Natürliche Zahlen 2

Zahldarstellungen

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ÜberblickZiffernsystemeStellenwertsystemeo Verschiedene Baseno Umwandelno Rechnen in verschiedenen Systemen

curriculare Vorschriftenunterrichtliche Aspekte

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Zifferndarstellungen von ZahlenStrichlisteKerbholz

Vorteile: nur eine Ziffer notwendigNachteil: große Zahlen werden sehr lang und unübersichtlich

Bildquelle Kerbholz: (http://www.rechenhilfsmittel.de/index.htm)

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Zifferndarstellungen von Zahlen„Bierdeckelzählung“Kollektionseinheit 5Vor- und Nachteiles. Strichliste

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Zifferndarstellungen von ZahlenRömische Zahlzeichen

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Römische ZahlzeichenNachgewiesen seit ca. 100 v.Chr.Bis ins Mittelalter verwendet (mit Abwandlungen)Vorteile:einfachNachteile: Große Zahlen und Multiplikation/Division umständlich

1000M

500D100C

50L

10X

5V1I

WertZahl-zeichen

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Römische ZahlzeichenZiffern werden der Größe nach sortiert (MMVI)„Stellenwertansätze“ im Mittelalter (MDCCCCXCIX)Stellenwertansatzo Steht eine kleinere Ziffer links von einer größeren,

so wird der ihr Wert von der größeren abgezogen (IX entspricht 9)

o Es dürfen jeweils nur die nächst kleineren Zehnerpotenzen vor einer größeren Ziffer stehen.

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Rechnen auf der Linie / Abakus

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Klassisches StellenwertsystemDefinition:Gegeben sei eine Zahl b aus N, b ≥ 2 , genannt die Basis. Eine Zahl a aus N heißt im Stellenwertsystem zur Basis b dargestellt, wenn gilt:Es gibt eine Zahl k ≥ 0, wobei k+1 die Anzahl der Stellen ist, und dieZahlen z0, z1,..., zk ∈N, die Ziffernwerte, mit 0 ≤ zi < b für alle i, so dass gilt:

a = zkbk + zk-1bk-1 + ... + z2b2 + z1b + z0 =j

k

0jjbz∑

=

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Klassisches StellenwertsystemUnterscheidung:

Eine Zahl Zweitausenddreihundertfünfunfsechzigo wird notiert als Zahlwort, z.B. 2 356o besteht aus den Ziffern 2, 3, 5 und 6o besitzt den Zahlwert 2*103 + 3*102 + 5*10 + 6 im

Zehnersystemo Besitzt den Zahlwert 2*73 + 3*72 + 5*7 + 6 im

Siebenersystem (2356)7

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Adam Riess: Zählen

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Adam Riess: Null

Die Zahl Null wird in jedem Stellenwertsystem mit dem Zeichen 0 geschrieben.

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Adam Riess: Null„Die 0 Null / wann sie allein stehet / so bedeut sie nichts; wann sie aber anderen Ziffern zugesezet wird / macht sie dieselbigen umb so viel mal zehen / oder hundert/ oder Tausend/ec. mehr bedeutende.Zum Exempel: Wann sie gesezt wird zu der Figur 1/ also: 10 / das bedeutet zehen; nach der 2 / also 20 bedeutet zwanzig / und so fort / 30 dreissig / 40 vierzig / ec. Werden denn einer Figur zwei Null zugesezt / so bedeut dieselbe so viel mal hundert / als: 100 hundert“Die Zahl Null wird in jedem Stellenwertsystem mit dem

Zeichen 0 geschrieben.

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ZehnersystemBasis: b = 10, Ziffern: 0,1,2, …, 9 Aus Indien ca. 600 n. Chr.Meist verbreitetes ZahlensystemVorteile: o Aufwand für Rechenverfahren gut im Bezug zur

Länge der ZahlenNachteile: Man braucht „viele“ Zeichen

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DualsystemBasis: b = 2, Ziffern: 0, IErfinder: Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 – 1716Anwendung: Digitaltechnik, elektronische DatenverarbeitungVorteile: o einfache Rechenverfahreno Gut darstellbar

Nachteile:o Zahlen sehr lang und übersichtlich

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HexadezimalsystemBasis: b = 16, Ziffern: 0, 1, 2, … 9, A, B, C, D, E, FAnwendung: elektronische Datenverarbeitung, Kodierung von Farbwerten (z.B. RGB-Wert#AA9911)Vorteile: o Einfache Darstellung von „bits“o Gut darstellbar

Nachteile:o Kopfrechnen kompliziert

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Umwandlung – 1Zahlwert (Dezimalsystem) in Zahlwort im System der

Basis b194 -> (…)5

Bündeln – immer die 5 ausklammern soweit es geht194 = 190 + 4 = (38 × 5) + 4 = (35 + 3) × 5 + 4= (7 × 5 + 3) × 5 + 4 = ((5 + 2) × 5 + 3) × 5 + 4= ((1 × 5 + 2) × 5 + 3) × 5 + 4= (((0 × 5 + 1) × 5 + 2) × 5 + 3) × 5 + 4= 1×53 + 2×52 + 3×5 + 4 = (1234)5

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Umwandlung – 2Zahlwort im System der Basis b in Zahlwert im

Dezimalsystem(10221)3 -> ???Entbündeln – Klammern von innen nach außen berechnen(10221)3 = ((((0 × 3 + 1) × 3 + 0) × 3 + 2) × 3 + 2) × 3 + 1= (((3 × 3 + 2) × 3 + 2) × 3 + 1= ((11 × 3 + 2) × 3 + 1 = 35 × 3 + 1 = 105 + 1 = 106

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AufgabenWie lautet das Zahlwort von 492 im Siebenersystem? Verwenden Sie dazu die Bündel-Methode!Wie lautet der Zahlwert im Dezimalsystem der Zahl (24A09)16 ? Entbündeln Sie das Zahlwort.

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AufgabeIn welchen Zahlensystem rechnen diese beiden?

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Reflexion des LernerlebnissesWas wissen Sie jetzt, was Sie vorher noch nicht wussten?Wo hatten Sie Probleme beim Verstehen?Hätten Sie es schneller / einfacher verstehen können?Was hat / hätte Ihnen dabei geholfen?

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Curriculare Vorschriften – 1Allg. Ziel: Erkennen des strukturellen Aufbaus des ZehnersystemsKMK Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss Leitidee Zahl (Auszug)o Die Schülerinnen und Schüler

• stellen Zahlen der Situation angemessen dar, unter anderem in Zehnerpotenzschreibweise,

• wählen, beschreiben und bewerten Vorgehensweisen und Verfahren, denen Algorithmen bzw. Kalküle zu Grunde liegen,

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Stufenzahlen / ZahlenriesenEigentlich die Potenzen der Basen, aber manchmal auch Kollektionseinheiten (10, 100, 1000,… oder 12, 144,… oder 60, 3600,… oder 5, 10, 50, 100, …)Zahlenriesen:o Zahlenraum bis zu einer Billion (auch Zahlen in

Worten ausschreiben)o Exponentiales Wachstum (Reiskornaufgabe)o „Rekordzahlen“ (z.B. Seiten im Internet,…)

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Unterrichtliche AspekteVerfremdungseffekte nutzeno römische / ägyptische Ziffernsystemeo Dualsysteme / Fünfersystem (Gymnasium)

Sehr wichtig für alle Rechenverfahren und besonders die Bruchrechnung Nicht unbedingt am Anfang des Schuljahrs Geeignet für Projektarbeit / offene Unterrichtsformen

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Dankefür Ihre

Aufmerksamkeit