Mit Unterschieden kann man

rechnen…

Prof. Dr. Regina Bruder

FB Mathematik

TU Darmstadt

25.09.2014 Mathematikum

www.math-learning.com

Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …

…in der Sicht auf Mathematik!

…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in

dynamischen Systemen, in der Numerik…

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Der kleine Unterschied macht es schon aus…

Wilkinson-Polynom 20.Grades:

p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) … (x - 19)(x - 20) = x20 - 210x19 …

mit 20 reellen Nullstellen!

Aber:

Geringfügige Änderung beim Koeffizienten von x19 mit:

(210 - 2-23) x19 hat das Verschwinden von 10 dieser Nullstellen

zur Folge!

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Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …

…in der Sicht auf Mathematik!

…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in

dynamischen Systemen, in der Numerik…

…bzgl. der Geburtstage in einer Gruppe

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Kennenlernen mit Mathematik

„Verdopple die Tageszahl Deines Geburtstages.

Addiere 5 !

Das Ergebnis ist mit 50 zu multiplizieren.

Jetzt ist die Monatszahl zu addieren.

Nenne mir Dein Ergebnis!“

Quelle: Niese, G. (1964): 100 Eier des Kolumbus

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Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …

…in der Sicht auf Mathematik!

…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in

dynamischen Systemen…

…bzgl. der Geburtstage in einer Gruppe

…in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken

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Mit Mathematik Aufmerksamkeit erringen –

für Mathematik begeistern

Die "1089"-Rechnung

"Schreibe eine beliebige dreistellige Zahl auf mit einer

Bedingung: Die letzte Ziffer muss mindestens um 2 kleiner

sein als die erste Ziffer.

Darunter setzt Du die umgekehrte Ziffernfolge dieser Zahl.

Subtrahiere die untere von der oberen Zahl!

Schreibe zu diesem Ergebnis wieder die umgekehrte

Ziffernfolge darunter.

Jetzt addiere die beiden Zahlen.

Und ich weiß schon vorher, was Du herausbekommst:...“

1089!!"

Wie geht das?

361

-163

-----

198

+891

7

Mit dem Taschenrechner umgehen, das muss

gelernt werden...

- Tastatureinführung

- Speichernutzung

- Rechenablaufpläne erstellen (RAPs), gegebene lesen und verstehen

- Genauigkeitsfragen, Rundungen

TR behauptet: 1000 1986 = 1000 1987

1000 1985 1000 1986

a : (a - 1) = (a+1) : a

a² = (a + 1) (a – 1)

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Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …

…in der Sicht auf Mathematik!

…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in

dynamischen Systemen, in der Numerik…

…bzgl. der Geburtstage in einer Gruppe

…in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken

…auch in geometrischen Zusammenhängen

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Beobachtung: Das arithmetische Mittel ist etwas größer

als das geometrische Mittel.

Fragen: Ist das immer so? Warum denn?

Beschreibungsebene der Mathematik:

Vermutung:

a b

2 a b> a,b pos. reell

Begründung durch eine geometrische Interpretation:

a b

a b

2

a b

Den kleinen Unterschied sichtbar

machen:

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Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …

…in der Sicht auf Mathematik!

…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in

dynamischen Systemen, in der Numerik…

…bzgl. der Geburtstage in einer Gruppe

…in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken

…bzgl. Könnensniveau, Motivation und Anstrengungsbereitschaft,

Arbeitstempo, sowie in den Lernstilen der Schüler/innen…

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Kognitive Stile

Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass

… Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen

… jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler – jeweils anders –von

motivierend bis hemmend wirkt

…auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen – und sich daher fast

automatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen

Korrelationen bestehen zwischen dem Stil der Lehrer und ihren Schülern (Sternberg

1994)

Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrer

entspricht (Sternberg 1994)

Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einer

Metaanalyse (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for

Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)

Lernstil der Beach Balls

Self-Expressive Learners (Intuitive/Feeling)

Gestalte eine Veranschaulichung für einen

Schlüsselbegriff der Unterrichtseinheit

Experimentier- &

Entdeckungsfreude

Spontanität & Kreativität

Gleichschrittanweisungen zu

folgen,

immer die gleichen

Schreibarbeiten zu machen

Lernstil der Puppies

Interpersonal Learners (Sensing/Feeling)

•Intuitiv, affektiv

•Benötigen Begründung für das Lernen

•Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit

Detailorientiert und gründlich zu sein

Korrigiert zu werden oder ein negatives

Feedback zu erhalten

Zahlen haben Macht!

Der kleine Prinz:

Die großen Leute haben eine Vorliebe für Zahlen. Wenn ihr ihnen von

einem neuen Freund erzählt, befragen sie euch nie über das

Wesentliche. Sie fragen euch nie: "Wie ist der Klang seiner Stimme?

Welche Spiele liebt er am meisten? Sammelt er Schmetterlinge?" Sie

fragen euch: "Wie alt ist er? Wie viele Brüder hat er? Wie viel wiegt er?

Wie viel verdient sein Vater?" Dann erst glauben sie, ihn zu kennen.

(Antoine de Saint-Exupéry)

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Lernstil der Microscopes

Understanding (Intuitive/Thinking)

Denken analytisch, kritisch

Lernen gründlich

Arbeiten alleine

Neue Dinge ausprobieren

offene Probleme lösen

Perfektionisten

Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweils

stets, manchmal oder niemals wahr sind.

Begründe deine Beurteilung schriftlich.

1. Ein Trapez ist ein Rechteck.

Begründung___________________________

2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon.

3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck.

4. Ein Trapez hat parallele Schenkel.

5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander.

