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Mathematik der Börsenspekulation
Optionshandel an der Börse
Was sind Optionen?
Der Käufer einer Call-Option kauft das Recht,
• ein festgelegtes Gut (z.B. eine Aktie)• zu einem festgelegten Preis
(dem Ausübungspreis)• in einem festgelegten Zeitraum (amerikanische
Option) oder zu einem festgelegten Zeitpunkt (europäische Option)
zu kaufen.
Verkäufer KäuferOption
Optionspreis
Kursentwicklung
Ausübung: Käufer kauft das Gut zum Ausübungspreis der Option
Keine Ausübung
Ablauf eines Call-Optionsgeschäfts
Pay-off-Diagramm beim Kauf einer Call-Option
-5
5
15
25
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Aktienkurs (€)
Ge
win
ne
/Ve
rlu
ste
(€
)
Herr X kauft für 2,50 € eine Call-Option mit Ausübungspreis 63 €.
Die Siemens Aktie
Die Kursentwicklung während der letzten 7 Jahre(in Euro)
0
50
100
150
200
0
5
10
15
20-2
2,61
%
-15,
92%
-9,2
2%
-2,5
3%
4,17
%
10,8
7%
17,5
6%
24,2
6%
30,9
6% und
größ
er
Rendite
Häu
figke
itHistogramm der Monatsrenditen
Den Schwerpunkt der Verteilung gibt das arithmetische Mittel m und die typische Abweichung die Standardabweichung s.
m m+sm-s
Entwicklungsrahmendes zukünftigen Aktienkurs
90,63 €
68,80 €
52,23 €
39,65 €
78,95 €
59,93 €
45,50 €
52,20 €
68,77 €
59,90 €
·1,15 (m+s)
·0,87 (m-s)
59,93 €4,13 €
52,23 €0 €
68,80 €8,80 €
Ausübungspreis der Call-Option 60,00 €
Ausübung
Keine Ausübung
Rekursionsschritt
Ausübungszeitpunkt der Option
Eine Periode vorher
Aktienkurs
Optionspreis
Die 4,13 € errechnen sich aus den beiden Endpreisen der Option, 8,80 € und 0 €, wenn man fordert, dass es keinen sicheren Gewinn geben kann (Arbitrage).
Vom Binomial-Modellzur Black-Scholes-Formel
• Mit dem Binomial-Modell lässt sich die Black-Scholes-Formel gewinnen, indem man die Anzahl n der Perioden gegen Unendlich laufen lässt.
• Die Black-Scholes-Formel gibt den Optionspreis in Abhängigkeit von: – dem aktuellen Kurswert– der Ausübungsfrist– dem Ausübungspreis– der Volatilität und– dem Zinsfaktor
Preise verschiedener Siemens Call-Optionen nach der Black-Scholes-Formel
48 53 58 63 68 73 78
0,00
5,00
10,00
15,00
Op
tio
ns
pre
ise
(€
)
Ausübungspreis (€)
1 Monat
2 Monate
3 Monate
6 Monate
48 53 58 63 68 73 78
1 Monat 12,14 7,52 3,99 1,72 0,60 0,18 0,04
2 Monate 12,51 8,40 5,16 2,90 1,50 0,72 0,32
3 Monate 12,96 9,13 6,08 3,83 2,30 1,32 6,73
6 Monate 14,30 10,34 8,18 5,99 4,31 3,06 2,14