MOS - Mechanischer Oszillator

4. Marz 2011

Ubersicht

Ziele:

Untersucht werden ungedampfte und gedampfte freie Schwingungen und erzwungene Schwingungen von mechani-schen harmonischen Oszillatoren.

Teilversuche:

1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit Hilfe eines Fadenpendels

Das Fadenpendel besteht aus einer Stahlkugel, die an einem dunnen Faden aufgehangt ist. Aus der Messungvon Schwingungsdauer und Fadenlange ergibt sich die Erdbeschleunigung.

2. Ungedampfte freie Schwingungen

Beim Schraubenfederpendel werden die Werte fur Auslenkung, Schwingungsdauer, Anregungsfrequenz undPhasenverschiebung mit optischen Encodern aufgenommen und mit einem Computer verarbeitet. Fur eine un-gedampfte freie Schwingung liefert die Messung der Schwingungsdauer in Abhangigkeit von der angehangtenMasse die Ruckstellkonstante der Feder.

3. Gedampfte freie Schwingungen

Die Dampfung des Schraubenfederpendels erfolgt durch eine elektromagnetische Wirbelstrombremse. Gemes-sen werden die Amplituden und die Schwingungsdauer der gedampften freien Schwingung. Aus den Messwer-ten ergeben sich das logarithmische Dekrement und die Schwingungsdauer ohne Dampfung.

4. Erzwungene Schwingungen

Fur die erzwungene Schwingung werden die Werte von Schwingungsdauer, Amplitude und Phasenverschie-bung in Abhangigkeit von der Anregungsfrequenz f gemessen. Daraus lassen sich die Eigenfrequenz, die derOszillator bei ungedampfter freier Schwingung haben wurde, und die Dampfungskonstante bestimmen.

1

Inhaltsverzeichnis

1 Physikalische Grundlagen 3

1.1 Die ungedampfte freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Die gedampfte freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Die erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Technische Grundlagen 14

2.1 Versuchsanordnung mit dem Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Versuchsanordnung mit dem Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Aufbau und Wirkungsweise eines optischen Encoders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Versuchsdurchfuhrung 17

3.1 Teilversuch 1: Schwingungsdauer eines Fadenpendels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Teilversuch 2: Ungedampfte freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Teilversuch 3: Gedampfte freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Teilversuch 4: Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Versuchsauswertung 27

4.1 Teilversuch 1: Schwingungsdauer eines Fadenpendels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Teilversuch 2: Ungedampfte freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Teilversuch 3: Gedampfte freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Teilversuch 4: Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2

1 Physikalische Grundlagen

1.1 Die ungedampfte freie Schwingung

In Abbildung 1 ist das schwingungsfahige System mit dem Federpendel schematisch dargestellt. Das untere Endeder senkrecht ausgerichteten Feder ist fixiert. Ein von ihrem oberen Ende ausgehender Faden wird durch einereibungsarm drehbare Scheibe nach unten umgelenkt. Am unteren Fadenende konnen Schwingmassen angehangtwerden.

x

s

0

rr

Dämpfungsmagnet

so

-k s

s(t)

s

JD

mK g

x

-x

x(t)

n

Abbildung 1: Federpendel fur freie Schwingungen

Bewegung des Federpendels

Wird der Schwingkorper aus seiner Gleichgewichtslage um die Strecke s ausgelenkt, so erfahrt er durch die verformteFeder eine rucktreibende Kraft Fr, welche nach dem Hookeschen Gesetz proportional zu s ist:

Fr = −ks (1)

Der Faktor k heißt die Ruckstellkonstante der Feder (oder auch Federkonstante).

3

Außer Fr greift am Schwingkorper noch die Schwerkraft Fg = mKg an. Die Summe beider Krafte bewirkt eineTranslationsbeschleunigung ds2/dt2 des Schwingkorpers und eine Rotationsbeschleunigung dϕ2/dt2 der Scheibe.Nach dem 2. Newtonschen Gesetz ergibt das folgende Differentialgleichung:

mKd2s

dt2+JS

r

d2ϕ

dt2= −ks+mKg (2)

mK = Masse des Schwingkorpers, JS = Tragheitsmoment und r = Radius der Scheibe

Mit ϕ = s/r und JS = (1/2)mDr2 (mD = effektive Masse der Scheibe) lassen sich aus ihr die Großen ϕ und JS

eliminieren:

(mK +12mD)

d2s

dt2= −ks+mKg (3)

Diese inhomogene Differentialgleichung kann durch Einfuhrung der neuen Variablen x = s−mKg/k in eine homo-gene umgewandelt werden (Die Differentiation von x = s−mKg/k ergibt wegen der Konstanz von mKg/k dasselbewie die von s):

(mK +12mD)

d2x

dt2= −kx (4)

In den neuen Variablen ist die Bewegungsgleichung unabhangig von g und die Losung wird nicht durch die Schwer-kraft beeinflusst. Die Losung x(t) spielt sich in einem Koordinatensystem ab, das durch die Schwerkraft um diestatische Auslenkung s0 −mKg/k verschoben wurde.

Losung der Bewegungsgleichung

Wird in Gl. (4) die Gesamtmasse mK + (1/2)mD mit m bezeichnet, so ergibt sich folgende Bewegungsgleichung:

md2x

dt2= −kx (5)

Eine Losung dieser Differentialgleichung Gl. (5) ist jede Funktion x(t), die durch zweimaliges Differenzieren bis aufeinen konstanten Faktor reproduziert wird. Diese Eigenschaft besitzt z. B. die Exponentialfunktion, deren samtlicheAbleitungen mit ihr selbst identisch sind. Das fuhrt zu dem Losungsansatz

x(t) = a exp(λt), (6)

in dem die Konstante a dieselbe Dimension wie x haben muss und die Konstante λ die Dimension einer reziprokenZeit. Einsetzen in Gl. (5) ergibt die algebraische Gleichung

mλ2 = −k (7)

fur λ. Ihre beiden Losungen sind:

λ1,2 = ±i

√k

m= ±iω0 (8)

mit

ω0 =

√k

m. (9)

Die Bedeutung der so definierten neuen Konstanten ω0 wird spater erklart (s. Gl. (19)). Die allgemeine Losung vonGl. (5) ist die Linearkombination

x(t) = a1 exp (iω0t) + a2 exp (−iω0t) (10)

mit beliebigen komplexen Konstanten a1 und a2, denn die Funktionen exp (iω0t) und exp (−iω0t) sind voneinanderlinear unabhangig und bilden somit eine Basis fur den zweidimensionalen Vektorraum der Losungen x(t) (Siekonnen selbst beweisen, dass x(t) = 0 nur fur a1 = a2 = 0 erfullt sein kann).

Die dem physikalischen Problem angemessene Losungsfunktion x(t) wird durch zwei Anfangsbedingungen eindeutigfestgelegt. Im Versuch sei die Schwingmasse zur Zeit t = 0 um die Strecke x ausgelenkt (Abbildung 1 ) und beginneihre Bewegung mit der Geschwindigkeit v = 0:

4

x(0) = x (11)

v(0) =dxdt

(0) = 0 (12)

Einsetzen in Gl. (10) liefert zwei Gleichungen fur die Konstanten a1 und a2:

x(0) = a1 + a2 = x (13)dxdt

(0) = a1iω0 + a2(−iω0) = 0 (14)

Die Losung dieses Gleichungssystems ist:

a1 = a2 =x

2(15)

Damit ist wegen12

[exp (iω0t) + exp (−iω0t)] = cosw0t (16)

die durch die Anfangsbedingungen festgelegte spezielle Losung:

x(t) = x cosw0t (17)

Das ist eine harmonische Schwingung, die in Abbildung 2 dargestellt wird:

Abbildung 2: Zeitlicher Verlauf einer harmonischen Schwingung

Der Faktor x in Gl. (17) ist gleich dem Maximalwert von x(t), er heißt daher die Amplitude der Schwingung. Sieist durch die Auslenkung zu Beginn festgelegt.

Die Zeit T0 fur eine volle Schwingung, in der das System in seinen Ausgangszustand zuruckgekehrt ist, heißt dieSchwingungsdauer. Da die einfache Periode der Cosinusfunktion den Wert 2π hat, folgt fur T0 die Beziehung:

ω0T0 = 2π (18)

Andererseits ist der Kehrwert 1/T0 der Schwingungsdauer gleich der Frequenz f0, d. h. der Zahl der Schwingun-gen pro Zeit. Damit lasst sich die bisher nur aus Dimensionsgrunden eingefuhrte Konstante ω0 folgendermaßenausdrucken:

ω0 =2πT0

= 2πf0 (19)

Wegen des Faktors 2π heißt sie die Kreisfrequenz der Schwingung.

5

Experimentelle Bestimmung der Ruckstellkonstante

Im Versuch wird die Schwingungsdauer T0 des Federpendels gemessen. T0 hangt nach Gl. (9) und Gl. (19) mit derRuckstellkonstante k der Feder durch

T 20 =

4π2

km (20)

zusammen. Bei Variation der Masse m musste also Auftragen von T 20 gegen m eine Gerade mit der Steigung a1 =

4π2/k ergeben, womit sich k aus a1 berechnet. Experimentell wird allerdings nicht m sondern mK variiert. Außer-dem ergibt sich noch eine Schwierigkeit daraus, dass auch die Feder entgegen der bisherigen Annahme massebehaftetist und so infolge ihrer eigenen Schwingung mit zur Masse m beitragt, weswegen m nicht einfach gleich der Summemk + (1/2)mD gesetzt werden kann.

Der Ausdruck fur m in Gl. (20) kann um einen zusatzlichen Masseterm, der die Federmasse mf beinhaltet, erweitertwerden. Da die Feder allerdings an einem Ende befestigt ist, vollzieht die Feder nicht in all ihren Massenelementendie gleiche Amplitude wie die angehangten Massen mK . Die Federmasse wird deshalb nur teilweise in Gl. (20)eingehen. Mit dieser Uberlegung erhalt man:

T 20 =

4π2

k(fmf +mK +

12mD) (21)

mf = Masse der Feder, f = Zahlenfaktor zwischen 0 und 1, mK = Masse des Schwingkorpers, mD = effektive Masse der

Fadenumlenkscheibe

Die Auftragung von T 20 gegen mK liefert eine Gerade mit der Steigung a1 = 4π2/k. Mit der Nullstelle der Gerade

kann der Term fmf + 1/2 ·mD experimentell bestimmt werden.

1.2 Die gedampfte freie Schwingung

Eine Schwingung wird dadurch gedampft, dass an dem schwingenden Korper eine zusatzliche Kraft angreift, dieseiner Bewegung stets entgegengerichtet ist. Zur Erzeugung einer solchen bremsenden Kraft dreht sich die zumUmlenken des Fadens verwendete Aluminiumscheibe zwischen den Polen eines Elektromagneten (s. Abbildung 1).Dadurch werden in ihr Wirbelstrome induziert, auf die das Magnetfeld eine Kraft ausubt. Aus dem Zusammen-wirken von Induktionsgesetz, Ohmschem Gesetz und dem Gesetz von Lorentz fur die Kraft eines Magnetfeldesauf elektrische Strome (s. Versuch ”Magnetisches Feld“) ergibt sich, dass der Betrag dieser Kraft proportional zurGeschwindigkeit v des Schwingkorpers ist. Gemaß der Lenzschen Regel wirkt die Kraft der Ursache entgegen undbremst die Scheibe.

Die Bewegungsgleichung

Im x–Koordinatensystem nach Abbildung 1 wirkt bei geschwindigkeitsproportionaler Reibung auf den Schwingkorperdie Gesamtkraft

F = −kx− ρv = −kx− ρdxdt

(22)

mit dem konstanten Reibungskoeffizienten ρ. Aus dem 2. Newtonschen Axiom folgt die Differentialgleichung

md2x

dt2+ ρ

dxdt

+ kx = 0 (23)

Auch hier ist eine Losung mit dem Ansatzx(t) = a exp(λt), (24)

(vgl. Gl. (6)) moglich. Er fuhrt diesmal zu folgender Gleichung fur λ (vgl. Gl. (7)):

mλ2 + ρλ+ k = 0 (25)

mit den zwei Losungen

λ1,2 = −β ±√β2 − ω2

0 (26)

6

wobei ω0 die Kreisfrequenz der ungedampften Schwingung ist (s. Gl. (9)), und die Dampfungskonstante β durchfolgende Beziehung definiert wird:

β =ρ

2m(27)

Losungen der Bewegungsgleichung

Die Art der Bewegung hangt entscheidend vom Vorzeichen der Große β2 − ω20 ab.

Fall a) β < ω0 (schwache Dampfung): Man kann eine reelle Große ωd durch

ωd =√ω2

0 − β2 (28)

einfuhren und erhalt:

λ1,2 = −β ± iωd (29)

Damit erhalt man die allgemeine Losung der Gl. (23) in der Form

x(t) = exp (−βt)[a1 exp (iωdt) + a2 exp (−iωdt)] (30)

schreiben. Mit den Anfangsbedingungen aus Gl. (11) und Gl. (12) erhalt man:

x(t) = x0 exp (−βt)[cosωdt+

β

ωdsinωdt

](31)

= x0ω0

ωdexp (−βt) cos (ωdt− ϕ) (32)

wobei die Phasenverschiebung ϕ durch folgende Beziehung gegeben ist:

tanϕ =β

ωd(33)

Gl. (32) beschreibt eine gedampfte Schwingung, wie sie in Abbildung 3a dargestellt wird. Es ist eine Schwin-gung, bei der die Große der Amplitude mit der Zeit exponentiell abnimmt. Ihre durch Td = 2π/ωd gegebeneSchwingungsdauer ist nach Gl. (28) etwas großer als die Schwingungsdauer T0 = 2π/ω0 der ungedampftenSchwingung desselben Systems.

Fall b) β > ω0 (starke Dampfung): Man definiert:

η =√β2 − ω2

0 (34)

und erhalt:

λ1,2 = −β ± η (35)

Die allgemeine Losung der Gl. (23) ist dann:

x(t) = exp (−βt)[a1 exp (ηt) + a2 exp (−ηt)] (36)

Lasst man den Schwingkorper nach der Auslenkung um den Betrag x0 zur Zeit t = 0 mit v = 0 los, so wirddurch diese Anfangsbedingungen Gl. (36) zu

x(t) = x0 exp (−βt)[cosh ηt+β

ηsinh ηt] (37)

spezifiziert, wie man durch Einsetzen nachprufen kann. Gl. (37) beschreibt ein aperiodisches Kriechen zuruckin die Gleichgewichtslage, das in Abbildung 3b dargestellt ist.

7

x

t

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T0

0

x

t

0

0

a)

b)

xo

xo

x

t

0

0c)

xo

Abbildung 3: Bewegung eines harmonischen Oszillators mit verschieden starker Dampfung. a) schwacheDampfung: β < ω0 b) starke Dampfung: β > ω0 c) aperiodischer Grenzfall: β = ω0

Fall c) Im Grenzfall β = ω0 (kritische Dampfung) kann die den obigen Anfangsbedingungen entsprechende Losungaus Gl. (37) durch den Grenzubergang η → 0 gefunden werden. Es ergibt sich

x(t) = x0 exp (−ω0t)(1 + ω0t) (38)

Diesen so genannten aperiodischen Grenzfall zeigt Abbildung 3c.

Experimentelle Auswertung einer gedampften Schwingung

Im Teilversuch zur Untersuchung eines gedampften Oszillators wird die Dampfung so gewahlt, dass β < ω0.Nach Auslenkung des Schwingkorpers um die Strecke x0 und Loslassen werden nacheinander die Amplituden xn

(n = 1, 2, . . .) und die Schwingungsdauer T beobachtet. Aus ihnen sollen die charakteristischen Großen β und ω0

bestimmt werden.

Aus Gl. (32) erkennt man, dass Nulldurchgange der Auslenkung bei gleicher Schwingungsrichtung um eine Schwin-gungdauer von Td = 2π/ωd voneinander getrennt sind. Dass dies auch fur aufeinanderfolgende Maxima bzw.Minima gilt, ist nicht selbstverstandlich, kann aber anhand von Gl. (32) bewiesen werden. Dazu mussen nur dieExtrema der Funktion x(t) durch Nullsetzen von dx/dt gefunden werden. Aus dieser Rechnung folgt auch, dass die

8

Minima von den benachbarten Maxima zeitlich um Td/2 entfernt sind und umgekehrt. Die Schwingungsdauer Td

kann also gemessen werden, indem die Zeit zwischen aufeinanderfolgenden Nulldurchgangen oder Auslenkmaximaoder Auslenkminima gemessen wird.

Die Losung Gl. (32) von Gl. (23) wurde durch die Nebenbedingung Gl. (33) so gewahlt, dass sie zur Zeit t = 0 einMaximum besitzt. Der Term cos (ωdt− ϕ) nimmt fur t = 0 den Wert cosϕ an. Der Term cos (ωt− ϕ) nimmt auchfur alle weiteren Maxima den Wert cosϕ an. In allen Minima hat er den Wert − cosϕ. Von einem Maximum zumunmittelbar danach folgenden Minimum nimmt also der Betrag |x(t)| jeweils um exp (βTd/2) ab. Nummeriert mandie Maxima mit n = 0, 1, 2, 3, . . . durch, so gilt:

xn = x0 exp (−2πβ

ωdn) = x0 exp (−βTdn) (39)

n = Nummer des n–ten Maximums, xn = Betrag der n–ten Amplitude.

Der Exponent in Gl. (39) soll ein Maß fur die Starke der Dampfung sein, die Dampfungskonstante β ist darin abermit der Schwingungsdauer Td gekoppelt. Daher fuhrt man als experimentell direkt zugangliches Dampfungsmaßdas logarithmische Dekrement Λ ein:

Λ = 2πβ

ωd= βTd (40)

Damit wird aus Gl. (39):xn = x0 exp (−Λn) (41)

Die Steigung der sich durch logarithmisches Auftragen von xn gegen n ergebenden Geraden hat nach Gl. (41) denWert −Λ.

Eine weitere Messgroße ist die Schwingungsdauer Td = 2π/ωd. Fur sie erhalt man aus den Definitionen von ωd

(Gl. (28)) und Λ (Gl. (40)) folgende Beziehung:

Td = T0

√1 + [

Λ2π

]2 (42)

Aus Gl. (42) folgt, dass Td fur kleine Dampfungen nur wenig von T0 abweicht.

1.3 Die erzwungene Schwingung

Bisher wurden nur Schwingungen betrachtet, die durch einmaliges Auslenken und Loslassen des Schwingkorperszustandekamen. Es kann aber auch eine zeitlich periodische Kraft von außen auf das schwingungsfahige Systemeinwirken.

Experimentelle Anordnung

Die zu diesem Zweck im Versuch verwendete Anordnung ist in Abbildung 4 schematisch dargestellt. Der am unterenEnde der Feder befestigte Faden wird jetzt von einem gleichformig rotierenden Exzenter auf und ab bewegt.

Die Lage des vom Exzenter angetriebenen Federendes werde durch die Koordinate xA angegeben. Ihr Nullpunktsei so festgelegt, dass die Bewegung symmetrisch zu ihm erfolgt. Die Auslenkung der Schwingmasse wird mit xbezeichnet. Es sei x = 0, wenn das untere Federende die Lage xA = 0 hat und der Schwingkorper in Ruhe ist. Indiesem Zustand besitzt die Feder eine bestimmte Lange, die wahrend der Bewegung um x − xA geandert ist. DieFeder ubt also auf den Schwingkorper die beschleunigende Kraft k(x− xA) aus. Die Verschiebung xA des unterenFederendes durch den Exzenter kann daher auch als Einwirkung einer außeren Kraft FA = kxA interpretiert werden.

Bewegungsgleichung

Wenn der Abstand des Exzenters von der ersten Fadenumlenkrolle genugend groß gegenuber dem Exzenterradiusist, andert sich xA naherungsweise sinusformig mit der Zeit, d. h. das untere Federende fuhrt eine harmonischeSchwingung aus:

xA(t) = xA cosωAt (43)

9

Abbildung 4: Durch Exzenter angetriebenes Federpendel mit Dampfungsmagnet

Es ist hier von Vorteil, die reelle Funktion xA(t) durch eine imaginare Funktion yA(t) = ixA sinωAt zu der komplexenFunktion

xA(t) + yA(t) = xA cosωAt+ ixA sinωAt = xA exp (iωAt) (44)

zu erganzen. Da die Bewegungsgleichung linear ist, wird am Ende der Rechnung der Realteil der Losungsfunktiondas gewunschte Ergebnis darstellen.

Die Differentialgleichung fur die vorliegende Bewegung erhalt man in bekannter Weise, indem man die Summe allerKrafte dem Produkt aus Masse und Beschleunigung gleichsetzt:

md2x

dt2+ ρ

dxdt

+ kx = kxA exp (iωAt) (45)

Mit den Abkurzungen von Gl. (9) und Gl. (27) lautet die Bewegungsgleichung:

d2x

dt2+ 2β

dxdt

+ ω20x = ω2

0 xA exp (iωAt) (46)

Losung der Bewegungsgleichung

Man sieht, dass sich Gl. (46) von Gl. (23) fur die freie Schwingung nur durch die rechte Seite unterscheidet, diehier nicht konstant ist. Die allgemeine Losung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung mit konstantenKoeffizienten ist gleich der Summe aus einer speziellen Losung der inhomogenen Gleichung und der allgemeinenLosung der dazugehorigen homogenen Gleichung.1

1Subtrahiert man von der allgemeinen Losung der inhomogenen Gleichung eine spezielle Losung derselben und setzt das Ergebnisin ihre linke Seite ein, so ergibt sich null, d. h. die Differenz erfullt die homogene Gleichung.

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Die allgemeine Losung der homogenen Gleichung ist die durch Gl. (30) und Abbildung 3 dargestellte gedampftefreie Schwingung. Im Experiment wird meistens so lange gewartet, bis dieser ”Einschwingvorgang“ genugend starkabgeklungen ist. Es stellt sich eine ungedampfte Schwingung ein, deren Kreisfrequenz ω gleich der KreisfrequenzωA der anregenden Schwingung ist (daher der Name ”erzwungene“ Schwingung) und die eine Phasenverschiebunggegenuber derselben besitzt. Sie wird durch folgende Funktion dargestellt:

x(t) = x exp [i(ωt− ϕ)] (47)

Durch Einsetzen folgt, dass dies tatsachlich die gesuchte Losungsfunktion von Gl. (46) ist.

Frequenzabhangigkeit von Amplitude und Phasenverschiebung

Dieses Einsetzen liefert analog zu dem bei der freien Schwingung eine algebraische Gleichung zwischen der Ampli-tude x, der Phasenverschiebung ϕ und der Kreisfrequenz ω:

x(−ω2 + 2iβω + ω20) = ω2

0 xA exp iϕ (48)

Der Weg zur Auflosung von Gl. (48) nach den Großen x und ϕ ist einfacher, wenn die geometrische Bedeutung vonGl. (48) im Zeigerdiagramm grafisch dargestellt wird:

Abbildung 5: Darstellung von Gl. (48) durch geometrische Addition von komplexen Zeigern

Aus Abbildung 5 folgt nach dem Satz des Pythagoras:

x2(ω20 − ω2)2 + x24β2ω2 = ω4

0 x2A (49)

Auflosung nach der Amplitude x ergibt:

x =ω2

0√(ω2

0 − ω2)2 + (2βω)2xA (50)

Fur die Phasenverschiebung ϕ folgt unmittelbar aus Abbildung 5 :

tanϕ =2βω

ω20 − ω2

(51)

Aus Gl. (50) und Gl. (51) liest man die wichtige Tatsache ab, dass Amplitude und Phasenverschiebung der erzwun-genen Schwingung von der Anregungsfrequenz abhangen. Die entsprechenden Funktionen sind in Abbildung 6 undAbbildung 7 dargestellt.

Bemerkenswert ist das Maximum in der Kurve fur die Amplitude x, das in der Nahe der Eigenkreisfrequenz ω0 desungedampften freien Oszillators auftritt. Diese Erscheinung wird mit Resonanz bezeichnet.

Diskussion der Resonanzkurven fur die Amplitude

Die Lage des Maximums der Kurve fur die Amplitude x ergibt sich durch Differentiation von Gl. (49) nach ω undNullsetzen der Ableitung:

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Abbildung 6: Amplitude einer erzwungenen Schwingung als Funktion der Kreisfrequenz fur verschiedeneDampfungen

ωres =√ω2

0 − 2β2 (52)

Die Resonanzkreisfrequenz ωres wandert mit wachsender Dampfung β nach links (siehe Abbildung 6), bis es beieiner Dampfung von β = ω0/

√2 die Ordinate erreicht.

Anmerkung: Aus Gl. (52) und Gl. (28) folgt die Relation: ωres < ωd < ω0 bzw. fres < fd < f0, sprich, dieResonanzfrequenz fres ist kleiner als die Eigenfrequenz fd der gedampften Schwingung und diese ist kleiner als dieEigenfrequenz f0 der ungedampften Schwingung.

Einsetzen von ωres gemaß Gl. (52) in Gl. (50) ergibt fur die Hohe des Resonanzmaximums:

xres =ω2

0

2β√ω2

0 − β2xA (53)

Daraus folgt, dass es mit wachsender Dampfung immer niedriger wird.

Von der Dampfung hangt auch die ”Breite“ des Maximums ab, die sich durch den Abstand ∆ωh der beidenKreisfrequenzen, in denen die in der Schwingung gespeicherte Energie 1/2kx2 vom Maximalwert auf dessen Halfteabgenommen hat, definieren lasst. Dieser Abstand heißt dementsprechend die Halbwertsbreite. Sie ergibt sich ausGl. (50) und Gl. (53), indem x2 = x2

res/2 gesetzt wird:

∆ωh =

√(ω2

0 − 2β2) + 2β√ω2

0 − β2 −√

(ω20 − 2β2)− 2β

√ω2

0 − β2 (54)

Fur den Fall kleiner Dampfung (β � ω0/√

2) kann durch Entwickeln der Wurzeln in Potenzreihen eine einfacheNaherung fur ∆ωh gewonnen werden:

∆ωh =√ω2

0 − 2β2

√1 + 2β

√ω2

0 − β2

ω20 − 2β2

−

√1− 2β

√ω2

0 − β2

ω20 − 2β2

≈√ω2

0 − 2β2

(1 + β

√ω2

0 − β2

ω20 − 2β2

− 1 + β

√ω2

0 − β2

ω20 − 2β2

)= 2β

√ω2

0 − β2

ω20 − 2β2

≈ 2β

(55)

∆ωh ≈ 2β (56)

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Diskussion der Kurven fur die Phasenverschiebung

Abbildung 7: Phasenverschiebung einer erzwungenen Schwingung gegenuber der anregenden Schwin-gung als Funktion der Kreisfrequenz

In den Kurven fur die Phasenverschiebung ϕ (Abbildung 7) liegt der Funktionswert ϕ = 90◦ unabhangig von β stetsbei der Eigenkreisfrequenz ω0, wie unmittelbar aus Gl. (51) folgt. Die Kurven werden mit wachsender Dampfungin der Umgebung von ω0 zunehmend flacher. Als Maß fur die Flachheit eignet sich der Abstand ∆ωϕ der beidenKreisfrequenzen, denen die Phasenverschiebungen ϕ = 45◦ bzw. 135◦ zugeordnet sind. Der Tangens hat fur beideden Wert 1, und aus Gl. (51) folgt:

∆ωϕ = 2β (57)

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2 Technische Grundlagen

2.1 Versuchsanordnung mit dem Fadenpendel

Das Fadenpendel besteht aus einer Stahlkugel, die an einem dunnen Faden aufgehangt ist (Abbildung 8). Sie wirdseitlich ausgelenkt und dann losgelassen. Die Messung der Schwingungsdauer erfolgt mit einer Stoppuhr. Außerdemmuss die Fadenlange bekannt sein.

Abbildung 8: FadenpendelDie Amplitude der Schwingung muss klein gewahlt werden (im Bild der besseren Darstellung wegenviel zu groß gezeichnet), da nur dann die Schwingungsdauer von ihr unabhangig ist.

2.2 Versuchsanordnung mit dem Federpendel

Die Teilversuche mit dem Federpendel sind computerbasiert. Der Versuchsaufbau besteht aus einem mechanischenOszillator in Form eines Federpendels mit variabler Masse. Feder und Masse sind uber eine Umlenkrolle mit einemFaden verbunden. Zusatzlich ist die Feder mit einem Exzenter verbunden, der durch einen drehzahlgesteuertenMotor in Bewegung versetzt werden kann.

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Schwingungsapparatur mit Federpendel und Messwerterfassungselektronik

Die Schwingungsapparatur ist in Abbildung 9 dargestellt. Der von der Exzenterscheibe ausgehende Antriebsfadenzieht uber zwei Umlenkrollen am unteren Ende der senkrecht hangenden Schraubenfeder. An deren oberen Ende istein weiterer Faden befestigt, der uber eine reibungsarm drehbar gelagerte Aluminiumscheibe zum Schwingkorperfuhrt. Ein Elektromagnet erzeugt Wirbelstrome in der Scheibe, welche ihre Bewegung geschwindigkeitsproportionaldampfen.

Die Fadenumlenkscheibe ist mit einem optischen Encoder verbunden. Dieser erzeugt durch eine Lichtschranke infesten Winkelabstanden elektrische Impulse. Eine nachfolgende elektrische Schaltung bestimmt daraus Auslenkungund Schwingungsdauer der Schwingmassen. Die Exzenterscheibe zum Anregen der Schwingungen ist ebenfalls miteinem optischen Encoder verbunden. Damit wird die Auslenkung und Schwingungsdauer des Erregers bestimmt.Die digitalisierten Messwerte werden direkt am Display der Schwingungsapparatur angezeigt. Daruber hinaus kanndie Schwingungsapparatur mit einem PC verbunden werden, auf dem eine entsprechende Software die Messwerteverarbeitet.

Abbildung 9: Die Schwingungapparatur

2.3 Aufbau und Wirkungsweise eines optischen Encoders

Messprinzip fur Verschiebungen

Wenn die Fadenumlenkscheibe mit dem Radius r sich um den Winkel ϕ dreht, wird der Faden um die Strecke s = rϕverschoben. Die Verschiebung s kann also durch Messung des Drehwinkels ϕ bestimmt werden (sieh Abbildung 10).

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Abbildung 10: Zusammenhang zwischen Fadenverschiebung und Drehwinkel der Scheibe

Optischer Encoder

Die Messung des Drehwinkels geschieht mit Hilfe von optischen Encodern. Diese bestehen aus einer Encoderscheibeund zwei unabhangigen Lichtschranken. Die Encoderscheibe ist ein dunnes Plattchen aus transparentem Kunst-stoff, auf das eine lichtundurchlassige Aluminiumschicht aufgedampft wurde. In diese sind lichtdurchlassige Fenstereingeatzt. Sie haben die Form von radial ausgerichteten Spalten. Am Rand der Scheibe wechseln sich Spalten undStege mit gleichbleibenden Abstanden ab. Der Rand der Encoderscheibe lauft durch eine der beiden Lichtschrankenund erzeugt dadurch elektrische Impulse. Die Anzahl dieser elektrischen Impulse ist proportional zum Drehwinkelund somit ein Maß fur diesen. Weiter innen befindet sich auf der Encoderscheibe ein einzelnes Fenster, das durchdie zweite Lichtschranke lauft und pro Schwingung zwei elektrische Impulse erzeugt. Mit dem Signal dieser zweitenLichtschranke kann somit die Schwingungsdauer bestimmt werden (siehe Abbildung 11).

Abbildung 11: Optischer Encoder

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3 Versuchsdurchfuhrung

3.1 Teilversuch 1: Schwingungsdauer eines Fadenpendels

• Messen Sie die Lange des Fadens bis zum Mittelpunkt (Schwerpunkt) der Kugel. Sie konnen außer demBandmaß zusatzlich eine Schieblehre benutzen.

• Lassen Sie das Pendel frei schwingen. Wahlen Sie dabei die Anfangsamplitude so klein, dass in genugendguter Naherung sinα ≈ α gilt (fur α = 15◦ gilt das mit nur 3 % Abweichung).

• Messen Sie die Zeit fur 20 volle (!) Schwingungen mit der Stoppuhr. Es ist ungunstig, direkt vom Momentdes Loslassens ab zu messen. Wiederholen Sie die Messung zwei bis drei Mal zur Kontrolle.

Die folgenden drei Teilversuche sind computerbasiert und lassen sich in kurzer Zeit durchfuhren. Das Verstandnisvon Schwingungen ist aber Voraussetzung fur viele physikalische Phanomene. Die Erfahrungen aus diesem Versuchsind daher fur das weitere Studium als außerst wertvoll anzusehen. Lassen Sie sich deshalb Zeit, um die Effekte zuverstehen. Wenn Sie wollen konnen Sie mit dem Aufbau ein wenig herumspielen.

Vorbemerkungen zur DAQ-Software

Die DAQ-Software2 wurde in LabVIEW programmiert. Ihr Betreuer kann Ihnen bei Interesse Naheres zu diesergrafischen Programmiersprache zeigen. Melden Sie sich nun am Computer an. Ihr Betreuer teilt Ihnen Loginund Passwort mit. Das Programm finden Sie als Icon mit dem Namen Mechosc auf dem Desktop und kann durchDoppelklick gestartet werden. Nach dem Start des Programms erscheint ein Menu, in dem Sie drei Unterprogrammewahlen konnen (siehe auch Abbildung 12):

• Free Undamped Oscillation (Freie ungedampfte Schwingung)

• Free Damped Oscillation (Freie gedampfte Schwingung)

• Driven Oscillation (Erzwungene Schwingung)

Abbildung 12: Startmenu

3.2 Teilversuch 2: Ungedampfte freie Schwingungen

Vorbereitung der Schwingungsapparatur

• Richten Sie die Schwingungsapparatur mit Hilfe der Bodenschrauben so aus, dass die Stange beruhrungslosdurch die Mitte der Fuhrungsose lauft.

• Ziehen Sie alle sechs Zylinder von der dunnen Stange ab und bestimmen sie einzeln deren Masse.2DAQ steht fur data aquistion = Datennahme

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• Schieben Sie zwei Zylinder zuruck auf die Stange.

• Verschieben Sie die untere Umlenkrolle durch Drehen am Grobtrieb so, dass der Befestigungsdraht auf demRand der Fadenumlenkscheibe nach oben zeigt. Damit liegt der Nullpunkt des Schwingkorpers ungefahr ander richtigen Stelle.

Machen Sie sich nun mit dem im Folgenden beschriebenen Unterprogramm zur freien ungedampften Schwingungvertraut.

Unterprogramm ”Free Undamped Oscillation“

Programmaufbau

Das Fenster des Unterprogramms zur freien Schwingung teilt sich in drei Bereiche (siehe auch Abbildung 13):

• Echtzeitanzeige: sie zeigt unmittelbar den Schwingungsverlauf an.

• Messwerttabelle: in ihr werden die durch Messung ermittelten Werte durch das Programm automatisch ein-getragen. In die linke Spalte erfolgt eine Nummerierung der Schwingungsperioden, in der rechten Spalte wirddie Dauer der entsprechenden Periode eingetragen. Am unteren Rand der Tabelle werden nach der Messungdie mittlere Schwingungsdauer und deren Standardabweichung angezeigt.

• Eingabetabelle: sie dient dem Eintragen der zu einer Messung gehorenden Werte

– Masse

– Messfehler der Waage

– mittlere Schwingungsdauer

– Standardabweichung der Schwingungsdauer

Das Eintragen erfolgt nicht automatisch, da zuvor die ermittelten Werte auf Plausibilitat zu prufen sind.

Hinweis: Verwenden Sie bei der Eingabe ein Dezimalkomma statt dem Dezimalpunkt!

Abbildung 13: Aufbau des Datennahmefensters des Unterprogramms ”Free Undamped Oscillation“

Ablauf einer Messung

Um die freien ungedampften Schwingungen zu untersuchen, werden mehrere Messungen mit unterschiedlichenSchwingmassen vorgenommen. Fur jede Masse werden folgende drei Schritte durchgefuhrt:

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1. Masse anbringen und positionieren

Nachdem an der Apparatur eine Masse angebracht wurde, ist die Schwingmasse in die Nulllage zu posi-tionieren. Zur Unterstutzung dient das Positionierungsfenster, das durch Klick auf aufgerufenwird.

Im Positionierungsfenster werden sowohl die aktuelle Position in einer groben und feinen Auflosung als auchder Bewegungsverlauf in einer Echtzeitanzeige dargestellt. Besonderer Augenmerk kommt den Indikatoren zu,die die Korrekturrichtung andeuten. Leuchtet der obere Indikator rot, so ist die Masse am Versuchsaufbauabzusenken, leuchtet der untere Indikator rot ist die Masse anzuheben. Ist die Masse innerhalb des Nullbereichsleuchtet der Nullindikator grun (siehe Abbildung 14).

Tipp: Unter Umstanden tun Sie sich leichter, wenn Sie wahrend der Nullpunktseinstellung den Dampfungs-strom einschalten. Der Dampfungsstrom darf die auf dem Elektromagnet angegebene Stromstarke nicht uber-steigen.

Abbildung 14: Positionierungsfenster: die Nullpunktseinstellung ist in Ordnung

2. Datennahme starten

Zuerst stellt man die gewunschte Anzahl der zu messenden Schwingungsperioden mit ein. Nun versetztman die Masse in Schwingung, indem man die Umlenkrolle auslenkt und loslasst.

Nachdem sich eine saubere Schwingung eingestellt hat, startet man die Messung mit . In derMesswerttabelle werden nun die erfassten Werte nacheinander eingetragen.

Die Messung kann jederzeit durch Klick auf abgebrochen werden.

Nachdem die Messung beendet wurde, werden Mittelwert und Standardabweichung der erfassten Perioden-dauern berechnet und angezeigt (siehe Abbildung 15).

3. Messwerte in die Eingabetabelle ubertragen

Mittelwerte und Standardabweichung sind auf Plausibilitat zu prufen und in die Eingabetabelle einzutragen(siehe Abbildung 16). Gegebenenfalls ist die Messung zu wiederholen.

Auf diese Art konnen die mittleren Periodendauern fur verschiedene Massen gemessen und die ermitteltenWerte in die Tabelle eingetragen werden.

Evaluierung der Schwingungsdauern

Durch Wahl des Evaluierungsfensters werden die tabellierten Werte im m-T 20 -Diagramm dargestellt (siehe Abbil-

dung 17).

Sollten nicht alle Werte sichtbar sein, konnen Sie uber das Zoom-Menu den angezeigten Ausschnitt anpassen(siehe Abbildung 18). Das Zoom-Menu erhalten Sie durch Klick auf das Lupensymbol rechts unten neben demKoordinatensystem.

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Abbildung 15: Datennahmefenster nach einer Messung

Abbildung 16: Eintragen von Mittelwert und Standardabweichung in die Eingabetabelle

Abbildung 17: Evaluierungsfenster

Im Evaluierungsfenster befindet sich eine Gerade an deren sichtbaren Enden sich ”Anfasser“ befinden, mit denendie Gerade (moglichst optimal) uber die Messwerte gelegt werden kann. Rechts oben neben dem Koordinatensystem

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Abbildung 18: Zoom-Menu

werden die Werte fur den Ordinatenabschnitt und die Steigung der Geraden angezeigt:

• a 0: Ordinatenabschnitt a0

• a 1: Steigung a1

Messungen

• Bestimmen Sie fur funf Schwingmassen die zugehorigen mittleren Schwingungsdauern, indem Sie auf derdunnen Stange der Reihe nach 2, 3, 4, 5 und 6 Zylinder befestigen. Notieren Sie die gemessenen mittlerenSchwingungsdauern.

• Legen Sie im Evaluierungsfenster der DAQ-Software eine moglichst optimale Ausgleichsgerade in das m-T 20 -

Diagramm.

• Notieren Sie die Steigung und den Ordinatenabschnitt der Ausgleichsgeraden.

3.3 Teilversuch 3: Gedampfte freie Schwingung

Vorbereitung der Schwingungsapparatur

• Uberprufen Sie, ob die Stange noch beruhrungslos durch die Mitte der Fuhrungsose lauft.

• Schalten Sie das Netzgerat fur den Dampfungsmagneten ein. Stellen Sie den Dampfungsstrom auf den amElektromagneten angegebenen Wert ein.

• Schieben Sie alle sechs Zylinder auf die Stange.

• Fuhren Sie die Nullpunktseinstellung wie bei der freien ungedampften Schwingung durch.

Machen Sie sich nun mit dem im Folgenden beschriebenen Unterprogramm zur freien gedampften Schwingungvertraut.

Unterprogramm ”Free Damped Oscillation“

Programmaufbau

Das Fenster zur Messung der freien gedampften Schwingung enthalt folgende Elemente (siehe auch Abbildung 19):

• Echtzeitvorschau

• Messwerttabelle

• die bereits bekannten Schaltflachen zum

– Starten der Positionierung

– Einstellen der zu messenden Schwingungszahl

– Starten/Beenden der Messung

• ”Live Update“-Schalter zum Starten/Stoppen der Echtzeitvorschau

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Abbildung 19: Messfenster: Freie gedampfte Schwingung

Ablauf einer Messung

1. Schwingungszahl einstellen. Bei großer Dampfung werden nur wenige Schwingungen durchlaufen.

2. Starten der Messung mit und dannach die Umlenkrolle auslenken und loslassen.

3. Die Messung in der Echtzeitvorschau verfolgen. Sollte die Schwingung bereits vor der eingestellten Schwin-gungszahl abgeklungen sein, so ist die Messung mit abzuschließen

Ist die eingestellte Schwingungszahl erreicht, wird die Echtzeitvorschau automatisch gestoppt, sodass der Schwin-gungsverlauf nachvollzogen werden kann.

Evaluierung der Amplitude

Zur Evaluierung werden die Messwerte wieder in einem kartesischen Koordinatensystem aufgetragen. Die Achsensind:

• Abszisse: Nummer der Schwingung

• Ordinate: Logarithmus der Amplitude

Die Evaluierung der Messwerte erfolgt analog zu der freien ungedampften Schwingung, d. h. es wird eine Geradeangezeigt, die mit Hilfe von zwei ”Anfassern“ uber die Messpunkte gelegt wird.

Messung

• Notieren Sie Amplitude und Schwingungsdauer der beobachtbaren Maxima und Minima in zeitlicher Reihen-folge.

• Legen Sie im Evaluierungsfenster der DAQ-Software eine moglichst optimale Ausgleichsgerade in das Dia-gramm.

• Notieren Sie Steigung und Ordinatenabschnitt der Ausgleichsgeraden.

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3.4 Teilversuch 4: Erzwungene Schwingungen

Vorbereitung der Schwingungsapparatur

• Uberprufen Sie, ob die Stange noch beruhrungslos durch die Mitte der Fuhrungsose lauft.

• Lassen Sie den in Teilversuch 3 eingestellten Dampfungstrom und die Schwingmasse unverandert, damit einVergleich der Messwerte moglich ist.

• Schalten Sie den Erreger ein, indem Sie den Kippschalter an der Schwingungsapparatur auf LOC stellen.3

• Sie konnen nun an der Schwingungsapparatur uber den Drehknopf mit der Bezeichnung ”Frequency“ dieErregerfrequenz variieren. Probieren Sie es aus!

Vorbemerkung

Es ist unbedingt darauf zu achten, dass die Dampfung eingeschaltet ist. Sonst kann es wahrend des Versuchs beiAnregungsfrequenzen nahe der Resonanzfrequenz zur Resonanzkatastrophe kommen. Dies außert sich darin, dassdie Schnur aus der Fuhrungsrolle springt und neu eingefadelt werden muss. Nachdem die Resonanzfrequenz amEnde des Versuchs ermittelt und alle Messungen durchgefuhrt wurden, kann dies ausprobiert werden. Viel Spaß!

Machen Sie sich nun mit dem im Folgenden beschriebenen Unterprogramm zur erzwungenen Schwingung vertraut.

Unterprogramm ”Driven Oscillation“

Programmaufbau

Das Fenster zur Datennahme ist ahnlich dem der Messung der freien ungedampften Schwingung aufgebaut (sieheAbbildung 20). Die Funktionsweise der Messwerttabelle und der Eingabetabelle ist analog. Es werden nun folgendeGroßen gemessen:

• Die Frequenz des Erregers

• Die Periodendauer des Oszillators

• Die Amplitude des Oszillators

• Die Phasenverschiebung zwischen Oszillator und Erreger

Die aktuelle Frequenz des Erregers wird in der DAQ-Software unterhalb des Schiebereglers fur die (nicht verwendete)Motorsteuerung angezeigt.

Ablauf einer Messung

1. Einstellen der Nullposition: da der Oszillator permanent zu Schwingungen angeregt wird, muss eine dynami-sche Nullpunktseinstellung erfolgen.

Stellen Sie hierzu die Erregerfrequenz auf ca. 1 Hz. Nach einer kurzen Einschwingzeit ergibt sich eine Si-nuskurve. Variieren Sie nun die Nullpunktseinstellung so, dass die oberen und unteren Scheitelpunkte derSchwingung den gleichen Abstand zur Nulllinie haben.

2. Stellen Sie die Erregerfrequenz nun so ein, dass sich der Motor gleichmaßig dreht (ca. 0.5 Hz).

3. Die gewunschte Zahl der zu messenden Schwingungen einstellen (z. B. funf Schwingungen).

4. Nun in bekannter Art die Messung starten. Ein Abbruch ist jederzeit moglich.

5. Die ermittelten Werte auf Plausibilitat prufen und in die Eingabetabelle ubertragen.3Mit der Schalterstellung REM wird der Erregermotor der Schwingungsapparatur durch die DAQ-Software steuerbar. Von diesem

Modus sollten Sie aber keinen Gebrauch machen!

