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modevaldrei a b c( )2
b a
Funktionswert am Modalpunkt
drei a b c( )2 a
2b
2 c
2 a b a c b c
6
drei a b c( )a b c
3
Erwartungswert und Standardabweichung
qdrei p a b c( ) qdrei_aux p a bc a( )
b a( )
qdrei_aux p a b m( ) a b a( ) wenn p m m p 1 1 m( ) 1 p( )
Quartilsfunktion
pdrei x a b c( ) wenn x a 0 wenn x b 1 wenn x cx a( )
2
b a( ) c a( ) 1
b x( )2
b a( ) b c( )
Verteilungsfunktion
ddrei x a b c( ) wenn x a 0 wenn x b 0 wenn x c 2x a( )
b a( ) c a( ) 2
b x( )
b a( ) b c( )
Dichtefunktion
Dreiecksverteilung
Diese Mathcad-Anwendung dient der Ermittlung von Projektlaufzeiten. Sie dürfen dieses Dokument oder Text-Ausdrucke davon frei benutzen und verteilen, dürfen aber die Copyright-Notiz und den Namen des Autors nicht verändern oder modifizieren.
Sie dürfen auch -- unter Angabe der Quelle -- Teile dieser Anwendung in Ihre Anwendungen einbauen.
Copyright 2006-2009: Wolfgang Kowarschick
Version 1.12
Projektlaufzeit
mvbeta2 a b c u( ) min 1 mvauxb2 a b c u( )( )
mvauxb2 a b c u( ) wenn u 1 u mmb2 a b c( ) wenn u 0= F mmb2 a b c( ) wenn u mmb2 a b c( ) u mmb2 a b c( )( )( )( )
(minimaler Modalwert)mmb2 a b c( ) modevalbeta2 a b c 2( )
(Faktor für Höhe am Modalpunkt von beta2, falls Benutzer p=0 wählt)F 4
Bestimmung des Modalwerts durch den Benutzer (u= user input)
Bei gegebenen Parametern a,b,c ist die Funktion modevalbeta2(..., d) streng monoton steigend. Die Summe d der beiden Werte und kann daher mit Hilfe einer iterativen Bisektion so bestimmt werden, dass die Beta-Verteilung am Modalpunkt c eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit 0<p<1 hat.
modevalbeta2 a b c d( ) dbeta2 c a b c d( ) a b c d( ) a b
Der Wert 0< p = modeval(a,b,c,d) < 1der Dichte-Funktion am Modalpunkt c hängt von d ab:
modebeta2 a b c d( ) a b c d( ) 1
a b c d( ) a b c d( ) 2b a( ) a
Der Modus der so berechneten Beta-Verteilungen ist (für jedes d) gleich c:
(für d > 2) a b c d( ) d a b c d( ) a b c d( ) 1 d 2( )c a
b a
Berechnung von und abhängig von einer Dreipunkt-Schätzung a,b, cund der Summe d der beiden Werte und so, dass der Modus gleich c ist:
beta2 a b b a
1beta2 a b b a
Erwartungswert und Standardabweichung
qbeta2 p a b qbeta p b a( ) a
Quartilsfunktion
pbeta2 x a b pbetax a( )
b a( )
Verteilungsfunktion
dbeta2 x a b 1
b a( )dbeta
x a( )
b a( )
Dichtefunktion
allgemeine Beta-Verteilung (Basis: normalisierte Beta-Verteilung von Mathcad)
Beispiel
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
modevalbeta2 15 60 20 x( )
modebeta2 15 60 20 x( )
100
x x
qalle p a b c d dist( ) wenn dist 0= a qalle1 p a b c d dist( )( )
qalle1 p a b c d dist( ) wenn dist 1= qdrei p a b c( ) qalle2 p a b c d dist( )( )
qalle2 p a b c d dist( ) wenn dist 2= qbeta2 p a b c d( ) a b c d( ) a b qalle3 p a b c d dist( )
qalle3 p a b c d dist( ) qnorm p alle3 a b c d dist( ) alle3 a b c d dist( )
Quartilsfunktion
alle a b c d dist( ) wenn dist 0= 0 alle1 a b c d dist( )
alle1 a b c d dist( ) wenn dist 1= drei a b c( ) alle2 a b c d dist( )
alle2 a b c d dist( ) wenn dist 2= beta2 a b c d( ) a b c d( ) a b alle3 a b c d dist( )
alle3 a b c d dist( )c a
2
Standardabweichung
alle a b c d dist( ) wenn dist 0= a alle1 a b c d dist( )
alle1 a b c d dist( ) wenn dist 1= drei a b c( ) alle2 a b c d dist( )
alle2 a b c d dist( ) wenn dist 2= beta2 a b c d( ) a b c d( ) a b alle3 a b c d dist( )
alle3 a b c d dist( ) c
Erwartungswert
d = 0: sichere Dauer (Parameter a = b = c)d = 1: Dreiecksverteilung (Parameter a, b, c; c = Modalpunkt)d = 2: Beta-Verteilung (Parameter a, b, c, d; c = Modalpunkt, d = Modalwert >2)d = 3: Normal-Verteilung (Parameter c = = Modalpunkt, c-a = 2)
Funktionen, die mehrere Verteilungsfunktionen abhängig vom Parameter d (= distribution) realisieren.
