Mathematik - Springer978-3-642-44919-2/1.pdf · Mathematik 3. Auﬂage. Tilo Arens Karlsruhe, Deutschland Frank Hettlich Karlsruhe, Deutschland Christian Karpﬁnger München, Deutschland

Mathematik

Tilo Arens � Frank Hettlich �Christian Karpfinger � Ulrich Kockelkorn �Klaus Lichtenegger � Hellmuth Stachel

Mathematik3. Auflage

Tilo ArensKarlsruhe, Deutschland

Frank HettlichKarlsruhe, Deutschland

Christian KarpfingerMünchen, Deutschland

Ulrich KockelkornBerlin, Deutschland

Klaus LichteneggerGraz/Wieselburg, Österreich

Hellmuth StachelWien, Österreich

ISBN 978-3-642-44918-5 ISBN 978-3-642-44919-2 (eBook)DOI 10.1007/978-3-642-44919-2

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Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bianca AltonGrafiken: Thomas Epp und die AutorenEinbandentwurf : deblik, BerlinEinbandabbildung: © Jos Leys

Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.

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Vorwort

Vorwort zur 3. Auflage

Nicht in erster Linie das Gewicht des gedruckten Buchs, sondern die verstärkte Nutzung elektronischerMedien unter den Studierenden gab dem Verlag und uns den Anlass, eine neue dritte Auflage unseresLehrbuchs Mathematik in Angriff zu nehmen. Jetzt erscheint unser Werk also auch als E-Book. GanzohneModifikationen gegenüber der 2. Auflage war dies nicht zu haben. Aber wir glauben mit dem nunvorliegenden Konzept sowohl den Leserinnen und Lesern des gedruckten Werks als auch denen derdiversen elektronischen Formate die mathematischen Inhalte weiterhin in der von uns beabsichtigtenansprechenden und anregenden Weise bereitstellen zu können.

Für die vielen konstruktiven Anmerkungen und Anregungen von Leserinnen und Lesern der vorhe-rigen Auflagen sind wir sehr dankbar und haben die Gelegenheit genutzt, die dabei aufgefallenenKorrekturen einzuarbeiten und Formulierungen abzurunden. Darüberhinaus sind an einigen wenigenStellen Ergänzungen vorgenommen worden. So ist gleich im ersten Kapitel eine Übersicht zur Mo-dellbildung hinzugekommen, einem Thema, das sicherlich für die meisten Studierenden im Verlaufdes Studiums an beträchtlicher Relevanz gewinnen wird. Dazu passend ist in Kap. 24 eine Box zurFehler- und Sensitivitätsanalyse eingefügt worden.

Wir wünschen uns, dass wir Ihnen insbesondere durch die neuen elektronischen Formate mit unseremWerk eine hilfreiche Quelle und motivierende Grundlage zum Lernen von Mathematik zur Verfü-gung stellen. Darüber hinaus nutzen wir die Gelegenheit, dem Verlag und allen, die ihr Know-Howeingebracht haben, ganz herzlich zu danken für die gelungene, nicht immer unproblematische Full-Text-XML-Auszeichnung unseres Lehrbuchs, die Grundlage sowohl für das gedruckte Buch wie auchfür die verschiedenen digitalen Ausgabeformen dieser Auflage ist.

Heidelberg, 2015 Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger,Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel


Ein sehr positives Echo hat uns gezeigt, dass unser Lehrbuch für viele Studierende und Interessierte diesinnvolle Hilfe bietet, die wir erreichen wollten. Daher sind zwar keine prinzipiellen Änderungen er-forderlich geworden, aber mit der zweiten Auflage werden nun einige inhaltliche Aspekte abgerundet.Selbstverständlich wurden alle aufgefallenen Errata der ersten Auflage korrigiert und gegebenenfallsmissverständliche Formulierungen überarbeitet.

Eine Neuerung ist das Symbolverzeichnis, zusammengestellt zur schnelleren Orientierung. Darüberhinaus konnten einige Themen sowie einige Übungsaufgaben zusätzlich aufgenommen werden ohnedie Seitenzahl spürbar zu erhöhen. Es wird zum Beispiel nun der Begriff der Abzählbarkeit erläu-tert. Auch das häufig genutzte QR-Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten wird behandelt. Ineiner neuen Vertiefung wird die Dimensionsanalyse der mathematischen Modellierung angesprochen.Darüber hinaus sind einige Übersichten etwa zu Quadriken neu hinzugekommen.

