MW 57 ML 118 S.17 24 · Rechner aus – der Abakus ist eine der ältesten ... Sto Adie zuletzt angezeigte Zahl – hier 0.1 – in den ... Ans. Dies ist der Name eines Speichers,

mathematiklehrenMathe-Welt

Wie gebe ichknifflige

Zahlen ein?

Wie gebe ichknifflige

Zahlen ein?

Wie gebe ichTerme ein?

Wie gebe ichTerme ein?

Wie vermeide ich

Fehler?

Wie vermeide ich

Fehler?

. . . weil die Welt voller Mathematik steckt

Fit mit dem Taschenrechner

2 Mathe-Welt

Hallo!„Wenn wir erst den Taschenrechner benutzen dürfen,wird alles einfacher!“ Sicher hast du auch so gedacht,als du noch jünger warst und ihr noch keinen Ta-schenrechner in der Schule verwenden durftet. Inzwi-schen hast du sicher gemerkt, dass der Taschenrech-ner den Mathematikunterricht nicht einfacher macht,sondern anders. Du hast nicht mehr so viel Zeit, Zah-len zu berechnen – das kann der Taschenrechnerschneller als du –, dafür musst du jetzt viel mehrüberlegen, was und wie gerechnet werden soll. Vielemeinen, dass der Mathematikunterricht dadurch ei-gentlich schwieriger geworden ist.Daher ist es umso wichtiger, dass du dich gut mit dei-nem Taschenrechner auskennst. Vor allem musst duwissen, was der Taschenrechner kann und wo seineGrenzen sind.In dieser Mathe-Welt kannst du deinen Taschenrech-ner erkunden und einiges über seine Funktionsweiseerfahren.

Viel Spaß wünscht Euch

,

Herbert Glaser

… die ersten Rechenanlagen

waren selten undsogar berühmt,

wie 1956 diegrößte in

Deutschland gebaute

„programmge-steuerte elektro-nische Rechen-

maschine (Perm)“.Sie wurde auch

„Münchner Elek-tronengehirn“

genannt …

So sah vielleicht dein ersterRechner aus – der Abakus

ist eine der ältesten Rechenmaschinen …

Zum Titelbild:

Dein Taschenrechner kannunglaublich viel –

aber nur, wenn du richtigmit ihm umgehen kannst

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Mathe-Welt 3

Was dein Taschen-rechner können mussFür diese Mathe-Welt brauchst du einen neueren Ta-schenrechner, der über eines der EingabesystemeEOS (Equation operating system), D. A. L. (direct al-gebraic logic) oder S-V. P. A. M. verfügt. Diese Ta-schenrechner haben eine mindestens zweizeilige An-zeige: In der oberen Zeile steht der eingegebeneRechenausdruck und in der darunter stehenden Zeileist das Ergebnis seiner Auswertung zu sehen.Um einen eingegebenen Rechenausdruck auszuwer-ten, muss man die Auswertungstaste = , ENT , Enter

oder EXE drücken.Du kannst auch einen grafischen Taschenrechner fürdie Rechnungen in diesem Heft benutzen.

Was du schon wissenund können musst

Für dieses Heft brauchst du nur Grunderfahrungenim Umgang mit dem Taschenrechner. Über folgendePunkte solltest du schon Bescheid wissen:– Du weißt, dass du einen Dezimalpunkt anstelle ei-

nes Kommas eintippen musst.Als Beispiel dividieren wir die Zahlen 1.11 und 11.1.Links steht die Tastenfolge, die auf viele Taschenrech-ner passt, rechts die erzeugte Anzeige.

Tastenfolge:1 . 1 1 ÷ 1 1 . 1 =

• Du weißt, dass du durch Drücken der TastenfolgeSto A die zuletzt angezeigte Zahl – hier 0.1 – in denSpeicher A ablegen kannst.

Wenn auf deinem Taschenrechner die Buchstabenfol-ge STO oberhalb einer Taste steht, musst du mit derTaste für die Zweitbelegung 2nd , 2ndF oder SHIFT

beginnen.• Du weißt, dass du durch Drücken der Tastenfolge

RCL A die im Speicher A abgelegte Zahl in die An-zeige zurückholen kannst.

Wenn auf deinem Taschenrechner die Buchstabenfol-ge RCL oberhalb einer Taste steht, musst du wiedervorher die Taste für die Zweitbelegung 2nd , 2ndF oderSHIFT drücken.• Du weißt, dass du eine falsch eingetippte Ziffer oder

ein falsches Zeichen ausbessern kannst, indem duden Cursor mit den Steuertasten ← , → unter dieZiffer bringst.

Diese fängt dann meist an zu blinken. Ein Druck aufdie Taste der gewünschten Ziffer fügt diese dann ein,indem entweder die vorhandene Ziffer überschriebenoder nach rechts verschoben wird.Wenn du die Taste DEL drückst, dann wird das Zei-chen an der Cursorposition gelöscht. Wenn du die Tasten CLEAR , AC oder ON/C drückst, dann wird die gesamte Anzeige gelöscht.

… dein Taschenrechner ist vielleistungsfähiger und viel,

viel kleiner.

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4 Mathe-Welt

Wie gebe ich knifflige Zahlen ein?

Manche Zahlen sehen auf den ersten Blick ganz harm-los aus – doch wenn du sie eintippen willst, stellst dufest, dass man sich dafür gut mit dem Taschenrechnerauskennen muss. Es tauchen häufig die folgendenFragen auf.

Muss ich Nullen amAnfang oder am Endeeiner Zahl eintippen?

Bildest du die Spiegelzahl zu 9800, so erhältst du0089. Die zwei führenden Nullen werden traditions-gemäß weggelassen.In anderen Ländern wird der Dezimalbruch 0,89 als0.89 oder noch kürzer als .89 geschrieben.

In der Zahl 9800 kannst du die Nullen nicht weglas-sen. Warum?Die zwei hängenden Nullen am Ende des Dezimal-bruchs 0.980700 bedeuten, dass keine Hunderttau-sendstel und keine Millionstel vorhanden sind. Indemman diese Nullen am Ende angibt, zeigt man, dass dieZahl erst in der sechsten Nachkommastelle gerundetwurde – die Ziffern davor sind also genau.

Wie tippe ich negativeZahlen ein?

Bei den neuen Taschenrechnern tippst du die negativeZahl –2 genauso ein wie du sie schreibst: Du musst dieVorzeichentaste (–) oder +/– vor der Zifferntaste 2 drücken. (Bei älteren Taschenrechnern hat man dieVorzeichentaste erst nach Eingabe der Zahl ge-drückt.) In der Anzeige ist der Strich des Vorzeichenskürzer als der Strich des Subtraktionszeichens. BeideZeichen sind sowohl beim Ablesen als auch beim Ein-geben leicht zu verwechseln! Studiere das folgendeBeispiel genau und spiele es auf deinem Taschenrech-ner nach. Du musst die Tastenfolgen für jeden Rech-nertyp unmittelbar hintereinander eingeben.

88 8 8

8 8 8 8 8 8

88 8 8 8 8 8 8

8 8 8

Wie reagiert dein Taschenrechner auf die folgenden Eingaben?

