verstehen

44

5 Bruchzahlen

Bruchteile und Bruchschreibweise

Wenn du ein Stück Torte für acht Personen gleichmäßig teilst, erhältst du acht gleich große Teile. Jedes Teil ist ein Achtel ( 1 _ 8 ) von der gesamten Torte. Du hast die Torte also in acht Achtel ( 8 _ 8 ) geteilt. Möchtest du die Torte an 8 Perso-nen verteilen, erhält jeder ein achtel Stück Torte. Beispiel 1: 1÷8 = 1 _ 8

÷8

Zähler und Nenner bilden zusammen mit dem Bruchstrich den Bruch bzw. die Bruch-zahl. Der Nenner steht unter dem Bruchstrich. Er gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wird. Der Zähler steht über dem Bruchstrich. Er zählt, wie viele dieser Teile genommen werden.Beispiel 2: 1 _ 8 , 3 _ 8 , 5 _ 7 , 3 _ 100 , … Bruchstrich → Zähler _ Nenner

Echte und unechte Brüche, gemischte Zahlen

Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner: 1 _ 4 , 5 _ 9 , 7 _ 12 , …

Beim unechten Bruch ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner: 5 _ 4 , 7 _ 3 , 8 _ 8 , …

Eine gemischte Zahl ist die Summe aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch. Bei einer gemischten Zahl wird das Pluszeichen zwischen der natürlichen Zahl und dem Bruch nicht geschrieben: 1 + 1 _ 4 = 1 1 _ 4 .

Gemischte Zahlen lassen sich stets auch als unechte Brüche notieren, und umge-kehrt: 1 1 _ 4 = 4 _ 4 + 1 _ 4 = 5 _ 4 ; 2 3 _ 7 = 14 _ 7 + 3 _ 7 = 17 _ 7 ; 15 _ 8 = 8 _ 8 + 7 _ 8 = 1 7 _ 8 , 12 _ 3 = 4.

Bruchteile und Bruchschreibweise

Echte und unechte Brüche, gemischte Zahlen

+

+ = 14−4

1−4

1−4

Aus:

Fit

für d

ie K

lass

enar

beit

Mat

hem

atik

, 5. K

lass

e G

ymna

sium

, ISB

N:

978-

3-74

26-0

006-

0

verstehen

45

Erweitern, kürzen und vergleichen

Kürzen: Teile Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl, z. B. 9 _ 15 = 9÷3 _ 15÷3 = 3 _ 5

Erweitern: Multipliziere Zähler und Nenner mit derselben Zahl, z. B. 5 _ 11 = 5×3 _ 11×3 = 15 _ 33 Beim Kürzen und Erweitern ändert sich der Wert des Bruches nicht.

Möchtest du Brüche vergleichen und der Größe nach ordnen, müssen die Nenner der Brüche gleich sein.Beispiel 3: 6 _ 10 < 8 _ 10 Wenn der Nenner der beiden Brüche verschieden ist, musst du sie durch Erweitern auf den gleichen Nenner bringen. Der kleinste gemeinsame Nenner wird Hauptnenner genannt. Beispiel 4: Vergleiche 2 _ 3 und 1 _ 2 : 2 _ 3 = 4 _ 6 und 1 _ 2 = 3 _ 6 , also gilt: 2 _ 3 > 1 _ 2

Bruchteile von Größen

Gehe bei diesen Aufgabentypen wie im Beispiel gezeigt vor.Tipp: Wiederhole die Umrechnung von Maßzahlen (→ Seite 29).

Beispiel 5: Drücke 8 cm in Dezimetern aus.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11= 1 dm

(cm)

8 von 10 Zentimetern

1 cm = 1 _ 10 dm

8 cm = 8 _ 10 dm = 8÷2 _ 10÷2 dm = 4 _ 5 dm

Beispiel 6: 45 min = h

15

20253035

40

45

5055

105 1 h = 60 min

45 von 60 min

1 min = 1 _ 60 h

45 min = 45 _ 60 h = 45÷15 _ 60÷15 h = 3 _ 4 h

Brüche als Rechenanweisungen

Brüche drücken auch eine Rechenanweisung aus. 5 _ 6 bedeutet als Rechnung: Dividiere eine Zahl durch 6 und multipliziere das Ergebnis mit 5.

