zweiwertigen

Funktionen! Welche Form haben Eulers Auffassung nach zweiwertige

Funktionen?

De lineis curvis in genere – Über Kurven im Allgemeinen (Bd. 2, Kapitel 1, §17 -

§18)


von x, und sei , sodass √ Also werden jeder einzelnen

Abszisse x zwei Applikate y zugeordnet, beide entweder reell oder komplex, wobei y für

reell und für komplex

ist. Solange also beide Werte von y

reell sind, werden der Abszisse AP

zwei Applikaten PM, PM zugeordnet

werden (Fig. 3), sodass die Senkrechte

zu der Achse im Punkt P die Kurve in

zwei Punkten M und M treffen wird.

Sobald aber gilt, wird die Abszisse x dort keinen Koordinaten zugeordnet werden;

die Senkrechte zu der Achse wird in diesen Punkten niemals die Kurve schneiden, wie das bei

Punkt p in Figur 3 der Fall ist. Aber falls vorher gegolten hätte, hätte nicht

gelten können, außer für den Fall , der die Grenze zwischen reellen und komplexen

Applikaten darstellt. Sobald also die reellen Applikaten verschwinden, wie in C oder G, gilt

dort , und beide Applikaten sind gleich, sodass sich dort die Kurve zurückbiegt.

18. In Figur 3 wird deutlich, dass, solange die Abszisse negativ ist und x zwischen den

Grenzen AC und AE liegt, die Applikate komplex ist, und es gilt ; links neben E

werden die Applikaten wieder reell, was nicht geschehen kann, außer in E gilt ,

weshalb beide Applikaten gleich sind. Dann wieder werden den Abszissen AP zwei

Applikaten Pm, Pm zugeordnet, solange bis wir zu G kommen, wo diese beiden Applikaten

gleich werden. Links von G werden sie schließlich imaginär. Auf diese Art und Weise kann

Arbeitsblatt 11: Zweiwertige Funktionen (§17 und §18)


87

eine Kurve aus zwei voneinander getrennten Teilen, wie MBDBM und FmHm, oder aus

mehreren Teilen bestehen. Dennoch müssen diese Teile als zusammengehörig betrachtet und

somit als eine einzige stetige oder reguläre Kurve angesehen werden, weil diese einzelnen

Teile aus ein und derselben Funktion hervorgehen. Diese Kurven haben also die Eigenschaft,

dass, wenn in einzelnen Punkten der Achse die Senkrechten MM gebildet werden, diese

immer die Kurve entweder gar nicht oder in zwei Punkten schneiden; außer die zwei Punkte

fallen zusammen, wie das bei den Applikaten in den Punkten D, F, H und I der Fall ist.

2. Arbeitsauftrag: Ergänzen Sie folgenden Lückentext, der sich damit beschäftigt, unter

welchen Bedingungen die Applikate einer zweiwertigen Funktion reelle

bzw. komplexe1 Zahlenwerte hervorbringt.

1.) Für den Fall liefert die zweiwertige Funktion ______ _______ y-Werte.


gibt, liefert die zweiwertige Funktion _____ ________ y-Werte.

3.) Für den Fall liefert die zweiwertige Funktion nur ________ y-Wert bzw. beide

Applikaten sind ____________.

In wie vielen Punkten schneiden die Applikaten die Kurve also für diese drei Fälle?

1.) Für den Fall schneiden die Applikaten die Kurve in ______ Punkt(en).



1 Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung

lösbar wird.

http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenmenge

http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl

Arbeitsblatt 11: Zweiwertige Funktionen (§17 und §18) - LÖSUNGEN


88

1. Arbeitsauftrag: Lesen Sie sich die beiden folgenden Paragraphen gründlich durch, und

achten Sie dabei besonders auf Eulers Definition von zweiwertigen

Funktionen! Welche Form haben Eulers Auffassung nach zweiwertige

Funktionen?

