202 I.ilciiie Mittrilu ngc.ii

r e s p e c l i c d y . 1 i ~ boll5 cases, define f:[O, 11 -. 10. 11 u {2} bg

Then f its a-puasiconvez but not ( I - \)-prtsicowr.r.r n i i d thercvote ti01 sytiiiiietiicnlly a-qurcsicoavex.

Proof : For both (a) and (b) we have ( 1 - a ) 0 , 1 1 -- : a = p /q B A u {0, 1) . Hence, 0 = f ( 0 ) <f(l) = I < 2 = = f((1 -a) - 0 4- a . l).Tliis prover t h a t f i s not (1 - a)-quasi-

.r[or L E A u {0, I } S f o r z E (0, 1) \ &4 . j ( 2 ) :-

convcs. 011 the 0 t h hand, we get (rciiieinber that q > p ) :

z c ' (1 - %) y - r- -4- 1 - - - -- v P'lk ( ;);L

lllonotorie Eirigrcnzufig 1 on in1 ergen I<lcnirntw diirch ein qufldratisch koiivergcntes Verfatircn ohne DurchsFlinittsbiiduna

I . % i r l s t c ~ l l i i n g Die vorlicgcnde Dlitteiliing befafit sidi i i i i t tlcr itc>rativcn Sacl i - vcrbesseriing einer Xiiheriing inu frir clas zu brst iiiinieiitle inverse lCleincnt tines vorgrgcbcncn I+~lrnicnt ev, n diirt~li eiii ~iioiiotor~ rinschlielJendcs Verfahrcn. Sic beeirfit sit*Ii rioniittclb,ir , i t i f d i c s kurzlich erschienenen Srbeiten [ 1 1 und 12 I.

Von SCIINIDT ist in [l] fiir das Verfahren

do = e - U1ll0

a lrssetz~ulg von

(2) dcn Defekt voii ?I!,, bczciclinet, gcxeigt I\ orcicn, c h U tiiitcr Vor-

lileine Mitteilungen 203

geschrieben werden, womit ersichtlich wird, daD im Grunde in jedeni Schritt eine Durchschnittsbildung erforderlich ist. I n der jetzigcn Mitteilung sol1 aufgezeigt werden, da13 diese einen Zu- satzaufwand erfordernde Durchschnittsbildung entbehrlich ist. Das zii (7) gehorende Verfahren ohne Durchschnittsbildung r n 4 1 =: n, , , -1- 2,)dn - ynd,

? / t i + l = In,, + ? / d k - xn& schlieBt a-I ebenfalls im Sinne von ( 5 ) monoton ein, sofern die bereits beim Verfahren (1) hinreichenden Voraussetziingen (3), (4) erfiillt sind, und im Falle von (6) liegt quadratische Konver- ~ c n z vor. Falls sich daher im Verfahren (7) fur einen Index na die IJnglcichnngen xm 5 urn und tr, 5 ym einstellen, stimmen die Verfahren (10) und ( 7 ) fur alle n 2 m uberein.

Es sei erwlihnt, daB es bemerkenswert und gleichzeitig vor- teilhaft ist, da13 Voraussetzungen z. B. der Form

nicht, erforderlicli sind. Wahrend die Berechnung von Start- elementen mit den Eigenschaften (3), (4) bei Vorliegen eincr hinrcichend guten, invertierbaren Niiherung fur a-l im allge- nieinen keine Schwierigkeiten bereitet, ist selbst in diesem gunstigen Fall keine Konstruktionsvorschrift fur m,, bekannt, welche fiir den zugehorigen Defekt d,, die Eigenschaft (11) ab- sichert.

Piir weitere Arbeiten zur Eingrenznng von inversen Elemen- tcn sei auf clir 1,iteratnrangahen in [11 nnd [2] sowie aiif [ t i ] V(YV icwm.

