Vielc Probleine der Dyiimnik, insbesondere die bei gesteuerten Systemen (Synthescprobleiiie, Rewertung des Ubcrgangsvcrhal- tens, Empfindlichlreitsaussagen, Struktareigenschaften linearrr Systenic), ibesitzen einen engen Uezug zur direktcn Methode der 1 A ~ - 4 ~ u ~ o v s c h e n Stabilitiitstheorie. Fur lineare Systeme spiclt die ~dJaPrJNOv-Matriaengleichung hierbei eine Schliissel- rolle, da ihre Liisungseigenschaften die Systemeigenwertvertei- lung und damit das dynamische Verlialten der linearen Systemc charakterisiert. Die in den letzten beiden Jahrzehnten zu dieser Probleniatik erzielten Forschiingsergebiiissp, insbesondere die algebraischen Methoden im Zustandsraum, iibten riickwirkend cinen belebenden EinfluO auf dic St>abilitLt&heorie aus. Der Bncht.it,el weist bereits auf den direkten Ziisanimenhang zwi- richen Stabilitiitstheorie und Matrizenalgebra hin.

BZan erhiilt in dem Buch einen tfberblick iiber bekannte Sta- bilitiitssiitze fur lineare zeitinvariante Rystemc sowic Erweite- rungen (Verseharfungen) dieser Siltoe, an denrn rler Antor mnl3- gebend mitwirkte. Besondcrs zn erwiihnen sind in diesem Zri- sammenhang die Stabilitat,sfrage bei durchdringender Diinipf ung und die Erweit.erung des Stabilitiitssatzes von TIIOMSON-TA IT- CHETAEV. &lit Hilfe der LJAPuNOV-Matrizengleichung sowic drr Steuer- und Beobachtungskriterien wird der grundsatzliche Auf- ban der StabilitPtssiitze fur lineare Sysbcmc besclirivben. Dabci wird awischen den allgemeinen linearen Systemen nncl den n u s den Differentialgleichungssyst,emen 2. Ordnung abgeleiteten spezicllen linearen mechanischen Mehrkorpersystjenien unt'cr- schieden. Tn die Systenimatrix dieser niechanischen Systeme gehen (M) Massen-, (D) Uanipfungs-, (0) gyroskopisclie, ( K ) konservativc und (N) nichtkonscrvativc h'esselungsmatrizen eiii, die ihr eine spezielle Struktnr verleihcn. Die fur diese (&I-11-C- K-N-)Systenie formulierten und bewiesenen Stabilitats- und In- stabilit-atssatze sind fur die praktische Anwendung deshalb von besonderem Wert, weil sie den EinfluU der einzelnen Kraftc- arten auf das Bt~bilitMsverhalt.en unmittelbar erkennen lassen. Die Ergebnisse der Stabilitltsaussagen fur die M-D-Q-H-N-Sy- stenlo (Asymptotische, Qrenz- uiid 1nstiLbilitatsl)edingiingen) sind in tabellariseher Ubersicht zusnnimengestellt und in dieser kompakten Form nirgends in der Literatur zu finden. Besonders hervorzuheben an diesem Buch ist die leicht verstiindliche, aber dennoeh mathcmatisch exakte Darstellung dcr theorctischen Grundlagen, gepaart mit interessanten teclinischen Anwendungs- beispielen aue dcr Mechanik (Magnetsehwebebahn, Satelliten, Kraftfahrxeug, elastisch gelagerter Rotor und weitere Beispiele aus der ICreiselmechanik) sowie der stiindige Bezug auf prak- tikable analytische und numerische Losungsvcrfahren. Auf diesc Weise gelingt ee, die Brauclibarkeit der entwickelten St'abilitats- siit>ze iiberzeugend zu bestiitigen. Am Rande werden auch die Stabilitat stochastischer Systenie, zeitvarianter Syst'eme und Kontinuumsstabilitatsprobleme angesprochen. Allc Stabilitats- aussagen verstehen sich im LJAPUNOVSChen Sinne, d. h. Frage- st,ellungen der praktischen St,abilit.iit werden nicht behmdclt.

1nsgesa.mt 1iinterliiBt dieses Bueh, aus deni ninn vie1 lernen kann, einen ausgczeichneten Eindruck.

D r r s d e 1 I H. BESINGER

FuEik, 8. / NeEas, J. / SouFek, V., Xinf i i l i rung i n d i c V a r i a t i o n s r e c h n u n g . Leipzig, BSR B. G. Teubner Ver- lagsgrsellschaft 1977. 175 S., M 17,50.