bisek a b c d dist I( ) wenn modeval a b cI0
I1
2 dist
d 0 I0
I0
I1
2
I0
I1
2I1
Bei gegebenen Parametern a,b,c ist die Funktion modeval(...,d) streng monoton steigend. Die Wert d kann daher mit Hilfe einer iterativen Bisektion so bestimmt werden, dass die Beta-Verteilung am Modalpunkt c eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit 0<p<1 hat. Die folgende Methode bestimmt für ein gegebenes Intervall I ein halb so großes Intervall, das d enthält (wenn das ursprüngliche Intervall d enthält):
mvinput a b c u dist( ) wenn dist 0= u mvinput1 a b c u dist( )( )
mvinput1 a b c u dist( ) wenn dist 1= u mvinput2 a b c u dist( )( )
mvinput2 a b c u dist( ) wenn dist 2= mvbeta2 a b c u( ) mvinput3 a b c u dist( )( )
mvinput3 a b c u dist( ) u
Bestimmung des Modalwerts durch den Benutzer
modeval a b c d dist( ) wenn dist 0= 999999 modeval1 a b c d dist( )( )
modeval1 a b c d dist( ) wenn dist 1= modevaldrei a b c( ) modeval2 a b c d dist( )( )
modeval2 a b c d dist( ) wenn dist 2= modevalbeta2 a b c d( ) modeval3 a b c d dist( )( )
modeval3 a b c d dist( )2
c a( ) 2
Wert am Modalpunkt (ist teilweise nicht eindeutig definiert => weiterer Freiheitsgrad d für Benutzer)
mode a b c d dist( ) wenn dist 0= a mode1 a b c d dist( )( )
mode1 a b c d dist( ) wenn dist 1= c mode2 a b c d dist( )( )
mode2 a b c d dist( ) wenn dist 2= modebeta2 a b c d( ) mode3 a b c d dist( )( )
mode3 a b c d dist( ) c
Modalpunkt (Modus)
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
mval x( )
x 0 m
y
x x d
intN
114.625 114.626( )mval d( ) 0.3d 114.625
mval x( ) modeval a b c x dist( )int
25114.62 114.65( )
int20
114.441 115.395( )
int15
91.553 122.07( )
int10
0 976.563( )
int5
0 3.125 104
int0
0 1 106
Ziwschenergebnisse des Bisektionsverfahrens:
d intN
T
0
intn 1 bisek a b c m dist int
nT
int
00 1000000( )
n 0 1 N 1(Anzahl Iterationsschritte)N 30
m 0.3m mvinput a b c 0.3 dist( )c 20b 60a 15dist 2
Berechnung der Summe mv der beiden Werte und so, dass die Beta-Verteilung am Modal-Punkt c eine gegebene Wahrscheinlichkeit p = modeval(a,b,c,d) hat (Nullstellenbestimmung mit Bisektion):
Beispiel
d drei a b c( ) d 31.667 d 10.069
b beta2 0 0 a b b beta2 0 0 a b b 24.048 b 5.807
pdrei 20 a b c( ) 0.111
d 0 d 31.667 pdrei d 0 d a b c 0.554
d 1 d 41.736 pdrei d 1 d a b c 0.815
d 2 d 51.805 pdrei d 2 d a b c 0.963
d 3 d 61.874 pdrei d 3 d a b c 1
pbeta2 20 0 0 a b 0.284
b 0 b 24.048 pbeta2 b 0 b 0 0 a b 0.568
b 1 b 29.855 pbeta2 b 1 b 0 0 a b 0.838
b 2 b 35.663 pbeta2 b 2 b 0 0 a b 0.956
b 3 b 41.47 pbeta2 b 3 b 0 0 a b 0.992
a 15 b 60 c 20 d 8.646 0 a b c d( ) 0 a b c d( )
( d 8.646 wurde für p=0.075 mittels Bisektion ermittelt)
0 1.738 0 6.908 mode a b c d 2( ) 20 (= c) modeval a b c d 2( ) 0.075 (= p)
modeval a b c 2 2( ) 0.022 (min p)
50- und 95-Prozent-Quartile der beiden Verteilungen
dm qdrei 0.5 a b c( ) ds qdrei 0.95 a b c( ) dm 30 ds 50.513
bm qbeta2 0.5 0 0 a b bs qbeta2 0.95 0 0 a b bm 22.989 bs 35.184
