Mathematik 1 - RWTH Aachen University · x 1;2 = p 2 r p2 4 q x2 +px +q = (x x 1)(x x 2) 1 x2 +px +q = c x x 1 c x x 2 auﬂosen nach¨ c = 1 x 1 x 2 MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK

Vorlesung

Mathematik 1Prof. Dr. M. Herty

Diese Vorlesung:

Partialbruchzerlegung

MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 1

Vorlesung

Mathematik 1Prof. Dr. M. Herty

Diese Vorlesung:

Partialbruchzerlegung


WICHTIGE GRUNDINTEGRALE:

∫ b

a

1x − d

dx = [log|x − d |]ba, a,b > d oder a,b < d

∫ b

a

1(x − d)n =

[1

1− n1

(x − d)n−1

]b

a, n 6= 1

∫ b

a

2x + px2 + px + q

dx =[log|x2 + px + q|

]ba , keine NS in [a,b]

∫ b

a

2x + p(x2 + px + q)n =

[1

1− n1

(x2 + px + q)n−1

]b

a, n 6= 1



∫ b

a

1x − d


∫ b

a

1(x − d)n =

[1

1− n1

(x − d)n−1

]b

a, n 6= 1

∫ b

a

2x + px2 + px + q



∫ b

a

2x + p(x2 + px + q)n =

[1

1− n1

(x2 + px + q)n−1

]b

a, n 6= 1



∫ b

a

1x − d


∫ b

a

1(x − d)n =

[1

1− n1

(x − d)n−1

]b

a, n 6= 1

∫ b

a

2x + px2 + px + q



∫ b

a

2x + p(x2 + px + q)n =

[1

1− n1

(x2 + px + q)n−1

]b

a, n 6= 1



∫ b

a

1x − d


∫ b

a

1(x − d)n =

[1

1− n1

(x − d)n−1

]b

a, n 6= 1

∫ b

a

2x + px2 + px + q



∫ b

a

2x + p(x2 + px + q)n =

[1

1− n1

(x2 + px + q)n−1

]b

a, n 6= 1



∫ b

a

1x − d


∫ b

a

1(x − d)n =

[1

1− n1

(x − d)n−1

]b

a, n 6= 1

∫ b

a

2x + px2 + px + q



∫ b

a

2x + p(x2 + px + q)n =

[1

1− n1

(x2 + px + q)n−1

]b

a, n 6= 1



∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

1√q − p2

4

arctan

x + p2√

q − p2

4

b

a

, q >p2

4

Was machen wir bei q < p2

4 ?

Dann hat das Polynom zwei verschiedene Nullstellen:

x1,2 = −p2±√

p2

4− q

x2 + px + q = (x − x1)(x − x2)

1x2 + px + q

=c

x − x1− c

x − x2auflosen nach c =

1x1 − x2



∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

1√q − p2

4

arctan

x + p2√

q − p2

4

b

a

, q >p2

4


4 ?


x1,2 = −p2±√

p2

4− q

x2 + px + q = (x − x1)(x − x2)

1x2 + px + q

=c

x − x1− c


1x1 − x2



∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

1√q − p2

4

arctan

x + p2√

q − p2

4

b

a

, q >p2

4


4 ?


x1,2 = −p2±√

p2

4− q

x2 + px + q = (x − x1)(x − x2)

1x2 + px + q

=c

x − x1− c


1x1 − x2



∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

1√q − p2

4

arctan

x + p2√

q − p2

4

b

a

, q >p2

4


4 ?


x1,2 = −p2±√

p2

4− q

x2 + px + q = (x − x1)(x − x2)

1x2 + px + q

=c

x − x1− c


1x1 − x2



∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

1√q − p2

4

arctan

x + p2√

q − p2

4

b

a

, q >p2

4


4 ?


x1,2 = −p2±√

p2

4− q

x2 + px + q = (x − x1)(x − x2)

1x2 + px + q

=c

x − x1− c


1x1 − x2


PARTIALBRUCHZERLEGUNGBeispiel: Berechnen Sie das Integral∫ 5

4

1x2 + 5x + 6

dx

Losung: 1. Nullstellen bestimmen:

x1 = −52−√

254− 6 = −3, x2 = −5

2+

√254− 6 = −2

2. Bruch umformen:1

x2 + 5x + 6=

cx + 2

− cx + 3

, c = 1/(−3− (−2)) = −1

3. Intergal umstellen:∫ 5

4

1x2 + 5x + 6

dx = −∫ 5

4

1x + 3

dx +

∫ 5

4

1x + 2

dx

4. Grundintegrale einsetzen:∫ 5

4

1x2 + 5x + 6

dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).



