MESSUNSICHERHEITEN in der Praxis - imet.tu-clausthal.de · 1 Einführung Warum das Thema Messunsicherheit eine Rolle spielt, welche Widersprüchlichkeiten in der Praxis auftauchen,

NTB INTERSTAATLICHE HOCHSCHULE FÜR TECHNIK BUCHS

MESSUNSICHERHEITEN in der Praxis

Ein Weg zum vollständigen Messergebnis

Grundsatz der Messtechnik

"Alles was messbar ist, messen, und was nicht messbar ist, messbar machen"; Galileo Galilei (1564-1642) setzte dieses Motto an den Beginn zum

technisch naturwissenschaftlichen Zeitalter.

10.00 V ± 0.01V geschätzter Überdeckungsbereich 95%

Wie genau kann die Spannung 10V DC heute gemessen werden?

1% 1‰ 10-4 10-5 1ppm 1ppb 10-13

Vergleich-Zeit: Cs-Atomuhr Stabilität für NMI’s untereinander

Josephson Reproduzier-barkeit für NMI’s

Abs. KJ SI-Ein-heiten4 10-7

NMI Nat. Mess. Inst.; Reproduzier-barkeit für Kunden METAS

Multimeter Kalibrier- Messunsicher- heit ab Werk Bspl. Hit 26M

Multimeter Garantiefehler Bspl. Eigenabweich. Hit 18S 0.8‰

Franz Baumgartner / www.ntb.ch/sensor/wtm 2006-03-27 Messunsicherheit / SS 2006 /Seite1

Inhaltsverzeichnis 1 EINFÜHRUNG

1.1 PRAKTISCHES BEISPIEL 1.2 HISTORIE DER MESSUNSICHERHEIT 1.3 WELTWIRTSCHAFT UND DIE MESSUNSICHERHEIT 1.4 URSACHEN DER MESSUNSICHERHEIT

2 BERECHNUNG DER MESSUNSICHERHEIT NACH GUM: BASICS 3 VERTEILUNGEN VON MESSWERTEN

3.1 GRUNDLAGEN: STATISTIK 3.2 VERTEILUNG VON KENNGRÖSSEN IN DER SERIENFERTIGUNG 3.3 TYPISCHE VERTEILUNGEN / CHARAKTERISTIKA VON STÖRGRÖSSEN

4 FORTPFLANZUNG VON UNSICHERHEITSBEITRÄGEN 4.1 FORTPFLANZUNGSGESETZ FÜR WAHRSCHEINLICHE UNSICHERHEITEN/VERTEILUNGEN 4.2 PRAKTISCHES EINBEZIEHEN VERSCHIEDENER VERTEILUNGEN NACH GUM

5 KALIBRIEREN ELEKTRISCHER GRÖSSEN - RÜCKVERFOLGBARKEIT 5.1 GRUNDLAGEN DER KALIBRIERUNG 5.2 KALIBRIEREN VON MULTIMETER 5.3 KOSTEN UND NUTZEN DER KALIBRIERUNG 5.4 KALIBRIEREN DYNAMISCHER/TRANSIENTER GRÖSSEN

6 EINHEITEN, NORMALE ELEKTRISCHER GRÖSSEN 6.1 HISTORIE DES EINHEITENSYSTEMS ELEKTRISCHER GRÖSSEN 6.2 DAS SI EINHEITEN SYSTEM 6.3 NORMALE ELEKTRISCHER GRÖSSEN

7 REFERENZEN 7.1 BEGRIFFE, GLOSSAR 7.2 LEHRBÜCHER 7.3 NORMEN, RICHTLINIEN 7.4 LITERATUR, ZEITSCHRIFTEN 7.5 LINKS

8 BEISPIEL, ÜBUNGEN 8.1 KAPITEL 1 8.2 KAPITEL 2 8.3 KAPITEL 3 8.4 KAPITEL 4 8.5 KAPITEL 5 8.6 KAPITEL 6

____________________________________________________________________________________________ Definition: Unsicherheit eines Messergebnisses oder Messunsicherheit Das Internationale Wörterbuch der Metrologie2 1 definiert Messunsicherheit als einen Kennwert, der den Bereich der Werte charakterisiert, die der Messgrösse durch die durchgeführte Messung vernünftigerweise zugeschrieben werden können. Die nach einem einheitlichen Verfahren berechnete und in einer bestimmten Weise mitgeteilte Messunsicherheit drückt so die Stärke des Vertrauens aus, mit der angenommen werden darf, dass der Wert der gemessenen Größe unter den Bedingungen der Messung innerhalb eines bestimmten Werteintervalls liegt.

1 International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology; second edition, 1993, International Organization for Standardization; (Geneva, Switzerland); Deutsche Übersetzung: Internationales Wörterbuch der Metrologie; 2. Auflage, 1994, Herausgeber: DIN Deutsches Institut für Normung e.V.; Beuth Verlag GmbH, Berlin-Wien-Zürich.


1 Einführung Warum das Thema Messunsicherheit eine Rolle spielt, welche Widersprüchlichkeiten in der Praxis auftauchen, dies soll nachfolgendes einfaches Beispiel veranschaulichen.

1.1 Praktisches Beispiel Zwei Widerstände sind in Serie geschalten und werden von einem Gleichstrom durchflossen. Es stehen drei baugleiche Multimeter Metra HIT 26M zur Verfügung. Damit werden gleichzeitig die beiden Teilspannungen an den Widerständen und die Gesamtspannung gemessen. Vier unmittelbar hintereinander durchgeführte Ablesungsdurchgänge liefern nachfolgende Anzeigewerte, wobei die Versuchsbedingungen nicht geändert wurden. Tab 1. Anzeigwerte der Digital Multimeter DMM (Messbereich 3V) Voltmeter A [V] Voltmeter B [V] Voltmeter C [V] 1. Messreihe 1.0012 1.0004 2.0010 2. Messreihe 1.0014 1.0005 2.0014 3. Messreihe 1.0010 1.0004 2.0019 4. Messreihe 1.0012 1.0003 2.0013 Tab. 2 Auszug aus dem Datenblatt2:

2 http://www.gmc-instruments.com/resources/tt/hit22-26m/db_d.pdf


Um die Fragen zu beantworten wie gross nun wirklich die Gesamtspannung ist, sollen folgende Aspekte betrachtet werden:

1. Berechnen sie aus den Anzeigewerten von Tab. 1 die Zahlenwerte der ihnen bekanntesten statistischen Kenngrössen. Geben sie zuerst die Formel der mathematischen Funktion der statistischen Kenngrösse an.

2. Skizzieren sie aus den obigen Daten die zugehörigen Verteilungsfunktionen.

3. Beschreiben sie mit Worten mögliche physikalisch, technische Ursachen für diese Verteilungen des hier vorliegenden Experiments.

4. Welche Bedeutung haben die Datenblatt Angaben des Multimeter Herstellers. Verdeutlichen sie die Datenblattangabe mit einer Verteilungsfunktion.

5. Anders wie in Tab. 1 wollen wir jetzt annehmen, dass die beiden Anzeigewerte der Teilspannungen A und B stabil bei genau 1V abgelesen wurden und in der Messreiche nicht geschwankt haben. Bestimmen sie daraus die Grenzen der Gesamtspannung C nach den Datenblattangaben in Tab. 2.

6. Wie sollten die statistischen Kenngrössen aus Teilaufgabe 1 mit den Datenblatt angaben des Multimeters sinnvoll zusammengeführt werden?


1.2 Historie der Messunsicherheit Galilei legte den Grundstein auch in der Messtechnik Galileo Galilei (1564-1642) entwickelte den naturwissenschaftlichen Experimentierstil und bediente sich dabei einer ausgeklügelten Messtechnik, um seine mathematischen Modell zu testen. Zum Problem der Messung der Fallgeschwindigkeit schrieb Galilei in seinem DIALOG: Zuerst wurde ein Brett oder Balken aus Holz ausgesucht, ungefähr zwölf Ellen lang, eine halbe Elle breit und drei Fingerbreit dick; sodann wurde in die Oberseite eine Rinne von wenig mehr als einem Finger Durchmesser gegraben; nachdem wir diese Hohlrinne ganz gerade gezogen und glatt poliert und sie mit Pergament ausgelegt hatten, das gleichfalls so glatt und poliert wie möglich war, liessen wir in ihr eine feste, glatte und vollkommen runde Bronzekugel rollen. Nachdem wir das Brett in eine abfallende Lage gebracht hatten, indem wir das eine Ende ein oder zwei Ellen über das andere erhöhten, liessen wir die Kugel die Rinne entlang rollen und massen dabei - in einer Weise, die sogleich noch beschrieben werden soll - die Zeit, die sie zum Hinabrollen brauchte. Dieses Experiment wiederholten wir mehrere Male, um die Zeit so genau zu messen, dass die Abweichung zwischen zwei Beobachtungen nie mehr als das Zehntel eines Pulsschlags betrug. Nachdem wir diese Operation ausgeführt und uns von ihrer Zuverlässigkeit überzeugt hatten, liessen wir beim nächsten Mal die Kugel nur ein Viertel der Länge der Rinne hinabrollen; und als wir dann die Zeit für das Hinabrollen massen, sahen wir, dass sie genau die Hälfte von der zuvor gemessenen betrug. Sodann machten wir den Versuch mit anderen Entfernungen, wobei wir die Zeit für die ganze Länge mit der für die Hälfte, mit der für zwei Drittel, für drei Viertel, kurz für alle möglichen Bruchteile der Länge der Rinne verglichen; und bei all diesen Experimenten, die wir wohl hundert Mal und öfter wiederholten, stellten wir fest, dass die zurückgelegten Strecken sich zueinander verhielten wie die Quadrate der betreffenden Zeiten, und dies traf zu für jedes Gefälle der Ebene, d.h. der Rinne, die wir die Kugel entlang rollen liessen. Wir stellten auch fest, dass die Zeiten für das Hinabrollen bei verschiedenem Gefälle in einem Verhältnis zueinander standen, das - wie wir gleich sehen werden - der Experimentator vorausgesagt und demonstriert hatte. Zur Messung der Zeit benutzten wir ein grosses Gefäss voll Wasser, das wir an einen erhöhten Ort gestellt hatten; in den Boden des Gefässes war ein Rohr von sehr kleinem Durchmesser eingelötet, durch welches das Wasser in dünnem Strahl austrat; während die Kugel rollte, fingen wir das Wasser in einem kleineren Glas auf, entweder solange sie die ganze Länge oder nur einen Bruchteil entlang rollte; das dergestalt aufgefangene Wasser wurde dann nach jedem Hinabrollen, mit Hilfe einer sehr präzisen Waage gewogen, und die Unterschiede im Gewicht und die Verhältnisse der einzelnen Gewichte zueinander drückten dann die Unterschiede der Zeiten und ihr Verhältnis zueinander aus, und dies mit solcher Genauigkeit, dass, obwohl wir die Operation viele, viele Male wiederholten, nie eine nennenswerte Abweichung in den Ergebnissen auftrat.


