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Muster und Strukturen im Mathematik-

unterricht der Grundschule

Einführung von Miriam M. Lüken

Muster und Strukturen sind ein grundlegendes Prinzip des Mathematikunterrichts, insbesondere der Grundschule (vgl. Wittmann & Müller 2007). Deshalb finden wir sie in allen Schuljahren und in allen Inhaltsbe reichen. Wo genau Muster und Strukturen zu entdecken sind und warum sie für das Mathematiklernen so bedeutsam sind, wollen wir in dieser Aufgabensammlung aufzeigen.

1 Muster und Strukturen – Begrifflichkeiten

Lassen Sie uns zu Anfang überlegen, was wir unter einem „mathematischen Muster“ und unter „Struktur“ eigentlich verstehen. Die Begriffe scharf zu definieren ist schwer, da sie in Alltag und Mathematikunter-richt häufig synonym gebraucht werden. Möglicherweise hilft hier die Beschreibung von Eigenschaften weiter. So verbinden wir mit einem mathematischen Muster Merkmale wie Ordnung, Regelmäßigkeit, Wiederholung sowie Vorhersagbarkeit (vgl. Rathgeb-Schnierer 2007). Struktur beschreibt eher den Auf-bau, die Art und Weise, wie mathematische Objekte in Beziehung zueinander stehen.Noch fassbarer werden die Begriffe, wenn wir sie in die Sprache von Grundschülern übersetzen: Beim Mustererkennen entdecken Kinder Gemeinsamkeiten, beschreiben eine Regel, finden Wiederholun-gen, treffen Vorhersagen oder erkennen eine Anordnung als bekanntes Muster (z. B. Würfelfünf) wieder. Beim Strukturieren ordnen Kinder Plättchen, teilen Muster in (gleiche / überschaubare) Teile, stellen Beziehungen zwischen diesen Teilen her, beschreiben den Aufbau von geometrischen Mustern oder schönen Päckchen oder bringen Ziffernfolgen oder Aufgabenfolgen in eine Reihenfolge.Deutlich wird an dieser Auflistung auch, dass Muster und Strukturen eng verbunden mit dem „Tun“ sind. Strukturieren und Muster erkennen entsprechen damit den allgemeinen mathematischen Kompetenzen, die „sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit der Mathematik [aller Inhalts-bereiche] zeigen und auf die gleiche Weise, in der tätigen Auseinandersetzung, erworben“ werden (KMK 2005, S. 7).

2 Warum sind Muster und Strukturen so wichtig?

Muster und Strukturen entlasten das GedächtnisDas Betrachten einzelner Zahlen, geometrischer Bilder und das Rechnen mithilfe von Zählstrategien beanspruchen das Gedächtnis stark. Wenn Strukturen innerhalb von Anzahlen erfasst, Muster in geometrischen Bildern erkannt und z. B. in einer Aufgabe wie 6 + 7 die Aufgabe 6 + 6 gesehen und dabei die Beziehung „1 mehr“ hergestellt werden kann, entlastet dies das Gedächtnis. Dass das Zu-sammenfassen (und damit das Strukturieren) von Dingen sowie das Erkennen und Bilden von Mustern nützlich ist, können Sie sich leicht am Beispiel von Telefonnummern verdeutlichen. Wie würden Sie sich die Nummer 585858 merken?Wahrscheinlich als 58 58 58 und eher nicht als 585 858. Im Gegensatz dazu macht es bei der Num-mer 588588 Sinn, sie in 588 588 zu gliedern, anstatt in 58 85 88, oder? (vgl. Philipp 2015)

