Mathematik Klasse 5 Natürliche Zahlen und Daten · Schulcurriculum für das Fach Mathematik/Klasse 5 – Hochrhein Gymnasium Waldshut (Stand: 19.Juli 2017) 1 Eich, Ger, Reu, Wie

Schulcurriculum für das Fach Mathematik/Klasse 5 – Hochrhein Gymnasium Waldshut (Stand: 19.Juli 2017)

1 Eich, Ger, Reu, Wie (nach Landesinstitut für Schulentwicklung Baden- Württemberg)

Mathematik – Klasse 5

Natürliche Zahlen und Daten

Prozessbezogene Kompetenzen Inhaltsbezogene

Kompetenzen

Konkretisierung, Vorgehen im Unterricht

Ergänzende Hinweise, Arbeitsmit-tel, Organisation, Verweise

Die Schülerinnen und Schüler können

3.1.5 Daten erfassen, darstellen und auswerten

2.3 Modellieren 1. wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren

5. die Beziehungen zwischen diesen Grö-ßen mithilfe von Variablen, Termen, Glei-chungen, Funktionen, Figuren, Diagram-men, Tabellen oder Zufallsversuchen be-schreiben 2.5 Kommunizieren 7. aus Quellen (Texten, Bildern und Ta-bellen) und aus Äußerungen anderer ma-thematische Informationen entnehmen

(1) [...] eine Datenerhebung planen und durchführen und dabei Urlisten, Strichlis-ten, Häufigkeitstabellen anfertigen

Daten erfassen

Wir lernen uns im neuen Klassenverband kennen: Herkunft, Haustiere, Hobbies, …

Hinweis auf den Grundschulbildungs-plan: „Daten in Beobachtungen, Untersuchungen und ein-fachen Experimenten sammeln, strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen (Tabelle, Zeile, Spalte, Balken- oder Säulendia-gramm)“

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 2. mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Mo-dellieren und zum Problemlösen auswäh-len und verwenden

3. zwischen verschiedenen mathemati-schen Darstellungen wechseln

(3) Daten graphisch darstellen Balken-, Säulen […]-diagramm), ggf. auch unter Verwendung von Tabellenkalkulation

Daten darstellen Bezug zum Basiskurs Medienbildung „Produktion und Präsentation“ (hier: mit-tels eines Tabellenkalkulationspro-gramms) L MB Produktion und Präsentation



2.3 Modellieren 5. die Beziehungen zwischen diesen Grö-ßen mithilfe von Variablen, Termen, Glei-chungen, Funktionen, Figuren, Diagram-men, Tabellen oder Zufallsversuchen be-schreiben

2.5 Kommunizieren 7. aus Quellen (Texten, Bildern und Ta-bellen) und aus Äußerungen anderer ma-thematische Informationen entnehmen

(5) Daten aus vorgegebenen Sekundär-quellen (zum Beispiel Texten, Diagram-men, bildlichen Darstellungen) entneh-men

(7) Daten aus ihrer Erfahrungswelt auch bei unterschiedlichen Darstellungsformen auswerten, vergleichen […]

Mit Daten umgehen, Datendarstellun-gen vergleichen

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informati-onen entnehmen und diese Informationen deuten“

3.1.1 Zahlbereiche erkunden, Mit Zahlen Rechnen

2.5 Kommunizieren 1. mathematische Einsichten und Lö-sungswege schriftlich dokumentieren o-der mündlich darstellen und erläutern

(1) die Prinzipien des dezimalen Stellen-wertsystems im Vergleich zu einem ande-ren Zahlensystem beschreiben

Natürliche Zahlen in der Stellenwertta-fel

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „den Aufbau des dezimalen Stellenwertsystems nut-zen und seine Struktur erkennen und verstehen (Ei-ner, Zehner, Hunderter – als Dreier-Gruppierung, Tausender, Zehntausender, Hunderttausender, Mil-lion; Bündeln, Entbündeln)“

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 1. zwischen natürlicher Sprache und symbolisch-formaler Sprache der Mathe-matik wechseln


5. Routineverfahren anwenden

(2) natürliche Zahlen bis zur Größenord-nung Billion lesen und nach Hören in Zif-fern schreiben

(18) Zahlenwerte und Größenangaben si-tuationsgerecht runden und gerundete Angaben interpretieren

(6) […] Zahlen und Punkte auf der Zah-lengeraden einander zuordnen und […] Zahlen vergleichen und anordnen

Große Zahlen

Zahlen runden

Das Prinzip eines Stellenwertsystems verstehen

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „Zahlen bis 1.000.000 sprechen, lesen und in Ziffern schreiben“, „sich sicher im Zahlenraum bis 1.000.000 bewegen (zum Beispiel Zählen in Schritten, Zahlen der Größe nach ordnen, Zahlen verorten“

Prinzipien entweder in Analogie (zum Du-alsystem als anderem Stellenwertsystem) oder kontrastierend (zum römischen Zahlsystem als einem Nicht-Stellenwert-system) herausarbeiten

MINT: Umrechnung vom Binärsystem ins Hexadezimalsystem und umgekehrt

Wird in BNT evtl. benötigt bzw. Situatio-nen könnten aus BNT entnommen wer-den



Rechnen mit natürlichen Zahlen

Prozessbezogene Kompetenzen

Inhaltsbezogene Kompetenzen




3.1.1 Mit [natürlichen] Zahlen rechnen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 1. zwischen natürlicher Sprache und sym-bolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln

4. Berechnungen ausführen

5. Routineverfahren anwenden und mitei-nander kombinieren

6. Algorithmen reflektiert anwenden

7. Ergebnisse und die Eignung des Verfah-rens kritisch prüfen

(12) natürliche Zahlen […] schriftlich ad-dieren, subtrahieren, multiplizieren […]

(23) Fachbegriffe […] Addition, Subtrak-tion, Multiplikation […] und […] Sum-mand, Faktor, Minuend, Subtrahend […] verwenden

(11) einfache Rechnungen sicher im Kopf durchführen, unter anderem um Ergeb-nisse überschlägig zu überprüfen

(21) Rechnungen unter Verwendung der Umkehroperation überprüfen

(27) einfache Aufgaben […] durch Aus-probieren oder Rückwärtsrechnen lösen

Addieren und Subtrahieren

Addieren und subtrahieren von natürli-chen Zahlen, auch schriftlich

Kontrolle durch Überschlag

Subtraktion als Umkehroperation

Klammern

Mehrgliedrige Terme

Klammer hat Vorrang Nicht: Minusklammer formal

Multiplizieren

Multiplizieren von natürlichen Zahlen, auch schriftlich

Kontrolle durch Überschlag

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „ schriftliche Verfahren der Addition, der Subtrak-tion, der Multiplikation wie auch der Division und der Division mit Rest geläufig ausführen und anwenden“

Einführung der Fachbegriffe

Bei Produkten maximal ein Faktor höchs-tens 3-stellig


(19) die Genauigkeit von Ergebnissen, die durch Rechnen mit gerundeten Wer-ten gewonnen wurden, bewerten

Rechnen mit gerundeten Werten Keine exakte Begründung des Rechnens mit gerundeten Zahlen, aber intuitive Ver-wendung der Regel von geltenden Ziffern

Punkt vor Strichrechnung

Klammer vor Punkt vor Strichrechnung, nur für einfache Zahlterme

(14) Potenzen als Kurzschreibweise ei-nes Produkts erklären und verwenden so-wie die Quadratzahlen von 1² bis 20² wie-dergeben und erkennen

Potenzen

Quadratzahlen kennen und Potenzen be-rechnen

Einführung Fachbegriffe



(23) Fachbegriffe […] Basis, Exponent ver-wenden

(20) natürliche Zahlen in Zehnerpotenz-schreibweise angeben

Zehnerpotenzen und große Zahlen

Große Zahlen in Zehnerpotenzdarstel-lung, nicht zwingend in Normdarstellung Zehnerpotenzen als Abkürzung der Stu-fenzahlen

(12) natürliche Zahlen […] schriftlich […] dividieren […]

(23) Fachbegriffe für […] Division […] Di-vidend, Divisor verwenden




Dividieren

Dividieren von natürlichen Zahlen, auch schriftlich

Division als Umkehroperation

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „schriftliche Verfahren der Addition, der Subtraktion, der Multiplikation wie auch der Division und der Di-vision mit Rest geläufig ausführen und anwenden“


Divisor maximal 2-stellig

2.1 Argumentieren und Beweisen 1. in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln und als mathe-matische Aussage formulieren

(3) Eigenschaften natürlicher Zahlen un-tersuchen (einfache Primzahlen erken-nen, Primfaktoren bestimmen, Teilbar-keitsregeln für 2, 3, 5, 9, 10 anwenden)

Teiler und Vielfache

Teiler und Vielfache einer Zahl (in Men-genschreibweise) auflisten

https://lehrerfortbildung-bw.de/fae-cher/mathematik/gym/fb4/ ZPG IV: Prozessbezogene Kompetenzen

2. eine Vermutung anhand von Beispielen auf ihre Plausibilität prüfen oder anhand ei-nes Gegenbeispiels widerlegen

Teilbarkeitsregeln

Endstellenregel (für 2, 5, 10)

Quersummenregel (für 3, 9)

Teilbarkeitsregel für 6

4. in einer mathematischen Aussage zwi-schen Voraussetzung und Behauptung un-terscheiden

Primzahlen

Einfache Primfaktoren abspalten

Keine vollständige Primfaktorzerlegung notwendig

MINT: Sieb des Eratosthenes

https://lehrerfortbildung-bw.de/faecher/mathematik/gym/fb4/




2.2 Probleme lösen 5. durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutungen kommen und diese auf Plausibilität über-prüfen

Begründen und Beweisen im Umfeld der Teilbarkeitslehre

Erste Begegnung mit der Formulierung „Wenn-Dann“

3.1.4 Zusammenhänge beschreiben

(2) einfache Muster (zum Beispiel Zah-lenfolgen) erkennen, verbal beschreiben und diese fortsetzen

Zahlterme finden oder aufstellen

Zahlenfolgen als Muster erkennen und fortsetzen

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „Gesetzmäßigkeiten in arithmetischen Mustern er-kennen, beschreiben und fortsetzen: Zahlenfolgen, strukturierte Aufgabenfolgen“, „arithmetische Muster selbst entwickeln, systema-tisch verändern und beschreiben“

3.1.1 Mit Zahltermen arbeiten

(22) Sachsituationen (auch aus der Geo-metrie) durch Zahlterme beschreiben

(26) […] Zahlterme mit den Fachbegriffen Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Po-tenz beschreiben

(25) den Wert von Zahltermen mit Klam-mern in einfachen Fällen berechnen […]

Zahlterme geschickt berechnen

Fachbegriffe für Zahlterme verwenden und nutzen

(24) bei der Berechnung von Zahltermen Rechengesetze für Rechenvorteile nut-zen

Rechengesetze verwenden

Klammer vor Potenz vor Punkt- vor Strichrechnung Nur für einfache Zahlterme

Intuitive Verwendung der Rechengesetze für Rechenvorteile, nicht formalisieren

(insbesondere Ausklammern und Aus-multiplizieren.)