Gedanken zu Messtechnik und Naturwissenschaft 3 Die Entwicklung der Naturwissenschaft und der auf sie aufbauenden Technik nahm ihren Anfang mit einer qualitativen Naturbeobachtung. Im Altertum und bis ins Mittelalter hat man sich damit im Wesentlichen begnügt und aus diesen vordergründigen Beobachtungen eine Naturphilosophie aufgebaut. Ein entscheidend neuer methodischer Schritt wurde durch Galileo Galilei vollzogen, nämlich die Durchführung von Experimenten als aktive und quantitative Form der Naturbeobachtung. Dabei wird das Verhalten der Natur unter der für das Experiment geschaffenen Bedingung durch Messungen zahlenmässig erfasst. Die erhaltenen Messergebnisse können dann mit Hilfe der Mathematik zu so genannten "Naturgesetzen" zusammengefasst werden, welche auf die Frage " Wie verhält sich die Natur?" Antwort geben. Seit Galilei kann man folglich die Physik als Wissenschaft des Messens bezeichnen. Andere Gebiete der Naturwissenschaften haben sich ebenfalls in diese Richtung entwickelt und insbesondere haben die Ingenieurwissenschaften darauf aufgebaut: Alle diese Disziplinen stützen sich wesentlich auf die in der Physik entwickelte Mess- und Experimentiertechnik ab. Für die Verdichtung von experimentellen Ergebnissen zu Naturgesetzen, für die Bestätigung oder Widerlegung von theoretischen Hypothesen und für zahllose Anwendungen in technischen und naturwissenschaftlichen Bereichen ist die Frage der Zuverlässigkeit von Messresultaten, d.h. die Beherrschung der Probleme der Messfehler von entscheidender Bedeutung , denn einem Ergebnis von ungenügender oder zweifelhafter Genauigkeit kommt kein Nutzwert zu.

Fig. 1 Historische Fortschritte der Reduktion von Messunsicherheiten 4

3 Prof. W.H. Gränicher, ETHZ; Messung beendet was nun?; Teubner Verlag, 1996; ISBN 3-519-13659-7 4 Dr. Beat Jeckelmann; Tagung IG elektrische Mess- und Prüftechnik; am 17 Nov 2004, METAS, Bern


Fig. 2 Messunsicherheiten in ppm bei einem Vergleich der Gleichspannungsmessung der weltbesten/genauesten nationalen Messlabors Metrologie Institute (Stand 2004).5 Der technische Fortschritt war stets eng verzahnt mit der Verbesserung der Mess-methoden und damit der Erhöhung der Genauigkeit. In Zahlen kann dies aus Fig. 1 beispielsweise für die Längenmessung ausgedrückt werden: Seit dem Mittelalter konnte die relative Messgenauigkeit der Längenmessung, um etwa zehn Grössenordnungen und bei der Zeitmessung sogar von der Pendeluhr zur heutigen Atomuhr um 13 Zehnerpotenzen verbessert werden. Bei der Gleichspannungsmessung erreichen heute die weltbesten Messlabors eine relative Unsicherheit von ca. 1ppm beim Vergleich der Messergebnisse untereinander. (Fig. 2)

1.3 Weltwirtschaft und die Messunsicherheit Das Messen ist heute aus unserem Alltagsleben nicht weg zu denken. Als Beispiel sei die pünktliche Zeitmessung mit dem Wecker am Morgen, die Personenwaage im Bad, die Zapfsäule an der Tankstelle, die Radarfalle oder besser das Tachometer im Auto, die Obst-Waage im Supermarkt, der Strom-, Gas- und Wasserzähler im Haus usw. genannt. Auch bei der Produktion von Gütern und beim Handel ist das Messwesen ein notwendiger Bestandteil. Deshalb ist es nicht verwunderlich, dass in der Schweiz das Messwesen einen Anteil von 6% am Bruttosozialprodukt hält.(Fig. 3) Oder anders gesagt, unter 17 Franken wird einer fürs Messen ausgegeben. Dies entspricht beispielsweise einem höheren Anteil als dem gesamten Bausektor zukommt.

5 Dr. Beat Jeckelmann; Tagung IG elektrische Mess- und Prüftechnik; am 17 Nov 2004, METAS, Bern


Fig. 3 Wirtschaftliche Bedeutung der Metrologie in der Schweiz. 6 Das reibungslose, wirtschaftlich effiziente Funktionieren des Market, der heute globaler den je ist, erfordert den Abbau von technischen Handelshemmnissen. Dabei ist das Vertrauen in die Vergleichbarkeit von Messergebnissen im nationalen Handel und internationalen Warenaustausch entscheidend. Als Ziel wird gefordert: „Einmal gemessen, einmal geprüft = weltweit anerkannt“. Dies bedingt aber weltweit anerkannte Messmethoden, Produktnormen, Zertifizierungen. Häufig soll ein Messwert mit Grenzwerten verglichen werden, die in einer Spezifikation oder normativen Vorschrift festgelegt sind. In diesem Falle kann man anhand der Messunsicherheit erkennen, ob das Messergebnis deutlich innerhalb der vorgegebenen Grenzen liegt oder ob die Forderungen nur knapp erfüllt werden. Liegt der gemessene Wert sehr nahe bei einem Grenzwert, so besteht ein grosses Risiko, dass die Messgrösse doch nicht die gestellten Forderungen einhält. Die beigeordnete Messunsicherheit ist in diesem Fall eine wichtige Hilfe, dieses Risiko realistisch einzuschätzen. Nehmen wir an, ein Anwender lässt die gleiche Messung in mehreren Laboratorien an einem Exemplar eines Produktes durchführen, oder, was wahrscheinlicher ist, an mehreren Exemplaren, die er untereinander als gleichwertig und damit als identische Realisierungen des gleichen Produktes ansieht. Erwarten wir wirklich, das die verschiedenen Prüflaboratorien das gleiche Ergebnis an den Auftraggeber zurückliefern? Nur in gewissen Grenzen natürlich, werden wir antworten. Liegen die mitgeteilten Ergebnisse nun sehr dicht an einer Spezifikationsgrenze, so kann es schon vorkommen, dass die Werte des einen Laboratoriums dazu führen, ein fehlerhaftes

6 Dr. Beat Jeckelmann; Tagung IG elektrische Mess- und Prüftechnik; am 17 Nov 2004, METAS, Bern


Exemplar zu prognostizieren, während die Werte eines anderen demgegenüber anzeigen, dass das Exemplar den Forderungen genügt.7 Von Zeit zu Zeit müssen akkreditierende Körperschaften strittige Fragen dieser Art klären. Das hätte meist vermieden werden können, wenn der Anwender die Messunsicherheit gekannt hätte, die den Ergebnissen beigeordnet werden muss. Er hätte dann gewusst, wie verlässlich die Werte sind. (Auszug aus Kessler8 )

Fig. 4 Prinzip Darstellung der Rückverfolgbarkeit in der ununterbrochen Messkette von den zentralen Realisierungen der SI Einheiten über die nationalen Normale der NIMs über die Kalibrierlabors zum Anwender. (Jeckelmann, 2005) Damit der Grundsatz der weltweiten Vergleichbarkeit von Messwerten auch bei einmaliger anerkannter Messung erreicht werden kann, müssen die Labors unter-einander im permanenten Austausch und Vergleich stehen. Dieses System baut heute auch auf klar strukturierte Hierarchien auf, wie dies Fig. 5 am Beispiel innerhalb der Schweiz zeigt. Den internationalen Austausch auf der europäischen bzw. internationaler Eben übernimmt dabei in der Schweiz das METAS in Bern (ehemals Eichamt). Für Deutschland belegen die Zahlen aus dem Jahr 2003 deutlich den Multiplikationsfaktor durch die Hierachische Struktur: Die 250 000 DKD Kalibrierscheine für den Anwender wurden von den 324 im DKD akkreditierten Labors ausgestellt, die wiederum beim nationalen Labor, der PTB 4000 Kalibrierungen durchführten.9 Ein zentrales Element stellt dabei das im Jahr 1993 von der internationalen Dachinstitution der Metrologiestellen eingeführte gemeinsame Verfahren, zur Bestimmung der Mess-unsicherheit, der ISO/BIPMLeitfaden oder GUM dar.10 (siehe Kapitel 2) 7 Leitfaden für die Angabe der Unsicherheit beim Messen; Deutsche Übersetzung des Guide, 1. Auflage, 1995, Herausgeber: DIN Deutsches Institut für Normung e.V.; Beuth Verlag GmbH, Berlin, Wien, Zürich. 8 W. Kessler, Fachbeitrag aus den PTB-Mitteilungen 108 (1998), S. 377-382; www.ptb.de 9 Bachmann, PTB Seminar 193, Mai 2004 10 GUM Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement; first edition, 1993, corrected and reprinted 1995, International Organization for Standardization; (Geneva, Switzerland).


Fig. 5 Die Hierachien in der Schweizer Welt des Messens unterteilt in Eich- und Kalibrierdienste.( Jeckelmann, 2005)

(Bachmeier, PTB Seminar 193, Mai 2004)


1.4 Ursachen der Messunsicherheit 11 Die oben gegebene Definition der Messunsicherheit drückt die bekannte Tatsache aus, dass Messungen keinen exakten Wert liefern, ja gar nicht liefern können. Messungen sind Unzulänglichkeiten und Unvollkommenheiten unterworfen, die nicht exakt quantifiziert werden können. Einige von ihnen haben ihre Ursache in zufälligen Effekten, wie kurzzeitigen Schwankungen der Temperatur, der Feuchtigkeit und des Luftdruckes der Umgebung. Auch die nicht gleichmäßige Leistungsfähigkeit des Beobachters, der die Messung ausführt, kann Ursache zufälliger Effekte sein: sei es, dass bei der Ablesung eines Wertes gewisse Abweichungen von einem Skalenwert geschätzt werden müssen oder ein Parameter in einem Messprozess eingestellt werden muss. Messungen, die unter den gleichen Bedingungen wiederholt werden, zeigen auf Grund dieser zufälligen Einflüsse unterschiedliche Ergebnisse. Andere Unzulänglichkeiten und Unvollkommenheiten haben ihre Ursache darin, dass gewisse systematische Effekte nicht exakt korrigiert werden können oder auch nur näherungsweise bekannt sind. Hierher gehören u. a. die Nullpunktsabweichung eines Messinstrumentes, die Veränderung der charakteristischen Werte eines Normales zwischen zwei Kalibrierungen (Drift), die Voreingenommenheit des Beobachters, einen zuvor erhaltenen Wert bei der Ablesung wieder zu finden, oder auch die Unsicherheit, mit der der Wert eines Referenznormales oder Referenzmaterials in einem Zertifikat oder Handbuch angegeben wird.

11 W. Kessler, Fachbeitrag aus den PTB-Mitteilungen 108 (1998), S. 377-382; www.ptb.de


Beispiel: Resistive Temperaturmessung – Was beeinflusst das Messergebnis? In Bild 1 ist ein Messaufbau zur Messung der Temperatur eines flüssigen Mediums mittels resistivem Temperatursensor, Zuleitung und Ohmmeter dargestellt.

Wasser- temperatur

ϑ1 Widerstand

R1

Zuleitung Ω

Umgebungstemperatur ϑ2

Anzeigewert

Bild: 1 Prinzip Temperaturmessung in einem Rohr

t1

R1

120.2 Ω

120.1 Ω Zeit

Bild: 2 Zeitlicher Verlauf der angezeigten Widerstandswerte des Ohmmeters (ϑ1 konstant). Welche weiteren Einflussfaktoren können den Anzeigewert verändern, wobei ϑ1 konstant angenommen werden soll? Ergänzen Sie in Bild 2 schematisch die zu erwartenden Anzeigewerte des Ohmmeters, wenn ab dem Zeitpunkt t1 die Umgebungstemperatur um 20Grad höher sei. (ϑ1 konstant)

120.2 Ω 120.3 Ω

ϑ2A

Häufigkeit der Wider-

standsklassen R1

Bild 3 Häufigkei sswerte. Ergänzen Sie schematisch die AnzeigeweMarkieren Sie de rösse R1 bei ϑ1. Nachfolgend ist „wahrem“ Wert und Anzeigewert dargestellt.

Bild 4 Signalflus

Systematischer Fehler vorhersehbar

ϑΑUmkehr-funktion ϑΑ=f -1(RGES)

RGESTemperatur ϑ1 Messgrösse “wahrer Wert“

Franz Baumgart

120.1 Ω

tsverteilungen für die Men Wert für den Wert der G

der Unterschied zwischen

Sensor/Messaufnehmer-Funktion z. B. Gerade

R1SENSOR=f(ϑ1)

sdiagramm

cR1SENSOR

Zufälliger Fehler nicht vorhersehbar, weitere Unsicherheit

±

ner / www.ntb.ch/sensor/wtm 2006-03-27 Messunsicherheit / SS 2006 /Se

rte nach t1.