Erwartungswert und Standardabweichung der beiden Verteilungen:
d drei a b c( )
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0.025
0.05
0.075
0.1
ddrei x a b c( )
dbeta2 x 0 0 a b( )
y
y
y
y
x x dm bm ds bs
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
0.25
0.5
0.75
1
pdrei x a b c( )
pbeta2 x 0 0 a b( )
y
y
x x 15 60
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
qdrei x a b c( )
qbeta2 x 0 0 a b( )
15 x 0
60 x 0
y
dm 0x
bm x 0
y
ds 0 x
bs 0 x
x x x x 0.5 0 y x x 0.95 0 y x x
d drei a b c( ) d 4.333 d 1.7
b beta2 0 0 a b b beta2 0 0 a b b 3.312 b 0.976
pdrei 20 a b c( ) 1
d 0 d 4.333 pdrei d 0 d a b c 0.546
d 1 d 6.033 pdrei d 1 d a b c 0.817
d 2 d 7.733 pdrei d 2 d a b c 0.967
d 3 d 9.432 pdrei d 3 d a b c 1
pbeta2 20 0 0 a b 1
b 0 b 3.312 pbeta2 b 0 b 0 0 a b 0.535
b 1 b 4.289 pbeta2 b 1 b 0 0 a b 0.835
b 2 b 5.265 pbeta2 b 2 b 0 0 a b 0.965
b 3 b 6.241 pbeta2 b 3 b 0 0 a b 0.997
a 1 b 9 c 3 d 12.802 0 a b c d( ) 0 a b c d( )
( d 12.802 wurde für p=0.4 mittels Bisektion ermittelt)
0 3.7 0 9.101 mode a b c d 2( ) 3 (= c) modeval a b c d 2( ) 0.4 (= p)
modeval a b c 2 2( ) 0.125 (min p)
50- und 95-Prozent-Quartile der beiden Verteilungen
dm qdrei 0.5 a b c( ) ds qdrei 0.95 a b c( ) dm 4.101 ds 7.451
bm qbeta2 0.5 0 0 a b bs qbeta2 0.95 0 0 a b bm 3.222 bs 5.065
Erwartungswert und Standardabweichung der beiden Verteilungen:
d drei a b c( )
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ddrei x a b c( )
dbeta2 x 0 0 a b( )
y
y
y
y
x x dm bm ds bs
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
pdrei x a b c( )
pbeta2 x 0 0 a b( )
y
y
x x 1 9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
qdrei x a b c( )
qbeta2 x 0 0 a b( )
1 x 0
9 x 0
y
dm 0x
bm x 0
y
ds 0 x
bs 0 x
x x x x 0.5 0 y x x 0.95 0 y x x
m 0 1 S
mxm
m
m1m
qalle rnd 1( ) a1 b1 c1 d1 dist1( ) 1 alle a1 b1 c1 d1 dist1( ) 1 alle a1 b1 c1 d1 dist1( )
m2m
qalle rnd 1( ) a2 b2 c2 d2 dist2( ) 2 alle a2 b2 c2 d2 dist2( ) 2 alle a2 b2 c2 d2 dist2( )
m3m
qalle rnd 1( ) a3 b3 c3 d3 dist3( ) 3 alle a3 b3 c3 d3 dist3( ) 3 alle a3 b3 c3 d3 dist3( )
m4m
qalle rnd 1( ) a4 b4 c4 d4 dist4( ) 4 alle a4 b4 c4 d4 dist4( ) 4 alle a4 b4 c4 d4 dist4( )
m5m
qalle rnd 1( ) a5 b5 c5 d5 dist5( ) 5 alle a5 b5 c5 d5 dist5( ) 5 alle a5 b5 c5 d5 dist5( )
msm
m1m
m2m
m3m
m4m
m5m
1 2 3 4 5 30.867
12
22
32
42
52
3.776
n 0 1 rund max ms( )( )
in
n
h hist i ms( ) dn x( ) max h( ) 2 dnorm x (approximierende Normalverteilung)
10 0 10 20 30 400
1000
2000
3000
Verteilung der Summe
dn x( )
h
y
y
y
x i 2 2
Monte-Carlo-Simulation
a1 1 b1 9 c1 6 d1 0 dist1 1
a2 3 b2 19 c2 7 d2 6 dist2 2
a3 5 b3 8 c3 6 d3 10 dist3 2
a4 1 b4 9 c4 5 d4 5 dist4 2
a5 4 b5 9 c5 6 d5 10 dist5 2
S 30000 (S = Stichprobenanzahl)
10 0 10 20 30 400
10
20
30
2-Sigma-Bereich
dn x( )
h
y
y
y
x i 2 2
0 5000 1 104
1.5 104
2 104
2.5 104
3 104
15
20
25
30
35
40
45
geschätzte Quartilsfunktion der Summe
sort ms( )
mx
vinti 0 0 100000( )
vinti n 1 bisek va
ivb
i vc