Muster- und Strukturfähigkeiten und arithmetische Leistung hängen zusammenEs wird vermutet, dass leistungsstärkere Kinder gerade deshalb so gut in Mathematik sind, weil sie von sich aus strukturieren, Muster entdecken und Beziehungen herstellen. Kinder mit Schwierigkei-ten beim Rechnen sind hingegen weniger gut in der Lage, Muster und Strukturen zu erkennen und zu nutzen. Diesen Zusammenhang zeigen auch mehrere aktuelle Studien. Als Beispiel sei hier die Untersuchung von Lüken (2012) angeführt, die zeigt, dass Schulanfänger mit schwachen Muster- und Strukturfähigkeiten nach zwei Jahren Unterricht auch zu den schwächsten Rechnern gehören. Mustererkennungs- und Strukturierungsfähigkeit sind also grundlegende Fähigkeiten zum Rechnen-

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Mit einem Blick1

Kompetenzen

allgemein

inhaltsbezogen

� Kommunizieren � Problemlösen � Modellieren � Argumentieren � Darstellen von Mathematik

� Zahlen und Operationen � Raum und Form � Größen und Messen � Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Kompetenzerwartungen bezüglich Muster und Strukturen

� lose Objekte strukturieren � erkennen, dass es verschiedene Möglichkeiten der Strukturierung gibt � erkennen, dass strukturierte Mengen leichter auf einem Blick zu erfassen sind � Einsicht in das dekadische System gewinnen

Material

� pro Kind mind. 20 Muggelsteine, Plättchen o. Ä. � Tipp: Am besten einfarbige Muggelsteine, weil die Kinder sie sonst nach Farben sortieren werden � Kopien von AB 1 und 2 � das Mathebuch der Kinder (oder ein anderer Sichtschutz)

Vorbereitung

� Auf den Tischen stehen Schälchen mit den Plättchen (Muggelsteinen).

Beschreibung der Aufgabe

Die Kinder legen eine kleine Menge Muggelsteine (zu Beginn ca. 15) so auf den Tisch, dass die Anzahl mit einem Blick erfasst werden kann.

Durch die Musterbrille betrachtet

Als Einstieg greift jedes Kind einmal in das Schälchen mit den Muggelsteinen und ver-sucht ca. 15 Stück zu nehmen, um diese so vor sich auf den Tisch zu legen, dass die An-zahl mit einem Blick zu erfassen ist.Die Kinder werden vermutlich verschiedene Muster legen. Je nachdem, welchen Hinter-grund sie haben, werden Würfelmuster, line-are Muster oder auch keine Muster gelegt. Auch werden bestimmt einige Kinder schon im 10er-Muster legen, mit und ohne die 5er-Struktur. Besprechen Sie diese Unterschiede! Die Kinder sollen die Einsicht gewinnen, dass

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Was gehört zusammen?2

Kompetenzen

allgemein

inhaltsbezogen

� Kommunizieren

� Problemlösen

� Modellieren

� Argumentieren

� Darstellen von Mathematik

� Zahlen und Operationen

� Raum und Form

� Größen und Messen

� Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Kompetenzerwartungen bezüglich Muster und Strukturen

� strukturierte Zahldarstellungen verstehen und erkennen

� Mustervorstellungen für das Zwanzigerfeld aufbauen

Material

� Kopien von AB 3 und 4, evtl. auf farbigem oder dickerem Papier, damit der Druck nicht durchschimmert

� Scheren für die Kinder

� Tageslichtprojektor (TP)

� 20 Plättchen (Farben egal)

Vorbereitung

keine

Beschreibung der Aufgabe

Die Kinder ordnen jeder Zahl von 1 bis 20 das entsprechende Muster zu. Dies geschieht im Rahmen des klassischen „Memory”-Spiels.

Durch die Musterbrille betrachtet

Um die Kinder auf das Thema Veranschaulichungen von Zahlen — strukturierte Zahldarstellungen — ein-zustimmen, spielt die ganze Klasse zu Beginn das Spiel „Schnelles Sehen“. Hierzu nutzen Sie den TP sowie die Plättchen und schalten ihn nur ganz kurz ein, sodass die Kinder die Mengen mit einem Blick erfassen müssen. Legen Sie die Plättchen auch ein-mal unstrukturiert auf und hoffen Sie auf Beschwer-den der Kinder. Es ist durchaus zu erwarten, dass die Kinder das Unstrukturierte als unfair bezeichnen, weil sie die Menge, wenn sie „so durcheinander“ liegt, nicht erkennen können.

