Mathematik: Klausuren zur Integral-Rechnung · Th.Risse, Hochschule Bremen: MAI SS02 4 L¨osungen der Klausur Integralrechnung und DGlen 14.12.01 1. Bestimme Tragf¨ahigkeit (in kg)

Mathematik: Klausuren zur Integral-Rechnung

Prof. Dr. Thomas Risse

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Fachbereich Elektrotechnik & InformatikHochschule Bremen

SS 2002

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 1

1 Klausur IntRech WS01 2

2 Klausur IntRech SS01 6




6 Klausur IntRech SS96w 19




10 Klausur IntRech WS94w 31

1

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Th.Risse, Hochschule Bremen: MAI SS02 2



1 Klausur IntRech WS01

(Wiederholer-) Klausur Integralrechnung & Differentialgleichungen 14.12.01

Name Matrikel

1. Bestimme Tragfahigkeit (in kg) einesaufblasbaren Rettungsringes (sein Ge-wicht sei vernachlassigbar). Der Korperentstehe durch Rotation der nebenste-henden Flache um die y-Achse.

(10 Pkt)

x

Ri RaRi−r Ra+r

2. Die Spannung u an einer Stroboskop-Lampe kann durch eine 2π-periodischauf ganz IR fortgesetzte Funktion u(t) = Uo(1 − e−t/τ ) fur t ∈ [0, 2π) be-schrieben werden (Erklarung und Skizze).

Berechne DC-Anteil und Grundschwingung in der Fourier-Reihenentwick-lung von u. (5 Pkt)

3. Bestimme die quadratische Naherung der Funktion a(t) = e−t/τ sin(ωt) int = 0, also die a(t) fur t nahe bei 0 approximierende Parabel oder eben dieersten drei Terme der Taylor-Entwicklung von a(t) um 0. Inwieweit ist dasErgebnis plausibel? (3+1 Pkt)

4. a) Ein angeregtes, schwingendes System sei durch die Differentialgleichungy′′ + 3y′ + 2y = sin(2x) + 2 cos(2x) beschrieben.

Klassifiziere diese Differentialgleichung und ermittele ihre Losungsgesamt-heit. (7 Pkt)

b) Uberfuhre die Differentialgleichung zweiter Ordnung in ein System vonDifferentialgleichungen erster Ordnung (in vektorieller Schreibweise).Berechne die Eigenwerte (EW) der Koeffizienten-Matrix A des zugehorigenhomogenen Systems.Berechne die zu den EW gehorenden Eigenvektoren (EV), bestimme dieLosungsgesamtheit des homogenen Systems und vergleiche mit der ’homo-genen’ Losung aus Teil a).Bestimme eine spezielle Losung durch einen geeigneten Ansatz und verglei-che mit der ’inhomogenen’ Losung aus Teil a). (10 Pkt)

(Summe 36 Punkte)


Losungen der Klausur Integralrechnung und DGlen 14.12.01

1. Bestimme Tragfahigkeit (in kg) einesaufblasbaren Rettungsringes (sein Ge-wicht sei vernachlassigbar). Der Korperentstehe durch Rotation der nebenste-henden Flache um die y-Achse.

(10 Pkt)

x

Ri RaRi−r Ra+r

1 fur Ansatz, 1 fur |H|, 4 fur |Ti|, 4 fur |Ta|Generell seien alle Langen in cm angegeben. Das Volumen |R| des Rettungs-ringes ist zu berechnen (1l = 1000cm3 = 1dm3 hat eine Tragfahigkeit von1kg). Dieser besteht aus dem ’halben, inneren’ Torus Ti, aus dem Hohlzy-linder H sowie dem ’halben, außeren’ Torus Ta. Also ist R = Ti ∪ H ∪ Ta

und damit |R| = |Ti|+|H|+|Ta| mit |H| = π(R2a−R2

i )2r.

’Innen’ ist |Ti| = 2 · 2π∫ RiRi−r x

√r2 − (x−Ri)2 dx und mit u = x−Ri eben

|Ti| = 4π∫ 0−r(u+Ri)

√r2−u2 du = 4π

∫ 0−r u

√r2−u2 du+4πRi

∫ 0−r

√r2−u2 du.

Sei v = r2−u2 mit dv = −2u du bzw. u = r sin w mit du = r(cos w)dw.

Dann ist |Ti| = −2π∫ r2

0

√v dv + 4πRi r

2∫ 0−π/2 sin2 w dw = 4

3π v3/2

∣∣∣0r2

+

2πRi r2(w − sin w cos w)|0−π/2 = −4

3π r3 + 2πRi r

2(π/2) und damit endlich

|Ti| = πr2(πRi − 43r).

’Außen’ ist |Ta| = 2·2π∫ Ra+rRa

x√

r2 − (x−Ra)2 dx und mit u = x−Ra eben

|Ta| = 4π∫ r0 (u+Ra)

√r2−u2 du = 4π

∫ r0 u√

r2−u2 du+4πRa

∫ r0

√r2−u2 du.

Sei v = r2−u2 mit dv = −2u du bzw. u = r sin w mit du = r(cos w)dw.

Dann ist |Ta| = −2 π∫ 0r2

√v dv + 4 πRa r2

∫ π/20 sin2 w dw = 4

3π v3/2

∣∣∣r2

0+

2πRa r2(w − sin w cos w)|π/20 = 4

3π r3 + 2πRa r2(π/2) und damit endlich

|Ta| = πr2(πRa + 43r).

Zusammen ist also |R| = πr2(πRi − 43r) + π(R2

a−R2i )2r + πr2(πRa + 4

3r) =

π2r2(Ri + Rq) + 2π r(R2a −R2

i ) = π r(Ri + Ra)(π r + 2(Ra −Ri)).

2. Die Spannung u an einer Stroboskop-Lampe kann durch eine 2π-periodischauf ganz IR fortgesetzte Funktion u(t) = Uo(1 − e−t/τ ) fur t ∈ [0, 2π) be-schrieben werden (Erklarung und Skizze).

Berechne DC-Anteil und Grundschwingung in der Fourier-Reihenentwick-lung von u. (5 Pkt)

1 fur ao, 2 fur a1, 2 fur b1

Fur den doppelten DC-Anteil gilt ao = 1π

∫ 2πo u(t) dt = Uo

π

∫ 2πo (1−e−t/τ ) dt =

2Uo + Uoτπe−t/τ

∣∣∣2π

o= Uo(2 + τ

πe−2π/τ − τ

π).

a1 = 1π

∫ 2πo u(t) cos t dt = Uo

π

∫ 2πo (1− e−t/τ ) cos t dt = −Uo

π

∫ 2πo e−t/τ cos t dt =

Uo

−πe−t/τ

1+1/τ2 (−1τ

cos t + sin t)∣∣∣2π

o= Uo

π1

1+1/τ2 (e−2π/τ 1τ− 1

τ ) = Uo

π1

τ+1/τ (e−2π/τ−1).


b1 = 1π

∫ 2πo u(t) sin t dt = Uo

π

∫ 2πo (1 − e−t/τ ) sin t dt = −Uo

π

∫ 2πo e−t/τ sin t dt =

Uo

−πe−t/τ

1+1/τ2 (−1τ

sin t− cos t)∣∣∣2π

o= Uo

π1

1+1/τ2 (e−2π/τ − 1) = Uo

πτ

τ+1/τ (e−2π/τ − 1).

3. Bestimme die quadratische Naherung der Funktion a(t) = e−t/τ sin(ωt) int = 0, also die a(t) fur t nahe bei 0 approximierende Parabel oder eben dieersten drei Terme der Taylor-Entwicklung von a(t) um 0. Inwieweit ist dasErgebnis plausibel? (3+1 Pkt)

1 fur Ansatz, je 1 fur Ableitung, 1 fur Plausibilitat

a(0) = 0 und a(t) = − 1τa(t) + ωe−t/τ cos(ωt), also a(0) = ω und a(t) =

− 1τa(t)− ω

τe−t/τ cos(ωt)−ω2e−t/τ sin(ωt) = ( 1

τ2 −ω2)a(t)− 2ωτe−

tτ cos(ωt),

also a(0) = −2ωτ, so daß fur die Funktion a(t) in quadratischer Naherung

a(t) ≈ 0 + ωt− ωτt2 = ωt(1− t

τ) fur |t| � 1 gilt.

Plausibel, weil p(t) = ωt(1 − tτ) durch (0, a(0)) verlauft, dieselbe Steigung

ω = a(t) und dieselbe zweite Ableitung −2ωτ

= a(0) hat.

4. a) Ein angeregtes, schwingendes System sei durch die Differentialgleichungy′′ + 3y′ + 2y = sin(2x) + 2 cos(2x) beschrieben.

Klassifiziere diese Differentialgleichung und ermittele ihre Losungsgesamt-heit. (7 Pkt)

1 fur linear, konstante Koeffizienten, inhomogen, 2.Ordnung, 1 fur charak-teristisches Polynom plus Nullstellen, 1 fur homogene Losungsgesamtheit,1 fur Ansatz fur spezielle Losung, 2 fur LGS, 1 fur inhomogene Losung

Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koef-fizienten. Das charakteristische Polynom p(b) = b2 + 3b + 2 hat die beideneinfachen Nullstellen b1 = −1 und b2 = −2. Damit ist die Losungsgesamt-heit der zugehorigen homogenen Gleichung y(x) = c1e

−x + c2e−2x.

Eine spezielle Losung des inhomogenen Systems liefert der Ansatz y(x) =d1 sin(2x)+d2 cos(2x). In die Differentialgleichung eingesetzt ergibt ein Ko-effizientenvergleich das LGS −2d1 − 6d2 = 1 und 3d1 − d2 = 1 mit derLosung d1 = 1

4und d2 = −1

4.

Damit ist die Losungsgesamtheit der inhomogenen Differentialgleichungy(x) = 1

4sin(2x)− 1

4cos(2x) + c1e

−x + c2e−2x.

b) Uberfuhre die Differentialgleichung zweiter Ordnung in ein System vonDifferentialgleichungen erster Ordnung (in vektorieller Schreibweise).

1 fur Koeffizienten-Matrix und ~v′ = A~v

~v′ =

(y′

z′

)=

(0 1−2 −3

)(yz

)= A~v

Berechne die Eigenwerte (EW) der Koeffizienten-Matrix A des zugehorigenhomogenen Systems.

2 fur beide EW


EW sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) = |A−λE| =∣∣∣∣∣−λ 1−2 −3− λ

∣∣∣∣∣ = λ2 + 3λ + 2 mit den beiden einfachen Nullstellen λ1 = −1

und λ2 = −2.

Berechne die zu den EW gehorenden Eigenvektoren (EV) und bestimmedie Losungsgesamtheit des homogenen Systems und vergleiche mit der ’ho-mogenen’ Losung aus Teil a).

je 1 fur EV, 1 fur Losungsgesamtheit und Vergleich

Eigenvektoren ~w zum EW λ1 = −1 losen das LGS (A − λ1E)~w = ~0, hier

also

(1 1−2 −2

)~w = ~0 und damit ~w ∈ IR

(1−1

).

Eigenvektoren ~w zum EW λ2 = −2 losen das LGS (A − λ2E)~w = ~0, hier

also

(2 1−2 −1

)~w = ~0 und damit ~w ∈ IR

(1−2

).

Damit ist ~v =

(yz

)= c1

(1−1

)e−x + c2

(1−2

)e−2x fur c1, c2 ∈ IR die

Losungsgesamtheit des homogenen Differentialgleichgungssystems.So ergibt sich also wieder y(x) = c1e

−x + c2e−2x wie im Teil a).