4

1x2 + 5x + 6

dx

Losung:

1. Nullstellen bestimmen:

x1 = −52−√

254− 6 = −3, x2 = −5

2+

√254− 6 = −2

2. Bruch umformen:1

x2 + 5x + 6=

cx + 2

− cx + 3

, c = 1/(−3− (−2)) = −1


4

1x2 + 5x + 6

dx = −∫ 5

4

1x + 3

dx +

∫ 5

4

1x + 2

dx


4

1x2 + 5x + 6

dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).



4

1x2 + 5x + 6

dx


x1 = −52−√

254− 6 = −3, x2 = −5

2+

√254− 6 = −2

2. Bruch umformen:1

x2 + 5x + 6=

cx + 2

− cx + 3

, c = 1/(−3− (−2)) = −1


4

1x2 + 5x + 6

dx = −∫ 5

4

1x + 3

dx +

∫ 5

4

1x + 2

dx


4

1x2 + 5x + 6

dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).



4

1x2 + 5x + 6

dx


x1 = −52−√

254− 6 = −3, x2 = −5

2+

√254− 6 = −2

2. Bruch umformen:1

x2 + 5x + 6=

cx + 2

− cx + 3

, c = 1/(−3− (−2)) = −1


4

1x2 + 5x + 6

dx = −∫ 5

4

1x + 3

dx +

∫ 5

4

1x + 2

dx


4

1x2 + 5x + 6

dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).



4

1x2 + 5x + 6

dx


x1 = −52−√

254− 6 = −3, x2 = −5

2+

√254− 6 = −2

2. Bruch umformen:1

x2 + 5x + 6=

cx + 2

− cx + 3

, c = 1/(−3− (−2)) = −1


4

1x2 + 5x + 6

dx = −∫ 5

4

1x + 3

dx +

∫ 5

4

1x + 2

dx


4

1x2 + 5x + 6

dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).



4

1x2 + 5x + 6

dx


x1 = −52−√

254− 6 = −3, x2 = −5

2+

√254− 6 = −2

2. Bruch umformen:1

x2 + 5x + 6=

cx + 2

− cx + 3

, c = 1/(−3− (−2)) = −1


4

1x2 + 5x + 6

dx = −∫ 5

4

1x + 3

dx +

∫ 5

4

1x + 2

dx


4

1x2 + 5x + 6

dx = − [log |x + 3|]54 + [log |x + 2|]54 = log(49/48).



∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

1√q − p2

4

arctan

x + p2√

q − p2

4

b

a

, q >p2

4

Was machen wir bei q = p2

4 ?

Dann hat das Polynom eine doppelte Nullstelle:

x1 = −p2

x2 + px + q = (x − x1)2

∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

[− 1

x − x1

]b

a



∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

1√q − p2

4

arctan

x + p2√

q − p2

4

b

a

, q >p2

4


4 ?


x1 = −p2

x2 + px + q = (x − x1)2

∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

[− 1

x − x1

]b

a



∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

1√q − p2

4

arctan

x + p2√

q − p2

4

b

a

, q >p2

4


4 ?


x1 = −p2

x2 + px + q = (x − x1)2

∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

[− 1

x − x1

]b

a



∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

1√q − p2

4

arctan

x + p2√

q − p2

4

b

a

, q >p2

4


4 ?


x1 = −p2

x2 + px + q = (x − x1)2

∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

[− 1

x − x1

]b

a



∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

1√q − p2

4

arctan

x + p2√

q − p2

4

b

a

, q >p2

4


4 ?


x1 = −p2

x2 + px + q = (x − x1)2

∫ b

a

1x2 + px + q

dx =

[− 1

x − x1

]b

a


Berechnen Sie∫ 0

−2

3x + 23x2 − 9x + 6

dx


Berechnen Sie∫ 0

−2

3x2 − 6x + 83x2 − 9x + 6

dx



3

x(x + 3)3 dx

Losung:Ziel:

x(x + 3)3 =

?

x + 3+

?

