Karlheinz Kabus

Mechanik und Festigkeitslehre

ISBN (Buch): 978-3-446-45319-7

ISBN (E-Book): 978-3-446-45320-3

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© Carl Hanser Verlag, München

Vorwort

Mechanik und Festigkeitslehre geh"ren zu denwichtigsten theoretischen Grundlagen jedesTechnikers und Ingenieurs. Das vorliegendeBuch will dem studierenden Nachwuchs bei derErarbeitung dieser Grundlagen behilflich seinund ihn zur selbstst#ndigen L"sung praktischerAufgaben bef#higen. Es ist besonders f!r denGebrauch an Technikerschulen und Fachhoch-schulen gedacht. F!r das Selbststudium und f!rPraktiker, die ihre theoretischen Kentnisse auf-frischen oder erweitern wollen, ist es ebenfallsgeeignet.Der Stoffumfang ist vorwiegend auf das Tech-nikerstudium abgestimmt. Einige Kapitel gehendar!ber hinaus, um auch Studenten an Fach-hochschulen ein Hilfsmittel zum besserenVerst#ndnis der Vorlesungen in TechnischerMechanik und interessierten Benutzern Wei-terbildungsm"glichkeiten zu bieten. Auf eineAnwendung der h"heren Mathematik wurde ver-zichtet, da diese an Technikerschulen nicht ge-lehrt wird. Bis auf wenige Ausnahmen werdendie Berechnungsgleichungen hergeleitet unddanach als Gr"ßengleichungen angegeben, sodass mit beliebigen Einheiten gerechnet werdenkann.Die verwendeten Einheiten und Formelzeichenentsprechen den in einem Verzeichnis zusam-mengestellten neuesten Ausgaben der einschl#-gigen DIN-Normen und den gesetzlich vor-geschriebenen SI-Einheiten. Auf die !blichenEinheiten wird hingewiesen. In $bereinstim-mung mit dem t#glichen Sprachgebrauch sowieden Normenempfehlungen werden die WorteGewicht und Last im Sinne einer Massengr"ßeverwendet. Wenn Gewicht als Kraftgr"ße ge-meint ist, wird der Ausdruck Gewichtskraft be-nutzt.Die Nummerierung der Bilder, Gleichungen undLehrbeispiele erfolgte kapitelweise. Kontroll-fragen am Ende eines in sich abgeschlossenenSachgebietes sollen die Lernzielkontrolle er-leichtern. Praxishinweise machen auf die Be-deutung des jeweiligen Lernstoffes f!r die Be-rufsarbeit aufmerksam. Dabei werden auch diefr!her verwendeten, nicht mehr zugelassenenEinheiten und die in der Praxis gebr#uchlichenZahlenwertgleichungen erw#hnt.Lehrbeispiele aus vielen Gebieten der Technikerm"glichen eine Vertiefung des dargebotenenStoffes. Bei der Auswahl der Beispiele wurdeeine enge Beziehung zur Praxis angestrebt.

F!r h#ufig vorkommende Aufgabenarten werdenArbeitsschritte empfohlen. Dem Prinzip derGr"ßengleichung folgend, sind auch bei denZwischenrechnungen die Einheiten mitgeschrie-ben, so dass man bei umfangreichen Gleichun-gen nicht die $bersicht verliert. Nur wenn Ein-heiten sich offensichtlich herausk!rzen, wurdensie weggelassen. Die Genauigkeit der Ergebnis-se wurde in der Regel auf vier Ziffern be-schr#nkt. Wird mit der gesamten vom Rechnerangezeigten Stellenanzahl weitergerechnet, soergeben sich in manchen F#llen etwas abwei-chende Resultate.Weitere $bungsm"glichkeiten bietet die aufdas Lehrbuch abgestimmte Aufgabensammlung„Mechanik und Festigkeitslehre – Aufgaben“.Sie enth#lt eine große Zahl vom Leser zu l"sen-der Aufgaben.Alle Tabellen und Diagramme (Bildnummernmit vorgesetztem A), die zum L"sen von Auf-gaben ben"tigt werden, sind in einem separatenAnhang untergebracht, der auch eine Zusam-menstellung der wichtigsten Formeln enth#lt.Die f!r Festigkeitsberechnungen erforderlichenWerkstoffkennwerte und sonstige Einflussziffernsowie Erfahrungswerte f!r erforderliche Sicher-heiten bzw. zul#ssige Spannungen sind darin an-gegeben, womit die Berechnung vieler Bauteileohne weitere Unterlagen m"glich ist. Der losebeigef!gte Anhang kann, z.B. bei Pr!fungen,unabh#ngig vom Lehrbuch benutzt werden.Besonderer Wert wurde auf eine $bereinstim-mung mit dem im gleichen Verlag erschienenenLehrbuch Decker „Maschinenelemente“ und dendazugeh"rigen „Maschinenelemente-Aufgaben“gelegt. Die „Mechanik und Festigkeitslehre“ ent-h#lt gewissermaßen das theoretische R!stzeugf!r die genannten B!cher.Allen Kolleginnen und Kollegen und Lesern,die uns auf Verbesserungsm"glichkeiten hinge-wiesen haben, sagen wir herzlichen Dank. Beiden Mitarbeitern des Carl Hanser Verlages, be-sonders bei Frau Ute Eckardt und Frau KatrinWulst, bedanken wir uns f!r die gute Zusammen-arbeit.Wir hoffen, dass auch die 8. Auflage den Stu-dierenden und den Lehrenden ebenso wie denbereits in der Praxis t#tigen Technikern und In-genieuren ein brauchbares Hilfsmittel werdenm"ge. Anregungen und Verbesserungsvorschl#ge

Bernd KretschmerPeter M"hler

Inhaltsverzeichnis

1 Einf!hrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Aufgaben und Gliederung der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Gr"ßen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Statik starrer K"rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1 Die Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Kennzeichnung und Darstellung von Kr#ften . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Verschiebesatz und Wechselwirkungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Freimachen und Lagerungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Zentrales ebenes Kr#ftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Das Kr#fteparallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Zeichnerische Kr#fteermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3 Rechnerische Kr#fteermittlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Allgemeines ebenes Kr#ftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.1 Moment und Kr#ftepaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2 Rechnerische Kr#fteermittlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Zeichnerische Kr#fteermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 R#umliche Kr#ftesysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.1 Zentrales r#umliches Kr#ftesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.2 Allgemeines r#umliches Kr#ftesystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Ebene Fachwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1 Aufbau, Annahmen und Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Ermittlung von Stabkr#ften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.1 Rechnerische Stabkraftermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2.2 Zeichnerische Stabkraftermittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1 Begriffsbestimmung, Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Schwerpunktberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1 K"rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.2 Fl#chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.3 Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Gleichgewichtslagen, Standsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1 Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Haft- und Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.1 Reibungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.2 Reibungswinkel, Selbsthemmung, Haftsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.3 Reibung auf geneigter Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Technische Anwendung des Reibungsgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.1 Gleitf!hrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.2 Gewinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.3 Reibungskupplungen und -bremsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.3.4 Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3.5 Rollen und Rollenz!ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.1 Seilreibungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.2 Technische Anwendung der Seilreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.5 Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.5.1 Rollwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.5.2 Fahrwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.1 Bewegungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2 Geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2.1 Gleichf"rmige geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2.2 Ungleichf"rmige geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3 Kreis- und Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.1 Gleichf"rmige Kreis- und Drehbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.2 Ungleichf"rmige Kreis- und Drehbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3.3 $bersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.4 Zusammengesetzte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4.1 Geradlinige Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4.2 Waagerechter und schr#ger Wurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4.3 Radialbeschleunigung bei Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.4.4 Relativ- und Absolutbewegung, Coriolisbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . 115

7 Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1.1 Tr#gheitsgesetz, Grundgesetz der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.1.2 Anwendung des Grundgesetzes der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.1.3 Tr#gheitskraft, Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.1.4 Impuls, Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2 Arbeit, Energie, Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2.1 Arbeit einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2.2 Energie und Energiesatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.3 Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3 Gerader zentrischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3.2 Elastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.3.3 Plastischer Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3.4 Wirklicher Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.4.1 Grundgesetz der Dynamik f!r Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.4.2 Tr#gheitsmomente, Steinerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.4.3 Drehimpuls, Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.4.4 Arbeit, Energie und Leistung bei Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.4.5 Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8 Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.1 Schwingungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.2 Freie unged#mpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.2.1 Schwingungen mit geradliniger Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.2.2 Pendelschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.2.3 Dreh- oder Torsionsschwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.3 Freie ged#mpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3.1 D#mpfungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1838.3.2 Geschwindigkeitsproportional ged#mpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . 1848.4 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.4.1 Fremderregung von Schwingsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.4.2 Federkrafterregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.4.3 Unwucht- oder Massenkrafterregung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.4.4 Kritische Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.4.5 Schwingungsisolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Inhaltsverzeichnis8