Berechnung des Messergebnisses40 ºC ±1ºC z.B. 95% Vertrauensberei
h
ite12

2 Berechnung der Messunsicherheit nach GUM: Basics Literaturhinweise: 12 13 14 In der Praxis werden Messwerte aufgenommen, meist eine Stichprobe von N-Messungen. Daraus lässt sich der Mittelwert Fm und die empirische Standardabweichung sA des Mittelwerts berechnen. Diese Messunsicherheit basiert auf statistischer Analyse und wird gemäss ISO Guide mit Typ A - Standardunsicherheit bezeichnet. Das Messgerät selbst ist aber laut Herstellerangaben zusätzlich mit Fehler behaftet, Nullpunktsfehler, Empfindlichkeitsfehler, Temperaturdrift und weitere Einflussfaktoren sind zu berücksichtigen. Der Messaufbau, das Messverfahren bringt jedoch nochmals Fehler ein. Diese Art von Unsicherheiten, die nicht auf "statistische Weise" bestimmt wurde, sind unter Typ B - Standardunsicherheiten zusammen gefasst. Zusammen mit dem wahrscheinlichsten Schätzwert, dem Mittelwert Fm führen sie zum vollständigen Messergebnis (DIN 1319-3: 1996-05, vgl. GUM) Es wird ein Schlussresultat erwartet mit folgendem Inhalt: F = Fm ± U Optional Zusatzangabe: Vertrauenswahrscheinlichkeit, Anzahl an Messwerten Mit dem arithmetischen Mittelwert Fm als dem wahrscheinlichsten Wert und der zugeordneten Messunsicherheit U. Die Messunsicherheit U = k·u ist üblicherweise mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 68.3% angegeben, dabei ist der Faktor k=1 und steht für das 1σ Intervall bei normalverteilten Messgrössen. Bei Kalibiermessungen wird eine erweiterte Unsicherheit, mit Faktor k=2 bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95%, verwendet (vielfach ist auch k=3, bei 99% Vertrauenswahrscheinlichkeit im Einsatz, siehe Normen) Die Messunsicherheit des Schlussresultats wird als kombinierte Standardabweichung aus den beiden obigen Typen A zu uA und Typ B zu uB mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes berechnet:

22BA uukU +⋅=

Voraussetzung bleibt, dass beide Typen als Standardunsicherheiten angegeben werden.

12 Alfred Stähli; Kurze Einführung in die mathematische Statistik, NTB Mathemaik Skript, 3 Semester; WS 2003/04 13 W. Gränicher, Messung beendet was nun?; Teubner Verlag Stuttgart, 1996; ISBN 3-519-13659-7; besonders Kapitel 9.2 14 GUM, „Guide to the expression of uncertainty in measurement“ 1995 Geneva, Switzerland; www.european-accreditation.org; Deutsche Ausgabe vom Deutsches Institut für Normung, Beuth Verlag: „Leitfaden zur Angabe der Unischerheit beim Messen“ Norm: DIN1319 und Kalibrierung von Messmittel für elektrische Grössen, Digitalmultimeter VDI/VDE/DGQ/DKD 2622 Blatt 1, 1997


Beispiel für die Berechnung der Messunsicherheit des Typs B (vgl. Norm VDI/VDE 2622 ) Im Zuge der Kalibrierung von Digitalmultimeter nach VDI/VDE Norm sollen vier unterschiedliche Messunsicherheitsanteile zusammengefasst werden. Sie repräsentieren die Messunsicherheitsanteile aus der Nullpunktsabweichung, Schwankung der Anzeige, Auflösung der Anzeige und aus Umgebungseinflüssen. Diese Grössen sollen nicht normalverteilt sondern gleichverteilt sein, mit einer Rechteckverteilung. Die Grösse a soll jeweils die halbe Weite des Unsicherheitsbereichs sein (± Garantiefehler nach Datenblatt).

22220 3

131

31

31

ura aaaaku ⋅+⋅+⋅+⋅⋅= Resultierende Standard-Messunsicherheit aller vier Messunsicherheitsanteile. Berechnung der Messunsicherheiten Typ A und B einer gewöhnlichen Messung Vorgehen: Für gewöhnliche Messungen wird eine Vertrauenswahrscheinlichkeit von 68% (k=1) gewählt, zum Unterschied von Kalibriermessungen (siehe Normenentwurf VDE/VDI 2622 ). Typ A – Unsicherheitsbeitrag durch Messstatistik

(Standardabweichung des Mittelwertes sm) mA snsu ==

22

0 31

31

uB aau ⋅+⋅=Typ B - weitere Unsicherheitsbeiträge aus Messgerät, -verfahren (± Herstellerangaben üblich Rechteckverteilung z.B. mit a0 Nullpunktsfehler, aU Umgebungseinfluss)

Resultierende Messunsicherheit des Messergebnisses

(wahrscheinlicher Fehler, 68% Vertrauensniveau) 22

BARES uuu +=

Erläuterung zum Verfahren: Für den Fall, dass die zu messende Grösse während der Stichprobenmessung konstant ist, wird die zufällige Schwankung der Anzeigewerte durch unbekannte Einflussgrössen hervorgerufen. Die exakte Lage des wahren Mittelwertes µ der Verteilung sollte dann, der zu messenden konstanten Grösse entsprechen. Es stellt sich also die Frage nach dem Bereich um den arithmetischen Mittelwert m in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von 68% der Wert liegen wird. Dieser Bereich entspricht somit der doppelten empirischen Standardabweichung des Mittelwertes sm. Die genaue Analyse der Verteilungsfunktion dieser störenden Einflussgrösse, wie die Bestimmung der Breite der Verteilung, also die Standardabweichung s, ist nur insofern notwendig als sie zur Berechnung von sm dient. Besteht die Stichprobe aus vielen Messwerten (n gross) so kann auch der Mittelwert genauer bestimmt werden und damit kann der Beitrag der Messstatistik zur resultierenden Messunsicherheit klein gehalten werden. Der Unsicherheitsbeitrag Typ A, der Messstatistik, beinhaltet noch keine Fehler durch das Messgerät oder des Messaufbaues selbst.


Üblicherweise sind in Datenblättern für elektronische Messinstrumente die Garantie-fehlergrenzen oder Eigenabweichungen vom Messwert also ± Werte angegeben. Sie drücken üblicher Weise aus, dass der Fehler mit Sicherheit, also 100% Vertrauens-niveau, kleiner als die Toleranzangabe ist. Sind keine weiteren Angaben wie z.B. 5 σ - Bereich (bezieht sich auf eine Gauss-Verteilung) bekannt, so muss eine Rechtecksverteilung dieses Fehlers angenommen werden. Wenn der Beitrag der Typ A Messunsicherheit (Messstatistik - Messwert Schwankung) unbedeutend, im Vergleich zum Messunsicherheitsbeitrag nach Typ B (des Messgerätes) ist, so führt eine weitere Erhöhung der Anzahl an Messungen zu keiner merklichen Verbesserung der resultierenden Messunsicherheit. Generell kann eine minimale resultierende Messunsicherheit uRES nur durch die optimale Wahl der Anzahl der Messungen und der notwendigen Genauigkeit der Messinstrumente erreicht werden.

Messgerät zu ungenau Messgeräte optimal Messgerät zu genau

Fig. 4a Veranschaulichung der VerhältBildung der resultierenden Messunsicheder Typ B Fehler wie üblich von der Grundie drei dargestellten Fälle soll jeweils Unsicherheitsbeitrag, gleich sein, da die Störungen unabhängig vom Messgerät h

uRES

uB S

BS

B

uA A A

Der im Messergebnis angegebene waharithmetische Mittelwert m abzüglich, alle Resultierendes Messergebnis: mkorr ± uRES mit einem geschätzten Vertraue Nachfolgend ein erläuterndes Beispielentsprechend DKD 3 (Deutscher KalibDer ermittelte konventionelle Wägewert dbeträgt 10,000 025 kg ± 59 mg. Angegeben ist die erweiterte Messununsicherheit durch Multiplikation mit dembei einer Normalverteilung der Abweicwahrscheinlichkeit von 95 %.

Franz Baumgartner / www.ntb.ch/sensor/wtm 200

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on Typ A und Typ B Fehler bei der ch GUM. Hier sei angenommen, dass igkeit des Messgeräts dominiert ist. Für wankungen der Anzeigewerte, Typ A e zutreffen soll, dass sie durch externe ufen werden.

ichste Erwartungswert mkorr ist obiger nten systematischen Fehlerbeiträge.

ch von 68%

nmerkung zur Unsicherheitsangabe st): ichtsstücks mit dem Nennwert 10 kg

it, die sich aus der Standardmess-rungsfaktor k = 2 ergibt. Sie entspricht vom Messwert einer Überdeckungs-

Messunsicherheit / SS 2006 /Seite15

u
uRE
u

Fig. 4b Veranschaulichung des Vorgehens bei der Berechnung der Messunsicherheit.


3 Verteilungen von Messwerten

3.1 Grundlagen: Statistik Aus der Mathematik sind die Eigenschaften der Normalverteilung nach Gauss bekannt.(Fig. 4) Wir nehmen an, dass unsere Messwerte x normalverteilt sind. Das bedeutet. Die Wahrscheinlichkeit P(a ≤ x ≤ b) für eine Realisation des Messwertes x im Intervall [a,b] ist gegeben durch:

( ) ( ) 2

2

2)x(b

a

e2

1)x(fmitdxxfbxaP σ

µ−−

πσ=≤≤≤ ∫

Man nennt f(x) Dichte der Normalverteilung mit Erwartungswert µ und der Varianz σ2 . Erwartungswert und Varianz sind wie folgt definiert:

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

⋅⋅µ−=σ

⋅⋅=µ

dx)x(f)x(

dx)x(fx

22

Normalverteilung

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Häu

figke

itsdi

chte

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Sum

men

häuf

igke

it

Häufigkeitsdichte fSummenhäufigkeit

±1σ68.3%

±2σ95.4%

±3σ99.7%

Fig. 5 Häufigkeitsdichte und -summe der normierten Gaussverteilung µ=0 und σ=1 mit der Angabe der Wahrscheinlichkeit einen Wert innerhalb der 1, 2 bzw. 3 Sigma Grenze anzutreffen. Messwert x-Achse ; Nach obiger Gleichung folgt f(0)=0.398942 Hinweis: EXCEL-Befehl: NORMVERT(x;Mittelwert;Standabwn;Kumuliert)


Zusammenfassung wichtiger Kenngrössen für Messtechnik Das Problem beim Messen stellt sich wie folgt: Man weiss, dass die Messwerte x1,....,xn normalverteilt sind, aber man kennt den Erwartungswert µ und die Varianz σ2 nicht. Diese Grössen werden aus den Messwerten geschätzt.