Zahlenrätsel

Lösung von Gleichungen durch Probieren oder Umkehroperation finden oder erken-nen

Z. B.: 3 + □ = 8



Messen






3.1.2 Mit Größen umgehen

2.5 Kommunizieren 5. vorläufige Formulierungen zu fach-sprachlichen Formulierungen weiterentwi-ckeln

6. ihre Ausführungen mit geeigneten Fach-begriffen darlegen

2.2 Probleme lösen 11. das Problem auf Bekanntes zurück-führen oder Analogien herstellen

13. Ergebnisse, auch Zwischenergeb-nisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 5. Routineverfahren anwenden […]

(1) Messvorgänge und die Verwendung von Einheiten erläutern

(2) in ihrem Umfeld Längen, [...] Massen, Zeitspannen messen

(3) Größenangaben durch Maßzahl und Einheit darstellen

(6) alltagsbezogene Repräsentanten als Schätzhilfe für Größenangaben verwen-den

Messen und Schätzen von Größen aus der Erfahrungswelt

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „mit geeigneten Einheiten in allen relevanten Grö-ßenbereichen messen […]“, „Größen […] vergleichen, mit geeigneten Einheiten […] messen, Größenangaben passenden Reprä-sentanten zuordnen und umgekehrt, Messgeräte sachgerecht nutzen, Größenvorstellungen beim Schätzen anwenden“

Praktisches Arbeiten mit Meterstab, Waage und Stoppuhr

Fermi-Aufgaben

(4) die Bedeutung gängiger Vorsilben wie zum Beispiel milli, centi, dezi, kilo, Mega erklären

(5) Einheiten für Masse, Zeit (-spanne), Geld, Länge [...] verwenden und umwan-deln

Einheiten kennen und umwandeln

Längen (mm, cm, dm, m, km)

Massen (mg, g, kg, t, Mt)

Zeitspannen (ms, s, min, h, d)

Geldwerte (ct, €)

Kenntnis der Umrechnungszahlen

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „Längen (km, m, cm, mm), Geldwerte (€ , Cent), Zeit (Jahr, Monat, Woche, Tag, h, min, s), Gewichte (t, kg, g),Größenangaben in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen und in benachbarte Ein-heiten umwandeln, im Alltag vorkommende einfa-che Bruchzahlen“

Einsatz einer Stellenwerttafel bei Längen und Massen

2.2 Probleme lösen 2. Informationen aus den gegebenen Tex-ten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlö-sung bewerten


(8) mit Größenangaben rechnen und da-bei Einheiten korrekt anwenden

Rechnen mit Größen

Anwendungsaufgaben lösen

Mit Zeitpunkten und Zeitspannen rechnen

L BO Fachspezifische und handlungsori-entierte Zugänge zur Arbeits- und Berufs-welt

Größenangaben auch in Dezimalschreib-weise und in im Alltag vorkommende ein-fache Bruchzahlen ( kg; h)

Wahl sinnvoller Einheiten

Zeitzonen, Fahrpläne




4. relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren

(7) Originallängen, Bildlängen oder Maß-stäbe im Zusammenhang mit maßstäbli-chen Angaben berechnen

(8) maßstäbliche Zeichnungen anfertigen, auch mit selbstgewähltem, geeignetem Maßstab

Maßstab

Ermitteln und Anwenden von Maßstäben

Maßstäbliche Zeichnungen

Vergrößern und Verkleinern

Maßstab bei Landkarten

http://www.schule-bw.de/unterricht/fae-cher/mathematik/3material/sek1 Landesbildungsserver: Leitidee Messen

Bezug zur Geographie

http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/messen/




Geometrische Grundbegriffe






3.1.3 Geometrische Objekte und Bezie-hungen identifizieren und beschreiben Geometrische Objekte zeichnen und konstruieren

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 8. Hilfsmittel (zum Beispiel […] Geodreieck […]) problemangemessen auswählen und einsetzen

2.5 Kommunizieren 5. vorläufige Formulierungen zu fach-sprachlichen Formulierungen weiterentwi-ckeln

6. ihre Ausführungen mit geeigneten Fach-begriffen darlegen

(8) sicher mit Geodreieck, Lineal […] um-gehen und damit geometrische Objekte zeichnen

Strecke und Geraden

Erkennen und benennen von Strecken und Geraden in vorgegebenen ebenen Figuren und Abbildungen

Eintragen von Strecken und Geraden in vorgegebene Punktemuster

Länge einer Strecke

Abmessen von Streckenlängen

Zeichnen von Strecken vorgegebener Länge

Gerade durch zwei Punkte

Bezeichnungen für Geraden und Stre-cken

Strecke mit den Endpunkten P und Q: PQ̅̅ ̅̅

(1) Lagebeziehungen von Strecken und Geraden (parallel, senkrecht) mithilfe ei-nes Geodreiecks untersuchen

Orthogonalität und Parallelität bei Ge-raden

Einführung der Begriffe z. B. durch Pa-pierfaltungen

Geraden mithilfe des Geodreiecks auf Or-thogonalität und Parallelität untersuchen

Optische Täuschungen zur Motivation des Nachprüfens denkbar

(10) Orthogonalen, Parallelen […] mithilfe eines Geodreiecks zeichnen

Zeichnen von Orthogonalen und Paralle-len mithilfe des Geodreiecks



2.1 Argumentieren und Beweisen 4. in einer mathematischen Aussage zwi-schen Voraussetzung und Behauptung un-terscheiden

5. eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn-Dann) formulieren

13. Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen […]

Transitivität bzw. Intransitivität sowie Ver-knüpfungen von Parallelitäts- und Ortho-gonalitätsrelation

Z. B.: „Wenn g parallel h und h orthogo-nal k, dann …“

(4) Achsensymmetrie und Punktsymmet-rie bei Figuren erkennen und die Sym-metrieachse beziehungsweise das Sym-metriezentrum identifizieren

(13) Achsenspiegelungen und Punktspie-gelungen durchführen

Achsensymmetrie bei Figuren Symmetrieachse

Achsensymmetrie: Ausgehend z. B. von Papierfaltungen

Untersuchung von Figuren auf Achsen-symmetrie und Identifikation der Symmet-rieachse

Achsenspiegelungen

Erzeugung achsensymmetrischer Figuren

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „achsensymmetrische Figuren herstellen (zum Bei-spiel falten, schneiden und zeichnen)“, „die Achsensymmetrie ebener Figuren erkennen, beschreiben und nutzen, auch aus ihrer Erfahrungs-welt (Spiegelachse, symmetrisch)“, „vorgegebene geometrische Figuren zu achsensym-metrischen Figuren vervollständigen“

MINT: Verkettung von Achsenspiegelun-gen z. B. mit Geometriesoftware

Sprechweise bei Spiegelungen: Punkt und Bildpunkt

Bestimmung des Bildpunktes durch Ab-messen

Punktsymmetrie bei Figuren

Symmetriezentrum

Punktsymmetrie: Ausgehend z. B. von ei-ner Spielkarte (Halbdrehung)

Untersuchung von Figuren auf Punktsym-metrie und Identifikation des Symmetrie-zentrums

Punktspiegelungen

Erzeugung punktsymmetrischer Figuren Bestimmung des Bildpunktes durch Ab-messen




4. relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren

10. Die Ergebnisse aus einer Modellie-rung in die Realität übersetzen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 5. Routineverfahren anwenden und mitei-nander kombinieren

(12) geometrische Objekte in selbststän-dig skalierten zweidimensionalen kartesi-schen Koordinatensystemen darstellen

Arbeiten mit Koordinatensystemen

Ablesen von Koordinaten aus einem Ko-ordinatensystem

Sprechweise: Ursprung, x-Achse, y-Achse, x-Koordinate und y-Koordinate

Eintragen von Punkten in ein Koordina-tensystem

Vermischte Übungen im Umfeld von Pa-rallelität, Orthogonalität, Achsen- und Punktsymmetrie unter Verwendung von Koordinatensystemen

Einfache Modellierungsaufgaben

http://www.schule-bw.de/unterricht/fae-cher/mathematik/3material/sek1/ Landesbildungsserver: Leitidee Raum und Form


(3) Punkte in ein Koordinatensystem ein-tragen und die Koordinaten von Punkten ablesen

3.1.1 Zahlbereiche erkunden

(6) […] Zahlen und Punkte auf der Zah-lengeraden einander zuordnen […]

3.1.3 Geometrische Objekte und Bezie-hungen identifizieren und beschreiben

2.5 Kommunizieren 1. mathematische Einsichten und Lö-sungswege […] mündlich darstellen und erläutern

(6) […] Vierecke (Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck, Parallelogramm, Trapez) identifizieren und deren spezielle Eigenschaften beschreiben

Besondere Vierecke

Definierende Eigenschaften von Quadrat, Rechteck, Raute, Drachenviereck, Paral-lelogramm und Trapez

Bezeichnungen für Eckpunkte und Seiten bei Vierecken

Klassifikation von Vierecken

Ergänzen von Teilfiguren zu besonderen Vierecken, auch im Koordinatensystem

Symmetrieeigenschaften der besonderen Vierecke

Beziehungen der besonderen Vierecke untereinander

Formulierung von Allaussagen, z. B. „Jede Raute ist ein Parallelogramm.“ Übungsfeld zum Begründen

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „ebene Figuren erkennen und benennen, auch in ih-rer Erfahrungswelt (Rechteck, Quadrat, Dreieck, Kreis)“, „ebene Figuren beschreiben, untersuchen und nach Eigenschaften sortieren (Ecke, Seite, parallel, senkrecht)“, „ebene Figuren herstellen und zeichnen (zum Bei-spiel frei Hand, mit Lineal, Geodreieck, Zirkel, ka-riertes und unliniertes Papier)“

MINT: Eigenschaften des Mittenvierecks eines beliebigen Vierecks, Eigenschaften der Diagonalen bei beson-deren Vierecken

Insbesondere Gegenbeispiele zum Wi-derlegen einer Aussage wie z.B. „Wenn ein Viereck gleich lange Seiten hat, dann ist es ein Quadra.“

http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/raum/

http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/raum/



2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 8. Hilfsmittel ([…] Zirkel […]) probleman-gemessen […] einsetzen

2.2 Probleme lösen

6. das Problem durch Zerlegen in Teil-probleme oder das Einführen von […] Hilfslinien vereinfachen

(6) Kreise […] identifizieren und deren spezielle Eigenschaften beschreiben

(8) sicher mit […] Lineal und Zirkel umge-hen und damit geometrische Objekte zeichnen

(9) Kreise bei vorgegebenem Radius o-der Durchmesser mithilfe eines Zirkels zeichnen

Bezeichnungen am Kreis

Mittelpunkt, Radius, Durchmesser, Kreis-linie, Kreisfläche

Zeichnen von Kreisen und Kreisfigu-ren

Erstellen von Mustern Zeichnen von Kreisen im Koordinatensys-tem

Kreis als Ortslinie

Beschreibung von Punktmengen

Punktmengen durch Kreise und durch Kreisfiguren aus zwei Kreisen beschrei-ben

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „ebene Figuren erkennen und benennen […]“

Z. B.: „Markiere in der Zeichnung alle Punkte, die von A mindestens 4 cm und von B höchstens 3 cm entfernt sind.“



Figuren und Flächeninhalte







2.2 Probleme lösen 2. Informationen aus den gegebenen Tex-ten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlö-sung bewerten


(9) den Umfang von Rechteck, Quadrat, Dreieck, Trapez, Parallelogramm […] so-wie den Umfang zusammengesetzter Fi-guren bestimmen

Umfang geradlinig begrenzter Figuren Auch bei gegebenem Umfang und gege-bener Länge einer Seite eines Rechtecks die Länge der anderen Seite ermitteln

MINT: Formel für Umfang des Rechtecks als Veranschaulichung des Distributivge-setzes MINT: Vergleich von Figuren mit glei-chem Umfang


(6) den dynamischen Zusammenhang zwischen Größen in einfachen Situatio-nen (Länge – Umfang […]) anschaulich erläutern