9 Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.1 Spannung und Form#nderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.1.1 Begriff der Spannung und der Festigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.1.2 Freischneiden, Schnittkr#fte und -momente . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.1.3 Normal- und Tangentialspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2069.1.4 Beanspruchungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.1.5 Dehnung, Hookesches Gesetz, Elastizit#tsmodul . . . . . . . . . . . . . . . 2099.1.6 Schiebung, Gleitmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.1.7 Form#nderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.2 Lastf#lle, Sicherheiten, zul#ssige Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.2.1 Lastf#lle, Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.2.2 Werkstofffestigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2159.2.3 Sicherheiten, zul#ssige Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.3 Zug-, Druck- und Scherbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.3.1 Beanspruchung auf Zug oder Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.3.2 Reiß- und Tragl#nge bei Zugbeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.3.3 Zugspannungen durch Fliehkr#fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.3.4 W#rmespannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.3.5 Fl#chenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259.3.6 Walzenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.3.7 Beanspruchung auf Scheren (Abscheren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.4 Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.4.1 Biegespannungen in geraden Tr#gern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.4.2 Fl#chenmomente, Widerstandsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.4.3 Biegemomente, Quer- und L#ngskr#fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.4.4 Berechnung biegebeanspruchter Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2529.4.5 Schubspannungen bei Biegebeanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.4.6 Durchbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599.5 Verdrehbeanspruchung (Torsion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.5.1 Verdrehbeanspruchung kreisf"rmiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . 2649.5.2 Verdrehung nichtkreisf"rmiger Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . 2679.5.3 Verdrehwinkel, Form#nderungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2689.6 Zusammengesetzte Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.6.1 $berlagerung von Spannungen, Festigkeitshypothesen . . . . . . . . . . . . . 2699.6.2 Biegung mit Zug oder Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.6.3 Biegung mit Verdrehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2749.7 Gestaltfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.7.1 Kerbwirkung, Bauteilfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2779.7.2 Kerbwirkungszahl, Spannungsgef#lle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2799.7.3 Berechnung auf Gestaltfestigkeit (Dauerhaltbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . 2819.7.4 Tragf#higkeitsberechnung von Wellen und Achsen nach DIN 743 . . . . . . . . 2899.8 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.8.1 Stabilit#tsproblem Knicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2959.8.2 Elastische Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2969.8.3 Unelastische Knickung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.8.4 Omega-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

10 Hydromechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.1 Einteilung, Eigenschaften von Fl!ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.2 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30210.2.1 Druckausbreitung in Fl!ssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30210.2.2 Hydrostatischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30610.2.3 Druckkr#fte gegen Gef#ßw#nde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30810.2.4 Auftrieb und Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31110.3 Hydrodynamik reibungsfreier Str"mungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

Inhaltsverzeichnis 9

10.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31610.3.2 Kontinuit#tsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31710.3.3 Bernoullische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31810.3.4 Anwendungen der Kontinuit#ts- und der Bernoullischen Gleichung . . . . . . . . 32010.4 Kraftwirkungen station#rer Str"mungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32710.4.1 Str"mungskr#fte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32710.4.2 R!ckstoßkraft eines Fl!ssigkeitsstrahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32910.4.3 Stoßkr#fte von Fluidstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33010.5 Hydrodynamik wirklicher Str"mungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33210.5.1 Viskosit#t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33210.5.2 Laminare und turbulente Str"mung, Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . 33410.5.3 Energieverluste in Rohrleitungsanlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Verzeichnis der angef!hrten DIN-Normen und Richtlinien . . . . . . . . . . . . . . . 342

Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Anhang (lose beigef!gt):

Tabellen, Diagramme, Formeln

Inhaltsverzeichnis10

4 Schwerpunkt

Lernziele:– Den Begriff Schwerpunkt erkl#ren.– Den Momentensatz der Statik als Grundlage der

Schwerpunktberechnung erl#utern.– Die Lage des Schwerpunktes von K"rpern, Fl#chen

und Linien berechnen.– Die Begriffe Standmoment und Kippmoment erl#u-

tern und Standsicherheitsberechnungen durchf!hren.

4.1 Begriffsbestimmung, Grundlagen

Die von der Erde auf einen K"rper ausge!bteAnziehungskraft ist die Schwerkraft oder Ge-wichtskraft FG. Sie ist auf den ganzen K"rperverteilt, d. h. an jedem kleinsten K"rperteilchenwirkt eine Teilgewichtskraft DFG; die in jederLage des K"rpers zum Erdmittelpunkt hin, alsolotrecht gerichtet ist (Bild 4.1a). Die Resultie-rende aller Teilgewichtskr#fte ist die Gewichts-kraft FG ¼ S DFG: Ihr Angriffspunkt ist derSchwerpunkt S0 des K"rpers. Wird der K"rperim Schwerpunkt unterst!tzt oder gelenkig auf-geh#ngt, so bleibt er in jeder beliebigen Lagestehen, befindet sich also im Gleichgewicht.Die Lage des Schwerpunktes kann versuchs-m#ßig, zeichnerisch oder rechnerisch bestimmtwerden. Beim Versuch h#ngt man den K"rper,beispielsweise eine d!nne Scheibe (Bild 4.1b),an einem beliebigen Punkt an einen Faden undmarkiert in Verl#ngerung des Fadens eine lot-rechte Linie. Danach wird der K"rper an einemanderen Punkt am Faden befestigt und eine wei-tere lotrechte Linie gezeichnet. Im Schnittpunktbeider Linien liegt der Schwerpunkt.

F!r die zeichnerische Schwerpunktbestimmung ist dasSeileckverfahren geeignet. Dazu zerlegt man denK"rper gedanklich in Teilst!cke, deren Schwerpunktlagebekannt ist. Der Abstand der Gewichtskraft als Resultie-rende der Teilgewichtskr#fte von einer Bezugsachsewird dann nach der im Abschn. 2.3.3 beschriebenen Wei-se ermittelt. Dieses Verfahren ist je nach K"rperform biszu dreimal durchzuf!hren, u. zw. in den drei senkrechtzueinander stehenden Ansichten des K"rpers.

Linien und Ebenen, die durch den Schwerpunkthindurchgehen, sind Schwerlinien bzw. Schwer-ebenen. Symmetrielinien und -ebenen einesK"rpers gehen stets durch den Schwerpunkt. Daihre Lage bekannt ist, sind nur die nicht bekanntenSchwerpunktabst#nde zu bestimmen.

Grundlage der rechnerischen Schwerpunkt-bestimmung ist der Momentensatz der Statik.Der Schwerpunkt jedes winzig kleinen K"rper-teilchens Dm habe von den Koordinatenachseneines r#umlichen Koordinatensystems die Ab-st#nde x, y und z (Bild 4.2). Der besseren $ber-sicht wegen ist in Bild 4.2 nur die GewichtskraftDFG eines K"rperteilchens Dm eingezeichnet.Mit den Koordinaten x0, y0 und z0 des Schwer-punktes S0 erh#lt man entspr. Gl. (2.19) die dreiMomentengleichungen:

FG ' x0 ¼ SðDFG ' xÞ, FG ' y0 ¼ SðDFG ' yÞund FG ' z0 ¼ SðDFG ' zÞ:Daraus folgt f!r die

Schwerpunkt-koordinaten x0 ¼ SðDFG # xÞ

FGð4:1Þ

y0 ¼ SðDFG # yÞFG

ð4:2Þ

z0 ¼ SðDFG # zÞFG

ð4:3ÞBild 4.1 Schwerpunkt S0

a) Angriffspunkt der Gewichtskraft FG,b) versuchsm#ßige Schwerpunktbestimmung

Bild 4.2 K"rper in einem r#umlichen Koordinatensystem

Da f!r FG ¼ m ' g und f!r DFG ¼ Dm ' g ge-setzt werden kann, k!rzt sich die Fallbeschleu-nigung g heraus, und in den Gleichungen er-scheinen die Masse m und die Teilmasse Dm.Die Lage des Schwerpunkts ist somit nur vonder Massenverteilung abh#ngig. Daher wird derSchwerpunkt auch Massenmittelpunkt genannt.Er kann jedoch wie bei Ringen, Hohlzylindernu. dgl. auch außerhalb der K"rpermasse liegen.

4.2 Schwerpunktberechnung

4.2.1 K"rper

Ein homogener1Þ K"rper mit dem Volumen Vund der Dichte r (s. Abschn. 7.1.1) hat dieMasse m ¼ V ' r (Gl. (7.2)). Damit gilt f!r dieGewichtskraft FG ¼ m ' g ¼ V ' r ' g. Setzt mandiese Beziehung und DFG ¼ DV ' r ' g in dieGln. (4.1) bis (4.3) ein, so k!rzen sich r und gheraus. Die Gleichungen f!r die Koordinatendes Schwerpunktes lauten dann:

x0 ¼ SðDV ' xÞV

y0 ¼ SðDV ' yÞV

z0 ¼ SðDV ' zÞV

Aus diesen Gleichungen ergeben sich mithilfeder Integralrechnung f!r homogene geometri-sche Grundk"rper wie Prisma, Pyramide, Kegel,

Halbkugel u. a., deren Volumen mathematischerfassbar sind, einfache Formeln zur Schwer-punktbestimmung (Tab. 5). ZusammengesetzteK"rper (Bild 4.3) zerlegt man in Teilk"rper, de-ren Schwerpunktabst#nde bekannt sind odernach Tab. 5 errechnet werden k"nnen. Mit denTeilvolumen DV ¼ Vi ði ¼ 1 bis n; in Bild 4.3ist n ¼ 3Þ; den zugeh"rigen Schwerpunktabst#n-den xi, yi, zi und dem Gesamtvolumen V ¼ SVifolgen aus den obigen Gleichungen f!r einenhomogenen K"rper die

Schwerpunktabst#nde

x0 ¼ SðVi # xiÞV

¼ V1 # x1 þ V2 # x2 þ . . .þ Vn # xnV1 þ V2 þ . . .þ Vn

ð4:4Þ

y0 ¼ SðVi # yiÞV

¼ V1 # y1 þ V2 # y2 þ . . .þ Vn # ynV1 þ V2 þ . . .þ Vn

ð4:5Þ

z0 ¼ SðVi # ziÞV

¼ V1 # z1 þ V2 # z2 þ . . .þ Vn # znV1 þ V2 þ . . .þ Vn

ð4:6Þ

In diese Gleichungen sind die Volumen aus-gesparter Teilk"rper und im negativen Be-reich der Koordinatenachse liegende Schwer-punktabst#nde mit negativem Vorzeichen ein-zusetzen (z. B. das Bohrungsvolumen in Bild 4.3,ein Zylinder als Teilk"rper 3).