Nach Euler sind alle zweiwertigen Funktionen so beschaffen, dass sie von der Gestalt

sind, wobei y eine zweiwertige Funktion von x und

P und Q zwei einwertige Funktionen von x darstellen

De lineis curvis in genere – Über Kurven im Allgemeinen (Bd. 2, Kapitel 1, §17 -

§18)


von x, und sei , sodass √ Also werden jeder einzelnen

Abszisse x zwei Applikate y zugeordnet, beide entweder reell oder komplex, wobei y für

reell und für

komplex ist. Solange also beide Werte

von y reell sind, werden der Abszisse

AP zwei Applikaten PM, PM

zugeordnet werden (Fig. 3), sodass die

Senkrechte zu der Achse im Punkt P

die Kurve in zwei Punkten M und M

treffen wird. Sobald aber gilt, wird die Abszisse x dort keinen Koordinaten

zugeordnet werden; die Senkrechte zu der Achse wird in diesen Punkten niemals die Kurve

schneiden, wie das bei Punkt p in Figur 3 der Fall ist. Aber falls vorher gegolten

hätte, hätte nicht gelten können, außer für den Fall , der die Grenze zwischen

reellen und komplexen Applikaten darstellt. Sobald also die reellen Applikaten verschwinden,

wie in C oder G, gilt dort , und beide Applikaten sind gleich, sodass sich dort die

Kurve zurückbiegt.

18. In Figur 3 wird deutlich, dass, solange die Abszisse negativ ist und x zwischen den

Grenzen AC und AE liegt, die Applikate komplex ist, und es gilt ; links neben E

Arbeitsblatt 11: Zweiwertige Funktionen (§17 und §18) - LÖSUNGEN


89

werden die Applikaten wieder reell, was nicht geschehen kann, außer in E gilt ,

weshalb beide Applikaten gleich sind. Dann wieder werden den Abszissen AP zwei

Applikaten Pm, Pm zugeordnet, solange bis wir zu G kommen, wo diese beiden Applikaten

gleich werden. Links von G werden sie schließlich imaginär. Auf diese Art und Weise kann

eine Kurve aus zwei voneinander getrennten Teilen, wie MBDBM und FmHm, oder aus

mehreren Teilen bestehen. Dennoch müssen diese Teile als zusammengehörig betrachtet und

somit als eine einzige stetige oder reguläre Kurve angesehen werden, weil diese einzelnen

Teile aus ein und derselben Funktion hervorgehen. Diese Kurven haben also die Eigenschaft,

dass, wenn in einzelnen Punkten der Achse die Senkrechten MM gebildet werden, diese

immer die Kurve entweder gar nicht oder in zwei Punkten schneiden; außer die zwei Punkte

fallen zusammen, wie das bei den Applikaten in den Punkten D, F, H und I der Fall ist.

2. Arbeitsauftrag: Ergänzen Sie folgenden Lückentext, der sich damit beschäftigt, unter

welchen Bedingungen die Applikate einer zweiwertigen Funktion reelle

bzw. komplexe1 Zahlenwerte hervorbringt.

1.) Für den Fall liefert die zweiwertige Funktion zwei reelle y-Werte.


gibt, liefert die zweiwertige Funktion zwei komplexe y-Werte.

3.) Für den Fall liefert die zweiwertige Funktion nur einen y-Wert bzw. beide Appli-

katen sind identisch.

In wie vielen Punkten schneiden die Applikaten die Kurve also für diese drei Fälle?

1.) Für den Fall schneiden die Applikaten die Kurve in zwei Punkten.

2.) Für den Fall schneiden die Applikaten die Kurve in keinem Punkt.

3.) Für den Fall schneiden die Applikaten die Kurve in einem Punkt.

1 Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung

lösbar wird.

http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenmenge

http://de.wikipedia.org/wiki/Reelle_Zahl

Arbeitsblatt 12: Dreiwertige Funktionen (§19)


90

1. Arbeitsauftrag: Entscheiden Sie mithilfe Ihres bisherigen Wissens über mehrwertige

Funktionen, ob es sich bei folgenden Kurven (Figur vier und Figur fünf)

nach Eulers Verständnis um die Graphen von dreiwertigen Funktionen

(triformis functio) handelt. Begründen Sie Ihre Entscheidung!


Zusatzaufgabe: Stellen Sie eine Vermutung darüber auf, welches Kriterium eine

Funktion erfüllen muss, um in Eulers Augen als eine ‚vierwertige

Funktion‘ (quadriformis functio) zu gelten.

Arbeitsblatt 12: Dreiwertige Funktionen (§19) - LÖSUNGEN


91

1. Arbeitsauftrag: Entscheiden Sie mithilfe Ihres bisherigen Wissens über mehrwertige

Funktionen, ob es sich bei folgenden Kurven (Figur vier und Figur fünf)

nach Eulers Verständnis um die Graphen von dreiwertigen Funktionen

(triformis functio) handelt. Begründen Sie Ihre Entscheidung!