( )StichprobeeinerhungdardabweictanS

empirischexn1x

1n1)mx(

1n1s:fürSchätzer

StichprobeeinerMittelwertcherarithmetisxn1xm:fürSchätzer

2n

1i in

1i2

i2n

1i i

n

1i i

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

−=−

−=σ

==µ

∑∑∑

∑

===

=

σ=µ=σµ∞→∞→∞→ nnslimundmlim:überundWertenschätzendezudieinnfürgehensundmeSchätzwertDie

Für obige empirische Standardabweichung 15 steht oft auch: mittlerer quadratischer Fehler der Stichprobenmesswerte, Wiederholstandardabweichung, experimental standard deviation; ISO 1319-1, RMSD root mean square deviation); Bemerkung: den Term 1/(n-1) bezeichnet man als Besselsche Korrektur. Die Verkleinerung des Nenners n-1 ist als Verlust eines Freiheitsgrades zu verstehen, da µ nicht exakt bekannt ist. 16

Schwankungsbreite des Mittelwertes Wenn die Messung xi mit der Standardabweichung σ um den Erwartungswert µ schwankt, so schwankt das arithmetische Mittel m der Messwerte nur noch mit σm = σ / √n um den Erwartungswert. Zur Schätzung der Standardabweichung des Mittelwertes (mittlerer Fehler des Mittelwertes, experimental standard deviation of the mean nach ISO 1319-3) kann sm verwendet werden: 2n

1i im )mx()1n(n

1nss −

−== ∑=

Für n→∞ geht σm gegen null. Die Standardabweichung sm des Mittelwertes einer Stichprobe (Serie von Messwerten -experimental standard deviation of the mean ) ist somit um den Faktor √n kleiner als die Standardabweichung der Verteilung der ein-zelnen Messwerte. Eine Genauigkeitssteigerung in der Schätzung des Mittelwertes um einen Faktor 10 erfordert aber 100 mal mehr Messwerte. (vgl. Students t-Verteilung ) Weitere Begriffe: Standardabweichung: σ , mittlerer quadratischer Fehler,

Varianz der Grundgesamtheit: 2n

1i i2 )x(

n1

µ−=σ ∑ = mittlere quadratische

Abweichung (mean square deviation MSD), Diese Formel für die Varianz der Grundgesamtheit verwenden wir in der Messtechnik nicht. Wir benutzen stets die Formel ganz oben für Standardabweichung der Stichprobe mit dem Nenner n-1. 15 Befehl STABW in EXCEL 16 W. H. Gräncher, Messung beendet was nun?; ISBN 3-7281 2258 0


Erweiterte Grenzen für endlichen Stichprobenumfang – Student-t Verteilung Wirtschaftliche Gründe sprechen meist dagegen einen Stichprobenumfang sehr gross zu machen. In der Praxis ist die Voraussetzung für die Gültigkeit der Wahrscheinlich-keitsangaben nach Fig. 5, z.B. 68% dass ein Wert innerhalb der Grenzen der Standardabweichung um den Mittelwert einer normal verteilten Grösse liegt, selbstverständlich nie gegeben. Sie bedingt nämlich eine unendliche Zahl der Elemente der Stichprobe. Aus den statistischen Grundlagen ist bekannt, dass für jene Fälle, wenn der Stich-probenumfang klein ist, einfach der Bereich als Vielfaches der Standardabweichung vergrössert werden muss, im Vergleich zu den Verhältnissen bei einer unendlichen Zahl der Stichprobenelemente. Die Student-t Verteilung erlaubt die Berechnung dieses Erweiterungsfaktors c (grösser 1) mit dem die Standardabweichung multipliziert werden muss, um eine Wahrscheinlichkeit angeben zu können einen Wert innerhalb dieser Grenzen anzutreffen bei endlicher Zahl N des Stichprobenumfangs. (vgl. Tab. 2) Als Beispiel sie hier ein Stichprobenumfang von 10 Messwerten angegeben. Der Bereich um den Mittelwert beträgt das 2.37 fache der Standardabweichung, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 95.45% einen Wert innerhalb dieser Grenzen anzutreffen. Tab. 2 Student-t Verteilung Der Erweiterungsfaktor c in der Tabelle für n Elemente des Stichprobenumfangs (entspricht der Anzahl der einzelnen Messwerte in der Messreihe) ist ein Mass für die Grenzen eines symmetrischen Bereichs um den Mittelwert der Normalverteilten Grösse, damit die Wahrscheinlichkeit einen einzelnen Wert innerhalb diese Bereiches zu finden der Prozentangabe in der ersten Zeile entspricht. Dabei ist die obere und untere Grenze des Bereichs definiert als das Produkt der Zahl im Tabellenelement c und der Standardabweichung s der Normalverteilung. (Grenzen für Bereich +/- c*s)

Students t-Verteilung: Vertrauensfaktor t n Anzahl Element im Stichproben-

umfang (1-α)=

68.27 % (1-α)=

90.00 % (1-α)=

95.00 % (1-α)=

95.45 % (1-α)=

99.00 % (1-α)=

99.73 % (1-α)=

99.98 % 2 1.84 6.31 12.71 18.44 63.66 235.80 761.40 3 1.32 2.92 4.30 4.93 9.93 19.21 42.30 4 1.20 2.35 3.18 3.48 5.84 9.22 19.77 5 1.15 2.13 2.78 2.98 4.60 6.62 12.48 6 1.11 2.02 2.57 2.73 4.03 5.51 9.77 7 1.09 1.94 2.45 2.61 3.71 4.90 7.51 8 1.08 1.90 2.37 2.50 3.50 4.53 6.78 9 1.07 1.86 2.31 2.42 3.37 4.28 6.22

10 1.06 1.83 2.26 2.37 3.25 4.09 5.89 20 1.03 1.73 2.06 2.18 2.86 3.45 4.76 30 1.02 1.70 2.05 2.13 2.76 3.28 4.47 50 1.01 1.68 2.01 2.08 2.68 3.16 4.23

100 1.00 1.66 1.98 2.04 2.63 3.08 4.12 200 1.00 1.65 1.97 2.02 2.60 3.04 4.06

∞→n 1.00 1.65 1.96 2.00 2.58 3.00 4.00 .


3.2 Verteilung von Kenngrössen in der Serienfertigung Bei der Produktion von Operationsverstärkern gibt der Hersteller Linear Technology die Verteilung der Offsetspannung für einen Stichprobenumfang von 1140 an. (Fig. 6) Dies ist für den Anwender sehr hilfreich, kann er doch damit die Standardabweichung abschätzen. Sie entspricht in diesem Beispiel in etwa der Zahlenangabe des typischen Fehlers von 20uV. Die dargestellte Verteilung lässt vermuten, dass in diesem Fertigungsprozess die Angabe des Maximalen Fehlerbereiches mit 100uV im Datenblatt in etwa der 5 Sigma Grenze entspricht (Würde die Verteilung mit einer Normalverteilung genähert werden, so entspräche dies einer Fehlerrate von einer unter 1.7 Millionen ausserhalb dieses Bereichs von +/- 100uV, auch wenn nicht alle Bauteile einzeln getestet werden. Der Grossteil der Halbleiterhersteller begnügt sich in den Datenblättern meist mit Angabe von Toleranzen +/- wobei meist offen bleibt was diese Grenzen zu bedeuten haben.

Zahlenwerte aus dem Datenblatt LT1012C CN8 pricing $3.33 (100p)

Typ Max Units 20 100 mV 30 200 m V/month 0.2 1.0 m V/K

www.linear-tech.com

Fig. 6. Verteilung der Offset-Spannung des Operationsverstärkers LT1012C. Werden alle Bauteile auf die Toleranzen hin zu 100% geprüft, so kann der Kunde ausschliessen Werte ausserhalb der Toleranz zu finden. Der renommierte Hersteller von elektronischen Messgeräte, Agilent (ehemals HP) gibt in seinen Manuels der Messgeräte meist einen Toleranzbereich an, der dem dreifachen der Standard-abweichung (+/- 3 σ) entspricht. Selbstverständlich kann auch aus derselben Produktionscharge z.B. von elektrischen Widerständen jene mit der 1% Toleranz herausgelesen werden (teure Einzelmessungen nötig). Die verbleibenden Bauteile werden dann automatisch der nächst höheren Toleranzklasse zugeteilt, z.B. 5%. In diesem Fall entspricht bei einem Normalverteilten Produktionsprozess die 1% Toleranz Bauteile einem abgeschnitten Gausverteilung, die fast einer Rechtecksverteilung entsprechen und einer Verteilung mit zwei Maxima in der Häufigkeitsdicht mit dem Fehlen des Zentrums für die verbleibende 5% Toleranzklasse.


http://www.linear-tech.com/

Beispiel: Elektrische Widerstände Darstellung der Häufigkeitsverteilung inklusive der geschätzten Gauss-Verteilung Messung vom 9.11.01 von F.Felix/Ch. Eugster Zweipunktmessung mit Korrektion des mittleren gemessenen Zuleitungswiderstandes.Klassenbreite 0.01 Ohm

Klassen [kOhm] M_Häufigkeit Gauss Klassenmitte 9.93 0 0.38 9.925 9.94 1 2.73 9.935 9.95 6 9.55 9.945 9.96 14 16.40 9.955 9.97 16 13.85 9.965 9.98 9 5.75 9.975 9.99 3 1.17 9.985

10 1 0.12 9.995 10.01 0 0.01 10.005

Gesamtzahl 50 49.97 Darstellung in Excel mit Diagramm Säule" "

Fig. 7a Häufigkeitsdichte Darstellung in Excel mit Diagramm "Punkt (X,Y)"

Fig. 7b Häufigkeitsdichte Gauss (Anmerkung: Exakten Wert der Klassenmitte beachten!)

Nennwert 10kOhm

-u m +u


3.3 Typische Verteilungen / Charakteristika von Störgrössen Die häufigste Störgrösse ist, weisses Rauschen, welches sich durch eine Gaussverteilung der Momentanwerte auszeichnet. Die Analyse des Spektralbereichs durch die Anwendung der FFT Analyse (z.B. mit einem einfachen Digitaloszi) liefert hiezu zusätzliche Klarheit. Liegt beispielsweise als Störgrösse die Temperatur vor, die sich mit einem Temperaturdrift einer charakteristischen Grösse beschreiben lässt, (z.B. Temperaturdrift der Eingangsoffset-Spannung eines OPamps, vgl. Fig. 6) so kann eine zeitliche Verschiebung des Mittelwerts der Verteilung beobachtet werden, wenn sich diese Temperatur ändert. Ist dieser Temperaturdrift immer konstant (z.B. Durchlassspannung einer Diode -2.2mV/K) so kann bei Kenntnis der Hilfsgrösse Temperatur, dieser Störeinfluss abgeschätzt und damit reduziert werden (Korrektion). Daraus resultiert auch die Empfehlung bei genauen Messungen elektronische Messgeräte schon mindestens 15 Minuten vorher einzuschalten, damit sich im gesamten Gerät eine stabile und reproduzierbare Temperaturverteilung einstellen kann. In der Praxis unterscheiden sich aber die Temperaturdriftwerte auch bei baugleichen Bauelementen. Beispielsweise trifft dies bei elektrischen Widerständen die zwar ähnliche TK (Temperaturkoeffizienten) haben aber eben nicht exakt gleiche. Dies hat beispielsweise bei der Beschaltung von Operationsverstärkerschaltungen zur Folge, dass sich um diesen Unterschied auch der Verstärkungsfaktor der gesamten Schaltung unterscheiden wird. Dabei kann trotzt gleichem Vorzeichen der einzelnen TK nichts über das Vorzeichen der Abweichung der Gesamtverstärkung ausgesagt werden! Ebenfalls eine zeitliche Verschiebung des Mittelwerts, von Verteilungen wird beobachte, wenn die Ursache Alterungserscheinungen (Zeiträumen von Tagen, Wochen, Monate, Jahre – vgl. z.B. Spezifiktion von genauen Multimetern) sind. Resultieren die Störungen allerdings aus der klassischen Induktionsspannung von magnetischen Wechselfeldern, so zeigen sie oft sinusförmige Zeitverläufe. Sie können optimal mit der FFT Analyse zugeordnet werden. Eine reine sinusförmige Störung, z.B. mit der Netzfrequenz mit stets konstanter Amplitude würde dabei eine U-förmige Verteilung der Momentanwerte zur Folge haben. (vgl. Übung Ü3.2 ) Die neue Generation von Digitaloszis hat meist schon im mittleren Preissegment standardmässig statistische Signalanalysefunktionen, wobei die relevanten Kenngrössen wie Standardabweichung direkt angezeigt werden und oft auch der zeitliche Aufbau der Verteilungen grafisch anschaulich unterstützt wird. Obige Störungen sind oft auch bei der Produktion von Bauteilen, Sensoren bzw. Messgeräten die häufigsten Ursachen für die Ausbildung von Verteilung der bestimmenden Kenngrössen.