Beispiel 4.1Die Lage des Schwerpunktes des zusammengesetztenK"rpers nach Bild 4.4 ist zu errechnen.

Bild 4.4 Zusammengesetzter homogener K"rper1) homogen (griech.): einheitlich, in allen Teilen gleich

beschaffen oder stofflich gleichm#ßig

Bild 4.3 Zusammengesetzter K"rper mit Projektionenauf die Koordinatenebenen

4 Schwerpunkt58

L"sung:Gegeben: a ¼ 6 cm, b ¼ 5 cm, d ¼ 4 cm,

h1 ¼ 2 cm, h2 ¼ 8 cm, h3 ¼ 3 cm.Gesucht: y0 in mm.Wegen der Symmetrie braucht nur der Abstand y0auf der Mittelachse bestimmt zu werden. Der K"rperwird in drei Teilk"rper aufgeteilt (Quader 1, Zylin-der 2 und Kegel 3) mit den Teilvolumen

V1 ¼ a ' b ' h1 ¼ 6 cm ' 5 cm ' 2 cm ¼ 60 cm3,

V2 ¼ d2 ' p4' h2 ¼ ð4 cmÞ2 ' p

4' 8 cm ¼ 100,53 cm3,

V3 ¼ d2 ' p ' h34 ' 3 ¼ ð4 cmÞ2 ' p ' 3 cm

4 ' 3 ¼ 12,57 cm3

und den Teilschwerpunktabst#nden (f!r 2 und 3 nachTab. 5)

y1 ¼ h12¼ 2 cm

2¼ 1 cm,

y2 ¼ h1 þ h22¼ 2þ 8

2

$ #cm ¼ 6 cm,

y3 ¼ h1 þ h2 ( h34¼ 2þ 8( 3

4

$ #cm ¼ 9,25 cm:

Nach Gl. (4.5) wird (V3 ist negativ einzusetzen)

y0 ¼ V1 ' y1 þ V2 ' y2 ( V3 ' y3V1 þ V2 ( V3

¼ ð60 ' 1þ 100,53 ' 6( 12,57 ' 9,25Þ cm3 ' cmð60þ 100,53( 12,57Þ cm3

¼ 3,7 cm ¼ 37 mm:

4.2.2 Fl#chen

Auch von Fl#chen l#sst sich wie von K"rpern einSchwerpunkt bestimmen. Man denkt sich eineebene Fl#che A als Vorderansicht einer Platte mitder Dicke s und unterteilt sie in i Teilfl#chen (A1,A2, A3 in Bild 4.5) mit den bekannten Schwer-punktabst#nden xi und yi von den Koordinaten-achsen. Setzt man V¼ A ' s und Vi ¼ Ai ' s in dieGln. (4.4) und (4.5) ein, so k!rzt sich die Dicke sheraus, und es ergeben sich f!r eine aus n Teilfl#-chen zusammengesetzte ebene Fl#che A die

Schwerpunktabst#nde

x0 ¼ SðAi # xiÞA

¼ A1 # x1 þ A2 # x2 þ . . .þ An # xnA1 þ A2 þ . . .þ An

ð4:7Þ

y0 ¼ SðAi # yiÞA

¼ A1 # y1 þ A2 # y2 þ . . .þ An # ynA1 þ A2 þ . . .þ An

ð4:8Þ

In diese Gleichungen sind ausgesparte Teilfl#-chen und im negativen Bereich der Koordi-natenachsen liegende Schwerpunktabst#nde mitnegativem Vorzeichen einzusetzen. Die Be-rechnungsformeln f!r die Schwerpunktabst#ndeeiniger einfacher Fl#chen sind in Tab. 6 zusam-mengestellt. Bei drei oder mehr Teilfl#chen emp-fiehlt sich eine tabellarische Zusammenstellungder Zwischenergebnisse (s. Beisp. 4.2). Das Ko-ordinatensystem ist so zu w#hlen, dass m"glichstwenig Teilfl#chenmomente auftreten. Symmetrie-linien werden vorzugsweise als Koordinatenachsegew#hlt.

Das Produkt aus einer Fl#che und dem Abstand ihresSchwerpunktes von einer Bezugsachse ist das Fl#chen-moment 1. Grades, auch statisches Moment der Fl#-che genannt (s. Abschn. 9.4.2). Das auf eine Schwerliniebezogene statische Moment ist null, weil der Abstandvom Schwerpunkt zur Bezugsachse null ist.

Zweckm#ßig sind folgende Arbeitsschritte:1. Schritt: Koordinatenachsen festlegen, Fl#chein Teilfl#chen aufteilen, Berechnungsskizze an-fertigen und Schwerpunktabst#nde eintragen.

2. Schritt: Teilfl#cheninhalte und -schwerpunkt-abst#nde errechnen, ggf. tabellarisch zusam-menstellen einschl. der Teilfl#chenmomente.

3. Schritt: Abst#nde des Gesamtschwerpunkteserrechnen.

Beispiel 4.2F!r die in Bild 4.6 dargestellte Fl#che ist die Lagedes Schwerpunktes rechnerisch zu bestimmen.

Bild 4.6 Fl#che mit AussparungenBild 4.5 Zur Bestimmung des Schwerpunktes S0 einer

zusammengesetzten Fl#che

4.2 Schwerpunktberechnung 59

L"sung:Gegeben: a ¼ 10 cm, b ¼ 5 cm, c ¼ 1,2 cm,

h ¼ 3 cm, R3 ¼ 1 cm, R4 ¼ 2 cm.Gesucht: x0 und y0 in mm.1. Schritt: Koordinatenachsen liegen nach Berech-nungsskizze (Bild 4.7) auf dem unteren und demlinken Fl#chenrand, Fl#che in vier Teilfl#chen auf-teilen: Rechteck A1, Dreieck A2, Kreis A3 und Halb-kreis A4.

Bild 4.7 Berechnungsskizze

2. Schritt: Teilfl#chen Ai und Abst#nde xi, yi (nachTab. 6):

A1 ¼ a ' b ¼ 10 cm ' 5 cm ¼ 50 cm2,

x1 ¼ a=2 ¼ ð10=2Þ cm ¼ 5 cm,

y1 ¼ b=2 ¼ ð5=2Þ cm ¼ 2,5 cm,

A2 ¼ h ' h=2 ¼ h2=2 ¼ ð32=2Þ cm2 ¼ 4,5 cm2,

x2 ¼ y2 ¼ h=3 ¼ ð3=3Þ cm ¼ 1 cm,

A3 ¼ R23 ' p ¼ ð1 cmÞ2 ' p ¼ 3,14 cm2,

x3 ¼ 2,5 cm, y3 ¼ 3 cm ðnach Bild 4:6Þ,A4 ¼ R2

4 ' p=2 ¼ ð2 cmÞ2 ' p=2 ¼ 6,28 cm2,

x4 ¼ 7 cm,

y4 ¼ cþ 0,424 R4 ¼ ð1,2þ 0,424 ' 2Þ cm ¼ 2,05 cm:

Diese Werte und die damit errechneten Fl#chenmo-mente Ai ' xi und Ai ' yi sowie deren Summen unddie Gesamtfl#che A ¼ SAi sind in nachfolgender Ta-belle zusammengestellt (A2, A3 und A4 als aus-gesparte Teilfl#chen mit negativem Vorzeichen):

3. Schritt: Nach den Gln. (4.7) und (4.8):

x0 ¼ SðAi ' xiÞA

¼ 193,69 cm3

36,08 cm2¼ 5,37 cm ¼ 53,7 mm,

y0 ¼ SðAi ' yiÞA

¼ 98,21 cm3

36,08 cm2¼ 2,72 cm ¼ 27,2 mm:

Beispiel 4.3Bild 4.8 zeigt die Querschnittsfl#che eines aus zweiWinkelprofilen EN 10056-1-50 & 50 & 6 und einemT-Profil EN 10055-T120 zusammengesetzten Tr#-gers. Der Schwerpunktabstand von der Unterkantedieser Querschnittsfl#che ist zu errechnen.L"sung:Gegeben: Nach Tab. 32: A1 ¼ 29,6 cm2, h ¼ 12 cm,

e1 ¼ 3,28 cm, Tab. 30: A2 ¼ 5,69 cm2,e2 ¼ 1,45 cm.

Gesucht: y0 in mm.