0 0 8 9 � 4 =

0 0 · 8 9 � 4 =

· 8 9 � 4 =

1

8

8

8 8 8 8

8 8 8 8 8 8 8

8 8 8 8 8


2 · 3 0 2 0 0 � 5 =

2 · 3 0 2 � 5 =

2


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Mathe-Welt 5

Tastenfolge: Anzeige:Casio fx-115MsON – 2 + 7 =

– 2 � 7 =

AC – 2 � 7 =

Tastenfolge: Anzeige:Sharp EL-546LON/C – 2 + 7 =

– 2 � 7 =

ON/C – 2 � 7 =

In der zweiten Anzeige erscheint die BuchstabenfolgeAns. Dies ist der Name eines Speichers, in dem bei je-der Rechnung das Ergebnis gespeichert wird. Wie ausjedem anderen Speicher kann der Inhalt mit den Tas-tenfolgen Ans bzw. Shift Ans oder RCL Ans zurückge-rufen werden. Darüber hinaus wird Ans als ersterOperand automatisch genommen, wenn als erste Tas-te einer neuen Eingabe eine der Tasten für die Grund-rechenarten gedrückt wird, also wie oben – .

Bei der folgenden Aufgabe kannst du ausprobieren,was passiert, wenn du anstelle der Vorzeichentaste (–)

die Taste – für die Subtraktion oder umgekehrtdrückst.

8

Das negative Vorzeichen wird mit der Taste(–) eingegeben, das Subtraktionszeichen abermit der Taste – .

8

8

8

8 8 8 8 8 8

8 8 8

8 8 8 8

8 8 8


6 � (–) 3 =

6 � – 3 =

6 � (–) (–) 3 =

6 � – – 3 =

Kannst du die folgenden Terme mit deinemTaschenrechner berechnen?

–24, , , , 5– 2

Erläutere die Anzeigen.

–826( )–83–8

3

4


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6 Mathe-Welt

Wie nutze ich dieBruchautomatik?

Neuere Taschenrechner liefern für die Aufgabe

das Ergebnis . Wenn du mit deinem

Taschenrechner für diese Aufgabe schon das gleicheErgebnis erhältst, kannst du den Rest dieses Ab-schnittes überspringen.

Die neuen Taschenrechner verfügen über eine so ge-nannte Bruchautomatik. Dies bedeutet, dass sie mitgemeinen Brüchen und gemischten Zahlen rechnenkönnen. Dazu muss man eine solche Zahl zunächst

eingeben, zum Beispiel . Die Schaltungslogik des

Taschenrechners muss erkennen, wann der ganzzah-lige Anteil, hier 3, und der Zähler, hier 4, zu Endesind.

3 410

12 5215 62

347

+

Die Taschenrechner der Firmen CASIO und SHARPsehen hierfür die gleiche Taste a b/c vor. Auf den Ta-schenrechnern der Firma TEXAS INSTRUMENTSbeendet ein Druck auf die Taste Unit den ganzzahli-gen Anteil und ein Druck auf die Taste / den Zähler.Wann der Nenner zu Ende ist, erkennt die Schal-tungslogik daran, dass eine Taste für eine andereOperation gedrückt wird, zum Beispiel eine Grundre-chenart oder eine Klammer oder die Ergebnisauslöse-taste.

Einige Taschenrechner kürzen automatisch das Ergebnis soweit als möglich, bei anderen kann manzwischen automatischer und manueller Kürzungwählen. Der TI-34II kann mit der Tastenfolge 2nd FracMode → → → = auf automatisches Kürzeneingestellt werden.Darüber hinaus ermöglichen die meisten Taschen-rechner, gemischte Zahlen in unechte Brüche und um-gekehrt zu verwandeln, meist durch die Tastenfolge 2nd d/c . Lies sicherheitshalber in der Bedienungs-anleitung nach, wie die Bruchautomatik deines Taschenrechners zu bedienen ist.

Tastenfolge: Anzeige:Casio fx-115Ms3 a b/c 4 a b/c 1 0 =

Sharp EL-546L3 a b/c 4 a b/c 1 0 =

TI-34II3 Unit 4 / 1 0 =

→ Simp

=

BrücheZur Auffrischung des Gedächtnisses: DieDivisionsaufgabe 3 : 4 hat als Ergebnis eineZahl kleiner als 1. Sie kann als Dezimal-bruch in der Form 0.75 oder als gemeiner

Bruch in der Form 3/4 oder geschriebenwerden.

Wegen Dreiviertel von Eins

entsteht der gemeine Bruch auch dann,

wenn die Eins in vier gleichgroße Teile ge-teilt wird und dann davon drei zusammen-gefasst werden. Die Zahl 4 heißt Nennerund die Zahl 3 heißt Zähler.Aus historischen Gründen schreibt man die

Summe kürzer als , sie heißt

dann gemischte Zahl. Diese anachronisti-sche Schreibweise darfst du nicht verwech-seln mit den Gepflogenheiten der Algebra:

Dort ist die Schreibweise eine Abkür-

zung für das Produkt .5 ⋅ ab

5 ab

5 34

5 34

+

34

34

34

1= ⋅ =

34

N/D n/d


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8 8

8 8 8 8

Die Beispiele oben zeigen, dass die Bruchautomatikdie Bestandteile einer gemischten Zahl oder eines ge-meinen Bruches nicht übereinander schreibt wie

sonst üblich, sondern nebeneinander. Um

mit der Tastenfolge 5 a b/c 2 a b/c 3 + 6 a b/c

4 a b/c 7 = berechnen zu können, interpretiert dieSchaltungslogik des Taschenrechners die Ziffernfol-gen 5 a b/c 2 a b/c 3 und 6 a b/c 4 a b/c 7

jeweils als zusammengehörend. Diesen Sachverhaltbeschreibt man kurz durch die Sprechweise: Die Addi-tion ist mit der Darstellung gemischter Zahlen ver-träglich.

5 623

47

+

Prüfe mit den folgenden Termen, ob auf deinemTaschenrechner die Darstellungen gemischterZahlen und gemeiner Brüche mit den angegebe-nen Operationen verträglich sind.

5 623

47

×

6

Wie gut nähern die folgenden Terme die Kreiszahl π an?

Im Jahr 1985 sollten angehende Lehrer den folgenden Ausdruck ohne Taschenrechner vereinfachen.

(Schriftliche Aufnahmeprüfung der Mathemati-schen Fakultät des Moskauer Staatl. Päd. Instituts V, I Lenin, zitiert nach Mathematikin der Schule 24 (1986), H. 2/3, S. 200)

Gib die Dezimalbrüche als gemeine Brüche in denTaschenrechner ein und bestimme das Ergebnisals gemeinen Bruch.

Der schottische Archäologe Rhind entschlüsselteim 19. Jahrhundert einen alten ägyptischen Pa-pyrus, in dem unter anderem die Darstellung vonBrüchen als Summe verschiedener Stammbrüchebehandelt wurde. Ein Stammbruch ist ein Bruchmit dem Zähler 1. Die Tabelle beginnt mit

Um zu zerlegen, kann man den

nächst kleineren Stammbruch also ,subtrahieren, und erhält somit die Zerlegung in

Stammbrüche Im Papyrus Rhind

steht aber die Zerlegung

Zerlege in Summen von Stammbrüchen

mit n � {5, 7, 11, 17, 19, 23, 25, 29}.2n

213

18

1104

.= + +152

213

17

191

.= +

17

214

,

213

25

13

115

= + .

8.4(1 )–15

646.8:21

58

1718

9960

+

3 17

+

7

8

9

Mathe-Welt 7

5 623

47

÷

5 23

2

25 49

8 8 8

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

8 8 8 8


1 2 3 a b/c 6 7 8 =

1 2 3 4 5 a b/c 6 7 8 9 0 =

5

3 16113

+

96 1534673 1

2

⋅

96 662017 1

4

⋅


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8 Mathe-Welt

Kann ich die Bruchtasteals Ersatz für die Divi-sionstaste benutzen?

Das hängt vom Taschenrechner ab.