Auf der Website steht weiterhin ergänzendes Material wie Lösungen und Bonusmaterial frei zugäng-lich zur Verfügung. Das Arbeitsbuch mit den gedruckten Aufgaben und Lösungen erscheint in einer

V

VI Vorwort

zweiten Auflage, ebenso die DVD für Dozenten. Die Kurzzusammenfassung Mathematik zum Mit-nehmen und das Buch Ergänzungen und Vertiefungen, also das gedruckte Bonusmaterial, bleibenunverändert nutzbar.

Mit der verbesserten zweiten Auflage möchten wir Ihnen weiterhin ein Lehrbuch zur Verfügung stel-len, das neben der Vermittlung von Wissen auch Ihre Freude an der Mathematik und Ihre Motivationzum Lernen fördern möchte. Für die vielen nützlichen Hinweise und Anregungen zur ersten Auflagesind wir allen Lesern und Dozenten sehr dankbar. Die gewissenhafte Zusammenstellung und Auf-arbeitung dieser Anmerkungen durch den Verlag hat es ermöglicht, mit der zweiten Auflage einensystematisch korrigierten und überarbeiteten Text anzubieten. Dafür danken wir Autoren den enga-gierten Mitarbeitern des Verlags sehr.



Sechs Autoren mit unterschiedlichen Erfahrungen, ein engagierter Verlag und das ehrgeizige Projektein neuartiges Mathematiklehrbuch zu schreiben – das alles deutet auf langwierige Diskussionen hin.Aber schon früh in der Entstehungsphase dieses Werks stellte sich heraus, dass sich das Team beiwesentlichen Inhalten schnell einigen konnte und sich gegenseitig sinnvoll ergänzte. Der Leitgedanke,den Stoff verständlich, motivierend und einprägsam zu vermitteln, stand dabei stets im Vordergrund.Unser Augenmerk galt vor allem den grundlegenden Konzepten, die aus der Anwendung von Mathe-matik in Natur- und Ingenieurwissenschaften nicht wegzudenken sind.

Wir Autoren haben die Arbeit am Buch als sehr bereichernd empfunden und hoffen, Ihnen ein wenigvon dieser Intention mitzugeben, sodass Ihr Interesse und vielleicht sogar Ihre Begeisterung für Ma-thematik aufkeimen können. Dieses Werk möchte Ihnen neben demmathematisch technischenWissenauch die Bedeutung von Mathematik für Ihr Fach deutlich machen. Erst mit einer gewissen Übersichtüber die mathematischen Grundlagen können Sie das nötige Vertrauen in Ihr eigenes Arbeiten mitmathematischen Methoden bekommen.

Wir wünschen Ihnen viel Freude und Erfolg mit diesem Buch und in Ihrem Studium.

Selbstverständlich ensteht ein so umfangreiches Werk nicht ohne Austausch mit anderen. Den vielenKollegen, die uns durch ihre Arbeiten und durch Gespräche Ideen mit auf denWeg gegeben haben, sindwir dankbar. Insbesondere die Bemerkungen und Anregungen von StdR P. Feldner, Dipl.Math.techn.A. Helfrich-Schkarbanenko, Prof. Dr. A. Kirsch, Dr. M. Kohls, T. Knott, Dipl.Math. A. Lechleiter,Dr. H. Schon, Dr. K.-D. Reinsch, Dipl.Math.techn. S. Ritterbusch waren hilfreich. Ein guter Teil derAbbildungen ist mit Open Geometry erstellt. Wir danken Herrn Prof. Georg Glaeser für seine Unter-stützung. Unser Dank gilt auch Frau Monika Behrens, für die Eingabe von Teilen des Manuskripts inLATEX, und Herrn Thomas Epp für die Umsetzung von Texten in LATEX und die Ausarbeitung vielerBilder. Das sorgsame Redigieren der Texte durch Herrn Martin Radke war uns eine große Hilfe. Ganzbesonders bedanken wir uns für die von beeindruckender Sachkenntnis getragene, konstruktive undideenreiche Zusammenarbeit mit Herrn Dr. Andreas Rüdinger und seiner Kollegin Frau Bianca Altonvom Verlag Spektrum Akademischer Verlag.