Veränderungen des Umfangs bei Vari-ation der Seitenlängen

Rechteck und Quadrat

2.1 Argumentieren und Beweisen 8. mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begrün-den


(2) in ihrem Umfeld […] Flächeninhalte, […] messen

(5) Einheiten für […] Flächeninhalt […] verwenden und umwandeln



(11) die Formel für den Flächeninhalt ei-nes Rechtecks mit dem Grundprinzip des Messens erklären

Flächeneinheiten

Vergleich von Flächen

Grundprinzip des Messens Auslegen mit Einheitsquadraten und ab-zählen

Einheiten kennen und umwandeln (mm2, cm2, dm2, m2, a, ha, km2) Kenntnis der Umrechnungszahlen zwi-schen benachbarten Einheiten

Zusammenhang zwischen Flächeneinhei-ten

Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks Quadrat als Sonderfall

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „den Flächeninhalt ebener Figuren durch Auslegen messen, bestimmen und durch Zerlegen verglei-chen“

Z. B. Karos, Quadratzentimeter, Quadrat-dezimeter



Körper und Volumen

(Wichtiger Hinweis: Empfehlung das Thema zum Beginn des 2.Halbjahres – s. BNT)

Prozessbezogene

Kompetenzen

Inhaltsbezogene

Kompetenzen




3.1.3 Geometrische Objekte und Bezie-hungen identifizieren und beschreiben

2.5 Kommunizieren 6. ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen

(7) vorgegebene Körper (Quader, Würfel, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel) erkennen und benennen

Geometrische Körper

Klassifikation von Körpern

Beispiele aus der Umwelt

Charakteristische Eigenschaften

Begriffe: Grundfläche, Deckfläche, Sei-tenfläche, Kante, Ecke, Spitze

Steckbriefaufgaben

Einfache Beziehungen unter Prismen

Formulierung von Allaussagen, z. B.: „Jeder Würfel ist auch ein Quader, jeder Quader ist auch ein Prisma.“

Ausgehend von einer ganzheitlichen Be-trachtungsweise der Körper

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „Körper erkennen und benennen, auch in ihrer Er-fahrungswelt (Quader, Würfel, Kugel, Zylinder)“, „Körper beschreiben, untersuchen und nach Eigen-schaften sortieren (Ecke, Kante, Fläche)“

Z. B.: „Ich sehe einen Körper, der hat 5 Ecken und 8 Kanten. Was kann das sein?“

3.1.3 Geometrische Objekte zeichnen und konstruieren

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 3. zwischen verschiedenen mathemati-schen Darstellungen wechseln

8. Hilfsmittel ( […] Geodreieck […]) prob-lemangemessen auswählen und einset-zen

(14) Netze, Schrägbilder, Grund- und Aufrisse von Quadern und Würfeln zeich-nen

Schrägbilder und Netze

Schrägbilder von Würfeln und Quadern zeichnen, auch einfache daraus zusam-mengesetzte Körper

Netze von Würfeln und Quadern zeich-nen

Grund- und Aufrisse zeichnen

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „Körper herstellen (zum Beispiel Kantenmodell, Vollmodell, Flächenmodell)“, „Quader- und Würfelnetze (zum Beispiel durch Ab-wickeln) herstellen, zeichnen und untersuchen“

Visualisierung durch Einsatz von Kanten-modellen



(15) Zusammenhänge zwischen den Dar-stellungsformen Netz, Schrägbild und Modell bei geraden Körpern (Quader, Würfel, Prisma, Zylinder, Pyramide und Kegel) herstellen

Zu vorgegebenen Körpern (Prisma, Zylin-der, Pyramide und Kegel) Netze skizzie-ren

Vorgegebene Netze Körpern zuordnen

Grund- und Aufrisse Körpern zuordnen

Lesen von einfachen, durch Grund- und Aufriss gegebenen Bauplänen

Auch: Einfärbung von Körpern und ihre Entsprechung im Netz

Maßstab

2.2 Probleme lösen 3. durch Verwendung verschiedener Dar-stellungen (informative Figur, […]) das Problem durchdringen oder umformulie-ren

Kürzeste Wege auf Quaderoberflächen

Übungen zur Kopfgeometrie im Zusam-menhang mit Quader- und Würfelnetzen


2.5 Kommunizieren 1. mathematische Einsichten […] münd-lich darstellen und erläutern

6. ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen


(2) in ihrem Umfeld […] Volumina […] messen

Volumen

Bestimmung des Volumens

Volumenvergleich durch Zerlegung und Zusammensetzen von Körpern

Grundprinzip des Messens, die Volumeneinheit 1 cm3

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „den Rauminhalt von Körpern vergleichen (zum Bei-spiel durch Umfüllen) oder mittels Einheitswürfeln bestimmen“

Z. B. Umfüllen von Flüssigkeiten oder Be-trachten der Flüssigkeitsverdrängung (Einsatz von Messzylindern)

Ausfüllen eines Körpers mit Einheitswür-felchen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 4. Berechnungen ausführen

5. Routineverfahren anwenden […]

(5) Einheiten für […] Volumen verwenden und umwandeln



Volumeneinheiten

Einheiten kennen und umwandeln (1 mm3, 1 cm3, 1 dm3, 1 m3) Schätzhilfen für die behandelten Volu-meneinheiten Zusammenhang zwischen diesen Volu-meneinheiten Erste Beispiele für Umrechnungen

Visualisierung durch Einsatz eines 1 dm3-Würfel-Modells, Rückgriff auf Längenein-heiten

Weitere Volumeneinheiten: 1 l, 1 ml, 1 hl

Kenntnis der Umrechnungszahlen zwi-schen Volumeneinheiten

Bei Flüssigkeiten und Gasen

Wiederholung: Umrechnung von Längen- und Flächeneinheiten



3.1.2 Bei Figuren und Körpern Größen berechnen

2.1 Argumentieren und Beweisen 8. mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begrün-den

(14) die Formel für das Volumen eines Quaders mit dem Grundprinzip des Mes-sens erklären

Berechnungen an Körpern

Formel für das Volumen eines Quaders, Würfel als Sonderfall

Gegebenenfalls auch in Variablen-schreibweise



7. Ergebnisse […] kritisch prüfen

2.2. Probleme lösen 3. durch Verwendung verschiedener Dar-stellungen (informative Figur, […]) das Problem durchdringen oder umformulie-ren

6. das Problem durch Zerlegen in Teil-probleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen

(15) den Oberflächeninhalt und das Volu-men von Würfeln und Quadern und einfa-chen daraus zusammengesetzten Kör-pern bestimmen

Oberflächen- und Volumenberechnungen bei aus Quadern und Würfeln zusam-mengesetzten Körpern

Sinnvolles Runden von Ergebnissen

Überprüfung der Ergebnisse durch Plau-sibilitätsbetrachtungen, Vergleich mit all-tagsbezogenen Repräsentanten

Auch: Berechnung der Höhe eines Qua-ders aus dem Volumen und den Längen der Grundkanten sowie Umfüllprobleme (Invarianzprinzip), hierbei Lösen von Glei-chungen durch Rückwärtsrechnen

Anwendungs- und Problemaufgaben im Zusammenhang mit Volumenberechnun-gen



9. beim Erläutern und Begründen unter-schiedliche Darstellungsformen verwen-den (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert)

10. Beweise nachvollziehen und wieder-geben

(6) den dynamischen Zusammenhang zwischen Größen in einfachen Situatio-nen (Länge – Umfang – Flächeninhalt – Volumen) anschaulich erläutern

Dynamischer Zusammenhang

Zusammenhang zwischen der Seiten-länge eines Quadrats und dem Flächen-inhalt, zwischen der Kantenlänge eines Würfels und dem Volumen Begründungen beispielgebunden, z. B.: „Wie verändert sich der Flächenin-halt eines Quadrats bei Verdreifachung der Seitenlänge?“

5 5 25 23 5 3 5 3 3 5 5 3 25

und geometrische Veranschaulichung



Rechnen mit ganzen Zahlen




Ergänzende Hinweise, Arbeitsmit-tel,

Organisation, Verweise Die Schülerinnen und Schüler können


2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 1. zwischen natürlicher Sprache und sym-bolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln


(4) ganze Zahlen zur Beschreibung von Realsituationen verwenden, insbeson-dere unter den Aspekten Skala und Än-derung

Negative Zahlen

Negative Zahlen im Zusammenhang mit Skalen und Änderungen (Temperatur, Kontostand, Meereshöhe)

(6) [negative] Zahlen und Punkte auf der Zahlengeraden einander zuordnen und [negative] Zahlen vergleichen und anord-nen

(7) den Betrag einer Zahl angeben

Die Zahlengerade

Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zah-lengeraden

Kleiner- und Größerrelation bei ganzen Zahlen

Vollständiges Koordinatensystem

Gegenzahl und Betrag einer Zahl

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „Zahleigenschaften und Zahlbeziehungen erkennen, beschreiben und darstellen (gerade – ungerade Zah-len, Vorgänger – Nachfolger, Nachbarzahlen, die Hälfte, das Doppelte, größer als, kleiner als, gleich, liegt näher bei, liegt zwischen, runden)“



3.1.1 Mit Zahlen rechnen


7. Ergebnisse und die Eignung des Ver-fahrens kritisch prüfen

2.1 Argumentieren und Beweisen 1. in mathematischen Zusammenhängen Vermutungen entwickeln […]

(17) [ganze] Zahlen […] addieren, subtra-hieren, multiplizieren, dividieren




Addieren und Subtrahieren von gan-zen Zahlen

Wiederholung der Fachbegriffe

Kontrolle der Rechnungen durch Über-schlag

Addition und Subtraktion als Umkeh-roperationen

Mehrgliedrige Ausdrücke verwenden



Multiplizieren und Dividieren von gan-zen Zahlen

Multiplikation und Division als Umkeh-roperationen





(25) den Wert von Zahltermen mit Klam-mern in einfachen Fällen berechnen, […]

(26) einfache und zusammengesetzte Zahlterme mit den Fachbegriffen Summe, Differenz, Produkt, Quotient, […] be-schreiben

Berechnen von Zahltermen

Klammer vor Punkt vor Strich

Vereinfachen der Schreibweise

Fachbegriffe auch für Klammerterme verwenden und nutzen

(24) bei der Berechnung von Zahltermen Rechengesetze für Rechenvorteil benut-zen

Zahlterme geschickt berechnen

Propädeutische Verwendung der Re-chengesetze für Rechenvorteile, nicht formalisieren

Hinweis: Ausklammern, Ausmultiplizieren, Minusklammer bei Rechenaufgaben intui-tiv anwenden


Zahlenrätsel

Lösung von Gleichungen ohne Variable durch Probieren oder Umkehroperation finden oder erkennen

(22) Sachsituationen (auch aus der Geo-metrie und bei Zahlenmustern) durch Zahlterme beschreiben

Muster

Auch mit nicht-arithmetischem Hinter-grund, z. B. Anzahl sichtbarer Seitenflä-chen bei aufeinandergestapelten Wür-feln, Anzahl Diagonalen im n-Eck



(2) Muster (zum Beispiel Zahlenfolgen) erkennen, verbal beschreiben und diese fortsetzen




Rationale Zahlen








(5) Brüche zur Beschreibung von Realsi-tuationen verwenden, insbesondere unter den Aspekten Anteil, Verhältnis, Opera-tor, Maßzahl einer Größe

Zähler und Nenner und deren Bedeu-tung

Teile vom Ganzen Anteile einer Maßzahl (z. B. Stunde) Verteilen einer Einheit: ( eines Meters)