(10)

do 2 0 oder do 5 0 (11)

2. Allgenieine V o r a u s s e t z u n g e n Es bezeichne h! einen vollstiindigen, normierten Ring rnit dem Xiillelement 0 und einem Einselement e , in welchem aulerdem eine Multiplikation mit l /2 erkliirt ist. Die Norm habe im ein- zelnen die folgenden Eigenschaften: llrjl = o genau fiir x = 0 , / l --~lI = l l ~ l l 9

I I I 4- YII 5 ll4l + 111/11 9 11x2/11 5 llzll I lY l l >

I h r c h einen abgeschlossenen Iiegel K c R werde in R durch x ( y genanfiir y - X E K einc Halbordnung definiert. Als Fordernngen werden an K neben der Ahgeschlossenheit K -t K c K , K K c K , K n ( -K) = { O ) , + K c K gestellt. Norm nnd -Halbordnung seien durch die Forderung der Monot,onie miteinander verkniipft : 0 5 z 5 y impliziert llz[l 5 [1y[[ . FVeitersei ReinVerband,d. h.fiirx, y E R existieresup(r,y)E R nnd somit auch inf(z, y) E H. Piir I E R sind daher der Be- t,rag 1x1 = siip(r, -x), der Posihivteil x+ = sup(z, 0 ) nnd der S tp t iv te i l x- = siip(-z, 0) vorhanden, nnd es gelten ti. a. ,? z 2:t - 2- , I r - 1 - y1 5 1x1 t IlJl , Ks scien ino E R ein vorgegebenes Element und do = e - am, tler ztigehorige Defekt. Der durch r 1~ I , . = ?no + xd,,

Ilf 2.11 = + llzll *

11'1 = Xf + x- lxyl 5 1x1 IyI .

(12) x E R crklarte Operat,or T hat offenbar a,-] als Fixpnnkt, sofern u-l iihcrhaupt, existiert. Umgekehrt gilt z. B. im Falle von (4), dnI3 jctlcr Pixpunkt von T gleich a-1 ist (vergleiche [I]).

3. S a t z iiber d i e m o n o t o n e Einschl ieBung Dns Verfahren (10) mit den Abkiirzungen (8) erfordert pro Scliritt 5 Multiplikationen von Elementen. Diese Anzahl kann nuf 3 gesenkt werden, da sich das Verfahren (10) mit der zusatz- lichrn Abkiirsung

(13) fiir t l m Iiadiiis des Int,ervalles [x,,, y,] iiqiiivnlent in der Form

111ri I I -= ilkn -: in , ,~ l , , , (14)

TI, : i = 7))11 1 1 - rn-i 1 , schreiben 1813t. Im Falle der anschlieaend ZII best,iitigenden monotonenEinschlieBung (5) folgen damit neben IIrn+i\l 5 1 IrnJJ als Fehlerabsch&tzungen la-' - mnl 5 rn 9

Aul3erdem kann bei ansschlieblichcr Verwendimg der Form (14) des IterationRverfal~renR die Forderung an R umgangen werden, da13 dort eine rnit Norm und Halbordncing vertriigliche Multi- p1ikat)ion mit 1/2 erlrliirt ist.

r,l = -5- (yrl - n.,)

rlk + 1 = rn [dnl y n t l = m n t i + rrt+i

I1 la-' - vl,nl II 5 l l rn l l .

Einschl ieDungssa tz : Fur die Startele~~aente x,, = IIL,, - ro, ?J,, = mo + r, E R und die ersten Itcrierten gelte (3), cler AIittelpun1:t ma sei inuertierbnr und der Defekt d,, = e - amO erflclle (4). Dann ist a-1 vorhanden, und f u r die nach dem Verfahren (10) bereclnetela Iterierlen ist die monotone Eingrenzung ( 5 ) giiltig.

Beweis: Der Nachweis von ( 5 ) erfolgt induktiv. Wie in [l] erhalt man den Induktionsanfang 72 = 1 durch

Anwendung des B - m ~ c ~ s c h e n Fixpunktsatzes in vollstandigen normierten Ringen suf den Operator T aus (12). Es i3t im einzel- lien

= I I I , , -F xoa; - ?/,a; 5 I I ~ , : v,,a: - 2.,,a; = !/l , und das Interval1 [x,, Y,] kann gebildct, werden; wegen der Abge- schlossenheit von K ist das I n t e r ~ a l l ebenfalls abgcschlossen. Fin r E [zl. yl] c [x,,, yo] folgt rl = 9 1 1 ~ 4- z,,dk - yod, I ma + d$ - xcl7 = tn,, + gtlo =

woniit T das Interrnll [z,, yl] in sich abbildet. SchlicBlicli ist 2' wegen [ITx - TyII 5 [[doll - gll fur 2, y E R und (4) kontrahierend. Somit besitzt T genau einen Fixpunkt z* E [xlr y,]. Nach einer vorangegangenen Beruerkung gilt x* = a-1, und es ist