Bild 4.8 Querschnittsfl#che eines aus Profilen zu-sammengesetzten Tr#gers

1. Schritt: Die Tr#gerunterkante wird als x- und dieSymmetrielinie als y-Achse gew#hlt, Bild 4.8 istauch Berechnungsskizze.2. Schritt: Teilfl#chen A1 und A2 gegeben (s. o.), de-ren Schwerpunktabst#nde betragen:

y1 ¼ h( e1 ¼ ð12( 3,28Þ cm ¼ 8,72 cm,

y2 ¼ hþ e2 ¼ ð12þ 1,45Þ cm ¼ 13,45 cm:

3. Schritt: Nach Gl. (4.8)

y0 ¼ A1 ' y1 þ 2A2 ' y2A1 þ 2A2

¼ ð29,6 ' 8,72þ 2 ' 5,69 ' 13,45Þ cm2 ' cmð29,6þ 2 ' 5,69Þ cm2

¼ 10,03 cm ¼ 100,3 mm:

Da der Schwerpunkt auf der Symmetrielinie (y-Ach-se) liegt, ist x0 ¼ 0:

i Ai

cm2

xicm

Ai ' xicm3

yicm

Ai ' yicm3

1 50,00 5,0 250,00 2,5 125,002 (4,50 1,0 ( 4,50 1,0 ( 4,503 (3,14 2,5 ( 7,85 3,0 ( 9,424 (6,28 7,0 (43,96 2,05 (12,87

S 36,08 ( 193,69 ( 98,21

4 Schwerpunkt60

4.2.3 Linien

In gleicher Weise wie von Fl#chen l#sst sichauch von Linien ein Schwerpunkt bestimmen.Man denke sich den in Bild 4.9 dargestellten,aus den Teill#ngen l1, l2 und l3 zusammenge-setzten Linienzug als Mittellinie eines d!nnenDrahtes. Der Schwerpunkt des Drahtst!ckes istauch der Schwerpunkt seiner Mittellinie. Somitkann der Schwerpunkt eines aus Strecken undB"gen zusammengesetzten Linienzuges wie dervon einem d!nnen K"rper mit gleich bleiben-dem Querschnitt oder von einer schmalen Fl#chemit gleich bleibender Breite ermittelt werden.

Zur Lagebestimmung des GesamtschwerpunktesS0 eines ebenen zusammengesetzten Linien-zuges mit der L#nge l ¼ Sli, den Teill#ngen liund deren bekannten Schwerpunktabst#nden xiund yi von den Koordinatenachsen erh#lt manaus den Momentengleichungen l ' x0 ¼ Sðli ' xiÞund l ' y0 ¼ Sðli ' yiÞ dieSchwerpunktabst#nde

x0 ¼ Sðli # xiÞl

¼ l1 # x1 þ l2 # x2 þ . . .þ ln # xnl1 þ l2 þ . . .þ ln

ð4:9Þ

y0 ¼ Sðli # yiÞl

¼ l1 # y1 þ l2 # y2 þ . . .þ ln # ynl1 þ l2 þ . . .þ ln

ð4:10ÞDie Berechnungsformeln f!r die Schwerpunkt-abst#nde einiger einfacher Linien (Strecken,Streckenz!ge, B"gen) enth#lt Tab. 7. Das Koor-dinatensystem wird so gew#hlt, dass man mit

m"glichst wenig Linienmomenten li ' xi bzw.li ' yi auskommt. Die Schwerpunktabst#nde vonTeill#ngen im negativen Bereich der Koordina-tenachsen sind in die Gleichungen mit negati-vem Vorzeichen einzusetzen. Es kann sinn-gem#ß nach den f!r Fl#chen im Abschnitt 4.2.2angegebenen Arbeitsschritten vorgegangen wer-den.

Beispiel 4.4Das in Bild 4.10 dargestellte Blechteil soll in großerSt!ckzahl aus Blechstreifen herausgeschnitten wer-den. F!r die Werkzeugherstellung ist der Abstanddes Schwerpunktes der Schnittlinie (des Umrissesmit Kreis) vom Lochmittelpunkt zu errechnen.

Bild 4.10 Blechteil

L"sung:Gegeben: a ¼ 4 cm, b ¼ 2 cm, d ¼ 1 cm.Gesucht: y0 in mm.1. Schritt: Lochmittelpunkt als Koordinatenursprung,Symmetrielinien als y-Achse gew#hlt, s. Berech-nungsskizze Bild 4.11.

Bild 4.11 Berechnungs-skizze

2. Schritt: Teill#ngen li und Abst#nde yi (nachTab. 7):

l1 ¼ b ¼ 2 cm, y1 ¼ a( b=2 ¼ ð4( 1Þ cm ¼ 3 cm;

l2 ¼ l3 ¼ y1 ¼ 3 cm, y2 ¼ y3 ¼ y1=2 ¼ 1,5 cm;

l4 ¼ 2r4 ' p ¼ d ' p ¼ 1 cm ' p ¼ 3,14 cm, y4 ¼ 0,

l5 ¼ r5 ' p ¼ 0,5 b ' p ¼ 1 cm ' p ¼ 3,14 cm;

y5 ¼ 0,637 r5 ¼ 0,637 ' 1 cm ¼ 0,637 cm:

Diese Werte und die damit errechneten Linienmo-mente li ' yi sowie deren Summe und die Gesamt-l#nge der Schnittlinie l ¼ Sli sind in nachfolgender

Bild 4.9 Zur Bestimmung des Schwerpunktes S0 einesLinienzuges

4.2 Schwerpunktberechnung 61

Tabelle zusammengestellt (der Abstand y5 ist negativ,da er auf der negativen y-Achse liegt):

3. Schritt: Nach Gl. (4.10):

y0 ¼ Sðli ' yiÞl

¼ 13,0 cm2

14,28 cm¼ 0,91 cm ¼ 9,1 mm:

Beispiel 4.5In Bild 4.12 sind die Systemlinien eines Wand-schwenkkrans skizziert, dessen St#be aus Rohrengleichen Durchmessers und gleicher Wanddicke be-stehen. Welchen Abstand von der Drehachse hat derSchwerpunkt als Angriffspunkt der Eigengewichts-kraft?

Bild 4.12 Systemlinien einesWandschwenkkrans

L"sung:Gegeben: a ¼ 1 m, b ¼ 2 m, c ¼ 3 m.Gesucht: x0 in mm.Der Schwerpunkt des Kranes ist gleich dem Schwer-punkt der Systemlinien, da alle St#be gleichen Quer-schnitt haben.1. Schritt: Die Drehachse ist die y-Achse, die Stab-l#ngen ¼ Systemlinienl#ngen sind die Teill#ngen li:Die Abst#nde yi werden nicht ben"tigt, Berechnungs-skizze Bild 4.13.2. Schritt: Teill#ngen li und Abst#nde xi :l1 ¼ aþ c ¼ 4 m, x1 ¼ 0 (da S1 auf der y-Achse),

l2 ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffia2 þ c2

p¼

ffiffiffiffiffi10

pm ¼ 3,162 m,

x2 ¼ a=2 ¼ 0,5 m,

l3 ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffia2 þ a2

p¼

ffiffiffi2

pm ¼ 1,414 m,

x3 ¼ x2 ¼ 0,5,

l4 ¼ aþ b ¼ 3 m, x4 ¼ l4=2 ¼ 1,5 m,

Bild 4.13 Berechnungs-skizze

l5 ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffia2 þ b2

p¼

ffiffiffi5

pm ¼ 2,236 m,

x5 ¼ aþ b=2 ¼ 2 m:

Diese Werte und die Linienmomente li ' xi sowie de-ren Summen und die gesamte Systemlinienl#ngel ¼ Sli sind in nachfolgender Tabelle zusammen-gestellt:

3. Schritt: Nach Gl. (4.9):

x0 ¼ Sðli ' xiÞl

¼ 11,26 m2

13,812 m¼ 0,815 m ¼ 815 mm:

4.3 Gleichgewichtslagen,Standsicherheit

Wird ein entspr. Bild 4.14 beweglich gelagerterK"rper aus seiner Gleichgewichtslage gebracht,so wird sein Schwerpunkt angehoben und esentsteht ein r!ckstellendes Moment FG ' l, dasihn wieder in seine Ausgangslage zur!ckf!hrt.Man nennt diese Gleichgewichtslage sicher oderstabil. Wird dagegen ein wie in Bild 4.15 ge-lagerter K"rper durch einen Anstoß aus sei-ner Gleichgewichtslage gebracht, so wird derSchwerpunkt gesenkt, und es entsteht ein ab-lenkendes Moment FG ' l, das ihn beschleunigtund weiter von seiner Ausgangslage entfernt.Der K"rper befindet sich im unsicheren oderlabilen (instabilen) Gleichgewicht. Von unent-schiedenem oder indifferentem Gleichgewicht

i licm

yicm

li ' yicm2

1 2,00 3,00 6,002 3,00 1,50 4,503 3,00 1,50 4,504 3,14 0 05 3,14 (0,637 (2,00

S 14,28 ( 13,00

i lim

xim

li ' xim2

1 4,000 0 02 3,162 0,5 1,5813 1,414 0,5 0,7074 3,000 1,5 4,5005 2,236 2,0 4,472

S 13,812 ( 11,260

4 Schwerpunkt62

spricht man, wenn bei einer Lage#nderung derSchwerpunkt des K"rpers weder gehoben nochgesenkt wird und keine r!ckstellenden oder ab-lenkenden Momente auftreten (Bild 4.16).Freistehende K"rper k"nnen infolge Einwirkung#ußerer Kr#fte umkippen. Wenn Kippgefahr zuerwarten ist, muss die Standsicherheit errechnetwerden. Sie ist wie folgt definiert:

Die Standsicherheit, die stets gr"ßer alseins sein muss, ist das auf eine Kippkantebezogene Verh#ltnis der Summe der Stand-momente zur Summe der Kippmomente.