Bestimme eine spezielle Losung durch einen geeigneten Ansatz und verglei-che mit der ’inhomogenen’ Losung aus Teil a). (10 Pkt)

4 fur LGS

Der Ansatz y(x) = a sin(2x) + b cos(2x) und z(x) = c sin(2x) + d cos(2x)fuhrt auf y′(x) = 2a cos(2x)−2b sin(2x) und z′(x) = 2c cos(2x)−2d sin(2x).

Eingesetzt ergibt sich aus y′ = z und z′ = −2y − 3z + sin(2x) + 2 cos(2x)

2a cos(2x)− 2b sin(2x) = c sin(2x) + d cos(2x) und2c cos(2x)− 2d sin(2x) = sin(2x)(− 2a− 3c + 1) + cos(2x)(− 2b− 3d + 2).

Koeffizientenvergleich liefert das lineare Gleichungssystem

2a=d−2b=c

2c=−2b− 3d + 2−2d=−2a− 3c + 1

. Eingesetzt, vereinfacht und aufgelost ergibt sich dann

2c=c− 3d + 2−2d=−d + 3c + 1

⇒ c + 3d=23c− d=1

⇒ c + 3d=210d=5

⇒ c=12

d=12

⇒ a=14

b=−14

,

also ys(x) = 14sin(2x)− 1

4cos(2x) in Ubereinstimmung mit Teil a).

(Summe 35 Punkte)


2 Klausur IntRech SS01

Klausur Integralrechnung und Differentialgleichungen 24.9.01

Name Matrikel

1. Gegeben sei die Hyperbel x2

a2− y2

b2= 1 mit den ’Halbachsen’ a und b (Skizze!).

Berechne das Volumen V (b) des Abschnittes des (einschaligen) Hyperbolo-ids der Hohe 2b, d.h. das Volumen des durch Rotation des Abschnittes derHyperbel fur |y| ≤ b um die y-Achse erzeugten Rotationskorpers (Hantelohne Loch). (2 Pkt)

2. Sei g(x) = f(x) + C fur eine 2π-periodische Funktion f und konstantes C.Zeige: f und g haben ubereinstimmende Koeffizienten ak und bk fur k > 0in ihren Fourier-Reihen-Entwicklungen und damit identische AC-Anteile∑∞

k=1 (ak cos(kx) + bk sin(kx)). (2 Pkt)Wie unterscheiden sich die DC-Anteile 1

2ao von f und g ? (1 Pkt)

3. Bestimme die quadratische Naherung der Funktion a(t) = e−t/τ cos(ωt) int = 0, also die a(t) fur t nahe bei 0 approximierende Parabel oder eben dieersten drei Terme der Taylor-Entwicklung von a(t) um 0. (3 Pkt)

4. Sei x(t) die Große einer Population von Jagern z.Zt. t und y(t) die Großeeiner Population von deren Beute z.Zt. t. Die (Entwicklungen der) beidenPopulationen bedingen sich gegenseitig.Wieso ist x = y und y = −x eine plausible Beschreibung dieser Entwick-lungen? (1 Pkt)Klassifiziere obiges System von DGlen und stelle es vektoriell unter Ver-

wendung von ~z(t) =

(x(t)y(t)

)und einer Koeffizienten-Matrix A dar. (1 Pkt)

Berechne die beiden Eigenwerte (EW) von A. (1 Pkt)Berechne die zugehorigen Eigenvektoren (EV) und damit die Losungsge-samtheit des Differentialgleichgungssystems. (2 Pkt)Berechne die Losung des Differentialgleichgungssystems zur Anfangsbedin-

gung ~z(0) =

(12

)in komplexer Darstellung mit Probe. (2 Pkt)

Vereinfache die Losung zunachst unter Verwendung von cos t = 12(e

it+e−it)und sin t = 1

2i(eit − e−it). Was zeigt sich? (1 Pkt)

Vereinfache die Losung weiter durch Zusammenfassen und interpretiere dasErgebnis. (2 Pkt)Fuhre eine Probe fur die nicht weiter zu vereinfachende Losung durch.

(4 Pkt)

(Summe 22 Punkte)


Losungen der Klausur Integralrechnung und DGlen 24.9.01

1. Gegeben sei die Hyperbel x2

a2− y2

b2= 1 mit den ’Halbachsen’ a und b (Skizze!).

Berechne das Volumen V (b) des Abschnittes des (einschaligen) Hyperbolo-ids der Hohe 2b, d.h. das Volumen des durch Rotation des Abschnittes derHyperbel fur |y| ≤ b um die y-Achse erzeugten Rotationskorpers (Hantelohne Loch). (2 Pkt)

1 fur Ansatz & Skizze, 1 fur Integral

Der gewunschte Rotationskorper entsteht bei Rotation von waagerechtenScheiben um die y-Achse. Auflosen der Hyperbel-Gleichung x2

a2 − y2

b2= 1

liefert x2 = a2

b2(b2 + y2). Daher gilt V (c) = Vy(c) = π a2

b2

∫ c−c(b

2 + y2) dy =

2π a2

b2 (b2y + 13y3)

∣∣∣co

= 2π3

a2

b2 (3 b2 c+c3) = 2π3

a2

b2c(3 b2+c2) und speziell V (b) =

2π3

a2

b2b(3 b2 + b2) = 2π

34 a2 b.

2. Sei g(x) = f(x) + C fur eine 2π-periodische Funktion f und konstantes C.

Zeige: f und g haben ubereinstimmende Koeffizienten ak und bk fur k > 0in ihren Fourier-Reihen-Entwicklungen und damit identische AC-Anteile∑∞

k=1 (ak cos(kx) + bk sin(kx)). (2 Pkt)

Wie unterscheiden sich die DC-Anteile 12ao von f und g ? (1 Pkt)

je 1 fur ak bzw. bk, 1 fur Unterschied

Fur die Koeffizienten ak und bk mit k > 0 der Fourier-Reihe von g giltak = 1

π

∫ π−π g(x) cos(kx) dx = 1

π

(C∫ π−π cos(kx) dx +

∫ π−π f(x) cos(kx) dx

)=

1π

(C 1

ksin(kx)

∣∣∣π−π

+∫ π−π f(x) cos(kx) dx

)= 1

π

∫ π−π f(x) cos(kx) dx sowie

bk = 1π

∫ π−π g(x) sin(kx) dx = 1

π

(C∫ π−π sin(kx) dx +

∫ π−π f(x) sin(kx) dx

)=

1π

(−C 1

kcos(kx)

∣∣∣π−π

+∫ π−π f(x) sin(kx) dx

)= 1

π

∫ π−π f(x) sin(kx) dx.

Fur den Fourier-Koeffizienten ao von g gilt ao = 1π

∫ π−π (f(x) + C) dx =

1π

(2πC +

∫ π−π f(x) dx

)= 2C + 1

π

∫ π−π f(x) dx. Die DC-Anteile unterscheiden

sich also gerade um die additive Konstante C.

3. Bestimme die quadratische Naherung der Funktion a(t) = e−t/τ cos(ωt) int = 0, also die a(t) fur t nahe bei 0 approximierende Parabel oder eben dieersten drei Terme der Taylor-Entwicklung von a(t) um 0. (3 Pkt)

1 fur Ansatz, je 1 fur Ableitung

a(0) = 1 und a′(t) = − 1τa(t)− ωe−t/τ sin(ωt), also a′(0) = − 1

τund a′′(t) =

− 1τa′(t)+ ω

τe−t/τ sin(ωt)−ω2e−t/τ cos(ωt) = ( 1

τ2 −ω2)a(t)+ 2 ωτ

e−tτ sin(ωt),

also a′′(0) = 1τ2−ω2, so daß fur die Funktion a(t) in quadratischer Naherung

a(t) ≈ 1− tτ

+ ( 1τ2 − ω2) t2

2fur |t| � 1 gilt.


4. Sei x(t) die Große einer Population von Jagern z.Zt. t und y(t) die Großeeiner Population von deren Beute z.Zt. t. Die (Entwicklungen der) beidenPopulationen bedingen sich gegenseitig.

Wieso ist x = y und y = −x eine plausible Beschreibung dieser Entwick-lungen? (1 Pkt)

Die Population der Jager wachst um so mehr, um so mehr Beute da ist.Die Beute-Population schrumpft um so mehr, um so mehr Jager da sind.

Klassifiziere obiges System von Differentialgleichungen und stelle es vekto-

riell unter Verwendung von ~z(t) =

(x(t)y(t)

)und einer Koeffizienten-Matrix

A dar. (1 Pkt)

x = y und y = −x ist ein homogenes System von linearen Differentialglei-

chungen ~z(t) =

(x(t)y(t)

)=

(0 1−1 0

)(x(t)y(t)

)= A~z(t)

Berechne die beiden Eigenwerte (EW) von A. (1 Pkt)

EW sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) = |A−λE| =∣∣∣∣∣−λ 1−1 −λ

∣∣∣∣∣ = λ2 + 1 mit den beiden Eigenwerten λ = ±√−1 = ±i.

Berechne die zugehorigen Eigenvektoren (EV) und damit die Losungsge-samtheit des Differentialgleichgungssystems. (2 Pkt)

Eigenvektoren ~w zum EW +i losen (A − iE)~w = ~0, d.h.

(−i 1−1 −i

)~w = ~0

und damit ~w = IR

(−i1

). Eigenvektoren ~w zum EW −i losen (A+iE)~w = ~0,

d.h.

(i 1−1 i

)~w = ~0 und damit ~w = IR

(i1

). ~z(t) = c1

(−i1

)eit +c2

(i1

)e−it

fur c1, c2 ∈ IR ist die Losungsgesamtheit des Differentialgleichgungssystems.

Berechne die Losung des Differentialgleichgungssystems zur Anfangsbedin-

gung ~z(0) =

(12

)in komplexer Darstellung mit Probe. (2 Pkt)

Aus der Anfangsbedingung folgt c1 = 1 + i2, c2 = 1 − i

2und die Losung

~z(t) =

(−i + 1

2

1 + i2

)eit +

(i + 1

2

1− i2

)e−it =

(12

1

)(eit + e−it) +

(−ii2

)(eit − e−it).

Probe: Die Losung erfullt das System von Differentialgleichungen, denn

aus ~z(t) = i

(−i + 1

2

1 + i2

)eit − i

(i + 1

2

1− i2

)e−it =

(1 + i

2

i− 12

)eit +

(1− i

2

−i− 12

)e−it

und A~z(t) = A

(−i + 1

2

1 + i2

)eit +A

(i + 1

2

1− i2

)e−it =

(1 + i

2

i− 12

)eit +

(1− i

2

−i− 12

)e−it

folgt zusammen ~z = A~z.

Die Losung erfullt die Anfangsbedingung, da ~z(0) = 2

(1/21

)=

(12

).


Vereinfache die Losung zunachst unter Verwendung von cos t = 12(e

it+e−it)und sin t = 1

2i(eit − e−it). Was zeigt sich? (1 Pkt)

~z(t) =

(x(t)y(t)

)=

(cos t + 2 sin t2 cos t− sin t

)mit reellwertigen Funktionen x und y.

Vereinfache die Losung weiter durch Zusammenfassen und interpretiere dasErgebnis. (2 Pkt)

Allgemein gilt a sin(ωt) + b cos(ωt) =√

a2 + b2 sin(ωt + ϕ) mit tan ϕ = ba

und damit ~z(t) =√

5

(sin(t + ϕ1)sin(t + ϕ2)

)mit tan ϕ1 = 1

2, tan ϕ2 = 2

−1oder mit

sin ϕ1 = 1√5, sin ϕ2 = 2√

5oder mit cos ϕ1 = 2√

5oder cos ϕ2 = −1√

5.