Bei den Figuren vier und fünf handelt es sich um dreiwertige Funktionen, da einem gewissen

x-Wert drei y-Werte zugeordnet werden, sodass die zugehörige Applikate die Kurve in drei

Punkten schneidet.

Arbeitsblatt 12: Dreiwertige Funktionen (§19) - LÖSUNGEN


92

Zusatzaufgabe: Stellen Sie eine Vermutung darüber auf, welches Kriterium eine

Funktion erfüllen muss, um in Eulers Augen als eine ‚vierwertige

Funktion‘ (quadriformis functio) zu gelten.

Eine Funktion gilt in Eulers Augen genau dann als vierwertig, wenn einem gewissen x-Wert

vier y-Werte zugeordnet werden, sodass die zugehörige Applikate die Kurve in vier Punkten

schneidet.

Arbeitsblatt 13: Malen nach ‚Zahlen‘


93

1. Arbeitsauftrag: Sei RS eine Achse und der Punkt O der Ursprung der Abszissen.

Zeichnen Sie zunächst folgende Punkte ein!

Punkt A: Abszisse: 1 Applikate: 1

Punkt B: Abszisse: 2 Applikate: 5

Punkt C: Abszisse: 5 Applikate: 1

Punkt D: Abszisse: 0 Applikate: 4

Punkt E: Abszisse: 5 Applikate: 3

2. Arbeitsauftrag: Verbinden Sie nun die eingezeichneten Punkte wie folgt: ABCDEA.

Welche Form ergibt sich?

Arbeitsblatt 13: Malen nach ‚Zahlen‘ - LÖSUNGEN


94

1. Arbeitsauftrag: Sei RS eine Achse und der Punkt O der Ursprung der Abszissen.

Zeichnen Sie zunächst folgende Punkte ein!






2. Arbeitsauftrag: Verbinden Sie nun die eingezeichneten Punkte wie folgt: ABCDEA.

Welche Form ergibt sich?

Ein Stern.

Arbeitsblatt 14: Schach einmal anders


95

Spielanleitung:

Spieleranzahl: 2

Material: Schachspiel, zwei Notizblöcke

Zunächst einigen sich die beiden Spieler darauf,

welcher Spieler mit den weißen und welcher mit den

schwarzen Spielfiguren spielt. Anschließend wird

jedem Spieler ein Notizblock ausgehändigt. Der

Unterschied zu den bekannten Schachregeln besteht

darin, dass ein Spieler seinen Spielzug nicht

selbstständig ausführt, sondern diesen auf seinem

Notizblock festhält und vom Gegenspieler ausführen

lässt. Dabei sollen die Spielzüge folgendermaßen

festgehalten werden:

Spieler A notiert z.B. auf seinem Notizblock:

Springer von ‚Abszisse b, Applikate 8‘ nach ‚Abszisse c, Applikate 6‘

Spieler B führt den von Spieler A notierten Spielzug aus. Dann ist Spieler B an der Reihe,

einen Spielzug auf seinem Notizblock festzuhalten. Wichtig dabei ist, dass die Spielzüge im-

mer von der Form

„Spielfigur von Abszisse __, Applikate __ nach Abszisse __, Applikate__“

sind. In obenstehender Skizze liegt dabei der Ursprung der Abszissen unten links.

Arbeitsblatt 15: Schiffe versenken


96

Spielanleitung:

Spieleranzahl: 2

Material: 1 AB pro Spieler

Bei dem Spiel ‚Schiffe versenken‘ raten die beiden

Spieler abwechselnd, an welcher Stelle des Spielfeldes

die oben dargestellte Schiffsflotte des Mitspielers zu

finden ist. Das nebenstehende Raster ist dabei deswegen

in zwei Ausführungen abgebildet, da in der oberen die

Lage der eigenen Schiffe und in der unteren die richtigen

und falschen Treffer über die Lage der Schiffe des

Mitspielers notiert werden. Dabei werden die Stellen mit

den Angaben am Rand bezeichnet und müssen immer in

folgender Weise erfragt werden:

„Treffer bei Abszisse ___, Applikate ____?“ z.B. „Treffer bei Abszisse 3, Applikate J“?

Der Ursprung der Abszissen befindet sich also oben links.

Viel Spaß bei der Schiffsjagd!

Arbeitsblatt 16: Worte schreiben leicht gemacht


97

1. Arbeitsauftrag: Es sei RS eine Achse und O der Ursprung der Abszissen. Tragen Sie

zunächst folgende Punkte in die untenstehende Abbildung ein.






