Peter H. Richter - Institut für Theoretische PhysikPeter H. Richter - Institut für Theoretische Physik

MPI für die Physik komplexer SystemeMPI für die Physik komplexer Systeme

Dresden 29. Januar 2004Dresden 29. Januar 2004

Schönheit und Chaos Schönheit und Chaos in der Kreiseldynamikin der Kreiseldynamik

Dresden 29. Januar 2004 2

Typen von Kreiseln: ParameterTypen von Kreiseln: Parameter

Translation RTranslation R22 oder R oder R33 und und Rotation Rotation SO(3)SO(3) oder T oder T33

4 Parameter:4 Parameter:

Hauptträgheitsmomente: 2 Hauptträgheitsmomente: 2

321 AAA

ein Punkt fixiert:ein Punkt fixiert: nur 3 Freiheitsgrade der Rotation nur 3 Freiheitsgrade der Rotation

321 ,, sss

1312 /,/ AAAA

,Lage des Schwerpunkts: 2Lage des Schwerpunkts: 2

Achse der AufhängungAchse der Aufhängung

Dresden 29. Januar 2004 3

Phasenraum und Erhaltungsgrößen Phasenraum und Erhaltungsgrößen

3 Winkel + 3 Geschwindigkeiten: 3 Winkel + 3 Geschwindigkeiten: 6D-Phasenraum6D-Phasenraum

Energieerhaltung Energieerhaltung h=consth=const: : 5D-Energiefläche5D-Energiefläche

1 Drehimpulskomponente 1 Drehimpulskomponente l=constl=const: : 4D4D

3. Erhaltungsgröße: 3. Erhaltungsgröße: 3D3D

4 Erhaltungsgrößen: 4 Erhaltungsgrößen: 2D2D super-regulärsuper-regulär

regulär, integrabelregulär, integrabel

(mild) chaotisch(mild) chaotisch

Dresden 29. Januar 2004 4

Integrable Kreisel Integrable Kreisel

Lagrange: „Lagrange: „schwer“, symmetrischschwer“, symmetrisch

21 AA )1,0,0(s

Kovalevskaya: Kovalevskaya:

321 2AAA )0,0,1(s

Euler: Euler: „kräftefrei“„kräftefrei“

)0,0,0(s

Dresden 29. Januar 2004 5

Der Euler-Kreisel Der Euler-Kreisel

Figurenachse 3 im Raum Figurenachse 3 im Raum

Drehimpuls Drehimpuls (l(l11, l, l22, l, l33)) im im

körperfesten System körperfesten System

-Achse im körperfesten -Achse im körperfesten System: Poisson-Kugel System: Poisson-Kugel

L

hDer raumfeste Drehimpuls lege die Der raumfeste Drehimpuls lege die z-Achse fest. z-Achse fest.

Sein Betrag sei L.Sein Betrag sei L.

Die Energie h variiert dann von Die Energie h variiert dann von LL22/2A/2A11 (rot) über (rot) über LL22/2A/2A22 (grün) nach (grün) nach

LL22/2A/2A33 (blau). (blau).

Welche Bewegungen gibt es und wie Welche Bewegungen gibt es und wie stellen wir sie am besten dar? stellen wir sie am besten dar?

Dresden 29. Januar 2004 6

Beobachtungen Beobachtungen

Die Bewegung der Figurenachse im Raum gibt das Die Bewegung der Figurenachse im Raum gibt das komplizierteste Bild. Im komplizierteste Bild. Im körperfesten Bezugssystemkörperfesten Bezugssystem ist sie einfacher – allgemein immer dann, wenn das ist sie einfacher – allgemein immer dann, wenn das System bezüglich einer festen Raumrichtung System bezüglich einer festen Raumrichtung rotationssymmetrisch ist. Das soll im Folgenden rotationssymmetrisch ist. Das soll im Folgenden angenommen werden. angenommen werden.

Einziger Nachteil: man sieht nicht die Bewegung um Einziger Nachteil: man sieht nicht die Bewegung um die raumfeste Achse, aber das ist nicht wesentlich.die raumfeste Achse, aber das ist nicht wesentlich.Von nun an beschreiben wir die Bewegung im Raum Von nun an beschreiben wir die Bewegung im Raum

der der = ( = ( 11, , 22, , 33)) und und l l = (l= (l11, l, l22, l, l33))..

Dresden 29. Januar 2004 7

Der „reduzierte“ PhasenraumDer „reduzierte“ Phasenraum

je 3 Komponenten von je 3 Komponenten von und und ll: : 6D-Phasenraum 6D-Phasenraum

aber: aber: (Poisson-Kugel) und (Poisson-Kugel) und l l ··ll (Drehimpuls) automatisch konstant (Drehimpuls) automatisch konstant effektiv effektiv 4D-4D-PhasenraumPhasenraum

Energieerhaltung Energieerhaltung h=consth=const: : 3D-Energiefläche3D-Energiefläche

2. Erhaltungsgröße: 2. Erhaltungsgröße: 2D2D

regulär, integrabelregulär, integrabel

3 Erhaltungsgrößen: 3 Erhaltungsgrößen: 1D1D super-regulärsuper-regulär

Dresden 29. Januar 2004 8

Der Kovalevskaya-Kreisel Der Kovalevskaya-Kreisel

Dresden 29. Januar 2004 9

Ordnung, Chaos Ordnung, Chaos

und Schönheit ? und Schönheit ?

Dresden 29. Januar 2004 10

Dank anDank an

meine Studenten und Mitarbeitermeine Studenten und Mitarbeiter

Holger Dullin, Andreas Wittek, Marcus Juhnke, Holger Dullin, Andreas Wittek, Marcus Juhnke, Sven Schmidt Sven Schmidt

Kollegen aus Russland und der UkraineKollegen aus Russland und der Ukraine

Mikhail Kharlamov, Alexey Bolsinov, Victor Mikhail Kharlamov, Alexey Bolsinov, Victor Enolskii, Igor Gashenenko, Sasha VeselovEnolskii, Igor Gashenenko, Sasha Veselov

meinen Lehrer meinen Lehrer

Siegfried GroßmannSiegfried Großmann