Bemerkungen für Dozenten

Das vorliegende Werk verfolgt zwei Ziele. Zum einen bietet es eine umfassende Darstellung von Ma-thematik, wie sie in den ersten Semestern an Hochschulen in nicht mathematischen Studiengängenunterrichtet wird. Andererseits ermöglicht es einen Einstieg und Übersicht in Bereiche der Mathema-tik, die je nach Spezialisierung dem Anwender von mathematischen Konzepten in höheren Semesternoder in der beruflichen Praxis begegnen. Inhaltlich gehen wir also in einigen Kapiteln über das hinaus,was etwa in einem Kurs zur Höheren Mathematik behandelt werden kann. Da neben der Modellbil-dung sowohl numerische als auch statistische Fragestellungen kontinuierlich an Bedeutung gewinnen,bleibt das Buch auch nach der Grundausbildung ein verlässlicher Begleiter in Studium und Beruf.

Die Erfahrung zeigt, dass ein relativ formal orientierter Schreibstil häufig abschreckend wirkt aufLeser, die Mathematik nicht im Hauptfach studieren. Deswegen haben wir die klassische Struktur vonDefinition, Satz und Beweis aufgebrochen. Dabei wird nicht auf Exaktheit verzichtet, die wir als einzentrales Lernziel von Mathematik an Schulen und Hochschulen sehen.

Das Werk erhebt nicht den Anspruch, beweisvollständig zu sein. Herleitungen können aber einenwichtigen Beitrag zum Verständnis von Aussagen leisten. Daher haben wir überall dort, wo es unsinhaltlich geboten erscheint, Beweise vollständig präsentiert. Sind eine Vielzahl beweistechnischerSchritte auszuführen, verzichten wir auf die komplette Formulierung. In diesen Fällen verweisen wirauf entsprechende Literatur oder verlagern die Ausführungen in das Bonusmaterial, das auf der Web-site zum Buch (matheweb) zu finden ist.

Speziell zur Stoffauswahl und Präsentation des Materials möchten wir exemplarisch ein paar Diskus-sionen des Autorenteams und des Verlags an dieser Stelle herausgreifen.

Komplexe Zahlen werden entgegen anderer Zugänge mit an den Anfang gestellt und in den folgendenAbschnitten immer wieder aufgegriffen. Dies bewirkt, dass sich der Leser im Laufe der Zeit an denUmgang mit komplexen Größen gewöhnt. Das hat sich in unseren Lehrveranstaltungen bewährt, dakomplexe Zahlen üblicherweise in den Schulen nicht behandelt, aber später als selbstverständlichvorausgesetzt werden. Außerdem ergibt sich die Möglichkeit, Potenzreihen und die daraus definiertenelementaren Funktionen frühzeitig mit komplexen Argumenten einzuführen.

An vielen Stellen wird versucht, Zugänge zu den Begriffen aufzuzeigen, die den Leser nicht mitzusätzlichen, später nicht benötigten Konzepten überfrachten. Wir verzichten etwa auf eine ."; ı/-Definition der Stetigkeit und stützen den Begriff allein auf Folgen, die schon aus numerischer Sichtfür die Anwendungen zentral sind. Aus demselben Grund haben wir uns bei der Integrationstheoriefür das Lebesgue-Integral entschieden. Dies vermeidet später die oft zu beobachtende Verunsicherung,die bei anwendungsrelevanten Themen wie der Fouriertheorie oder der schwachen Behandlung vonDifferenzialgleichungen aufkommt.

Eine Schwierigkeit der Mathematikausbildung in den Anwendungsfächern besteht in der Abstimmungmit anderen Vorlesungen der Grundausbildung. In diesen Vorlesungen werden mathematische Tech-niken angewandt, die in den Veranstaltungen zur Mathematik noch nicht eingeführt sind. Dies ist eingrundsätzliches Problem, das sich nicht immer vermeiden lässt. Klassische Beispiele sind mehrdi-mensionale Integration und gewöhnliche Differenzialgleichungen. Bei letzteren haben wir uns dafürentschieden, die notwendigen Lösungstechniken früh zu bringen, sobald die entsprechenden Mittelder Analysis bereit stehen. Dies geschieht am Ende des zweiten Teils des Buchs. Andererseits stehenzu diesem Zeitpunkt die Begriffe der linearen Algebra, die für die Lösbarkeitstheorie benötigt werden,noch nicht zur Verfügung. So enthält das Kap. 13 die Lösungstechniken, die für das Verständnis derAnwendungen benötigt werden – die vollständige Theorie liefert das Kap. 28 nach. Auch wenn wir

VII

VIII Bemerkungen für Dozenten

lieber auf einen solchen Spagat verzichtet hätten, erscheint er aus der Sicht der Studierenden sinnvollund motivierend.