Wie gebe ich Winkel-maße ein?Wenn du dich einmal um die eigene Achse drehst,dann hast du dich um einen Vollwinkel gedreht. Mankann ihm verschiedene Maße zuordnen: 360° (Alt-grad, auf Englisch degree), 400 g (Neugrad, auf Eng-lisch grad) oder die Zahl 2π (Bogenmaß, auf Englischradiant).Stelle auf deinem Taschenrechner nacheinander dieseMaßeinheiten ein. Am oberen oder unteren Rand derAnzeige sollten jeweils die Zeichen D oder DEG, Goder GRAD bzw. R oder RAD erscheinen.

Bruchteile eines Altgrades werden seit Jahrtausen-den in Minuten und Sekunden angegeben und dabeidurch einen bzw. zwei hochgestellte Striche gekenn-zeichnet. Die entsprechende Umwandlung erfolgt, in-dem man entweder die Taste ° ’ ’’ drückt – falls vor-handen – oder entsprechende Menüoptionen benutzt.

Die meisten Taschenrechner stellen Umwand-lungsfunktionen für die Winkelmaßeinheitenbereit. Kannst du mit möglichst wenigen Tasten-drücken die folgenden Winkelmaße in die restli-chen Winkelmaße umwandeln?

30°

100g

π3

12

Wandle die folgenden Gradangaben in Dezimal-zahlen um:

63°52’41’’

359°59’60’’

13

8

8

8

8 8 8 8

8 8

8 8

8 8 8

8


2 a b/c ( 3 + 4 ) =

cos π a b/c 3 =

Wie musst du die folgenden Eingaben ändern,damit dein Taschenrechner keine Fehlermeldun-gen zeigt?

π a b/c 3 =

3 a b/c π =

π a b/c 3 a b/c 4 =

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Mathe-Welt 9

Wie gebe ich Zahlen inExponenzialdarstellungein?

Die Zahl 9 876 543 210 000 kannst du in dieser Formnicht in deinen Taschenrechner eingeben, weil sie zuviele Ziffern hat. Wenn du aber den Faktor 10 000 ab-spaltest und ihn als Zehnerpotenz 104 umformst,dann erhältst du das Produkt 987 654 321 · 104, dasdu mit der Tastenfolge9 8 7 6 5 4 3 2 1 EXP 4 = eingeben kannst.Du erhältst eine Anzeige wie 9.876 543 21 � 1012 oder9.876 543 21E12. Diese Darstellung einer Zahl heißtGleitkomma- oder Exponenzial-Darstellung. Die Zahlwird als Produkt eines Dezimalbruchs zwischen 1 und10 und einer Zehnerpotenz dargestellt.

Neuere Taschenrechner zeigen das letzte Ergeb-nis als 6.662079557E + 18, 6.662079557E18 oder6.662079557 · 1018 an. In der Exponenzialdarstellungheißt die Ziffernfolge des Dezimalbruchs Mantisse, dieZahl 18 nach dem E bzw. die hochgestellte 18 heißtExponent.Bei der Eingabe wird nach der Mantisse die Taste EE ,EXP oder EEX gedrückt, um dem Rechner mitzutei-len, dass die folgenden Eingaben den Exponenten derZehnerpotenz aufbauen. Die Beschriftung steht fürenter exponent.Um ein negatives Vorzeichen einzugeben, musst dudie Vorzeichenwechseltaste vor der Eingabe der ers-ten Ziffer von Mantisse bzw. Exponent drücken.

Beschreibe, wie dein Taschenrechner die Ergeb-nisse der folgenden Terme anzeigt, und achtedabei auf eine führende Null vor dem Dezimal-punkt:

1/100

1/1000

1/10 000 000 000

123.4569

14

Gib die folgenden Zahlen ein und überprüfe die Anzeige:

2.4 · 107

–0.73 · 105

13.7 · 10–5

1012

10–8

Kannst du die folgenden Anzeigen der Taschen-rechner Casio fx-115MS und Sharp EL-546Lerklären?

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10 Mathe-Welt

Welche großen Zahlenkann ich nicht in denTaschenrechner eingeben?

Das hängt vom Fabrikat ab! Die meisten Taschen-rechner haben eine 10-stellige Anzeige und Platz für einen zweistelligen Exponenten, so dass9 999 999 999 · 1099 die größte positive Zahl ist. Tre-ten größere Zahlen auf, dann erscheint eine Fehler-meldung overflow in der Anzeige. Wenn du diese mitder Löschtaste Clear , Esc oder On/C entfernst, er-scheint wieder der beanstandete Term und der Cur-sor blinkt an der Fehlerstelle.

Wenn die kleinste positive Zahl unterschritten wird,versäumen alle Taschenrechner eine Fehlermeldungund rechnen unschuldig mit 0 weiter. Das kann zu bösen Überraschungen führen, wie du weiter hinten sehen wirst.

Welche Fehler meldetmein Taschenrechner?

Hier sind die Unterschiede zwischen den Taschen-rechnern sehr groß. Daher musst du in der Bedie-nungsanleitung nachsehen. Die folgenden Terme ver-ursachen im Allgemeinen typische Fehlermeldungen.

Welches ist die kleinste positive Zahl, die du eingeben kannst, wenn der Taschenrechner eine 10-stellige Anzeige und Platz für einen zweistel-ligen Exponenten hat?

17

Welche Fehlermeldungen zeigt dein Taschen-rechner bei dem Versuch, die folgenden Terme zu berechnen? Tippe alles genauso ein, wie es hier steht!

–4

19

Wie reagiert dein Taschenrechner auf die folgenden Ausdrücke?

a) 2 : (4 · 1099)(2 : 5E99) · 4E90(2 · 4E90) : 5E99

b) 6.2 · 1070 · 3.5 · 1030

3 · 10–88 : 4.7 · 1014

1 : 5 · 1099

c)

Kannst du trotzdem die Ergebnisse bestimmen?

729 – 8127

35 52

69

72927

8127

35

69

52

69–

18

(3 42 2+

5:0,

3 ,π

3 4 )/ 52 2+


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Mathe-Welt 11

Mit wie vielen Stellenrechnet mein Taschen-rechner?Ein Taschenrechner rechnet immer mit ein paar mehrStellen, als er anzeigen kann. Das ist nötig, damit derTaschenrechner sinnvoll runden kann und so das an-gezeigte Ergebnis möglichst genau ist.Wie viele Stellen dein Taschenrechner benutzt,kannst du anhand der Kreiszahl π herausfinden.Die Kreiszahl π misst den Flächeninhalt eines Krei-ses, dessen Radius genau eine Längeneinheit lang ist.Ein Kreis mit dem Radius 1 m hat also den Flächenin-halt π m2.Die Zahl π ist in jedem Taschenrechner gespeichert –und zwar mit so vielen Stellen, wie der Taschenrech-ner intern benutzt. Man kann nun den Taschenrech-ner so austricksen, dass er einem die letzten Stellenvon π anzeigt, die normalerweise nicht zu sehen sind.Bei den meisten Taschenrechnern ist der Aufruf von πals Zweitbelegung implementiert. Du musst also vorder mit π beschrifteten Taste meist die Taste 2nd oder2ndF drücken. Tippe die Tastenfolge 2ndF π Enter indeinen Taschenrechner ein. Du solltest eine Anzeigewie die folgende erhalten:π = 3.141 592 654

Diese Anzeige zeigt aber nur die ersten 10 Ziffern derKreiszahl π an. Nun kommt der Trick:• Multipliziere die angezeigte Zahl mit 1 000 000.

Tippe die Tastenfolge � 1 000 000 Enter ein.Du solltest eine Anzeige wie die folgende erhalten:ANS � 1 000 000 = 3 141 592.654

• Schneide von diesen 10 Ziffern die ersten 7 ab.Subtrahiere von der angezeigten Zahl die Zahl3 141 592, also die Zahl aus den Ziffern vor demKomma. Tippe die Tastenfolge – 3 141 592 Enter ein.Du solltest eine Anzeige wie die folgende erhalten:ANS-3 141 592 = 0.653 59

Dieser Anzeige entnimmst du die aus der ersten An-zeige bereits bekannten Nachkommaziffern 6, 5 unddie neuen Ziffern 3, 5, 9. In der ersten Anzeige war dieletzte Ziffer eine 4. Diese entstand durch Aufrundender 3, weil eine 5 folgt.Intern kennt der benutzte Taschenrechner neben denangezeigten zehn Ziffern also nur noch zwei weitere.Dies erkennt man daran, dass in der letzten Anzeigenur fünf Ziffern nach dem Dezimalpunkt angezeigtwerden, obwohl Platz für neun wäre.

Entlocke deinem Taschenrechner weitere Ziffernbei folgenden Rechnungen:

2 : 35 : 310 : 171 : 811 : 7

2

20

Der benutzte Taschenrechner zeigt für die Kreiszahl π den 10-stelligen Näherungs-wert 3.141 592 654 an, rechnet intern abermit dem 12-stelligem Näherungswert 3.141 592 653 59. Viele Taschenrechner zei-gen zwar zehn Ziffern an, rechnen internaber mit 12 bis 15 Ziffern.

Schutzziffern

Als Schutzziffern bezeichnet man die Ziffern,mit denen der Taschenrechner intern nochrechnet, obwohl sie nicht mehr in die Anzei-ge passen. Mithilfe der Schutzziffern kannder Taschenrechner ziemlich genau rechnen.Durch sinnvolles Runden sollen die Stellenin der Anzeige möglichst alle richtig sein.Aber die Genauigkeit hat trotz der Schutzzif-fern Grenzen, du musst die Ergebnisse dei-nes Taschenrechners immer kritisch hinter-fragen. Auf den Seiten 17–20 erfährst dumehr darüber, wie du falsche Ergebnissevermeiden kannst.


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8 8

12 Mathe-Welt

Die neuen Taschenrechner erlauben, Terme fast soeinzugeben, wie du sie schreibst. An kleine, aber wich-tige Unterschiede soll dich der folgende Abschnitt ge-wöhnen. Wenn du ihn sorgfältig durcharbeitest, wirstdu in Zukunft weniger Fehler machen.

Wann muss ich Klammern setzen?

Du erinnerst dich sicher: Was in Klammern steht,wird „zuerst“ berechnet. Suche auf der Tastatur dieTasten ( und ) für die runden Klammern und über-lege dann bei der Eingabe der Ausdrücke in der näch-sten Aufgabe, an welcher Stelle du die Taste für eineöffnende oder schließende Klammer drücken musst.

Wie gebe ich Terme ein?

Berechne die folgenden Ausdrücke. Wenn du esgeschickt machst, brauchst du keine Klammerneinzufügen. Rechne zur Kontrolle auf zwei ver-schiedene Arten und vergleiche dann noch mitdeiner Nachbarin oder deinem Nachbarn.

9.874.5 3.2⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅

. . .

. . .0 152 2 781 0 03451 253 0 0543 3 375

21

Um die folgenden Terme richtig zu berechnen,muss man Teile in Klammern setzen, damit derTaschenrechner sie zuerst auswertet. Obwohl diefolgenden Terme keine Klammern enthalten,benötigst du die Klammertasten! Da einige Ausdrücke die gleichen Zahlen enthal-ten, musst du nicht jeden Ausdruck neu eintip-pen. Hole mit den Cursortasten oder der Tasten-folge 2nd Entry den letzten Ausdruck wieder indie Anzeige und verändere ihn durch Einfügenund Löschen entsprechender Zeichen.

a)

b)

c)

Kannst du die folgenden Terme berechnen, indemdu jede Zahl nur einmal eintippst und auch keineZahl abspeicherst?

1234 5 0 6781234 5 0 678

. .. – .

⋅

5.974 10 500 5.974 10 1500

5.974 10

24 13

24

43

24

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

2–0.75 200⋅

7.6 61.83– 56.20.014

+

1234 5 0 6781234 5 0 678

2 2. .. .

+⋅

1234 51234 5 0 678

.. .+

111 – 112 2

7.6: 61.8356.2–0.014

7.6:61.8356.2 0.014⋅

7.6 61.8356.2–0.014

+

22

23


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Mathe-Welt 13

Warum schreibt meinTaschenrechner Termeanders als ich?

Die Schreibkonventionen der Mathematik haben sichüber Jahrhunderte hinweg ausgebildet und verändernsich auch heute noch – nicht zuletzt durch den Ein-fluss des Taschenrechners und des Computers.Da die meisten heutigen Taschenrechner Zeichennicht hoch- oder tiefstellen können, müssen die Expo-nenten und Basen von Potenzen auf die gleiche Zei-lenhöhe gesetzt werden. Die Taste für das Potenzierenist Yx oder ^ . Auch die Wurzelzeichen enden schonvor dem Radikanten.

In der Anzeige eines Taschenrechners stehen diefolgenden Ausdrücke:

a) 3 � √ – 85 � √ – 323 � √ – 8 + 5(–2) ^ 3 � √ 8(–8) ^ (3 –1)(–8) ^ 3 –1

b) 27 ^ 3–1 � 23 � √ (–2) ^ (–9)2 ^ 4 � √ 2 ^ 16(2 ^ 16) ^ (1/16)(2 ^16) ^ 1/162 ^ 16 ^ 1/16

Was wird nach Druck auf die Ergebnistasteberechnet?

27

8

8

8 8

8 8 8 8 8 8

8 8 8

8 8 8 8 8

Welche der Klammern in den folgenden Termenbrauchst du nicht einzutippen? Schreibe denTerm so um, dass er keine Klammern enthält,aber das gleiche Ergebnis liefert. Überprüfe deineAntworten mit selbst gewählten Zahlen.a : ((b · c) : d)a · ((b : c) · d)(a : (b : c)) – da : (b : (c + d))

Taschenrechner ergänzen fehlende schließendeKlammern. In den folgenden Termen fehlt jeweilseine schließende Klammer. Tippe die Terme dennoch in den Taschenrechner ein.Erläutere die Ergebnisse.log(100 – log 10log(1/100 – log10

Kannst du schließende Klammern so ergänzen,dass dein Taschenrechner für den neuen Aus-druck einen anderen Wert als vorher liefert?

Übersetze die folgenden Tastenfolgen in die übliche mathematische Schreibweise, berechnedas dazugehörige Ergebnis im Kopf und verglei-che dann mit dem Ergebnis des Taschenrechners!

2 7 Y � 2 ÷ 3 =

2 7 Y � ( 2 ÷ 3 =

2 7 Y � 2 Y � 3 �–1 =

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14 Mathe-Welt

Warum wertet mein Taschenrechner Termeanders aus als ich?Die heutigen Taschenrechner mit den Eingabesyste-men EOS, S-V.P.A.M. und D.A.L. ermöglichen es, Ter-me fast genauso einzutippen, wie man sie schreibt. Dies wurde erreicht, indem der bekannten Vorrangre-gel Punkt- vor Strichrechnung weitere Vorrangregelnbeigefügt wurden, die festlegen, welche Operationoder Funktion vor einer anderen ausgeführt werdensoll. Die Bedienungsanleitung beschreibt die Vorrang-regeln unter dem Stichwort Vorrangordnung der Ope-rationen oder ähnlich.Die folgenden Aufgaben testen die Vorrangregeln imUmgang mit Speichervariablen, die durch großeBuchstaben neben den Tasten gekennzeichnet sind.Im Speicher A soll 100 und im Speicher B soll 0.01 ab-gespeichert werden. Bei den meisten Taschenrech-nern leisten dies die Tastenfolgen100 Store Alpha A Enter

0.01 Store Alpha B Enter

Tippe die folgenden Terme ein und erkläre dieErgebnisse. Notiere Besonderheiten.