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Abbildung 20: Messfenster zur erzwungenen Schwingung

Evaluierung der Amplitudenmessung

Die Evaluierung der Messwerte der angeregten Schwingung unterscheidet sich von der Evaluierung der vorhergehen-den Versuche, da in diesem Fall nichtlineare Funktionen (moglichst optimal) an die Messwerte gelegt werden sollen.Im Fenster ”Evaluate Amplitude“ befindet sich ein kartesisches Koordinatensystem, in dem die Anregungsfrequenzgegen die Amplitude der Schwingung aufgetragen ist. Zudem wird der Graph der theoretisch ermittelten Beziehungzwischen Anregungsfrequenz und Amplitude (Gl. (50)) eingezeichnet. Am Anfang ”klebt“ dieser an der Nulllinie.Durch ”Hochziehen“ der Regler am rechten Rand sollte man ihn daher in eine gute ”Startposition“ bringen. DurchVerandern der Werte der eben genannten Regler, ist die Kurve an die Messwerte anzupassen. Folgende Reglerstehen zur Verfugung:

• A 0: Amplitude der Anregungsschwingung xA

• f res: Resonanzfrequenz fres

• beta: Dampfungskonstante β

Evaluierung der Phasenmessung

Im Fenster ”Evaluate Phase“ wird die Anregungsfrequenz gegen die Phasenverschiebung von Anregungsschwingungund angeregter Schwingung dargestellt. Zudem wird der Graph der theoretisch ermittelten Beziehung zwischenAnregungsfrequenz und Phasenverschiebung (Gl. (51)) darubergezeichnet. Um ein mogliches mechanisches Verrut-schen der Nullpunktseinstellung am experimentellen Aufbau zu kompensieren, konnen alle Messwerte um einenkonstanten Phasenoffset c verschoben werden. Wieder ist durch Verandern der Regler die Kurve an die Messwerteanzupassen. Ab einer gewissen Mindestzahl an Messwerten kann man durch drucken des Knopfes ”show best curve“eine vom Computer (im Sinne des kleinsten quadratischen Fehlers) angepasste Kurve zum Vergleich heranziehen.Da wie bei allen numerischen Kurvenanpassungen keine sichere Konvergenz gewahrleistet werden kann, ist es sehrzu empfehlen, vor dem Drcken dieses Knopfes eine manuelle Anpassung vorzunehmen.

Folgende Regler stehen zur Verfugung:

• f 0: Resonanzfrequenz fres

• beta: Dampfungskonstante β

• c: Phasenoffset c

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Abbildung 21: Evaluierung des Amplitudenverlaufs

Abbildung 22: Evaluierung des Phasenverlaufs

Messung

• Messen Sie die Amplitude des Erregers.

• Messen Sie fur mindestens sechs Erregerfrequenzen: Amplitude, Phasenverschiebung und Schwingungsdauerdes Oszillators. Ihre Messungen sollten die kleinstmogliche und die großtmogliche einstellbare Erregerfrequenzenthalten.

• Notieren Sie fur alle sechs Erregerfrequenzen die erhaltenen Mittelwerte fur: die Frequenz des Erregers,die Schwingungsdauer des Oszillators, die Amplitude des Oszillators und die Phasenverschiebung zwischenOszillator und Erreger.

• Legen Sie im Evaluierungsfenster der Amplitudenmessung eine Kurve in das f -A-Diagramm.

• Notieren Sie die durch die Anpassung der Kurve an den gemessenen Amplitudenverlauf erhaltenen Werte furxA, f0 und β.

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• Finden Sie die Resonanzfrequenz. Messen Sie an der Stelle der Resonanzfrequenz: Amplitude und Phasenver-schiebung zwischen Oszillators und Erreger.

• Legen Sie im Evaluierungsfenster der Phasenmessung eine Kurve in das f -ϕ-Diagramm.

• Notieren Sie die durch Anpassung des Phasenverlaufs erhaltenen Werte fur f0 und β

Fahren Sie den Rechner nach Ihrer letzten Messung bitte ordnungsgemaß herunter.

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4 Versuchsauswertung

4.1 Teilversuch 1: Schwingungsdauer eines Fadenpendels

• Berechnen Sie den Mittelwert der Schwingungsdauer T .

• Leiten Sie selbst den Zusammenhang zwischen der Erdbeschleunigung g und der Schwingungsdauer T her.

• Ermitteln Sie aus T die Erdbeschleunigung g fur den Standort des Experiments und bestimmen Sie den Fehlervon g (Gaußsche Naherungsformeln).

• Vergleichen Sie Ihren Wert fur g mit dem Literaturwert g = 9, 8073 m/s2 fur Munchen.

4.2 Teilversuch 2: Ungedampfte freie Schwingung

• Die DAQ-Software hat Ihnen die mittlere Schwingungsdauer T0 geliefert. Berechnen Sie daraus die Frequenzder freien ungedampften Schwingung f0.

• Bestimmen Sie mit Gl. (21) aus der Steigung Ihrer im Versuch angepassten Gerade die Federkonstante k derSchraubenfeder.

• Geben Sie fur die im Versuch angepasste Gerade mit dem erhalten Ordinatenabschnitt a0 die Nullstelle derGerade an.

• Geben Sie eine physikalische Interpretation fur den Wert der Nullstelle an.

4.3 Teilversuch 3: Gedampfte freie Schwingung

• Die DAQ-Software hat Ihnen die mittlere Schwingungsdauer T geliefert. Berechnen Sie damit die Frequenzder gedampften Schwingung.

• Vergleichen Sie die Frequenz der gedampften Schwingung mit der Frequenz f0 der ungedampften Schwingung.

• Bestimmen Sie mit Hilfe der im Versuch angepassten Gerade das logarithmische Dekrement Λ.

• Berechnen Sie mit Gl. (40) aus Λ und der mittleren Schwingungsdauer T die Dampfungskonstante β.

• Berechnen Sie mit Gl. (42) aus Λ und der Schwingungsdauer T0 des ungedampften Oszillators die Schwin-gungsdauer des gedampften Oszillators und vergleichen Sie den Wert mit dem experimentellen Wert.

4.4 Teilversuch 4: Erzwungene Schwingung

• Berechnen Sie aus den mittleren Schwingungsdauern die Frequenzen der erzwungenen Schwingungen undvergleichen Sie diese mit den Frequenzen des Erregers.

• Vergleichen Sie die im Experiment gefundene Resonanzfrequenz fres mit der Frequenz f0 der freien un-gedampften Schwingung und der Frequenz der freien gedampften Schwingung.

• Berechnen Sie mit Gl. (52) aus der Kreisfrequenz ω0 der freien ungedampften Schwingung und der Damp-fungskonstanten β der gedampften freien Schwingung die Resonanzkreisfrequenz ωres.

• Vergleichen Sie die Werte fur β aus der gedampften freien Schwingung, der Evaluierung des Amplitudenver-laufs und der Evaluierung des Phasenverlaufs.

• Berechnen Sie mit Gl. (51) die Phasenverschiebung zwischen Oszillator und Erreger fur die drei Falle: ω = 0,ω → ω0 und ω →∞ und vergleichen Sie diese Werte mit den experimentell gefundenen Werten.

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