Der Test gibt eine schr gut lesbare Einfiihrung in die cin- und niehrdimensionale Variationsrechnung. Die I)arst,ellung eigiiet. sich als Vorlesung (oder zum Selbststudinm) fur Studenten der Mathemdik, welchen die Anfangsgriinde der IA3BEsauEschen MaBtheorie vertraut sind, und fiihrt in schneller und klar ver- stiindlicher Weise zu den modernen Hilfsmitteln der nichtline- aren Analysis, die in der Variationsrechnung benotigt werden.

Das Kapitel 1 cnthLlt die benotigten funktionalanalytischell Grundlagen (Differenzierbarkeit von Abbildungen in BANACH- RSumen, Extrema mit Nebenbedingungen iind Multiplikatoren- regel). In dein Kapitel2, ,,HAMMERSTEINSche Integralgleichun- gen", werden insbesondere auch die in der nichtlinearen Analysis oft benotigten Xemitzkischen Operatoren behandelt. Kapitel3 enthiilt Existenzaussagen fur sehwache Losungen nichtlinearer elliptischer Differentialgleichungen. Eine Liicke in der Lehrbnch- literatur schlieWt Ka,pitel4, in dem die klassische eindiniensionale Variationsrechnung und Peldtheorie in priignanter Weisc, deit heutigen Anforderungen ma Strenge yenugeiad, dargestellt wirtl. Weiterhin werden in diesem Kapitel einige klassische Aufgaben behandelt (Brachistochronenprobleme, minimale Rotations- flache, Aufgaben mit variablen Endpunkten). Eine kurze Ubersicht zum Minin1alfI6chenproblem (einschlieBlich deR

:Existenzbeweises fur lipscliitzslctigc whn ache 1,iisungen bci konvexem Grundgebiet') wird im fiinften Kapit'el gcgeben.

Den Verfassern ist auf den1 beschrankten Raum cine opt imalc Stoffauswahl gelnngen und der Referent Iiofft', daB der vorlie- gende Band durch e.inen in ahnlichein St.ile geschriebenen Fort- setzungsband erganzt wird, iini weitergehendcn Entmicklungrn der Variationsrechnung in cbenso klarcr W t k den Studcnten und Nichtspczialisten znglnglich zu niachrn.

Bonn J. FRI+HSJG

Eltun,H., H a n d b o o k of H y p c r g c o n i c t r i c I i l t c .g i cL lb . Tlieorv, Auplications, Tables. Comnuter Pronrains. ('liicht~stcr. Ellis Horwood Ltd. 1978. Dist,rib;itors: JoKn Wilry PC Sons: 316 s., I: 18.00.

Ein groUcr 'J'eil der bckannten 1ilassisc:licn spcziellrii 1~' i i i i l i - tionen der Mathematischen Physik lLBt2 sic$ dnrch die hyper- geometrische Funktion ansdriickcn. Es ist dalier zu brgr<ikti. daB mit deni vorliegendcn Buch eratmals cinc %us;iiiiiiienstelliiii~ \-on rund 700 Integralen vorgest'ellt wird, die Iiyprrpccii~it~triscli~ Funktionen oder Verallgenieiiierungeii im Integrantlon rn t h d - ten. Vielc der hier aufgefiihrten Int'egrale sind auch in tlrr Zcit- schriftcnliteratur (das Literaturverzeichnis unifaUt rim1 ti00 Titel) bishcr nicht explizit genannt. Dariiber liinaus wird einc Liste von 50 Computerprogrammen in FORTRAN IV zur Aus- wertung ausgewiihlter Beispiele hypergeometrisclier I ntegralr gegeben, die leicht verallgemeincrungsfiihig sind.

Dem Tabellenteil, dcr etwiL die Hiilftc des l ~ u c l i e ~ uusttiacli(, i d ein t'lieoret'ischer 7'eil rorangestellt, der Dcfinitionen und wichtigstc Eigenschaftrn entliiilt, (ilber natiirlicli die Iieka~iintrii Monographien zur hyper~eonietrisclien Funktion nicht errjet zen kann). Nach eincr Einfiihrung dcr 1iypcrgeome.t.rischcn Funkt ioii und ihrer Verallgemeineriingen werden hicrin Iiypergeomctri- sche Integrale entsprechend der Keihenfolgc behandclt. i i i dcr sic ini Tabellentcil vorkonimen: lntcgralc vom Eiilcrsclicn l 'yp (auch in mehreren Variablen), 1 nkgralc niit variabler otwrcr Grenze und itcrierte lntegralr. Unilaufintrgralc. iinentlliclic Integrale sowie mehrfache Integrale. Ein Abschnitt zn Aii\ven- dungen in verschiedensten Gebieten der Matheniatik n n c l Physik (11. a. Statist,ik, Elastizititstheorie und Hydrodyiiamik, Tliernio- dynamik, Inforniationstheorie, niehtlineare Schwinguiigeii) be- schlieBt den theoretischen Teil.