Diese Aspekte sollen Ihnen einen kurzen Eindruck geben von den vielen Überlegungen, die in dasdidaktische Design eingeflossen sind. Aus unseren eigenen Erfahrungen als Dozenten wissen wir, wiedankbar sinnvolle Skizzen und Bilder in den Vorlesungen und Übungen aufgenommen werden. Daherfinden Sie auf der zum Buch erhältlichen DVD alle Bilder des Buchs zusammengestellt, sodass diesevon Ihnen eingesetzt werden können. Außerdem stellen wir Ihnen die Aufgaben und Lösungen inForm des LATEX-Quellcodes zur Verfügung.

Wir Autoren und der Verlag haben in den letzten Jahren viel Zeit und Energie investiert, um für Stu-dierende und Dozenten ein Werk zu erstellen, das die Lehre bestmöglich unterstützt. Wir würden unssehr freuen, wenn Sie das Buch einsetzen und Ihren Studierenden empfehlen. Für Kritik, Kommentareund Anmerkungen sind wir jederzeit dankbar.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, HellmuthStachel

Inhaltsverzeichnis

Teil I Einführung und Grundlagen

1 Mathematik – Wissenschaft und Werkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1 Über dieses Lehrbuch, Mathematiker und Mathematik . . . . . . . . . . . 4

1.2 Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Die didaktischen Elemente dieses Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Ratschläge zum Studium der Höheren Mathematik . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Logik, Mengen, Abbildungen – die Sprache der Mathematik . . . . . . . . . . . 15

2.1 Eine beweisende Wissenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Grundbegriffe der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Definition, Satz, Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Elementare Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7 Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Antworten der Selbstfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Rechentechniken – die Werkzeuge der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1 Terme, Brüche und Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 Von Betrag und Abschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5 Die vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


4 Elementare Funktionen – Bausteine der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.1 Reellwertige Funktionen einer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

IX

X Inhaltsverzeichnis

4.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


5 Komplexe Zahlen – Rechnen mit imaginären Größen . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.1 Die Menge der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.2 Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.3 Mengen und Transformationen in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . 153


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159


Teil II Analysis einer reellen Variablen

6 Folgen – der Weg ins Unendliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.1 Der Begriff einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.2 Elementare Eigenschaften von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.4 * Teilfolgen und Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.5 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192


7 Stetige Funktionen – kleine Ursachen haben kleine Wirkungen . . . . . . . . . 195

7.1 Zur Definition von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.2 Beschränkte und monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

7.3 Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

7.4 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7.5 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.6 Sätze über reellwertige, stetige Funktionen mit kompaktemDefinitionsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230


8 Reihen – Summieren bis zum Letzten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8.1 Die Idee der Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8.2 Kriterien für Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Inhaltsverzeichnis XI

8.3 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

8.4 Kriterien für absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265


9 Potenzreihen – Alleskönner unter den Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.1 Definition und Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

9.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . 278

9.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

9.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

9.5 Der Logarithmus für komplexe Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303


10 Differenzialrechnung – Veränderungen kalkulieren . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

10.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

10.2 Differenziationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

10.3 Verhalten differenzierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

10.4 Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

10.5 Spline-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361


11 Integrale – vom Sammeln und Bilanzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

11.1 Das Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

11.2 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

11.3 Integrale über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen . . . . . . . . . . 383

11.4 Geometrische Anwendungen des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

11.5 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409


12 Integrationstechniken – Tipps, Tricks und Näherungsverfahren . . . . . . . . . 413

12.1 Grundtechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

12.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

12.3 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

XII Inhaltsverzeichnis

12.4 Integration rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

12.5 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450


13 Differenzialgleichungen – Zusammenspiel von Funktionen und ihrenAbleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