Fuhre eine Probe fur die nicht weiter zu vereinfachende Losung durch.(4 Pkt)

√5

(cos(t + ϕ1)cos(t + ϕ2)

)= ~z = A~z =

√5

(sin(t + ϕ2)− sin(t + ϕ1)

)Dabei gilt cos(t+ϕ1) =

cos t cos ϕ1 − sin t sin ϕ1 und sin(t + ϕ2) = sin t cos ϕ2 + cos t sin ϕ2 jeweilsfur alle t ∈ IR, da sin ϕ1 = 1√

5= − cos ϕ2 und da cos ϕ1 = 2√

5= sin ϕ2.

(Summe 22 Punkte)



Klausur Differential- & Integralrechnung 17.7.98

Name Matrikel

1. Diskutiere die Funktion f(x) =√

cx2 + d fur feste c, d ∈ IR. (4 Pkt)

2. Sei f(x) =√

cx + d. Bestimme die Parameter c und d so, daß der Graph vonf durch (x1, r1) und (x2, r2) verlauft. (Skizze!, Randbedingung?) (2 Pkt)

3. Berechne die Mantel-Flache Mx des durch Rotation des Graphens der Funk-tion f(x) =

√cx + d fur x ∈ [xmin, xmax] um die x-Achse entstehenden

Rotationskorpers. (3 Pkt)

4. Berechne das Volumen V sx des durch Rotation des Graphens der Funktion

f(x) =√

cx + d fur x ∈ [xmin, xmax] um die x-Achse entstehenden Rotati-onskorpers. (2 Pkt)

5. Bestimme f(x) =√

cx + d durch (−1, 0) und (0, r) (s. Aufgabe 2).Bestimme und vereinfache das Kosten/Nutzen-Verhaltnis Mx/V

sx des durch

Rotation von f(x) fur x ∈ [−1, 0] entstehenden Rotationskorpers (Skizze!).Bestimme das optimale r. (5 Pkt)

6. Bestimme die quadratische Naherung der Funktion a(t) = e−t/τ sin(ωt) int = 0, also die a(t) fur t nahe bei 0 approximierende Parabel oder eben dieersten drei Terme der Taylor-Reihe von a(t) um 0 und vergleiche mit derquadratischen Naherung von sin(ωt). (4 Pkt)

(Summe 20 Punkte)


Losungen der Klausur Differential- & Integralrechnung 17.7.98

1. Diskutiere die Funktion f(x) =√

cx2 + d fur feste c, d ∈ IR. (4 Pkt)

je 1/2 fur Definitionsbereich, Symmetrie, NS, Minimum, kein WP, Asym-ptote, ...D = {x ∈ IR : cx2 + d ≥ 0} = {x ∈ IR : cx2 ≥ −d}, so daß D = IR,falls c, d > 0 und D = ∅ falls c, d < 0. Bleibt der Fall unterschiedlichen

Vorzeichens oder c d < 0, also D = {x ∈ IR : |x| ≥√−d

c} fur c > 0

und D = {x ∈ IR : |x| ≤√−d

c} fur c < 0; fur c < 0 und damit d > 0

ergibt sich fur f(x) =√√

d2 − |c|x2 =

√√

d2 −

√d

2√|c|

2

√d

2 x2 die Ellip-

se um den Ursprung mit den Halbachsen√

|c|d

und√

d; unabhangig von cund d ist f gerade; f ′(x) = c x

f(x), also einziges Minimum in 0 falls c > 0

und einziges Maximum in 0 falls c < 0; f hat keine Wendepunkte, da

f ′′(x) =c f(x)−cx cx

f(x)

f2(x)= c f2(x)−c2x2

f3(x)= c(c x2+d)−c2x2

f3(x)= cd

f3(x)6= 0 oder – geo-

metrisch – da f asymptotisch gegen√

c|x| fur c > 0 und wegen globalemMaximum fur c < 0.

2. Sei f(x) =√

cx + d. Bestimme die Parameter c und d so, daß der Graph vonf durch (x1, r1) und (x2, r2) verlauft. (Skizze!, Randbedingung?) (2 Pkt)

1 fur c, 1 fur d

cxi + d = r2i , also c =

r21−r2

2

x1−x2=

r22−r2

1

x2−x1und d = r2

i − cxi, d.h.

d = r21 −

r21−r2

2

x1−x2x1 oder ebenso d = r2

2 −r21−r2

2

x1−x2x2.

3. Berechne die Mantel-Flache Mx des durch Rotation des Graphens der Funk-tion f(x) =

√cx + d fur x ∈ [xmin, xmax] um die x-Achse entstehenden

Rotationskorpers. (3 Pkt)

2 fur Stammfunktion, 1 fur Integral

Mx = 2π∫ xmaxxmin

y√

1 + y′2 dx = 2π∫ xmaxxmin

√c x + d + c2

4dx, so daß folgt

Mx = 2π∫ xmaxxmin

(c x+d+ c2

4)1/2 dx = 4π

3c (√

c xmax+d+ c2

4

3

−√

c xmin+d+ c2

4

3

).

4. Berechne das Volumen V sx des durch Rotation des Graphens der Funktion

f(x) =√

cx + d fur x ∈ [xmin, xmax] um die x-Achse entstehenden Rotati-onskorpers. (2 Pkt)

1 fur Stammfunktion, 1 fur IntegralV s

x = π∫ xmaxxmin

y2 dx = π∫ xmaxxmin

(cx+d) dx = π(

c2(x

2max−x2

min)+d(xmax−xmin))

5. Bestimme f(x) =√

cx + d durch (−1, 0) und (0, r) (s. Aufgabe 2).Bestimme und vereinfache das Kosten/Nutzen-Verhaltnis Mx/V

sx des durch

Rotation von f(x) fur x ∈ [−1, 0] entstehenden Rotationskorpers (Skizze!).Bestimme das optimale r. (5 Pkt)

1 fur Verhaltnis Mx/Vsx , 1 fur Vereinfachung, 1 fur Ableitung, 2 fur NS


f(x)√

r2(x + 1) also c = d = r2 und daher Mx = 4π3r2 (

√r2 + ( r2

2)2

3

−√( r2

2)2

3

) = 4π3r2 (r3

√1 + r2

4

3

− ( r2

2)3) = 4π

3 (r√

1 + r2

4

3

− r4

8 ) und V sx =

π( r2

2(0− 1) + r2(0 + 1)) = π

2r2, so daß Mx

V sx

= 83(

1r

√1 + r2

4

3

− r2

8 )

6. Bestimme die quadratische Naherung der Funktion a(t) = e−t/τ sin(ωt) int = 0, also die a(t) fur t nahe bei 0 approximierende Parabel oder eben dieersten drei Terme der Taylor-Reihe von a(t) um 0 und vergleiche mit derquadratischen Naherung von sin(ωt). (4 Pkt)

3 fur Taylor-Terme, 1 fur VergleichEs gilt a(0) = 0 und a(t) = (− 1

τsin(ωt)+ω cos(ωt)) e−t/τ = 1

τ (− sin(ωt)+

ωτ cos(ωt)) e−t/τ mit a(0) = ω sowie weiterhin a(t) = (( 1τ2 − ω2) sin(ωt) −

2ωτ

cos(ωt)) e−t/τ = 1τ2 ((1 − ω2τ 2) sin(ωt) − 2ωτ cos(ωt)) e−t/τ mit a(0) =

−2ωτ, so daß sich insgesamt a(t) ≈ 0 + ωt− ω

τt2 ergibt. Also tritt die Zeit-

konstante τ erst in der Naherung zweiten Grades auf.Im Vergleich von a(t) zu sin(ωt) verschwindet dagegen als erste Abweichungin sin(ωt) ≈ ωt− 1

6(ωt)3 ± . . . der quadratische Term.

(Summe 20 Punkte)



Wiederholer-Klausur Integralrechnung 5.3.97

Name Matrikel

1. Berechne∫ x dx

2x3−4x2−2x+4. Fasse das Ergebnis so weit als moglich zusammen.

(5 Pkt)

oder alternativ: Implementiere eine C-Funktionfloat integral(float a, float b)

die∫ ba

x dx2x3−4x2−2x+4

berechnet (3 Pkt)und bewerte einerseits die eigenen Programm-Entwurfsentscheidungen, an-dererseits die Funktionalitat der Funktion integral(a,b) im Vergleich zu∫ x dx

2x3−4x2−2x+4. (2 Pkt)

2. Berechne den Gleichrichtwert |ı| = 1T

∫ To |ı(t)| dt, also den ‘Absolut’-Mittel-

wert und den Effektivwert ıeff =√

1T

∫ To ı2(t) dt, also den quadratischen Mit-

telwert, des T -periodischen Stromes ı(t) = ı 4T 2 t

2 fur alle t ∈ [ − T2, T

2 )(Skizze). (je 2 Pkt)

3. Zeige 2 sin(ax) cos(bx) = sin((a − b)x) + sin((a + b)x) unter Verwendungder Additionstheoreme. (1 Pkt)Zeige damit

∫ π−π sin(ax) cos(bx) dx = 0, also eine der Orthogonalitatsrela-

tionen fur die trigonometrischen Funktionen. (2 Pkt)

4. Sei V (u) das Volumen des Ellipsoid-Abschnittes der Dicke d, d.h. des durchRotation des Abschnittes der Ellipse mit Halbachsen a und b fur x ∈ [u, u+d] um die x-Achse erzeugten Rotationskorpers. Zeige, daß das VolumenV (u) erwartungsgemaß fur u = −d

2maximal ist. (3 Pkt)

5. Bestimme die quadratische Naherung der Funktion a(t) = e−t/τ sin(ωt) int = 0, also die a(t) fur t nahe bei 0 approximierende Parabel oder eben dieersten drei Terme der Taylor-Reihe von a(t) um 0. (3 Pkt)

(Summe 18 Punkte)


Losungen der Klausur Integralrechnung I2.2 15.1.97

1. Berechne∫ x dx

2x3−4x2−2x+4. Fasse das Ergebnis so weit als moglich zusammen.

(5 Pkt)


die∫ ba

x dx2x3−4x2−2x+4


2x3−4x2−2x+4. (2 Pkt)

1 fur NS des Nenners, 2 fur Partialbruchzerlegung, 1 fur Integral, 1 furln a− ln b = ln a

b

alternativ: 3 fur Trapez h2(yo + 2y1 + 2y2 + . . . + 2yn−1 + yn) oder Simpson

h3(yo + 4y1 + 2y2 + . . . + 2yn−2 + 4yn−1 + yn), 1 fur Trapez/Simpson, 1 fur

Genauigkeit und bestimmt/unbestimmt

Das Nenner-Polynom q(x) = 2(x3−2x2−x+2) = 2(x−2)(x2−1) = 2(x+1)(x−1)(x−2) hat drei einfache NS in x1 = 2 und x2,3 = ±1. Identitat der

Zahler im Ansatz xq(x)

= 12(

ax−2

+ bx+1

+ cx−1) = 1

2a(x2−1)+b(x−2)(x−1)+c(x−2)(x+1)

(x−2)(x2−1)

liefert fur x = 2 eben 2 = 3a, also a = 23, fur x = −1 eben −1 = 6b, also

b = −16

und fur x = 1 eben 1 = −2c, also c = −12. Mit dieser Partialbruch-

Zerlegung ist∫ x dx

q(x)= 1

3

∫ dxx−2

− 112

∫ dxx+1

− 14

∫ dxx−1

= 13ln |x− 2| − 1

12ln |x +

1| − 14ln |x− 1|+ C = ln

3√|x−2|

12√|x+1| 4

√|x−1|

+ C.




1T


telwert, des T -periodischen Stromes ı(t) = ı 4T 2 t

2 fur alle t ∈ [ − T2, T

2 )(Skizze). (je 2 Pkt)

|ı| = 8ıT 3

∫ T/2o t2 dt = 8ı

3T 3T 3

8= 1

3ı

ı2eff = 32ı2

T 5

∫ T/2o t4 dt = 32

5ı2

T 5T 5

32= 1

5ı2, also ıeff = 1√

5ı =

√5

5ı.