Beispiel 7: 5 _ 6 von 12 bedeutet: 12÷6 = 2 ; 5 _ 6 von 12 = 10 2×5 = 10

Der Nenner sagt also, dass dividiert werden soll, der Zähler, dass multipliziert werden soll. So kannst du auch Anteile von Größen bestimmen.Beispiel 8: 2 _ 3 von 12 m = 12 m÷3×2 = 8 m

Erweitern, kürzen und vergleichen

Mit den Zahlen 0 und 1 kann man weder erwei-tern noch kürzen.

1 -

Bruchteile von Größen

Brüche als Rechenanweisungen

Aus:

Fit

für d

ie K

lass

enar

beit

Mat

hem

atik

, 5. K

lass

e G

ymna

sium

, ISB

N:

978-

3-74

26-0

006-

0

46

üben

Test 1: Bruchteile darstellen

1 Welche Bruchteile stellen die markierten Flächen dar? a) b) c) d)

2 Notiere den Bruch der markierten Flächen.a) b) c) d)

3 Färbe den vorgegebenen Bruchteil ein.a) 3 _ 8 b) 1 _ 2 c) 1 _ 5

4 Wandle den unechten Bruch in gemischte Zahlen um bzw. umgekehrt.

a) 11 _ 5 = b) 5 _ 3 = c) 34 _ 7 =

d) 120 _ 24 = e) 3 1 _ 2 = f) 5 3 _ 5 =

g) 1 4 _ 13 = h) 4 5 _ 16 =

1

2

3

4✷✷

Aus:

Fit

für d

ie K

lass

enar

beit

Mat

hem

atik

, 5. K

lass

e G

ymna

sium

, ISB

N:

978-

3-74

26-0

006-

0

47

üben

Test 2: Brüche kürzen und erweitern

1 Erweitere jeden Bruch mit 2, mit 4 und mit 7.

a) 1 _ 3 =

b) 2 _ 5 =

c) 3 _ 4 =

d) 5 _ 11 =

2 Erweitere die Brüche so, dass die vorgegebenen Zähler bzw. Nenner auftreten.

a) 5 _ 7 = _ = _ 42 b) 3 _ 8 = _ = 21 _ c) 7 _ 18 = _ = 84 _

d) 7 _ 18 = _ = _ 72 e) 14 _ 19 = _ = _ 209 f) 15 _ 27 = _ = 255 _

3 Kürze die Brüche so weit wie möglich. Du kannst auch Zwischenschritte notieren.

a) 18 _ 45 = b) 36 _ 48 =

c) 45 _ 60 = d) 72 _ 9 =

e) 33 _ 88 = f) 52 _ 91 =

4 Setze < oder > ein. Bringe die Brüche dafür auf einen gemeinsamen Nenner.

Beispiel: 2 _ 3 < 4 _ 5 ; 2 _ 3 = 10 _ 15 und 4 _ 5 = 12 _ 15

a) 9 _ 6 6 _ 4 b) 5 _ 7 3 _ 10

c) 3 _ 10 4 _ 20 d) 4 _ 6 5 _ 8

e) 8 _ 9 11 _ 7 f) 4 _ 9 2 _ 3

5 Ordne die folgenden Brüche in aufsteigender Reihenfolge an:

a) 3 _ 4 und 5 _ 8

b) 11 _ 18 , 5 _ 9 und 7 _ 12

c) 5 _ 6 , 7 _ 10 , 2 _ 3 und 11 _ 15

1

1×2 _ 3×2 = 2 _ 6 ,

2✷✷

3 ✷✷

4✷✷

5✷✷

Aus:

Fit

für d

ie K

lass

enar

beit

Mat

hem

atik

, 5. K

lass

e G

ymna

sium

, ISB

N:

978-

3-74

26-0

006-

0

48

üben

Test 3: Bruchteile von Größen

1 Wandle die Größen in die gewünschte Maßeinheit um.Kürze die Brüche, wenn möglich.

a) 6 mm = b) 6 h = d

c) 7 cm = dm d) 20 min = h

e) 12 dm = m f) 70 g = kg

2 Berechne. Schreibe auf, wie du gerechnet hast.

a) 3 _ 4 von 12 = 9 12÷4 = 3, 3×3 = 9

b) 7 _ 8 von 72 =

c) 2 _ 5 von 35 =

d) 5 _ 16 von 48 =

3 Berechne die Anteile der Größen. Manchmal musst du vorher in eine kleinere Maßeinheit umwandeln, um rechnen zu können.

a) 5 _ 6 von 3 cm = von 30 mm = 30 mm÷6×5 = 25 mm

b) 7 _ 8 von 24 h =

c) 9 _ 6 von 18 km =

d) 2 _ 5 von 1 m =

4 In der Klasse 5 a sind 14 von 24 Schülern in einem Sportverein, in der Klasse 5 b sind es 17 von 28. In welcher Klasse ist der Anteil an Schülern im Sport verein höher?

