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7/30/2019 Multivariate GINI indices.pdf
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Koshevoy, Gleb; Mosler, Karl
Working Paper
Multivariate Gini indices
Discussion papers in statistics and econometrics, No. 7/95
Provided in Cooperation with:
University of Cologne, Department for Economic and Social
Statistics
Suggested Citation: Koshevoy, Gleb; Mosler, Karl (1995) :
Multivariate Gini indices, Discussion
papers in statistics and econometrics, No. 7/95,
http://hdl.handle.net/10419/45473
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D I S C U S S I O N P A P E R S I N S T A T I S T I C S
A N D E C O N O M E T R I C S
S E M I N A R O F E C O N O M I C A N D S O C I A L S T A T I S
T I C S
U N I V E R S I T Y O F C O L O G N E
N o . 7 9 5
M u l t i v a r i a t e G i n i I n d i c e s
b y
G . A . K o s h e v o y a n d K . M o s l e r
J u n e 1 9 9 5
A b s t r a c t
T h e G i n i i n d e x a n d t h e G i n i m e a n d i e r e n
c e o f a u n i v a r i a t e d i s t r i b u t i o n
a r e e x t e n d e d t o m e a s u r e t h e d i s p a r i t y
o f a g e n e r a l d - v a r i a t e d i s t r i b u t i o n . W
e
p r o p o s e a n d i n v e s t i g a t e t w o a p p r o a c h
e s , o n e b a s e d o n t h e d i s t a n c e o f t h e
d i s t r i b u t i o n f r o m i t s e l f , t h e o t h e r o
n t h e v o l u m e o f a c o n v e x s e t i n d + 1 -
s p a c e , n a m e d t h e l i f t z o n o i d o f t h e d i s
t r i b u t i o n . W h e n d = 1 , t h i s v o l u m e
e q u a l s t h e a r e a b e t w e e n t h e u s u a l L o r e
n z c u r v e a n d t h e l i n e o f z e r o d i s p a r i t y
,
u p t o a s c a l e f a c t o r . W e g e t t w o d e n i t i o
n s o f t h e m u l t i v a r i a t e G i n i i n d e x ,
w h i c h a r e d i e r e n t w h e n d 1 b u t c o n n e c t e
d t h r o u g h t h e n o t i o n o f t h e
l i f t z o n o i d . B o t h n o t i o n s i n h e r i t p r o
p e r t i e s o f t h e u n i v a r i a t e G i n i i n d e x , i
n
p a r t i c u l a r , t h e y a r e v e c t o r s c a l e i n v
a r i a n t , c o n t i n u o u s , b o u n d e d b y 0 a n d 1
,
a n d t h e b o u n d s a r e s h a r p . T h e y v a n i s h i
f a n d o n l y i f t h e d i s t r i b u t i o n i s
c o n c e n t r a t e d a t o n e p o i n t . T h e i n d i c e
s h a v e a c e t e r i s p a r i b u s p r o p e r t y a n d
a r e c o n s i s t e n t w i t h m u l t i v a r i a t e e x t
e n s i o n s o f t h e L o r e n z o r d e r . I l l u s t r a t i
o n s
w i t h d a t a c o n c l u d e t h e p a p e r .
K e y w o r d s : D i l a t i o n ; D i s p a r i t y m e a s u
r e m e n t ; G i n i m e a n d i e r e n c e ; L i f t
z o n o i d ; L o r e n z o r d e r .
S e m i n a r f u r W i r t s c h a f t s u n d S o z i a l s t
a t i s t i k , U n i v e r s i t a t z u K o l n , M e i s t e r -
E k k e h a r t - S t r . 9 I I ,
D - 5 0 9 2 3 K o l n ; T e l : + 4 9 2 2 1 4 7 0 4 2 6 6 , e m
a i l : m o s l e r @ w i s o . u n i - k o e l n . d e
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1 I n t r o d u c t i o n
T o m e a s u r e t h e d i s p a r i t y o f a p r o b a b i l
i t y d i s t r i b u t i o n t h e G i n i m e a n d i e r e n c
e
a n d i t s s c a l e i n v a r i a n t v e r s i o n t h e G i
n i i n d e x a r e m o s t w i d e l y u s e d . T h e G i n i
i n d e x i s c l o s e l y c o n n e c t e d t o t h e L o r e
n z c u r v e ; i t a m o u n t s t o t w i c e t h e a r e a b e t
w e e n
t h e L o r e n z c u r v e a n d t h e d i a g o n a l o f t h
e u n i t s q u a r e . B y t h i s t h e G i n i i n d e x i s
c o n s i s t e n t w i t h t h e L o r e n z o r d e r : I t i
n c r e a s e s f r o m o n e d i s t r i b u t i o n t o a n o t h
e r i f
t h e r s t L o r e n z c u r v e l i e s a b o v e t h e s e c
o n d .
I n t h i s p a p e r w e i n v e s t i g a t e e x t e n s i o
n s o f t h e G i n i m e a n d i e r e n c e a n d t h e G i n
i
i n d e x t o m e a s u r e t h e d i s p a r i t y o f a p o p
u l a t i o n w i t h r e s p e c t t o s e v e r a l a t t r i b u
t e s
s = 1 ; ; d . T h e G i n i m e a n d i e r e n c e o f a u n i
v a r i a t e d i s t r i b u t i o n F i s d e n e d a s
t h e e x p e c t e d d i s t a n c e b e t w e e n t w o i n d
e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s w h i c h b o t h f o
l l o w
t h e l a w F . O u r r s t n o t i o n w i l l b e a n i m m e
d i a t e e x t e n s i o n o f t h i s S e c t i o n 4 . F o r
a d - v a r i a t e e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n
F
A
; w i t h d a t a m a t r i x A = a
i s
i t r e a d s
M
D
F
A
=
1
2 n
2
d
n
X
i = 1
n
X
j = 1
d
X
s = 1
a
i s
, a
j s
2
1
2
1
W e c a l l M
D
t h e d i s t a n c e G i n i m e a n d i e r e n c e . O u r s
e c o n d n o t i o n M
V
; w i l l b e
b a s e d o n t h e v o l u m e o f t h e l i f t z o n o i d a
n d n a m e d t h e v o l u m e G i n i m e a n d i e r e n c e
S e c t i o n 5 . T h e l i f t z o n o i d o f a d - v a r i a
t e d i s t r i b u t i o n i s a c o n v e x s e t i n I R
d + 1
w h i c h
e x t e n d s t h e g e n e r a l i z e d L o r e n z c u r v e
; s e e S e c t i o n 3 b e l o w . F o r F
A
w e w i l l g e t
M
V
F
A
=
1
2
d
, 1
d
X
s = 1
1
n
s + 1
X
1 i
1
i
s + 1
n
X
1 r
1
r
s
d
d e t 1 ; A
r
1
r
s
i
1
i
s + 1
; 2
w h e r e 1 i s a c o l u m n o f o n e s a n d A
r
1
r
s
i
1
i
s + 1
i s t h e m a t r i x o b t a i n e d f r o m t h e r o w s
i
1
; ; i
s + 1
a n d t h e c o l u m n s r
1
; ; r
s
o f t h e d a t a m a t r i x .
F o r u n i v a r i a t e d a t a t h e G i n i i n d e x e q u
a l s t h e G i n i m e a n d i e r e n c e o f t h e r e l a t i v
e
d a t a w h i c h a r e t h e o r i g i n a l d a t a ` s c a l
e d d o w n ' b y t h e i r m e a n . T h u s f o r a d - v a r i a
t e
d i s t r i b u t i o n w e w i l l d e n e t h e d i s t a n c
e - G i n i i n d e x a n d t h e v o l u m e - G i n i i n d e x b
y
R
D
F
A
= M
D
e
F
A
a n d R
V
F
A
= M
V
e
F
A
; 3
w h e r e F
A
i s c o m p o n e n t w i s e s c a l e d d o w n t o
e
F
A
b y i t s m e a n v e c t o r ; s e e S e c t i o n 3 .
E v e r y d - v a r i a t e G i n i i n d e x s h o u l d h a v
e a t l e a s t t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s : b e e
q u a l
t o t h e u s u a l G i n i i n d e x i n c a s e d = 1 v a r y
b e t w e e n 0 a n d 1 b e s c a l e i n v a r i a n t
a n d i n c r e a s e w i t h a p r o p e r m u l t i v a r i a
t e e x t e n s i o n o f t h e L o r e n z o r d e r . T h i s a n
d
1
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m o r e w i l l b e s h o w n f o r o u r t w o n o t i o n s .
A l s o t h e y w i l l b e i n v e s t i g a t e d f o r g e n e r
a l
d - v a r i a t e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n
s .
F o r u n i v a r i a t e d i s t r i b u t i o n s t h e G i n
i m e a n d i e r e n c e i n c r e a s e s w i t h t h e d i l a t
i o n
o r d e r a n d t h e G i n i i n d e x i n c r e a s e s w i t
h t h e L o r e n z o r d e r w h i c h w e c a l l r e l a t i v
e
d i l a t i o n b e c a u s e i t a m o u n t s t o d i l a t i
o n o f t h e r e l a t i v e d i s t r i b u t i o n s . O f c o u
r s e
d i l a t i o n i m p l i e s r e l a t i v e d i l a t i o n
.
W e w i l l c o n s i d e r s e v e r a l e x t e n s i o n s o
f d i l a t i o n t o t h e m u l t i v a r i a t e c a s e . T h e
r s t
i s c l a s s i c a l d - v a r i a t e d i l a t i o n w h i c
h m e a n s t h a t o n e d i s t r i b u t i o n e q u a l s t h e
o t h e r
o n e p l u s ` n o i s e ' . T h e s e c o n d d i r e c t i o
n a l d i l a t i o n h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y
. G
i s a d i r e c t i o n a l d i l a t i o n o f F i f a n d o n
l y i f t h e l i f t z o n o i d o f G i n c l u d e s t h a t o f
F
F u r t h e r a b s o l u t e a n d r e l a t i v e v e r s i o
n s o f t h e s e d i l a t i o n s a r e c o n s i d e r e d i n S
e c t i o n
3 . W e w i l l s h o w i n S e c t i o n 6 t h a t b o t h n o
t i o n s o f t h e G i n i m e a n d i e r e n c e a r e
i n c r e a s i n g w i t h a b s o l u t e d i l a t i o n a n
d d i r e c t i o n a l a b s o l u t e d i l a t i o n . S i m i l
a r l y b o t h
o u r G i n i i n d i c e s i n c r e a s e w i t h r e l a t i
v e d i l a t i o n a n d d i r e c t i o n a l r e l a t i v e d i
l a t i o n .