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Im Anschluss bauen die Kinder einen eigenen RR, um das Spiel zu spielen. Achten Sie in der Bauphase da-rauf, dass die Kinder den Rahmen und seine Struktur wirklich aus dem Kopf bauen, es sollten also keine Vorbilder irgendwo im Klassenraum stehen.

Hinweis: Falls Sie etwas vormachen und den RR vor sich halten, machen Sie es spiegelverkehrt vor. Somit ist für die Kinder immer die Null eingestellt, wenn alle Kugeln rechts sind.Manche Kinder werden kein Muster oder ein nicht brauchbares Muster (siehe Bild unten) aufstecken. Lassen Sie diese Kinder das Spiel damit spielen und die Erfahrung machen, dass die gewählte Struktur unpassend ist; sie kann immer noch verändert werden. Zur Kontrolle und als Hilfestellung kann auch verdeckt ein RR im Klassenraum stehen.

Zu erwarten ist auch, dass die Kinder die Struktur der beiden Stangen farblich identisch oder genau entgegengesetzt stecken (siehe Bilder oben). Beides ist richtig und hat seinen Ursprung oft in den Rechenrahmen, welche die Kinder schon gesehen haben. Beide Anordnungen werden von Herstel-lern produziert und sind somit in Schulen zu finden. Besser sind die RR, wo beide Stangen identisch gesteckt sind (siehe Bild oben links), weil sich diese Struktur für den 100er-RR fortsetzen lässt, auf dem die Farben nach 50 Perlen wechseln. Wenn die Farben nach jeder Stange wechseln, verfestigt sich ein Muster, welches nicht nachhaltig ist.Es kann sein, dass sich die Holzstäbe schwer in die Schwämme stecken lassen, wenn sie keine Spitze haben. Stechen Sie hier ein Loch vor. In manchen Fällen haben sich die Stäbe sehr leicht aus dem Schwamm wieder gelöst. Hier helfen die Klebestifte.

Impulse, Differenzierung und Weiterführung

Beim Spielen sitzen jeweils zwei Kinder vor dem Buch. Beide Kinder haben somit dieselbe Sicht auf den RR. Es sollen immer alle Kugeln auf einmal geschoben werden, um das Ablösen vom zählenden Rechen zu unterstützen. Am Anfang nutzen die Kinder nur die ersten fünf Perlen und erweitern dann den Zahlenraum. Die Kinder sollen sich gegenseitig erklären, wie sie es auf einen Blick gesehen haben.

Impulse für die Kinder:

� „Schiebe immer alle Kugeln auf der Stange auf einmal.” � „Spiele nur auf der oberen Stange mit den ersten fünf Perlen.“ � „Spiele nur auf der oberen Stange.” � „Beschreibe deinem Partner, wie du es so schnell gesehen hast.” � „Stelle deinem Partner eine Plus- oder Minusaufgabe, die er auf dem RR lösen kann. Lasse dir anschließend das Ergebnis zeigen. Sprecht darüber, wie er die Aufgabe gelöst hat.“

Hinweis:Die Rechenrahmen können in der Schule verbleiben, die Kinder gehen in der Regel mit ihren eigenen Rahmen sehr sorgsam um. Sie werden in der folgenden Aufgabe zudem noch einmal gebraucht. Falls sie die Rahmen mit nach Hause nehmen, kann eine Hausaufgabe gegeben werden: Schnelles Sehen mit den Eltern (Geschwistern, Freunden, …). zur Vollversion

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Einigen Kindern fällt die Einsicht in die Struktur mit Einheit-Unter-einheit schwer; beim Messen erscheint das Anlegen an der Null schwierig. Der Aufbau der Skalierung des Lineals muss ebenso besprochen werden wie der Zusammenhang von Einheit–Unter-einheit. Achten Sie auf Ihre exakte Sprechweise „2 cm und 6 mm”.