i vm
i vdist
i vint
i nT
vdi
vinti I
T
0
vd2i
vinti I
T
1
vi alle vai
vbi
vci
vdi
vdisti
vi alle vai
vbi
vci
vdi
vdisti
vvari
vi 2
s v s vvar (geschätzt: Erwartungswert und Standardabweichung)
m 0 1 S 1 (Monte-Carlo-Simulation)vx
mm ms
m 0 0
i 0 zeilen projekt( ) 1
mym i 1 my
m i qalle rnd 1( ) vai
vbi
vci
vdi
vdisti
vy submatrix my 0 S 1 zeilen projekt( ) zeilen projekt( )( ) vy
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
123.978
128.852
131.605
125.822
131.861
129.704
124.565
123.745
128.178
137.74
120.712
121.433
122.361
117.437
135.647
130.814
B rund max 1s
10
(Intervallbreite für Histogrammdarstellung)
A rundmax vy( )
B
(Intervalanzahl für Histogrammdarstellung)
j 0 A vij
j B (Vektor mit den Intervallen für das Histogramm)
vh hist submatrix vi 0 A 1 0 0( ) vy( ) (Histogramm, Submatrix, da vy aus früheren Berechnungen Schmutz enthalten kann
Berechnung der Dauer/Kosten eines Projektes mit Daten aus einer Excel-Tabelle
Initialisiere jeweils 100 Vektor-Felder mit 0, damit in den angezeigten Vektoren kein Schnutz steht, wenn die Excel-Tabelle weniger Zeilen enthält.va, vb, vc: Vektoren mit den Parameterwerten a,b,cvu: User-Input für Parameter d; vm: Modeval, berechnet aus vu; vd,vd2: Paramer d, berechnet mit Bisektion aus vmvdist: Vektor mit Verteilungsidentifikatoren (0=konstant, 1=Dreieck, 2=Beta, 3=Normal) vs: Vektor mit S Zufallsergebnissen (Summen der Einzeldauern)
i 0 100
vdisti
0 vai
0 vbi
0 vci
0 vui
0 vmi
0 vdi
0 vd2i
0 vyi
0 vi 0 vi 0
projektD:\..\projekt_simulation_01.xls
S 30000 (Anzahl Stichproben)I 50 (Anzahl Iterationsschritte zur Berechnung von p)
i 0 zeilen projekt( ) 1
vdisti
projekti 4
vai
projekti 0 vb
iwenn vdist
i0= va
i projekt
i 2 vci
wenn vdisti
0= vai
projekti 1
vui
projekti 3 vm
imvinput va
ivb
i vc
i vu
i vdist
i
n 0 I 1 (Ermittlung von vd aus vm mittels Bisektion)
S 3 104
(S = Stichprobenanzahl) A 154 B 1 (Intervalle) zeilen projekt( ) 20
vdist
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
0
0
1
1
va
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
3
2
3
7
3
1
10
2
4
6
5
4
7
1
4
vb
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9
12
4
6
12
12
8
12
12
6
20
7
4
7
12
7
vc
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
6
3
4
8
6
6
11
11
5
10
6
4
7
5
5
vd
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
2
2.71
2
2
13.15
21.171
6.764
10.778
6.764
0
0
0
0
0
0
dn x( ) max vh( ) s 2 dnorm x s s (approximierende Normalverteilung)
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
500
1000
1500
2000
Verteilung der Summe
dn x( )
vh
y
y
y
x vi s s 2 s s 2 s
vinti 0 0 100000( )
vinti n 1 bisek va
ivb
i vc
i vm
i vdist
i vint
i nT
vdi
vinti I
T
0
vd2i
vinti I
T
1
vi alle vai
vbi
vci
vdi
vdisti
vi alle vai
vbi
vci
vdi
vdisti
vvari
vi 2
s v s vvar (geschätzt: Erwartungswert und Standardabweichung)
m 0 1 S 1 (Monte-Carlo-Simulation)vx
mm ms
m 0 0
i 0 zeilen projekt( ) 1
mym i 1 my
m i qalle rnd 1( ) vai
vbi
vci
vdi
vdisti