(x + 3)2 +?

(x + 3)3

Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?

(x + 3)3

Alsox

(x + 3)2 =0

x + 3+

1(x + 3)2 +

−3(x + 3)3∫ 5

3

x(x + 3)3 dx =

[− 1

x + 3

]5

3− 3

[−1

21

(x + 3)2

]5

3

= −18+

16+

32(

164− 1

36) =

3128



3

x(x + 3)3 dx

Losung:Ziel:

x(x + 3)3 =

?

x + 3+

?

(x + 3)2 +?

(x + 3)3

Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?

(x + 3)3

Alsox

(x + 3)2 =0

x + 3+

1(x + 3)2 +

−3(x + 3)3∫ 5

3

x(x + 3)3 dx =

[− 1

x + 3

]5

3− 3

[−1

21

(x + 3)2

]5

3

= −18+

16+

32(

164− 1

36) =

3128



3

x(x + 3)3 dx

Losung:Ziel:

x(x + 3)3 =

?

x + 3+

?

(x + 3)2 +?

(x + 3)3

Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?

(x + 3)3

Alsox

(x + 3)2 =0

x + 3+

1(x + 3)2 +

−3(x + 3)3∫ 5

3

x(x + 3)3 dx =

[− 1

x + 3

]5

3− 3

[−1

21

(x + 3)2

]5

3

= −18+

16+

32(

164− 1

36) =

3128



3

x(x + 3)3 dx

Losung:Ziel:

x(x + 3)3 =

?

x + 3+

?

(x + 3)2 +?

(x + 3)3

Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?

(x + 3)3

Alsox

(x + 3)2 =0

x + 3+

1(x + 3)2 +

−3(x + 3)3

∫ 5

3

x(x + 3)3 dx =

[− 1

x + 3

]5

3− 3

[−1

21

(x + 3)2

]5

3

= −18+

16+

32(

164− 1

36) =

3128



3

x(x + 3)3 dx

Losung:Ziel:

x(x + 3)3 =

?

x + 3+

?

(x + 3)2 +?

(x + 3)3

Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?

(x + 3)3

Alsox

(x + 3)2 =0

x + 3+

1(x + 3)2 +

−3(x + 3)3∫ 5

3

x(x + 3)3 dx =

[− 1

x + 3

]5

3− 3

[−1

21

(x + 3)2

]5

3

= −18+

16+

32(

164− 1

36) =

3128



3

x(x + 3)3 dx

Losung:Ziel:

x(x + 3)3 =

?

x + 3+

?

(x + 3)2 +?

(x + 3)3

Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?

(x + 3)3

Alsox

(x + 3)2 =0

x + 3+

1(x + 3)2 +

−3(x + 3)3∫ 5

3

x(x + 3)3 dx =

[− 1

x + 3

]5

3− 3

[−1

21

(x + 3)2

]5

3

= −18+

16+

32(

164− 1

36) =

3128



3

x(x + 3)3 dx

Losung:Ziel:

x(x + 3)3 =

?

x + 3+

?

(x + 3)2 +?

(x + 3)3

Bruch rechts: =?(x + 3)2 + ?(x + 3) + ?

(x + 3)3

Alsox

(x + 3)2 =0

x + 3+

1(x + 3)2 +

−3(x + 3)3∫ 5

3

x(x + 3)3 dx =

[− 1

x + 3

]5

3− 3

[−1

21

(x + 3)2

]5

3

= −18+

16+

32(

164− 1

36) =

3128


Berechnen Sie∫ 5

3

3x2 + 1(x + 3)3 dx



3

x2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx

Losung:

Ziel:x2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)=

cx + 1

+d

x + 2+

ex + 3

rechte Seite: =c(x + 2)(x + 3) + d(x + 1)(x + 3) + e(x + 1)(x + 2)

(x + 1)(x + 2)(x + 3)

=(c + d + e)x2 + (5c + 4d + 3e)x + (6c + 3d + 2e)

(x + 1)(x + 2)(x + 3)Gleichungssystem aus Koeffizientenvergleich:

c +d +e = 15c +4d +3e = 06c +3d +2e = 0



3

x2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx

Losung:

Ziel:x2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)=

cx + 1

+d

x + 2+

ex + 3


(x + 1)(x + 2)(x + 3)

=(c + d + e)x2 + (5c + 4d + 3e)x + (6c + 3d + 2e)


c +d +e = 15c +4d +3e = 06c +3d +2e = 0



3

x2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx

Losung:

Ziel:x2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)=

cx + 1

+d

x + 2+

ex + 3


(x + 1)(x + 2)(x + 3)

=(c + d + e)x2 + (5c + 4d + 3e)x + (6c + 3d + 2e)


c +d +e = 15c +4d +3e = 06c +3d +2e = 0



3

x2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx

Losung:

Ziel:x2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)=

cx + 1

+d

x + 2+

ex + 3


(x + 1)(x + 2)(x + 3)

=(c + d + e)x2 + (5c + 4d + 3e)x + (6c + 3d + 2e)

(x + 1)(x + 2)(x + 3)

Gleichungssystem aus Koeffizientenvergleich:c +d +e = 1

5c +4d +3e = 06c +3d +2e = 0



3

x2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx

Losung:

Ziel:x2

(x + 1)(x + 2)(x + 3)=

cx + 1

+d

x + 2+

ex + 3


(x + 1)(x + 2)(x + 3)

=(c + d + e)x2 + (5c + 4d + 3e)x + (6c + 3d + 2e)


c +d +e = 15c +4d +3e = 06c +3d +2e = 0


Rezept

p(x)q(x)

, Zahlerpolynom p, Nennerpolynom q

Fuhre Polynomdivision mit Rest durch bis beim Rest der Grad des Zahlers echtkleiner als der Grad des Nenners ist. Nur fur den Rest braucht man diePartialbruchzerlegung, Polynome konnen wir integrieren. Wir gehen also jetztdavon aus, dass der Grad von p kleiner als der von q ist.

Bestimme vom Nennerpolynom eine Faktorisierung von der Form

q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·

mit Linearfaktoren vom Typ x − a und quadratischen nicht reell auflosbarenFaktoren vom Typ x2 + cx + d .

Mache den folgenden Ansatz:

p(x)q(x)

Ziel=

u1

x − a+ · · ·+

un

(x − a)n+ · · ·+

v1

x2 + cx + d+ · · ·+

vm

(x2 + cx + d)m

Lose das entstehende Gleichungssystem fur die Unbekanntenu1, . . . , un, v1, . . . , vm auf (das Gleichungssystem entsteht, wenn man die Brucherechts addiert und beide Seiten gleichsetzt).

Berechne die Integrale fur die Summanden einzeln nach Formel.


Rezept

p(x)q(x)




q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·



p(x)q(x)

Ziel=

u1

x − a+ · · ·+

un

(x − a)n+ · · ·+

v1

x2 + cx + d+ · · ·+

vm

(x2 + cx + d)m




Rezept

p(x)q(x)




q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·



p(x)q(x)

Ziel=

u1

x − a+ · · ·+

un

(x − a)n+ · · ·+

v1

x2 + cx + d+ · · ·+

vm

(x2 + cx + d)m




Rezept

p(x)q(x)




q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·



p(x)q(x)

Ziel=

u1

x − a+ · · ·+

un

(x − a)n+ · · ·+

v1

x2 + cx + d+ · · ·+

vm

(x2 + cx + d)m




Rezept

p(x)q(x)




q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·



p(x)q(x)

Ziel=

u1

x − a+ · · ·+

un

(x − a)n+ · · ·+

v1

x2 + cx + d+ · · ·+

vm

(x2 + cx + d)m




Rezept

p(x)q(x)




q(x) = (x − a)n · · · (x2 + cx + d)m · · ·



p(x)q(x)

Ziel=

u1

x − a+ · · ·+

un

(x − a)n+ · · ·+

v1

x2 + cx + d+ · · ·+

vm

(x2 + cx + d)m




Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!


Documents

Mathematik 1 - RWTH Aachen University · x 1;2 = p 2 r p2 4 q x2 +px +q = (x x 1)(x x 2) 1 x2 +px +q = c x x 1 c x x 2 auﬂosen nach¨ c = 1 x 1 x 2 MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK