640

1=708 p=.70z+Zz" p=z--

~~ ~- Kleine Mitteilungen _ -

70

Bild 9. Bahnkurve des Massenmittelpunktes fur ?n = 0,5 kg; = 1 m; $e = 15,s S-'; no = 2;

Bild 10. Bahnkurve des iWassenmittclpunkten nnd Rastpolbahn 7rU d m Daten von Bild 9

= 0,l

#-Z Bild 11. h' = Y(p) znr Bahnkurve von Bild 9

Beim Betrachten der Bilder ist die starke und von Bild zu Bild verschiedene MaBstabsverzerrung in E-Richtung zu beachten. Bei gleichen MaSstiiben in den Richtungen E und q waren die Bahnkurven der Massenmittelpunkte von geraden Linien nicht zu unterscheiden. Zahlreiche Beispiele haben gezeigt, daS unabhangig von der GroBe der Parameter stets 1. die Bewegung beendet ist bei einem Wert t, der wenige

(mitunter 10) Prozent gro13er ist als 1; 2. die Polbahn den Abstand a = 1 am Ende der Bewegung

erreicht ; 3. der Maximalwert Emax der Abweichung von der geraden

Bahn etwa ein Prozent von qmax ausmacht, wobei die maximale Abweichung i. allg. nicht mit dem Ende der Bewegung zuaammenfiillt.

AbschlieBend sei auf einige Moglichkeiten zur Verallge- meinerung der hier angestellten Untersuchungen hinge- wiesen. Wenn sich die Bewegung der Hantel auf einer schiefen Ebene abspielt, deren Steigungswinkel groler ist als der Reibwinkel, dann verlauft die Bahnkurve des Massen- mittelpunktea, wie in Bild 12 dargwtellt ist. Bei diesem Bei- spiel wurde a,< 1 gewiihlt. Die Drehbewegung wird von den Reibmomenten aufgezehrt, die Translationsbewegung verliiuft dagegen beschleunigt, 0: wiichst also gegen unendlich. Die seitlichen Schwankungen der Bahnkurve schaukeln sich zunkichst auf, erreichen beim Durchgang von (x durch 1 den Maximalwert und klingen dann wieder ab. Die Bahn ver- lauft asymptotisch gegen eine Parallele zur q-Achse. Wenn bei einer Bewegung auf horizontaler Ebene die beiden End- massen der Hantel ungleich gro5 sind, dann kann der inter-

essante Fall beobachtet werden, da5 eine anfangs nicht vor- handene Translationsbewegung durch eine Rotationsbewe- gung angefacht wird. LIiBt man den Korper zunachst bei festgehaltenem Massenmittelpunkt rotieren und entfernt dann die Fesselung des Massenmittelpunktes, dann ent- wickelt sich eine Bahnkurve gemliB Bild 13. Zur Beurteilung der vorherrschenden Auswanderungsrichtung ist der Korper mit Angabe der Drehrichtung in der St)ellung eingezeichnet, die er zu Beginn der Translationsbewegung innehatte.

[ 1

\ 1. Bild 12. Die Bahnkurve des Massenmittelpunktes bei einer Bewegung auf einer schiefen Ebene rnit R g < 1

-Qo5 Y

-0.7 c Bild 13. Die Bahnkurve des Massenmittelpunktes einer unsymmetrischeu Wantel mit den Anfangsbedingungen ti = qi = 0; qi + 0

Li te ra tu r 1 GEADSTEIN/BYSIIIK: Tabliey Integralov, Summ, ltjadov i Proisvedenij ;

2 ABRAMOWITZ/STEGIJN: Handbook of Mathematical Functions; US Dep. Noskau 1963.

of Commerce, Nat. Bur. of Standards, 1904.

Anschrift: Dr.-Ing. JEW WITTENBURG, 3012 Langen- hagen, Liebigstr. 7 a

Z.QMM50, 640 -643 (1970) J. W. SCHMIDT Monotone Einschliellung mit der Regula falsi bei konvexen Funktionen

I Bei der Nullstellenbestimmung von reellen Funktionen einer reellen Veranderlichen kennt man zwei Formen der Regula falsi, die Normalform und die Primitivform (s. z. B. [l], S. 239). Die erstere ist unter gewissen Voraussetzungen iiberlinear konvergent ; insbesondere hat man Differenzier- barkeitsforderungen an die Funktion zu stellen. Die letztere Form konvergiert nur linear; man kommt jedoch bereits niit der Stetigkeit der Funktion aus und erhalt aulierdem eine EinschlieRung der Losung durch die Naherungswerte.

Kleine MittxGlungen 64 1

In der vorliegenden Note wird gezeigt, daB man durch Kombination von zwei Verfahren vom Typ Regula falsi (s. (1), (2) und (8)) sowohl monotone EinschlielJung als auch uberlineare Konvergenz erreichen kann. Man vergleiche hierzu die LosungseinschlieDungen von FOURIER rnit Hilfe des NEWTON-Verfahrens und von DANDELIN rnit Hilfe des NEWTON-Verfahrens und der Regula falsi (s. [2], Kapitel 9 und 10). Diese Arbeiten stammen bereits aus den Jahren 1818 und 1824; vermutlich sind daher zumindest die jetzigen Verfahren (1) und (2) schon verwendet worden. Eine allge- meine Begrundung der Einschlieaung scheint dagegen noch nicht vorgenommen worden zu sein. I n dieser Note wird zu- niichst fur konvexe Funktionen monotone EinschlieDung und Konvergenz bewiesen (Siitze 1, 2 und 4) und anschlieBend bei Bestehen der schlrferen FomIER-Bedingung die fur die Regula falsi typische Konvergenzgeschwindigkeit hergeleitet (Siitze 3 und 5) . Obwohl zumindest fur das NEWTON-Ver- fahren EinschlieDungen oder monotones Verhalten auch fur Operatoren in allgemeineren Raumen vorliegen (s. [l], [4] und die dort zitierte Literatur), erfolgt hier die Einschriin- kung auf reelle Funktionen einer reellen Veranderlichen (8. auch [3]).

I1 Man nennt eine Funktion f auf einem Interval1 V konvcx, wenn

fur y, z E V und t E [0, 11 gilt. Mit der Abkiirzung f ( t Y + (1 - t ) 2) 5 t f ( d +- (1 - t ) f ( z ) 7

fur die Steigung bedeutet dies

f ( 4 I f ( d + V(Y , 2) (x - Y) 3

fur x zwischen y und z. Die Funktion f heiBt konkav, falls - f konvex ist.

Es werden einige einfache Aussagen fur die spilteren Satze zusammengestellt. Die Konvexitat von f auf V wird voraus- gesetzt.

A l : Es gilt

f ( t Y + (1 - t ) 2) 2 t f ( y ) + (1 - t ) f W Y

f u r y, z E V und t B [0,1], x = t y + (1 - t) z E V . 1 t Beweis: Es sei t > 1. Man erhalt wegen y = - x +

man analog vorgehen. Fells etwa y < z ist, gilt also

f(x) 2 f W + W Y , 4 (x - Y) 9

sofern x 5 y oder x 2 z ist.

A 2 : E s gelte f(y) > f ( z ) f u r y < z und y, z E V . Danlz besteht dze Unglerchung j ( y ) > f(x) f u r y < x 5 z.

Beweis: Es gibt ein t E [0, 11 mit x = t y + (1 - t ) z und t f 1. Man erhiilt damit f(x) 5 t f ( y ) + (1 - t ) f(z) < < t f b ) + (1 - t ) f ( Y ) ==f(y).

f ( 4 Z f ( X 0 ) + c (x - xo) A 3: N i t einer Konstanten c gelte

f u r x 2 xo und x, xo E V. Fur y, z E V , y f z und y, z 2 xo folgt hieraus

6f(y, 2) 2 c - Beweis: Es sei doch 6f(y, z ) < c fur gewisse y, E V rnit

zo j z < y. Nach A 1 ist dann f(xo) z f ( y ) -t bf(y, z ) X x (xo - y). Da 8f(y, z) (xo - y) > c (zo - y) folgt, ergibt sich f(xo) .> f(y) + c (xo - y). Also wird im Widerspruch zur Voraussetzung f(y) <f(xo) + c (y - xo).

Sa tz 1: Auf einem Interval1 V sei die Funktion f konvex, und es m6gen innere Punkte a, b von V mit a < b, f(a) > 0 und f ( b ) < 0 existieren. Fur c gelte a < c < b und f(c) > 0.

weiterhin

Dann besitzt f genau eine Nullstelle x* in [a , b], und f u r das Verfahren

zo = a , f(zn) + 6f(zn, zn-i) (xn+i - xn) = 0 , Y l = b 7

(1)

x, = c , f (Yn) + W y n , xn) (Yn+l - Yn) = 0 f

( n = 1,2, . . .) gelten, falls es nicht schon nach endlich vielen Schritten abge- brochen werden kann, die folgenden Aussagen: 1) XO < X I <. . . < xn < X ~ + I <. * < Z* <. . . < 2) f(X0) >f(Xl) > . . . >f(xn) >f(xn+1) > . . . > 0 7

< Y n + l < Y n < . . . < Yl, f ( Y n + l ) < 0 3

3) lim xn = lirn yn = x* . Beweis: Da f als konvexe Funktion in den inneren Punk-

ten von V stetig ist, besitzt sie auf Grund der Voraussetzun- gen mindestens eine Nullstelle. Hatte sie nun zwei Null- stellen x, y mit y < z 5 b, so wurde wegen f(y) = 0 >f(b) nach A 2 f(x) > f(y) folgen. Es gibt also in [a, b] genau eine Nullstelle von f ; sie heiWe x*.

Es schlieDt sich der Nachweis von 1) und 2) durch Induk- tion an. Fur n = 0 sind die Aussagen bis auf f(xo) > f(xl, vorausgesetzt worden; diese Ungleichung kann aber mit A 2 bestatigt werden.

Fiir den SchluB von n - 1 nach n wird s(z) =f(zn) + + Sf(xn, xnn-i) (z - 2,) eingefuhrt. Wegen f(zn-1) >f(zn) hat s genau eine Nullstelle x = xn+i, und es ist zn < xn+l (xs+i < zn-i ergibt einen Widerspruch rnit Hilfe von A 2, angewendet auf die konvexe Funktion s ; Xn-l< xn+l< zn wiirde das Vorhandensein von zwei Nullstellen von s nach sich ziehen). Somit folgen s(x*+i) = 0 s f ( x n + i ) aus A 1 und, falls nicht f(xn+i) = 0 gilt und das Verfahren beendet werden kann, xn+l < x* < yn nach dem Zwischenwertsatz. Weiter ergibt sich f(xn+i) < f ( x n ) aus A 2 wegen Xn < xn+i <

Es sei t (x) = f(yn) + 6f(yn, xn) (x - yn). Diese Funktion hat genau eine Nullstelle x = yn+i; fur siegilt xn<yn+i < y n wegen t(xn) = f ( x n ) > 0, t(yn) = f(yn) < 0. Die Konvexitat vonf ergibtf(yn+i) 5 t (yn+i) = 0 . Falls f(yn+l) < 0 ist, z- hiilt man mit f(xn+i) > 0 dieungleichung xn+i < x* < yn+l. Damit ist die Gultigkeit von 1) und 2) bestatigt.

Die Grenzwerte x = lim xn und y = limy,, existieren, und man hat x 5 y, f(x) 2 0, f(y) 5 0. Falls x = y ist, folgt f(x) = f(y) = 0 und somit x = y = x*. Es wirdindirektge- zeigt, daB x f y nicht moglich ist. Es sei doch y - x > O.Mit M = max {If(x)l: x l ~ z ~ y l } wird iSf(yn,xn)l~22/(y--). Daher ergibt sich aus f(yn) +8f(yn, xn) (yni-1 - y,) = 0 durch Grenzubergang f(y) = 0. Somit folgen y = x* und x f x*, f(z) > 0. Es sei weiterhin E eine Zahl mit 0 < E < f(x). Fiir alle n, die groBer als ein passendes no sind, gilt dann 0 < < f(xn-l) - f(x,J 5 E ; 0. B. d. A. sei no = 0. Ausf(x,) + + 6f(xn, xn-I) (xn+i - xn) = 0 erhalt man

< X*,f(?n) <f(x*) = 0.

Hieraus folgt im Widerspruch zur Konvergenz von (xn), daB lim (xn+l - xn) = 00 ist. Damit ist der Satz 1 vollstiin- dig bewiesen.

S a t z 2 : Der Satz 1 hut f u r das Verfahren zo = t L : .rl = c , ,f(z,,) 4- df(zn, zn-1) ( Z n + l - 2,) = 0 ,

~1 = b 7 f ( ~ n ) -I- 8f(zn, xn-1) (yn+l - ~ n ) = 0 9

(2) ( n = 1,2,. . .) Wort f u r Wort Cultigkeit.

B e w ei s : Vom vorangehenden Beweis der Aussagen 1) und 2) konnen die Teile ubernommen werden, welche die Folge (xn) betreffen.

Beim InduktionsschluD werde jetzt anstelle von t die Funktion T(x) = f(yn) + c)f(xn, xn-1) (x - yn) verwendet. Fur sie gilt T ( z ) 2 f(x) im Falle xn 5 x j yn, denn aus der Konvexitat von f ergibt sich nacheinander

Kleine Mitteilungeh ..

642

Damit gilt fur xn 5 x von f ausgenutzt wird,

yn, wenn abermals die Konvexitat

f (2) 5 f (Ynn) + 6.f (Yn, m) (Z - Y,) 5 5 f ( y n ) i- 6f(xn, Zn-1) (x - Yn) = T ( z ) *

Da hieraus T(z,) 2 f(x,) > 0 folgt und auBerdem T(y,) = = f(y,) < 0 gilt, erhalt man fur die Nullstelle x = yn+i von T wie vorhin x* < yn+i <ye, f ( y n + i ) < 0, falls das Ver- fahren nicht wegen f(yn+i) = 0 beendet werden kann. Also sind 1) und 2 ) bestatigt.

Da xo ein innerer Punkt von V ist, existiert ein z E V mit z < xo. A 2 sichert daher f ( x ) 2 f ( x o ) + c (x - xo) fur x 2 xo, wenn c = 6f(x,, z ) gesetzt wird. Mit A 3 erhalt man weiter c 5 Gf(zn, ~ - 1 ) < 0. Beachtet man die Konver- genz lim x, = x und lim y, = y, dann ergeben die Formeln (2) nach Grenzubergang f ( x ) = f(y) = 0 und somit x=y=x*. Der Satz 2 ist damit bewiesen.

Hinweis : I n den Sateen 1 und 2 ist monotone Einschlie- Bung und Konvergenz fur den

Fal l 1 : f konvex, a < c < 6, f ( a ) > 0, f ( b ) < 0

nachgewiesen worden. Analog kann man vorgehen wenn eine der Ausgangssituationen

F a l l 2: f konkav, a < c < b, f ( a ) < 0, f ( b ) < 0 F a l l 3: f konkav, b < c < a , f ( a ) > 0, f ( b ) < 0 F a l l 4: f konkav, 6 < c < a , f ( a ) < 0, f ( b ) > 0

vorliegt. Die lterationsvorschriften (1) und (2) sind nicht zu andern. Ebenso bleibt die Aussage 3) von Satz 1 bestehen, wahrend in 1) und 2 ) gegebenenfalls der Sinn der Unglei- chungen umzukehren ist .

I11 Man sagt, daB die Funktion f auf [a, b] die FOURIER-Bedin- gung erfullt, wenn sie dort zweimal stetig differenzierbar ist und f ( a ) f ( b ) < 0, f’(x)f”(x) < 0 fur x E [a, b] gelten. Be- kanntlich ist die FOURIER-Bedingung dafur hinreichend, daB f auf [a, b] konvex (falls f ” > 0) bzw. konkav (falls f” < 0) ist. Folglich gelten die Aussagen 1) und 3) des Satzes 1 fur die Verfahren (1) und (2). Es sol1 zusiitzlich die Konvergenz- geschwindigkeit errechnet werden.

Es sei wie vorhin s(z) = f (x , ) + 6f(xn, xn-l) (x - xn). Da

- f ” (z ) = - f”(z) sind, liefert die Formel der linearen Inter- polation, angewendet auf s - f,

f(x*) 0, ~(2,) - f (xn) = 0, ~ ( z n - I ) - f(xn-1) = 0, s”(z) -

1 ‘S(Z*) = - , f ” ( E ) (x* - 2,) (2’ - xn-1 ) ,

mit einem E E [a, b]. Andererseits ist s(x*) = s(x*)-s(xn+i)= = 6f(?,, a - 1 ) (x* - xn+i) . Beachtet man weiter die hier rnit einer Konstanten (x gultige Abschatzung

Inf(y, z)I 2 a > 0 (3 ) so wird mit einer weiteren Konstanten A (entsprechend max { If”(x)l: x E [a, b ] } 5 2 a A )

1 x ~ + 1 - ~ * 1 5 A lxn - z * I I ~ n - 1 - x * I . (4)

IYni-1 - %*I 5 A I%, - x*1 ly, - x*I , (6) da dort z = yn+i die Nullstelle von t ( z ) = f(yn) + + df(yn, x d (x - y,) ,ist.

I m Verfahren ( 2 ) wird x = yn+l a19 Nullstelle von T ( x ) = = f ( Y n ) + af(%, ~ n - 1 ) (x - y,) berechnet. Pur F = T - f gilt B(y,) = 0 und SF(xn, x n - l ) = 0. Es liegt daher in Analo- gie zum Vorgehen bei der Interpolation der Ansatz F ( z ) = = K ( r ) w ( z ) nahe, wobei w ein quadratisches Polynom rnit w(y,) = 0 und Gw(xn, m-1) = 0, also w ( z ) = (x - yn) x X (x - 2, - xn-i + yn) ist. Fur p(z) = F(z) - K(z*) w(z ) erhalt man p(y,) = 0, q ( x * ) = 0 und 6p(xn, ~ ~ - 1 ) =p’(q) = 0, womit nach dem Satz vonRoLLE ~ “ ( 5 ) =- f”(5)--2K(z*)=O fur ein 5 E [a, b] zutrifft. Folglich gilt

fur y, z E [a, b] ,

Ebenso erhalt man fur (y,) aus dem Verfahren (1)

T(Z*) = F(Z*)

1 2

_ - - - -P’ (E) (x* - yn) (x* - xn - xn-1 + yn)

Zusammen mit T(x*) = T(x*) - T(yn+i) = 6f(xn, xn-1) x x (x* - yn+i) und (3) ergibt sich lyn+1 - x*I 5 A IYn - %*I ( 1 % - z*I + + Izn-1 - z*I + IYn - x*I! * (6) Setzt man schlieBlich r, = max (lxn - x*I, Iyn - %*I), folgt aus (4), (5) und (6) sowohl fur das Verfahren (1) als auch fur das Verfahren ( 2 ) die Ungleichung rn+ i 5 2 A r i + A r, rn- i . Sie besagt bekanntlich, daB die Folge (rn) und damit auch die

konvergieren. ZusammengefaBt gilt der S a t z 3: Die Funktion f erfulle auf [a, b] die F o u r i e r - B e -

dingung, und es sei c E (a , b ) so gewuhlt, dap f ( a ) ffc) > 0 ist. Unter diesen Voraussetzungen konvergieren die Verfahren (1)

und ( 2 ) mit der Geschwindigkeit ~ + v5 gegen die eindeutiye

Nullstelle x* son f in [a, b], und es besteht die Einschliejung 1) aus Satz 1 fur x*.

Es wird weiterhin das Verfahren

x,, = a , x1 = b , f(%) + 6f(xn, xn--1) (yn - x n ) = 0

Folgen (x,) und (yn ) mit der Geschwindigkeit __ + ‘5 M 1,6 2

2

IV

f ( ~ n ) $. 6 f ( ~ n , 2,) ( z ? ~ + I - ~ n ) (n = 1, 2, . . .)