F!r den in Bild 4.17 dargestellten K"rper be-tr#gt die auf die Kippkante K bezogene

Summe der StandmomenteSMSt ¼ FG ' l þ F1 ' l1und die

Summe der KippmomenteSMKi ¼ F2 ' l2 þ F3 ' l3Ein K"rper steht sicher bei der

Standsicherheit SSt ¼ SMSt

SMKi>> 1 ð4:11Þ

In diesem Falle geht die Wirklinie der Resultie-renden aller am K"rper angreifenden Kr#fte(einschl. der Gewichtskraft) durch die Unter-st!tzungsfl#che, d. h. so an der Kippkante vorbei,dass das Moment Fr ' lr st!tzend (r!ckstellend)wirkt (Bild 4.18a). Ist SSt ¼ 1, befindet sichder K"rper gerade noch im Gleichgewicht(Bild 4.18b). Geht die Wirklinie von Fr so an der

Bild 4.14 Stabiles Gleichgewicht

Bild 4.15 Labiles Gleichgewicht

Bild 4.16 Indifferentes Gleichgewicht

Bild 4.17 Kippgef#hrdeterK"rper

Bild 4.18 Standsicherheit SSt eines K"rpersa) SSt > 1, b) SSt ¼ 1, c) SSt < 1

4.3 Gleichgewichtslagen, Standsicherheit 63

Kippkante vorbei, dass das resultierende Momentablenkend wirkt, dann ist SSt < 1 und der K"rperkippt (Bild 4.18c). Bei diesen Betrachtungen wirdvorausgesetzt, dass der K"rper nicht gleiten kann.Mitunter muss die Untersuchung auf Standsicher-heit f!r mehrere Kippkanten durchgef!hrt wer-den. F!r den Kranbau ist die Ermittlung derStandsicherheit in Normen (z. B. ISO 4304,ISO 4305 und ISO 12485) vorgeschrieben.

Beispiel 4.6F!r den in Bild 4.19 skizzierten Mobilkran sind diezul#ssigen Tragkr#fte bei den Auslegerstellungen I,II, III und einer Standsicherheit von 1,8 zu errech-nen. Die Gewichtskr#fte betragen f!r das Fahr-gestell 36,4 kN, den Aufbau 67,2 kN und den Aus-leger 7 kN.

Bild 4.19 Skizze zur Tragkraftermittlung f!r einenMobilkran

L"sung:Gegeben: SSt ¼ 1,8, FG1 ¼ 36,4 kN, FG2 ¼ 67,2 kN,

FG3 ¼ 7 kN, die L#ngen von A aus gemes-sen: l1 ¼ 1,25 m, l2 ¼ 2,1 m, l3I ¼ 0,5 m,l3II ¼ 1,5 m, l3III ¼ 3 m, LI ¼ 2 m,LII ¼ 4 m, LIII ¼ 6 m.

Gesucht: FI, FII, FIII.Bezogen auf den Kippkantenpunkt A (Bild 4.20) be-tr#gt bei allen Auslegerstellungen die Summe derStandmomente

Bild 4.20 Skizze zur Momentenberechnung

SMSt ¼ FG1 ' l1 þ FG2 ' l2¼ ð36,4 ' 1,25þ 67,2 ' 2,1Þ kN 'm ¼ 186,6 kNm

und die Summe der Kippmomente

SMKi ¼ Fi ' Li þ FG3 ' l3i:Beide in Gl. (4.11) eingesetzt:

SSt ¼ SMSt

Fi ' Li þ FG3 ' l3iergibt

Fi ' Li þ FG3 ' l3i ¼ SMSt

SSt¼ 186,6 kNm

1,8

¼ 103,7 kNm:

Daraus folgt mit i ¼ I, II und III die zul#ssige Trag-kraft f!r Stellung I:

FI ¼ SMSt=SSt ( FG3 ' l3ILI

¼ ð103,7( 7 ' 0,5Þ kNm2 m

¼ 50,1 kN,

f!r Stellung II:

FII ¼ SMSt=SSt ( FG3 ' l3IILII

¼ ð103,7( 7 ' 1,5Þ kNm4 m

¼ 23,3 kN,

f!r Stellung III:

FIII ¼ SMSt=SSt ( FG3 ' l3IIILII

¼ ð103,7( 7 ' 3Þ kNm6 m

¼ 13,78 kN:

PraxishinweisDie Lage des Schwerpunktes eines K"rpers ist immerdann zu ermitteln, wenn die Gewichtskraft von Bautei-len bei Berechnungen ber!cksichtigt werden muss. Inder Kinetik ist der K"rperschwerpunkt als Massenmit-telpunkt Angriffspunkt der Tr#gheitskraft sowie derFliehkraft. Der Fl#chenschwerpunkt wird f!r die Be-rechnung des Fl#chenmomentes 2. Grades in der Festig-keitslehre ben"tigt. Um eine gleichm#ßige Verteilungder Schnittkraft bei Schnittwerkzeugen zu erreichen,muss die Mittelachse des Einspannzapfens durch denSchwerpunkt der Schnittlinie gehen. Außerdem kannman in der Mathematik auf einfache Weise nach denGuldinschen Regeln mit dem Schwerpunktabstand vonder Drehachse die Volumen (mit dem Fl#chenschwer-punktabstand) und die Oberfl#chen (mit dem Linien-schwerpunktabstand) von Rotationsk"rpern errechnen.Standsicherheitsberechnungen sind z. B. f!r verschiede-ne Fahrzeugarten, f!r Krane und f!r Leitern erforder-lich.

Kontrollfragen:– Was versteht man unter dem Begriff Schwerpunkt?– Wie wird die Lage des Schwerpunktes von K"rpern,

von Fl#chen und von Linien ermittelt?– Wie ist die Standsicherheit definiert?

4 Schwerpunkt64

Sachwortverzeichnis

Abklingkoeffizient 184Abklingkonstante 184Abklingzeit 184Abscheren 229Absolutbeschleunigung 117–118Absolutdruck 307absolute Bewegung 115absolute Rauigkeit 336Absolutgeschwindigkeit 116Abszisse 14Addition, geometrische 270Addition, vektorielle 22, 119, 270Adh#sion 333Aggregatzustand 11&hnlichkeitsmechanik 336aktive Schwingungsentst"rung 199allgemeine Bewegung 90allgemeine Wurfbewegung 112Amplitude 171Amplitude, ertragbare 291Amplitudenfrequenzgang 190Amplitudenverh#ltnis 186Anfangsphasenwinkel 171Anstrengungsverh#ltnis 271Antriebsmoment 78Anwendungsfaktor 215Anzahl der Uml#ufe 99Anziehmoment 79aperiodische Bewegung 184aperiodischer Grenzfall 185Ar#ometer 314Arbeit 129, 156Arbeit, mechanische 129Arbeit, spezifische 319Arbeitsdiagramm 129Arbeitssatz 133Arbeitsverm"gen 132Archimedisches Prinzip 312a,t-Diagramm 94Atmosph#rendruck 307atmosph#rische Druckdifferenz 307#ußere Kr#fte 18Aufdruckkraft 311Auflager 18Auflagerkr#fte 18Auftrieb 312Ausfluss aus offenen Beh#ltern 322Ausfluss durch Fallrohre 326Ausflussgeschwindigkeit 322Ausflussgeschwindigkeit, effektive 324Ausflussgesetz 322Ausflusszahl 324Auslenkung 170Ausschlag der Vergleichsspannung 287Aussetzbetrieb 214autonome Schwingungen 168axiales Fl#chenmoment 2. Grades 234, 237axiales Widerstandsmoment 234, 238Axialkraft 250Axiallager 81Axiom 18, 22, 120, 121

Bahn 90Bahnkurve 110Bahnlinie 317Bandbremsen 85bar 301Basiseinheiten 12Bauteile, biegebeanspruchte 252, 284Bauteile, torsionsbeanspruchte 286Bauteile, zugbeanspruchte 282Bauteile, zusammengesetzt beanspruchte 287Bauteil-Fließgrenze 291Bauteil-Wechselfestigkeit 291Bauteilfestigkeit 277Beanspruchung 202Beanspruchung, dynamische 214Beanspruchung, ruhende 213, 215Beanspruchung, schwellende 213Beanspruchung, schwingende 214, 216Beanspruchung, statische 213Beanspruchung, wechselnde 214Beanspruchung, zusammengesetzte 208, 269Beanspruchungsarten 207Befestigungsgewinde 78Beharrungsverm"gen 120Belastung 202Berechnung auf Gestaltfestigkeit 281Bernoullische Gleichung 317–318, 337Bernoullische Konstante 319Bernoullisches Gesetz 319Beschleunigung 93Beschleunigung, konstante 94Beschleunigung, negative 93Beschleunigungsarbeit 131Beschleunigungskraft 121Bestimmung einer Kraft 16Betrag 12Betriebsart 214Betriebsfaktor 215Betriebsfestigkeit 278Betriebsfestigkeitsberechnung 219Beulen 295Bewegung, absolute 115Bewegung, allgemeine 90Bewegung, aperiodische 184Bewegung, geradlinige 90Bewegung, gleichf"rmige 90Bewegung, gleichm#ßig beschleunigte 93Bewegung, gleichm#ßig verz"gerte 95Bewegung, quasiperiodische 185Bewegung, r#umliche 90Bewegung, relative 115Bewegung, resultierende 107Bewegung, ungleichf"rmige 90, 92Bewegung, zusammengesetzte 90, 107Bewegungsarten 90Bewegungsgewinde 77Bewegungsgleichung 170Bewegungsgleichung, linearisierte 177bezogenes Spannungsgef#lle 280, 287Bezugsradius 296biegebeanspruchte Bauteile 252, 284