4 Fortpflanzung von Unsicherheitsbeiträgen

4.1 Fortpflanzungsgesetz für wahrscheinliche Unsicherheiten/Verteilungen Das Messergebnis F soll eine Funktion von N Einzelmesswerten fi sein

F=F(f1, f2,..fN).

Der Mittelwert Fm wird aus den einzelnen Mittelwerten fmi berechnet

Fm=F(fm1, fm2,..fmN).

Von der Einzelmessung sind Mittelwert und Standardabweichung bekannt fmk ± sfk . Aus der Taylor-Reihen Entwicklung folgt das Fehlerfortpflanzungsgesetz für die Varianz sF

2 des Mittelwertes Fm des Messergebnisses. Als Multiplikationsfaktor für die Summe der einzelnen Varianzen stehen die partiellen Ableitungen der Gesamtfunktion F nach den Grössen der Einzelwerte fk zum Quadrat.

fk2N

1k

2

kF

2 sfFs ⋅∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= =

Voraussetzung für das obige Gausssche Fehlerfortpflanzungsgesetz ist, dass die einzelnen Messungen fk von einander statistisch unabhängig sind. (siehe Gräncher 3-40 bzw. 8.5) Beispiel: Addition - Gesamtspannung aus der Summe der Teilspannungen ermittelt Zwei Zweipole sind in Serie geschalten, wobei die jeweilige Teilspannungsmessung den Mittelwert und die empirische Standardabweichung liefert. Berechnen sie die Standardabweichung der Gesamtspannung. Beispiel: Multiplikation – Leistung aus den Teilmessungen von Strom und Spannung An einem Zweipol wurden jeweilige Storm und Spannung gemessen. Es liegen jeweils der Mittelwert und die empirische Standardabweichung vor. Berechnen sie die Standardabweichung der Leistung. (Hinweis: stellen sie im Ergebnis die Standardabweichung relativ zum jeweiligen Mittelwert dar)


4.2 Praktisches Einbeziehen verschiedener Verteilungen nach GUM Zu Beginn soll ein einfacher Fall betrachtet werden, bei dem der vorliegende Fertigungsprozess eines Voltmeters zu einer Verteilung des Nullpunktsfehlers entsprechend einer Gaussverteilung führt. Als eines der Ziel des Messens soll ja gelten, dass die Messwerte vergleichbar sind – Einmal Messen, weltweit anerkannt. (siehe Seite 8) Dies gilt es im Folgenden speziell zu beachten! Die 1 Sigma Toleranz Würde der Hersteller eine Toleranz von 1 Sigma (± 1 die einfache Standardabweichung der Verteilung) angeben und die Anwender die jeweiligen Messwerte die sie mit den unterschiedlichen baugleichen Voltmeter ermitteln, auch mit dieser gleichen Toleranz versehen, dann würden nur in 68% der Fälle die Messungen mit den unterschiedlichen Multimeter am gleichen Objekt (hier Kurzschluss) innerhalb der Toleranz übereinstimmen. Die 3 Sigma Toleranz Gibt der Hersteller die Toleranz des Nullpunktsfehlers mittels der ± 3 Sigma Grenze an und erfolgt kein Endtest dieser Abweichung für alle Voltmeter, dann führt die gleiche Vergleichsmessung der Messgeräte wie oben, nur in drei von tausend Fällen zu keiner Übereinstimmung innerhalb der gewählten Toleranzen. Liegt als Verteilung der Produktionscharge eine andere Verteilung vor (Trapez, Dreieck…), so müsste jeweils ermittelt werden, welche Wahrscheinlichkeit sich für die aus der Stichprobe ermittelte empirische Standardabweichung und die zugehörigen Bereiche (z.B. ± 1 Sigma) ergibt. (vgl. Übungsbeispiel U3.2) Sind keine Angaben zur Verteilungsart gegeben, so wird die Toleranzangabe einer Rechtecksverteilung zugeschrieben. (wobei die Toleranzgrenzen auch den Grenzen der Rechtecksverteilung entsprechen) Überlagerung von Verteilungen in der Praxis: Die resultierende Messunsicherheit wird von Störungen der individuellen Messung und statistischen Abweichung der Messgerätegenauigkeit innerhalb der Produktionscharge des Messgerätes beeinflusst. Ziel muss in allen Überlegungen des Messens der Vergleich des aktuellen Messwertes mit anderen Vergleichsmessungen sein, die z.B. mit dem baugleichen Messgerät durchgeführt würden. Die dabei im obigen Sinn auftretende Wahrscheinlichkeit, dass die Bereiche der Unsicherheiten/Toleranzen sich überlappen, ist für die Bewertung ebenfalls entscheidend. Das resultierende Messergebnis wird aus einer Stichprobe der Anzeigewerte ermittelt und die können bekanntlich schwanken. Grundsätzlich kann in einer einfachen Messung ohne sonstige Hilfsgrössen nicht unterschieden werden, ob diese Schwankung von einer ungewollten externen Störung der Messung oder von der Messgrösse selbst stammt. Diese Schwankung aus den Anzeigewerten (Typ A Unsicherheit) wird nach GUM mit den Beiträgen der Unsicherheiten der Messgeräte Toleranzen (Typ B) mit der Methode der Fehlerfortpflanzung der wahrscheinlichen Unsicherheiten verknüpft. (vgl. Kapitel 2). Dies ist zulässig, da beide Verteilungen statistisch unabhängig sind. Dabei werden die typischen Wahrscheinlichkeiten (68% bzw. 95%) für die ermittelte resultierende Standardabweichung nur als geschätzte Wahrscheinlichkeiten angegeben. Sie entsprechen meist keiner exakten Gaussverteilung, können aber damit innerhalb weniger Prozent genähert werden.


Tab. 3 Tabellarische Übersicht der Arbeitsschritte beim Einbeziehen des Fehlerfort-pflanzungsgesetztes (vgl. Seite 23) in das Vorgehen zur Messunsicherheitsanalyse nach GUM (siehe Fig. 4b, Seite 16). Die gesuchte Zielgrösse F setzt sich dabei aus den Messergebnissen der Teilgrössen fk zusammen (z.B. Zielgrösse F sei die elektrische Leistung dann könne der Strom und die Spannung die Teilgrössen fk sein)

Formel Anmerkung Die einzelnen n Messwerte werden im Rahmen einer Stichprobenmessung erfasst

xi muss für alle k Teilergebnisse erfasst werden

Bei gleichen Versuchsbedingungen

Analyse Typ A Unsicherheitsbeitrag des k-ten Teilergebnisses arith. Mittelwert m ∑=

==n

1i ixn1xm

empirische Standardabweichung der Stichprobe 2n

1i i )mx(1n

1s −−

= ∑ =

Standardabweichung des Mittelwerts, entspricht dem Typ A Unsicherheitsbeitrag

Am unss ==

Ist n klein so soll die Student t Verteilung berücksichtigt werden.

Analyse Typ B Unsicherheitsbeitrag des k-ten Teilergebnisses Nullpunktsabweichung Garantiefehlergrenze =aN

Rechtecksfehler (2aN Bereichsbreite)

Empfindlichkeitsabweichung Garantiefehlergrenze =aE

Rechtecksverteilung (2aE Bereichsbreite)

Zusätzlicher Fehler aus der Geräte Spezifikation= aZ

Gaussverteilung (z.B durch Hersteller bekannt)

Zusammenfassung aller Unsicherheitsbeiträge nach Typ B 2

Z2

E2

NB aa31a

31u +⋅+⋅=

Standardabweichung der Typ B Unsicherheit

Analyse resultierender Unsicherheitsbeitrag des k-ten Teilergebnisses resultierende Messunsicherheit

2

B2

ARES uuku +⋅=

Für eine Überdeckungs-wahrscheinlichkeit von 68% ist k=1 für 95% ist k=2

Korrektion des Messleitungswiderstandes Zusatzmessung (z.B. Messung Leitungswiderstand)

kor Korrekturfaktor des Mittelwertes

Ergebnis für den besten Schätzer für m

m-kor=fmk k Index des k-ten Teilerebnisses

Fehlerfortpflanzungsgesetz für die Unsicherheitsbeiträge der k Teilmessungen Verketteter Unsicherheitsbeitrag der Teilmessung

uRES,k =sfk Wahrscheinlichkeits-niveau angeben

Verketteter Unsicherheitsbeitrag der Gesamtmessung ergibt ± Abweichung d. Resultats

fk2N

1k

2

k

F2 s

fFs ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= ∑ =

Wahrscheinlichkeits-niveau angeben (vgl. Seite 23)

Mittelwert der Gesamtmessung als der beste Schätzwert wobei hier schon die Korrektion berücksichtigt sei.

Fm=F(fm1, fm2,..fmN).


5 Kalibrieren elektrischer Grössen - Rückverfolgbarkeit Die Kalibrierung ist eine Vergleichsmessung mit einer bekannten Referenz. Die Genauigkeit dieser Messung wird mit dem Kalibrierschein nachgewiesen. Mit einem anerkannten Kalibrierschein ist die Rückführung der Kalibriermessung auf das jeweilige nationale Normal gegeben und somit die internationale Vergleichbarkeit garantiert. Der Vorgang des Kalibrierens ist in internationalen und nationalen Normen 17 festgelegt und ist damit ein wesentlicher Grundstein für eine Qualitätssicherung in der Industrie. Erst die Kalibrierung erlaubt es einem Hersteller eines Voltmeters dem Kunden einen Garantiefehler von z.B. 0.1% verlässlich anzugeben.

Fig. 8 Die Kalibrierung ist Teil des internationalen Qualitätssystems.

17 VDI Richtlinie 2622, Kalibrieren von Messmitteln für elektrische Grössen, Beuth Verlag Berlin, Jan 2001 Messmittelüberwachung DIN ISO 10012-1, Prüfmittelüberwachung DIN EN ISO 9000


International harmonisierte Angabe der Meßunsicherheit?18

Akkreditierende Körperschaften haben die Verantwortung, sicherzustellen, daß die von ihnen akkreditierten Laboratorien in ihren Tätigkeiten den in der Europäischen Norm EN 45001 gestellten Forderungen entsprechen. Sofern die Körperschaften das Problem der Bestimmung einer quantitativen Unsicherheitsangabe angehen, lieferten die in der Vergangenheit veröffentlichten Leitfäden meist nur ein grobes und selten konsistentes Vorgehensmuster. In den letzten Jahren wird von den akkreditierenden Körperschaften, wie etwa dem DAR oder dem DKD, und anderen bedeutenden metrologisch orientierten Organisationen (EUROMET - European Collaboration on Measurement Standards)) mehr und mehr eine allgemeine Vorgehensweise akzeptiert. Sie fußt auf den Begriffen und Verfahren, die in dem ISO/BIPMLeitfaden veröffentlicht und von den internationalen Dachinstitutionen auf dem Gebiet der Messtechnik als grundlegend und allgemein verbindlich anerkannt wurden. Dieser Leitfaden, der in deutscher Übersetzung vom Deutschen Institut für Normung herausgegeben wird, ist mit einem Umfang von 112 Seiten ein im wahrsten Sinne des Wortes gewichtiges Dokument. Verschiedene Institutionen, unter ihnen auch der DKD, haben deshalb vereinfachte und verfahren-orientierte Leitfäden aus dem Guide abgeleitet oder sind dabei, dies zu tun. Die akkreditierenden Körperschaften, die sich in der European cooperation for Accreditation5 (EA, früher EAL - European cooperation for Accreditation of Laboratories) zusammengefunden haben, haben auf der Grundlage des ISO/BIPM-Leitfadens ihre Vorschriften über die Berechnung der Meßunsicherheiten bei Prüfungen und Kalibrierungen harmonisiert und als Dokument EAL-R2 [4,5,6] vorgelegt. Es ist in deutscher Übersetzung als DKD-3 unter den Schriften des DKD erschienen.

