Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung Wir benötigen Eine Figur – das Original (bei allen folgenden Folien in GRÜN) Wir wählen dazu jetzt ein Rechteck;

Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung

Wir benötigen

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Eine Figur –

das Original

(bei allen folgenden Folien in GRÜN)

Wir wählen dazu jetzt ein Rechteck; a = 5 cm und b = 2 cmDieses Rechteck werden wir auch weiterhin verwenden.


Wir benötigen

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Einen Punkt

- das

so

genannte

Zentrum

der

Streckung. Wir

nennen

diesen

Punkt

natürlich

Z.


Wir benötigen

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

Einen Punkt

- das

so

genannte

Zentrum

der

Streckung. Wir

nennen

diesen

Punkt

natürlich

Z.

Und ein

Maß

dafüf r,

ob

wir

bei

dieser

Abbildung

vergrößern oder

verkleinern

wollen.

Dieses Maß

heißt

k.

Es

ist

der

so

genannte

Streckungsfaf ktor.

Bei unserem

ersten

Beispiel

wählen

wir

dafüf r

eine einfaf che

Zahl:

k =

2

Z


Und jetzt beobachten wir, was passiert:

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

Z

2


-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

Z

2

Original 5

cm

Bild 10

cm

2 cm

4 cm

Aber was

ist

mit

der

Fläche

passiert?

Original =

2

cm

5

cm

=

10

cm2

Bild =

4

cm

10

cm

=

40

cm2

40 cm²

10 cm²


Ergebnisse:

Bei dem Streckungsfaktor k = 2 - haben sich die Seiten verdoppelt

2 cm → 4 cm und 5 cm → 10 cm- hat sich die Fläche vervierfacht

10 cm² → 40 cm²


Wir betrachten nun einige andere Fälle:

-24 -23 -22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

x

y

Z

2

3

4

5

Wie groß sind die Seiten des Bildes?Wie groß ist die Fläche des Bildes?



-24 -23 -22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

x

y

Z

2

3

4

5


15 cm

6 cm

90 cm²




-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

Z

2

3

4

5

0,25



Wie groß sind die Seiten des Bildes?

Wie groß ist die Fläche des Bildes? – ABER WAS IST NOCH GESCHEHEN?

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Z

2

3

4

5

0,25

-1,5


Wir haben jetzt verschiedene Fälle kennen gelernt.

Das Zentrum Z war dabei immer das gleiche. Nun wollen wir den Streckungsfaktor k immer gleich lassen.

Wir bleiben bei k = 2.

Doch jetzt verändert sich unser Streckungszentrum Z.

Aufpassen!


Der Normalfall: Z liegt außerhalb der Figur

-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

y

2

Z


-22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

2

Z

Das Zentrum

Z

ist

jjetzt

eine

der

Ecken

unseres Rechtecks.


-22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

2

Z

Das Zentrum

Z

liegt

jjetzt

auf

f dem

Rand

unseres Rechtecks.


-18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

Z

2

Letzter Fall:

Das

Zentrum

liegt

innerhalb der

Figur.


Wir sind uns sicher einig, dass der Sachverhalt ganz leicht zu verstehen ist.

Schwierig wird es für einige von euch, die Aufgaben mit der nötigen

Genauigkeit und Sauberkeit

auszuführen. Das schafft man durch Übung. Üben bedeutet, immer wieder von vorn

anzufangen – und zwar so lange, bis das Ergebnis perfekt ist .

Wir arbeiten dabei in ganz unterschiedlicher Weise:- Im Koordinatensystem auf Karopapier- Auf nicht-liniertem Papier

Und natürlich auch

- Mit DynaGeo.

Und damit fangen wir gleich an!


Wir lernen jetzt:

Wie man eine Seite beginnt.

Wie man ein Koordinatensystem aufruft.

Wie man eine Figur zeichnet.

Wie man einen Punkt – Z – setzt.

Wie man den Punkt dann genau dahin setzt, wo er wirklich hin soll.

Wie man einen Streckungsfaktor k in die Zeichnung einbindet.

Wie man die zentrische Streckung durchführt.

Außerdem erhaltet ihr Hinweise:

Wie man mit verschiedenen Linienformen umgeht.

Wie man mit Farben umgeht.

Wie man Flächen kennzeichnet.

Wie man einen Text in die Zeichnung einbindet.

Wie man Strecken und Flächen messen kann.


-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

1,75


-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

1,75


-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

1,75

-1,25


-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

1,75

-1,25


-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

1,75

-1,25

7,616 cm

9,52 cm


-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

1,75

-1,25

7,616 cm

9,52 cm

9,899 cm

5,657 cm

19,5 cm²

59,72 cm²

30,47 cm²


Zum Abschluss bieten wir hier noch eine Testaufgabe:

Zeichne im Koordinatensystem das Dreieck ABC mit den Zeichne im Koordinatensystem das Dreieck ABC mit den Koordinaten Koordinaten

A(-3/2), B(3/6) und C(-6/9). Trage bitte außerdem die drei Zentren A(-3/2), B(3/6) und C(-6/9). Trage bitte außerdem die drei Zentren

ZZ11(10/1), Z(10/1), Z22(-1)2 und Z(-1)2 und Z33(-4/0) ein.(-4/0) ein.

Führe nun die folgenden drei Abbildungen des Originals ABC durch.

1. Streckung an Z1 mit k1 = 0,25

2. Streckung an Z2 mit k2 = - 1,5

3. Streckung an Z3 mit k3 = 1,75

Berechne mit geeigneten Verfahren – vernünftige Berechne mit geeigneten Verfahren – vernünftige Messungen – die Fläche aller vier Dreiecke. Messungen – die Fläche aller vier Dreiecke.

Gib die Fläche der drei Bilder in Prozent vom Original an.Gib die Fläche der drei Bilder in Prozent vom Original an.


-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

0,25

-1,5

1,75

Z1

Z2

Z3

A

B

C

Bild 1

Bild 2

Bild 3

So müsste jetzt deine Zeichnung

aussehen.

Wenn du vorher vernünftig nach-

gedacht hast, dann passt die Zeichnung

perfekt auf eine Heftseite

Die komplette Lösung

-32 -30 -28 -26 -24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x

y

0,25

-1,5

1,75

Z1

Z2

Z3A

B

C

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Original

27

82,7 cm²

Bild 3

82,69 1,7 cm²

Bild 1

1,688

Bild 2

60,75

in Prozent

6,25

in Prozent

225

in Prozent

306,2


Ende der

Vorstellung!

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Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung Wir benötigen Eine Figur – das Original (bei allen folgenden Folien in GRÜN) Wir wählen dazu jetzt ein Rechteck;