A l t h o u g h M
D
a n d R
D
a r e o b v i o u s e x t e n s i o n s o f t h e u n i v a r i
a t e n o t i o n s m o s t o f t h e i r
p r o p e r t i e s h a v e n o t b e e n e x p l o r e d s o f
a r . I n p a r t i c u l a r w e p r o v e i n S e c t i o n 4 t h
a t
R
D
v a r i e s b e t w e e n 0 a n d 1 a n d t h a t t h e b o u n
d s a r e s h a r p . W e a l s o e s t a b l i s h a
c o n n e c t i o n b e t w e e n M
D
F a n d t h e l i f t z o n o i d o f F : M
D
F i s p r o p o r t i o n a t e t o t h e
a v e r a g e a r e a o f c e r t a i n t w o d i m e n s i o n
a l p r o j e c t i o n s o f t h e l i f t z o n o i d R e m a r k
4 . 1 .
T h e r e a r e s e v e r a l a t t e m p t s i n t h e l i t e
r a t u r e t o d e n e a m u l t i v a r i a t e G i n i m e a
n
d i e r e n c e . W i l k s 1 9 6 0 p r o p o s e s t h e v o l
u m e o f a c o n v e x b o d y a s s o c i a t e d w i t h F
O j a 1 9 8 3 s h o w s t h a t t h e W i l k s i n d e x i s t
h e e x p e c t e d v o l u m e o f a s i m p l e x g e n e r a t e
d
b y d + 1 r a n d o m v e r t i c e s w h i c h a r e i n d e p
e n d e n t a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d a c c
o r d i n g
t o F ; s e e a l s o G i o v a g n o l i a n d W y n n 1 9 9 5
. I n o u r f r a m e w o r k t h e W i l k s i n d e x
a m o u n t s t o d + 1 t i m e s t h e v o l u m e o f t h e l
i f t z o n o i d T h e o r e m 5 . 1 . T o r g e r s e n
1 9 9 1 u s e s a s a m u l t i v a r i a t e G i n i m e a n d
i e r e n c e t h e v o l u m e o f t h e z o n o i d o f t h e
d i s t r i b u t i o n w h i c h i s t h e p r o j e c t i o n
o f i t s l i f t z o n o i d o n t h e l a s t d c o o r d i n a t
e s . F o r
a o n e - p o i n t d i s t r i b u t i o n b o t h t h e W i l
k s O j a a n d t h e T o r g e r s e n i n d i c e s v a n i s h .
B u t
a l s o f o r m a n y o t h e r d i s t r i b u t i o n s t h e
y a r e z e r o w h i c h a p p e a r s t o b e u n s a t i s f a c
t o r y .
O u r n o t i o n M
V
F a v o i d s t h i s d r a w b a c k ; i t v a n i s h e s i f
a n d o n l y i f F i s a o n e - p o i n t
d i s t r i b u t i o n . I n a d d i t i o n w e p r o v i d e
t h e c o r r e c t s c a l i n g f a c t o r w h i c h m a k e s
R
V
v a r y
b e t w e e n 0 a n d 1 . M
V
F i s a n a v e r a g e o f p r o j e c t i o n s o f t h e l i
f t z o n o i d o n c o o r d i n a t e
p l a n e s R e m a r k 5 . 1 .
A n o t h e r m u l t i v a r i a t e G i n i i n d e x a s s o
c i a t e d w i t h a c o n c e n t r a t i o n s u r f a c e h a s
b e e n
i n t r o d u c e d b y T a g u c h i 1 9 8 1 . F o r t h e r e
l a t i o n s b e t w e e n T a g u c h i ' s c o n c e n t r a t i
o n
s u r f a c e a n d t h e l i f t z o n o i d s e e K o s h e v
o y a n d M o s l e r 1 9 9 5 a .
O v e r v i e w : S o m e p r o p e r t i e s o f t h e u s u a
l u n i v a r i a t e G i n i i n d e x w i l l b e s u r v e y e d
i n
S e c t i o n 2 . S e c t i o n 3 p r e s e n t s t h e d e n i
t i o n s o f s i x m u l t i v a r i a t e d i l a t i o n o r d e
r i n g s a n d
2
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o f t h e l i f t z o n o i d a n d t h e L o r e n z z o n o i
d o f a d - v a r i a t e d i s t r i b u t i o n . S e c t i o n 4
i s a b o u t
t h e m u l t i v a r i a t e d i s t a n c e G i n i i n d e x
a n d i t s p r o p e r t i e s . T h e m u l t i v a r i a t e v o
l u m e
G i n i i n d e x i s i n t r o d u c e d a n d a n a l y z e d
i n S e c t i o n 5 . I n S e c t i o n 6 w e d e m o n s t r a t
e
t h a t o u r G i n i i n d i c e s a r e i n c r e a s i n g w
i t h m u l t i v a r i a t e d i l a t i o n s . S e c t i o n 7 c
o n c l u d e s
t h e p a p e r w i t h a n u m e r i c a l i l l u s t r a t i
o n .
N o t a t i o n : I R
k
I R
k
+
i s t h e k d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n s p a c e o
f r o w v e c t o r s n o n n e g -
a t i v e r o w v e c t o r s . I n I R
k
; x
T
i s t h e t r a n s p o s e o f a v e c t o r x ; t h e u s u a
l c o m p o -
n e n t w i s e o r d e r i n g a n d S
k , 1
t h e u n i t s p h e r e . 0 s t a n d s f o r t h e o r i g i
n a n d x ; y f o r
t h e s e g m e n t b e t w e e n x a n d y i n I R
k
a
1
; ; a
l
d e n o t e s t h e l k m a t r i x w i t h r o w s
a
1
; ; a
l
2 I R
k
. F o r D a n d E i n I R
k
D + E = f u : u = x + y ; x 2 D ; y 2 E g i s t h e
M i n k o w s k i s u m a n d V
k
D i s t h e k - d i m e n s i o n a l v o l u m e o f D
2 T h e u n i v a r i a t e G i n i i n d e x
W e w i l l s h o r t l y s u r v e y t h e G i n i m e a n d i
e r e n c e a n d t h e G i n i i n d e x o f a u n i v a r i a t
e
d i s t r i b u t i o n . L e t F : I R ! 0 ; 1 b e a g i v e n
p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o n I
R
w h i c h h a s a n i t e e x p e c t a t i o n F =
R
1
, 1
x d F x 0
D e n i t i o n 2 . 1 G i n i m e a n d i e r e n c e , G i n i
i n d e x
M F =
1
2
Z
I R
Z
I R
x , y d F x d F y 4
i s t h e G i n i m e a n d i e r e n c e o f F R F = M F = F i
s t h e G i n i i n d e x o f F
M F i s t h e m e a n E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w
e e n t w o i n d e p e n d e n t r a n d o m v a r i a b l e s
d i v i d e d b y t w o w h e r e b o t h r a n d o m v a r i a
b l e s a r e d i s t r i b u t e d w i t h F a n d R F i s
t h e m e a n E u c l i d e a n d i s t a n c e d i v i d e d b
y t w i c e t h e e x p e c t a t i o n o f F . T h e d e n i t i o
n
a n d a s w e w i l l s e e i n S e c t i o n 4 t h e f o l l o
w i n g r e s u l t s h o l d a l s o f o r d i s t r i b u t i o n
s w i t h
F 0
P r o p o s i t i o n 2 . 1 L e t F
, 1
s = i n f f x : F x s g ; s 2 0 ; 1 ; d e n o t e t h e i n v e
r s e
d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f F , a n d L
F
t = F
, 1
R
t
0
F
, 1
s d s , t 2 0 ; 1 T h e n , i f
F 0 = 0 ,
i M F e q u a l s t h e a r e a b e t w e e n t h e g r a p h s
o f t h e t w o f u n c t i o n s t ! F L
F
t
a n d t ! F 1 , L
F
1 , t , t 2 0 ; 1
i i R F e q u a l s t h e a r e a b e t w e e n t h e g r a p h
s o f t h e t w o f u n c t i o n s t ! L
F
t a n d
t ! 1 , L
F
1 , t , t 2 0 ; 1
3
-
7/30/2019 Multivariate GINI indices.pdf
6/23
P r o o f . t ! L
F
t i s t h e L o r e n z f u n c t i o n a n d i t s g r a p h i
s t h e L o r e n z c u r v e o f
F t ! F L
F
t i s t h e g e n e r a l i z e d L o r e n z f u n c t i o n .
I t i s w e l l k n o w n t h a t R F
a m o u n t s t o t w i c e t h e a r e a b e t w e e n t h e L
o r e n z c u r v e a n d t h e m a i n d i a g o n a l o f t h
e
u n i t s q u a r e . T h e a r e a b e t w e e n t h e m a i n
d i a g o n a l a n d t h e g r a p h o f t ! 1 , L
F
1 , t
i s c o n g r u e n t t o t h i s r s t a r e a . H e n c e i i
. P a r t i f o l l o w s i m m e d i a t e l y s i n c e M F =
F R F 2
T h e s p e c i a l c a s e o f a n e m p i r i c a l d i s t r
i b u t i o n i s p a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t . L e t
F
a
d e n o t e
t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n w h i c h g i v e
s e q u a l w e i g h t t o n g i v e n p o i n t s a
i
i n I R a
1
a
n
a = a
1
; ; a
n
a n d l e t a = n
, 1
a
1
+ . . . + a
n
. T h e n t h e L o r e n z c u r v e o f
F
a
i s t h e l i n e a r i n t e r p o l a t i o n o f t h e p o i
n t s k = n ; a
1
= a + . . . + a
k
= a k = 1 ; ; n ; i n
t w o - s p a c e .
M a
1
; ; a
n
= M F
a
=
1
2 n
2
n
X
j = 1
n
X
i = 1
a
i
, a
j
5
i s t h e G i n i m e a n d i e r e n c e o f t h e s a m p l e
a = a
1
; ; a
n
; a n d
R a
1
; ; a
n
= R F
a
=
1
a
M a
1
; ; a
n
6
i s t h e G i n i i n d e x o f a ; p r o v i d e d t h e s a m
p l e m e a n i s n o t z e r o . T h e G i n i i n d e x o f a
e q u a l s t h e G i n i m e a n d i e r e n c e o f t h e ` s
c a l e d d o w n ' s a m p l e e a = a
1
= a ; ; a
n
= a ;
R a
1
; ; a
n
=
1
2 n
2
n
X
j = 1
n
X
i = 1
a
i
a
,
a
j
a
7
T h e G i n i i n d e x a n d t h e G i n i m e a n d i e r e n
c e h a v e i n t e r e s t i n g p r o p e r t i e s w h i c h w
e
w i l l e x t e n d t o o u r m u l t i v a r i a t e n o t i o
n s . H e r e w e s t a t e t h e m f o r e m p i r i c a l d i s t
r i b u -
t i o n s . T h e y h o l d a s w e l l f o r g e n e r a l u n
i v a r i a t e d i s t r i b u t i o n s .
P r o p o s i t i o n 2 . 2 i L e t a
1
; ; a
n
2 I R
n
+
w i t h
P
a
i
0 . T h e n
0 = R a ; ; a R a
1
; ; a
n
R 0 ; ; 0 ;
n
X
i = 1
a
i
= 1 ,
1
n
1 ;
R a
1
; ; a
n
= R a
1
; ; a
n
f o r e v e r y 0 ;
R a
1
+ ; ; a
n
+ =
a
a +
R a
1
; ; a
n
f o r e v e r y 0 8
i i R i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g w i t h t h e L o
r e n z o r d e r , i . e . ,
R a
1
; ; a
n
R b
1
; ; b
n
i f L
F
a
t L
F
b
t f o r a l l t a n d f o r s o m e t
i i i R i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n I R
n
! I R
4
-
7/30/2019 Multivariate GINI indices.pdf
7/23
P r o p o s i t i o n 2 . 3 i L e t a
1
; ; a
n
2 I R
n
+
w i t h
P
a
i
0 . T h e n
0 = M a ; ; a M a
1
; ; a
n
M 0 ; ; 0 ;
n
X
i = 1
a
i
= a 1 ,
1
n
a
M a
1
; ; a
n
= M a
1
; ; a
n
f o r e v e r y 0
M a
1
+ ; ; a
n
+ = M a
1
; ; a
n
f o r e v e r y 2 I R
i i M i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g w i t h t h e L o
r e n z o r d e r .
i i i M i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n I R
n
! I R
T h e s e a n d o t h e r p r o p e r t i e s h a v e b e e n i
n v e s t i g a t e d b y m a n y a u t h o r s . F o r s u r v e y
s
a n d r e f e r e n c e s s e e N y g a r d a n d S a n d s t r
o m 1 9 8 1 a n d G i o r g i 1 9 9 0 1 9 9 2 .
3 M u l t i v a r i a t e d i l a t i o n s a n d t h e l i f t
z o n o i d
L e t F
d
F
d
0
b e t h e c l a s s o f p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t
i o n f u n c t i o n s I R
d
! I R w h i c h h a v e
a n i t e n i t e a n d n o n - z e r o e x p e c t a t i o n v
e c t o r a n d l e t F
d
+
F
d
0
b e t h e s u b c l a s s o f
p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s o n t h e n o n
n e g a t i v e o r t h a n t I R
d
+
G i v e n F 2 F
d
l e t F =
R
I R
d
x d F x =
1
; ;
d
. F o r e v e r y F 2 F
d
a n d =
1
; ;
d
2 I R
d
d e n e
F
x
1
; ; x
d
= F x
1
1
; ; x
d
d
a n d F
+
x
1
; ; x
d
= F x
1
+
1
; ; x
d
+
d
F o r F 2 F
d
0
;
e
F = F
F
i s c a l l e d t h e r e l a t i v e d i s t r i b u t i o n f
u n c t i o n , n a m e l y i f F
i s t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f a r a n d
o m v e c t o r X = X
1
; ; X
d
t h e n
e
F i s t h e
d i s t r i b u t i o n o f
e
X =
X
1
1
; ;
X
d
d
I n t h e s e q u e l w h e n u s i n g
e
F w e t a c i t l y a s s u m e t h a t F 2 F
d
0
G i v e n F a n d G i n F
d
l e t X a n d Y b e t w o r a n d o m v e c t o r s f r o m t h
e s a m e p r o b a b i l i t y
s p a c e w h i c h a r e d i s t r i b u t e d a c c o r d i n
g t o F a n d G r e s p e c t i v e l y . G i s a d i l a t i o n o
f
F F G ; i f t h e r e e x i s t s a r a n d o m v e c t o r Z s
u c h t h a t E Z X = 0 a n d Y h a s t h e
s a m e d i s t r i b u t i o n a s X + Z . T h e r a n d o m v
a r i a b l e Z m a y b e i n t e r p r e t e d a s ` n o i s e
'
s o t h a t Y i s d i s t r i b u t e d l i k e X p l u s s o m
e n o i s e .
W e c a l l G a n a b s o l u t e d i l a t i o n o f F ; F
a
G ; i f G
, G
i s a d i l a t i o n o f F
, F
. G i v e n
F a n d G i n F
d
0
G i s a r e l a t i v e d i l a t i o n o f F F
r
G ; i f
e
G i s a d i l a t i o n o f
e
F F o r
F 2 F
d
a n d p = p
1
; ; p
d
2 I R
d
w e d e n o t e
F t ; p =
Z
f x 2 I R
d
x p
T
t g
d F x ; t 2 I R ;
5
-
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8/23
e
F t ; p =
Z
f x 2 I R
d
x p
T
t g
d
e
F x ; t 2 I R
I f F i s t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h
e r a n d o m v e c t o r X i n I R
d
t h e n F ; p i s t h e
d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e r a n d o m v
a r i a b l e p
1
X
1
+ . . . + p
d
X
d
i n I R ; s i m i l a r l y
e
F ; p
i s t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f p
1
X
1
=
1
+ . . . + p
d
X
d
=
d
G i s a d i r e c t i o n a l d i l a t i o n o f F F
d i r
G ; i f f o r e v e r y p 2 S
d , 1
G ; p i s a d i l a t i o n
o f F ; p . W e w i l l s a y t h a t G i s a d i r e c t i o n
a l r e l a t i v e d i l a t i o n o f F F
d i r r
G ; i f f o r
e v e r y p 2 S
d , 1
e
G ; p i s a d i l a t i o n o f
e
F ; p . S i m i l a r l y G i s n a m e d a d i r e c t i o n a
l
a b s o l u t e d i l a t i o n o f F F
d i r a
G ; i f f o r e v e r y p 2 S
d , 1
G ; p i s a n a b s o l u t e
d i l a t i o n o f F ; p
A l l t h e s e d i l a t i o n s a r e p a r t i a l o r d e r
s r e e x i v e t r a n s i t i v e a n d a n t i s y m m e t r i c
o n F
d
a n d r e l a t e d b y t h e f o l l o w i n g i m p l i c a t
i o n s .
F G = F
d i r
G
+ +
F
r
G = F
d i r r
G
F G = F
d i r
G
+ +
F
a
G = F
d i r a
G
H o w e v e r i n g e n e r a l n o r e v e r s e i m p l i c a
t i o n h o l d s . F o r p r o o f s s e e S e c t i o n 6 b e l o
w .
N e x t w e d e n e a m u l t i v a r i a t e g e n e r a l i z
a t i o n o f t h e L o r e n z c u r v e a n d t h e g e n e r a l
i z e d
L o r e n z c u r v e .
D e n i t i o n 3 . 1 K o s h e v o y a n d M o s l e r 1 9 9 5
a , b L e t F 2 F
d
. F o r a m e a s u r -
a b l e f u n c t i o n h : I R
d
+
! 0 ; 1 , c o n s i d e r t h e v e c t o r z
0
F ; h ; z F ; h 2 I R
d + 1
, w h e r e
z
0
F ; h =
Z
I R
d
h x d F x ; z F ; h =
Z
I R
d
h x x d F x
T h e s e t
b
Z F
z
0
F ; h ; z F ; h : h : I R
d
+
! 0 ; 1 m e a s u r a b l e
i s c a l l e d t h e l i f t - z o n o i d o f F L Z F =
b
Z
e
F i s c a l l e d t h e L o r e n z z o n o i d o f F
T h e l i f t z o n o i d i s a m u l t i v a r i a t e g e n e
r a l i z a t i o n o f t h e g e n e r a l i z e d L o r e n z c u
r v e a n d
t h e L o r e n z z o n o i d i s o n e o f t h e L o r e n z c
u r v e . T h e f o l l o w i n g t h e o r e m e s t a b l i s h e
s t h e
r e l a t i o n b e t w e e n t h e l i f t - z o n o i d a n d
d i r e c t i o n a l d i l a t i o n .
6
-
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9/23
T h e o r e m 3 . 1 K o s h e v o y a n d M o s l e r 1 9 9 5 a
, b F o r F ; G 2 F
d
+
,
i F
d i r
G i f a n d o n l y i f
b
Z F
b
Z G ;
i i F
d i r r
G i f a n d o n l y i f L Z F L Z G ;
i i i F
d i r a
G i f a n d o n l y i f
b
Z F
, F
b
Z G
, G
P r o o f . F o r p a r t i s e e K o s h e v o y a n d M o s l
e r 1 9 9 5 b f o r p a r t i i K o s h e v o y a n d
M o s l e r 1 9 9 5 a t h e p a r t i i i f o l l o w s f r o m
t h e p a r t i . 2
B o t h r e l a t i v e d i l a t i o n a n d d i r e c t i o n
a l r e l a t i v e d i l a t i o n a r e m u l t i v a r i a t e e
x t e n s i o n s o f
t h e u s u a l u n i v a r i a t e L o r e n z o r d e r i n g
i . e . t h e o r d e r i n g o f L o r e n z c u r v e s .
d i r r
h a s
b e e n n a m e d t h e m u l t i v a r i a t e L o r e n z o r
d e r i n M o s l e r 1 9 9 4 ; s e e a l s o K o s h e v o y a n
d
M o s l e r 1 9 9 5 a . I f w e c o m p a r e e m p i r i c a l
d i s t r i b u t i o n s w i t h t h e s a m e n u m b e r s a y
n
o f s u p p o r t p o i n t s i n I R
d
d i l a t i o n a n d d i r e c t i o n a l d i l a t i o n c o
r r e s p o n d t o m a j o r i z a t i o n
a n d d i r e c t i o n a l m a j o r i z a t i o n o f n d m a
t r i c e s ; s e e M a r s h a l l a n d O l k i n 1 9 7 9 c h
.