13.1 Begriffsbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

13.2 Numerische Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

13.3 Analytische Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

13.4 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 480


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496


Teil III Lineare Algebra

14 Lineare Gleichungssysteme – Grundlage der linearen Algebra . . . . . . . . . . 503

14.1 Erste Lösungsversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

14.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

14.3 Das Lösungskriterium und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

14.4 Numerische Lösungsmethoden linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . 522


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527


15 Vektorräume – Schauplätze der linearen Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

15.1 Der Vektorraumbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532

15.2 Beispiele von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

15.3 Untervektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

15.4 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

15.5 Affine Teilräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559


16 Matrizen und Determinanten – Zahlen in Reihen und Spalten . . . . . . . . . . 563

16.1 Addition und Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

16.2 Das Invertieren von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

16.3 Symmetrische und orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

Inhaltsverzeichnis XIII

16.4 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 585

16.5 Einführung in die Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

16.6 Definition und Eigenschaften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . 592

16.7 Anwendungen der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603


17 Lineare Abbildungen und Matrizen – abstrakte Sachverhalte in Zahlenausgedrückt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607

17.1 Ein einführendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

17.2 Definition einer linearen Abbildung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 610

17.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

17.4 Darstellungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620

17.5 Basistransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

17.6 Determinanten von Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633


18 Eigenwerte und Eigenvektoren – oder wie man Matrizen diagonalisiert . . . 637

18.1 Das Diagonalisieren von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

18.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

18.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 645

18.4 Diagonalisierbarkeit von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651

18.5 Diagonalisierung symmetrischer und hermitescher Matrizen . . . . . . . . 656

18.6 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren . . . . . . 659

18.7 Die Exponentialfunktion für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665

18.8 *Die Jordan-Normalform einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682


19 Analytische Geometrie – Rechnen statt Zeichnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687

19.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688

19.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692

19.3 Weitere Vektorverknüpfungen im Anschauungsraum . . . . . . . . . . . . 699

19.4 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . 713


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726


XIV Inhaltsverzeichnis

20 Euklidische und unitäre Vektorräume – Geometrie in höheren Dimensionen 731

20.1 Euklidische Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732

20.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

20.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente . . . . . . . . . . . . . 741

20.4 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 750

20.5 Unitäre Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758


21 Quadriken – ebenso nützlich wie dekorativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761

21.1 Symmetrische Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762

21.2 Hermitesche Sesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

21.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 773

21.4 Die Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786

21.5 *Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800


22 Tensoren – geschicktes Hantieren mit Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803

22.1 Einführung in die Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

22.2 Kartesische Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822


23 Lineare Optimierung – ideale Ausnutzung von Kapazitäten . . . . . . . . . . . . 825

23.1 Typische Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826

23.2 Sonderfälle von Optimierungsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830

23.3 Definitionen und Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832

23.4 Wandern von Ecke zu Ecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835

23.5 Das Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848


Teil IV Analysis mehrerer reeller Variablen

24 Funktionen mehrerer Variablen – Differenzieren im Raum . . . . . . . . . . . . . 855

24.1 Wozu Funktionen von mehreren Variablen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

Inhaltsverzeichnis XV

24.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860

24.3 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 864

24.4 Funktionen Rn ! Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878

24.5 Der Hauptsatz über implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885

24.6 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900


25 Gebietsintegrale – das Ausmessen von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905

25.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

25.2 Volumen, Masse und Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917

25.3 Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922

25.4 Wichtige Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938


26 Kurven und Flächen – von Krümmung, Torsion und Längenmessung . . . . . 943

26.1 Ebene Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944

26.2 Die Bogenlänge von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949

26.3 Die Krümmung ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

26.4 Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955

26.5 Darstellung von Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962

26.6 Basissysteme krummliniger Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976


27 Vektoranalysis – von Quellen und Wirbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981

27.1 Skalar- und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982

27.2 Differenzialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984

27.3 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996

27.4 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003

27.5 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005

27.6 Differenzialoperatoren in krummlinigen Koordinaten . . . . . . . . . . . . 1013


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021


XVI Inhaltsverzeichnis

28 Differenzialgleichungssysteme – ein allgemeiner Zugang zuDifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027

28.1 Definition und qualitatives Lösungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028

28.2 Existenz von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033

28.3 *Die Herleitung des Satzes von Picard-Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039