vy submatrix my 0 S 1 zeilen projekt( ) zeilen projekt( )( ) vy
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
128.313
124.097
124.248
145.712
124.367
125.92
127.747
117.396
123.437
125.376
130.205
139.403
122.286
122.187
126.426
137.84
B rund max 1s
10
(Intervallbreite für Histogrammdarstellung)
A rundmax vy( )
B
(Intervalanzahl für Histogrammdarstellung)
j 0 A vij
j B (Vektor mit den Intervallen für das Histogramm)
vh hist submatrix vi 0 A 1 0 0( ) vy( ) (Histogramm, Submatrix, da vy aus früheren Berechnungen Schmutz enthalten kann
Berechnung der Dauer/Kosten eines Projektes mit Daten aus einer Excel-Tabelle
Initialisiere jeweils 100 Vektor-Felder mit 0, damit in den angezeigten Vektoren kein Schnutz steht, wenn die Excel-Tabelle weniger Zeilen enthält.va, vb, vc: Vektoren mit den Parameterwerten a,b,cvu: User-Input für Parameter d; vm: Modeval, berechnet aus vu; vd,vd2: Paramer d, berechnet mit Bisektion aus vmvdist: Vektor mit Verteilungsidentifikatoren (0=konstant, 1=Dreieck, 2=Beta, 3=Normal) vs: Vektor mit S Zufallsergebnissen (Summen der Einzeldauern)
i 0 100
vdisti
0 vai
0 vbi
0 vci
0 vui
0 vmi
0 vdi
0 vd2i
0 vyi
0 vi 0 vi 0
projektD:\..\projekt_simulation_01.xls
S 30000 (Anzahl Stichproben)I 50 (Anzahl Iterationsschritte zur Berechnung von p)
i 0 zeilen projekt( ) 1
vdisti
projekti 4
vai
projekti 0 vb
iwenn vdist
i0= va
i projekt
i 2 vci
wenn vdisti
0= vai
projekti 1
vui
projekti 3 vm
imvinput va
ivb
i vc
i vu
i vdist
i
n 0 I 1 (Ermittlung von vd aus vm mittels Bisektion)
S 3 104
(S = Stichprobenanzahl) A 154 B 1 (Intervalle) zeilen projekt( ) 20
vdist
0
0
1
2
3
4
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8
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2
2
2
2
2
2
2
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0
0
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va
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4
vb
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12
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12
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20
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vc
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10.778
6.764
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0
0
0
0
0
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0 20 40 60 80 100 120 140 1600
500
1000
1500
2000
Verteilung der Summe
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vh
y
y
y
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)
mx
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0
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20
25
30
35
40
45
Quartilsfunktion der Normalverteilung
qnorm x ( )
x
vu
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0
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v
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s 2 s 141.642
s 3 s 147.874
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s 3 s 147.874