1 5 .
4 T h e m u l t i v a r i a t e d i s t a n c e - G i n i i n d
e x
T h e d e n i t i o n o f t h e u n i v a r i a t e G i n i m e
a n d i e r e n c e 4 h a s t h e f o l l o w i n g m u l t i -
v a r i a t e g e n e r a l i z a t i o n .
D e n i t i o n 4 . 1 F o r F 2 F
d
t h e d i s t a n c e - G i n i m e a n d i e r e n c e i s
M
D
F =
1
2 d
Z
I R
d
Z
I R
d
x , y d F x d F y 9
w h e r e j j j j d e n o t e s t h e E u c l i d e a n d i s t
a n c e i n I R
d
R
D
F = M
D
e
F i s t h e d i s t a n c e -
G i n i i n d e x
I n t h e c a s e o f a n e m p i r i c a l d i s t r i b u t i
o n f u n c t i o n F
A
w e g e t
M
D
F
A
=
1
2 d n
2
n
X
j = 1
n
X
i = 1
d
X
s = 1
a
i s
, a
j s
2
1
2
; 1 0
R
D
F
A
=
1
2 d n
2
n
X
j = 1
n
X
i = 1
d
X
s = 1
a
i s
, a
j s
2
a
2
s
1
2
1 1
S e v e r a l p r o p e r t i e s o f t h e d i s t a n c e G i
n i m e a n d i e r e n c e a n d t h e d i s t a n c e G i n i i n
d e x
f o l l o w e a s i l y f r o m t h e d e n i t i o n s . R e c
a l l t h a t f o r =
1
; ;
d
2 I R
d
; w e d e n o t e
F
x
1
; ; x
d
= F x
1
1
; ; x
d
d
a n d F
+
x
1
; ; x
d
= F x
1
+
1
; ; x
d
+
d
7
-
7/30/2019 Multivariate GINI indices.pdf
10/23
P r o p o s i t i o n 4 . 1 F o r a l l F 2 F
d
,
i 0 M
D
F ;
i i M
D
F = 0 i f a n d o n l y i f F i s a o n e - p o i n t d i s t r
i b u t i o n .
i i i M
D
F
+
= M
D
F f o r a l l
1
; ;
d
i v M
D
i s c o n t i n u o u s w . r . t w e a k c o n v e r g e n c e
o f d i s t r i b u t i o n s .
P r o p o s i t i o n 4 . 2 F o r a l l F 2 F
d
0
,
i 0 R
D
F
i i R
D
F = 0 i f a n d o n l y i f F i s a o n e - p o i n t d i s t r
i b u t i o n .
i i i R
D
F
= R
D
F f o r a l l
1
; ;
d
0
i v R
D
i s c o n t i n u o u s w . r . t w e a k c o n v e r g e n c e
o f d i s t r i b u t i o n s .
P r o p o s i t i o n 4 . 2 i i i s a y s t h a t R
D
i s v e c t o r s c a l e i n v a r i a n t , w h i l e P r o p
o s i t i o n 4 . 1 i i i
s t a t e s t h a t M
D
i s t r a n s l a t i o n i n v a r i a n t . R e g a r d i n g
u p p e r b o u n d s w e h a v e t h e f o l -
l o w i n g r e s u l t .
T h e o r e m 4 . 1 F o r F 2 F
d
+
; t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s h o l d .
M
D
F
1
d
d
X
j = 1
j
F ; R
D
F 1 ;
a n d t h e b o u n d s a r e s h a r p .
W e w i l l p r o v e t h e t h e o r e m a t t h e e n d o f t
h i s S e c t i o n . B e f o r e w e c o n s i d e r a p r o p e r
t y
w h i c h i s d e s i r a b l e f o r e v e r y i n d e x o f m
u l t i v a r i a t e d i s p a r i t y . I t s a y s t h a t i f t
o a
d i s t r i b u t i o n i n d a t t r i b u t e s a d + 1 - t h
a t t r i b u t e i s a d d e d w h i c h d o e s n o t v a r y i
n
t h e p o p u l a t i o n t h e n t h e d i s p a r i t y i n d
e x r e m a i n s e s s e n t i a l l y u n c h a n g e d : I t m u
l t i p l i e s
b y a f a c t o r w h i c h d e p e n d s o n l y o n d
D e n i t i o n 4 . 2 C e t e r i s p a r i b u s p r o p e r t
y L e t J
d
b e a r e a l v a l u e d f u n c t i o n
w h i c h i s d e n e d o n a s u b s e t D
d
o f F
d
; d 2 I N W e s a y t h a t J
d
; d 2 I N ; h a s t h e
c e t e r i s p a r i b u s p r o p e r t y i f
J
d + 1
F E
0
= d J
d
F f o r a l l F 2 D
d
;
0
2 I R ; d 2 I N 1 2
H e r e E
0
d e n o t e s t h e u n i v a r i a t e o n e - p o i n t d i s
t r i b u t i o n a t
0
, a n d d i s a c o n s t a n t
f o r e v e r y d
T h e o r e m 4 . 2 M
D
a n d R
D
h a v e t h e c e t e r i s p a r i b u s p r o p e r t y w i t
h
d =
d
d + 1
8
-
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T h e p r o o f i s o b v i o u s f r o m t h e d e n i t i o n
o f M
D
T h e o r e m 4 . 3 L e t d p d e n o t e t h e r o t a t i o n
i n v a r i a n t a r e a e l e m e n t o n t h e s p h e r e S
d , 1
;
d 2 . T h e r e h o l d s
M
D
F =
,
d + 1
2
4 d
d 1
2
Z
p 2 S
d 1
Z
+ 1
, 1
Z
+ 1
, 1
u , v d F u ; p d F v ; p d p ; 1 3
R
D
F =
,
d + 1
2
4 d
d 1
2
Z
p 2 S
d 1
Z
+ 1
, 1
Z
+ 1
, 1
u , v d
e
F u ; p d
e
F v ; p d p 1 4
P r o o f . W e u s e t h e f o l l o w i n g f o r m u l a b y
H e l g a s o n 1 9 8 0 L e m m a 7 . 2 . F o r e v e r y
z 2 I R
d
a n d k 0 h o l d s
Z
p 2 S
d 1
z p
T k
d p =
2
d 1
2
,
k + 1
2
,
d + k
2
z
k
1 5
F r o m t h i s f o r m u l a w i t h k = 1 w e c o n c l u d e
t h a t
M
D
F =
1
2 d
Z
I R
d
Z
I R
d
x , y d F x d F y
=
1
2 d
,
d + 1
2
2
d 1
2
Z
I R
d
Z
I R
d
Z
p 2 S
d 1
x p
T
, y p
T
d p d F x d F y
=
1
2 d
,
d + 1
2
2
d 1
2
Z
p 2 S
d 1
Z
I R
d
Z
I R
d
x p
T
, y p
T
d F x d F y d p
=
,
d + 1
2
4 d
d 1
2
Z
p 2 S
d 1
Z
+ 1
, 1
Z
+ 1
, 1
u , v d F u ; p d F v ; p d p 1 6
T h i s p r o v e s 1 3 . T h e r e s u l t f o r R
D
f o l l o w s i m m e d i a t e l y w i t h
e
F i n p l a c e o f F 2
R e c a l l t h a t t h e a r e a o f S
d , 1
e q u a l s 2
d
2
= ,
d
2
. E q u a t i o n 1 3 i n T h e o r e m 4 . 3 s a y s
t h a t t h e d i s t a n c e - G i n i m e a n d i e r e n c e
M
D
i s a c o n s t a n t t i m e s t h e a v e r a g e o v e r a l
l
d i r e c t i o n s p i n t h e s p h e r e o f t h e G i n i i
n d i c e s o f a l l u n i v a r i a t e d i s t r i b u t i o n f
u n c t i o n s
F ; p ;
M
D
F =
,
d + 1
2
1
2
d ,
d
2
"
,
d
2
2
d
2
Z
p 2 S
d 1
M F ; p d p
; 1 7
a n d s i m i l a r l y f o r R
D
F . R e c a l l t h a t t h e E u l e r G a m m a - f u n c t i
o n , s =
R
1
0
t
s , 1
e
, t
d t h a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :
p
= ,
1
2
a n d , s + 1 = s , s ; a n d
9
-
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t h e E u l e r B e t a - f u n c t i o n B a ; b =
R
1
0
t
a , 1
1 , t
b , 1
d t i s e q u a l t o , a , b = , a + b
T h e r e f o r e
,
d + 1
2
1
2
d ,
d
2
=
,
d + 1
2
,
1
2
2 ,
d + 2
2
=
B
d + 1
2
;
1
2
2
B y t h e m e a n v a l u e t h e o r e m w e c o n c l u d e
:
C o r o l l a r y 4 . 1 F o r e v e r y F t h e r e e x i s t s
o m e p a n d ~p 2 S
d , 1
s u c h t h a t
M
D
F =
B
d + 1
2
;
1
2
2
M F ; p a n d
R
D
F =
B
d + 1
2
;
1
2
2
R
e
F ; ~p
T h e c o r o l l a r y s a y s t h a t f o r e v e r y d i s t
r i b u t i o n F t h e r e a r e d i r e c t i o n s p a n d ~ p w
h i c h
r e e c t t h e d e p e n d e n c e s t r u c t u r e o f F i .
e . t h e i n t e r p l a y b e t w e e n t h e a t t r i b u t e s
f o r
t h e G i n i m e a n d i e r e n c e a n d t h e G i n i i n d
e x r e s p e c t i v e l y .