Insgesamt nird hiermit ein Werk vorgclcgt, dne einc fii1ilI)iire Liicke in einem wichtigen Teil der Literatur zur nngt:wantlten Mathematik ausfiillt und fiir Naturwisseiiscl~aftlrr i i r i t l 'J'rdi- niker eine groBe Hilfe darstrllen wird.

Leipzig (;. I':ISJG.NHIIIC'H

Yikusiliski, J., T h e l3 o chiicr 1 n t c'gra I . Mat~lieniatiscliv Reihe 55. Basel-Stutt8gart, IJirkhiiuscr Vcrlag 1978. Sl I . 233 R., Sfr. 74.-.

111 this book is devrloped in il unifictl \I ay u.11 in(crcst,ing ineasurefree approach to bot,h the LICB l J X and the 13O('HNli.l< integrals. At first; is considrrcd t,he caonciretc case of functions, defined on a n arbitrary finite dimensional (reill) Nuclidwn space R!? wit,h real values a.nd with values in an arbitrary rciil B A X A ~ ~ H space h', respectively. As elementary f~nictions arc uned a) for E = R' funct,ions of t,he form 1f, where 1 is a real numbrr and f is the characteristic function of a half-open q-tliniension;il int.erva1 (such an intervd is called by the aut.hor a brick and f a brick function), b) for arbitrary 8 functions 11, where 1 E I!: and J' is t~ brick function.

The corresponding elementary integrals are extended to niorv general functions by approximating in a suitable wity thrsc funct,ions pointwise by uniformly converging series of elcnicn- tary functions and by defining the integral of such a functioii by the sum of the series of the elementary integrals. This indeed leads (as is shown in an appendix) for case a) to t'hc h B E s G C E integral and for case b) to the BOCHNER integral. This is a nicr, methodically new way to introduce these import'ant notions of integrals. The further development of t'he theory is t,hen realized on an axiomatic hasiR: Thc author coiisiders 8, set' 71 of fiinctioiis from a set K to a real BANACII spare (I$, I./), whcrc i t is iiasunitd that h' contains all real numbers as its elements, such that U is a real vector space, containing for each f E U also I f 1 and J f is a, linear map froin 1' to E , sat.isfying I / f I ;< J I f l . This set of axioms is enlarged succrseively by furt,licr axioms an(\ on the

Ruch hespreehungen UGB

basis of t.liese axioms a t'heory of an abstract BOCRNER int'egral i n const'ruct>ed, generalizing in some sense the DANIELL scheme to seotmvalued fnnctions. Hereby and also in the further parts of t,he book in definit,ions and proofs the aut,hor widely nses his approach of working wit'h absolntely convergent series (of real numbers and vectors). -- The further part)s of the hook contain more special t.opics, thc most important concern the problem of changing variables in integrals and the TITCHM.4RSH convolut.ion tlieoreni. For t,he first one t.he author's aim is to get a far-reaching substit'ntion theorem for the classical BOCH- SER integral ( K - Rp). By generalizing tjhe notion of a partial derivative and t'hus generalizing t,he not'ion of the JACoBIan matrix (of a riiap from RP to 84) the author succeeds in proving siich a theorem. Concerning the TITCHMARSH theorem t'he author considers convolutions for vector-valued functions and he extends his 1%-ellknown proof of the TITCHMaRsR convolut,ion theorem to t'he case of functions with values in certain BANACII algebras. - The hook is writt'en in a very clear and careful manner, and i t is of int'erest for students of mathemat'ics. for physicint>s and engineers (mostly the first parts of the book). an mcll for specialists in int'cgrat'ion theory and functional analysis, too.

ost~scel,ad Wnstro\\. H. POPPE

I)avies,B., I n t e g r a l T r a n s f o r m s a n d T h e i r A p p l i - c ' a t ions . Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1978 (Appl. Mathemat,. Sciences 25). XII, 411 S., 49 Abb., DM 32, - . CS $ l ( j . - ,