Punkt F: Abszisse: 4 Applikate: 2

Punkt G: Abszisse: 3 Applikate: 5

Punkt H: Abszisse: 5 Applikate: 1

Punkt I: Abszisse: 2 Applikate: 3

Punkt J: Abszisse: 4 Applikate: 3

2. Arbeitsauftrag: Wenn Sie nun folgende Punkte miteinander verbinden, ergibt jede

Buchstabenkombination einen Buchstaben:

ABDJIC; AGHJI; ABEFA; AB; ABDC

Welches Wort ergibt sich?

Arbeitsblatt 16: Worte schreiben leicht gemacht - LÖSUNGEN


98

1. Arbeitsauftrag: Es sei RS eine Achse und O der Ursprung der Abszissen. Tragen Sie

zunächst folgende Punkte in die untenstehende Abbildung ein.






Punkt F: Abszisse: 4 Applikate: 2

Punkt G: Abszisse: 3 Applikate: 5

Punkt H: Abszisse: 5 Applikate: 1

Punkt I: Abszisse: 2 Applikate: 3

Punkt J: Abszisse: 4 Applikate: 3

2. Arbeitsauftrag: Wenn Sie nun folgende Punkte miteinander verbinden, ergibt jede

Buchstabenkombination einen Buchstaben:

ABDJIC; AGHJI; ABEFA; AB; ABDC

Welches Wort ergibt sich?

Arbeitsblatt 16: Worte schreiben leicht gemacht - LÖSUNGEN


99

100

5 Zusammenfassung

Wie aus der Kurzbiographie des Mathematikers und auch aus der ersten Station der Projekt-

woche zu entnehmen ist, beruht das ‚Phänomen‘ Leonhard Euler einerseits auf einer überaus

umfangreichen Produktion von rund 900 Abhandlungen und Büchern, wobei Eulers Arbeits-

wille selbst durch den Verlust seines Augenlichts nicht gemindert werden konnte. Anderer-

seits zeichnet sich der selbstlose, gerechte und unkomplizierte Mathematiker durch eine ge-

waltige Konzentrationsfähigkeit, stete und ruhige Arbeit und ein erstaunliches Gedächtnis

aus, das in der Geschichte aller Mathematiker seinesgleichen sucht. Auch für seine Hartnä-

ckigkeit und seine leicht aufbrausende Art, aber auch für seine strenge Religiosität war Euler

bei seinen Zeitgenossen bekannt. All diese Charaktereigenschaften, die Euler als einen über-

aus angenehmen Zeitgenossen erscheinen lassen, und seine zahlreichen Entdeckungen be-

wirkten, dass Leonhard Euler als einer der größten Mathematiker aller Zeiten in die Geschich-

te einging.

Zu seinen wichtigsten Werken zählt auch sein Lehrbuch Introductio in analysin infinitorum,

dessen erstes Kapitel des zweiten Bandes im Rahmen der vorliegenden Masterarbeit

untersucht worden ist. Ebenso wie in seinen anderen beiden Lehrbüchern wird aus den

Analysen zu diesem ersten Kapitel De lineis curvis in genere der pädagogische Charakter

seiner Schrift ersichtlich. Auch dieser didaktische Auftrag, den Euler mit seinen Lehrbüchern

verfolgte, bestätigt den Eindruck von einem ‚Phänomen‘ Leonhard Eulers, zumal die

Abhandlungen des Mathematikers sich auf keine direkten pädagogischen Vorlagen stützen.

Vielmehr trug Euler zu der Entstehung einer neuen literarischen Gattung bei und machte so

die Mathematik für interessierte Leserinnen und Leser zugänglich, indem er sie an seinen

Entdeckungen und auch an seinen Fehlern schrittweise teilhaben ließ.

Um auch die heutige Mathematikgeneration an dem ‚Phänomen‘ Leonhard Eulers teilhaben

zu lassen, wurde eine viertägige Projektwoche geplant, die sich mit dem Kapitel De lineis

curvis in genere des zweiten Bandes von Eulers Introductio befasst. Von den teilnehmenden

Schülerinnen und Schülern erfordert diese Projektwoche dabei nicht nur ein Interesse für die

Übersetzung lateinischer Texte mit mathematischem Inhalt, sondern auch Begeisterung für

mathematische Problemstellungen, die über den gängigen Unterrichtsstoff hinausgehen. So

bieten diese vier Projekttage den teilnehmenden Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit,

sich zum einen mit der Übersetzung eines lateinischen Originaltextes aus dem achtzehnten