Skalenanzeige bei analogen Skalen

Brüche im Alltag

Anteile

Erkennen von Anteilen

Anteile berechnen

http://www.schule-bw.de/unterricht/fae-cher/mathematik/3material/sek1/ Landesbildungsserver: Sekundarstufe1, Leitidee Zahl – Variable – Operation

Veranschaulichung durch ikonische Dar-stellungen (Kreis-, Rechteck- und Stab-modell)



Bruch als Operator

„Ein Drittel von…“, „ von A = A : 4 ∙ 3”

Bruch als Quotient

Bruch als Ergebnis einer Division 3 : 20 =

Bruch als Verhältnis

Mischungs- oder Teilungsverhältnisse

http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/




2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 3. zwischen verschiedenen mathemati-schen Darstellungen wechseln


(15) Brüche erweitern und kürzen

(6) rationale Zahlen und Punkte auf der Zahlengeraden einander zuordnen und rationale Zahlen vergleichen und anord-nen

Erweitern und Kürzen

Verfeinern und Vergröbern

Brüche auf der Zahlengeraden markie-ren oder ablesen

Verfeinerung der Zahlengeraden Auch negative Brüche

Brüche vergleichen und ordnen

Brüche mit gleichem Zähler Brüche mit gleichem Nenner Begriff „gemeinsamer Nenner“




2.5 Kommunizieren 1. mathematische Einsichten […] münd-lich darstellen und erläutern

3.1.1 Zahlbereiche erkunden Besondere Eigenschaften von ℚ

Abgeschlossenheit bzgl. Division

Dichte Lage der rationalen Zahlen

(8) erläutern, dass zwischen zwei ver-schiedenen rationalen Zahlen stets belie-big viele weitere rationale Zahlen liegen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen 3. zwischen verschiedenen mathemati-schen Darstellungen wechseln


(9) Brüche in Dezimalzahlen (abbrechend oder periodisch) und abbrechende Dezi-malzahlen in Brüche umwandeln

(10) Brüche, Dezimalzahlen und Prozent-angaben ineinander umwandeln

Dezimalschreibweise

Brüche durch Erweitern des Nenners auf eine Zehnerpotenz in Dezimalschreib-weise umwandeln

Brüche durch Division in Dezimalschreib-weise umwandeln

Abbrechende Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

MINT: Erkennen und begründen, welche Brüche periodische Dezimalzahlen erge-ben; periodische Dezimalzahlen in Brü-che umwandeln



Rechnen in ℚ






3.1.1 Mit Zahlen rechnen




(17) rationale Zahlen in Bruch- und in De-zimaldarstellung addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren

(16) Brüche mit natürlichen Zahlen multi-plizieren und Brüche durch natürliche Zahlen dividieren

Addieren und Subtrahieren von Brü-chen

Auf gemeinsamen Nenner bringen

Multiplizieren von Brüchen

Multiplizieren mit einer natürlichen Zahl, Vervielfachen des Zählers

Multiplizieren mit einem Bruch

Dividieren eines Bruches

Dividieren durch eine natürliche Zahl, Teilen des Zählers oder Vervielfachen des Nenners

Dividieren durch einen Bruch

Begriff des Kehrwerts

Veranschaulichung von Rechenoperatio-nen durch ikonische Darstellungen (Rechteck-, Kreisfläche, Streckenlängen)

Auch: Ermittlung von Ergebnissen mithilfe inhaltlich anschaulicher Überlegungen

http://www.schule-bw.de/unterricht/fae-cher/mathematik/3material/sek1/ Landesbildungsserver: Sekundarstufe1, Leitidee Zahl https://lehrerfortbildung-bw.de/fae-cher/mathematik/gym/fb4/ ZPG IV: Binnendifferenzierung

Vorstellungsumbrüche: Ein Produkt kann kleiner sein als jeder Faktor. Ein Quotient kann größer sein als der Di-vidend.







(12) […] positive Dezimalzahlen schrift-lich addieren, subtrahieren, multiplizieren […] und dividieren […]

(13) […] Kommaverschiebungen anwen-den und das Verfahren begründen

Addieren und Subtrahieren von Dezi-malzahlen

Multiplizieren von Dezimalzahlen

Kommaverschiebung bei Multiplikation mit Zehnerpotenzen

Dividieren von Dezimalzahlen

Kommaverschiebung bei Division mit Zehnerpotenzen

Überschlagsrechnungen

Stellenwerttafel als Hilfsmittel

Bei Produkten maximal ein Faktor höchs-tens 3-stellig, Divisor maximal 2-stellig





(24) bei der Berechnung von Zahltermen Rechengesetze für Rechenvorteile nut-zen

(25) den Wert von Zahltermen mit Klam-mern in einfachen Fällen berechnen, zum Beispiel rationale Zahlen treten nur in gleicher Darstellung auf

Rechenvorteile nutzen

Vertauschen, Zusammenfassen, Vertei-len

Vorrangregeln

Bekanntes aus Klasse 5 fortführen

Rechengesetze nicht formalisiert


(22) Sachsituationen (auch aus der Geo-metrie und bei Zahlenmustern) durch Zahlterme beschreiben

Anwendungsaufgaben

Mathematisierung eines gegebenen Sachverhalts



Winkel






3.1.3 Geometrische Objekte und Bezie-hungen identifizieren und beschrei-ben, Geometrische Objekte zeichnen und konstruieren

2.5 Kommunizieren 6. ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 8. Hilfsmittel ([…] Geodreieck […]) prob-lemangemessen […] einsetzen

(2) Winkel unter Verwendung der Begriffe Scheitel und Schenkel beschreiben

(3) rechte, spitze und stumpfe Winkel identifizieren

(8) sicher mit Geodreieck […] umgehen und damit geometrische Objekte zeich-nen

(10) […] Winkel vorgegebener Winkel-weite mithilfe eines Geodreiecks zeich-nen

(5) rechtwinklige, spitzwinklige, stumpf-winklig, gleichschenklige und gleichsei-tige Dreiecke identifizieren

Winkel

Winkelarten

Winkel mit griechischen Buchstaben kennzeichnen

Zeichnen von Winkeln

Dreiecke klassifizieren


2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 8. Hilfsmittel ([…] Geodreieck […]) prob-lemangemessen […] einsetzen

(7) Winkelweiten messen und schätzen Messen von Winkeln

Schätzen von Winkeln

Vollwinkel, gestreckte Winkel, rechte Winkel als Schätzhilfe verwenden

http://www.schule-bw.de/unterricht/fae-cher/mathematik/3material/sek1 Landesbildungsserver: Leitidee Messen





Flächeninhalte von Dreiecken, Vierecken, Kreisen






3.1.3 Geometrische Objekte und Bezie-hungen identifizieren und beschreiben Geometrische Objekte zeichnen und konstruieren

2.1 Argumentieren und Beweisen 4. in einer mathematischen Aussage zwi-schen Voraussetzung und Behauptung un-terscheiden

5. eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn-Dann) formulieren

13. Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen […]

(11) den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen, […] sowie den Ab-stand zwischen Parallelen bestimmen

Abstände

Abstand eines Punktes von einer Gera-den als kürzeste Entfernung Auch Einführung der Begriffe Lot und Lot-fußpunkt

Abstand zweier Parallelen

Bestimmung von Abständen mithilfe des Geodreiecks Erste einfache Modellierungsaufgaben im Zusammenhang mit Abstandsbestimmun-gen

Maßstab


2.2 Probleme lösen 6. das Problem durch Zerlegen in Teil-probleme oder das Einführen von […] Hilfslinien vereinfachen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen


(12) die Formeln für den Flächeninhalt ei-nes Parallelogramms und eines Dreiecks geometrisch erklären […]

(13) den Flächeninhalt von Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Trapez, Drei-eck […] berechnen und den Flächeninhalt von daraus zusammengesetzten Figuren bestimmen

Flächeninhalt bei Parallelogramm, Tra-pez, Dreieck

Die Grundidee „Zerlegen und Ergänzen“ führt im Ergebnis auf die Flächenformel.



3.1.3 Geometrische Objekte zeichnen und konstruieren

(11) […] bei Dreiecken Höhen einzeich-nen […]

Flächeninhalt eines Vielecks

Anwendungsaufgaben

Wahl sinnvoller Einheiten

Einführung des Begriffs Höhe (auch au-ßenliegend)

3.1.2 Bei Figuren und Körpern Größen berechnen

2.1 Argumentieren und Beweisen

8. mathematische Verfahren und ihre Vorgehensweisen erläutern und begrün-den

(9) den Umfang von […] Kreis sowie den Umfang zusammengesetzter Figuren be-stimmen

(10) die Zahl 𝜋 als Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises erklären

(12) die Formel für den […] Flächeninhalt eines Kreises durch einfache anschauli-che Überlegungen erläutern

(13) den Flächeninhalt von [… einem] Kreis berechnen und den Flächeninhalt von […] zusammengesetzten Figuren be-stimmen

Umfang des Kreises

Kreiszahl 𝜋, Näherungswert 3,14

Umfang zusammengesetzter Figuren

Z. B. Torbogen, Herz

Flächeninhalt des Kreises

Zerlegen des Kreises in Sektoren und ge-gensinniges Aneinanderlegen ergibt an-nähernd ein Rechteck

Flächeninhalt zusammengesetzter Fi-guren



Daten

Prozessbezogene

Kompetenzen

Inhaltsbezogene

Kompetenzen





2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen 3. zwischen verschiedenen mathemati-schen Darstellungen wechseln


(9) Brüche in Dezimalzahlen (abbrechend oder periodisch) und abbrechende Dezi-malzahlen in Brüche umwandeln

(10) Brüche, Dezimalzahlen und Prozent-angaben ineinander umwandeln

Prozentangaben

Prozentschreibweise als Abkürzung eines Bruches mit Nenner 100, auch Promille-angaben Nicht: vollständige Prozentrechnung

3.1.5 Daten darstellen, auswerten und interpretieren

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen 2. mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Mo-dellieren und zum Problemlösen auswäh-len und verwenden


(3) Daten graphisch darstellen ([…] Strei-fen-, Kreisdiagramm), ggf. auch unter Verwendung von Tabellenkalkulation

(5) Daten aus vorgegebenen Sekundär-quellen (zum Beispiel Texten, Diagram-men, bildlichen Darstellungen) entneh-men (2) absolute und relative Häufigkeiten (auch in Prozent) bestimmen

Daten entnehmen

Diagramme lesen, insbesondere Streifen- und Kreisdiagramme

Daten darstellen Durch Tabellen und Diagramme, insbe-sondere Streifen- und Kreisdiagramme

Bezug zum Basiskurs Medienbildung „Produktion und Präsentation“ (hier: mit-tels eines Tabellenkalkulationspro-gramms) Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informati-onen entnehmen und diese Informationen deuten“ Bezug zur Bruchrechnung



2.3 Modellieren 5. die Beziehungen zwischen diesen Grö-ßen mithilfe von Variablen, Termen, Glei-chungen, Funktionen, Figuren, Diagram-men, Tabellen oder Zufallsversuchen be-schreiben


(4) die Kenngrößen Maximum, Minimum und Mittelwert (arithmetisches Mittel) be-stimmen

(6) statistische Aussagen mithilfe der Kenngrößen von Daten formulieren

(7) Daten aus ihrer Erfahrungswelt auch bei unterschiedlichen Darstellungsformen auswerten, vergleichen und deuten

(8) statistische Darstellungen hinsichtlich ihrer Eignung und hinsichtlich möglicher Irreführung beurteilen