Der Ailtor gibt cine Einfiihrnng in die hlethodcn der Tntegral- trillisformationen. die sich unter Zuriickstellung theoretischer I h g m auf die Vielfalt der Anwendungsmoglichkeiten orien- tiert.. Wicht.ige Transformationen, so LAPLACE-, FOURIER-, MELLIN-, Hah.KEr,-Trctnsforniation nnd deren Inverse werden mit ihren wichtigsten Eigenschaften dargestellt. Es bestimmt den Charakter des Buches. daO gleichberechtigt und ohne for- m& Trennung die Anwendung aaf eine grole Zahl von Anf- gitben ai ls verschieden&m Bereichen der Physik vermittelt und diirrh die instriilitiven Ubungsaufgahen trainiert wird. Ent.- slw(vhend nelunen die Darst,ellung spezieller Techniken ziir Be- linndliing verscliiedener Different~ialgleichnngen und Randbe- dingongen. die Transformat'ion von Dist'ributionen und die AUS- nert,ung der lnt,egraldarstellungen einen breiten Rauni ein. Die fiir die Bealisierung wiclit8ige numerische Inversion der Integral- t imisformation rinidet' die Darlegongen ah. Damit ist das Buch nllen zu empfehlen, die sich in die Anwendung der Integral- tratinforinat,ioneii einarbeiten wollen, gediegene Grundkennb- nisse, nus der komplexen Ana'lysis und iiber die Gleichungen dcr niat,hemat,ischen Physik voransgesetzt. wie es gleichzeit,ig als Nachschlagewerk iiber r i d e konkrete Anwendnngsffille gnt,e Jlienste Iristen knnn.

13cdin 0. T,rwom

Courant, It., D i r i c h l e t ' s P r i n c i p l e , C o n f o r m a l M a p - p i 11 g , a n d Minim a1 Surf aces . Berlin-Heidelherg-New York. Springer-Verlag 1977. XJ, 442 S., 68 Abh., DM 46,-. US $ 19.80.

I h vorliegende Buch ist fur eine genze Forschergeneration mif den im Buchtitel genannten Gebieten ein wcgweisender Fiihrer gewescn nnd kann selbst heute noch a19 Wegweiser fur die Anwendungen der direkten Methoden der Variationsrech- niing in der Fnnktionent,heorie dienen. Es ist daher zu begriiBen. daO Rich der Verlag zn einem nnveriinderten Nachdruck dieses ccht CouRAxTschen Buches entschlossen hat. Das Buch best'eht niis 6 Kapit,cln und einem Anhang von M. SCHIFFER iiber Teil- aspekte der Theorie lionformer Abbildnngen, inshesondere An- wendungen dcr BERaM ANNschen Kernfunktionen imd Rxtremal- problenien bei konformen Abhilrlungen. - I'm ersten Kapitel umden die Xandwertaiifgaben der Pot,eiit.in.lt.heorie mittels dcs ~IItICHLETsche~n Prinzips streng gelost. Das zweite Kapitel ist der Theorie konfornier Abbildungen auf Parnllelschlitzgebiete gewidmet, das dritte Kapitel dem Problem von PLATEAU, einem der Hauptgegenstllnde des Buches, der Best'immung von F1S- chen kleinster Obe,rfliiche durch eine vorgegebene R,aumkurve. Dieses Problem der Minimalflllchen hat die Entwicklung der Variationsreohnung stark gefordert nicht znletzt durch Frage- stellungen und Losungsmet,hoden, die in diesem Buch eine ge- Inngene Darst'elhing iind Synthese gefunden hahen. Ini viert,cn

Kapit'el wird die allgemeine Losnngstheorie von DOUGLAS atin- fiihrlich hehandelt niit eshlreichen wertvollen Ergiinzungcn iind Hinweisen auf nngeliiste Probleme bei der Niederschrift des Ruches. Das fiinfte Kapitel enthalt die Theorie konfornier Ah- bildungen mehrfa,eh zusammenhangender Gebiete und das sechste Kapitel die Theorie von Minimalflachen mit freien Riindern sowie der instabilen Minimelflachen. Die wcltweite Anerkennung. die das Buch gefunden hat, ist einmal in der kunstvollen Darst,ellungst,echnik COURANTS ZII suchen, die von heuristischen Bet'rachtnngen ausgeht nnd dem Leser ohnc mathematische Strenge aufzngehen, schrittweisa an das Vcr- stiindnis der Losnngsverfahren heranfiihrt, Zuni anderen in dem grolen Unifang der hier gelosten zent)ralen Prohleme nnd dcr Bereit'stellung grundlegender mnthematischen Mebhoden, die fur weite Bereiche der angewnndten jTnt,heniat.ik nnentbehrlich geworden sind.