Biegebeanspruchung 207, 233Biegedruckspannung 235Biegefestigkeit 215Biegegrenze 215biegekritische Drehzahl 196Biegelinie 259Biegemoment 204, 234, 241Biegemomentenfl#che 241Biegemomentenlinie 250Biegeschwellfestigkeit 217Biegeschwingungen 174Biegespannung 233–234Biegesteifigkeit 259Biegewechselfestigkeit 217Biegezugspannung 235Biegung mit Druck 271Biegung, reine 235Biegung, schiefe 235Biegung mit Verdrehung 274Biegung mit Zug 271Bodendruckkraft 308Bremsen 79Bremsmoment 80Bruchhypothesen 270Bruch-Scherkraft 232

Coriolisbeschleunigung 117–118Coulombsches Reibungsgesetz 66Cremonaplan 55

Dampfdruck 326D#mpfung 183D#mpfung, schwache 185D#mpfung, starke 184D#mpfungsarten 183D#mpfungsgrad 184D#mpfungskoeffizient 184D#mpfungskraft 183–184Dauerbetrieb 214Dauerbruch 278Dauerfestigkeit 216, 278Dauerfestigkeitsnachweis 290Dauerfestigkeitsschaubild 216Dauerschwingversuch 216Dauerstandfestigkeit 2150,2-%-Dehngrenze 211Dehnung 209Dekrement, logarithmisches 186deterministische Schwingungen 167Dichte 121, 314Dichtebestimmung 313Diffusor 321Dimension 12DIN-Normen 342Drallsatz 155Drehbewegung 99Drehbewegung, gleichm#ßig beschleunigte 102Drehbewegung, ungleichf"rmige 101Drehimpuls 155Drehimpulserhaltungssatz 156Drehmoment 34, 156, 161Drehmoment, !bertragbares 81Drehschwinger 191Drehschwingung 180Drehsinn eines Moments 33

Drehstoß 155Drehwinkel 100, 102Drehzahl 99Drehzahl, biegekritische 196Drehzahlen, kritische 196Drehzahl, verdrehkritische 198Drillbiegung 250Drillfl#chenmoment 2. Grades 267Drillwiderstandsmoment 267Druck 301Druck, dynamischer 320Druck, hydrostatischer 306Druck, piezometrischer 319Druck, statischer 320Druckausbreitungsgesetz 302Druckbeanspruchung 207Druckdifferenz, atmosph#rische 307Druckeinheit 302Druckenergie 318Druckfestigkeit 211, 215Druckkraft 304Druckmittelpunkt 310Druckschwellfestigkeit 217Druckspannung 220Druckwandler 304Durchbiegung 259–260, 262Durchflusskoeffizient 322D!se 321Dynamik 11dynamische Beanspruchung 214dynamisches Gleichgewicht 125dynamische St!tzziffer 280dynamische Viskosit#t 333dynamischer Druck 320

Ebene, schiefe 71effektive Ausflussgeschwindigkeit 324effektive Str"mungsgeschwindigkeit 322Effektivspannung 209Eigenkreisfrequenz 170, 173Eigenschwingung 170Einflussfaktoren 290Einheit 11–12Einheit der Kraft 15Einheitengesetz 12, 121Einscheibendrehschwinger 180Einschwingzeit 189Einspannungen 19–20Einzelkraft 17elastische Knickung 296elastische Linie 259elastische Schwinger 172elastischer Stoß 142Elastizit#tsgrenze 210Elastizit#tsmodul 210Energie 132, 157Energie, kinetische 133Energie, piezometrische 319Energie, potenzielle 133Energie, spezifische 319Energiebilanz 135Energieerhaltungssatz 135Energieflussdiagramm 135Energieformen 133Energiegleichung 135, 318

Sachwortverzeichnis 345

Energieverluste in Rohrleitungsanlagen 337Entst"rung 198Entwurfsberechnung 219Erdanziehungskraft 15Erm!dungsbruch 289Erregeramplitude 189Erregerfunktion 189, 191, 195Erregerkreisfrequenz 189ertragbare Amplitude 291erzwungene Schwingungen 168, 188Euler-Hyperbel 298Eulersche Gleichungen 296Eytelweinsche Gleichung 85

Fachwerke 52Fadenpendel 177Fahrbedingung 89Fahrwiderstand 89Fahrwiderstandszahl 89Fall, freier 97Fallbeschleunigung 17, 97, 121Fallgeschwindigkeit 97Faser, neutrale 233Feder-Masse-Schwinger 169, 176Federkonstante 132Federkrafterregung 188–189Federrate 132, 170, 175Federschaltungen 173Festigkeit 202Festigkeitsberechnung 219Festigkeitsgrenze 202Festigkeitshypothesen 269–270Festigkeitslehre 11, 202Festigkeitsnachweis 218Festigkeitsnachweis, statischer 291Festigkeitsverh#ltnis 271Festlager 19–20FKM-Richtlinie 219, 281Fl#chenkr#fte 17Fl#chenmoment 235Fl#chenmoment 1. Grades 59, 235Fl#chenmoment 2. Grades 234, 236Fl#chenmoment 2. Grades, axiales 234, 237Fl#chenpressung 207, 225Fl#chenpressung, mittlere 227Flachf!hrung 74Flachgewinde 76Flachriementriebe 86Flankendurchmesser 76Flankenwinkel 77Flaschenzug 83Fließgrenze 210Fliehkraft 163Fliehzugspannung 223Fl!ssigkeit, ideale 302Fl!ssigkeit, reale 302Fl!ssigkeitsreibung 65Form#nderungsarbeit 132, 145, 212, 263, 268Formzahl 278freie ged#mpfte Schwingungen 183freie Schwingungen 168freier Fall 97Freiheitsgrad 20Freiheitsgrade 169Freimachen 18

Freischneiden 18, 203Freitr#ger 242fremderregte Schwingung 168Fremderregung 188Frequenz 99F!hrungsbewegung 115F!hrungsgeschwindigkeit 116F!llst#be 52

ged#mpfte Schwingung 168gef#hrdete Querschnitte 219Gef#ße, kommunizierende 306geometrische Addition 270geometrischer Gr"ßeneinflussfaktor 290geradlinige Bewegung 90Gesamteinflussfaktor 291Gesamtfederrate 173Gesamt!bersetzung 106Gesamtwirkungsgrad 139Geschwindigkeit 91Geschwindigkeit, mittlere 93–94Geschwindigkeit, resultierende 108Geschwindigkeits#nderung 93Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 94geschwindigkeitsproportional ged#mpfte Schwingungen184

Geschwindigkeitszahl 324Gesetz von Hagen-Poiseuille 335Gesetz von Stokes 335Gestalt-Ausschlagsfestigkeit 282, 284, 286Gestalt-Wechselfestigkeit 281Gestaltfestigkeit 218, 278, 290Gestaltfestigkeitsnachweis 282Gestaltfestigkeitsschaubild 281Gewicht, spezifisches 128Gewichtskraft 15–16, 22, 57, 121Gewinde 76Gewinde, metrisches 78Gewindearten 77Gewindereibungswinkel 77Gewindereibungszahl 77, 79Gleichdruckturbine 331gleichf"rmige Bewegung 90Gleichgewicht, dynamisches 125Gleichgewicht, indifferentes 63Gleichgewicht, labiles 63Gleichgewicht, stabiles 63Gleichgewichtsbedingung 25, 30, 37, 42, 45, 47Gleichgewichtskraft 24, 28, 31Gleichgewichtslagen 62, 314Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen 212gleichm#ßig beschleunigte Bewegung 93gleichm#ßig beschleunigte Drehbewegung 102gleichm#ßig verz"gerte Bewegung 95Gleitmodul 211Gleitreibung 65, 67Gleitreibungskraft 66Gleitreibungsmoment 81Gleitreibungswinkel 68Gleitreibungszahl 66Gravitationskraft 121Grenzfall, aperiodischer 185Grenz-Schwingspielzahl 216Grenzschlankheitsgrad 296Grenzspannungen 202

Sachwortverzeichnis346

Gr"ße 11, 13Gr"ßen, physikalische 11Gr"ßenbeiwert 279Gr"ßeneinfluss 279Gr"ßeneinflussfaktor, geometrischer 290Gr"ßeneinflussfaktor, technologischer 290Gr"ßengleichungen 12Gr"ßenwert 11Grundbeanspruchungsarten 207Grundgesetz der Dynamik 121, 125, 127, 148Guldinsche Regeln 64Gurtf"rderer 87