0 ( 7 )

betrachtet, das Lhnlich den Verfahren (1) und (2) aufgebaut ist. Es besitzt jedoch bei gleichem hufwand cine hohere Kon- vergenzgeschwindigkeit.

Im einzelnen gelten fur dieses Verfaliren folgende Aus- sagen.

S a t z 4: Die E’unktion f sei uuf einerrb Interaall V konvex, und es seien innere Punkte a , b von V mit b < a , f(u) < f ( b ) < 0 vorhunden. DieLGsungy, derGleichung f ( b ) + Gf(b,a) (y,-b)=O sei innerer Punkt von V , und es yelte yl < b. Unter dzesen Voraussetzungen ist die Aufgabe f(x) = 0 in [y,, b] eindeutig durch e in x* losbar, und das Verfahren ( 7 ) hat, falls es nicht nach endlich vielen Schritten abbricht, die folyenden Eigen- schaften: 1) y1< . ’ * < yn < Y ~ L + I < . . < X * < . * . < x ? ~ + I <

Xn <. ’ ’ < XI < Xo 9

2) f (yn+l ) > 0, f (Zo) < . . . < f ( Z n ) <j ’ (Zni - l ) < . . . < 0 9

3) lim xn = lim yn = x* . Der Beweis erfordert nur geringfiigige Anderungen gegen-

iiber denen zu den Satzen 1 und 2 und wird fortgelassen. S a t z 5 : Erfullt die Funktion f zusatzlich xu den Voraus-

setzungen von Satz 4 die Fourierbedingung auf [yl, a] , so konvergiert die Polge (x,) mit der Geschwindigkeit 1 + ‘2 GZ 2,4 gegen x* .

Denn mit den Bezeichnungen aus 111 ecigt man wie dort

( 8 )

Also gilt (xrL+l - z*j 5 A2 12, - x*12 Izn-i - x*/ , und die Konvergenzgeschwindigkeit ergibt sich als die positive Lo- sung x = 1 + p der Gleichung x = 2 + l / x .

SchlieOlich sei auf die folgende Kombination des NEWTON- Verfahrens mit der Regula falsi hingewiesen :

lyn - z * I 5 A Iz, - z*I 1 ~ n - 1 - x * l , Izn+l - z*I 5 A I z ~ - z*I Iyn - x* \ .

~1 = b , f ( z n ) +f’(xn) (yn - zn) = 0 (9) f ( x n ) + 6f(yn, xn) (Tn+1 - x n ) = 0 ( n = 1,2 , . . .) .

Verlangt man anstelle der Voraussetzung iiber a die Un- gleichungf’(b) < 0 und ist jetzt y1 die Losung der Gleichung f ( b ) + f ’ (b ) (yl - b) = 0 , so ist Satz 4 auch fur das Verfah- ren (9) gultig. Die Konvergenzgeschwindigkeit von (9) hat den Wert 3, denn die erste Ungleichung in (8) geht in lyn - x*) 5 A (xn - x*I2 uber, so daB I i n - t i - x*l 5 A 2 x x lxn - x*I3 gilt.

v Zur Vorfuhrung der monotonen EinschlieBung und der

iiberlinearen Konvergenz werden die Aufgaben 7 1

a) f (s) = - 2 3 + 4 x2 - - 1 3 x - 6 = 0 und

387 522 b) f ( x ) = -- 23 + 4 5 2 - - 6 5 x - - = 0 65

Kleine Mitteilungen ~ - Nachrichtcn 643

herangezogen. Man uberzeugt sich, da13 beide Funktionen f auf dem Interval1 V == [- 2,1] konvex sind und da13 f ( - 1) > 0, f ( 0 ) < 0 und f( -0,9) > 0 gelten. Es sind daher alle Voraussetzungen der Satze 1 und 2 erfullt, wenn man a = - 1, b = 0 und c = -0,9 setzt und V wie angegeben wahlt. Ebenso treffen mit a = 0,l und b = 0 die Voraus- setzungen von Satz 4 zu. In1 Einklang mit den Aussagen der genannten Satze haben sich nach den Verfahren (2) und (7) folgende Niiherungswerte ergeben : Tabel le 1 : Beispiel a) nach dem Verfahren (2)

n zIL Iln - ~~

0 -1,o - 1 -0,Y 0,o 2 -0,717 114 57 -0,380 432 13 3 -0,692 485 14 -0,617 005 04 4 -0,689 923 79 -0,686 306 82 5 - 0,689 889 60 -0,689 878 66 6 -0 ,68988955 -0,689 88056

Tabel le 2: Beispiel b) nach den1 Verfahren ( 2 )

n 2 7 6 l ln

0 -1,o - 1 -0,9 0 8 2 -0,820271 49 -0,493 780 44 3 -0,813875 50 -0,759 136 52 4 -0,81362716 -0,812 150 98 5 -0,81362642 -0,813 62528 6 -0,81362642 -0,813 62642

~~~ ~

N ACHRICHTEN

VII. Wissensc~laftliehe Jahrestagung dcr Mathematischen Gesellsehaft der DDR 1970

I n der Zeit vom 9. bis 14. Pebruar 1970 fand in Berlin die VII. Wissenschaftliche Jahrestagung der Mathematischen Gesellschaft der DDR statt, an der etwa 1150 Mathematiker aus 11 Landern teilnahmen. Die ortliche Tagungsleitung lag in Handen von Prof.Dr. KURT SCHRODER und Prof.Dr. GEORG WINTGEN.

Neben 26 Ubersichtsvortragen wurden 170 Kurzvortrage in den 15 Tagungssektionen gehalten. Durch die nbersichts- vortrage konnten die Teilnehmer Einblick in wichtige Spe- zialgebiete der Matheniatik gewinnen. Besonderer Wert wurde auf die Darstellung der Entwicklungsrichtungen spezieller Disziplinen und deren Verflechtungen mit benachbarten Disziplinen gelegt, um zu dokumentieren, da5 trotz weit- gehender Spezialisierung die Einheit der Mathematik gewahrt bleibt .

I n einem Vortragszyklus (Eroffnungsvortrag von Prof. Dr. HANS SCHUBERT, Halle, und Vortrage seiner Schuler Prof. Dr. KLAUS WIENER, Prof. Dr. LOTHAR v. WOLFERSDORP, Dr. GUNTER SCHMIDT und Dr. JOHANNES VOGEL) und in weiteren Ubersichtsvortragen wurde das groBe Gebiet der Differen- tialgleichungen und der Integralgleichungen behandelt. Weitere Schwerpunkte in den Ubersichtsvortragen lagen auf Gebieten, die aus Griinden der Anwendbarkeit oder wegen ihres integrierenden Charakters in letzter Zeit besonderc Be- deutung erlangt haben.

Die Kurzvortrage dienten Berichten uber iieue Forschungs- ergebnisse oder uber die Anwendungen bekannter Methoden. Besonders erfreulich war, da5 einige Forschungsstudenten in sehr guten Vortragen uber eigene Ergebnisse berichten konnten.

Mehrere Diskussionen gaben Gelegenheit zuni wissenschaft- lichen Meinungsstreit und vermittelten Anregungen fur die weitere Arbeit.

Die anwesenden Vertreter der Fachrichtungen Mechanik und Stromungsmechanik begrul3ten die Grundung einer E'achsektion Mechanik im Rahmen der Mathematischen Ge- sellschaft der DDR und die fur das Fruhjahr 1971 geplante Konferenz uber Mechanik.

Auch in diesem Jahr wurde mit der Jahrestagung ein mathematischer Ferienkurs fur die besten Schulerinnen und Schiiler der DDR im Fach Mathem,atik darchgefuhrt. Die Schuler horten einige ausgewahlte Ubersichtsvortrage und wurden in speziellen Veranstaltungen von Mitgliedern der Mathematischen Gesellschaft betreut.

___ -~ ~

Tabel le 3: Beispiel a) nacll dem Veifaliren (7)

1 O , o -1,183 072 96 2 -0,517 631 72 -0,769 279 64 3 -0,682 997 72 -0,690 505 95

5 -0 ,68988955 -0,689 8 8 9 5 5 4 - 0,689 887 47 - 0,689 889 56

Nachtrag bei der Korrektur : Das Verfahren (7) ist bei Bestehen der FouR1E.n-Bedingung bereits in [5 ] untersucht worden.

L i t e r a t u r 1 L. COLLATZ, Funktionalandlysis und nunierisclie Mathetnatik, Berlin/