28.4 Die Lösung linearer Differenzialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . 1044

28.5 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme: Konvergenz,Konsistenz und Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054

28.6 Randwertprobleme: Theorie und numerische Verfahren . . . . . . . . . . . 1058


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070


29 Partielle Differenzialgleichungen – Modelle von Feldern und Wellen . . . . . 1075

29.1 Klassifizierung partieller Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 1076

29.2 Separationsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

29.3 Quasilineare partielle Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . 1091

29.4 Potenzialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097

29.5 Die Methode der finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114


Teil V Höhere Analysis

30 Fouriertheorie – von schwingenden Saiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121

30.1 Trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122

30.2 Approximation im quadratischen Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125

30.3 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132

30.4 Die diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153


31 Funktionalanalysis – Operatoren wirken auf Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 1157

31.1 Normierte Räume, Banachräume, Hilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . 1158

31.2 Lineare, beschränkte Operatoren und Funktionale . . . . . . . . . . . . . . 1165

31.3 Funktionale und Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171

31.4 Operatoren in Hilberträumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179

31.5 *Approximation von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185

Inhaltsverzeichnis XVII


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191


32 Funktionentheorie – von komplexen Zusammenhängen . . . . . . . . . . . . . . 1195

32.1 Komplexe Funktionen und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196

32.2 Komplexe Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208

32.3 Laurent-Reihen und Residuensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235


33 Integraltransformationen – Multiplizieren statt Differenzieren . . . . . . . . . 1239

33.1 Transformation von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1240

33.2 Die Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243

33.3 Die Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273


34 Spezielle Funktionen – nützliche Helfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277

34.1 Die Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278

34.2 Differenzialgleichungen aus Separationsansätzen . . . . . . . . . . . . . . . 1280

34.3 Das Sturm-Liouville-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282

34.4 Orthogonalpolynome und Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284

34.5 Zylinderfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297


35 Optimierung und Variationsrechnung – Suche nach dem Besten . . . . . . . . 1301

35.1 Optimierungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302

35.2 Optimierung unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309

35.3 Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313

35.4 Numerische Verfahren zur Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333


Teil VI Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

36 Deskriptive Statistik – wie man Daten beschreibt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339

36.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1340

XVIII Inhaltsverzeichnis

36.2 Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342

36.3 Lageparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349

36.4 Streuungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358

36.5 Strukturparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362

36.6 Mehrdimensionale Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378


37 Wahrscheinlichkeit – die Gesetze des Zufalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383

37.1 Wahrscheinlichkeits-Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384

37.2 Die bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391

37.3 Die stochastische Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396

37.4 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405


38 Zufällige Variable – der Zufall betritt den R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411

38.1 Der Begriff der Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412

38.2 Erwartungswert und Varianz einer zufälligen Variablen . . . . . . . . . . . 1420

38.3 Das Gesetz der großen Zahlen und der Hauptsatz der Statistik . . . . . . 1426

38.4 Mehrdimensionale zufällige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1432


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1441


39 Spezielle Verteilungen – Modelle des Zufalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445

39.1 Spezielle diskrete Verteilungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446

39.2 Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456

39.3 Die Normalverteilungsfamilie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482


40 Schätz- und Testtheorie – Bewerten und Entscheiden . . . . . . . . . . . . . . . . 1487

40.1 Grundaufgaben der induktiven Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488

40.2 Die Likelihood und der Maximum-Likelihood-Schätzer . . . . . . . . . . . . 1490

40.3 Die Güte einer Schätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498

40.4 Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502

Inhaltsverzeichnis XIX

40.5 Grundprinzipien der Testtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1521


41 Lineare Regression – die Suche nach Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 1525

41.1 Die Ausgleichsgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526

41.2 Das Regressionsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528

41.3 Schätzen und Testen im linearen Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533

41.4 Die lineare Einfachregression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1540

41.5 Fallstricke im linearen Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553


Hinweise zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557

Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579

Bildnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605

Symbolglossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617

Verzeichnis der Übersichten

Abbildungen Rn ! Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

Approximation von Funktionen (kapitelübergreifend) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310

Eigenschaften der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

Das (allgemeine) Diagonalisieren und das orthogonale Diagonalisieren . . . . . . . . . . . . . . . 659

Differenzialgleichungen in den Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