√4A

√4·A

√(4A)

√AB

√A·B

√(AB)

√(A)B

√(A)·B

28

In den bisherigen Termen steht der Funktions-name oder das Funktionssymbol vor dem Argu-ment. Die nächsten Terme testen die Vorrangstu-fen, wenn das Funktionssymbol nach dem Argu-ment steht wie bei der Quadratfunktion und der Kehrwertfunktion.

AB2

A · B2

(AB)2

AB–1

A · B–1

(AB)–1

(A · B)–1

A (B–1)A · (B–1)

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Mathe-Welt 15

Wie kann ich Eigen-schaften von Funktionenüberprüfen?

Wenn du die Ausdrücke (11 · 111)2 und 112 · 1112 mitdem Taschenrechner berechnest, wirst du feststellen,dass diese Terme gleich sind. Dies ist zwar kein allge-meiner Beweis dafür, dass das Quadrat eines Produk-tes gleich dem Produkt der quadrierten Faktoren ist,aber es legt die Vermutung nahe. Für die Summe giltdies jedoch nicht: (3 + 4)2 ist nicht gleich 32 + 42.In den folgenden Aufgaben ist die Quadratfunktiondurch andere Funktionen ersetzt, die du auf Summenund Produkte anwenden sollst.

Vergleiche die Werte der Terme innerhalb derTeilaufgaben. Welche Eigenschaft der jeweiligenFunktion vermutest du oder kannst du wider-legen?

a) (13 + 14)3

133 + 143

(13 · 14) 3

133 · 143

b)

c) (13 + 14) –1, 13–1 + 14–1, (13 · 14) –1, 13–1 · 14–1

d) 10 13 + 14, 1013 + 1014, 1013 · 14, 1013 · 1014

e) log (13 + 14), log 13 + log 14, log (13 · 14), log 13 · log 14

f) sin(13 + 14), sin 13 + sin 14, sin(13 · 14),sin 13 · sin 14

13 14 , 13 14⋅ ⋅ 13 14 , 13 14 , + +

30

Wie kann ich Umkehr-funktionen überprüfen?

Vergleiche die Werte nebeneinander stehenderTerme. Bei welchen der in einem Term auftreten-den Funktionen kannst du vermuten, dass siesich in ihrer Wirkung aufheben, also Umkehr-funktionen voneinander sind? Bei welchen Funk-tionen kannst du es widerlegen? Achte darauf,dass die Wertebereiche „passen“.

d) arcsin(sin 13), sin(arcsin 13)

13 , 13 , 13 , –13 , –13 , –13

1, 13

10 , log 10 , 10 , 10

2 2 2 2 33 33

113

–1 –1

log13 13 10 –10–13 13

−( ) ( )

( )( )

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a)

b)

c)


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16 Mathe-Welt

Der Anhalteweg s eines Autos wird vor Gerichtnäherungsweise durch den Term

berechnet. v bezeichnet die Maßzahl der Ge-schwindigkeit gemessen in der Einheit km/h. Erkläre den Term und tabelliere dann den Termfür v zwischen 30 und 100 in Schritten von 10,und zwischen 100 und 200 in Schritten von 20.

Tabelliere den Zusammenhang zwischen GradCelsius und Grad Fahrenheit gemäß folgenderFunktion:

C C 329

5a +

v10

2 3v10( ) +

33

34

Wie erstelle ich Wertetabellen?

Alle neueren Taschenrechner helfen dir dabei, aberleider jeder auf seine Weise. Lies in der Bedienungs-anleitung nach, wie du einen Term mit einer Varia-blen nur einmal eingibst und dann für verschiedeneWerte dieser Variablen berechnest – ohne den Termneu einzugeben. Probiere es bei den folgenden Aufga-ben aus.

Wie wende ich eineFunktion mehrmals hintereinander an?

In den Ausdrücken und ((22)2)2 wird jeweils

die Quadratwurzelfunktion und dann die Quadrat-funktion dreimal iteriert.

2

8

8

8 8 8 8 8

8 8 8 8 8

Iteriere zuerst die Quadratwurzelfunktion fünf-mal und dann mit dem Ergebnis die Quadrat-funktion auch fünfmal. Was erwartest du?

Hinweis: Die Iteration einer Funktion wird ganzeinfach mit der Möglichkeit der heutigen Ta-schenrechner, das zuletzt berechnete Ergebnisnach Drücken anderer Tasten wieder in die Anzeige zu holen. Es ist die Taste ANS in Erst- oder Zweitbelegung zu drücken.Für die Aufgabe musst du diese Tastenfolgen benutzen:1. Eingabe von 2 in den Antwortspeicher: 2 Enter

2. fünfmalige Iteration der Wurzelfunktion:√ ANS = = = = =

3. fünfmalige Iteration der Quadratfunktion�2 = = = = =

Wiederhole das Experiment mit einer Funktiondeiner Wahl und deren Umkehrfunktion.

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Mathe-Welt 17

Berechne und erkläre die Ergebnisse.

1032 + 2 – 1032

10 … 01 + 0.4

10 ... 01 + 0.5

35

Falsche Ergebnisse können durch Tippfehler entste-hen, durch falsche Terme oder dadurch, dass der Ta-schenrechner nur mit endlich vielen Stellen rechnet.Die folgenden Abschnitte zeigen dir, wie du typischeFallen umgehen kannst.

Addition von Zahlensehr unterschiedlicherGröße vermeiden

Die folgenden Beispiele hängen teilweise von den An-zahlen der angezeigten und der intern benutzten Stel-len ab. Bei der Schreibweise 10 ... 01 sollst du bei dei-nem Taschenrechner alle Stellen der Anzeigeausnutzen, indem du anstelle der drei Punkte so vieleNullen eintippst, dass die letzte (rechte) Ziffer, dienoch in die Anzeige passt, eine 1 ist. Bei einer 10-stel-ligen Anzeige steht 10 ... 01 also für die Zahl 1 000 000 001.

Wie vermeide ich falsche Ergebnisse?

Wie rundet mein Taschenrechner?

Wenn du mit deinem Taschenrechner zwei Zahlen aund x addierst und anschließend a vom Ergebnis sub-trahierst, müsste eigentlich wieder x in der Anzeigeerscheinen. Meistens ist das auch der Fall. Wenn aund x aber geschickt gewählt sind, kannst du bei die-ser Rechnung etwas über das Rundungsverhalten dei-nes Taschenrechners erfahren.Tippe für a die Zahl 10 ... 01 ein. Der zweite Summandx wird so gewählt, dass die restlichen internen Ziffernaufgefüllt werden – bei einer 14-stelligen Mantisse al-so zwischen 0.0001 und 0.9999, bei einer 13-stelligenMantisse zwischen 0.001 und 0.999. Wie viele Stellendein Taschenrechner benutzt, hast du auf Seite 11anhand der Zahl π herausgefunden.Für eine systematische Untersuchung betrachtet manbei einer 14-stelligen Mantisse die Teilintervalle[0.0001; 0.000 9], [0.001; 0.499 9], [0.500 0; 0.999 0]und [0.999 1; 0.999 9]. Bei den meisten Taschenrech-nern stellt man fest: Für x aus dem 1. und 2. Intervall wird anstelle derSumme unverändert a angezeigt. Wird dann a subtra-hiert, steht für x aus dem 2. Intervall wieder x in derAnzeige. Für x aus dem 1. Intervall erscheint aber 0 inder Anzeige – hier werden die Schutzziffern gelöscht. Für x aus dem 3. und 4. Intervall wird bei der Summeaufgerundet zu 10 ... 02. Mit einem Trick kannst duauch sehen, was mit den internen Schutzziffern pas-siert ist: Wenn du den angezeigten Wert subtrahierst,also 10 ... 02, erhältst du als Ergebnis die Schutzzif-fern. Im dritten Fall werden die Schutzziffern beibe-halten, im 4. Fall dagegen gelöscht – das Ergebnis istnull.