R e m a r k 4 . 1 M
D
F i s r e l a t e d t o t h e l i f t z o n o i d
b
Z F a s f o l l o w s . F o r p =
p
1
; ; p
d
2 S
d , 1
l e t p r
p
d e n o t e t h e p r o j e c t i o n o f I R
d + 1
o n t h e t w o d i m e n s i o n e d
p l a n e w h i c h i s s p a n n e d b y t h e v e c t o r s 1
; 0 ; ; 0 a n d 0 ; p
1
; ; p
d
. T h e n f o r
z = z
0
; z
1
; ; z
d
2 I R
d + 1
w e g e t p r
p
z = z
0
;
P
z
i
p
i
w i t h r e s p e c t t o t h i s b a s e .
T h e p r o j e c t i o n o f t h e l i f t z o n o i d b y p
r
p
e q u a l s t h e l i f t z o n o i d o f F ; p K o s h e v o
y
a n d M o s l e r 1 9 9 5 b . S o w e c a n s t a t e t h a t
M
D
F i s B
d + 1
2
;
1
2
= 2 t i m e s t h e a v e r a g e
a r e a o f t h e s e t w o d i m e n s i o n e d p r o j e c t
i o n s o f t h e l i f t z o n o i d . T h e f o l l o w i n g p r
o o f o f
T h e o r e m 4 . 1 u s e s t h i s f a c t .
P r o o f o f T h e o r e m 4 . 1 . F o r F 2 F
d
+
h o l d s
b
Z F 0 ; 1 0 ; F . T h e r e f o r e
i n v i e w o f R e m a r k 4 . 1 h o l d s
M F ; p =
1
2
Z
+ 1
, 1
Z
+ 1
, 1
u , v d F u ; p d F v ; p
= V
2
p r
p
b
Z F V
2
p r
p
0 ; 1 0 ; F 1 8
R e c a l l t h a t V
2
d e n o t e s t h e t w o - d i m e n s i o n a l v o l u m e .
T h u s b y 1 7
M
D
F
,
d + 1
2
2 d
d 1
2
Z
p 2 S
d 1
V
2
p r
p
0 ; 1 0 ; F d p
G i v e n p 2 S
d , 1
t h e p r o j e c t i o n p r
p
0 ; 1 0 ; F i s a r e c t a n g l e w h o s e e d g e s h a v
e
l e n g t h 1 a n d
P
j
F p
j
a n d w h o s e a r e a a m o u n t s t o
P
j
F p
j
T h e r e f o r e
M
D
F
,
d + 1
2
2 d
d 1
2
Z
p 2 S
d 1
d
X
j = 1
j
F p
j
d p
1 0
-
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=
,
d + 1
2
2 d
d 1
2
d
X
j = 1
Z
p 2 S
d 1
j
F p
j
d p 1 9
I n v i e w o f 1 5 w e g e t
,
d + 1
2
2
d 1
2
Z
p 2 S
d 1
j
F p
j
d p = 0 ; ; 0 ;
j
F ; 0 ; ; 0 =
j
F 2 0
T h u s 1 9 a n d 2 0 y i e l d M
D
F
1
d
P
j
j
F
T h e s t r i c t i n e q u a l i t y i s d u e t o t h e f a c
t t h a t e v e r y l i f t z o n o i d i s c o n t a i n e d i n t
h e
d + 1 d i m e n s i o n a l r e c t a n g l e 0 ; 1 0 ; F b u t
t h e l a t t e r i s n o l i f t z o n o i d .
I t i s e a s i l y s e e n t h a t t h e u p p e r b o u n d
d
, 1
P
j
j
F c a n n o t b e i m p r o v e d . F o r e x -
a m p l e c o n s i d e r t h e n d m a t r i x A w h o s e j -
t h r o w i s 0 ; ; 0 ; n
j
F ; 0 ; ; 0
j = 1 ; ; d ; w h i l e o t h e r r o w s a r e 0 ; ; 0 . T h e
n l i m
n ! 1
M
D
F
A
=
l i m
n ! 1
n , d
n
d
, 1
P
j
j
F w h i c h s h o w s t h a t d
, 1
P
j
j
F i s t h e l e a s t u p p e r b o u n d
f o r t h e m e a n d i s t a n c e G i n i m e a n d i e r e n
c e .
T h e l e a s t u p p e r b o u n d f o r t h e d i s t a n c e
G i n i i n d e x i s e s t a b l i s h e d b y p a s s i n g f r o
m F
t o
e
F R e c a l l t h a t
j
e
F = 1 f o r j = 1 ; ; d 2
5 T h e m u l t i v a r i a t e v o l u m e G i n i i n d e
x
H e r e w e s t a r t w i t h t h e d e n i t i o n o f t h e u
n i v a r i a t e G i n i i n d e x a s t w i c e t h e a r e a
b e t w e e n t h e L o r e n z c u r v e a n d t h e d i a g o
n a l a n d e x t e n d i t t o t h e m u l t i v a r i a t e c a s
e .
G i v e n F 2 F
d
; l e t X ; X
1
; ; X
d
b e i n d e p e n d e n t r a n d o m v e c t o r s e a c h o f
w h i c h i s
d i s t r i b u t e d a c c o r d i n g t o F Q d e n o t e s t
h e d + 1 d + 1 m a t r i x h a v i n g r o w s
1 ; X ; 1 ; X
1
; ; 1 ; X
d
a n d E d e t Q i s t h e e x p e c t a t i o n o f t h e m o d
u l u s o f i t s
d e t e r m i n a n t . T h e t e r m d !
, 1
E d e t Q w a s c a l l e d a m u l t i v a r i a t e G i n i i
n d e x b y W i l k s
1 9 6 0 ; s e e O j a 1 9 8 3 a n d G i o v a g n o l i a n d W
y n n 1 9 9 5 . O j a 1 9 8 3 h a s i n t e r p r e t e d
i t v i a t h e a v e r a g e v o l u m e o f r a n d o m s i m
p l e x e s w i t h v e r t i c e s X ; X
1
; ; X
d
T h e
f o l l o w i n g t h e o r e m s h o w s t h a t d + 1 !
, 1
E d e t Q e q u a l s t h e v o l u m e o f t h e l i f t -
z o n o i d o f F
T h e o r e m 5 . 1 L e t F b e a g i v e n d i s t r i b u t i
o n f u n c t i o n i n I R
d
. L e t X ; X
1
; ; X
d
b e
i n d e p e n d e n t r a n d o m v e c t o r s e a c h o f w h
i c h i s d i s t r i b u t e d a c c o r d i n g t o F , a n d l e
t Q
d e n o t e t h e d + 1 d + 1 m a t r i x h a v i n g r o w s 1
; X ; 1 ; X
1
; ; 1 ; X
d
. T h e n
V
d + 1
b
Z F =
1
d + 1 !
E d e t Q
1 1
-
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P r o o f . Z o n o i d s a r e l i m i t s o f z o n o t o p e
s . R e c a l l t h a t a z o n o t o p e i n I R
k
i s t h e
M i n k o w s k i s u m o f l i n e s e g m e n t s s a y
0 ; y
1
+ . . . + 0 ; y
n
I R
k
w i t h s o m e g i v e n y
i
2 I R
k
2 1
I t h a s v o l u m e s e e e . g . S h e p h a r d 1 9 7 4
X
1 i
1
i
k
n
d e t y
i
1
; ; y
i
k
2 2
F o r a g i v e n F ; t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e
F
; 2 I N ; o f d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s w i t h
n i t e
s u p p o r t s i n I R
d
+
w h i c h c o n v e r g e s w e a k l y t o F i . e . l i m
R
g d F
=
R
g d F f o r e v e r y
c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d f u n c t i o n g : I
R
d
! I R D u e t o t h e c o n t i n u i t y o f z o n o i d s w i
t h
r e s p e c t t o w e a k c o n v e r g e n c e B o l k e r 1 9
6 9 w e h a v e l i m
b
Z F
;
b
Z F = 0 w h e r e
i s t h e H a u s d o r d i s t a n c e . T h e v o l u m e i s
a c o n t i n u o u s f u n c t i o n w i t h r e s p e c t t o
t h e H a u s d o r d i s t a n c e . T h e r e f o r e V
d + 1
b
Z F = l i m
V
d + 1
b
Z F
. E a c h v o l u m e
V
d + 1
b
Z F
c a n b e c a l c u l a t e d b y t h e f o r m u l a 2 2 . L e
t F
h a v e a t o m s a t x
1
; ; x
m
w i t h p r o b a b i l i t i e s q
1
; ; q
m
. T h e n
b
Z F
= 0 ; q
1
; q
1
x
1
+ . . . + 0 ; q
m
; q
m
x
m
H e n c e
V
d + 1
b
Z F
=
X
1 i
1
i
d + 1
m
d e t q
i
1
; q
i
1
x
i
1
; ; q
i
d + 1
; q
i
d + 1
x
i
d + 1
=
1
d + 1 !
m
X
i
1
i
d + 1
= 1
q
i
1
q
i
d + 1
d e t 1 ; x
i
1
; ; 1 ; x
i
d + 1
=
1
d + 1 !
E d e t Q
F
T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f . 2
H o w e v e r t h e v o l u m e o f a l i f t - z o n o i d e q
u a l s z e r o r a t h e r o f t e n a l s o i f F i s n o o n e
-
p o i n t d i s t r i b u t i o n . O b s e r v e t h a t i f t
h e v e c t o r s x
1
; ; x
n
a r e l i n e a r l y d e p e n d e n t
t h e n t h e v o l u m e o f t h e z o n o t o p e i n 2 1 e q
u a l s z e r o . T h u s w h e n e v e r t h e s u p p o r t o
f
F i s c o n t a i n e d i n a l i n e a r s u b s p a c e o f I
R
d + 1
w i t h d i m e n s i o n l e s s t h a n d + 1 ; t h e n t h
e
v o l u m e o f t h e l i f t z o n o i d i s z e r o . I n t h
e c a s e o f a n e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n F i f e
. g .
o n e o f t h e a t t r i b u t e s i s e q u a l l y d i s t r
i b u t e d i n t h e p o p u l a t i o n o r i f t w o a t t r i b
u t e s
h a v e t h e s a m e d i s t r i b u t i o n t h e n V
d + 1
b
Z F = 0 .