TApzig H. RECKERT

Rclwndel, O., S p a r s e - Ma tJr i z e n . E i n e E i nf ii h r u ng ni it Reisp ie len . Munchen-Wien, It. Oldenbonrg Vcrlag 1977. 1/50 S., I 1 Ahh., Dhf32,SO.

Verfasser gibt einen Uberblick iiber die Verfahren fur dir numerische Losnng von linearen Gleichiingssyst,cineri rnit Sparsc- Mat,rizen und fiir die Eigenwert- nnd ~igenvektorhestimmiiii~ dieser Mn,t,rizen. Diese Prohlemstellungen haben in letzter Zeit in verschiedenen Gebieten, wie in der Analyse e1ekt:rischer Netz- werke, in der Netzwerktheorie, bei der Losung von partiellen Differentialgleichungen mit der Methode der finiten Element~e, grole Bedeutung erlangt,. Von den vielen vorliandenen Ver- fahren wird eine Einfiihrung in diejenigen gegeben, die sieh in der Praxis hewahrt hahen. Es wird auf die Prinzipien der Ver- fahren eingegangen, Details und Hinweise fur eine effektive Implementation werden nicht angefuhrt. Die fur die Arbsit mit Sparse-Matrizen wichtigen Techniken und Problemstellungen werden besprochen. Das betrifft, die effektive Speicheriing dcr Sparse-Matrizen (mehrere Moglichkeit'en mit iliren Vor- nnd Nachteilen werden angegeben), weiter das Problem des Pill- in, d. h. die Entstehung neuer Nicht,nulleleniente \ d i r m d der Dreierkszerlegung und die effektive Organisation cler Dreieckszerlegung. Besprochen werden weiter die iterativen Verfahren, ~~Anss-SEIDEr,-Verfahren, snkzessive Uberrelaxation ; Konvergenzsiitze und -1iriterien werden angegeben. Im rZnhang sind einige spezielle Sparse-Matrixalgorithmen, Berechnung ein- zelner inverser Elemente, Block-Eliminat~ionsverfaliren, JACOBL- Verfahren, GAUSS-SEIDEL-Verfahrell nnd SOR-Verfahren als ALGOL-GO-Programme enthalten. Das Buch, das Grundkennt- nisse einer hiiheren Programmierungsspraclie und der nuiiie- rischen Mat,hematik voraussetzt, kann allen empfohleii werden, die sich fiir die numerische lineare Algebra mit Sparse-JIatrizen interessieren.

F. GRUNT) Berlin

Hon, D., E l e m e n t s of O p t i m i z a t i o n . W i t h A p p l i r a - t i o n s i n E c o n o m i c s a n d B u s i n e s s . Berlin-Heidelberg- Kern York. Heidelberg Science Library. Springer-Verlag. 1977.

Das vorliegende Buch wendet sich nicht a'n IIIathemat~iker, sondern an Leser, also insbesondere okonomen, die die mat'he- matische Optimierung, und hier speziell die lineare Optimierung anwenden wollen. Entsprechend ist das Buch konzipiert'. Es setzt nur wenige Grundkenntnisse in der Mathematik voraiis iind verzichtet weitestgehend anf Beweise nnd sehr allgemeine Dar- stellungen. Die Beispiele, deren es sehr viele und sehr inst,riik- tive, besonders aus dem okonomischen Bereich, gibt. bleihen anschanlich nnd nerden meist ausfiihrlich durchgerechnet iind komment'iert, wie iiherhanpt vie1 erklart nnd diskntiert nird. nni clem I m e r deutlich zii machen. weslialb mnn gerade so vor- geht, wie es dann geschieht,. Uas Buch enthilt, eine bet~rScht~liche Auswahl von Ubnnganufgaben und reiehlich Hinweise auf w i - terfuhrende Lit'erat'iir. Alles in allem sclieint es fur den angc- strebten Zweck sehr gut geeignet'. Es liest sich angcnehni nnd kann gerade t)konomen zur Einarbeitung in das Qebiet' der linearen (und t'eils der nichtlinearen) Optimierung empfohlen werden. - Znm Inhalt: In vier einleitenden Kapiteln werden IExtreinalprobleme (von Funktionen einer, dann mehrerer Va- riabler ohne nnd niit Restriktionen bis zu gleichzeit#igen EX- trema mehrerer Funktionen) von Grund auf hehandelt. Dann folgen zwei Kapitel lineare 0pt)imierung niit geomet,rischer

I X , 220 S.. 41 Abb., DM 24,-. US $12.-.