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18 Mathe-Welt

Die Rundungstricksereimoderner Taschenrechner

Du kannst deinem Taschenrechner noch mindestenszwei Stellen weitere Stellen von entlocken, näm-lich ...37, oder auch mehr. Du musst dabei so vorge-hen, wie wir es auf Seite 11 mit π getan haben. Abermehr als 15 Stellen liefert zurzeit kein Taschenrech-ner. Wenn du die Zahl 1.414 213 562 neu eintippstund dann quadrierst, erhältst du die Anzeige 1.999999 999. Daran erkennst du, dass das Quadrat des 10-stelligen Näherungswertes für ein Näherungs-wert für 2 ist, nämlich in unserem Fall 1.999 999 999.Dagegen liefert die Tastenfolge ( √ 2 ) x 2 – 2 =

die Anzeige 0. Diese Anzeige wird durch ein trickrei-ches Rundungsverfahren erzeugt. Die neueren Ta-schenrechner zeigen 0 an, um deutlich zu machen,dass Quadrieren und Wurzelziehen eigentlich zuein-ander inverse Operationen sind. Dadurch wird derEindruck erweckt, dass der Taschenrechner auch mitreellen Zahlen genau rechnen kann. Du weißt aberschon, dass er bei zu vielen Stellen nur mit gerunde-ten Werten rechnet und die Ergebnisse gar nicht ge-nau sein können.Ältere Taschenrechner zeigten bei dieser Tastenfolge–10–13 oder Ähnliches an. Dieses Ergebnis ist völligkorrekt, da es den Unterschied zwischen dem Quadrateines Näherungswertes für und der Zahl 2 wie-dergibt.

2

2

2

Wenn die obige Tastenfolge vollständig eingegebenwird, dann beschreibt sie einen richtigen mathemati-schen Sachverhalt. Wird aber nur die Tastenfolge ( √ 2 ) = eingegeben, dann das Ergebnis 1.414 213562 abgelesen und dann die Tastenfolge x2 – 2 =

eingegeben, kann der Eindruck entstehen, dassdas Quadrat der angezeigten rationalen Zahl 1.414 213 562 genau den Wert 2 hat. Vor diesem ma-thematisch falschen Eindruck, der durch die Run-dungstrickserei mancher Taschenrechner entsteht,musst du dich hüten.Auch im folgenden Beispiel irritiert die beschriebeneRundungsautomatik.

Setze für a nacheinander 9 987 645 320, 9 987 645 321 und 9 987 645 322.Berechne (a : 3), (a : 3) · 3 und (a : 3) · 3 – a.

Als Quotient wird in allen drei Fällen3 329 218 107 angezeigt, obwohl nur die mittlereZahl durch 3 teilbar ist. Nach Multiplikationmit 3 erscheinen wieder die drei Eingabewerte inder Anzeige und 0 als Ergebnis der Subtraktion.

Überzeuge dich, dass im 1. und 3. Fall jeweils dieSchutzziffern gelöscht werden.

36

Die Wurzel aus 2

Mit wird jene Zahl bezeichnet, die mit

sich selbst multipliziert die Zahl 2 ergibt.Die so genannte Wurzel aus 2 ist keine ra-tionale Zahl, sondern eine reelle Zahl.Dies bedeutet, dass nicht als gemeiner

Bruch, nicht als endlicher Dezimalbruchund nicht als unendlicher periodischer Dezimalbruch geschrieben werden kann.Somit kann ein Taschenrechner nur ratio-nale Näherungswerte liefern, wie zum Beispiel den 10-stelligen Näherungswert1.414 213 562.

2

2


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Mathe-Welt 19

Subtraktion nahezugleich großer Zahlenvermeiden

Berechne in dem folgenden Ausdruck die 4. Potenz zuerst durch zweimaliges Quadrieren,dann mit der Potenzoperation (Yx).

9 · 108644 – 188174 + 2 · 188172

Berechne bei den folgenden Gleichungen jeweilsdie Differenz der Werte der beiden Seiten.

a) 918 = 99 · 99, 924 = 99 · 915

b) (a – b)2 = a2 – 2 · a · b + b2

für a : = 0.8 ... 85, b := 0.8 ... 84

Kannst du mit deinem Taschenrechner dasDistributivgesetz a · (b – c) = a · b – a · cbestätigen?

37

38

39

Wenn in einem Term zwei fast gleichgroßeZahlen voneinander subtrahiert werden,dann heben sich die vorderen Ziffern aufund die ungenauen, weil durch Runden ent-standenen Ziffern bestimmen mit ihrem Un-terschied das Ergebnis. Dieser Effekt heißtAuslöschung.

Es gilt = .

Das sieht kompliziert aus?

Erweitere den Bruch einfach mit ,

dann kannst du es selbst überprüfen.Berechne nun

mit dem Taschenrechner.

Wie ändert sich der Wert des Terms

für n � {0, 1, …., 9}.10 2.25 10 – 1.5n –n⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

126–15 3

– (26 15 3⋅

+ ⋅ )

26 15 3+

26 15 3+126 15 3–

40

41

a : 9 987 654 321, b : 11.234567898

= =

c : 11.234567899

=


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20 Mathe-Welt

Ergebnisse in Schrankenweisen

Du weißt sicher schon, dass man Größen nie ganz ge-nau messen kann: Wenn zum Beispiel fünf verschie-dene Leute messen, wie lang die Seite eines Blatts Pa-pier ist, werden nicht alle zum gleichen Ergebniskommen. Das liegt daran, dass man die letzte Stelleschätzen muss. Ein weiteres Beispiel ist das Ablesender Temperatur von einem Thermometer – es seidenn, das Thermometer hat eine digitale Anzeige,dann übernimmt das Thermometer das Abschätzender letzten Stelle.

In den folgenden Aufgaben sind die Zahlenwerte ge-messen. Sie sind also mit einer Messungenauigkeitbehaftet, die du angemessen abschätzen sollst. Für je-den Messwert hast du dann eine untere und obereSchranke, zwischen denen der exakte Wert liegt.Wenn du nun für den unteren und den oberen Wertdie Aufgabe berechnest, erhältst du die Werte, zwi-schen denen das Ergebnis liegt.Prüfe, ob dein Taschenrechner mit Listen rechnenkann, und versuche damit die Aufgaben zu rechnen.Ansonsten rechne die Aufgaben in der gewohntenWeise.

Ein Mopedfahrer fährt mit etwa 45 km/h einemRadfahrer nach, der schon eine halbe Stunde mit20 km/h unterwegs ist. Wann und nach wie vielKilometern kann er ihn einholen? Schätze erstund rechne dann kritisch.

42

Die Kantenlängen eines Quaders wurden gemes-sen zu 12.4 cm, 4.5 cm und 0.8 cm. Was ist einesinnvolle Volumenangabe: 40 cm3, 44.64 cm3,64.4 cm3, 45 cm3 oder 446.4 cm3?

Ein Gegenstand fällt in einen Schacht.Nach 5 Sekunden hört man den Aufprall.Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.Wie tief kann der Schacht sein, wenn für dieErdbeschleunigung und die Schallgeschwindig-keit die Paare (9.81 m/ s–2, 333 m/s–1) und (10 m/s–2, 340 m/s–1) angenommen werden?