Haftreibung 65Haftreibungskraft 66Haftreibungsmoment 81Haftreibungswinkel 68Haftreibungszahl 66Haftsicherheit 69Haltemoment 81Hangabtriebskomponente 123harmonische Schwingung 167, 169, 171Hauptlasten 214Hebelarm der Rollreibung 87Hektopascal 302Hertz 172Hertzsche Gleichung 228Hertzsche Pressung 228heteronome Schwingungen 168H"he, metazentrische 315Hookesche Gerade 210Hookesches Gesetz 210Hubarbeit 131Hydraulik 301hydraulisch glattes Verhalten 338hydraulisch raues Verhalten 338Hydrodynamik 301, 316, 332Hydromechanik 11, 301Hydrostatik 301hydrostatische Waage 313hydrostatischer Druck 306hydrostatisches Paradoxon 309Hypothese der gr"ßten Gestalt#nderungsenergie 271Hypothese der gr"ßten Normalspannung 271Hypothese der gr"ßten Schubspannung 271

ideale Fl!ssigkeit 302Impuls 127Impuls#nderung 127Impulserhaltungssatz 128Impulsmoment 155Impulssatz 127Impulsstrom 327indifferentes Gleichgewicht 63Inertialsysteme 120inkompressibel 302innere Reibung 66, 301, 332instation#re Str"mung 317ISO 213Iteration 340

Joule 129, 132

Kalorie 141Kaltverfestigung 282

Kavitation 326Keilreibungszahl 74Kelvin 12Kennkreisfrequenz 184Kerbempfindlichkeit 278Kerbradius 278Kerbspannung 278Kerbtiefe 278Kerbwirkung 277Kerbwirkungszahl 279–280, 290Ketten 18Kilogramm 12Kilopond 128Kinematik 11, 90kinematische Viskosit#t 333Kinetik 11, 120kinetische Energie 133Kippen 295Knickf#lle 296Knickkraft 295–296Knickl#nge 296Knickspannung 295–296, 298Knickung 295Knickung, elastische 296Knickung, unelastische 298Knickzahl 299Knoten 52Knotenpunkte 52Koh#sionskraft 202kommunizierende Gef#ße 306Komponenten 22, 29, 44Kompressionsmodul 301konstante Beschleunigung 94Kontinuit#tsgesetz 318Kontinuit#tsgleichung 317–318Kontraktionszahl 324Koordinatenachsen 14Koordinatensysteme 14Koppelschwingungen 169K"rperpendel 178Kraft 15–16Kraft, resultierende 22Kr#fte, #ußere 18Kr#fte, innere 202Krafteck 23Kr#ftegleichgewicht 15Krafteinheit 16Kr#ftepaar 34Kr#fteparallelogramm 22Kr#fteplan 25Kr#ftepolygon 26Krafterregung 188, 191Kr#ftesystem, inneres 203Kr#ftesystem, zentrales 22Kr#ftesysteme, r#umliche 44Kr#ftezug 23Kraftfluss 277Kraftlinien 278Kraftmoment 33Kranbau 214Kreisbewegung 90, 99Kreisfrequenz 170Kriechen 215kritische Drehzahlen 196kritische Reynolds-Zahl 336

Sachwortverzeichnis 347

Kr!mmung 259Kupplungsmoment 79

labile Schwimmlage 314labiles Gleichgewicht 63Lageplan 25Lager 81Lagerreibungsmoment 81Lagerreibungszahl 81Lagerungsarten 18laminare Rohrstr"mung 334L#ngskraft 241L#ngskraftfl#che 241Last 22Lastfall 213–214Lastspiel 214Lastspielzahl 216Leibungsspannung 227Leistung 137Leistung einer Kraft 137Leistung eines Drehmoments 161lineare Schwingung 169linearisierte Bewegungsgleichung 177Linie, elastische 259logarithmisches Dekrement 186Longitudinalschwingungen 169lose Rolle 83Loslager 19–20l,Re-Diagramm 338Luftdruck 307

Maßstabfaktor 13Manometer 306Masse 120Masse, reduzierte 154Masse, schwere 121Masse, tr#ge 121Massenkraft 125Massenkrafterregung 188, 192, 196Massenmittelpunkt 58Massenmoment 2. Grades 149Massenpunkt 90, 128Massenstrom 318Massentr#gheitsmoment 149mathematisches Pendel 176Mechanik 11mechanische Arbeit 129mechanische Schwingungen 11metazentrische H"he 315Metazentrum 315metrisches Gewinde 78Mikrorissbildung 278Mindestschlankheitsgrad 296Mischreibung 65Mittelspannung 214, 216Mittelspannungsfaktor 290–291mittlere Fl#chenpressung 227mittlere Geschwindigkeit 93–94Modul 105Moment 34–35Moment, statisches 33Moment der Tr#gheitskr#fte 150Moment einer Kraft 33Momentanbeschleunigung 93, 115Momentangeschwindigkeit 93

Momentenanschluss 231Momentenmaßstab 248Momentensatz 34

negative Beschleunigung 93Neigungswinkel 260, 262Nennkraft 215Nennmoment 215Nennspannung 209neutrale Faser 233Newton 15, 121Newtonmeter 33Newtonsche Fl!ssigkeit 333Nicht-Newtonsche Fl!ssigkeit 333nichtkreisf"rmige Querschnitte 267nichtlineare Schwingung 169, 177nichtperiodische Schwingung 168Nietverbindung 231Norm-Fallbeschleunigung 97Normalbeschleunigung 114Normalkraft 204Normalkr#fte 19Normalspannung 206Nullebene 233Nulllinienverschiebung 272Nullstab 52Nutzarbeit 139Nutzleistung 139

Oberfl#chenbeiwert 278Obergurt 52Oberspannung 214, 216Omega-Verfahren 299Ordinate 14w,t-Diagramm 100

Paradoxon, hydrostatisches 309Parallelf!hrungen 19Parallelschaltung 173Parallelverschieben einer Kraft 35parametererregte Schwingungen 168Pascal 202, 301Pascalsche Waage 308passive Schwingungsentst"rung 200Peltonturbine 331Pendel, mathematisches 176Pendel, physisches 178Pendell#nge, reduzierte 178Pendelschwingungen 176Pendelst!tzen 19Periodendauer 99, 167, 173, 185periodische Schwingungen 167Phasenfrequenzgang 191Phasenwinkel 171physikalische Gr"ßen 11physisches Pendel 178piezometrische Energie 319piezometrischer Druck 319Pitotrohr 320plastischer Stoß 144Poissonsche Zahl 209polares Fl#chenmoment 2. Grades 236, 265polares Widerstandsmoment 238, 266positive Schnittgr"ßen 241potenzielle Energie 133

Sachwortverzeichnis348

Prandtlsches Staurohr 321Prinzip von d’Alembert 125, 150Prismenf!hrung 74Proportionalit#tsgrenze 210

Quadranten 14quasiperiodische Bewegung 185Querdehnung 209Querkraft 204, 241Querkraftfl#che 241Querschnitte, gef#hrdete 219Querschnitte, nichtkreisf"rmige 267Querschnittsformzahl 215Quetschgrenze 211, 215

Radialbeschleunigung 102, 114Radiallager 81Radiant 100Randfaser 233Rauheitsfaktor 290Rauigkeit, absolute 336Rauigkeit, relative 336r#umliche Bewegung 90r#umliche Kr#ftesysteme 44Reaktionsgesetz 17Reaktionskraft 17reale Fl!ssigkeit 302reduzierte Masse 154reduzierte Pendell#nge 178reduziertes Tr#gheitsmoment 159–160Reißl#nge 222Reibradgetriebe 105Reibradius 80Reibung 65Reibung, innere 66, 301, 332Reibungsarbeit 130Reibungsarten 65Reibungsgesetz 66Reibungsgesperre 80Reibungskegel 69Reibungskraft 65–67Reibungskupplungen 79Reibungsmoment 78Reibungswiderstand 65Reibungswinkel 68Reibungszahl 66Reibungszust#nde 65Reihenschaltung 173reine Biegung 235Reißl#nge 222relative Bewegung 115relative Rauigkeit 336Relativgeschwindigkeit 116Resonanz 190, 196Resonanz!berh"hung 190resultierende 17, 28, 30, 36, 45resultierende Bewegung 107resultierende Geschwindigkeit 108resultierende Kraft 22Reynolds-Zahl 334, 336Reynolds-Zahl, kritische 336Richtlinien 342Richtungswinkel 28, 30–31, 45Riementrieb 105Rittersches Schnittverfahren 53

Rohrleitungsanlage 338Rohrreibungszahl 337Rohrstr"mung, laminare 334Rohrstr"mung, turbulente 335, 338Rollbedingung 88Rolle, lose 83Rollen 82Rollenz!ge 82Rollgeschwindigkeit 101Rollk"rper 19Rollkraft 88Rollreibung 65, 87Rollreibungsmoment 88Rollreibungszahl 88Rollvorgang 87Rollwiderstand 87–88Rotation 90, 148Rotationsenergie 133, 157R!ckstoßkraft 329Ruhegrad 214, 217, 281ruhende Beanspruchung 213, 215Ruhereibung 65