Daten auswerten

Umgang mit Daten

Daten interpretieren, Datendarstellungen vergleichen

L BNE Teilhabe, Mitwirkung, Mitbestim-mung

L MB Mediengesellschaft

L VB Medien als Einflussfaktoren



Zusammenhänge







2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 2. mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Mo-dellieren und zum Problemlösen auswäh-len und verwenden


(1) einfache Zusammenhänge zwischen Zahlen und Größen erkennen und be-schreiben

(4) einfache funktionale Zusammenhänge in verbaler, tabellarischer, ikonischer und graphischer Form (auch im Koordinaten-system) darstellen und zwischen Darstel-lungsformen wechseln

Wertetabellen und graphische Darstel-lungen

Gegenüberstellung: Zusammenhänge darstellen mittels Wertetabelle und mittels Grafik

Hinweis auf den Grundschulbildungsplan: „Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informati-onen entnehmen und diese Informationen deuten“, „mathematische Darstellungen (Zeichnungen, Dia-gramme, Tabellen, Skalen) zur Lösung nutzen und präsentieren (zum Beispiel Tafel, Plakat, Compu-ter, ...)“, „mathematische Darstellungen in Sachkontexte übersetzen“, „mathematische Darstellungen in andere Darstellun-gen übertragen und miteinander vergleichen“, „funktionale Beziehungen in Sachsituationen erken-nen, beschreiben und entsprechende Aufgaben lö-sen“, „einfache funktionale Zusammenhänge (zum Bei-spiel Anzahl – Preis) mithilfe von Material veran-schaulichen und beschreiben“

2.5 Kommunizieren 1. mathematische Einsichten und Lö-sungswege schriftlich dokumentieren und mündlich darstellen und erläutern

2. ihre Ergebnisse strukturiert präsentie-ren

3. eigene Überlegungen in kurzen Beiträ-gen sowie selbstständige Problembear-beitungen in Vorträgen verständlich dar-stellen

Interpretation von graphischen Darstel-lungen im Sachzusammenhang

Z. B. Wasserstand in Abhängigkeit von der Zeit, graphische Fahrpläne, Ge-schwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit oder vom Weg, Zuordnung von Weg-Geschwindigkeits-diagrammen zu bestimmten Streckenpro-filen

Anfertigen von Diagrammen aus Werteta-bellen

Abtragen der unabhängigen Größe auf der x-Achse, der abhängigen Größe auf der y-Achse



Anfertigen von Wertetabellen aus graphi-schen Darstellungen

Graphisch oder formal gegebene Zusam-menhänge verbal beschreiben

Eintragen der unabhängigen Größe in der ersten Zeile

Z. B. Füllvorgänge, Bewegungsvorgänge, Faustformel für den Bremsweg eines Fahrzeugs, Kaufpreis bei Mengenrabatt, Kosten, die sich aus Grundgebühr und Verbrauch zusammensetzen

(2) Muster (zum Beispiel Zahlenfolgen) erkennen, verbal beschreiben und diese fortsetzen

Muster

Zahlenmuster und geometrische Muster fortsetzen


2.3 Modellieren

1. wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren

4. relevante Größen und ihre Beziehun-gen identifizieren

5. die Beziehungen zwischen Größen […] beschreiben



(5) proportionale und antiproportionale Zusammenhänge in konkreten Situatio-nen erkennen und Sachprobleme durch proportionales und antiproportionales Rechnen lösen, auch in der Darstellungs-form Dreisatz

Proportionale Zusammenhänge

Anwendungsaufgaben mit inhaltlichem Verständnis von proportionalen Zusam-menhängen lösen Grenzen der Anwendbarkeit der Verfah-ren (z. B. Mengenrabatt)

Anwendungsaufgaben mit inhaltlichem Verständnis von antiproportionalen Zu-sammenhängen lösen

Gegenüberstellung: Proportionale und antiproportionale Zusammenhänge

Anwendungsaufgaben mit dem Dreisatz bearbeiten

L VB Alltagskonsum

Nicht: Proportionalitätsfaktor

Schulcurriculum für das Fach Mathematik / Klasse 7 / Hochrhein – Gymnasium Waldshut (Stand: 27. September 2017)

1 Eich, Ger, Kin, Reu (nach Landesinstitut für Schulentwicklung Baden-Württemberg)


Zahlterme und Terme mit Variablen

Prozessbezogene Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen Konkretisierung, Vorgehen im Unterricht

Hinweise, Arbeitsmittel, Organisation, Verweise

Die Schülerinnen und Schüler können 3.2.1 Zahlterme berechnen

2.3 Modellieren 6. Grundvorstellungen zu mathemati-schen Operationen nutzen […]





(1) Zahlterme mit rationalen Zahlen – auch in unterschiedlicher Darstellung – vereinfachen und deren Wert berechnen

Zahlterme vereinfachen und zusam-menfassen

Mehrgliedrige Summen auch mit negati-ven rationalen Zahlen und Klammern

Einfache mehrgliedrige Zahlterme mit Klammern

Arbeiten mit beliebigen Zahltermen

Rechnen mit rationalen Zahlen in gleicher Darstellung bereits in Klasse 6

3.2.1 Mit Termen umgehen, die auch Variable enthalten


(5) Situationen unter Verwendung von Variablen und Termen beschreiben

(6) den Wert von Termen, die Variablen enthalten, durch Einsetzen berechnen

(8) die Rechengesetze zum Gliedern, Umformen oder Berechnen von Termen anwenden, auch […] Ausklammern.

Terme und Variablen

Der Variablenbegriff

Berechnen des Wertes von Termen durch Einsetzen

Aufstellen von Termen aus Situationen

Vereinfachen des Terms

Zunächst beschränkt auf nur eine Vari-able

2.2 Probleme lösen 3. durch Verwendung verschiedener Dar-stellungen (informative Figur, verbale Be-schreibung, Tabelle, Graph, symbolische

(7) die Assoziativgesetze, die Kommutati-vgesetze, sowie das Distributivgesetz an-geben und an Beispielen erläutern

Rechengesetze

Assoziativ-, Kommutativ- und Distributiv-gesetz

Multiplizieren von Summen erst in Klasse 8, hier genügt cba



Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren



Geometrie an Figuren



Die Schülerinnen und Schüler können 3.2.3 Ortslinien konstruieren und mit

Ortslinien arbeiten

2.1. Argumentieren und Beweisen

2. eine Vermutung anhand von Beispie-len auf ihre Plausibilität prüfen oder an-hand eines Gegenbeispiels widerlegen 5. eine mathematische Aussage in einer standardisierten Form (zum Beispiel Wenn-Dann) formulieren

11. bei mathematischen Beweisen die Ar-gumentation auf die zugrunde liegende Begründungsbasis zurückführen

2.2 Probleme lösen 3. durch Verwendung verschiedener Dar-stellungen (informative Figur, verbale Be-schreibung, Tabelle, Graph, symbolische

(7) die Mittelsenkrechte einer Strecke, die Winkelhalbierende eines Winkels mit Zir-kel und Lineal konstruieren

Ortslinien konstruieren

Mittelsenkrechte einer Strecke

Winkelhalbierende eines Winkels

(8) geometrische Probleme unter Ver-wendung von Ortslinien (Kreislinie, Mittel-senkrechte, Winkelhalbierende, Mittelpa-rallele) zeichnerisch lösen, auch mit dy-namischer Geometriesoftware, und die Lösung beschreiben

(5) die Konstruierbarkeit von Dreiecken […] sowie die Lösungsvielfalt bei Drei-eckskonstruktionen untersuchen

Anwendungen

Geometrische Fragestellungen beantwor-ten

Dreieckskontruktionen

Angaben hinsichtlich Konstruierbarkeit prüfen

Dreiecke aus gegebenen Stücken kon-struieren

Keine formale Betrachtung über Kongru-enzsätze

Ggf. Einsatz von dynamischer Geomet-riesoftware



Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren 4. Hilfsmittel […] ([…] Computerpro-gramme, […]) nutzen 6. das Problem durch Zerlegen in Teil-probleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen 9. Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation, Dynami-sche Geometriesoftware) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Mo-dellieren einsetzen 10. Sonderfälle oder Verallgemeinerun-gen untersuchen 11. das Problem auf Bekanntes zu-rückführen oder Analogien herstellen 13. Ergebnisse, auch Zwischenergeb-nisse, auf Plausibilität oder an Beispielen prüfen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 2. mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen verwen-den 3. zwischen verschiedenen mathemati-schen Darstellungen wechseln

5.Routineverfahren anwenden und mit-einander kombinieren 8. Hilfsmittel ([…] Geodreieck und Zirkel, […] Software) Problem angemessen aus-wählen und einsetzen

2.5 Kommunizieren 1. mathematische Einsichten und Lösungs-wege schriftlich dokumentieren oder münd-lich darstellen und erläutern 2.ihre Ergebnisse strukturiert präsentieren 3. eigene Überlegungen […] verständlich

Konstruktion durchführen und Lösungs-vielfalt thematisieren

Eindeutigkeit der Konstruktion klären; Konstruktionsbeschreibungen anfertigen



darstellen 5.vorläufige Formulierungen zu fachsprach-lichen Formulierungen weiterentwickeln

2.3. Modellieren 1. wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren 3. Situationen vereinfachen 4. relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren 5. die Beziehungen zwischen Größen mit-hilfe von […], Termen, […] beschreiben 10. die Ergebnisse […] in die Realität übersetzen 11. die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Real-situation überprüfen

(6) Streckenlängen und Winkelweiten in ebenen Figuren und in Körpern durch maßstäbliches Zeichnen erschließen

Streckenlängen und Winkelweiten

Anwendungsaufgaben

Körper vermessen

Vertiefung Klasse 5/6

Vermessung von Landmarken oder Ge-bäuden

Mit Hilfe von Netzen oder Querschnitten

Geometrie: Winkelbeziehungen



Die Schülerinnen und Schüler können 3.2.3 Geometrische Figuren untersu-

chen


4. in einer mathematischen Aussage zwi-schen Voraussetzung und Behauptung unterscheiden

(1) Winkelweiten unter Verwendung von Scheitel- und Nebenwinkeln sowie Stu-fen- und Wechselwinkeln erschließen

Winkel an Geradenkreuzungen

Neben- und Scheitelwinkel an einander schneidenden Geraden

Auch Beispiele mit drei einander in einem Punkt schneidenden Geraden

Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen

Satz, Umkehrung und Kehrsatz

Auch: Parallelität mit Stufen- oder Wech-selwinkel prüfen



6. zu einem Satz die Umkehrung bilden

7. zwischen Satz und Kehrsatz unter-scheiden und den Unterschied an Bei-spielen erklären

11. bei mathematischen Beweisen die Ar-gumentation auf die zugrundeliegende Begründungsbasis zurückführen

12. ausgehend von einer Begründungs-basis […] eine mehrschrittige Argumenta-tionskette aufbauen

2.2 Probleme lösen 3. durch Verwendung verschiedener Dar-stellungen […] das Problem durchdringen oder umformulieren 4. Hilfsmittel […] ([…] Computerpro-gramme, […]) nutzen

6. das Problem durch Zerlegen in Teil-probleme oder das Einführen von Hilfsgrößen oder Hilfslinien vereinfachen 9. Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation, Dynami-sche Geometriesoftware) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Mo-dellieren einsetzen

10. Sonderfälle oder Verallgemeinerun-gen untersuchen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 2. mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen verwen-den 3. zwischen verschiedenen mathemati-schen Darstellungen wechseln