Als Ausblick sollten Sie das Übertragen der gelernten Struktur auf weitere Längenmessinstrumente (Bandmaß vom Schneider, Rollmaßband vom Sport, Zollstock etc.) üben.

Hinweis: Planen Sie zwei Stunden für diese Aufgabe ein.

Impulse, Differenzierung und Weiterführung

Für das Erarbeiten der Struktur des Lineals — ausgehend von den Produktionen der Kinder — eignet sich gut ein transparentes Lineal, welches Sie auf den TP legen können. Im Anschluss bearbeiten die Kinder das AB 7.

Helfende Impulse:

� „Warum sind die Striche unterschiedlich lang?” � „Was wiederholt sich?” � „Siehst du das Muster?” � „Zeige mir die Länge von 3 (5, …) cm.“ (Besprechen Sie auch den Nullpunkt.) � „Zeige mir die Länge von 3 cm und 5 (2, …) mm.“

Halten Sie verschieden lange Papierstreifen als Beispiel bereit. Legen Sie diese an das Lineal an.

� „Wofür ist die Null da?“ � „Wie lang ist eine Strecke, die bei 10 cm anfängt und bei 14 cm endet?“

Differenzierung, erste Stunde:

� „Erstelle Papierstreifen aus den Längen von AB 7 und notiere die Länge darauf.“ � „Erstelle Papierstreifen und schreibe die Länge darauf.“

In der zweiten Stunde bearbeiten die Kinder das AB 8, auf dem sie die unter dem Lineal angege-bene Länge mit einem Pfeil einzeichnen. Die letzten beiden Aufgaben sind dazu gedacht, dass sich die Kinder selber Längen ausdenken und die entsprechende Stelle auf dem Lineal markieren.Auf AB 9 sollte zuerst die Aufgabe im Kasten mit allen Kindern besprochen werden. Die Kinder benutzen hier erstmalig ihr eigenes Lineal, evtl. ist dieses zu kurz, um die Längen in einem einzi-gen Vorgang abzutragen. Hier muss die Technik des Weitermessens mit einem Lineal besprochen werden. Zudem müssen die Kinder auf den Nullpunkt auf dem Lineal achten.

� „Wie legst du das Lineal an? Wo ist die Null?”

Das Lineal der Kinder hat evtl. zwei verschiedene Maßeinheiten, cm bzw. oftmals Inch, besprechen Sie mit den Kindern diese Möglichkeiten.Auf AB 10 müssen die Kinder Längen zeichnen, wofür es keinen Lösungszettel geben kann. Die Kinder können die von ihren Tischnachbarn gemessenen Längen kontrollieren.AB 11 fordert die Kinder auf, Gegenstände in ihrer Umwelt zu messen. Die Begriffe „Bereich“ und „Höhe“ müssen dabei besprochen werden, zudem können hier auch weitere Messinstrumente an-gegeben werden (Bandmaß, Zollstock, …).AB 12 dient zur Differenzierung und hält ein Spiel vor. Die Kinder sollen zuerst die Länge schätzen und dann messen. Das Kind, das mit seiner Schätzung am nächsten an der Lösung ist, hat gewon-nen.

� „Wie kannst du ausrechnen, wer von euch am besten geschätzt hat?“

Kinderergebnisse zur Einstiegsaufgabe

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Lösungen cm und mm AB 8

1cm und mm 8 3

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2cm und mm 7 7

0mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

3cm und mm 12 0

0mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

4cm und mm 0 6

0mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

5cm und mm 14 1

0mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6cm und mm 6 3

0mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

7cm und mm 13 5

0mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

8cm und mm 9 8

0mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

9cm und mm

0mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

10cm und mm

0mm

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Name: cm und mm AB 11

Breite und Länge messen

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