Jahrhundert und zum anderen mit wissenschaftlichem Denken und Arbeiten in Form von De-

finitionen und verschiedenen graphischen Darstellungen auseinanderzusetzen. Die Schülerin-

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nen und Schüler machen sich mit der mathematischen Forschung aus dem achtzehnten Jahr-

hundert vertraut, die nicht nur die Herausforderung der Übersetzung des lateinischen Origi-

naltextes, sondern auch solche Schwierigkeiten birgt, die die Sprache eines vergangenen Jahr-

hunderts mit sich bringt. Zudem erfahren die Teilnehmer anhand von Konstruktionsprotokol-

len und Knobelaufgaben, wie sie selbstständig Informationen aus dem lateinischen Original-

text gewinnen und Definitionen auf bestimmte Sachverhalte anwenden können. Eigenständig

sollen sie sich mit dem Lösen von Problemaufgaben beschäftigen und die Arbeitsschritte des

Schweizers verinnerlichen, wie an der Zusatzaufgabe über vierwertige Funktionen an der

zwölften Station deutlich wird. Auch werden sie mit ihnen bekannten Alltagssituationen kon-

frontiert. Derartige auf die Lebenswelt der Schüler bezogene Aufgabenstellungen thematisie-

ren besonders die letzten vier Stationen der Projektwoche. So beschäftigen sich die Schülerin-

nen und Schüler an der dreizehnten und der sechszehnten Station mit einer auf Eulers Ausfüh-

rungen bezogene Abwandlung des Spiels ‚Malen nach Zahlen‘. An den beiden Stationen vier-

zehn und fünfzehn werden die Teilnehmer mit einer modifizierten Form des Schachspielens

bzw. des Spieles ‚Schiffe versenken‘ konfrontiert.

Demnach wurden im Rahmen der Projektwoche durch die Auseinandersetzung mit Eulers

Kapitel De lineis curvis in genere vorrangig drei Lernziele verfolgt:

1.) Die teilnehmenden Schülerinnen und Schüler sollen die Geometrie und die Grundlagen

des wissenschaftlichen Denkens und Arbeitens kennenlernen.

2.) Die Teilnehmer verinnerlichen geometrische Probleme und erarbeiten einen Lösungsweg.

3.) Die Schülerinnen und Schüler werden mit Situationen aus ihrer Lebenswelt konfrontiert.

Leonhard Euler – ein phänomenaler Mathematiker des achtzehnten Jahrhunderts, der auch im

heutigen einundzwanzigsten Jahrhundert wegen seiner enormen Leistungen gewürdigt und

anerkannt werden sollte. Insbesondere der zweite Band seiner Introductio in analysin infinito-

rum verdient es, von den Forschern berücksichtigt und geschätzt zu werden, da hier – wie an

der vorgestellten Projektwoche ersichtlich – für den heutigen Schulunterricht überaus wert-

volle Ergebnisse zu finden sind.

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Literaturverzeichnis

Primärliteratur

Blanton, J. D. (Hrsg.), Euler. Introduction to Analysis of the Infinite. Book I (New York

1988).

Blanton, J. D. (Hrsg.), Euler. Introduction to Analysis of the Infinite. Book II (New York

1990).

Krazer, A. – F., Rudio. (Hrsg.), Leonhardi Euleri. Introductio in analysin infinitorum. Tomus

primus = Leonhardi Euleri opera omnia Vol. 8 (Karlsruhe und Zürich 1922).

Labey, J. B. (Hrsg.), Introduction a l’analyse infinitésimale – Tome second (Paris 1835).

Speiser, A. (Hrsg.), Leonhardi Euleri. Introductio in analysin infinitorum. Tomus secundus =

Leonhardi Euleri opera omnia Vol. 9 (Lipsiae 1945).

Sekundärliteratur

Boyer, C. B., History of analytic geometry (New York 1956).

Coolidge, J. L. (Hrsg.), A history of geometrical methods (New York 1963).

Demmig, R., (Hrsg.) Von Koordinaten bis Funktionsgleichungen = Mathematik. Lehr- und

Lernbuch in Teilen auch zum Selbstunterricht geeignet Vol. 4 (Darmstadt-Eberstadt

1965).

Fellmann, E. A., Ein Essay über Leben und Werk, in: Leonhard Euler 1707-1783: Beitraege

zu Leben und Werk (1983) 13-98.

