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beweisen. Der Nachweis erfolgt wiederum mit Hilfe der Inklusions- monotonie der Intervallverkniipfu_ngen, wie zu Anfangs beim Nach- weis von X(k' c ]3(k). Falls A' E xCO) ist, dann gilt fur (8) wiederum A' E Xa fur k 2 0, und fur I / IHJ /I < 1 konvergiert Verfahren (8) gegen ein g*. Wir fragen nun, wie gcO) gewahlt werden mu13, damit auch (8) ein von Anfang an monotones Verfahren ist. Dazu betrachten wir die fur X ( l ) c gcO) aquivalente Darstellung

[m($')) - m(#'))I 5 f(dB(O)) - d(a( l ) ) .

Wegen m(XcO)) = m(g(')) = I bedeutet dies bei der Wahl von %(') entsprechend (4)

d(z('') 2 d(g'") = ( I + ICl) d(H),

2 . ICI = d(C) 2 (1 + ICl) d(H)

oder

2 ' ICI ( I - f d(H)) 2 d(H) . (10)

Wegen I / f d(H)lj = ( 1 IHI 11 < 1 existiert ( I - i d(H))-' 2 0, womit wir

ICI >= f(Z - fd(H))-' d(H)

BOOK REVIEWS

Moreau, J. J.; Panagiotopoulos, P. D., N o n s m o o t h Mechan- ics and Applications. Wien-New York, Springer-Verlag 1988.

(CISM Courses and Lectures 302) VII, 462 pp., 77 figs., OS 756,-/DM 108,-. ISBN 3-211-82066-3

In dem Buch sind 6 Beitrage bekannter AutoTen zusammengefaBt, die von unterschiedlichen Standpunkten die Ubertragung verallge- meinerter Differenzierbarkeitsbegriffe aus der Analysis in die Me- chanik darlegen.

J. J. MOREAU wahlt dazu ein System der Punktmechanik unter einseitigen Bewegungsbeschrankungen, dargestellt durch Indikator- funktionen. Die Geschwindigkeiten werden in BV-Raumen (bound- ed variations) angenommen, so daD Kollisionen vorkommen kon- nen. Verallgemeinerte Lagrangesche Gleichungen enthalten sol- che als Grenzfall. Bei der Beriicksichtigung trockener Reibung werden die entsprechenden Gleichungen und Inklusionen kompli- zierter und willkiirlicher.

P. D. PANAGIOTOPOULOS schildert die Verwendung nicht kon- vexer und nicht differenzierbarer Potentiale in der Elastostatik, wobei die Zustandsvariablen in ,,klassischen" Sobolev-Raumen belassen werden. In den Zustandsgleichungen finden verallge- meinerte Gradienten im Sinne von F. H. Clarke, R. T. Rockafellar Verwendung. Ausfiihrlich wird das Beispiel einer mehrschichtigen von Karman-Platte mit einer Version der Signorini-Randbedingung nach dem Galerkin-Verfahren gelost. GleichermaDen interessant, jedoch weniger vollstandig, sind die Ausfuhrungen iiber quasi- differenzierbare Potentiale im Sinne von V. F. Demyanov, beispiels- weise in der Plastizitatstheorie.

M. FR~MOND untersucht das technologisch interessante Losen eines elastischen Korpers von einer Leimschicht. Die Energiebilanz beriicksichtigt das Prinzip der virtuellen Leistung und den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Bei der Formulierung mathema- tischer Voraussetzungen verfahrt der Autor groDziigig. Den von ihm eingefiihrten lokalen Subgradienten mochte man bei geeigneter Wahl der Raume in der iiblichen konvexen Analysis unterbringen.

als notwendige Bedingung fur die Monotonie von (9) erhalten. Aus (10) laDt sich - analog wie in [5] - eine hinreichende Bedingung fur die ci j herleiten, welche nur geniigend groD sein miissen. Da aber (8) gegeniiber (3) keinen Vorteil besitzt, soll dies nicht expliziert durchgefuhrt werden.