18 W. Kessler, Fachbeitrag aus den PTB-Mitteilungen 108 (1998), S. 377-382; www.ptb.de


5.1 Grundlagen der Kalibrierung Das Kalibrieren, das Vergleichen des Ergebniswerts eines Messobjektes mit der zu Grunde liegenden genaueren Referenz, Normal kann selbst wieder nur mit einer ge-wissen Unsicherheit erfolgen. Es können folgende Unsicherheitsquellen auftreten:19

• Unsicherheit des zu kalibrierenden Messobjekt selbst

Kalibrierung, Abgleich, Drift, Linearität, Auflösung, Rauschen, Temperatur und andere Umgebungseinflüsse

• Unsicherheit der Referenz

• Schaltungsaufbau Ein- und Ausgangsimpedanz, Leitungs- und Kontaktübergangswiderstand, Isolationswiderstände, Thermospannung, Rauschquellen, Schirmung und Erdungsverhältnisse, Leitungsführung, elektromagnetische Beeinflussung.

• Beobachter, Messverfahren Auswahl der Eingangs- und der Einflussgrössen, Ablese- und Programmfehler

Messunsicherheitsbudget bei der Kalibrierung Ein Beispiel für die Berechnung die Messunsicherheiten nach anerkannten Methoden20 zeigt nachfolgende Tabelle 4. Dabei wird ein 6½-stelligen Digital- Multimeter mit einem kommerziellen Kalibrator(Referenzspannungsquelle) kalibriert. Tab. 4 Der Kalibrator hat nach Datenblatt eine beigeordnete relative Messunsicherheit von 6·10-6 (Erweiterungsfaktor k=2 für 95% Wahrscheinlichkeit; es liegt eine Normal-verteilung vor) Die Messunsicherheit des Digital-Multimeters soll durch den Quantisierungsfehler dominiert werden. Der Messunsicherheitsbeitrag verursacht durch den Schaltungsaufbau bzw. durch Impedanzanpassung kann vernachlässigt werden. 21

Quelle der Messunsicherheit

Standardmess- unsicherheit

k=1 in 10-6

Varianz in 10-12

Messunsicherheit bei 19V - Normalverteilung 3 9 zeitlicher Drift - Rechteckverteilung ± 4 * 5,33 Kalibrator Gesamt-Unsicherheit Kalibrator 3,79 14,33 Quantisierungsfehler 6 ½ stellig -Rechteckverteilung ± 0,50 * 0,08 Empirische Standardabweichung d. Mittelwerts, 5 Einzelmessungen; Student-t Verteilung

1,03 1,06 Digital-Multimeter

Gesamt-Unsicherheit Multimeter 1,07 1,14 Messunsicherheit Kalibrator inklusive Multimeter 3,93 15,47 erweiterte Messunsicherheit k=2 (95% Vertrauensbereich) für die Kalibrierung 7.87 10-6 für k=2

Anmerkung: Datenblattangaben mit vergleichbaren Messgeräten zu obigen Kennwerten Messunsicherheit: Calibrator/Source Keithley 263; Messbereich 20V: 175ppm Messwert + 500µV; für 1 Jahr bei (23±5)ºC Messunsicherheit 6½-Multimeter Keithley 2000; Messbereich 10V: 30ppm Messwert + 5ppm Messbereich; für 1 Jahr bei (23±5)ºC.

19 U. Feller; Bulletin SEV 80 (1989), S. 947-955 und Bulletin SEV 80 (1989), S. 1083-1088 20 VDI Richtlinie 2622, Kalibrieren von Messmitteln für elektrische Grössen, Beuth Verlag Berlin, Jan 2001 Messmittelüberwachung DIN ISO 10012-1, Prüfmittelüberwachung DIN EN ISO 9000 21 H. Bachmair, M. Klonz; 147. PTB-Seminar „Einsatz komplexer elektronischer Präzisionsmessgeräte in Kalibrierlaboratori“; 5.Mai 1999; PTB-Bericht PTB-E-64; ISBN 3-89701-387-8


5.2 Kalibrieren von Multimeter Typische Rahmenbedingungen bei der Kalibrierung?

• Die Angabe der Messunsicherheit erfolgt typisch für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95% (Erweiterungsfaktor k=2; vgl. Fig. 5)

• Die Realisierung der Messgrösse (z.B. Spannungsquelle des Kalibrators) sollte stabil sein (Anteil Typ A Fehler vernachlässigbar)

• Messgenauigkeit der Referenzgrösse sollte mindestens um den Faktor 3 besser als das zu kalibrierende Objekt

• Umgebungsbedingung: Raumtemperatur (23 ± 2 )ºC Luftfeuchte (40 ± 20)% • Empfohlene Kalibrierintervalle 1 bis 2 Jahre

Was sagt der Kalibierschein aus?

• Erlaubt den rückverfolgbaren Vergleich in wenigen Messpunkten • Dabei sind die Einstellungen, Messmodi des Messgerätes (z.B. Messrate,

Mittelungsumfang) zu beachten • Er sagt nichts über die Langzeitstabilität des Messobjektes aus

5.3 Kosten und Nutzen der Kalibrierung Die typischen Messunsicherheiten für die Standardkalibrierung von Digitalmultimeter liegen dabei bei den in Tabelle 5 angegebenen Richtwerten. Soll eine DC Spannungs-messung mit einer Unsicherheit von kleiner 0.3 ppm, direkt auf das primäre nationale Spannungsnormal zurückgeführt werden, so fallen Kosten von ca. 1000 Euro an. Tab. 4 Richtpreise für Standardkalibrierung von Einzelgeräten: Preisniveau22 im März 2005 zzgl. MWSt. mit einer Schwankungsbreite von ca. 15% je nach Umfang und Typ.

Messgerät Euro Digitalmultimeter 80 Oszilloskop 2 Kanal 500 MHz 180 Oszilloskop 4 Kanal 500 MHz 360 Kalibrator DMM 420

Tab. 5 Richtwerte für die Messunsicherheit bei der Standardkalibrierung von Multimetern. Es sind jeweils die Beispiele für jene Messbereiche mit den für ein Multimeter geringsten Unsicherheiten aufgelistet23. Die Unsicherheitsangaben beziehen sich auf eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95%, Erweiterungsfaktor k=2 Messgrösse Unsicherheit (k=2) Gleichspannung 9 ppm Gleichstrom 65 ppm Widerstand 4-Leitermethode 14 ppm Wechselspannung 50Hz 90 ppm Wechselstrom 50Hz 190 ppm

22 Quelle: http://www.iso9000-kalibrierung.de/kalibrieren.html23 Messobjekt: DMM Keithly 2001, kalibriert am 12 Nov 2003 im Kalibrierlabor der esz-Elektronik Services GmbH; www.esz-gmbh.de


http://www.iso9000-kalibrierung.de/kalibrieren.html

http://www.esz-gmbh.de/index.html

6 Einheiten, Normale elektrischer Grössen

6.1 Historie des Einheitensystems elektrischer Grössen

6.2 Das SI Einheiten System

6.3 Normale elektrischer Grössen


7 Referenzen

7.1 Begriffe, Glossar

7.1.1. Warum Messen ? Weil der Wert einer physikalischen Grösse zu bestimmen ist. Der Messwert ist ein Produkt aus einer Zahl und physikalischer Einheiten, die auf den international anerkannten SI-Einheiten basieren. Sie beruhen auf den sieben SI-Basiseinheiten: s, m, kg, A, cd, mol

7.1.2. Wer bestimmt wie gross 10V wirklich sind? Die nationalen Metrologieinstitute NIM , z.B. METAS in Bern haben Standards in ihren Labors verfügbar, die mit einer hohen Genauigkeit aufgrund physikalischer Gesetze die SI-Einheiten darstellen. Die NIM’s vergleichen ihre Normale auch untereinander. Als Spannungsnormal verwendet METAS in Bern z.B. Josephson 10V Normale24, die es erlauben, 10V Spannungsreferenzen von Kunden mit einer Genauigkeit von 1µV zu vermessen (Vertrauenswahrscheinlichkeit 95%). Werden wiederum die Sekundärnormale oder Kundenreferenzen mit anderen Messgeräten oder Referenzmaterialien verglichen, so spricht man vom KALIBRIEREN. EICHEN ist das Feststellen und Bestätigen, dass ein Messmittel den gesetzlichen Anforderungen entspricht (Metzgerwaage, Tanksäulenzähler, Elektrizitätszähler..)

7.1.3. Vergleichbarkeit Wir erwarten von zwei unterschiedlichen Voltmeter, die an den beiden selben Spannungs-Messpunkten (Zweipol-Anschlüssen) geschalten sind, dass die Anzeigewerte gleich sind. In der Realität stellen wir aber Abweichungen der Anzeigewerte fest. Sind zufällig die beiden Anzeigewerte gleich, z.B. 10V, so können wir immer noch nicht ganz sicher sein, dass das METAS in Bern am selben Messobjekt ebenfalls genau 10V messen würde, da eine Vielzahl von Einflussfaktoren zu Abweichungen führen kann. Mit einem gültigen Kalibrierschein eines Messgerätes wird in der Praxis die Glaubwürdigkeit des Anzeigewertes gesichert.

7.1.4. Rückverfolgbarkeit Mit einem anerkannten Kalibrierschein ist die Rückführung der Kalibriermessung auf das jeweilige nationale Normal gegeben und somit die Vergleichbarkeit garantiert.

7.1.5. Wie wird das vollständige Messergebnis angegeben? Durch die Angabe des wahrscheinlichsten Messergebnisses und der Messunsicherheit Beispiel: 10.000V ± 0.010V 68% Vertrauensbereich, wenn nicht anders angegeben 10.000 (1 ± 1.0 10-3) V Schreibweise mittels relativer Messunsicherheit

24 Die Funktion des Josephson Elements ist unter „Normale elektrischer Grössen“ beschrieben.


7.1.6. Ermittlung der Messunsicherheit Die Angabe des vollständigen Messergebnisses sollte entsprechend dem international vereinbarten Vorgehen nach GUM erfolgen. Dabei werden die Unsicherheiten des Typ A (Messstatistik und Typ B (meist basierend auf Herstellerangaben) zusammengefasst.

7.1.7. Messabweichung, Fehlerkenngrössen Die Messung hat das Ziel, den Wert der jeweiligen Messgrösse zu erfassen. Dies ist aber nur mit einer bestimmten Messunsicherheit möglich (GUM bzw. DIN 1319, T3). Nach der neuen ISO Terminologie wird der Begriff wahr vermieden, da er ja unbekannt ist. Man spricht dann von dem wahrscheinlichsten Schlussresultat, dass mit einer bestimmten Unsicherheit behaftet ist. Alte Definition: Der Fehler ist die Differenz des "wahren Wertes" vom aktuellen Messwert x absoluter Fehler: relativer Fehler:

7.1.8. Gilt für Messgerät oder ein ganzes Messverfahren Fehlergrenze (maximaler Fehler – meist Rechteckverteilung) Garantiefehlergrenzen: Die vom Hersteller garantierten Grenzen des Gesamtfehlers Fehlerklassen: Die Klassenbezeichnung entsprechen den Fehlergrenzen in Prozent (üblich sind die Feinmessklassen 0.05, 0.1; 0.2; 0.5 sowie Betriebsmessk. 1; 1.5; 2.5, 5%)

Bekannte systematische Fehler Unbekannte systematische Fehler

Zufällige Fehler

Linearitätsfehler Nullpunktfehler Empfindlichkeitsfehler: Quantisierungsfehler:± Digit; z.B.relativ ≅1/2n+1 Hysteresefehler: Auf / Abmessung

Sie werden auf Grund experimenteller Erfahrung vermutet, können aber nicht genau ermittelt werden.

Rückwirkung des Fühlers Jede Messung beeinflusst die Messgrösse.

Dieser Messfehler lässt sich im Allgemeinen erfassen und korrigieren.