3. Zeige 2 sin(ax) cos(bx) = sin((a − b)x) + sin((a + b)x) unter Verwendungder Additionstheoreme. (1 Pkt)Zeige damit

∫ π−π sin(ax) cos(bx) dx = 0, also eine der Orthogonalitatsrela-

tionen fur die trigonometrischen Funktionen. (2 Pkt)

sin((a− b)x) + sin((a + b)x) =sin(ax) cos(bx)− cos(ax) sin(bx)

+ sin(ax) cos(bx) + cos(ax) sin(bx)

= 2 sin(ax) cos(bx)

2∫ π−π sin(ax) cos(bx) dx =

∫ π−π sin((a− b)x) dx+

∫ π−π sin((a+ b)x) dx = 0, da

die beiden Integranden ungerade sind.


4. Sei V (u) das Volumen des Ellipsoid-Abschnittes der Dicke d, d.h. des durchRotation des Abschnittes der Ellipse mit Halbachsen a und b und x ∈[u, u+d] um die x-Achse erzeugte Rotationskorpers. Zeige, daß das VolumenV (u) erwartungsgemaß fur u = −d

2maximal ist. (3 Pkt)

1 fur Ansatz, 1 fur Integral, 1 fur Maximum

Der gewunschte Rotationskorper entsteht bei Rotation von senkrechtenStreifen um die x-Achse. Auflosen der Ellipsen-Gleichungen x2

a2 + y2

b2= 1

liefert y2 = b2

a2 (a2i − x2). Daher gilt V (u) = Vx(u) = π b2

a2

∫ u+du (a2 − x2) dx =

π b2

a2 (a2x− 13x3)—u+d

u = π b2

a2 (a2(u+d)− 13(u+d)3−a2u+ 1

3d3) = π b2

a2 (a2d−u2d−ud2− 1

3d3) und V ′(u) = π b2

a2 (−2ud−d2) und daher Extremwertstelle

ue = −12d.

5. Bestimme die quadratische Naherung der Funktion a(t) = e−t/τ sin(ωt) int = 0, also die a(t) fur t nahe bei 0 approximierende Parabel oder eben dieersten drei Terme der Taylor-Reihe von a(t) um 0. (3 Pkt)

1 fur Ansatz, je 1 fur Ableitung

a(0) = 0 und a′(t) = − 1τa(t) + ωe−t/τ cos(ωt) = 1

τe−t/τ(τω cos(ωt) −

sin(ωt)), also a′(0) = ω und endlich a′′(t) = − 1τa′(t) − ω

τe−t/τ cos(ωt) −

ω2e−t/τ sin(ωt) = 1τ2 e

−t/τ((1− τω2) sin(ωt)+ω(1− τ) cos(ωt)), also a′′(0) =−2ω

τ, so daß in quadratischer Naherung a(t) ≈ 0+ωt− ω

τt2 = ωt(1− t

τ) fur

|t| � 1 gilt.

(Summe 18 Punkte)



Klausur Integralrechnung I2.2 15.1.97

Name Matrikel

1. Berechne∫ x dx

x3−10x2+32x−32. (5 Pkt)


die∫ ba

x dxx3−10x2+32x−32


x3−10x2+32x−32. (2 Pkt)




1T


telwert, des T -periodischen Stromes ı(t) = 2 ı t fur alle t ∈ [− T2, T

2 ) (Skizze).(je 2 Pkt)

3. Ein Stopf-Ei laßt sich auffassen als der durch Rotation der ‘linken’ Viertel-Ellipse mit Halbachsen a1 und b und der ‘rechten’ Viertel-Ellipse mit Halb-achsen a2 und b um die x-Achse erzeugte Rotationskorper. Bestimme seinVolumen. (3 Pkt)

4. Entwickle die Funktion f(x) = 3√

x in ihre Taylor-Reihe um 1, und bestim-me deren Konvergenz-Radius. (4 Pkt)Liste die ersten drei Terme der Taylor-Reihe von f und schatze den Betrag|R3(x)| des Restgliedes R3(x) fur |x− 1| < 1

2ab. (4 Pkt)

Schreibe eine C-Funktion float sqrt3(float x), die die Funktion f an-hand der ersten drei Terme ihrer Taylor-Reihe berechnet. Was bedeutet dieobige Abschatzung von |R3(x)| fur sqrt3(x) ? (3 Pkt)Berechne 3

√10 mit sqrt3. (1 Pkt)

Zusatz: Welche besseren Algorithmen zur Berechnung von 3√

x gibt es?(3 Pkt)

(Summe 24+3 Punkte)


Losungen der Klausur Integralrechnung I2.2 15.1.97

1. Berechne∫ x dx

x3−10x2+32x−32. (5 Pkt)


die∫ ba

x dxx3−10x2+32x−32


x3−10x2+32x−32. (2 Pkt)

1 fur NS des Nenners, 1 fur Partialbruchzerlegung, je 1 fur Integral, 1 furln a− ln b = ln a

b

alternativ: 3 fur Trapez h2(yo + 2y1 + 2y2 + . . . + 2yn−1 + yn) oder Simpson

h3(yo + 4y1 + 2y2 + . . . + 2yn−2 + 4yn−1 + yn), 1 fur Trapez/Simpson, 1 fur

Genauigkeit und bestimmt/unbestimmt

Das Nenner-Polynom q(x) = x3 − 10x2 + 32x − 32 = (x − 2)(x − 4)2 hateinfache NS in x1 = 2 und doppelte NS in x2,3 = 4. Identitat der Zahler

im Ansatz xq(x)

= ax−2

+ bx−4

+ c(x−4)2

= a(x−4)2+b(x−2)(x−4)+c(x−2)q(x)

liefert fur

x = 2 eben 2 = 4a, also a = 12

und fur x = 4 eben 4 = 2c, also c = 2.Etwa fur x = 0 ergibt sich 0 = 16a + 8b − 2c = 4 + 8b, also b = −1

2. Mit

dieser Partialbruch-Zerlegung ist∫ x dx

q(x)= 1

2

∫ dxx−2

− 12

∫ dxx−4

+ 2∫ dx

(x−4)2=

12( ln(x− 2)− ln(x− 4))− 2

x−4+ C = ln

√x−2x−4

− 2x−4

+ C.




1T


telwert, des T -periodischen Stromes ı(t) = 2 ı t fur alle t ∈ [− T2, T

2 ) (Skizze).(je 2 Pkt)

|ı| = 4 ıT

∫ T/2o t dt = 2 ı

TT 2

4= 1

2ıT

ı2eff = 8 ı2

T

∫ T/2o t2 dt = 8

3ı2

TT 3

8, also ıeff = 1√

3ı T =

√3

3ı T .

3. Ein Stopf-Ei laßt sich auffassen als der durch Rotation der ‘linken’ Viertel-Ellipse mit Halbachsen a1 und b und der ‘rechten’ Viertel-Ellipse mit Halb-achsen a2 und b um die x-Achse erzeugte Rotationskorper. Bestimme seinVolumen. (3 Pkt)

1 fur Ansatz, 1 je Integral

Der gewunschte Rotationskorper entsteht bei Rotation von senkrechtenStreifen um die x-Achse. Auflosen der Ellipsen-Gleichungen x2

a2i

+ y2

b2= 1

liefert y2 = b2

a2i(a2

i − x2). Daher gilt Vx = V1x + V2x = π b2

a21

∫ o−a1

(a21− x2) dx +

π b2

a22

∫−a2o (a2

2 − x2) dx = π b2

a21(a2

1x − 13x3)—o

−a1+ π b2

a22(a2

2x − 13x3)—a2

o =23π b2(a1 + a2).


4. Entwickle die Funktion f(x) = 3√

x in ihre Taylor-Reihe um 1, und bestim-me deren Konvergenz-Radius. (4 Pkt)Liste die ersten drei Terme der Taylor-Reihe von f und schatze den Betrag|R3(x)| des Restgliedes R3(x) fur |x− 1| < 1

2ab. (4 Pkt)

Schreibe eine C-Funktion float sqrt3(float x), die die Funktion f an-hand der ersten drei Terme ihrer Taylor-Reihe berechnet. Was bedeutet dieobige Abschatzung von |R3(x)| fur sqrt3(x) ? (3 Pkt)Berechne 3

√10 mit sqrt3. (1 Pkt)

Zusatz: Welche besseren Algorithmen zur Berechnung von 3√

x gibt es?(3 Pkt)

3 fur Taylor-Reihe, 1 fur Konvergenzradius2 fur ersten drei Terme, 2 fur Abschatzung2 fur Programm sqrt3 1 fur Genauigkeit

1 fur 3√

10 = 3

√810

8= 2 3

√1.25 = sqrt3(1.25).

Zusatz: 1 fur Nennung Newton, 1 fur Angabe von NS von p(x) = x3 − afur 3

√a, 1 fur exp(log(x)/3) oder 1 fur Intervallhalbierung

Es gilt f(x) = x1/3 mit f(1) = 1 und f ′(x) = 13x−2/3 mit f ′(1) = 1

3und

f ′′(x) = −13

23x−5/3 mit f ′′(1) = −2

9und f ′′′(x) = 2

953x−8/3 mit f ′′′(1) = 2·5

27

und fur k > 1 allgemein f (k)(x) = (−1)k 2·5·8...(3k−4)3k x(3k−1)/3 mit f (k)(1) =

(−1)k 2·5·8...(3k−4)3k .

Der Konvergenzradius von f(x) = 1+ 13x+

∑∞k=2

(−1)k

k!2·5·8...(3k−4)

3k (x−1)k ist

ρ = limk→∞

2·5...(3k−4)k! 3k

(k+1)! 3k+1

2·5...(3k−1)= lim

k→∞3(k+1)3k−1

= limk→∞

3+3/k3−1/k

= 1.

Fur das Restglied gilt |R3(x)| = |f′′′(xz)3!

(x−1)3| = 2·527·6 |xz|−8/3|x−1|3 jeweils

mit xz zwischen x und 1, d.h. |xz|−8/3 = 1|xz |8/3 ≤ 1

(1/2)8/3 = 28/3 < 8 und

damit |R3(x)| < 1081·2 8 1

8= 5

81≈ 0.0617238, besser |R3(x)| < 5

813√

25618≈

0.39185 · 0.125 ≈ 0.04899.

(Summe 24+3 Punkte)


6 Klausur IntRech SS96w

Wiederholer-Klausur Integralrechnung E2.2 17.9.96

Name Matrikel

1. Skizziere den T -periodisch auf ganz IR fortgesetzten Verlauf des Stromesı(t) = ı(χ[0,T/2)(t)(1− 4

Tt) + χ[T/2,T )(t)(

4Tt− 3)). (2 Pkt)

Berechne den effektiven Wert ıeff =√

1T

∫ To ı2(t) dt. (4 Pkt)

2. x = x(t) = 4 + 2 cos t und y = y(t) = 2 sin t fur t ∈ [0, 2π) ist eineParameter-Darstellung welcher Kurve? Welcher Rotationskorper entstehtbei Rotation dieser Kurve um die y-Achse? (1 Pkt)

Berechne die Oberflache dieses Rotationskorpers. (2 Pkt)

Verifiziere das Ergebnis anhand der Regeln von Guldin. (2 Pkt)

3. Skizziere die Funktion f(x) = 2(R− r)(xh)3− 3

2(R− r)x

h+ R+r

2insbesondere

fur x ∈ [−h2, h

2]. (2 Pkt)

Bestimme das Volumen des durch Rotation des Graphens von f fur h = 2,R = 8, r = 4 und also fur |x| ≤ 1 um die x-Achse erzeugten Rotati-onskorpers. (2 Pkt)

4. Bestimme in der Taylor-Entwicklung des Tangens um xo = π4

die erstenbeiden Reihenglieder und das zugehorige Restglied und damit eine Nahe-rungsformel fur tan(x) fur x nahe bei xo, etwa x ∈ (π

6, π

3). Schatze den

Fehler der Naherungsformel fur solche x ab. (5 Pkt)

5. Bestimme die Fourier-Reihe der 2π-periodisch auf ganz IR fortgesetztenFunktion f(x) = a(1− 1

π2 x2) fur x ∈ [−π, π) (mit Skizze). (5 Pkt)

(Summe 20+5 Punkte)


Losungen der Wiederholer-Klausur Integralrechnung E2.2 17.9.96

1. Skizziere den T -periodisch auf ganz IR fortgesetzten Verlauf des Stromesı(t) = ı(χ[0,T/2)(t)(1− 4

Tt) + χ[T/2,T )(t)(

4Tt− 3)). (2 Pkt)

Sagezahn!