T h e v o l u m e o f t h e L o r e n z z o n o i d i s g i v e
n b y t h e f o l l o w i n g f o r m u l a .
V
d + 1
L Z F =
1
Q
d
j = 1
j
V
d + 1
b
Z F 2 3
I n M o s l e r 1 9 9 4 t h e d + 1 - d i m e n s i o n a l v o
l u m e o f L Z F h a s b e e n i n t r o d u c e d a s
a m u l t i v a r i a t e G i n i i n d e x c a l l e d t h e G
i n i z o n o i d i n d e x . A l t h o u g h t h i s i n d e x s h
o w s
1 2
-
7/30/2019 Multivariate GINI indices.pdf
15/23
a n u m b e r o f u s e f u l p r o p e r t i e s b o u n d e d
n e s s b e t w e e n 0 a n d 1 0 a t o n e - p o i n t d i s -
t r i b u t i o n s v e c t o r s c a l e i n v a r i a n c e w
e a k m o n o t o n i c i t y w i t h m u l t i v a r i a t e d i l
a t i o n s
i t m a y b e z e r o a l s o a t d i s t r i b u t i o n s w h
i c h a r e n o t c o n c e n t r a t e d a t o n e p o i n t . T
o
a v o i d t h i s d r a w b a c k o f t h e G i n i z o n o i d
i n d e x w e p r o p o s e t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n
.
L e t C
d
= f z
0
; z
1
; ; z
d
2 I R
d + 1
: z
0
= 0 ; 0 z
s
1 ; s = 1 ; ; d g w h i c h i s a
d - d i m e n s i o n a l c u b e i n I R
d + 1
. I n s t e a d o f t h e v o l u m e o f t h e l i f t z o n o
i d w e u s e t h e
v o l u m e o f t h e l i f t z o n o i d ` e x p a n d e d ' b
y t h i s c u b e .
D e n i t i o n 5 . 1 T h e v o l u m e - G i n i m e a n d i e
r e n c e i s d e n e d b y
M
V
F =
1
2
d
, 1
V
d + 1
b
Z F + C
d
, 1
2 4
R
V
F = M
V
e
F i s t h e v o l u m e - G i n i i n d e x
L e t d = 1 S i n c e x , y = d e t
1
x
1
y
w e c o n c l u d e t h a t t h e t h e d i s t a n c e G i n i
i n d e x
a n d t h e v o l u m e - G i n i i n d e x a r e t h e s a m e
. T h i s o b s e r v a t i o n a l l o w s u s t o e x t e n d
P r o p o s i t i o n 2 . 1 i i t o a n a r b i t r a r y d i s
t r i b u t i o n F 2 F
1
0
d r o p p i n g t h e a s s u m p t i o n
t h a t F 0 = 0
T h e c h o i c e o f t h e c o n s t a n t 1 = 2
d
, 1 i n 2 4 w i l l b e e x p l a i n e d i n t h e f o l l o w
i n g
t h e o r e m . W e n e e d s o m e n o t a t i o n s : F o r a
n o n e m p t y s u b s e t K f 1 ; ; d g ; F
K
d e n o t e s t h e m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n w i
t h r e s p e c t t o t h e c o o r d i n a t e s i n d e x e d b y
K
T h e o r e m 5 . 2
M
V
F =
1
2
d
, 1
X
; 6= K f 1 d g
V
K + 1
b
Z F
K
; 2 5
R
V
F =
1
2
d
, 1
X
; 6= K f 1 d g
V
K + 1
b
Z
e
F
K
2 6
N o t e t h a t F o r m u l a 2 M
V
f o r e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n s f o l l o w s
f r o m 2 2 a n d 2 5 .
R e m a r k 5 . 1 B y E q u a t i o n 2 5 t h e v o l u m e - G
i n i m e a n d i e r e n c e i s t h e a v e r a g e o f
t h e v o l u m e s o f p r o j e c t i o n s o f t h e l i f t
z o n o i d o n c o o r d i n a t e s u b s p a c e s . T h e y a r
e
s p a n n e d b y 1 ; 0 ; ; 0 a n d 0 ; e
r
; r 2 K ; K f 1 ; ; d g H e r e e
r
i s t h e r - t h
c o o r d i n a t e u n i t v e c t o r i n I R
d
P r o o f o f T h e o r e m 5 . 2 . W e w i l l p r o v e 2 5 f
o r a n e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n F . T h e n
a n a p p r o x i m a t i o n a r g u m e n t y i e l d s 2 5 f
o r a g e n e r a l d i s t r i b u t i o n . 2 6 o b v i o u s l
y
1 3
-
7/30/2019 Multivariate GINI indices.pdf
16/23
f o l l o w s f r o m 2 5 . L e t F h a v e a t o m s a t x
1
; ; x
m
i n I R
d
w i t h p r o b a b i l i t i e s q
1
; ; q
m
T h e n
b
Z F + C
d
= 0 ; q
1
; q
1
x
1
+ . . . + 0 ; q
m
; q
m
x
m
+
d
X
s = 1
0 ; 0 ; e
s
H e n c e b y 2 2
V
d + 1
b
Z F + C
d
=
X
1 i
1
i
d + 1
m
d e t q
i
1
; q
i
1
x
i
1
; ; q
i
d + 1
; q
i
d + 1
x
i
d + 1
+
d , 1
X
l = 1
X
1 i
1
i
d + 1
m
X
1 s
1
s d
d e t q
i
1
; q
i
1
x
i
1
; ; q
i
d + 1
; q
i
d + 1
x
i
d + 1 m
; 0 ; e
s
1
; ; 0 ; e
s
+
m
X
i = 1
d e t q
i
; q
i
x
i
; 0 ; e
1
; ; 0 ; e
d
L e t 1 l d , 1 a n d 1 s
1
s
l
d b e x e d K = f 1 ; ; d g n f s
1
; ; s
l
g
T h e n w e h a v e
V
K + 1
b
Z F
K
= 2 7
X
1 i
1
i
d + 1
m
d e t q
i
1
; q
i
1
x
i
1
; ; q
i
d + 1
; q
i
d + 1
x
i
d + 1
; 0 ; e
s
1
; ; 0 ; e
s
I n v i e w o f q
1
+ . . . + q
m
= 1 ;
m
X
i = 1
d e t q
i
; q
i
x
i
0 ; e
1
; ; 0 ; e
d
= 1 2 8
2 7 a n d 2 8 y i e l d 2 5 . 2
T h e f o l l o w i n g t h r e e t h e o r e m s e s t a b l i
s h p r o p e r t i e s o f R
V
a n d M
V
P r o p o s i t i o n 5 . 1 F o r a l l F 2 F
d
,
i 0 R
V
F ,
i i R
V
F = 0 i f a n d o n l y i f F i s a o n e - p o i n t d i s t r
i b u t i o n ,
i i i R
V
F
= R
V
F f o r a l l
1
; ;
d
0
i v R
V
i s c o n t i n u o u s w . r . t . w e a k c o n v e r g e n c
e o f d i s t r i b u t i o n s .
v I f F 2 F
d
+
, t h e n R
V
F 1 a n d t h e b o u n d i s s h a r p .
P r o o f . i T h e v o l u m e i s a n o n n e g a t i v e f u
n c t i o n .
i i : I f F i s a o n e - p o i n t d i s t r i b u t i o n t h
e n f o r e v e r y K
b
Z
e
F
K
i s t h e m a i n d i a g o n a l
1 4
-
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o f t h e u n i t h y p e r c u b e i n I R
f K + 1 g
a n d h a s v o l u m e z e r o . T h e r e f o r e R
V
F = 0 . I f F
i s n o o n e - p o i n t d i s t r i b u t i o n a t l e a s t
o n e o f i t s u n i v a r i a t e m a r g i n a l s s a y F
j
i s t h e
s a m e . T h e n t h e u n i v a r i a t e G i n i i n d e x R
F
j
i s p o s i t i v e . S i n c e V
2
b
Z
e
F
j
=
R F
j
a t l e a s t o n e s u m m a n d i n 2 6 d o e s n o t v a n i
s h a n d t h e r e f o r e R
V
F 0
i i i : T h e v e c t o r s c a l e i n v a r i a n c e i s o b
v i o u s f r o m t h e d e n i t i o n o f R
V
F s i n c e i t i s
b a s e d o n t h e r e l a t i v e d i s t r i b u t i o n
e
F o n l y .
i v f o l l o w s f r o m T h e o r e m 7 . 1 i n K o s h e v o
y a n d M o s l e r 1 9 9 5 b .
v : F o r e v e r y K
b
Z
e
F
K
i s c o n t a i n e d i n t h e u n i t h y p e r c u b e o f I
R
K + 1
h e n c e
0 V
K + 1
b
Z
e
F
K
1 a n d b y 2 6 0 R
V
F 1 . I t i s e a s i l y s e e n t h a t
t h e u p p e r b o u n d 1 c a n n o t b e i m p r o v e d . F
o r e x a m p l e c o n s i d e r t h e d i s t r i b u t i o n
F x =
Q
d
i = 1
F
i
x
i
w h e r e F
i
x
i
= 0 i f x
i
0 ; F
i
x
i
= n , 1 = n i f 0 x
i
1 ;
F
i
x
i
= 1 i f x
i
1 T h e n R
V
F ! 1 f o r n ! 1 2
P r o p o s i t i o n 5 . 2 F o r a l l F 2 F
d
,
i 0 M
V
F ,
i i M
V
F = 0 i f a n d o n l y i f F i s a o n e - p o i n t d i s t r
i b u t i o n ,
i i i M
V
F
+
= M
V
F f o r a l l
1
; ;
d
i v M
V
i s c o n t i n u o u s w . r . t . w e a k c o n v e r g e n c
e o f d i s t r i b u t i o n s .
v I f F 2 F
d
+
, t h e n
M
V
F
1
2
d
, 1
X
; 6= K f 1 d g
Y
i 2 K
i
1
2
d
, 1
m a x
i
i
+ 1
d
, 1
a n d t h e r s t i n e q u a l i t y c a n n o t b e i m p r o
v e d .
T h e p r o o f i s s i m i l a r t o t h a t o f P r o p o s i
t i o n 5 . 1 .