Die zufällige Streuung eines Messwertes um den Mittelwert wird durch die Standardabweichung beschrieben. Die Messunsicherheit des Mittelwertes lässt sich durch eine höhere Anzahl an Wiederholmessungen verringern.

Definitionen: FSR (Full Scale Range, FSO Full-Scale Output) Messbereich oder v.Sp. (von der Spanne) wenn Fehler relativ zur Messspanne oder Messbereich angegeben wird. Oder mit v.Mw. (vom Messwert). Auflösung (Resolution) wird oft in Bits angegeben - vgl. Quantisierungsfehler

7.1.9. Systematische Messabweichung Definition25: Ein Fehler heisst systematisch, wenn er sich bei gewollten Veränderungen der Messbedingungen gesetzmässig verhält; das heisst, bei Wiederholung entweder konstant bleibt (konstantes Vorzeichen und Betrag) oder sich in Funktion des beeinflussten Messparameters ändert. Systematische Fehler (Messabweichung) sind bis auf die Unsicherheiten korrigierbar, weil sie in Betrag und Vorzeichen mit einer festen Funktion mit dem Messwert oder Messparameter verbunden sind. Diese nachträgliche Korrektur (ISO: correction, DIN 1319-1) setzt aber voraus, dass entweder durch ein Hilfsexperiment die Grösse der Korrektur gemessen wird (DIN 1319-1: Kalibrieren; VDI- 2622), oder dass die Korrektur theoretisch berechenbar ist. Dabei muss immer gelten, dass die Korrektur klein in Bezug auf die Messgrösse ist. Ansonsten ist das verwendete Messverfahren ungeeignet. 25 Kapitel 2 in W. Gränicher, Messung beendet was nun?; Teubner Verlag Stuttgart, 1996; ISBN 3-519-13659-7

wahrerWertxx −=∆wahrerWert

wahrerWertr =∆

xxx −


8 Beispiel, Übungen

8.1 Kapitel 1 U 1.1 Galilei s Messtechniken Nennen sie drei methodische Ansätze die Galilei bei seinem Versuch der Messung der Fallgesetze mit dem Brett und der Kugel befolgt hat, die heute noch beachtet werden:

1.

2.

3.

U 1.2 Grössenordnungen der Messunsicherheit Mit welcher relativen Genauigkeit kann heute in den besten Labors der Welt die Zeit Länge Masse und die elektrische Spannung gemessen werden. Machen sie eine Websuche nach jenem Multimeter am Markt das die höchste Auflösung aufweist. Kommentieren sie die Bedeutung der letzten Stelle dieses hoch auflösenden Multimeters.

U 1.3 Die Forderungen des Marktes Nennens sie drei Punkte die der Markt von der Messtechnik erwartet

1. 2. 3.

U 1.4 Messkette Skizzieren sie Hierarchie Pyramide der Messtechnik und die Messkette/Rückführbarkeit. Geben sie in der Rückführbarkeitskette für drei Punkte eine Grössenordnung der dort durchgeführten Kalibriermessungen jährliche, am Beispiel Deutschlands an.

U 1.5 Ursache der Unsicherheit

Nennens sie fünf Ursachen der Messunsicherheit: 1. 2. 3. 4. 5.


8.2 Kapitel 2 U2.0 Widerstandsmessung mit Multimeter Berechnen sie das vollständige Messergebnis der Spannungsmessung mit dem Voltmeter A im Einführungsbeispiel von Kapitel 1 auf Seite 1 (Tabelle 1). Lösung: Das vollständiges Messergebnis der Teilspannung A beträgt (1.0012 ± 0.0003) V mit einer geschätzten Überdeckungswahrscheinlichkeit von 68% Anmerkung: ua=0.082 mV und ub=0.337 mV


U2.1 Widerstandsmessung mit Multimeter Mit einem Multimeter wurde in Vierleitertechnik eine Widerstandmessung durchgeführt, wobei nachfolgende Zwischengrössen errechnet wurden.

Mittelwert der Anzeigewerte m=111.712 Ohm Standardabweichung des Mittelwerts sm= 0.0003 Ohm Garantiefehler des Ohmmeters 4_Leiter ag= 0.0240 Ohm zulässiger

Bereich ±agBerechnen sie das vollständige Messergebnis und beschreiben sie unter welchen Annahmen dies so angegeben werden kann. Lösung: Das vollständiges Messergebnis der Widerstandsmessung beträgt (111.712 ± 0.014) W mit einer geschätzten Überdeckungswahrscheinlichkeit von 68%


U2.2 Widerstandsmessung am PT100 Simulator Bestimmen sie im Labor mit dem Tischmultimeter HP mit Vierleitermethode die Genauigkeit des PT100 Simulators. Es sind mindestens 3 Messwerte pro Temperaturwert aufzunehmen. Stellen sie die Abweichungen zu den Normwerten des PT100 in Grad Kelvin dar und tragen sie zusätzlich die in der Norm angegebenen Toleranzangaben der Klasse A und ein Drittel davon A/3 ein. Führen sie für die Temperatur von 100 C auch eine Vergleichsmessung nach der Zweileitermethode durch und diskutieren sie die Ergebnisse. Lösung siehe unter http://www.ntb.ch/sensor/wtm/m_error/u_PT100_Simulator.pdf


http://www.ntb.ch/sensor/wtm/m_error/u_PT100_Simulator.pdf

8.3 Kapitel 3 U3.1. Gaussverteilung In einer Produktionslinie werden 10 kOhm Widerstände gefertigt die eine Standardabweichung von 20 Ohm aufweist. Der Erwartungswert entspricht dem Nominalwert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Ausschuss zu erwarten:

1. mindestens 9.97 k Ohm 2. höchstens 10.05 kOhm 3. um maximal +/- 30 Ohm vom Nominalwerte 4. wie muss man die Toleranzgrenzen 10kOhm +c und 10kOhm –c wählen, damit

genau 5% Ausschuss zu erwarten ist Lösung: 1) P=0.0668; 2) 0.0062; 3) 0.1336; 4) (10 ± 0.0392) kOhm


U3.2 Standardabweichungen / Wahrscheinlichkeiten verschiedener Verteilungen Berechnen sie die in der nachfolgenden Tabelle angegebenen Standardab-weichungen und die Wahrscheinlichkeiten, dass der Wert innerhalb der Standardab-weichung liegt für folgende Verteilungen (Die Grenzen bzw. charakteristischen Kennwerte der Verteilungen soll jeweils a sein.) Tab U.3.2 Kenngrössen von Verteilungen

Verteilung Formel für s(a) Wahrscheinlichkeit innerhalb von s

Anmerkung

Gauss s = σ 68% Rechteck

3as

22 =

58%

Dreieck 6as

22 =

65%

Trapez (Knick bei a/2) 24

a*5s2

2 = 61%

Werte eines gleichmässig abgetasteten Sinusverlaufs 2

as2

2 = 50% U-

Verteilung Lösung Hinweis: Trapezdichteverteilung: f1(x)=2/(3a) für |x|<a/2

f2(x)=4/(3a)*(1-(x/a)) für a/2 < x < a Zur numerische Lösung Sinusverlauf (konstante Zeitschritte N=1000); U-Verteilung

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t/T

u(t)=

sin

(2pi

t/T)

U=sin(omega)u>ueff

Fig. U.3.2 a Zeitverlauf und Darstellung der Sigmafunktion für |u(t)| < s=Ueff

f(U)Häufigkeitsdichte der Spannung

des sinusförmigen Zeitverlaufs u(t)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Klassen der Momentanwerte der Spannung u(t)

f(U)

Fig. U.3.2b Häufigkeitsdichte u(t)


U 3.3. Student-t Verteilung: Aus einer Produktionscharge von Operationsverstärkern wurden zwei Stichproben-messungen der Offsetspannung durchgeführt mit unterschiedlicher Stichprobenzahl. Für den ersten Stichprobenumfang von n1=10 beträgt die empirische Standardabweichung 25.4uV, mit dem Mittelwert von m1=2uV. Bei der zweiten Stichprobenmessung mit dem Stichprobenumfang von n=100 lag die empirische Standardabweichung bei 22.1uV und der Mittelwert bei 0.5uV. (vgl. Fig. 6) Geben sie für die beiden unterschiedlichen Messreihen jeweils die Bereichsgrenzen für das Auftreten einer Einzelmessung innerhalb der Grenzen mit einer Wahrscheinlichkeit von 95.5% an. Geben sie zusätzlich jeweils den Bereich für den Mittelwert der Verteilung an mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 68%.

Lösung: Bereichsgrenzen

Einzelwert der Stichprobe Mittelwert Bereichsgrenzen 95.5% Bereichsgrenze 68%

Werte in uV untere Grenze obere Grenze untere Grenze obere Grenze 1. Stichprobenmessung -58.2 62.2 -6.51 10.512. Stichprobenmessung -44.6 45.6 -1.71 2.71


U3.4. Fehlerfortpflanzung Widerstandsmessung: Der Wert eines Widerstandes soll über die Messung von Strom und Spannung mit dem gleichen Multimeter (Garantiefehlergrenze 0.1 Klasseninstrument) erfolgen. Berechnen Sie die resultierende Messunsicherheit, wobei die Schwankung der Messwerte und andere Einflussfaktoren mit Ausnahme des Garantiefehlers vernachlässigbar seien. Der aktuelle Messwert von Strom und Spannung befinde sich jeweils im Bereich des Messbereichsendwertes. (Hinweis: stellen Sie die Abweichungen relativ zum besten Schätzwert der Messgrössen dar.)


U3.5. Fehlerfortpflanzung Teilsspannungsmessung: Vergleichen sie das resultierende Messergebnis der Gesamtspannung C des Einführungsbeispiels (Kapitel 1, Seite 3) mit der Summe der beiden Teilspannungs-messungen A, B unter Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes. Interpretieren sie das Resultat. Lösung

Messergebnisse Spannung

A Spannung

B Spannung

C Spannung

A+B wahrscheinlicher Wert [V] 1.00120 1.00040 2.00140 2.00160 +/- u_res [V] bei 68% 0.00035 0.00034 0.00063 0.00048


U3.6. Fehlerfortpflanzung Leistungsmessung am ohmschen Widerstand Es soll genau die Verlustleistung an einem 1 kOhm Widerstand auf der Basis einer aktuellen Spannungsmessung gemacht werden. Das Voltmeter Metra Hit 26S (vgl. Seite 3) misste eine Spannung von 10 V. Die Widerstandsmessung wird mit demselben Multimeter durchgeführt. Bei den beiden Teilmessungen war jeweils die Schwankung der Anzeigewerte auf die resultierende Messunsicherheit zu vernachlässigen klein. Interpretieren sie aus dem Resultat welchen Einfluss an der resultierenden Messunsicherheit von der Spannungs- bzw. von der Widerstandsmessung kommt. Wie könnte die Leistung mit dem gleichen Typ Multimeter noch genauer bestimmt werden.

10 Auto Zero ON Quelle des Datenblatts: http://www.gmc-instruments.com/resources/tt/hit22-26m/db_gb.pdf vom April 05 Lösung

2

R

R2

U

U2

P

P

ms

ms2

ms

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Relative Unsicherheiten: su/mu=0.034%; su/mu=0.065%; Ergebnis sP/mP=0.093% Endergebnis P = 100.000 mW +/- 0.093mW mit geschätzt 68% Wahrscheinlichkeit


http://www.gmc-instruments.com/resources/tt/hit22-26m/db_gb.pdf

U3.7. Fehlerfortpflanzung Temperaturmessung PT100 Das Temperaturmesssystem besteht aus dem resistiven Temperaturaufnehmer Typ PT100/TST12 von Endress+Hauser der Klasse B (±0.8ºC). Mit dem Gossen Multimeter 26S wurden nachfolgende 4 Messergebnisse bestimmt. Anzeigewerte in Ohm 139.48, 139.52, 139.51, 139.49 (Messbereich 300Ω). Durch eine Kontrollmessung mit dem gleichen Multimeter wurde für den gesamte Zuleitungswiderstand ein Anzeigewert von 1 Ohm ermittelt. Geben sie alle Unsicherheitsangaben in Grad Celsius an a) Geben Sie das resultierende Messergebnis mit 68% Vertrauensbereich an. b) Auf welchen Betrag kann die resultierende 68% Messunsicherheit voraussichtlich

reduziert werden, wenn doppelt so viele Messwerte aufgenommen werden. c) Wie gross ist die resultierende Messunsicherheit, wenn der Messbereich 3kOhm

gewählt wird. d) Welcher (systematische) Fehler würde bei dieser Zweileiter-Messung entstehen,

wenn die Kupferzuleitung sich um 10ºC erwärmen würde. (αCu,20C=0.00391/K) Diskutieren sie das Ergebnis.