Berechne den effektiven Wert ıeff =√

1T

∫ To ı2(t) dt. (4 Pkt)

ı2eff = 1T

∫ To ı2(t) dt = ı2

T

∫ T/2o (1− 4

Tt)2 dt+ ı2

T

∫ TT/2(

4Tt−3)2 dt = ı2

T

∫ T/2o (1− 8

Tt+

16T 2 t

2) dt+ ı2

T

∫ TT/2(

16T 2 t

2− 24T

t+9) dt = ı2

T .(t− 4Tt2 + 16

3 T 2 t3)—T/2

o + ı2

T .( 163 T 2 t

3−12T

t2 + 9t)—TT/2 = ı2

T (T2− 4

TT 2

4+ 16

3 T 2T 3

8 )+ ı2

T ( 163 T 2 T

3− 12T

T 2 + 9T − 163 T 2

T 3

8+

12T

T 2

4−9T

2 ) = ı2(12−1+ 2

3+ 16

3−12+9− 2

3+3− 9

2) = ı2(− 82−1+ 16

3 ) = 13ı2

und damit eben ıeff = 1√3ı =

√3

3ı.

2. x = x(t) = 4+2 cos t und y = y(t) = 2 sin t fur t ∈ [0, 2π) sei die Parameter-Darstellung einer Kurve. Welcher Rotationskorper entsteht bei Rotationdieser Kurve um die y-Achse? (1 Pkt)

Torus

Berechne die Oberflache dieses Rotationskorpers. (2 Pkt)

Es gilt allgemein My = 2π∫ t2t1

x(t)√

x2(t) + y2(t) dt. Also ist My = 2 π∫ 2πo (4+

2 cos t)√

(2 sin t)2 + (2 cos t)2 dt = 2 π 4∫ 2πo (2+cos t) dt = 32π2+8π sin t|2π

o =

32π2

Verifiziere das Ergebnis anhand der Regeln von Guldin. (2 Pkt)

Guldin: Mantel-Flache entspricht dem Produkt aus Lange der erzeugen-den Kurve, namlich 2π2, und dem Weg des Schwerpunktes, d.h. Kreis-Mittelpunkt, namlich 2π4.

3. Skizziere die Funktion f(x) = 2(R− r)(xh)3− 3

2(R− r)x

h+ R+r

2insbesondere

fur x ∈ [−h2, h

2]. (2 Pkt)

kubische Parabel mit f(h2) = 1

4(R − r)− 3

4(R − r) + R+r

2= r−R

2+ R+r

2= r

und f(−h2) = −1

4(R − r) + 3

4(R − r) + R+r

2= R−r

2+ R+r

2= R sowie

f ′(x) = 6h3 (R − r)x2 − 3

2h(R − r), so daß f ′(±h

2) = 0 folgt, und weiter

f ′′(x) = 12h3 (R− r)x, so daß f ′′(0) = 0 folgt.

Bestimme das Volumen des durch Rotation des Graphens von f fur h = 2,R = 8, r = 4 und also fur |x| ≤ 1 um die x-Achse erzeugten Rotati-onskorpers. (2 Pkt)

Allgemein ist Vx = π∫ x2x1

f 2(x) dx, hier Vx = π∫ 1−1 (x3 − 3x + 6)

2dx =

π∫ 1−1 (x6− 6x4 + 12x3 + 9x2− 36x + 36) dx = π(2

7− 12

5+ 0 + 6 + 0 + 72) =

π(78− 84−1035

) = π(75 + 3135

).


4. Bestimme in der Taylor-Entwicklung des Tangens um xo = π4

die erstenbeiden Reihenglieder und das zugehorige Restglied und damit eine Nahe-rungsformel fur tan(x) fur x nahe bei xo, etwa x ∈ (π

6, π

3). Schatze den

Fehler der Naherungsformel fur solche x ab. (5 Pkt)

3 fur Naherung, 2 fur Restgliedabschatzung

tan(xo) = 1, tan′(x) = 1 + tan2 x mit tan′(xo) = 1 + 1 = 2 und tan′′(x) =2 tan x (1 + tan2 x) = 2 tan x + 2 tan3 x mit tan′′(xo) = 4 und auch nochtan′′′(x) = 2+2 tan2(x)+6 tan2(x)(1+tan2(x)) = 2+8 tan2(x)+6 tan4(x).Also ist tan x = 1 + 2(x − π

4) + 1

2!tan′′(xz)(x − π

4)2 und damit in erster

Naherung tan x ≈ 1 + 2(x− π4).

Fur x ∈ (π6, π

3) ist der Fehler 1

2!tan′′(xz)(x − π

4)2 damit per Monotonie

kleiner als 12(2 tan(xz) + 2 tan3(xz))|x− π

4|2 ≤ (tan π

3+ tan3 π

3) π

12=√

3(1 +√3

2)( π

12)2 =

√3

36π2, da tan π

3=

√3

22√1

=√

3.Abschatzung per Leibniz nicht moglich, da nicht alternierend!

5. Bestimme die Fourier-Reihe der 2π-periodisch auf ganz IR fortgesetztenFunktion f(x) = a(1− 1

π2 x2) fur x ∈ [−π, π) (mit Skizze). (5 Pkt)

gerade, also bk = 0 (1 Pkt)ao = 1

π

∫ π−π f(x) dx = a

π(2π − 1

π223π3) = 2a− 2

3a = 4

3a, (1 Pkt)

ak = 1π

∫ π−π f(x) cos(kx) dx = a

π

∫ π−π(1 − x2

π2 ) cos(kx) dx = aπ

1k

sin(kx)|π−π −aπ3

∫ π−π x2 cos(kx) dx = − a

π3

(2xk2 cos(kx) + (x2/k − 2/k3) sin(kx)

)∣∣∣π−π

=

− aπ3 (4π

k2 (−1)k + 0) = −(−1)k 4 aπ2 k2 fur k > 0. (3 Pkt)

Insgesamt gilt also f(x) = 23a− 4 a

π2

∑∞k=1

(−1)k

k2 cos(kx).



Klausur Integralrechnung E2.2 3.7.96

Name Matrikel

1. Bestimme die Druckkraft des Wassers auf ein symmetrisches, Trapez-formi-ges, vertikales, unten 8m und oben 10m breites und 6m hohes Schleusentor.

(4 Pkt)Welche Kraft wirkt auf die untere Halfte des Schleusentors? (2 Pkt)

2. Bestimme die Oberflache des durch Rotation der Ellipse x2

16+ y2

4= 1 um

die x-Achse erzeugten Rotationskorpers (American football?). (6 Pkt)

3. Bestimme das Volumen des obigen Rotationskorpers. (3 Pkt)

4. Bestimme in der Taylor-Entwicklung des Cotangens um xo = π4

die erstenbeiden (nicht verschwindenden) Reihenglieder und das zugehorige Restgliedund damit eine Naherungsformel fur cot(x) fur x nahe bei xo, etwa x ∈(π

6, π

3). (5 Pkt)

5. Bestimme die Fourier-Reihe zu der 2π-periodisch auf ganz IR fortgesetztenFunktion f(x) = a

2πx + a

2fur x ∈ [−π, π) (’positiver’ Sagezahn). (5 Pkt)

(Summe 20+5 Punkte)


Losungen der Klausur Integralrechnung E2.2 3.7.96

1. Bestimme die Druckkraft des Wassers auf ein symmetrisches, Trapez-formi-ges, vertikales, unten 8m und oben 10m breites und 6m hohes Schleusentor.

(4 Pkt)

2 fur Ansatz,1 fur

∫ 60 x(10− 2

6x) dx oder ebenso

∫ 60 (6− x)(8 + 2

6x) dx,

1 fur Integral-Berechung∫ 60 (10x− x2

3) dx = 5 ·36− 1

963 = 36(5− 6

9) = 36(5− 2

3) = 3613

3= 12 ·13 = 156

oder ebenso∫ 60 (48 + 2x− 8x− 1

3x2) dx =

∫ 60 (48− 6x− 1

3x2) dx = 48 · 6− 3 · 62 − 1

963 =

36(8− 3− 69) = 36(5− 2

3) = 12 · 13 = 156.

Welche Kraft wirkt auf die untere Halfte des Schleusentors? (2 Pkt)

2 fur Integral-Berechung∫ 63 (10x − x2

3) dx = 5(62 − 9) − 1

9(63 − 27) = 180 − 45 − 24 + 3 = 114 oder

ebenso∫ 30 (48− 6x− 1

3x2) dx = 48 · 3− 3 · 9− 1

927 = 144− 27− 3 = 114.

2. Bestimme die Oberflache des durch Rotation der Ellipse x2

16+ y2

4= 1 um

die x-Achse erzeugten Rotationskorpers (American football?). (6 Pkt)

Es gilt allgemein Mx = 2π∫ x2x1

y√

1 + y′2 dx. Fur y = 24

√16− x2 = 1

2

√16− x2

gilt y′ = −14

xy. Also ist Mx = 2π

∫ 4−4 y

√1 + y′2 dx = 2π

∫ 4−4 y

√1 + x2

16 y2 dx =

2π∫ 4−4

√y2 + x2

16dx = 2π

∫ 4−4

√4− x2

4+ x2

16dx = 2π

∫ 4−4

14

√64− 3x2 dx =

π2

√3∫ 4−4

√643− x2 dx = π

4

√3 (x

√643− x2 + 64

3arcsin(

√3

8x))

∣∣∣4−4

=

2π√

64− 3 · 16 + 2π√

3163

π3

= 8π(1 + 4√

3π9), da arcsin

√3

2= π

3.

3. Bestimme das Volumen des obigen Rotationskorpers. (3 Pkt)

1 fur y2 = 4− 14x2, 2 fur Integral

Es gilt allgemein Vx = π∫ x2x1

f 2(x) dx. Also ist Vx = π∫ 4−4(4 − 1

4x2) dx =

4 π 8− π4

x3

3 —4−4 = 32π − 2 π

1264 = 32π(1− 1

3) = 64

3π.

4. Bestimme in der Taylor-Entwicklung des Cotangens um xo = π4

die erstenbeiden (nicht verschwindenden) Reihengliedern und das zugehorige Rest-glied und damit eine Naherungsformel fur cot(x) fur x nahe bei xo, etwax ∈ (π

6, π

3). (5 Pkt)

3 fur Naherung, 2 fur Restgliedabschatzung

cot(xo) = 1, cot′(x) = −1−cot2 x mit cot′(xo) = −1−1 = −2 und cot′′(x) =−2 cot x (−1 − cot2 x) = 2 cot x + 2 cot3 x mit cot′′(xo) = 4 und auch nochcot′′′(x) = −2−cot2(x)+3 cot2(x)(−2−cot2(x)) = −2−5 cot2(x)−3 cot4(x).Also ist cot x = 1 − 2(x − π

4) + 1

2!cot′′(xz)(x − π

4)2 und damit in erster

Naherung cot x ≈ 1− 2(x− π4).