= T% 5 + yoah - z,a; =

r, 5 rl 5 fL -1 5 y1 2 yo

besthtigt. Piir den SchluB von n anf 71. ~ 1 wird roil dcr Unglcichungs-

kette

zrt-1 5 1'11 5 u.-' 5 9,) 5 yn-1 ausgegangen. ZunPchst ist daher xn 1.1 = in,, + zndA - y ,k~l ; 5 ml, + a-V& - a-V;

ebenso folgt yn I 2 a+. Aus derDarstellung (14) des Verfahrcns ist xn - . ~ ~ , - - 1 = n l - i ( e - J(L-11) + m , l - ~ d , l - ~ ,

(15) y,, - yn-1 = -rtL-i(e - IdL-11) + mn-Id,,- 1 ersicbtlich. Folglich impliziert die Induktionsvoraussrtziing

rn~,.-1d~~-1 2 -rn-l(e - IdPl- 111, nzn--ltlll-l 5 m - ~ ( e - ld jL- l l ) .

- - mjl. -1- a-'dn = rn,) -!- n-'(e - am,) = a-1;

(10) (17)

Durch Ilnltiplikation von (16) rnit und anschlieDender Addition ergibt sich

und von (17) niit

m , l - l ~ ~ ; ~ - l >_ r,1-1(- Ida-11 + lCl,'-Il~) . (18)

In gleiclier \F'eise erhilt man nach illultiplikation von ( l a ) niit (dA-l)+ und von (17) niit -(diPl)- clnrch .4ddition die Ih- gleichung

w - id,3,-, 2 rn- i(-ldi-J i I~, I 1 1 I d t I I ) . (19)

Wie (15) zeigt, ist

n.11 I 1 - rll = r?,(e - I(1,l) i in,lt711 ,

worms unter Berucksichtigung von (14) und tl, z= (Ti-, d i t x Dar- stellcing zn I 1 - xll = ~ ~ z - 1 \&-l\ ( e - Id&l[) -1 in1l - l ( e j- dl1-1) folgt, Schatzt man hier die letztcn Summnndrn durch (IS) und (19) naeh nnten ab, ergibt sich

I , . x n + 1 - 2,) L rn--l(ld,t--II? - ld;-J) L 0 .

Zum Nachweis der restlichen TJnglricliiing y,t 1 1 c: yll zrht man von

ya ' 1 - yn = -r,,(e - 141) + n~,l(l,l

= -rn-i Id,,-il (e - ldL1) + rnn- i ( e -t dr~- i ) G-1 aus. Znr dbschiitzung von wll.-ld&l nach oben nerden die Ungleichung (16) mit und (17) mit mnltiplieiert und anschlieBend addiert : mn-idii-, 5 rg$-l(ldtL-ll - l(lj,-il?). (20) ?uIoltipliziert man entsprechend init -(I!;:-~)- und (di-,)+. rr- gibt sich

mn-ldi-1 5 rTi-l(IdLil - ldn-1lIdjLiI) * (21)

204 Kleine RI itt ( a i l ungen

Uiirch ICinsctzcn r o n (20) nncl (21) in die letztc Glcichung erhilt inan y n + l - yn 5 -rn-i(ldfi-i]2 - ldi-,l) 5 0 . Damit ist der Bcwcis des EinschlieBmigssatzcs vollstiindig, clcnn es konnte insgcsamt als Indulitiorisbehaupti~ng r7? 5 2/&+1 2 u-1 2 yn+1 5 yn hcrgeleitet werden.

l i o n v e r g e n z a u s s a g e : Der Defckt d , des illittelpuiiktes m, zu den Sturtele?nenten x, und yo erfiille (6). Dann sind die Polgen (rn) und (yn) aus d e m I'mfahren (10) quadruliscl~ gegen a-l kon- i ~ r q e n t .