T h e o r e m 5 . 3 M
V
a n d R
V
h a v e t h e c e t e r i s p a r i b u s p r o p e r t y w i t
h
d =
2
d
, 1
2
d + 1
, 1
P r o o f . I t i s e a s i l y s e e n t h a t V
K + 1
b
Z F E
K
= 0 i f d + 1 2 K I f d + 1 62 K
t h e n F
K
= F E
K
T h i s a n d 2 5 y i e l d t h e p r o p o s i t i o n . 2
6 C o n s i s t e n c y w i t h m u l t i v a r i a t e d i l a
t i o n s
T h e u n i v a r i a t e G i n i i n d e x r e s p e c t s d i
l a t i o n a n d L o r e n z o r d e r . W e w i l l s h o w t h a
t o u r
d i s t a n c e - G i n i a n d v o l u m e - G i n i i n d i c
e s d o t h e s a m e f o r p r o p e r l y d e n e d e x t e n s i
o n s
o f t h e s e o r d e r i n g s .
1 5
-
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18/23
P r o p o s i t i o n 6 . 1 T h e f o l l o w i n g i m p l i c
a t i o n s h o l d s
i F G F
r
G F
d i r r
G
i i F G F
a
G F
d i r a
G
i i i F G F
d i r
G F
d i r r
G a n d F
d i r a
G
i v F
d i r r
G R F ; p R G ; p f o r a l l p 2 S
d , 1
P r o o f . A s t a n d a r d c h a r a c t e r i z a t i o n o
f d i l a t i o n s a y s t h a t F G i f a n d o n l y i f
R
x d F x
R
x d G x h o l d s f o r a l l c o n v e x f u n c t i o n s I
R
d
! I R ; s e e e . g . t h e
r e f e r e n c e s i n M o s l e r 1 9 9 4 . F u r t h e r F G
i m p l i e s F = G
i : A s s u m e F G a n d l e t : I R
d
! I R b e c o n v e x . T h e n w i t h
1
; ;
d
=
F = G t h e f u n c t i o n x !
x
1
1
; ;
x
d
d
i s c o n v e x t o o . W e c o n c l u d e
Z
x d
e
F x =
Z
x
1
1
; ;
x
d
d
d F x
Z
x
1
1
; ;
x
d
d
d G x =
Z
x d
e
G x
T h e r e f o r e F
r
G . N o w a s s u m e t h a t F
r
G . L e t p 2 S
d , 1
: I R ! I R c o n v e x .
T h e n t h e f u n c t i o n x ! x p
T
i s c o n v e x a n d f r o m F
r
G f o l l o w s t h a t
Z
u d
e
F u ; p =
Z
x p
T
d
e
F x
Z
x p
T
d
e
G x =
Z
u d
e
G u ; p ;
h e n c e F
d i r r
G
i i : T h e p r o o f i s s i m i l a r t o t h a t o f i .
i i i : D i l a t i o n i m p l i e s d i r e c t i o n a l d i
l a t i o n . T h e r e s t f o l l o w s f r o m p a r t s i a n d
i i
w i t h d = 1
i v : I f F
d i r r
G a n d p 2 S
d , 1
t h e n F ; p i s s m a l l e r t h a n G ; p i n r e l a t i v
e
d i l a t i o n = u s u a l L o r e n z o r d e r . A s t h e u
s u a l G i n i i n d e x i s c o n s i s t e n t w i t h L o r e n
z
o r d e r w e c o n c l u d e i v . 2
N o t e t h a t b e s i d e s t h e i m p l i c a t i o n s g i
v e n i n P r o p o s i t i o n 6 . 1 i n g e n e r a l n o o t h e
r
i m p l i c a t i o n s h o l d b e t w e e n t h e v a r i o u
s m u l t i v a r i a t e d i l a t i o n s .
P r o p o s i t i o n 6 . 2 i ;
d i r
a r e p a r t i a l o r d e r s r e e x i v e , t r a n s i t i
v e , a n t i s y m m e t r i c
i n F
d
i i
r
a n d
d i r r
a r e p r e o r d e r s r e e x i v e , t r a n s i t i v e i n
F
d
0
i i i
a
a n d
d i r a
a r e p r e o r d e r s r e e x i v e , t r a n s i t i v e i n
F
d
1 6
-
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19/23
N o t e t h a t t h e p r e o r d e r s
r
d i r r
a
a n d
d i r a
a r e a l s o a n t i s y m m e t r i c w h e n a p p l i e
d
t o t h e p r o p e r f a c t o r s p a c e .
P r o o f . i : T h e a n t i s y m m e t r y o f
d i r
i s p r o v e n i n K o s h e v o y a n d M o s l e r 1 9 9 5 b
.
T h e a n t i s y m m e t r y o f f o l l o w s f r o m t h e a
n t i s y m m e t r y o f
d i r
a n d P r o p o s i t i o n 6 . 1 .
i i a n d i i i f o l l o w f r o m i a n d P r o p o s i t i o
n 6 . 1 . 2
T h e o r e m 6 . 1 T h e d i s t a n c e - G i n i i n d e x
R
D
a n d t h e v o l u m e - G i n i i n d e x R
V
a r e
s t r i c t l y i n c r e a s i n g w i t h
i d i l a t i o n ,
i i d i r e c t i o n a l d i l a t i o n ,
i i i r e l a t i v e d i l a t i o n ,
i v d i r e c t i o n a l r e l a t i v e d i l a t i o n .
P r o o f . I n v i e w o f P r o p o s i t i o n 6 . 1 o n l y
i v h a s t o b e s h o w n . S u p p o s e F
d i r r
G
h e n c e R F ; p R G ; p f o r a l l p 2 S
d , 1
T h e n
Z
+ 1
, 1
Z
+ 1
, 1
u , v d
e
F u ; p d
e
F v ; p
Z
+ 1
, 1
Z
+ 1
, 1
u , v d
e
G u ; p d
e
G v ; p
f o r a l l p T h e r e f o r e
Z
p 2 S
d 1
Z
+ 1
, 1
Z
+ 1
, 1
u , v d
e
F u ; p d
e
F v ; p d p
Z
p 2 S
d 1
Z
+ 1
, 1
Z
+ 1
, 1
u , v d
e
G u ; p d
e
G v ; p d p
f o r a l l p . T h i s y i e l d s a c c o r d i n g t o P r o
p o s i t i o n 4 . 3 R
D
F R
D
G T h e r e s u l t
f o r R
V
f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m T h e o r e m s 3 .
1 5 . 2 a n d t h e f o l l o w i n g P r o p o s i t i o n
6 . 3 . T h a t t h e i n d i c e s a r e s t r i c t l y i n c
r e a s i n g i s s e e n f r o m T h e o r e m s 3 . 1 5 . 2 a n d
t h e
f o l l o w i n g T h e o r e m 6 . 2 . 2
P r o p o s i t i o n 6 . 3 K o s h e v o y a n d M o s l e r 1
9 9 5 a L e t F
d i r r
G . T h e n
F
K
d i r r
G
K
f o r a l l K ; _ 6= K f 1 ; ; d g
T h e o r e m 6 . 2 K o s h e v o y a n d M o s l e r 1 9 9 5
b
b
Z F =
b
Z G i F = G
F o r t h e d i s t a n c e - G i n i a n d t h e v o l u m e -
G i n i m e a n d i e r e n c e s w e h a v e a n a n a l o g o u
s
t h e o r e m .
1 7
-
7/30/2019 Multivariate GINI indices.pdf
20/23
T h e o r e m 6 . 3 T h e d i s t a n c e - G i n i m e a n d i
e r e n c e M
D
a n d v o l u m e - G i n i m e a n d i f -
f e r e n c e M
V
a r e s t r i c t l y i n c r e a s i n g w i t h
i d i l a t i o n ,
i i d i r e c t i o n a l d i l a t i o n ,
i i i a b s o l u t e d i l a t i o n ,
i v d i r e c t i o n a l a b s o l u t e d i l a t i o n .
P r o o f . P r o o f s o f i a n d i i a r e s i m i l a r t o
t h o s e o f i a n d i i i n T h e o r e m 6 . 1 . i i i
a n d i v f o l l o w f r o m P r o p o s i t i o n s 4 . 1 a n
d 5 . 2 r e s p e c t i v e l y .
7 C o n c l u s i o n s
W e h a v e p r e s e n t e d t w o d i e r e n t a p p r o a c
h e s t o e x t e n d t h e u s u a l G i n i i n d e x a n d
G i n i m e a n d i e r e n c e t o t h e m u l t i v a r i a t
e c a s e . B o t h a p p r o a c h e s p r e s e r v e i m p o r t
a n t
p r o p e r t i e s o f t h e u n i v a r i a t e n o t i o n s
a r e i n c r e a s i n g w i t h p r o p e r m u l t i v a r i a t
e d i l a t i o n s
a n d h a v e t h e c e t e r i s p a r i b u s p r o p e r t y
. T h e d i s t a n c e G i n i i n d e x a n d t h e v o l u m
e
G i n i i n d e x o f a g i v e n e m p i r i c a l d i s t r i
b u t i o n a r e e a s i l y c a l c u l a t e d b u t t h e l a t
t e r n e e d s
m o r e c o m p u t a t i o n t i m e . A c o m p u t e r p r o
g r a m w r i t t e n i n G A U S S c a n b e o b t a i n e d
f r o m t h e a u t h o r s .
M a n y o t h e r m u l t i v a r i a t e d e n i t i o n s a r
e p o s s i b l e . A p o p u l a r a p p r o a c h i s t o u s e t
h e
a r i t h m e t i c m e a n M
S
r e s p . R
S
o f t h e u n i v a r i a t e i n d i c e s
M
S
F
A
=
1
2 n
2
d
n
X
i = 1
n
X
j = 1
d
X
s = 1
a
i s
, a
j s
; 2 9
R
S
F
A
=
1
2 n
2
d
n
X
i = 1
n
X
j = 1
d
X
s = 1
a
i s
a
i
,
a
j s
a
j
3 0
T h i s i s t a n t a m o u n t t o e m p l o y i n g t h e
L
1
d i s t a n c e i n s t e a d o f t h e E u c l i d e a n d i s
t a n c e
i n o u r d i s t a n c e G i n i n o t i o n s . I t c a n b e
s h o w n t h a t a l w a y s R
D
F R
S
F a n d
R
V
F R
S
F h o l d . B u t t h i s a p p r o a c h a s t h e i n d e x d
e p e n d s o n t h e m a r g i n a l s
o n l y d o e s n o t r e e c t t h e d e p e n d e n c y s t r
u c t u r e o f t h e u n d e r l y i n g d i s t r i b u t i o n
.