Fur x ∈ (π6, π

3) ist der Fehler 1

2!cot′′(xz)(x − π

4)2 kleiner als 1

2(2 cot(xz) +

2 cot3(xz))(x − π4)2 ≤ (cot π

6+ cot3 π

6) π

12=√

3(1 +√

3) π12

< π2

oder perLeibniz kleiner als 1

2!cot′′ π

4(x− π

4)2 = 2(x− π

4)2 < 2 π

12= π

6.

5. Bestimme die Fourier-Reihe zu der 2π-periodisch auf ganz IR fortgesetztenFunktion f(x) = a

2πx + a

2fur x ∈ [−π, π) (‘positiver’ Sagezahn). (5 Pkt)

1 fur ak = 0 fur k > 0,1 fur ao,3 fur bk

ak = 1π

∫ π−π f(x) cos(kx) dx = 1

π

∫ π−π

a2π

x cos(kx) dx + 1π

∫ π−π

a2cos(kx) dx, da

x cos(kx) ungerade ist, also ak = 0 + a2π

sin(kx)k —π

−π = 0 falls k > 0 und furk = 0 eben ao = 1

πa22π = a.

bk = 1π

∫ π−π f(x) sin(kx) dx = 1

π

∫ π−π

a2π

x sin(kx) dx + 1π

∫ π−π

a2sin(kx) dx =

a2π2 (x

− cos(kx)k —π

−π +∫ π−π

cos(kx)k

dx) + 0, da sin(kx) ungerade ist, also bk =

− 2a2kπ

(−1)k + sin(kx)k2 —π

−π = akπ

(−1)k+1 + 0 = − akπ

(−1)k und damit also

f(x) = a2− a

π

∑∞k=1

(−1)k

ksin(kx).



Wiederholer-Klausur Integralrechnung E2.2 19./20.9.95

Name Matrikel

1. Bestimme die Druckkraft des Wassers auf ein viereckiges, vertikales, unten8m und oben 10m breites und 6m hohes Schleusentor (s. Tafel-Skizze).(3 Pkt)

2. Welche Kurve hat die Parameter-Darstellung x = x(ϕ) = 3 + cos ϕ undy = y(ϕ) = 4 sin ϕ fur ϕ ∈ [0, 2π] ? Bestimme die Flache unter dieserKurve. Verallgemeinere Parameter-Darstellung und Ergebnis. (4 Pkt)

3. Ein Blumentopf sei durch den durch Rotation der Funktionen yi = fi(x) =max((x2 − 1), 0)LE fur x ∈ [0,

√2]LE (innen) und ya = fa(x) = max(x2 −

1.21,−0.1075)LE fur x ∈ [0,√

2.21]LE (aussen) um die y-Achse erzeugtenRotationskorper in geeigneten Langeneinheiten (LE), z.B. dm beschrieben.Skizziere die Funktionen, identifiziere das fehlende geradlinige Stuck, skiz-ziere den Blumentopf und bestimme seine Mantel-Flache My und seineOberflache Oy. (6 Pkt)

4. Bestimme das Fassungsvermogen Vy des obigen Blumentopfes. (2 Pkt)

5. Wieso konvergiert∑∞

n=13n+n3

3n n3 ? Verwende 3n+n3

3n n3 = 1n3 + 1

3n in der ausfuhr-lichen Begrundung. (3 Pkt)

6. Bestimme den Konvergenzbereich von∑∞

k=11

k2 2k (x + 2)k. (2 Pkt)

7. Bestimme die Taylor-Entwicklung des Tangens um 0 mit den ersten beidennicht verschwindenden Reihengliedern und dem zugehorigen Restglied unddamit eine Naherungsformel fur tan(x) fur |x| � 1. (2 Pkt)Bestimme damit naherungsweise tan π

24. (1 Pkt)

Fur die Fehlerabschatzung obiger Naherung fur |x| < π12

ist tan π12

zu be-

stimmen. Gegeben ist tan π6

=√

33

und die Funktional-Gleichung tan(2α) =2 tan α

1−tan2α. Leite daraus eine Funktional-Gleichung fur tan α

2ab und bestimme

damit tan π12

. (2 Pkt)Schatze den Fehler fur die obige Naherung von tan(x) fur |x| < π

12und

damit fur tan π24

ab. (2 Pkt)

(Summe 27 Punkte)


Losungen

1. Bestimme die Druckkraft des Wassers auf ein viereckiges, vertikales, unten8m und oben 10m breites und 6m hohes Schleusentor (s. Tafel-Skizze).(3 Pkt)1 fur Ansatz, 1 fur

∫ 60 (10 − 4

6y)y dy, 1 fur Integral-Berechung

∫ 60 (10 −

46y)y dy = 10

∫ 60 y dy− 2

3

∫ 60 y2 dy = 5y2|60− 2

9y3|60 = 5 ·36− 2

9216 = 180−48 =

132.

2. Welche Kurve hat die Parameter-Darstellung x = x(ϕ) = 3 + cos ϕ undy = y(ϕ) = 4 sin ϕ fur ϕ ∈ [0, 2π] ? Bestimme die Flache unter dieserKurve. Verallgemeinere Parameter-Darstellung und Ergebnis. (4 Pkt)1 fur Ellipse, 1 fur 2

∫y dx = 2

∫ 0π 4 sin ϕ (− sin ϕ) dϕ = −8

∫ 0π sin2 ϕ dϕ =

4(ϕ − sin ϕ cos ϕ)|π0 = 4π, 1 fur Vorzeichen, 1 fur Verallgemeinerung x =xo + a cos ϕ und y = yo + b sin ϕ mit |A| = π a b.

3. Ein Blumentopf sei durch den durch Rotation der Funktionen yi = fi(x) =max((x2 − 1), 0) fur x ∈ [0,

√2] (innen) und ya = fa(x) = max(x2 −

1.21,−0.1075) fur x ∈ [0,√

2.21] (aussen) um die y-Achse erzeugten Ro-tationskorper beschrieben. Skizziere die Funktionen, erganze das fehlendeStuck, skizziere den Blumentopf und bestimme seine Mantel-Flache My undseine Oberflache Oy. (6 Pkt)je 1 fur Funktionen, neu 1 (alt 1/2) fur fehlendes Stuck, je 1 pro Integral,neu 1 (alt 1/2) fur zusatzliche Flachen der Oberflache, namlich innen

Mi = 2π∫√21 x

√1 + (2x)2 dx = π

4

∫ 84

√1 + u du = π

6

√1 + u|84 = π

6

√1 + u

3|84 =π6(33 −

√5

3) = π

6(27 −

√125) oder ebenso Mi = 2π

∫ y2y1

x√

1 + x′2 dy =

2π∫ 10

√y + 1

√1 + ( 1

2√

y+1)2 dy = 2π

∫ 10

√y + 1 + 1

4dy = 2π 2

3 (y + 54)

3/2∣∣∣10

=π6(27−

√125), namlich aussen

Ma = 2π∫√2.211.05 x

√1 + (2x)2 dx = π

4

∫ 8.844.41

√1 + u du = π

6

√1 + u

3|8.844.41 =

π6(√

9.843 −

√5.41

3) oder ebenso Ma = 2π

∫ y2y1

x√

1 + x′2 dy =

2π∫ 1−0.1075

√y + 1.21

√1 + ( 1

2√

y+1.21)2 dy = 2π

∫ 1−0.1075

√y + 1.21 + 1

4dy =

2π 23 (y + 1.46)

3/2∣∣∣1−0.1075

= 43π(√

2.463 −

√1.3525

3) =

43π(√

4 · 2.463 −

√4 · 1.3525

3)/8 = π

6(√

9.843 −

√5.41

3)

plus die beiden Kreise π 12 und π 1.052 sowie den Rand π(2.21−2) = π 0.212.

4. Bestimme das Fassungsvermogen Vy des obigen Blumentopfes. (2 Pkt)

1 fur Ansatz, 1 Integral, namlich Zylinder minus ‘Ascher’ Vy = π√

22 −

2π∫√21 x(x2 − 1) dx = 2π − 2π(1

4x4 − 1

2x2)|

√2

1 = 2π − π2x4|

√2

1 + πx2|√

21 =

2π − π2(4 − 1) + π(2 − 1) = 2π − 3

2π + π = 3

2π oder eben gleich Vy =

π∫ 10 x2 dy = π

∫ 10

√y + 1

2= π

∫ 10 (y + 1) dy = π(1

2y2 + y)|10 = 3

2π.

5. Wieso konvergiert∑∞

n=13n+n3

3n n3 ? Verwende 3n+n3

3n n3 = 1n3 + 1

3n in der ausfuhr-lichen Begrundung. (3 Pkt)


je 1 fur endliche Teilsummen, 1 fur Summe, namlich∑∞

n=11n3 <

∑∞n=1

1n2

< ∞ und∑∞

n=113n =

∑∞n=1(

13)n = 1

1−1/3< ∞ sowie

∑∞n=1

3n+n3

3n n3 =∑∞

n=11n3 +∑∞

n=113n < ∞


k=11

k2 2k (x + 2)k. 2 Pkt

1 fur Ansatz 1ρ

= limk→∞k√

k2 2k = 2 limk→∞k√

k2 = 2, 1 fur limes, Zusatz-

lich 1 fur Rand-Punkt: in 0 gilt∑∞

k=11k2 < ∞

Zusatzlich 1 fur Rand-Punkt: in -4 gilt∑∞

k=1(−1)k

k2 < ∞also Konvergenz-Bereich [−4, 0]

7. Bestimme die Taylor-Entwicklung des Tangens um 0 mit den ersten beidennicht verschwindenden Reihengliedern und dem zugehorigen Restglied unddamit eine Naherungsformel fur tan(x) fur |x| � 1. (2 Pkt)Bestimme damit naherungsweise tan π

24. (1 Pkt)

Fur die Fehlerabschatzung obiger Naherung fur |x| < π12

ist tan π12

zu be-

stimmen. Gegeben ist tan π6

=√

33

und die Funktional-Gleichung tan(2α) =2 tan α

1−tan2α. Leite daraus eine Funktional-Gleichung fur tan α

2ab und bestimme

damit tan π12

. (2 Pkt)Schatze den Fehler fur die obige Naherung von tan(x) fur |x| < π

12und

damit fur tan π24

ab. (2 Pkt)Es gilt tan′ = 1 + tan2 mit tan′(0) = 1 und tan′′ = 2 tan(1 + tan2) =2 tan +2 tan3 mit tan′′(0) = 0 und tan′′′ = 2(1 + tan2) + 6 tan2(1 + tan2) =2+8 tan2 +6 tan4 mit tan′′′(0) = 2 und tan′′′′ = 16 tan(1+tan2)+24 tan3(1+tan2) = 16 tan +40 tan3 +24 tan5 und dahertan(x) = tan(0) + tan′(0)x + tan′′(0)x2

2!+ tan′′′(0)x3

3!+ tan′′′′(θx)x4

4!= x +

13x3 + (16 tan +40 tan3 +24 tan5)(θx)x4

4!und damit tan π

24≈ π

24+ 1

3π3

243 .Aus tan(α) = 2x

1−x2 mit x = tan(α2) folgt tan α − x2 tan α = 2x oder

x2 + 2tan α

x − 1 = 0. Also gilt tan α2

= x = − 1tan α

±√

1tan2 α

+ 1, speziell

also tan π12

= − 1tan π

6±√

1tan2 π

6+ 1 = −

√3±

√3 + 1 = ±2−

√3.

Fur |x| ≤ π12

Fehler-Abschatzung | tan(x) − (x + 13x3)| ≤ (16(2 −

√3) +

40(2−√

3)3 + 24(2−√

3)5) 14!

π4

124 .