5.Routineverfahren anwenden und mit-einander kombinieren

(2) den Winkelsummensatz für Dreiecke begründen

(3) Winkelweiten und Streckenlängen durch Anwenden des Winkelsummensat-zes oder des Basiswinkelsatzes bezie-hungsweise dessen Kehrsatz erschließen

Winkelsummensatz

Beliebige Dreiecke auf Winkelsumme un-tersuchen

Nachweis Winkelsummensatz

Gleichschenklige und -seitige Drei-ecke

Der Basiswinkelsatz und seine Umkeh-rung

Symmetrieüberlegungen



8. Hilfsmittel ([…] Geodreieck und Zirkel, […] Software) Problem angemessen aus-wählen und einsetzen

2.1 Argumentieren und Beweisen

10. Beweise nachvollziehen und wieder-geben

(4) den Satz des Thales begründen und anwenden, insbesondere auf Orthogonali-tät schließen

(10) Tangenten an Kreise in Punkten auf dem Kreis und von Punkten außerhalb konstruieren

Der Thaleskreis

Der Satz des Thales

Verwendung des Kehrsatzes für den Nachweis der Orthogonalität

Tangenten konstruieren

Der Thaleskreis als Ortslinie

Entdecken, formulieren, begründen

Anwendung auf Figuren

Anwendung des Satz von Thales

(9) den Umkreismittelpunkt und den In-kreismittelpunkt eines Dreiecks mit Zirkel und Lineal konstruieren und die Konstruk-tion begründen

Umkreis und Inkreis

Konstruktion

Begründung der Eindeutigkeit

Hier Verwendung von dynamischer Geo-metriesoftware sinnvoll zum Entdecken der Vermutung, insbesondere beim In-kreismittelpunkt

MINT: Schwerpunkt

Lineare Funktionen



Die Schülerinnen und Schüler können 3.2.4 Funktionale Zusammenhänge

darstellen und nutzen


(1) Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen oder Text darstel-len und situationsgerecht zwischen den Darstellungen wechseln

(2) alltagsbezogene Sachverhalte aus Darstellungen ablesen (zum Beispiel

Zuordnungen Schaubilder im Koordinatensystem

Wechsel zwischen Darstellungsformen: denkbar Füllkurven Temperaturaufzeich-nungen Regenmengen, ZeitWeg-Dia-gramm, Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm PH 3.2.6 Mechanik: Kinematik

Graph mit Hilfe von Wertetabellen erstel-len

Auch Wertetabellen durch Einsetzen in Funktionsterm erstellen



2. mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, […] ver-wenden


2.5 Kommunizieren 3. eigene Überlegungen in kurzen Beiträ-gen […] darstellen

8. Äußerungen und Informationen analy-sieren und beurteilen

größte und kleinste Werte, Zunehmen und Abnehmen, Zeitpunkte)

Daten entnehmen Werte aus Graph auslesen, insbesondere auch ausgezeichnete Punkte

Graphen interpretieren Vom Graph zur Geschichte und umge-kehrt

(4) Funktionen als eindeutige Zuordnun-gen, zum Beispiel von x-Werten zu y-Werten, von nicht eindeutigen Zuordnun-gen unterscheiden

Funktion als eindeutige Zuordnung

Beispiele und Gegenbeispiele

Merkmale von Wertetabellen und Gra-phen

3.2.4 Mit linearen Funktionen umgehen

(7) bei linearen Funktionen das Ände-rungsverhalten im Sachzusammenhang mithilfe der Änderungsrate beschreiben

Lineare Funktionen und Änderungs-rate

Lineare Zusammenhänge darstellen

Z. B. Einfluss von Grundgebühr und Kos-ten pro Einheit / Eigengewicht und Fül-lung auf Graph und Wertetabelle

Änderungsrate und Sockel

(5) eine Gerade mit der Gleichung = 𝑚 ∙ + 𝑐 unter anderem unter Ver-wendung von Steigung und Steigungs-dreiecken zeichnen und einer Geraden eine Gleichung zuordnen

Steigung und y-Achsenabschnitt einer Geraden

Zeichnen von Geraden aus gegebener Gleichung Ablesen der Steigung und des Achsenab-schnitts und daraus Erstellen der Gera-dengleichung

Die konstante Änderungsrate als Stei-gung der Geraden Der Sockel als y-Achsenabschnitt der Geraden

2.3 Modellieren 4. relevante Größen und ihre Beziehungen identifizieren

7. zu einer Situation passende mathema-tische Modelle (zum Beispiel arithmeti-sche Operationen, […] Terme und Glei-chungen, […]) auswählen oder konstru-ieren

2.2 Probleme lösen 2. Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen ent-nehmen und auf ihre Bedeutung für die

(6) aus den Koordinaten zweier Punkte zunächst die Steigung, dann den y-Ach-senabschnitt der zugehörigen Geraden berechnen und eine Gleichung der Gera-den angeben

Ermitteln einer Geradengleichung

Bestimmung der Steigung

Berechnen des y-Achsenabschnitts



Problemlösung bewerten

Proportionalität als Sonderfall

Exkurs: Antiproportionalität als Gegenbei-spiel

3.2.4 Funktionale Zusammenhänge darstellen und nutzen

2.5 Kommunizieren 3. eigene Überlegungen […] verständlich darstellen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 2. mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen verwen-den


2.3. Modellieren 1. wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren

2. ergänzende Informationen beschaffen und dazu Informationsquellen nutzen

3. Situationen vereinfachen


5. die Beziehungen zwischen Größen mithilfe von […], Termen, […] beschrei-ben

9. rechnen, mathematische Algorithmen […] ausführen

10. die Ergebnisse […] in die Realität übersetzen

12. die aus dem mathematischen Mo-dell gewonnene Lösung bewerten und

(3) Proportionalität und Antiproportionali-tät in verschiedenen Darstellungsformen erkennen und für Berechnungen nutzen

Proportionale Zuordnungen

Darstellung von proportionalen Zuordnun-gen

Anwendungsaufgaben

Kennzeichen der Proportionalität

Gleichung einer proportionalen Zuordn

ung xmy

Abgrenzung gegenüber nicht-proportio-nalen Vorgängen

Antiproportionale Zuordnungen

Darstellung in Tabelle und Schaubild

Kennzeichen der Antiproportionalität her-ausarbeiten

Berechnungen im Sachkontext

Darstellung in Tabelle und Schaubild

http://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissen-schaftliche-faecher/mathematik/unter-richtsmaterialien/sekundarstufe1/fktn (geprüft am 08.05.2017)

Landesbildungsserver: Leitidee Funktio-naler Zusammenhang

Lösen mit inhaltlichem Verständnis von proportionalen Zusammenhängen

Auch: Proportionalitätsfaktor x

yk ,

Quotientengleichheit

Diskrete Punkte auf einer Ursprungsgera-den

Bedeutung von m als Änderungsrate pro Einheit herausarbeiten

Je-mehr-desto-mehr ist nicht immer pro-portional

Produktgleichheit

Keine umfangreiche Thematisierung der Hyperbel.



gegebenenfalls Überlegungen zur Ver-besserung der Modellierung anstellen

Proportionalität und Antiproportionali-tät

Anwendungsaufgaben

Beim Lösen entscheiden die Schüler selbständig, welche Modellierung an-wendbar ist, auch kritische Überprüfung der Ergebnisse an Hand der Realsitua-tion

L VB Alltagskonsum

(8) die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Gleichungen untersuchen

Entdeckung von

1

2

1

mm an konkre-

ten Beispielen

Lineare Gleichungen und Ungleichung



Die Schülerinnen und Schüler können 3.2.1 Gleichungen lösen

2.1. Argumentieren und Beweisen 2. eine Vermutung anhand von Beispie-len auf ihre Plausibilität prüfen oder an-hand eines Gegenbeispiels widerlegen

(26) lineare […] Gleichungen […] geo-metrisch als Schnittproblem von Graphen interpretieren und so näherungsweise lö-sen

(19) lineare Gleichungen durch Äquiva-lenzumformungen lösen

Gleichungen lösen

Gleichungen lösen durch Probieren

Gleichungen graphisch lösen

Nullstelle einer Geraden bzw. Schnitt-punkt zweier Geraden finden

Lösen durch Rückwärtsrechnen / Umkeh-roperationen

Wenn 853 x ist, dann muss 583 x sein …

2.1. Argumentieren und Beweisen 8. mathematische Verfahren und ihre Vor-gehensweisen erläutern und begründen

2.2 Probleme lösen 5. durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermu-tungen kommen und diese auf Plausibili-tät überprüfen

Äquivalenzumformungen

Systematisieren der Umkehroperationen führen zu Äquivalenzumformungen

Systematisiertes Lösen von linearen Glei-chungen

Veranschaulichung am Waagemodell



7. mit formalen Rechenstrategien (unter anderem Äquivalenzumformung von Glei-chungen) Probleme auf algebraischer Ebene bearbeiten




2.1. Argumentieren und Beweisen 9.beim Erläutern und Begründen unter-schiedliche Darstellungsformen verwen-den (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert

(25) die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen […] Gleichungen […] unter-suchen

Sonderfälle

Lineare Gleichungen ohne Lösung

Lineare Gleichungen mit unendlich vielen Lösungen

Argumentation für „keine bzw. unendliche viele Lösungen“ mithilfe funktionalen Denkens

(27) einfache lineare […] Ungleichungen geometrisch interpretieren und mithilfe funktionaler Überlegungen lösen

Ungleichung lösen

Lösen zunächst als Gleichung

Graphische Überlegungen

Ungleichung als Sonderfall einer Glei-chung mit anschließenden graphischen Überlegungen

MINT: lineare Ungleichungssysteme formales Lösen von Ungleichungen

Prozentrechnung



Die Schülerinnen und Schüler können 3.2.1 Mit Prozenten und Zinsen umge-

hen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik

(2) Prozentwert, Grundwert und Prozent-satz identifizieren und berechnen

Grundaufgaben der Prozentrechnung

Berechnung des Prozentwertes

Anwendungen aus Alltagssituationen



umgehen 2. mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen verwen-den



2.2 Probleme lösen 1. das Problem mit eigenen Worten be-schreiben

2. Informationen aus den gegebenen Tex-ten, Bildern und Diagrammen entnehmen und auf ihre Bedeutung für die Problemlö-sung bewerten

16. Lösungswege vergleichen

Berechnung des Grundwertes

Berechnung des Prozentsatzes

Vermehrter/Verminderter Grundwert

Vermischte Aufgaben

Berechnungen mit Hilfe proportionalem Denkens, auch in der Form Dreisatz http://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissen-schaftliche-faecher/mathematik/unter-richtsmaterialien/sekundar-stufe1/zahl/prozent (geprüft am 08.05.2017) Landesbildungsserver: Leitidee Zahl – Variable – Operation

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

9. Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Modellieren einsetzen

2.1 Argumentieren und Beweisen 3. bei der Entwicklung und Prüfung von Vermutungen Hilfsmittel verwenden (zum Beispiel Taschenrechner, Computerpro-gramme)

2.2 Probleme lösen 5. durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutun-gen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen 2.3 Modellieren

(3) Zins und iterativ Zinseszins berech-nen

Zinsrechnung

Zinsen und Zinseszins

Als Anwendung der Prozentrechnung

Einsatz des Taschenrechners

(4) eine Tabellenkalkulation verwenden, um Zinssatz, Tilgung/Sparrate und Lauf-zeit näherungsweise zu bestimmen

Arbeiten mit Tabellenkalkulation um iterative Vorgänge zu modellieren

Erstellen einer Zinseszins-Tabelle

Verwendung einer Tabelle für Til-gung/Sparrate und Laufzeit

Arbeiten mit Bezügen, Tabellenblatt selbstständig erstellen

Hinweis: Könnte ins ITG Modul integriert werden.