U3.8. Fehlerfortpflanzung Invertierender Operationsverstärker Mit einem Multimeter (Kenndaten siehe Tabelle 1) wird die Ausgangsspannung einer invertierenden Operationsverstärkerschaltung gemessen. Die Anzeigewerte lauten in Volt: 9.000; 9.003; 9.001; 9.002; 9.004 wobei der Messbereich 30V verwendet wurde. Durch eine Hilfsmessung mit dem gleichen Multimeter wurden die beiden Widerstände der Operationsverstärkerschaltung gemessen. Dabei schwankten die Anzeigewerte nicht. Sie betrugen Ra=1 002.0 kΩ (MB: 3MΩ); Re=10.010 kΩ (MB: 30kΩ). Zuleitungswiderstände vernachlässigbar. a) Berechnen Sie aufgrund obiger Angaben zur Ausgangsspannung und der übrigen Unsicherheitsquellen der Widerstände die gemessene Eingangsspannung der Operationsverstärkerschaltung samt Unsicherheitsbereich. (gehen sie für diese Teilaufgabe von einem idealen Operationsverstärker aus) b) Durch eine Hilfsmessung versuchen sie jetzt die Unsierheit durch die Eingangs Offsetspannung des idividuell eingesetzten OP’s zu bestimmen. Dabei haben sie den Eingang der Schaltung kurzgeschlossen und am Ausgang mit obigem Multimeter das Messergebnis 2.00 mV mit einem resultierenden Unsicherheitsbeitrag von 0.05 mV erhalten. Berechnen Sie aufgrund obiger Angaben zur Ausgangsspannung und der übrigen Unsicherheitsquellen inkl. OP Verstärker die gemessene Eingangsspannung der Operationsverstärkerschaltung samt Unsicherheitsbereich.

Tabelle 1: Multimeter A Kenngrössen - Herstellerangaben

Lösung: Die relativen resultierenden Messunsicherheiten (ures/m jeweils bezogen auf den Mittelwert) lauten: für Ua: 0.036%, für Ra: 0.065%, für Re: 0.065%; Resultat ohne OP-Offset: Ue=0.089930 V +/- 0.000088 V Resultat mit OP-Offset: Ue=0.089910 V +/- 0.000088 V


U3.9. Fehlerfortpflanzung Operationsverstärker - Kaltstellenkompensation Zur Messung der absoluten Temperatur mit Thermoelementen muss die absolute Umgebungstemperatur der Vergleichsstelle gemessen werden. Im vorliegenden Fall (absolute Temperatur 500 ºC) steht die bereits verstärkte Thermoelementspannung Ue1= - 4.75V (entspricht noch nicht der absoluten Temperatur sondern nur der Temperaturdifferenz von 475 ºC zwischen Vergleichs- zur Messstelle) sowie die gemessene Umgebungstemperatur ( 25 ºC), in Form der Spannung Ue2= 0.25V zur Verfügung. Jetzt soll die eigentliche Kaltstellenkompensation mit einer einfachen Operationsverstärker Subtrahierschaltung erfolgen (alle vier Widerstände sollen den gleichen Wert haben.) Der hier verwendete Operationsverstärker hat eine Offsetspannung von 1mV( Standardabweichung der Gaussverteilung) und die Widerstände haben eine 1% Garantiefehlergrenze. Alle anderen Fehler/Unsicherheitseinflüsse werden vernachlässigt. Diese Schaltung soll in Serie gefertigt werden. Sie sollen nur für obigen OP-Subtrahierer die Schwankungsbreite (68% Vertrauensbereich) der Ausgangsspannung einer Produktionscharge aufgrund der angegebenen Toleranz, bei den oben gegebenen Temperaturen berechnen.

Lösung:

• Teilergebnis Ausgangsspannung 1

21OFF

1

21e

1

21

43

42ea R

RRU

RR

UR

RRRR

RUU

++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

=

für ideale Bauelemente Uoff=0, Toleranz von R gleich 0% folgt Ua=5V • Anwendung Fehlerfortpflanzungsgesetz:

ableiten von Ua nach R1, R2, R3, R4 und Uoff Begründung: Der gleiche Berechnungsweg kann vollzogen werden, wenn ein eine einzelne Verstärkerschaltung vorliegt, bei der das resultierende Endergebnis die Ausgangsspannung Ua ist und die Teilmessergebnisse, vier Widerstandsmessungen R1, R2, R3, R4 sowie die Messung der Schwankungsbreiter der Offsetspannung von 1mV vorliegen würde.

• Ergebnis: ± 40mV Schwankungsbreite von Ua innerhalb der Produktionscharge • vgl. Vorgehen bei der Berechung der Schwankungsbreite des realen

Verstärkungsfaktors einer OP Invertierschaltung – Thermoelement ( http://www.ntb.ch/sensor/wtm/m_op/u_exemplarstreuung_op_thermoel_e.pdf ) Labview Animation: http://www.ntb.ch/sensor/wtm/anim/OP_Offset_Verteilungen.vi )


http://www.ntb.ch/sensor/wtm/m_op/u_exemplarstreuung_op_thermoel_e.pdf

http://www.ntb.ch/sensor/wtm/anim/OP_Offset_Verteilungen.vi

8.4 Kapitel 4 U 4.1 Häufigkeitsverteilung Widerstände Führen sie eine Widerstandsmessung mit Multimetern in Zweileiteranordnung durch. Ziel ist die Bestimmung der Verteilung der Widerstandswerte in der Produktionscharge und ein abschliessende Diskussion wie die Toleranz eingehalten wird. 1. Teil: Messreihe an einem einzelnen Widerstand (in erster Spalte ist in der zweiten Zeile der jeweilige EXCEL Befehl angeführt)

Multimeter Bryman BM837RS [Ohm]

Multimeter HP3471 [Ohm]

Multimeter Agilent [Ohm]

1 Messwert

2.Messwert am selben Widerstand

2. Messwert am selben Widerstand



Analyse Typ A Unsicherheitsbeitrag arith. Mittelwert m m=Mittelwert()

Anzahl Messwerte n =Anzahl()

emp. Standardabw. s =STABW()

Standardab. Mittelw. sm=s/WURZEL(n) = uA

Analyse Typ B Unsicherheitsbeitrag Nullpunktsabweichung Garantiefehler =an

Empfindlichkeitsabw. Garantiefehler =ae

uB=WURZEL ((ae^2 + ae^2)/3)

Analyse resultierender Unsicherheitsbeitrag ures=WURZEL (uA^2 + uB^2)

Korrektion des Messleitungswiderstandes Messung Kurzschluss Ergebnis Schätzer für m

Ergebnis +/- Unsicherheit

Teil 2: Erstellen sie ein einfaches Messdatenerfassungsprogramm und führen sie mit dem Tischmultimeter an 50 verschiedenen Widerständen ebenfalls in Zweileiter-messung Messungen, mit je 4 Stichproben durch und speichern sie nur die zwei Zahlen des Messergebnisses jedes Widerstandes in eine Datei ab. Lösung: Vgl. Seite 21


U 4.2 Häufigkeitsverteilung bei der Spannungsmessung a) Bestimmen sie mit der PC-Einsteckkarte die Verteilungen bei der Messung der Spannung von 5V an den drei möglichen Ausgängen der HAMEG DC-Versorgung im EMS- Labor. Bestimmen sie direkt aus dem Zeitverlauf der drei gleichzeitig erfassten Kanäle die Auflösung der Karte 12 bit Karte und ermitteln sie daraus den tatsächlichen Messbereich. Messen sie zusätzlich mit dem Agilent Multimeter die Spannung im DC und im AC Bereich. b) Bestimmen sie ebenfalls die Häufigkeitsverteilung wenn sie den Agilent Funktions-generator als Signalquelle benutzen. Dabei ist zum einen ein Sinusverlauf und danach ein Dreiecksverlauf zu wählen. In beiden Fällen sollen die Einstellwerte am Funktionsgenerator mit Offset von 200mV und einer Amplitude von 100mV gewählt werden. (Überprüfung mit dem Oszi) Messen sie zusätzlich mit dem Agilent Multimeter die Spannung im DC- und im AC-Bereich. Analyse: Ermitteln sie für beide Messreihen die statistischen Kenngrössen und speichern sie die Zeitverläufe direkt auf File. Stellen sie mit einem beliebigen Softwaretool die Häufigkeiten dar und berechnen sie auch die statistischen Kenngrössen. Diskutieren sie den Zusammenhang zwischen den statistischen Kenngrössen und der Messergebnissen des Multimeters. Optional: Darstellung der Häufigkeitsverteilung und Berechnung der statistischen Kenngrössen in Labview.


8.5 Kapitel 5 U5.1 Kalibrierung mit dominanter Rechtecksverteilung Ein Multimeter zeigt im zu kalibrierenden Messbereich von 100V die Spannung bis auf die Stelle mit der Wertigkeit 0.1V an. Der Unsicherheitsbeitrag durch diese begrenzte Auflösung sei für die das bei der Kalibrierung übliche Vertrauensniveau (Überdeckungswahrscheinlichkeit) zu berechnen. Berechnen sie auch den Faktor mit dem die empirische Standardabweichung multipliziert werden muss um bei für diesen rechtecksverteilten Unsicherheitsbeitrag die Grenzen für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95% zu erhalten. Lösung: Unsicherheitsbreite für 95% Überdeckungswahrscheinlichkeit u95 = ± a*0.95= ± 1.65*s vgl. DKD-3-E2 unter S.9.11 und S.9.14 Link zum download von DKD Dokus: http://www.sas.ch/de/documents/scs/el_content.html


http://www.sas.ch/de/documents/scs/el_content.html

U5.2 Kalibrierung eines Digitalmultimeters Führen sie im Labor die Kalibrierung des „alten“ HP 3478A Multimeters mit Hilfe des neuen Multimeters 34401A von Agilent durch. Dabei nutzen sie als Spannungsquelle das Hameg HM8142. Erstellen sie dazu einen Kalibrierschein. Muster eines Kaliberscheins unter (http://www.esz-gmbh.de/Kalibrieren/Musterkalschein_mit_MU.pdf ). Fügen sie ans Ende des Kalibierscheins eine kurze Bewertung über die Brauchbarkeit des Agilent 34401A und des HM8142 zur Kalibrierung zur Kalibrierung des obigen Messobjekts. Kenndaten Messobjekt: HP 3478A (Quelle: http://www.valuetronics.com/vt/assets/pdfs/HP_3478A.PDF

Kenndaten Kalibrator : Agilent 34401A (Quelle: http://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5968-0162EN.pdf )


http://www.esz-gmbh.de/Kalibrieren/Musterkalschein_mit_MU.pdf

http://www.valuetronics.com/vt/assets/pdfs/HP_3478A.PDF

http://cp.literature.agilent.com/litweb/pdf/5968-0162EN.pdf

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MESSUNSICHERHEITEN in der Praxis - imet.tu-clausthal.de · 1 Einführung Warum das Thema Messunsicherheit eine Rolle spielt, welche Widersprüchlichkeiten in der Praxis auftauchen,