T o i l l u s t r a t e a n d c o n t r a s t o u r n o t i o n
s w e c a l c u l a t e t h e m f o r R . A . F i s h e r ' s I r i
s d a t a
F i s h e r 1 9 3 6 . T h e d a t a i n c l u d e t h e m e a s
u r e m e n t s o f f o u r a t t r i b u t e s s e p a l l e n g t
h
a n d w i d t h a n d p e t a l l e n g t h a n d w i d t h o f
f t y p l a n t s f o r e a c h o f t h r e e t y p e s o f I r i
s
I r i s s e t o s a , I r i s v e r s i c o l o r a n d I r i s
v i r g i n i c a . T h e d a t a h a v e b e e n u s e d t o t e s
t t h e
1 8
-
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h y p o t h e s i s t h a t I r i s v e r s i c o l o r i s a p
o l y p l o i d h y b r i d o f t h e t w o o t h e r s p e c i e s
w h i c h
i s r e l a t e d t o t h e f a c t t h a t I r i s s e t o s a
i s a d i p l o i d s p e c i e s w i t h 3 8 c h r o m o s o m e s
I r i s
v i r g i n i c a i s a t e t r a p l o i d a n d I r i s v e r
s i c o l o r i s a h e x a p l o i d w i t h 1 0 8 c h r o m o s o
m e s .
I r i s s e t o s a I r i s v e r s i c o l o r I r i s v i r g
i n i c a
R
D
0 . 0 8 5 3 6 0 0 7 0 . 1 2 2 1 7 6 6 8 0 . 1 4 4 1 5 5 6 5
R
V
0 . 0 4 2 0 6 2 2 5 9 0 . 0 6 7 6 3 9 8 9 1 0 . 0 8 3 8 2 0 6 8
1
R
S
0 . 1 3 6 6 3 0 0 0 0 . 2 0 8 6 2 0 0 0 0 . 2 4 6 5 8 0 0 0
R 1 0 . 1 9 6 2 0 0 0 0 0 . 2 9 0 0 0 0 0 0 0 . 3 5 1 3 6 0 0
0
R 2 0 . 2 0 6 2 4 0 0 0 0 . 1 7 5 0 8 0 0 0 0 . 1 7 5 0 8 0 0
0
R 3 0 . 0 9 2 7 6 0 0 0 0 0 . 2 5 9 9 2 0 0 0 0 . 3 0 6 1 6 0 0
0
R 4 0 . 0 5 1 3 2 0 0 0 0 0 . 1 0 9 4 8 0 0 0 0 . 1 5 3 7 2 0 0
0
T a b l e 1 . T h e m u l t i v a r i a t e G i n i i n d i c e
s R
D
; R
V
a n d R
S
f o r t h r e e t y p e s o f
I r i s ; d a t a f r o m F i s h e r 1 9 3 9 . F o r f u r t h
e r c o n t r a s t t h e u n i v a r i a t e G i n i
i n d e x R k i s g i v e n f o r e a c h a t t r i b u t e k k
= 1 ; 2 ; 3 ; 4
A s w e c a n s e e f r o m t h e T a b l e t h e f o u r a t t
r i b u t e s a r e m o s t v a r i a b l e a t d i e r e n t
t y p e s o f I r i s a s m e a s u r e d b y t h e i r u n i v
a r i a t e G i n i i n d i c e s . E . g . t h e r s t a t t r i b
u t e
p e t a l l e n g t h v a r i e s m o s t w i t h I r i s v i r
g i n i c a w h i l e t h e s e c o n d a t t r i b u t e p e t a l
w i d t h
h a s i t s m a x i m u m G i n i i n d e x w i t h I r i s s e
t o s a . B u t o u r t h r e e m u l t i v a r i a t e G i n i i n
-
d i c e s R
D
R
V
; a n d R
S
o r d e r t h e v a r i a b i l i t y o f t h e t h r e e s a m
p l e s i n t h e s a m e w a y
I r i s s e t o s a I r i s v e r s i c o l o r I r i s v i r g
i n i c a .
N o t e h o w e v e r t h a t n o t w o o f t h e s e m u l t i
v a r i a t e i n d i c e s a r e o r d e r e q u i v a l e n t i
n
g e n e r a l .
U n d e r t h e a s s u m p t i o n s t h a t 1 a h y b r i d h
a s a n i n t e r m e d i a t e n u m b e r o f c h r o m o -
s o m e s c o m p a r e d t o i t s o r i g i n s a n d 2 t h a
t a h i g h e r n u m b e r o f c h r o m o s o m e s i m p l i e
s
m o r e v a r i a b i l i t y w e m a y c o n c l u d e t h a t
a l l t h r e e m u l t i v a r i a t e G i n i i n d i c e s b a c
k t h e
h y p o t h e s i s t h a t I r i s v e r s i c o l o r i s a h
y b r i d o f t h e t w o o t h e r s s p e c i e s .
A c k n o w l e d g e m e n t s
W e t h a n k S t e p h a n E r k e l f o r h i s c o m m e n t
s o n a p r e v i o u s v e r s i o n a n d U l r i c h C a s s e
r
f o r w r i t i n g t h e c o m p u t e r p r o g r a m a n d c
a l c u l a t i n g t h e n u m e r i c a l e x a m p l e .
1 9
-
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R e f e r e n c e s
B o l k e r , E . D . 1 9 6 9 . A c l a s s o f c o n v e x b o
d i e s . T r a n s a c t i o n s o f t h e A m e r i c a n
M a t h e m a t i c a l S o c i e t y 1 4 5 3 2 3 3 4 6 .
F i s h e r , R . A . 1 9 3 6 . T h e u s e o f m u l t i p l e
m e a s u r e m e n t s i n t a x o n o m i c p r o b l e m s .
A n n a l s o f E u g e n i c s 7 2 1 7 9 1 8 8 .
G i o r g i , G . M . 1 9 9 0 . B i b l i o g r a p h i c p o r
t r a i t o f t h e G i n i c o n c e n t r a t i o n r a t i o
.
M e t r o n 4 8 1 8 3 2 2 1 .
G i o r g i , G . M . 1 9 9 2 . I l r a p p o r t o d i c o n c
e n t r a z i o n e d i G i n i . S i e n a : L i b r e r i a E d
-
i t r i c e T i c c i .
G i o v a g n o l i , A . , & W y n n , H . P . 1 9 9 5 . M
u l t i v a r i a t e d i s p e r s i o n o r d e r i n g s . S t a
t i s -
t i c s a n d P r o b a b i l i t y L e t t e r s 2 2 3 2 5 3 3
2 .
H e l g a s o n , S . 1 9 8 0 . T h e R a d o n t r a n s f o r
m . P r o g r e s s i n M a t h e m a t i c s 5 . B o s t o n
S t u t t g a r t : B i r k h a u s e r .
K o s h e v o y , G . A . , & M o s l e r , K . 1 9 9 5 a .
T h e L o r e n z z o n o i d o f a m u l t i v a r i a t e
d i s t r i b u t i o n . M i m e o .
K o s h e v o y , G . A . , & M o s l e r , K . 1 9 9 5 b .
A g e o m e t r i c a l a p p r o a c h t o c o m p a r e
t h e v a r i a b i l i t y o f r a n d o m v e c t o r s . D i
s c u s s i o n P a p e r s i n S t a t i s t i c s a n d Q u a n t
i t a t i v e
E c o n o m i c s 6 6 U n i B w H a m b u r g .
M a r s h a l l , A . W . & O l k i n , I . 1 9 7 9 . I n e
q u a l i t i e s : T h e o r y o f M a j o r i z a t i o n a n
d
I t s A p p l i c a t i o n s . N e w Y o r k : A c a d e m i c
P r e s s .
M o s l e r , K . 1 9 9 4 . M a j o r i z a t i o n i n e c o n
o m i c d i s p a r i t y m e a s u r e s . L i n e a r A l g e b r
a
a n d I t s A p p l i c a t i o n s 1 9 9 9 1 1 1 4 .
N y g
a r d , F . & S a n d s t r
o m , A . 1 9 8 1 . M e a s u r i n g I n c o m e I n e q u a l
i t y . S t o c k h o l m :
A l m q v i s t a n d W i k s e l l .
O j a , H . 1 9 8 3 . D e s c r i p t i v e s t a t i s t i c s
f o r m u l t i v a r i a t e d i s t r i b u t i o n s . S t a t i
s t i c s a n d
P r o b a b i l i t y L e t t e r s 1 3 2 7 3 3 2 .
S h e p h a r d , G . C . 1 9 7 4 . C o m b i n a t o r i a l p
r o p e r t i e s o f a s s o c i a t e d z o n o t o p e s . C a n
a -
d i a n J . o f M a t h e m a t i c s 2 6 3 0 2 3 2 1 .
T a g u c h i , T . 1 9 8 1 . O n a m u l t i p l e G i n i ' s
c o e c i e n t a n d s o m e c o n c e n t r a t i v e r e -
g r e s s i o n s . M e t r o n 1 9 8 1 6 9 9 8 .
T o r g e r s e n , E . 1 9 9 1 . C o m p a r i s o n o f S t a
t i s t i c a l E x p e r i m e n t s . C a m b r i d g e U n i
-
v e r s i t y P r e s s C a m b r i d g e M a s s a c h u s e t
s .
2 0
-
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W i l k s , S . S . 1 9 6 0 . M u l t i d i m e n s i o n a l s
t a t i s t i c a l s c a t t e r . I n : I . O l k i n e t a l . e
d s .
C o n t r i b u t i o n s t o P r o b a b i l i t y a n d S t a
t i s t i c s i n H o n o r o f H a r o l d H o t e l l i n g . S t
a n f o r d
C a l i f o r n i a 4 8 6 5 0 3 .
2 1