6. Ein Rechteck ist ein Quadrat.

7. Ein Quadrat ist ein Rechteck.

8. Eine Raute ist ein Rechteck.

9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel.

10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogramms

sind gleich lang und vier Ecken einer Raute und

eines Parallelogramms sind gleich groß.

Systematisch variieren

Aufgabenstellungen mit kombinatorischen Elementen

Wie oft kann man in dieser Wortfigur das Wort FERIEN lesen?

F E R I E N

E R I E N

R I E N

I E N

E N

N

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Lernstil der Clipboards

Mastery (Sensing/Thinking)

Routinen, vorhersagbare

Situationen

Sinn für Details & Genauigkeit

Ohne Anweisungen arbeiten,

das „große Bild“ sehen

Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.:

Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum

Achievement. Thousand Oaks 2005)

Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen

Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools)

Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alle

Lernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht

Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zum

Unterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nur

ihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.

Didaktische

Analyse

Berücksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der

Aufgabenwahl (vor allem für Einstiege, Übungen und Langfristige HA)

1. Welche Fähigkeiten, Verfahren und Schlüsselbegriffe müssen die Lernenden

beherrschen?

2. Welche Kernbegriffe, Muster oder Prinzipien müssen die Lernenden vertieft

verstehen?

3. Wie werden die Lernenden persönlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder

gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken?

4. Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden,

visualisieren, anwenden oder mit ihnen experimentieren?

Schlussfolgerungen

Lernprotokoll, Checkliste, mind-map

Wdhlg. mit Kopfübung

Lerntagebuch, eigene Beispiele finden,

Mathegeschichten erfinden...

Schlussfolgerungen

Hausauf-

gaben

Innermathematische vs.realitätsbezogene Aufgaben

Gelöste Beispiele einbauen (für Clipbords)

Abstrakte Aufgaben einbauen (für Microskopes)

Selbstregulationselemente verstärken (für Beach Balls)

Partnerbearbeitung einer Hausaufgabe zulassen (für Puppies)

Wahlauf-

gaben

Komplexe geschlossene vs. offene Aufgaben (für Clipboards)

Innermathematische vs. anwendungsbezogene Aufgaben

Hilfen z.B. in Form von Tippkärtchen abrufbar (v.a.Puppies, Clipboards)

Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen)

Einstiege Offene vs. geschlossene Aufgaben (für Clipboards)

Innermathematische vs. anwendungsbezogene Situationen

Theoretische Darstellung zum Thema alternativ anbieten (für Microscopes)

Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen)

Mit Unterschieden „rechnen“ kann man …

…in der Sicht auf Mathematik!

…mit der lokalen Änderungsrate, bei Differenzengleichungen, in

dynamischen Systemen…

…bzgl. der Geburtstage in einer Gruppe

…in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken

…bzgl. Könnensniveau, Motivation und Anstrengungsbereitschaft

sowie in den Lernstilen der Schüler/innen…

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Unterrichtskonzept von MABIKOM

Differenzierende Unterrichtseinstiege

Lernkontrolle

Aufgabenset (Erste und vertiefende Übungen

mit Schwierigkeitseinwahl) Lernprotokoll

(Verständnis fördernde

Reflexionen zum Thema)

Checkliste (Selbsteinschätzung

der eigenen Basiskompetenz)

langfristige

Haus-

aufgabe

Blütenaufgabe (anforderungsgestufte

selbstdifferenzierende

Aufgaben)

Kopfübung mit

Diagnose

Kopfübung mit

Diagnose

Kopfübung mit

Diagnose

t

Wachhalten von Basiswissen Reichhaltiges Übungskonzept (Selbst)Kompetenzdiagnose

„Blütenaufgabe“: Rechenzauber (ab Kl.5)

- als Lern- und Testaufgabe geeignet

Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: „Denke dir eine Zahl.

Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganze nun mit 4 und ziehe

36 ab.“

Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachte Zahl

benennen kann.

a) Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten?

b) Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64.

Welche Zahl hatte er sich gedacht?

c) Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte

Zahl berechnen?

Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert.

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Blütenaufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit

An der Anlegestelle einer großen Fähre steht:

Karte 1 Person 50€

Blockkarte 8 Personen 380€

Blockkarte 20 Personen 900€

a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 4 Personen zu zahlen?

Quelle: Jordan, Univ. Kassel, 2004

b) Wie viele Karten bekommt man für 300€ ?

c) Für 24 Schüler rechnet Frank einen Preis von 1140€ aus.

Maike meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann.

Maike recht? Begründe.

d) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen.

Was wäre ein angemessener Preis?

a) (x x -)

b) (- x x)

c) (x - -)

d) ((-) – (-))

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Blütenaufgaben

- drei bis fünf

Teilaufgaben

- steigender

Schwierigkeitsgrad

- evtl. zunehmende

Öffnung

- gemeinsamer Kontext

erleichtert konzentrierte

Bearbeitung

vereinfacht das

Besprechen der

Teilaufgaben

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Umgang mit

Wahlmöglichkeiten

Erwartungshorizont beim Arbeiten

mit Wahlaufgaben erstellen

günstiges Lernklima durch

individuelle Rückmeldungen

schaffen

Auswahl üben (begründen und

reflektieren lassen)

Eine realistische

Selbsteinschätzung einzelner

Schüler gelingt nicht immer

Die Bereitschaft leistungsstärkerer

Lernender sich mit den

schwierigeren Aufgaben

auseinander zu setzten bleibt

manchmal aus

Frustration bei schwächeren

Schülern

Überforderung in den

Auswahlsituationen

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Vielen Dank für das Interesse!

Kontakt:

bruder@mathematik.tu-darmstadt.de

www.madaba.de Aufgabendatenbank für Mathematik-

Lehrkräfte

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