Klausur Integralrechnung E2.2 3.7.95

Name Matrikel

1. Bestimme die Druckkraft des Wassers auf ein rechteckiges, vertikales, 8mbreites und 6m hohes Schleusentor. Welche Kraft wirkt auf die untere Halftedes Schleusentors? 3 Punkte

2. Skizziere und bestimme die Flache der Ellipse x2

a2 + y2

b2= 1. Verifiziere, daß

x(ϕ) = a cos(ϕ) und y(ϕ) = b sin(ϕ) fur ϕ ∈ [0, 2π] eine Parameter-Dar-stellung dieser Ellipse ist. Verifiziere die Flachenbestimmung anhand derParameter-Darstellung. 4 Punkte

3. Bestimme (durch zweimalige Substitution) die Mantel-Flache Mx des durchRotation von y = sin x mit 0 < x < π, also einer Halbperiode des Sinus,um die x-Achse erzeugten Rotationskorpers. 4 Punkte

4. Bestimme (durch partielle Integration) das Volumen Vx des durch Rotationvon y = sin x mit 0 < x < π, also einer Halbperiode des Sinus, um diex-Achse erzeugten Rotationskorpers. 2 Punkte

5. Zeige 1x

=∑∞

i=01

(x+i)(x+i+1)durch induktive Bestimmung der Teilsummen

sn = n+1x(x+n+1)

und Bestimmung des Grenzwertes limn→∞ sn der Teilsum-menfolge. Fur welche x konvergiert also die Reihe? 4 Punkte


k=11

k 4k (x + 1)k. 2 Punkte

7. Vorausgesetzt sei, daß Werte wie√

3 mit ausreichender Genauigkeit zurVerfugung stehen. Berechne eine Naherung fur π durch die entsprechendenersten drei Reihenglieder von arctan x, schatze den Fehler ab und bestimmedie Anzahl der zu summierenden Reihenglieder, wenn π mit einem Fehlernicht großer als 10−6 zu berechnen ist. 3 Punkte

8. Leite aus den ersten drei Reihengliedern der Taylor-Entwicklung des Cosi-nus um π

4eine Naherungsformel fur cos(x + π

4) her, bestimme damit nahe-

rungsweise cos 43o und schatze den Fehler ab. 2 Punkte

(Summe 24 Punkte)


Losungen zur Klausur Integralrechnung E2.2 3.7.95

1. Die Druckkraft des Wassers auf ein rechteckiges, vertikales, 8m breites und6m hohes Schleusentor ist

∫ 60 8x dx = 4x2|60 = 144Mp. Auf die untere Halfte

des Schleusentors wirkt die Kraft 8∫ 63 x dx = 4x2|63 = 4(36 − 9) = 4 · 27 =

108Mp. 3 Punkte1 fur Ansatz, 1 fur

∫ 60 8x dx, 1 fur

∫ 63 8x dx

2. Die Flache A der Ellipse x2

a2 + y2

b2= 1 ist A = 4 b

a

∫ a0

√a2 − x2 dx und mit

x = a sin t A = 4ab∫ π/20 cos2(t) dt = 4ab1

2(x + sin x cos x)|π/2

0 = πab. Wegenx2(t)a2 + y2(t)

b2= 1 ist x(ϕ) = a cos(ϕ) und y(ϕ) = b sin(ϕ) fur ϕ ∈ [0, 2π] eine

Parameter-Darstellung dieser Ellipse. Weiter gilt wegen dx = −a sin(t) dt

endlich A = 4∫ a0 y dx = 4

∫ 0π/2(b sin t)(−a sin t) dt = 4ab

∫ π/20 sin2(t) dt =

2ab(t− sin t cos t)|π/20 = πab. 4 Punkte

1 fur Substitution, 1 fur Integral, 1 fur Verifikation, 1 fur Probe

3. Die Mantel-Flache Mx des durch Rotation von y = sin x mit 0 < x < π, al-so einer Halbperiode, um die x-Achse erzeugten Rotationskorpers ist Mx =2π∫ π0 y√

1 + y′2 dx = 4π∫ π/20 sin x

√1 + cos2 x dx und mit u = cos x sowie

du = − sin x dx eben Mx = −4π∫ 01

√1 + u2 du = 4π

∫ 10

√1 + u2 du und mit

u = sinh v sowie du = cosh v dv eben Mx = 4π∫ a0

√1 + sinh2 v cosh v du =

4π∫ a0 cosh2 v dv = 2π(sinh v cosh v+v)|a0 = 2π(sinh v

√1 + sinh2 v+v)|arsinh 1

0 =

2π(√

2 + arsinh 1) = 2π(√

2 + ln(1 +√

2)) wobei a := arsinh 1. 4 Punkte1 fur Ansatz, 1 pro Substitution, 1 fur Auswerten

4. Das Volumen Vx des durch Rotation von y = sin x mit 0 < x < π, al-so einer Halbperiode, um die x-Achse erzeugten Rotationskorpers ist Vx =π∫ π0 sin2(x) dx = 2π

∫ π/20 sin2(x) dx = π(x−sin x cos x)|π/2

0 = π2/2. 2 Punkte1 fur Ansatz, 1 Integral

5. Fur 1x

=∑∞

i=01

(x+i)(x+i+1)gilt s0 = 1

x(x+1)und sn+1 = n+1

x(x+n+1)+ 1

(x+n+1)(x+n+2)=

(n+1)(x+n+2)+xx(x+n+1)(x+n+2)

= (n+2)(x+n+1)x(x+n+1)(x+n+2)

und weiter limn→∞ sn = limn→∞n+1

x(x+n+1)=

limn→∞1

x( xn+1

+1)= 1

x. Konvergenz eben fur x 6= 0,−1,−2, . . .. 4 Punkte

1 fur Induktionsanfang, 2 fur Induktionsschritt, 1 fur limes

6. Fur den Konvergenzradius von∑∞

k=11

k 4k (x + 1)k gilt 1ρ

= limk→∞

∣∣∣ ck+1

ck

∣∣∣= limk→∞

∣∣∣ k 4k

(k+1) 4k+1

∣∣∣ = 14

und damit ρ = 4 bzw. Konvergenz fur −5 <

x < 3. Fur x = −5 ist die Reihe konvergent (Leibniz), fur x = 3 divergent(harmonische Reihe). 2 Punkte1 fur Ansatz, 1 fur limes, 1 fur Rand-Punkte

7. Es gilt tan(π6) = sin(π/6)

cos(π/6)= 1√

3und damit arctan 1√

3= π

6, so daß π =

6∑∞

k=0(−1)k x2k+1

2k+1| 1√

3= 6

∑∞k=0(−1)k 1

(2k+1)3k√

3= 2

√3∑∞

k=0(−1)k

(2k+1)3k , also


π ≈ 2√

3(1 − 19

+ 145

). Der Fehler ist kleiner als 2√

3 1189

< 0.02, da Rei-

he alterniert. Fur einen Fehler kleiner als 10−6, muß 2√

3∣∣∣ 1(2n+1)3n

∣∣∣ < 10−6

oder (2n + 1)3n > 106

2√

3oder (2n + 1)3n+1 > 106 gelten. Damit sind weniger

als n = 10 Reihenglieder zu summieren.Analog liefern tan(π

4) = 1 oder tan(π

3) =

√3 schlechter konvergierende Ver-

fahren zur Bestiummung von π. 3 Punkte1 fur Argument des arctan, 1 fur Fehlerabschatzung, 1 fur Bestimmung vonn

8. Die Taylor-Entwicklung des Cosinus um π4

liefert cos x ≈ cos(π4)−sin(π

4)(x−

π4)− cos π

4

2(x− π

4)2 oder cos(x+ π

4) ≈

√2

2 (1−x− 12x2). Also gilt naherungsweise

cos 43o = cos(π4− π

90) ≈

√2

2 (1 + π90− 1

2π2

902 ). bei einem Fehler kleiner als√

22

13!

π3

903 . 2 Punkte1 fur Taylor, 1 fur Einsetzen


10 Klausur IntRech WS94w

Wiederholer-Klausur Integralrechnung 2.3.95 I2.2

Name Matrikel

1. Skizziere und bestimme die Kettenlinie f(x) = c cosh((x− s)/d) durch diebeiden Aufhangungspunkte (0, 3e−1 + 3e) und (18, 3e2 + 3e−2) sowie mitdem Scheitelpunkt (6, 6) und berechne ihre Lange. 4 Punkte

2. Bestimme die Oberflache eines parabolischen Scheinwerfers als MantelflacheOy des durch Rotation der Normal-Parabel fur 0 ≤ x ≤ 1 um die y-Achse er-zeugten Rotationskorpers. Leite dazu die Formel Oy = 2π

∫ x2x1

x√

1 + y′2 dxaus der Riemannschen Summe Oy =

∑ni=1 Oi von Kegelstumpf-Manteln

Oi = πs(r + R) mit Radien r und R sowie Seitenlange s her. 4 Punkte

3. Bestimme das Volumen eines Blumenkubels der Hohe h (Fuß=Schale) alsVolumen Vy des durch Rotation der Normal-Hyperbel x2 − y2 = 1 um diey-Achse erzeugten Rotationskorpers. 4 Punkte

4. Berechne∑∞

i=11

i(i+2)durch Darstellung von 1

i(i+2)als Linearkombination von

1i(i+1)

und 1(i+1)(i+2)

und unter Verwendung von∑∞

i=11

i(i+1)= 1. 4 Punkte

5. Bestimme den Konvergenzradius von∑∞

k=1k(x+1)k

2k . 2 PunkteZusatz: Konvergenzbereich zusatzlich 2 Punkte

6. Leite aus der Taylor-Entwicklung des Cosinus um π4

die Naherungsformel

cos(x + π4) ≈

√2

2(1− x) ab, gib fur x ein Intervall an, so daß die Naherung

mit einem Fehler nicht großer als 0.005 gilt, und bestimme damit nahe-rungsweise cos 430. 4 Punkte

7. Skizziere die Funktion f(x) = χ[−π,0](x) fur |x| ≤ π und berechne dieFourier-Reihe der 2π-periodisch auf ganz IR fortgesetzten Funktion in derreellen Darstellung. 4 Punkte

(Summe 26 Punkte)


Losungen

1. Der Scheitelpunkt der Kettenlinie ist (6, 6), also gilt s = 6 und f(6) =6 = c cosh(0), so daß c = 6 folgt. Aus f(0) = 3e−1 + 3e1 = 6 cosh(−1) =6 cosh(1) folgt d = 6. Die Kettenlinie entspricht also dem Graphen der

Funktion f(x) = 6 cosh(x−66

) und hat die Lange l =∫ x2x1

√1 + f ′2(x) dx =∫ 18

0

√1 + sinh2(x

6− 1) dx =

∫ 180 cosh(x

6−1) dx = 6

∫ 2−1 cosh(u) du = 6 sinh(u)|2−1 =

3 (e2 − e−2 − e−1 + e).

2. Die Oberflache eines parabolischen Scheinwerfers bestimmt sich als Man-telflache Oy des durch Rotation der Normal-Parabel fur 0 ≤ x ≤ 1 um die y-Achse erzeugten Rotationskorpers zu Oy = 2π

∫ x2x1

x√

1+y′2 dx = 2π∫ 10 x√

1 + 4x2 dx

und mit u = 4x2+1 also zu Oy = 2π∫ 51

18

√u du = 1

4π 2

3u√

u|51 = π6(5√

5−1).Mit Oi = πs(r + R) gilt dann Oy =

∑ni=1 Oi =

∑ni=1 π∆si(xi−1 + xi) =

π∑n

i=1

√∆x2

i + ∆x2i (xi−1 + xi) = π

∑ni=1

√1 + (∆yi

∆xi)2(xi−1 + xi)∆xi und –

aufgefaßt als Riemannsche Summe – damit im Grenzwert Oy = 2π∫ x2x1

x√

1 + y′2 dx.