Fellmann, E. A. (Hrsg.), Leonhard Euler (Reinbek bei Hamburg 1995).

103

Fried, M. N., Apollonius of Perga’s „Conica“. text, context, subtext (Leiden 2001).

Fueter, R. (Hrsg.), Leonhard Euler (Basel 1948).

Gelfand, I. M., Glagoleva E. G. – A. A. Kirillov (Hrsgg.), Die Koordinatenmethode (Leipzig

1968).

Gelfond, A. O, Über einige charakteristische Züge in den Ideen L. Eulers auf dem Gebiet der

mathematischen Analysis und seiner ‚Einführung in die Analysis des Unendlichen‘,

in: Leonhard Euler 1707-1783: Beitraege zu Leben und Werk (1983) 99-110.

Gottfried, T. (Hrsg.), Analyse spezifischer Anforderungen im Mathematikunterricht zur linea-

ren Algebra, analytischen Geometrie (Hamburg 1994).

Hayman, W. K. (Hrsg.), Multivalent functions (Cambridge 1967).

Hofmann, J. E. (Hrsg.), Geschichte der Mathematik. Band 1: Von den Anfängen bis zum Auf-

treten von Fermat und Descartes (Berlin 1963).

Hofmann, J. E. (Hrsg.), Geschichte der Mathematik. Band 2: Von Fermat und Descartes bis

zur Erfindung des Calculus und bis zum Ausbau der neuen Methoden (Berlin 1957).

Hofmann, J. E. (Hrsg.), Geschichte der Mathematik. Band 3: Von den Auseinandersetzungen

um den Calculus bis zur Französischen Revolution (Berlin 1957).

Janka, W. (Hrsg.), Analytische Geometrie und lineare Algebra (Stuttgart, Düsseldorf und

Leipzig 2003).

Jung, H. W. E. (Hrsg.), Einführung in die Theorie der algebraischen Funktionen einer Verän-

derlichen (Berlin 1923).

Knobloch, E. (Hrsg.), Zum Werk Leonhard Eulers: Vortraege d. Euler-Kolloquiums im Mai

1983 in Berlin (Basel, Boston und Stuttgart 1984).

104

Kratzer, A. – W. Franz (Hrsgg.), Transzendente Funktionen (Leipzig 1963).

Kropp, G. (Hrsg.), Geschichte der Mathematik. Probleme und Gestalten (Heidelberg 1969).

Lehmann, I. – W. Schulz (Hrsgg.) Mengen – Relationen – Funktionen. Eine anschauliche

Einführung (Wiesbaden 2007).

Lind, D (Hrsg.), Koordinaten, Vektoren, Matrizen. Einführung in die lineare Algebra und

analytische Geometrie (Heidelberg 1997).

Mainzer, K. (Hrsg.), Geschichte der Geometrie (Mannheim 1980).

Scriba, C.J. – P. Schreiber (Hrsgg.), 5000 Jahre Geometrie. Geschichte Kultur Menschen

(Berlin und Heidelberg 2010).

Thiele, R. (Hrsg.), Leonhard Euler (Leipzig 1982).

Volkert, K., Die Geschichte der pathologischen Funktionen – Ein Beitrag zur Entstehung der

mathematischen Methodologie, in: Archive of History of Exact Sciences 37 (1987)

193-232.

Weigand, H.-G. (Hrsg.), Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I + II (Berlin und Hei-

delberg 2014).

Youschkevitch, A. P., The Concept of Function up to the Middle of the 19th

Century, in:

Archive for History of Exact Sciences 16 (1976) 37-85.

Nachschlagewerk:

Walz, G. (Hrsg.), Lexikon der Mathematik (Heidelberg 2001ff.).

105

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E r k l ä r u n g

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Hiermit erkläre ich, dass ich die von mir eingereichte Abschlussarbeit (Master-Thesis) selb-

ständig verfasst, keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt sowie die

Stellen der Abschlussarbeit, die anderen Werken dem Wortlaut oder Sinn nach entnommen

wurden, in jedem Fall unter Angabe der Quelle als Entlehnung kenntlich gemacht habe. Ent-

sprechendes gilt für beigegebene Zeichnungen, Kartenskizzen und Darstellungen.

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Masterthesis - UNIVERSITY OF WUPPERTALvolkert/Masterthesis Euler.pdf · Band II: Appendix de superficiebus, Kapitel 1: De lineis curvis in genere (Pastell von Emanuel Handmann, 1753,