Gottingen/Heidelberg 1964, Springer-Verlag. 2 A. 1\1. OSTKOWSKI, Solution of equations and systenis of equations, 2nd

Ed., Ncw York/London 1966, Academic Press. 3 J. W. SCHMIDT und H. LEONHARDT, Eingrenzung von Losnngen mit Hilfe

der Itegula falai. Computing (im Druck). 4 J. S. VANnERQRAFT, Newton's method for convex operators in partially

ordered spaces. SIAX J. Numer. Anal. 4, S. 406-452, (1967). 5 It. KRAUTSTENQL. Ein Iterationsverfahren zur Bastinrmung einer einfachen

Nullstelle der Glelchung f(x) = 0 (russ.). z. VyFisl. Mat. i Mat. Pis. 8, S. 1327 - 1329, (1966).

Anschrift: Prof. Dr. JOCHEN W. SCHMIDT, Sektion Mathematik, Technische Universitat Dresden, 8027 Dresden, Zellescher Weg 12 - 14

Zum Rahmenprogramm der Tagung gehorten ein Ausflug nach Potsdam rnit Besichtigung astronomischer Einrich- tungen der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Ber- lin, des Geodatischen Dienstes und der Gedenkstatte Cecilien- hof, Stadtrundfahrten mit Besuch des Fernsehturms, Mu- seumsfuhrungen und Theaterbesuche sowie ein geselliger Abend, der bei den Teilnehmern groBen Anklang fand.

Zur Mitgliederversammlung der Mathematischen Gesell- schaft der DDR standen neben Rechenschafts- und Finanz- bericht die Wahl des Vorstandes und das neue Statut der Gesellschaft auf der Tagesordnung. Das Statut wird nach redaktioneller Bearbeitung in den ,,Mitteilungen der Mathe- matischen Gesellschaft" veroffentlicht. I n den Vorstand wurden 22 Mitglieder der Mathematischen Gesellschaft ge- wahlt, die aus ihrer Mi tk Herrn Prof. Dr. HORST SACHS (Il- menau) zum neuen Vorsitzenden und die Herren Prof. Dr. WOLXGANG ENGEL (Rostock) und Prof. Dr. GEORG WINTGIEN (Berlin) zu Stellvertretern des Vorsitzenden wahlten.

Die Mitgliederversammlung dankte dem langjahrigen Vor- sitzenden, Herrn Prof. Dr. KURT SCHRODER, fur sein Wirken zum Wohle der Mathematischen Gesellschaft der DDR und verlieh ihm die Ehrenmitgliedschaft.

I n seinem SchluBwort gab der neue Vorsitzende bekannt, daB die nachste wissenschaftliche Jahrestagung der Mathe- matischen Gesellschaft der DDR im Jahre 1972 an der Tech- nischen Universitkt Dresden stattfinden wird.

WissensehaftIiehe Jahrestagung 1970 der Gesell- schaft fur Angewandte Mathematik und Mecha- nik (GAMM)

Die diesjahrige Jahrestagung der Gesellschaft fur Ange- wandte Mathematik und Mechanik fand in der Technischen Hochschule Delft vom 6. bis 9. April 1970 statt auf Grund einer gemeinsamen Einladung der ,,Wiskundig Genootschap", der 1778 in Amsterdam gegrundeten mathematischen Gesell- schaft, und der ,,Sektie voor Mechanika" des Koninklijk Institut van Ingenieurs.

Beiden Gesellschaften, insbesondere ihren Professoren TIMMAN und ZANDBERGEN, sowie der T H Delft und Magnifi- zenz VERHAGEN ist die GAMM sehr zu Dank verpflichtet fur diese schone internationale Tagung, zu der sich 540 Teil- nehmer aus 19 Landern angemeldet hatten.

HauptvortrGge fur alle anwesenden Mathematiker und Mechaniker gemeinsam hielten folgende Herren :