3. Die allgemeine Hyperbelgleichung (x/a)2 − (y/b)2 = 1 aufgelost nach y lie-fert hier y = f(x) =

√x2 − 1 und damit das Volumen des Blumenkubels der

Hohe h, also mit y2 = h/2 = f(x2) =√

x22 − 1 oder x2 =

√h2/4 + 1 als Vy =

2π∫ x2x1

x f(x) dx = 4π∫ x21 x

√x2 − 1 dx = 2π

∫ x22−1

0

√u du = 4

3π u

√u|h

2/40 =

16π h3. FALSCH

4. Wegen 1i(i+2)

= 12

1i(i+1)

+12

1(i+1)(i+2)

gilt∑∞

i=11

i(i+2)= 1

2

∑∞i=1

1i(i+1)

+12

∑∞i=1

1(i+1)(i+2)

=12

+ 12

∑∞k=2

1k(k+1)

= 12

+ 12(1− 1

1(1+1)) = 3

4.

5. Fur den Konvergenzradius von∑∞

k=1k(x+1)k

2k gilt 1ρ

= limk→∞k

√k2k = limk→∞

k√k

k√2k

=

12. Die Reihe

∑∞k=1

k(x+1)k

2k konvergiert also fur |x + 1| < 2 oder genauso furalle x ∈ (−1− 2,−1 + 2) = (−3, 1).

Die Reihe∑∞

k=1k(x+1)k

2k divergiert fur x = −3 und fur x = 1.

6. Die lineare Approximation per Taylor-Entwicklung des Cosinus um π4

lautet

cos(x + π4) ≈ cos π

4+ cos′(π

4)x =

√2

2− sin(π

4)x =

√2

2(1− x).

Da die Taylor-Entwicklung eine alternierende Reihe darstellt, gilt eben

| cos(x + π4) −

√2

2(1 − x)| ≤ | cos

′′ π4

2x2| =

√2

4|x|2. Damit ist der Fehler der

Naherung sicher dann nicht großer als 0.005, wenn√

24|x|2 < 0.005 oder

|x|2 < 2√

2 10−2 oder |x| < 0.1 4√

2, sicher also wenn |x| < 0.1.

Also gilt cos 430 ≈√

22

(1− −π90

)√

22

(1 + π90

).

7. Fur f(x) = χ[−π,0] fur |x| ≤ π gilt f(x) = 1 fur −π ≤ x ≤ 0 und f(x) = 0fur 0 < x < π. Die Koeffizienten der Fourier-Reihe der 2π-periodisch aufganz IR fortgesetzten Funktion f berechnen sich in der reellen Darstellungzu


ak = 1π


π

∫ 0−π cos(kx) dx = 1

πsin(kx)

k

∣∣∣0−π

= 0 fur k 6= 0

und a0 = 1π

∫ 0−π dx = 1 sowie

bk = 1π


π

∫ 0−π sin(kx) dx = 1

πcos(kx)−k

∣∣∣0−π

= (−1)k−1kπ

, d.h.

b2k = 0 und b2k−1 = −2(2k−1)π

, so daß f die Fourier-Reihen-Entwicklung

f(x) = 12

+∑∞

k=1−2

(2k−1)πsin(kx) besitzt.



Klausur zur Integralrechnung I2.2 18.1.95

Name Matrikel

1. Bestimme die Bogen-Lange der Schraubenlinie im IR3, die in Parameter-Darstellung durch x(t) = r cos(2πt), y(t) = r sin(2πt) und z(t) = ht furt ∈ [0, 1] gegeben ist, durch Integration und verifiziere das Ergebnis geome-trisch. 4 Punkte

2. Bestimme die Oberflache eines parabolischen Scheinwerfers (Rotation derNormal-Parabel fur |x| ≤ 1 um die y-Achse) als Mantelflache Ox des ent-sprechenden durch Rotation um die x-Achse (!) erzeugten Rotationskorpers.

4 Punkte

3. Bestimme das Volumen eines Fasses der Hohe h, dessen Schnittflache durchdie Rotationsachse einem Ellipsenabschnitt mit Halbachsen a (parallel zu h)und b entspricht, als Volumen Vx des durch Rotation von {(x, f(x)) : |x| ≤h/2, f(x) > 0} um die x-Achse erzeugten Rotationskorpers. 4 PunkteZusatz: Verifiziere das Ergebnis durch Bestimmung des Volumens unterVerwendung der Parameter-Darstellung der Ellipse. 4 Punkte

4. Zeige∑∞

i=14

i(i+1)(i+2)= 1 durch Nachweis von sn = 1− 2

(n+1)(n+2)und durch

Bestimmung des Reihenwertes als Grenzwert limn→∞ sn der Teilsummen-folge. 4 Punkte


k=1(x+1)k√

k. 2 Punkte

6. Gib fur x ein Intervall an, so daß sin x ≈ x mit einem Fehler nicht großerals 0.0005 gilt. 2 Punkte

7. Leite aus der Taylor-Entwicklung des Sinus um π4

die Naherungsformel

sin(x + π4) ≈

√2

2(1 + x) ab und bestimme damit naherungsweise sin 430.

2 Punkte

8. Skizziere die Funktion f(x) = χ[0,π](x) fur |x| ≤ π und berechne die Fourier-Reihe der auf ganz IR fortgesetzten 2π-periodisch Funktion in der reellenDarstellung. 4 PunkteZusatz: Berechne die Fourier-Reihe auch in der komplexen Darstellung undvergleiche zur Probe die gewonnenen Koeffizienten. 6 Punkte

(Summe 26 + 10 Punkte)


Losungen

1. Die Lange l der Schraubenlinie im IR3 mit x(t) = r cos(2πt), y(t) = r sin(2πt)

und z(t) = ht fur t ∈ [0, 1], ist allgemein l =∫ t2t1

√(dx

dt)2+(dy

dt)2+(dz

dt)2 dt, hier

l =∫ 10

√r2(−2π sin(2πt))2+r2(2π cos(2πt))2+h2 dt =

∫ 10

√4π2r2+h2 dt =√

(2πr)2 + h2. Dieselbe Lange ergibt sich, wenn man die Schraubenlinie alsDiagonale im abgerollten Zylinder-Mantel-Rechteck auffaßt.

2. Die Oberflache des parabolischen Scheinwerfers, spezifiziert durch Rotationder Normal-Parabel fur |x| ≤ 1 um die y-Achse entspricht der MantelflacheOx des durch Rotation von y =

√x fur |x| ≤ 1 um die x-Achse erzeugten Ro-

tationskorpers, also Ox = 2π∫ ba y√

1 + y′2 dx = 2π∫ 10

√x√

1 + ( 12√

x)2 dx =

2π∫ 10

√x + x 1

4xdx = 2π

∫ 10

√x + 1

4dx = 2π

∫ 5/41/4

√u du = 2π 2

3u3/2

∣∣∣5/4

1/4=

43π(√

53

43 −√

143 ) = π

6(5√

5− 1).1 fur Ansatz, 1 fur Integrand, 1 fur Substitution, 1 fur Auswerten

3. Die Ellipsengleichung (x/a)2 + (y/b)2 = 1 aufgelost nach y liefert y =f(x) = b

a

√a2 − x2 und damit das Volumen des Fasses mit der Hohe h als

Vx = π∫ x2x1

y2 dx = π∫ h/2−h/2

b2

a2 (a2 − x2) dx = πb2h− π b2

a2h3

12= πb2h(1− 1

12h2

a2 ).1 fur Ansatz, 1 fur Integrationsintervall, 1 fur Integral, 1 fur AuswertenMit der Parameter-Darstellung x(t) = a cos t und y(t) = b sin t der Ellip-

se und dxdt

= −a sin t gilt fur das Volumen Vx = π∫ h/2−h/2 y2 dx allgemein,

hier Vx = π∫ arccos h

2a

arccos −h2a

b2 sin2(t)(−a) sin(t) dt = πa b2∫ arccos −h

2a

arccos h2a

sin3(t) dt =

πa b2(− cos x + 1

3cos3(x)

)∣∣∣arccos −h2a

arccos h2a

= πa b2(cos x− 1

3cos3(x)

)∣∣∣arccos h2a

arccos −h2a

=

2πa b2(

h2a− 1

3( h

2a)3)

= πb2h(1− 112

h2

a2 ).

4. Die n-te Teilsumme von∑∞

i=14

i(i+1)(i+2)= 1 ist sn = 1 − 2

(n+1)(n+2), da

per Induktion∑1

i=14

i(i+1)(i+2)= 4

6= 1 − 2

6= s1 und

∑n+1i=1

4i(i+1)(i+2)

=

sn + 4(n+1)(n+2)(n+3)

= 1 − 2(n+1)(n+2)

+ 4(n+1)(n+2)(n+3)

= 1 − 2n+6−4(n+1)(n+2)(n+3)

= sn+1 gilt. Der Reihenwert als Grenzwert limn→∞ sn der Teilsummenfolgebestimmt sich damit zu limn→∞ sn = 1− limn→∞

2(n+1)(n+2)

= 1.

5. Der Konvergenzbereich von∑∞

k=1(x+1)k√

kbestimmt sich etwa mit dem Quoti-

entenkriterium zu 1ρ=limk→∞

|x+1|k+1√

k+1

√k

|x+1|k =limk→∞ |x+1|√

kk+1

= |x+1| <1.

6. sin x ≈ x gilt mit einem Fehler nicht großer als 0.0005 sicher dann, wenn dasnachste Glied −x3

3!in der alternierenden Reihe betragsmaßig kleiner als

der vorgegebene Fehler ausfallt: |x|3 ≤ 3! 0.0005 = 0.003, also |x| ≤ 0.144.


7. Die lineare Approximation per Taylor-Entwicklung des Sinus um π4

lautet

sin(x+ π4) ≈ sin π

4+sin′(π

4)x =

√2

2+cos(π

4)x =

√2

2(1+x). Also gilt sin 430 ≈

√2

2(1 + −π

90).

8. Fur f(x) = χ[0,π] fur |x| ≤ π gilt f(x) = 0 fur −π < x < 0 und f(x) = 1 fur0 ≤ x ≤ π. Die Koeffizienten der Fourier-Reihe der auf ganz IR fortgesetzten2π-periodisch Funktion f berechnen sich in der reellen Darstellung zu

ak = 1π


π

∫ π0 cos(kx) dx = 1

πsin(kx)

k

∣∣∣π0

= 0 fur k 6= 0

und a0 = 1π

∫ π0 dx = 1 sowie

bk = 1π


π

∫ π0 sin(kx) dx = 1

πcos(kx)−k

∣∣∣π0

= 1−(−1)k

kπ, d.h.

b2k = 0 und b2k−1 = 2(2k−1)π

, so daß f die Fourier-Reihen-Entwicklung

f(x) = 12

+∑∞

k=12

(2k−1)πsin(kx) besitzt.

Die komplexe Darstellung ergibt sich aus

ck = 12π

∫ π−π f(x)e−jkx dx = 1

2π

∫ π0 e−jkx dx = 1

2πe−jkx

−jk

∣∣∣π0

= 12π

j (−1)k−1k

, also

c2k−1 = −j(2k−1)π

sowie c2k = 0 fur k 6= 0 und c0 = 12π

∫ π−π f(x) dx = 1

2π

∫ π0 dx =

12.

Zur Probe ist ak = 2<ck und bk = −2=ck zu verifizieren: es gilt 1 = a0 =2<c0 = 21

2sowie 0 = ak = 2<ck fur k > 0 wie auch 0 = b2k = −2=c2k sowie

2(2k−1)π

= b2k−1 = −2=c2k−1 = −2 −1(2k−1)π

.

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Mathematik: Klausuren zur Integral-Rechnung · Th.Risse, Hochschule Bremen: MAI SS02 4 L¨osungen der Klausur Integralrechnung und DGlen 14.12.01 1. Bestimme Tragf¨ahigkeit (in kg)