Sankey-Diagramm 135Satz von der Unabh#ngigkeit der Bewegungen 109Satz von Steiner 152, 237Schaltbares Drehmoment 81Schaufelkraft 332Scheitelwert 171Scherbeanspruchung 208Scherfestigkeit 216Scherspannung 230Schichtstr"mung 334Schiebung 211schiefe Biegung 235schiefe Ebene 71Schlankheitsgrad 295Schlusslinienverfahren 42Schneidevorg#nge 232Schnittgr"ßen 241Schnittgr"ßen, positive 241Schnittkr#fte 203Schnittlasten 203Schnittmoment 203Schrumpfspannung 224Schubbeanspruchung 208Schubspannung 256Schubwinkel 211schwache D#mpfung 185schwellende Beanspruchung 213schwere Masse 121Schwerebenen 57Schweredruck 306Schwerkraft 57, 121Schwerlinien 57Schwerpunkt 57Schwerpunktabst#nde 58–59, 61Schwerpunktbestimmung 57Schwimmachse 315Schwimmbedingung 312Schwimmfl#che 315Schwimmlage, labile 314Schwingbeschleunigung 171schwingende Beanspruchung 214, 216Schwinger, elastische 172

Sachwortverzeichnis 349

Schwinggeschwindigkeit 171Schwingspiel 214Schwingspielzahl 216Schwingung, fremderregte 168Schwingung, ged#mpfte 168Schwingung, harmonische 167, 169, 171Schwingung, lineare 169Schwingung, nichtlineare 169, 177Schwingung, nichtperiodische 168Schwingung, unged#mpfte 168Schwingungen 167Schwingungen, autonome 168Schwingungen, deterministische 167Schwingungen, erzwungene 168, 188Schwingungen, freie 168Schwingungen, freie ged#mpfte 183Schwingungen, geschwindigkeitsproportional ged#mpfte184

Schwingungen, heteronome 168Schwingungen, mechanische 11Schwingungen, parametererregte 168Schwingungen, periodische 167Schwingungen, selbsterregte 168Schwingungen, stochastische 168Schwingungsentst"rung, aktive 199Schwingungsisolierung 198Schwingungslehre 11Seile 18Seileckverfahren 40Seilreibung 66, 84Seilreibungsgleichung 85Seilreibungskraft 85Seitendruckkraft 309selbsterregte Schwingungen 168Selbsthemmung 69, 76, 123senkrechter Wurf 97Senkwaage 314SI-Einheiten 12Sicherheit 217Sicherheit gegen Bruch 218Sicherheit gegen Dauerbruch 218, 282, 290Sicherheit gegen Fließen 218, 282, 291Sicherheit gegen Knicken 295Sicherheitsnachweis 221, 252Skalar 16, 129Sonderlasten 214Spannung 202Spannung, zul#ssige 218Spannungs-Dehnungs-Diagramm 209Spannungsausschlag 214, 216Spannungsgef#lle 279Spannungsgef#lle, bezogenes 280, 287Spannungsgeh#use 206Spannungsnachweis 219Spannungsverh#ltnis 214Spannungszustand 270spezifische Arbeit 319spezifische Energie 319spezifische Verlustarbeit 337–338spezifisches Gewicht 128Stabdreieck 52stabiles Gleichgewicht 63Stabilit#t beim Schwimmen 314Stabilit#tsbedingung 315Stabilit#tskontrolle 219

Stabilit#tsproblem 295Stabkr#fte 52Stabkraftermittlung 53–54Standsicherheit 63starke D#mpfung 184Statik 11station#re Str"mung 317statische Beanspruchung 213statischer Druck 320statischer Festigkeitsnachweis 291statisches Moment 33Stauchung 209Staudruck 320Staupunkt 320stochastische Schwingungen 168s,t-Diagramm 91Stoß 141Stoß, elastischer 142Stoß, plastischer 144Stoß, wirklicher 146Stoßfaktor 215Stoßkr#fte in Freistrahlturbinen 331Stoßnormale 141Stoßzahl 146Strahlstoßkraft 330Streckenkraft 17, 241Streckgrenze 215Stromfaden 317Stromlinie 317Stromr"hre 317Str"mung, instation#re 317Str"mung, station#re 317Str"mungsgeschwindigkeit 317Str"mungsgeschwindigkeit, effektive 322Str"mungsgeschwindigkeit, theoretische 321Str"mungskr#fte 327Str"mungsmessung 320St!tzkr#fte 17St!tzlager 78St!tztr#ger 245St!tzwirkung 215, 278St!tzziffer, dynamische 280Superpositionsprinzip 109, 111, 116, 270Systemlinien 52

Tangentialbeschleunigung 101–102Tangentialgeschwindigkeit 99Tangentialkraft 148Tangentialspannung 206technologischer Gr"ßeneinflussfaktor 290Tetmajer-Gerade 298theoretische Str"mungsgeschwindigkeit 321Torr 307Torsion 264Torsions-Fl#chenmoment 2. Grades 265torsionsbeanspruchte Bauteile 286Torsionsfestigkeit 215Torsionsgrenze 215Torsionsmoment 204, 264Torsionsmomentenlinie 264Torsionsschwingungen 180Torsionsspannung 265–267Torsionssteifigkeit 268Torsionswechselfestigkeit 217tr#ge Masse 121

Sachwortverzeichnis350

Tr#ger gleicher Biegebeanspruchung 255Tragf#higkeitsberechnung 219Tragf#higkeitsberechnung von Wellen 289Tr#gheit 120Tr#gheitsaxiom 120Tr#gheitsgesetz 120, 125Tr#gheitskraft 125Tr#gheitsmoment 149, 151, 180Tr#gheitsmoment, reduziertes 159–160Tr#gheitsradius 154, 296Tragl#nge 222Translation 90, 120Translationsenergie 133Transversalschwingungen 169Trapezgewinde 77Trockenreibung 65turbulente Rohrstr"mung 335, 338

$berdruck 307$berh"hungsfaktor 190, 193$bersetzung 104–105$bersetzung ins Langsame 105$bersetzung ins Schnelle 105!bertragbares Drehmoment 81Umfahrungssinn 24Umfangsgeschwindigkeit 99Umfangskraft 148Umfangsleistung 332Umlaufzahl 99Unabh#ngigkeit der Bewegungen 109unelastische Knickung 298unged#mpfte Schwingung 168ungleichf"rmige Bewegung 90, 92ungleichf"rmige Drehbewegung 101Unterdruck 307Untergurt 52Unterspannung 214, 216Unwucht 163, 193Unwuchterregung 188, 192

Vektor 16, 35, 206Vektorgleichung 22vektorielle Addition 22, 119, 270Venturirohr 321Verdrehbeanspruchung 208verdrehkritische Drehzahl 198Verdrehwinkel 268Verfestigungsfaktor 290Verformungskontrolle 219Vergleichsmittelspannung 291Vergleichsmoment 274Vergleichsoberspannung 274Vergleichsspannung 270–271, 274Vergleichsspannungsprinzip 270Vergr"ßerungsfaktor 190, 193Verhalten, hydraulisch glattes 338Verhalten, hydraulisch raues 338Verl#ngerung 209Verlustarbeit, spezifische 337–338Verlustenergie 147Verlustleistung 337Verlustzahl 338Versatzmoment 35Verschiebesatz 17

Verz"gerung 93, 95Viskosimeter 334Viskosit#t 301, 333Viskosit#t, dynamische 333Viskosit#t, kinematische 333Viskosit#tsmessung 334Volumen bestimmen 313Volumenelastizit#t 302Volumenkr#fte 17Volumenstrom 318, 324Vorspannkraft 79Vorzeichen der Schnittgr"ßen 241v,t-Diagramm 91

Waage, hydrostatische 313waagerechter Wurf 110Walzenpressung 228W#lzpaarung 229W#lzreibung 66Wanddicke 304–305W#rmebehandlung 282W#rmedehnung 224W#rmespannung 224Warmstreckgrenze 215Watt 138Wechselfestigkeit 217wechselnde Beanspruchung 214Wechselwirkungsgesetz 17Weg 90Weg-Zeit-Gesetz 91Wegerregung 188Werkstoffermittlung 219Werkstofffestigkeiten 215Werkstoffkennwerte 215Wichte 128Widerstandsmoment 235Widerstandsmoment, axiales 234, 238Widerstandsmoment, polares 238, 266Widerstandsmoment gegen Biegung 234Widerstandsmoment gegen Torsion 266Widerstandszahl 338Winkelbeschleunigung 102Winkelfrequenz 170Winkelgeschwindigkeit 100Winkelverz"gerung 103Wirbelstr"mung 334Wirkabstand 33wirklicher Stoß 146Wirklinie 16Wirkungsgrad 78, 82–83, 139, 161Wirkungsgrad beim Rammen 145Wirkungsgrad beim Schmieden 145W"hlerkurve 216Wurf 97, 110Wurf, senkrechter 97Wurf, waagerechter 110Wurfbewegung, allgemeine 112Wurfh"he 112Wurfparabel 110, 112Wurfweite 110

Z#higkeit 301, 333Zahlenwert 11Zahlenwertgleichung 14Zahnradgetriebe 105

Sachwortverzeichnis 351

Zeitfestigkeit 216Zeitkonstante 184zentrales Kr#ftesystem 22Zentrifugalkraft 163Zentripetalbeschleunigung 114Zentripetalkraft 163Zerreißgrenze 210zugbeanspruchte Bauteile 282Zugbeanspruchung 207Zugfestigkeit 215

Zugschwellfestigkeit 217Zugspannung 220zul#ssige Spannung 218zusammengesetzt beanspruchte Bauteile 287zusammengesetzte Beanspruchung 208, 269zusammengesetzte Bewegung 90, 107Zusatzlasten 214Zweigelenkstab 19, 52Zweischeibendrehschwinger 182Zylinderf!hrung 75

Sachwortverzeichnis352