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88

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8 8 8 8 8 8

Lösungen

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

356, 3.56, 356.

11.51, 11.51.

Casio fx-115 MS: –18, –18, 18, 18.Sharp EL-546L: –18, Error 1, 18, Error 1.TI-34 II: –18, Syntax Error, 18, Syntax Error.

Casio fx-115 MS: –16, Math Error, –2, –2, 0.04. Sharp EL-546L: –16, Error 2, –2, –2, 0.04.TI-34 II: –16, Domain Error, –2, –2, 0.04.

Casio fx-115 MS: 41 226, 823 4526.Sharp EL-546L: 41 226, Error 1.TI-34 II: 41/226, 0.181 838 268.

Casio fx-115 MS: 37 5 21,119 138, 5 2 9, 5.044 248 65.Sharp EL-546L: 37 5 21, 119 138, 32.111 111 11, 5.044 248 65.TI-34 II: 37 5/21, 119/138, 32 1/9, 5.044 248 65.

Casio fx-115 MS: 2 7, 0.5.Sharp EL-546L: Error 1, Error 1.TI-34 II: Syntax Error, 0.5.

Casio fx-115 MS: keine Änderungen nötigSharp EL-546L: ab/c ist durch ÷ zu ersetzen,TI-34 II: Pi/3, 3 / π , π 3 / 4 .

Casio fx-115 MS: Im Mode RAD liefert3 0 Shift Ans 1 0.523 598 775.Im Mode GRA liefert 3 0 Shift Ans 3

33. 333 333 33.Im Mode RAD liefert π ÷ 3 Shift Ans 1

60. Im Mode RAD liefert π ÷ 3 Shift Ans 3

66.666 666 67.Im Mode DEG liefert 1 0 0 Shift Ans 3 90.Im Mode RAD liefert 1 0 0 Shift Ans 2

2

5

1

3

1

15

2

7

1

4

1

28

2

11

1

6

1

662

17

1

9

1

153

2

19

1

10

1

190

2

23

1

12

1

2762

25

1

13

1

325

2

29

1

15

1

75

= + = + = +

= + = + = +

= + = +

, , ,

, , ,

, .

37

231.

31

710 3

16

11310

96 153

4673 510

96 66

2017 2510

2 6

2 2

− < − <

⋅ − < ⋅ − <

− −

− −

π π

π π

, ,

.,

..

Spielen

Drei gewinnt

Gegeben sind die Zahlreihen. 22 53 68

31 42 59

Der Spieler, der am Zug ist, wählt je eine Zahl aus deroberen und unteren Reihe, multipliziert sie mit demTaschenrechner und markiert mit seiner Farbe indem folgenden Feld

1040 3125 2221

1300 2105 4010

925 2860 685

jene Zahl, die dem Produkt am nächsten liegt undnoch nicht markiert ist. Wer zuerst drei Zahlen in ei-ner Zeile, Spalte oder Diagonalen markiert hat, istSieger.Schwierigere Variante:

Gegebene Zahlen Zielzahlen

Wer erreicht 999?

Der Spieler A tippt eine 3-stellige Zahl in den Ta-schenrechner ein, die der Spieler B nicht sieht. Dannnennt Spieler B eine Zahl, die Spieler A zu der ange-zeigten Zahl addiert. Ist die Summe kleiner als 999,so nennt Spieler A die Anzahl der vorkommendenNeunen ohne Angabe ihres Platzes und eine weiterevorkommende Ziffer.Wenn bei der Addition die Zielzahl 999 überschrittenwird, dann wird die letzte addierte Zahl wieder sub-trahiert, und ein neuer Versuch beginnt. Über die Zif-fern der zu großen Zahl wird nichts mitgeteilt.Der Versuch wird aber gezählt.Ziel von Spieler B ist es, mit möglichst wenigen Versu-chen auf die Zielzahl 999 zu kommen. Dann tauschenSpieler A und B die Rollen.Varianten: Spieler A gibt zu Beginn eine 4-stelligeoder 5-stellige Zahl ein, die Zielzahl ist dann 9999bzw. 99999.

13E6 0.32E8 2.1E7

17E6 230E5 4092E4

9E6 3E7 72E5

2274 5389 6821

3189 4275 5999

Mathe-Welt 21Fit mit dem Taschenrechner

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22 Mathe-Welt

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1.570 796 327.Sharp EL-546L: Im Mode DEG liefert3 0 2ndF DRG 0.523 598 775.Im Mode DEG liefert3 0 2ndF DRG 2ndF DRG 33.333 333 33Im Mode RAD liefert π ÷ 3 2ndF DRG

66.666 666 67.Im Mode RAD liefertπ ÷ 3 2ndF DRG 2ndF DRG 60.Im Mode GRAD liefert 1 0 0 2ndF DRG 90.Im Mode GRAD liefert1 0 0 2ndF DRG 2ndF DRG 1.570 796 327.TI-34 II: Die Einheit Neugrad ist nicht vorhanden.Im Mode RAD liefert 3 0 o’ ’’ = = Pi/6.Im Mode RAD liefert π ÷ 3 o’ ’’ = = 60.

63.878 055 56, 360.

0.01, 0.001, 1. � 10–10.

Casio fx-115 MS: 24,000,000.,–73,000., 0.000 137, 1. x 10–12, 0.000 000 01.Sharp EL-546L, TI-34 II: 24000000., –7300.,0.000 137, 1. x 10–12, 0.000 000 01.

Der Casio fx-115 MS stellt den Exponenten –2 inder Eingabezeile nicht hoch. Der Sharp EL-546Lschreibt anstelle der Basis 10 nur 1, von der derExponent 3 durch E getrennt ist.

1. � 10–99

a) Casio fx-115 MS: 0., 0., 0.000 000 001.Sharp EL-546L: 0., 0., 0.000 000 001.TI-34 II: 0., 0., 0.000 000 002.Die Regeln der Potenzrechnung liefern:2/(4 · 10 99) = 0.5 · 10 –99,2/(5 · 10 99) · 4 · 10 90 = 1.6 · 10–9 =(2 · 4 · 10 90)/5 · 10 99.

b) Casio fx-115 MS: Math Error, 0., 0.Sharp EL-546L: Error 2, 0., 0.TI-34 II: Overflow Error, 0., 0.Alle Taschenrechner zeigen fälschlicherweisenur das Überschreiten der oberen, nicht aber derunteren positiven Grenze des Zahlenbereichs an.Die wahren Ergebnisse erhältst du, indem dudie Exponenten der Zehnerpotenzen im Kopf berechnest:21.7 · 10100, 0.638 297 872 · 10–102, 0.2 · 10 –99.

c) Casio fx-115 MS: Math Error, Math Error.Sharp EL-546L: Error 2, Error 2.TI-34 II: Overflow Error, Overflow Error.Die Umformung (729/27)35/2734 –8152/27 69

liefert 24.

Casio fx-115 MS: Math Error, 5., Math Error, 9.424 777 961, Syntax Error.Sharp EL-546L: Error 2, 5., Error 2,

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22

21

23

24

25

9.424 777 961, 5.TI-34 II: Domain Error, 5., Divide By 0 Error,9.424 777 961, Syntax Error.

Bei einer 12-stelligen Mantisse erhältst du:0.666 666 666 667, 1.666 666 666 67,0.588 235 294 118, 0.012 345 679 0123,0.142 857 142 857, 1.414 213 562 37.

9.87/4.5/3.2 = 0.685 416 666, 0.152/1.253 ·2.781/0.0543 · 0.0345/3.375 = 0.063 509 543.

a) 6.906 252 628, 2.187 692 263, 1.235 717 083b) 7.006 492 322 · 10–46, 110.453 610 2c) 11.649 982 74.