J)er Reweis diescr Aussago lrann \vie in I21 ohne Bczug aiif tlrn obigeii EinschlieBnngssatz gefiihrt iverden.

l k r EinschlirOungssatz and die lionvc.r,nc.nznussa~o sitid chcnfalls fiir das Verf,zhrtln

3'71 ' 1 ~~~ l / ? f i - ! - 1 ~ I')! ~ 1,

n l i i s E (0, 1. 2, ...} giiltig. 1)nriiher hinnrrs Itann fiir rlic Ilonvcr- , ~ ~ ~ i i z o r ~ I n i i i ~ g c1c. i . \Vc.ri. s 1 - 2 bcst&tigt werden. Fiir 8 : 0 stinrrnt (22) niit dcni Verfahren (10) iiherein.

Die KonstruGt,ion von geeigiictcn Startgr6Ben 4, und yo im Iting clcr reellcn (AT, N)-Rlntrizen niit der nattirliclicn Halbord- Iiang itnd z. R. der Zcilcnsnmmennorm wild a i l s [11 ubernom- ni('n. 15s bezc,ichne c eine Matrix mit positjvcvi Rlcmentm,

.,\Is Siilrcrung fiir ( ~ - 1 st-i cino Matrix m,, beknruit. Palls nun die 3I:itrix e - c/d,l mit dem Defelrt d, = e - wm, niir positive I<lonicnte besitzt, erfiillen die Matrizen

niit drr nic1itnegat)iven Zahl

y1t-1-1 = ) I I V L - j - l + T n + l

t i / ; =- ( ( ; ) i t >- 0 fiir i, X: I , ... , hT.

"'" = ?no - itc , yo = nr, + t c

A ('orinter Ikamplp to tho Maximum Prineiplo of I 'ontrgugin for a ('lass of Distributed Parameter System 111 chemical engineering literature there is some recent interest and rlisr~ission ahout the maximum principle for optimal rontrol Iiroblwis n ith partial differential equation systems of first o r ( l ( ~ tics( rihing catalytic reactors nlierc the catalyst chnnpcs wit 11 f inie. In particular, nunirrical calculations of R class of

sric,h 1)ro('esws bp k'. GRUYAEHT and c. 31. ( h O \ V l : [I], 121 slio\\ that in general the strong form of tho niaximnm principle is not valid for the often used so-called quasi steady npproxinlatioli of such prorrsses if the control fnnction depends on timc only and furthermore that in this case the applirahility of the qiiaqi qtrady npprouimation ic, qiic<tion~>hlr. at al l (C'f. . I IW tlie author's

In this short note nr will gi\-e a simple pi1rel.y in:ithenintic~:tl analytic counter example to the strong form of the nix\imuni principle for the quasi steady approximation, hicah coni1detca thc more realistic but only numerical example of ( : R F Y \ R R T and CROWE.

paper 131).

To this aim we consider the differential svstem

(1) with initial conditions

( 2 ) p(0, t ) = 1 in (0, T) , q(r, 0 ) - N in (0, 1,) . \\here u = u(t) is the control function, IC i5 A poqitirr coiwtant to be sperificd later and

I , Illen, q(7 , t ) = I and

\$it11 p ( L , t ) -7 ( b ! / ( * / ) f , ! - l i . 1 ~ . If L 2; 8/9 ant1

K > 1 - c ~ L I 2 (5) the function h(u) = e ~ ( f 0 L 4- Ku ifi conra\-c in [O, 11 ivith h ( 1 ) > h ( 0 ) . Therefore. t'he fiinctioiial

(1;)

in the class of bounded mcnsiirnhle (or piercivisc coiitinuoiisl control fnnrtions u = u(t) wit,h values i n the int,erviil [O. I 1 wil) obviously he miniinized by the admissihlc control function w,(t) E 0 with corresponding state fnnrtion pO(r , t ) = 1.

The corrcspondiiig adjoint differential systein ]ins thr siniplc form

( 7 )

7' <J =: 1 p ( L. t ) dt

0

with final conditions r(T+ f ) = I in (0. 7') , S ( T , 7') -- 0 i n (0. 1.) . ~ l i i c h yirltls Y(T. t ) = 1, .s(.r, f ) - 0 and the 11-fiinrtitrn

(S)

th r function I1 has only a local maxiniwii for uo 7- 0 ant1 not a global one as it is required in the strong inaxininin prinriplr.

Unt hecanse of