Typen von Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

Kritische Punkte bei einem linearen Differenzialgleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031

Differenzialoperatoren in Zylinder- und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017

Zusammengesetzte Differenzialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994

Differenziationsregeln und Ableitungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Verhalten differenzierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

Rechenregeln für Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175

Eigenschaften des Erwartungswerts und der Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428

Die Euler’sche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Die Klassifizierung der Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Fourierpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131

Eigenschaften der Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265

Stetige Funktionen und Unstetigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Transformationen und Kombinationen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Gebiete in der komplexen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202

Physikalische Größen als Gebietsintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922

Eigenschaften von Gebietsintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909

Wichtige Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Grenzwerte von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Eigenschaften holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220

Einige bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011

Integration von Partialbrüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

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XXII Verzeichnis der Übersichten

Integrationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1402

Sätze über Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich und Gegenbeispiele . . . . . . . . . . 224

Rechenregeln zu den komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Kovarianz und Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372

Die Eigenschaften der Kovarianz und der Kovarianzmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437

Eigenschaften von Kurvenintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001

Lage- und Streuungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365

Die Laplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256

Die Likelihood und Punktschätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1503

Die linearen Abbildungen 'A W v 7! Av mit einer Matrix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

Logik – Junktoren und Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Normalformen, Zerlegungen und Pseudoinverse vonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Numerische Verfahren (kapitelübergreifend) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066

Orthogonalpolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288

Orthonormale Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

Partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085

Methoden zur Behandlung partieller Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103

Potenzreihen/Taylorreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

Quadriken im R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

Quadriken im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785

Ratschläge für das Studium Höherer Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Elementare Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Wichtige Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Die Schätzer und ihre Varianzen bei der linearen Einfachregression . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547

Eigenschaften von sin und cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Tabelle der Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

Standardsubstitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

Ansatz vom Typ der rechten Seite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

Zentrale Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895

Produkte von Vektoren im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

Eigenschaften und Begriffe unitärer Vektorräume und unitärer Skalarprodukte . . . . . . . . . 755

Diskrete und stetige eindimensionale Verteilungen mit ihren Parametern . . . . . . . . . . . . . . 1477

Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347

Formeln zurWahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401

Umgang mitWurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Die Autoren

PD Dr. Tilo Arens ist als Dozent an der Fakultät für Mathematikdes Karlsruher Instituts für Technologie (KIT) tätig. Für den Vor-lesungszyklus Höhere Mathematik für Studierende des Maschinen-baus und des Chemieingenieurwesens erhielt er 2004 gemeinsammit anderen Mitgliedern seines Instituts den Landeslehrpreis desLandes Baden-Württemberg.

PD Dr. Frank Hettlich ist als Dozent an der Fakultät für Ma-thematik des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT) tätig. Fürden Vorlesungszyklus Höhere Mathematik für Studierende desMaschinenbaus und des Chemieingenieurwesens erhielt er 2004gemeinsam mit anderen Mitgliedern seines Instituts den Landes-lehrpreis des Landes Baden-Württemberg.

PD Dr. Christian Karpfinger lehrt an der Technischen UniversitätMünchen; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bay-ern.

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XXIV Die Autoren

Dr. Ulrich Kockelkorn war bis zu seiner Pensionierung 2006 Pro-fessor für Statistik und Wirtschaftsmathematik an der TechnischenUniversität Berlin und langjähriger Vorsitzender des Ausbildungs-ausschusses der Deutschen Statistischen Gesellschaft.

Dr. Klaus Lichtenegger forscht am Kompetenzzentrum Bioener-gy2020+ GmbH. Zuvor studierte er in Graz Physik und Umwelt-systemwissenschaften, er war mehrere Jahre lang als Tutor undStudienassistent in der Mathematik-Lehre tätig, insbesondere imBereich Analysis.

Dr. Dr. h.c. Hellmuth Stachel ist seit mehr als 25 Jahren Professorfür Geometrie an der Technischen Universität Wien und in For-schung und Lehre um Anwendungsnähe bemüht.

Documents

Mathematik - Springer978-3-642-44919-2/1.pdf · Mathematik 3. Auﬂage. Tilo Arens Karlsruhe, Deutschland Frank Hettlich Karlsruhe, Deutschland Christian Karpﬁnger München, Deutschland