L MB Informationstechnische Grundlagen

L VB Finanzen und Vorsorge

http://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissen-schaftliche-faecher/mathematik/unter-

http://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/zahl/prozent







6. Grundvorstellungen zu mathematischen Operationen nutzen und die Eignung ma-thematischer Verfahren einschätzen

richtsmaterialien/sekundar-stufe1/zahl/zinsrechnen/checkliste.html (geprüft am 08.05.2017)

Landesbildungsserver: Leitidee Zahl – Variable – Operation

Daten auswerten, bewerten und Darstellungen interpretieren



Die Schülerinnen und Schüler können 3.2.5 Daten aus- und bewerten

2.2 Probleme lösen 2. Informationen aus den gegebenen Texten, Bildern und Diagrammen entneh-men und auf ihre Bedeutung für die Prob-lemlösung bewerten

4. Hilfsmittel und Informationsquellen (zum Beispiel Formelsammlung, Ta-schenrechner, Computerprogramme, In-ternet) nutzen


(1) zu einer statistischen Fragestellung Daten aus Sekundärquellen entnehmen

Daten auswerten

Tabellen und Diagramme auswerten

Sekundärquellen in unterschiedlicher Form, auch schon Boxplots denkbar

L MB Information und Wissen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 2. mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, […] ver-wenden

(2) die Kenngrößen unteres und oberes Quartil, Median bestimmen

Kenngrößen

Median, Quartil bestimmen

(3) Boxplots erstellen und Verteilungen mithilfe von Boxplots interpretieren und vergleichen

Boxplots

Daten im Boxplot grafisch darstellen

Boxplots interpretieren und vergleichen

Wiederholung und Fortführung der Dar-stellungsarten

Hier geeignete Software einsetzen



9. Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation, Dynami-sche Geometriesoftware) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Mo-dellieren einsetzen


L MB Produktion und Präsentation

2.5 Kommunizieren 4. bei der Darstellung ihrer Ausführungen geeignete Medien einsetzen

7. aus Quellen (Texten, Bildern und Ta-bellen) und aus Äußerungen anderer ma-thematische Informationen


http://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissen-schaftliche-faecher/mathematik/unter-richtsmaterialien/sekundarstufe1/zu-fall/fortbildung/dazumat/index.html Landesbildungsserver: Leitidee Daten und Zufall

2.2 Probleme lösen 3. durch Verwendung verschiedener Dar-stellungen (informative Figur, verbale Be-schreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren

Graphisch statistische Darstellungen beurteilen

Eignung der Darstellungsformen

Aussagekraft unterschiedlicher Dar-stellungen

Wiederholung und Fortführung der Dar-stellungsarten Hier Vorteil und Nachteile zum Beispiel des Boxplots gegenüber anderen Darstellungsformen

2.5 Kommunizieren 1.mathematische Einsichten und Lö-sungswege schriftlich dokumentieren o-der mündlich darstellen und erläutern

3.eigene Überlegungen in kurzen Beiträ-gen sowie selbstständige Problembear-beitungen in Vorträgen verständlich dar-stellen

(4) Aussagen, die auf einer Datenanalyse basieren, formulieren und bewerten

Statistische Aussagen formulieren

Kenngrößen verwenden

Streuung der Daten

Ausreißer

Aussagen bewerten

Fehlinterpretationen

Irreführung erkennen

Aussagekraft bewerten

Auch unter Einbeziehung der Darstel-lungsarten aus Klasse 5/6

L BTV Personale und gesellschaftliche Vielfalt

L VB Medien als Einflussfaktoren


14

Eich, Ger, Kin, Reu (nach Landesinstitut für Schulentwicklung Baden-Württemberg)


Terme




3.2.1 Mit Termen umgehen, die auch Variablen enthalten





2.2 Probleme lösen

3. durch Verwendung verschiedener Dar-stellungen (informative Figur, verbale Be-schreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren

5. durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermu-tungen kommen und diese auf Plausibili-tät überprüfen

(8) die Rechengesetze […] anwenden, auch zum Ausmultiplizieren von Summen […]

Terme

Terme erstellen und verwenden

Vereinfachen von Summen und Produk-ten

Vertiefung Klasse 7

Vorbereitung der Bruchgleichungen

https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matna-tech/mathematik/gym/bp2016/fb5/ (geprüft am 08.05.2017)

Multiplizieren von Summen ZPG V

Veranschaulichung zum Beispiel durch zerlegte Rechteckflächen

(9) die binomischen Formeln bei Termen, die nur eine Variable enthalten, auch zum Faktorisieren anwenden

(10) einfache Formeln, unter anderem

t

sv , nach jeder Variablen auflösen

Binomische Formeln

Entdecken der Formeln

Anwenden zum Faktorisieren

Auflösen von Formeln

Formeln nach jeder Variablen auflösen

Binomische Formeln nur mit einer Variab-len, Schwerpunkt auf Faktorisieren legen, anwenden beim Scheitelbestimmen einer Parabel

I 3.2.4 (12) Parameter in der Parabelglei-chung

Anwendung der binomischen Formeln zur schnellen Berechnung von Quadratzah-len und Produkten

Weitere mögliche Formeln:

baA hgA 2

1 xmy

bau 22

Auch Hilfestellung für Physik

https://lehrerfortbildung-bw.de/u_matnatech/mathematik/gym/bp2016/fb5/



15


Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit



Die Schülerinnen und Schüler können 3.2.5 Wahrscheinlichkeiten verstehen

und berechnen

2.5 Kommunizieren 7. aus Quellen (Texten, Bildern und Tabel-len) und aus Äußerungen anderer mathe-matische Informationen entnehmen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen 1.zwischen natürlicher Sprache und sym-bolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln

2.mathematische Darstellungen zum Struk-turieren von Informationen, zum Modellie-ren und zum Problemlösen auswählen und verwenden


(5) die Bedeutung von Wahrscheinlich-keitsaussagen in alltäglichen Situationen erklären

Begriff Wahrscheinlichkeit im Alltag und mathematisch

Wahrscheinlichkeit im Alltag

(6) die Begriffe Ergebnis und Ereignis bei Zufallsexperimenten erläutern

(7) Ereignisse in geeigneter Form dar-stellen (unter anderem in Mengen-schreibweise)

Zufallsexperiment

Darstellen von Ereignissen

Ergebnis und Ereignis

(8) Zufallsexperimente – auch unter Ver-wendung digitaler Werkzeuge – durch-führen und auswerten

Zufallsexperimente

durchführen simulieren

L MB Informationstechnische Grundlagen

(9) Wahrscheinlichkeiten mithilfe relati-ver Häufigkeiten empirisch bestimmen (Gesetz der großen Zahlen)

Gesetz der großen Zahlen


5. durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermutun-gen kommen und diese auf Plausibilität überprüfen

(10) die Anzahl der jeweiligen Möglichkei-ten (mögliche und günstige Ergebnisse) in konkreten Situationen durch einfache kombinatorische Überlegungen bestim-men

Berechnen von Wahrscheinlichkeiten

Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Ergebnisse

Z. B. Einlauf beim Pferderennen

Abzählprinzipien Einfache kombinatorische Überlegungen ohne Systematisierung

Laplace-Experimente Gegenereignisse


16


2.3. Modellieren 1. wesentliche Informationen entnehmen und strukturieren 3. Situationen vereinfachen

(11) Wahrscheinlichkeiten von Ereignis-sen vergleichen und insbesondere bei Laplace- Experimenten bestimmen

(12) Wahrscheinlichkeiten unter Verwen-dung des Gegenereignisses berechnen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen 1. zwischen natürlicher Sprache und sym-bolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln

2. mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Mo-dellieren und zum Problemlösen auswählen und verwenden


(13) Baumdiagramme zur Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente erstel-len

(14) Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufi-gen Zufallsexperimenten mithilfe der Pfadregeln (Produkt-,Summenregel) be-stimmen

Mehrstufige Zufallsexperimente

Baumdiagramme

Pfadregeln

Anwenden der Pfadregeln

Wurzeln und die Zahlbereichserweiterung auf reelle Zahlen



Die Schülerinnen und Schüler können 3.2.1 Mit Wurzeln umgehen


(11) den Zusammenhang zwischen Wur-zelziehen und Quadrieren erklären

Definition Wurzel einer Zahl

Zusammenhang zwischen Quadrieren und Radizieren

Zum Beispiel Länge der Diagonalen ei-nes Quadrates


17


4. Berechnungen ausführen 5. Routine-verfahren anwenden und miteinander kombinieren


9. Taschenrechner und mathematische Software (Tabellenkalkulation) bedienen und zum Explorieren, Problemlösen und Modellieren einsetzen

2.3 Modellieren 6. Grundvorstellungen zu mathemati-schen Operationen nutzen […]


3. eigene Überlegungen […] darstellen

6.ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen


(18) ein iteratives Verfahren zur Bestim-mung einer Wurzel durchführen

Iteration zur näherungsweisen Bestim-mung

Heron-Verfahren oder Intervallhalbierung

L VB Informationstechnische Grundlagen

(12) den Wert der Quadratwurzel einer Zahl in einfachen Fällen unter Verwen-dung bekannter Quadratzahlen abschät-zen

(13) Zahlterme mit Quadratwurzeln ver-einfachen, auch durch teilweises Wurzel-ziehen

(14) anhand eines Beispiels erklären, dass

im Allgemeinen baba aber

baba ist

Mit Quadratwurzeln umgehen

Wurzel ziehen

Abschätzen des Wertes

Produkte und Summen von Wurzeln

Ausklammern einer Wurzel

Teilweises Radizieren zur Vereinfachung

Verwendung der bekannten Quadratzah-len von 1² bis 20² aus Klasse 5/6

Thematisieren, dass z. B. √𝟐 ein Ender-gebnis sein kann.

Eindeutigkeit des Radizierens:

aa 2

Unterschied zum Lösen einer quadrati-schen Gleichung darstellen


2.2 Probleme lösen 11. das Problem auf Bekanntes zurück-führen oder Analogien herstellen

(15) die Definition der Wurzel auch zur Bestimmung von Kubikwurzeln anwen-den

Verallgemeinern der Quadratwurzel Kenntnis: 283 ; 327

3 ; 51253

; 2164 ; 481

4

3.2.1 Zahlbereichserweiterungen un-tersuchen

2.3 Modellieren 6. Grundvorstellung zu mathematischen Operationen nutzen […]

(16) anhand geeigneter Beispiele die Un-vollständigkeit der rationalen Zahlen be-schreiben und die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung auf reelle Zah-len begründen

Unvollständigkeit der rationalen Zah-len

Beispiele nicht abbrechender und nicht periodischer Zahlen

Lösbarkeit von Gleichungen der Form x2=2

2.1. Argumentieren und Beweisen


18


2. eine Vermutung anhand von Beispie-len auf ihre Plausibilität prüfen oder an-hand eines Gegenbeispiels widerlegen


3. eigene Überlegungen […] verständlich darstellen

(17) Beispiele für irrationale Zahlen ange-ben

Reelle Zahlen

2 ist kein Bruch

Nachweis der Irrationalität

Menge der reellen Zahlen

Widerspruchsbeweis

Gegenbeispiel z. B. mit 4 ergibt keinen Widerspruch


ZPG V

Parabeln als Graphen quadratischer Funktionen




3.2.4 Mit quadratischen Funktionen um-gehen

2.4 Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathema-tik umgehen 1.zwischen natürlicher Sprache und sym-bolisch-formaler Sprache der Mathematik wechseln

2.mathematische Darstellungen zum Strukturieren von Informationen, zum Mo-dellieren und zum Problemlösen auswäh-len und verwenden


2.3 Modellieren 8. Hilfsmittel verwenden

(9) quadratische Zusammenhänge durch Tabellen und Gleichungen beschreiben und graphisch darstellen

Die Parabel

Graph eines quadratischen Zusammen-hangs

Parabeln im Alltag: Bogenquerschnitte; Wurfparabeln als Bei-spiele für Graphen quadratischer Funktio-nen

(10) Eigenschaften von Parabeln ange-ben

(11) den Graphen einer quadratischen Funktion mithilfe von Wertetabellen zeich-nen oder ausgehend von der Lage des Scheitels skizzieren

Eigenschaften der Parabel

Symmetrie

Scheitel und Öffnung

Änderungsverhalten des Graphen

Zeichnen einer Parabel mithilfe einer Wertetabelle

Auch: schnelles Zeichnen über Ände-rungsverhalten: Geht man vom Scheitel aus +/-1 in x-Richtung steigt / fällt der y-Wert um a mal eins, geht man um +/-2, steigt / fällt der y-Wert um a mal vier, usw.