Antwort:

1 ✷

6 _ 10 cm = 3 _ 5 cm

2

3 ✷

5 _ 6

4 ✷✷

Aus:

Fit

für d

ie K

lass

enar

beit

Mat

hem

atik

, 5. K

lass

e G

ymna

sium

, ISB

N:

978-

3-74

26-0

006-

0

49

üben 5 Lisa hat zum Geburtstag insgesamt 45 € bekommen. Sie möchte sich damit neue T-Shirts kaufen. Am Schluss hat sie noch 2 _ 9 des Geburtstagsgeldes.Wie viel Geld hat sie ausgegeben?

Antwort:

6 Bei der Theateraufführung der 5. Klasse sitzen 200 Personen in der Aula. Die Lehrerin flüstert den Schülern hinter der Bühne zu: „Der Saal ist zu 5 _ 6 aus gebucht.“ Wie viele Personen haben insgesamt in der Aula Platz?

Antwort:

5✷

6 ✷✷

Aus:

Fit

für d

ie K

lass

enar

beit

Mat

hem

atik

, 5. K

lass

e G

ymna

sium

, ISB

N:

978-

3-74

26-0

006-

0

können

50

Klassenarbeit Nr. 6

1 Welche Bruchteile stellen die dunkel markierten Flächen dar?a) b) c)

2 Wandle die unechten Brüche in gemischte Zahlen um und umgekehrt.

a) 6 _ 4 = b) 23 _ 6 = c) 117 _ 13 =

d) 7 1 _ 2 = e) 6 3 _ 7 = f) 1 2 _ 16 =

3 Ordne die Brüche der Größe nach. Beginne mit dem kleinsten Bruch.

a) 2 _ 3 , 1 _ 2 , 3 _ 4

b) 7 _ 6 , 6 _ 3 , 12 _ 5 , 5 _ 12

c) 6 _ 10 , 5 _ 16 , 7 _ 8 , 5 _ 4

4 Wandle die Größen in die gewünschte Maßeinheit um.Kürze die Brüche, wenn möglich.

a) 3 h = d b) 14 dm = m

c) 5 mm = cm d) 9 cm = dm

e) 40 cm = m f) 550 g = kg

5 Samir hat eine Tüte mit 25 Bonbons. 3 _ 5 hat er schon gegessen.Wie viele Bonbons sind noch in der Tüte?

Antwort:

21

erreichte Punktzahl

1

3

2 ✷

6

3✷

3

4✷

6

5✷

3

Aus:

Fit

für d

ie K

lass

enar

beit

Mat

hem

atik

, 5. K

lass

e G

ymna

sium

, ISB

N:

978-

3-74

26-0

006-

0

können

51

Klassenarbeit Nr. 7

1 Färbe den vorgegebenen Bruchteil ein.

a) 4_6 b) 4_

5 c) 5__12

2 Erweitere die Brüche auf den vorgegebenen Nenner.

a) 2 _ 3 = _ 15 b) 6 _ 8 = _ 32 c) 3 _ 4 = _ 16

d) 7 _ 18 = _ 108 e) 5 _ 11 = _ 121 f) 6 _ 14 = _ 84

3 Kürze die Brüche soweit wie möglich.

a) 12 _ 48 = b) 125 _ 25 = c) 56 _ 77 =

d) 24 _ 6 = e) 36 _ 60 = f) 39 _ 78 =

4 Berechne die Anteile der Größen. Manchmal musst du vorher in eine kleinere Maßeinheit umwandeln, um rechnen zu können.

a) 5 _ 14 von 7 dm =

b) 3 _ 12 von 1 h =

c) 3 _ 4 von 1 m =

d) 5 _ 8 von 6 kg =

5 Bei einem Dorffest verkaufte der Turnverein im Jahr 2010 7 _ 20 seiner Würste, im Jahr darauf wurden 9 _ 15 verkauft. In welchem Jahr verkaufte er mehr Würste?

Antwort:

22

erreichte Punktzahl

1

3

2✷

6

3 ✷

6

4✷

4

5 ✷✷

3

Aus:

Fit

für d

ie K

lass

enar

beit

Mat

hem

atik

, 5. K

lass

e G

ymna

sium

, ISB

N:

978-

3-74

26-0

006-

0