Der 1. Term hat die Struktur . Division durch

ab liefert mit dem Ergebnis 0.678 372 569

Der 2. Term hat die Struktur .

Division durch ab liefert .

Wenn du den ersten Quotienten berechnest undmit Ans wieder in die Anzeige holst, erhältst dudas Ergebnis 1820.797 009.

Der 3. Term hat die Struktur . Division durch

a liefert mit dem Ergebnis 0.999 451 091.

Im 1. Term muss das innere Klammernpaar wegender Schaltungslogik des Taschenrechners nichteingetippt werden. a : ((b·c) : d) = a · d/b/c.Im 2. Term muss das innere Klammernpaar wegender Schaltungslogik des Taschenrechners nichteingetippt werden. a · ((b : c) · d) = a · c/b/d.Im 3. Term muss das äußere Klammernpaar wegen der Schaltungslogik des Taschenrechnersnicht eingetippt werden. (a : (b : c)) – d = a · c/b – d.Im 4. Term kann kein Klammernpaar weggelassenwerden.a : (b : (c + d) = a · c/b – a · d/b.

1.995 635 195 (= log 99);Da log (1/100 – log 10) zu log (–0.99) ausgewertetwird, und die Logarithmusfunktion nicht für negative Zahlen definiert ist, erfolgt eine Fehler-meldung.Mögliche Ergänzungen schließender Klammern:log(100) – log(10) = 1, log(1/100) – log(10) = –3.

1

1 + b a/

a

a b+

a

b

b

a+

a b

a b

2 2+⋅

1

1 1/ /b a−

a b

a b

⋅−


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d Fr

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Ver

lag,

200

7

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29

30

.

a) .

b)

Casio fx-115 MS und Sharp EL-546L:

: Das fehlende Multiplikationszeichen

bedingt eine implizite Multiplikation der 4 mitdem Inhalt des Speichers A, die vor dem Wurzel-

ziehen ausgeführt wird. : Das Wurzelzie-

hen wird vor der Multiplikation ausgeführt. Entsprechendes gilt für die restlichen Aufgabenmit den Ergebnissen: 1, 0.1, 1, 1, 0.1

TI-34 II: Da nach dem Wurzelzeichen sofort eineöffnende Klammer eingefügt wird, lassen sich dieTerme nicht ohne Klammern eingeben.Das Ergebnis hängt von der Stellung derschließenden Klammer ab.

Quadrieren und Kehrwertbilden werden vor derMultiplikation ausgeführt, sofern keine Klammerneine andere Auswertungsreihenfolge festlegen:0.01, 0.01, 1, 10 000, 10 000, 1, 1, 10 000, 10 000

Für alle auftretenden Funktionen ist widerlegt,dass die betreffende Funktion auf die Summe 13 + 14 angewandt das gleiche liefert, als wenn dieFunktion auf 13 und 14 getrennt angewandt wirdund dann die Ergebnisse addiert werden. Man sagtdie Funktion ist mit der Addition nicht verträglich.Dagegen scheinen die Funktionen Erheben in die 3. Potenz, Wurzelziehen und Kehrwertbilden mitder Multiplikation verträglich zu sein.Wegen 1013·14 = 10182 ≠ 1027 = 1013 · 1014, log (13 · 14) = 2.260 071 388 ≠ 1.276 721 706 = log 13 · log 14 und sin (13 · 14)=– 0.034 899 497 ≠ 0.054 420 585 = sin 13 · sin 14 sind die Potenzfunktion mit der Basis 10, die Logarithmusfunktion mit der Basis 10 und die Sinusfunktion nicht mit der Multiplikation verträglich.

4 20 4 200 1 0 1A A AB A B A B( ) → ( ) → ( ) → ( ) = ( ) ⋅ →, , , . ,

4 200⋅ →A

4 4 20A A= ( ) →

27 2 6 21

80 125

2 2 2 22

164096

1

3 93

162 161

1616

4

⋅ = −( ) = − = −

= ( ) = =

−, .

, ,

− = − − = − − + = −( ) = −( ) = −8 2 32 2 8 5 3 2 4 8 23 5 3 81

33

, , , ,

27 27 921

3 23( ) = =27

3243 27 27 9

2 2

3 23= = =, ,31

32

33

34

35

37

bestätigen, dass Quadrieren und Wurzelziehen nur für nichtnegative reelle Zahlen Umkehrfunktionen vonein-ander sind.

x → x3 und x → sind für alle reellen ZahlenUmkehrfunktionen voneinander.Die Kehrwertfunktion ist ihre eigene Umkehr-funktion.x → 10x und x → log x sind für positive reelle Zah-len Umkehrfunktionen voneinander.Die Funktionen sin und arcsin sind nur für reelleZahlen x mit –1 ≤ x ≤ 1 Umkehrfunktionen vonein-ander.

–2 liefert:

Casio fx-115 MS und Sharp EL-546L: –2.1·10–10.TI-34 II: 0.Das letzte Ergebnis 0 kommt durch besondereRundungsverfahren zustande. Jeder Taschenrech-ner berechnet für einen endlichen Dezimal-bruch als Näherungswert, dessen Quadrat von 2 verschieden ist. Dies gilt sinngemäß auch bei Iteration.

Der 1. Summand entsteht, wenn in den Term

für die Bremsbeschleunigung a der Wert 5 m/s2

und eingesetzt und 3.62 als Sicherheits-

reserve durch 10 ersetzt wird.Der 2. Summand berücksichtigt näherungsweiseden in der Schrecksekunde zurückgelegten Weg,bevor der Fahrer zu bremsen beginnt.

v[km/h] 30 40 50 60 70 80 90 100s[m] 18 28 40 54 70 88 108 130

v[km/h] 120 140 160 180 200s[m] 180 238 304 378 460

C –30 –18 –10 0 10 20 30 40 50F –22 –0.4 14 32 50 68 86 104 122

Die Rundungsautomatik bewirkt die folgenden Ergebnisse:0, 1 000 000 001, 1 000 000 002.

Der Wert des Ausdrucks ist 1. Es liefern:Casio fx-115 MS und Sharp EL-546L: –1 841 022 bzw. –841 022. TI-34 II: jedesmal –141 022.

vm s

3 6./

v

a

2

2

2

2

22222

x3

13 13 13 13 13 132 2 2 2= = −( ) = ≠ −und

.

.


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38

39

40

41

42

43

44

a) 0 b) 0

Für die Differenz der Terme auf beiden Seiten liefern Casio fx-115 MS und Sharp EL-546L:0.001 901 234.TI-34 II: –0.000 1.

Der Wert der Differenz ist 0.Es liefern Casio fx-115 MS und Sharp EL-546L: 0.000 000 18.TI-34 II: –0.000 000 009.

Alle Taschenrechner liefern ähnliche Werte.

n

0 0.302 775 6371 0.329 709 7162 0.332 963 7843 0.333 296 34 0.333 329 65 0.333 3336 0.333 337 0.333 38 0.3339 0.33

Für die Fahrzeit tM des Mopedfahrers und den Einholweg ergeben sich die Schranken22 min ≤ tM ≤ 26 min, 16 km ≤ sM ≤ 20 km.

45 cm3

Zu den Paaren (9.81 m/s2, 333 m/s) und (10 m/s2,340 m/s) ergeben sich die Tiefen 109.426 m und107.326 m.

10 2 25 10 1 5n n. ,+ −⎛⎝

⎞⎠

−


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MW 57 ML 118 S.17 24 · Rechner aus – der Abakus ist eine der ältesten ... Sto Adie zuletzt angezeigte Zahl – hier 0.1 – in den ... Ans. Dies ist der Name eines Speichers,