19


Erstellen von Wertetabellen mithilfe WTR oder Tabellenkalkulation

2.2 Probleme lösen 1. das Problem mit eigenen Worten be-schreiben 3. durch Verwendung verschiedener Dar-stellungen (informative Figur, verbale Be-schreibung, Tabelle, Graph, symbolische Darstellung, Koordinaten) das Problem durchdringen oder umformulieren

5.durch Untersuchung von Beispielen und systematisches Probieren zu Vermu-tungen kommen und diese auf Plausibili-tät überprüfen

11. das Problem auf Bekanntes zurück-führen oder Analogien herstellen





10.die Ergebnisse aus einer mathemati-schen Modellierung in die Realität über-setzen

11.die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Re-alsituation überprüfen

(12) die Wirkung der Parameter a, d, e in

der Parabelgleichung edxay 2

auf den Graphen abbildungsgeometrisch als Streckung, Spiegelung, Verschiebun-gen deuten

Affine Abbildungen der Parabel

Verschieben der Parabel

Strecken / Stauchen der Parabel

Spiegeln der Parabel

Zusammensetzen der Abbildungen

Zusammenhang Wertetabelle und Graph

(13) die allgemeine Parabelgleichung

cxbxay 2 mithilfe funktionaler o-

der algebraischer Überlegungen in die Scheitelform überführen

(15) Anwendungsaufgaben mithilfe quad-ratischer Funktionen lösen, auch Bestim-mung größter und kleinster Werte

Formen von Parabelgleichungen

Scheitelform und Normalform

Scheitelbestimmung aus der Normalform

Anwendungen im Alltag

Extremalaufgaben

Funktional: Verschieben der Parabel in y-Achsenrichtung, dann x Ausklammern, schließlich x-Wert des Scheitels ist der Mittelwert der beiden Nullstellen Oder quadratisches Ergänzen mittels bi-nomischer Formel Z. B. maximale Fläche bei gegebenen Umfang, minimale Verpackungen,


20


Quadratische Gleichungen und Ungleichung




2.2 Probleme lösen 3. durch Verwendung verschiedener Dar-stellungen ([…], Tabelle, Graph, symboli-sche Darstellung, Koordinaten) das Prob-lem durchdringen oder umformulieren





(26) […] quadratische Gleichungen […] geometrisch als Schnittproblem von Gra-phen interpretieren und so näherungs-weise lösen

(21) die Lösungen einer quadratischen Gleichung mithilfe einer Formel bestim-men

Quadratische Gleichungen Nullstellen einer quadratischen Funktion graphisch bestimmen

Z. B. Nullstellen der Parabel 942 xy

Reinquadratische Gleichungen Umformen und Wurzelziehen

Unterschied zu aa 2 klären

Quadratische Gleichungen ohne Absolut-glied

Z. B. 022 xx lösen durch Ausklam-

mern

Lösungsformel für quadratische Glei-chungen

Hinweis: FK-Beschluss – pq-Formel ver-pflichtend

Anwendungen

Biquadratische Gleichungen („Binnendif-ferenzierung)

Schnittpunkte von Parabeln bestimmen

Kennenlernen des Verfahrens der Substi-tution

Wurzelgleichungen werden in Klasse 9 im Zusammenhang mit Wurzelfunktionen thematisiert

(22) den Satz vom Nullprodukt zum Lö-sen von Gleichungen verwenden

(23) eine quadratische Gleichung zu vor-gegebenen Lösungen bestimmen

Satz vom Nullprodukt

Aufstellen einer Gleichung mit vorgege-benen Lösungen

MINT: Satz von Vieta

3.2.4 Mit quadratischen Funktionen umgehen

(14) den Funktionsterm einer quadrati-schen Funktion mithilfe von Nullstellen in Linearfaktordarstellung angeben

Anwenden Auch: Faktorisierte Form der Parabelglei-chung

3.2.1 Gleichungen lösen


21


(25) die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von […] quadratischen Gleichungen […] untersuchen

Lösbarkeit und Lösungsvielfalt

Funktionale Überlegung

Nach oben verschobene Parabel kann keine Nullstellen haben.

Algebraische Überlegung: Bedeutung des Werts der Diskriminante

Fachbegriff Diskriminante nicht zwingend erforderlich

Hinweis: Bruchgleichungen werden im Kapitel: „Strahlensätze“ eingeführt

2.1. Argumentieren und Beweisen 9.beim Erläutern und Begründen unter-schiedliche Darstellungsformen verwen-den (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert

(27) einfache […] quadratische Unglei-chungen geometrisch interpretieren und mithilfe funktionaler Überlegungen lösen

Quadratische Ungleichungen

Lösen zunächst als Gleichung

Funktionale und graphische Überlegun-gen

Zurückführen auf quadratische Gleichun-gen und dann funktional überlegen, Analogie zu linearen Ungleichungen in Klasse 7

MINT Lösen mittels Fallunterscheidung

Zentrische Streckung, Strahlensätze und Bruchgleichungen (Hinweis: Bruchgleichungen werden teilweise im Kapitel: „Quadratische Gleichungen und Ungleichungen“ vorausgesetzt.)



Die Schülerinnen und Schüler können 3.2.3 Mit zentrischer Streckung und

den Strahlensätzen arbeiten


8. Hilfsmittel ([…], Geodreieck und Zir-kel,[…], Software) problemangemessen auswählen und einsetzen

(11) durch zentrische Streckung (auch negativer Streckfaktor) Figuren maßstäb-lich vergrößern und verkleinern

Zentrische Streckung Entdecken der zentrischen Streckung

Figuren vergrößern und verkleinern Auch negative Streckfaktoren


22





2.ihre Ergebnisse strukturiert präsentie-ren


2.Informationen aus den gegebenen Tex-ten, Bildern und Diagrammen entnehmen

(12) Streckenlängen unter Nutzung der Strahlensätze bestimmen

Die Strahlensätze Streckenverhältnisse in ähnlichen Figu-ren

Die „typische“ Strahlensatzfigur

Die Strahlensatzfigur mit Schnittpunkt zwischen den Parallelen

Hinweis: Ähnlichkeit und Kongruenz als Beweismittel wird in Klasse 9 thematisiert

Erster Strahlensatz Streckenverhältnis als Betrag des Streck-faktors

3. eigene Überlegungen in kurzen Beiträ-gen […] darstellen

6.ihre Ausführungen mit geeigneten Fachbegriffen darlegen


6.zu einem Satz die Umkehrung bilden

7.zwischen Satz und Kehrsatz unter-scheiden und den Unterschied an Bei-spielen erklären

(13) die Nichtumkehrbarkeit des zweiten Strahlensatzes durch Angabe eines Ge-genbeispiels begründen

Zweiter Strahlensatz Gegenbeispiel genügt

Umkehrbar und nicht umkehrbar

3.2.1 Gleichungen lösen


23



2.3 Modellieren 6. Grundvorstellungen zu mathemati-schen Operationen nutzen und die Eig-nung mathematischer Verfahren ein-schätzen

(24) Bruchgleichungen lösen, bei denen

die einmalige Multiplikation mit xnoder

mit genau einem Linearfaktor zielführend ist

Bruchgleichungen

Verhältnisgleichungen

Verallgemeinerung

Keine systematische Untersuchung der Definitionsmenge, natürlich Probe zur Lö-sungskontrolle


ZPG V

MINT: Systematisieren der Hauptnennersuche „beliebige“ Bruchgleichungen Bruchungleichungen

Lineare Gleichungssysteme





7. mit formalen Rechenstrategien (unter anderem Äquivalenzumformung von Glei-chungen und Prinzip der Substitution) Probleme auf algebraischer Ebene bear-beiten

(26) […] lineare Gleichungssysteme geo-metrisch als Schnittproblem von Graphen interpretieren und so näherungsweise lö-sen

Lineare Gleichungssysteme

Geraden und lineare Gleichungen

Vertiefung Klasse 7 (Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen: Schnitt, Parallelität und Orthogonalität)

System von zwei linearen Gleichungen graphisch lösen

Schnittpunktbestimmung durch Ablesen oder Probieren

(20) die Lösung eines linearen Glei-chungssystems mit zwei Variablen mit-hilfe des Einsetzungsverfahrens bestim-men

Ein systematisiertes Lösungsverfahren Denkbar: Gleichsetzen als spezielles Ein-setzen, das Additionsverfahren wird in der Oberstufe behandelt

2.2 Probleme lösen Anwendungsaufgaben




24


11. das Problem auf Bekanntes zurück-führen oder Analogien herstellen


2.1. Argumentieren und Beweisen 9. beim Erläutern und Begründen unter-schiedliche Darstellungsformen verwen-den (verbal, zeichnerisch, tabellarisch, formalisiert)

(25) die Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von […] linearen Gleichungssystemen untersuchen

Lösbarkeit eines linearen Gleichungs-systems

Eindeutig lösbare und unlösbare LGS, sowie LGS mit unendlich vielen Lösun-gen

Graphische Interpretation

3.2.4 Mit quadratischen Funktionen umgehen





10.die Ergebnisse aus einer mathemati-schen Modellierung in die Realität über-setzen

11.die aus dem mathematischen Modell gewonnene Lösung in der jeweiligen Re-alsituation überprüfen

(15) Anwendungsaufgaben mithilfe quad-ratischer Funktionen lösen, auch Bestim-mung größter und kleinster Werte

Anwendungen im Alltag

Brücken und andere Bauwerke Bogenquerschnitte

Wurfweite und -höhe

Aufgaben aus den Bereichen Sport (Wurf- und Sprungtechniken) und Archi-tektur (Brücken, Tunnels, Verpackungen, etc.)

http://www.schule-bw.de/acl_users/cre-dentials_cookie_auth/require_lo-gin?came_from=http%3A//www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathema-tisch-naturwissenschaftliche-faecher/ma-thematik/unterrichtsmaterialien/sekundar-stufe1/fktn/wurf (geprüft am 08.05.2017) Landesbildungsserver: Modellieren

http://www.schule-bw.de/acl_users/credentials_cookie_auth/require_login?came_from=http%3A//www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/fktn/wurf







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Mathematik Klasse 5 Natürliche Zahlen und Daten · Schulcurriculum für das Fach Mathematik/Klasse 5 – Hochrhein Gymnasium Waldshut (Stand: 19.Juli 2017) 1 Eich, Ger, Reu, Wie