L i t e r a t u r 1 ALEFELD, G.; HERZBERGER, J.: Introduction to interval computations. Academic Press,

2 GREGORY, R. T.; KAKNEY, D. L.: A collection of matrices for testing computational

3 HERZBERGER, J.: On the convergence of an iterative method for bounding the inverses

4 HERZBERGER, J.: Remarks on the interval versions of Schulz's method. Computing 39

5 HERZBERGER, J.: On the monotonicity of the interval versions of Schulz's method.

6 KULISCH, U. (ed.): PASCAL-SC Information manual and floppy disks. Teuhner-Wiley

7 THIELBR, P: Verbesserung von Fehterschranken bei iterative1 Matrixinversion. In

New York 1983.

algorithms. Wiley-Interscience, New York 1969.

of an interval matrix. Computing 41 (1989), 153-162.

(1987), 183-186.

Computing 38 (1987), 71 -74.

Series in Computer Science, Stuttgart 1987.

K. NICKEL (ed.): Interval mathematics, Springer-Verlag 1975, pp. 306-310.

Eingegangen: 8. Marz 1989 Anschrif : Prof. Dr. J. HERZBERGER, Fachbereich Mathema- tik, Universitat Oldenburg, D-2900 Oldenburg, BRD

Auch J. HASLINGER bleibt mit zwei interessanten Aufgaben in der konvexen Analysis. Bei der konstruktiven Behandlung einseitiger Randwertprobleme wird von einem konvexen Variationsproblem ausgegangen, welches zu einem Sattelpunktproblem erweitert, eine duale Formulierung zulaDt. Ferner wird die zylindrische Grund- flache eines elastischen Stempels optimiert, dessen ebene Profilkurve einer etwas vage begriindeten konvexen Minimalbedingung geniigen soll.

P. M. SUQUET wahlt den BV-Raumen ahnliche BD-Raume (bounded deformations) zur Beschreibung elastisch-plastischer De- formationen. Ihre Berechtigung ergibt sich aus dem linearen Wachs- tum einiger energetischer Funktionale in der Plastizitatstheorie. In einer Traglastanalyse kommen tiefgriindige Methoden der konvexen Analysis zur Anwendung. Besondere Aufmerksamkeit wird mogli- chen Unstetigkeiten der Verschiebungsfelder gewidmet (Gleiten auf einer plastischen Schicht, Gleiten im Blockverband). Dabei ergeben sich Zusammenhange zwischen AbschlieDungsmethoden der kon- vexen Analysis und ihren mechanischen Interpretationen.

J. J. TELECA stellt einseitige Randbedingungen vom Signorini-Typ in den Mittelpunkt seines Beitrags. Von der einleitenden experi- mentellen und phanomenologischen Beschreibung der Gleit- und Reibungserscheinungen am Rande eines Festkorpers bleibt im mathematischen Modell wenig iibrig. In einem Existenznachweis wird das lokale Reibungsgesetz zusatzlich globalisiert und geglattet. Der Autor geht ausfiihrlich auf duale Formulierungen ein, verfolgt davon unabhangig verschiedene reprasentative Beispiele zu unilate- ralen dynamischen Problemen, einseitigen Randbedingungen im Traglastprinzip, zu periodischem und rissigem Material. Der Beitrag enthalt wenige theoretisch abgeschlossene Fragen gegeniiber einer Vielzahl von DenkanstoBen, die der Leser, den zahlreichen Lite- raturangaben folgend, vertiefen mag.

Der letzte Satz kann fur das Buch insgesamt gelten. Das Leitmotiv, obwohl von den Autoren eigenwillig aufgenommen, macht es fur den an Anwendungen interessierten Analytiker zu einer Fundgrube neuer Entwicklungen im Rahmen der ,,nonsmooth analysis", die im Kontext der Mechanik sehr naturlich anmuten.

Als Kuriositat sei die seltsame Permutation einiger Seiten im vierten Beitrag erwahnt. Insgesamt ist die Gestaltung des Buches aber recht ansprechend.

Berlin A. LANGENBACH