Neue zahlentheoretische Abschätzungen

Neue zahlentheoretische Abschiitzungen. V o n

J. G. van der Corput in Groningen (Niederlande).

Einleitung.

Die zur Zeit sch~irfsten Gitterpunktabsch~itzungen kSnnen fast aUe abge]eitet werden aus dem folgenden Satzel):

Satz 1. Unter den Vora~ssetzungen B u~d C' gibt es eine absolute Konsta~te c~ mit der Eigenschaft

b

i ~ ~(f(n)) <c~ If"(u) -~ a ~- b a

Hierin haben B and C' folgende Bedeutung:

f B.

C'.

Es habe die reelle l~unktion ~(v) die Periode 1; es sei ~ (v) absolut ~ 1, im Intervall 0 < v < 1 monoton, und es sei

e

1

. ; , p ( , , ) e , , = o. 0

Es sei a -n t- 1 ~ b, f (u) ira Intervall'a ~ u ~ b reell, zweimal differentiierbaz.~), f" (u) monoton, stets positiv oder stets negativS).

~) J. G. van der Cox, put: ZahI~t~eoretische Absohatzungen mi~ Anu~endu~g auf GitterpunMprobleme (Sa~ 5); diese Axbeit wixd demniiehst in der Mathematiaehen Zeiteohrift ereoheinen. ~ t ~ . JItNm~P. / ) r . ~ . ~,ff~

2) In den Endpu~cen eventuell nur eineeit]g. s) In der in Fugnote a) genannten Arbeit h~be ieh eine VorauEeetzlmg (3 einge-

fiihrt, die Voraussetzun$ C' ale SpezialfM1 ( k = 2 ) enthttlt. Zwar werden ebendort a - ~ und b - ~ ganz vorausgesetzt~ abet talls (1) unter dieeer sch~.rfe~en Voraus- eetzung bewiesen let, grit eie Mlgemein mit e~+ 2 atatt c:. Denn es ist

b ~ 1 1 > 1 ,

(Fortsetzung de~ Ful3note 8 auf der n~tehsten SeRe.)

216 J .G. van der Corput.

Der Hauptzweck dieser Arbeit ist zu zeigen, dall in der rechten

Seite yon ( 1 ) I f " ( u ) ] ~ durch eine hShere Potenz yon I f " ( u ) l ersetzt werden kann, wenn C' ersetzt wird durch eine Voraussetzung, dis zwar schiirfer als C', abet bei allen bis jetzt untersuchten Anwendungen von Satz 1 erfiillt ist. Diese Voraussetzung lautet"

D.

Es sei Voraussetzung C' erfiillt; es sei ~/> 0, ~1' > 0, k ganz > 2, f(u) im Intervall a < u ~ b k + l-real diiierentiierbarS); es sei

(2) I f"(u)l<=lf"Eu)l ~+'' (a~u<__b) ,

und jedes System yon k - 1 nicht-negativen ganzen Zahlen h x, h~, . . . , hk_ x mi t e iner S u m m e --~ k - - 1 habe die E i g e n s e h a f t

(3) ]f~h'+~)(u)'f(a'+~)(U)'''f'1'k-'+~)(U)l <= i f " (U)[ ~I'-1+' (a~u<__b) .

Der ttauptsatz dieser Arbeit ist dann

Satz 2. Unter den Voraussetzungen B und D gibt es eine hdchstens nur yon k abMingige Zahl c~ und eine hdchstens nur yon k, ~ und ~' abMingige positive Zahl co mit der Eigenscha/t

b

J ! (f 1 ) 1 _~ f " . (4) ,,_<_ ,,__< v,(f(n)) < % ,~ lf"(u)[~+'~ V]f"(a) l VI (b) l

- - ~ dieses Satzes kann man Mit dem SpezialfalI y~ (v) = v - - [V] fast alle bib jetzt bekannten Gitterpunktabseh~itzungen verseh~irfen. Aullerdem werde ieh in dieser Arbeit aueh noeh die entsprechenden Ab- sehiitzungen ableiten, wobei jeder Gitterpunkt (u, v) nieht mit dem ,,Ge- wiehte" 1, abet mit dem komplexen Gewiehte e~(~-+s~) in Anschlag gebraeht wird; hierin bezeiehnen 2 und ~t beliebige reelle Konstanten.

Es werden in dieser Einleitung nur einige Anwendungen erwiihnt; in diesen Anwendungen bezeichnet O eine geeignet gew~ihlte absolute Konstante < ~

je n~ohdem Min ]f"(u)]> oder ~ 1 ist. Ungleioi/urig '(I) ist also trivial, fails a ~ u ~ b

b- -a~ 2, und. sonst gilt ( l ) mit a = [ a + �89 und fl = [ b § ~ ] - ~ st~tt a und b, also

1 2" v,(f(n))I<l 2" v,(f(n))l+2 a<-n~a a < n < ~

b

, < (c, + ~) ( f If" (,01 ~" du + 1 1

Vj f'(~)t + gl f'~cb) i i)"

Neue zahlentheoretische Absch~tzungen. 217

I. (Ellipse.) Die Anzahl der Gitterpurqkte im Innern und auf dem Rande der Ellipse

(5) a~ ~ 2 a ~ u v ~ a . 2 ~ v ~ + 2 a ~ s u . 4 - 2 a ~ s v ~ a ~ s ~ x

(wobei die Koeffizieaten links unabh~ngig yon x vorausgese~zt werden) is~

+ ~/a~ a~ -- ai~

falls ~ and ~t nieht beide ganz sind, ist die fiber die Koordinatenpaare u and v dieser Gitterpunkte erstreckte Summe

Bis jetzt waren diese hbseh~itzungen nut mit dem Restgliecle 0 (x ~) bekaant and zwar in einem Spezialfall yon Herrn Sierpifiski ~), allgemein yon I-Ierrn Landau ~).

II. (Sektor.) Es sei z > 0; es werde ein Sektor, dessea Spitze im Koordinatenursprang liegt, begrenzt yon zwei nicht zasammenfallendea Strecken v - - m ~ u und v - - m z u , und yon einem Bogen eines Kegel- schnittes

V2

hierbei wird vorausgesetzt, da~ rex, m~, a~v axe, a~ unabh~,ngig yon x, und da~ m~ und mz rational sind.

Under dies~n Voraussetzungen gilt folgende Eigensehaft: Falls die Gitterpunkte auf den zwei Strecken nur halb in Anschlag gebracht werden, dann ist die Anzahl der Oitterpunkte im Innern und auf dora Rande des 8ektors gleieh

+ O(xO),

wo ~s uaabhi~agig yon x ist.

4) In der Arbeit: 0 pew~m zaga~niengu z raeh~nltu fwnckcyj asym#otyczny& [Prazo matematyozno-fizyczno 17 (1906), 8. 77-118] boweist Herr W. Sierpifiski, d ~ die Auzahl der Oitterpunkte im Innern und auf dora Rande des Kreises

s]eioh 5) E. Landau: Z~tr anaIy~iseben Zahlertthe~i, der defirdtett qua~ratischen Formez~

(O'bcr din q i t t e r~k t r ia e i ~ mdtrdimcasiottaltn ~2~ipsoid) [Sitzungsberioht~ der K~niglioh Prealtisohen Akademie der WiM~n~f~n, physik~lisch-msthemstisohe Klasse (1915), S. 458-476 ], S. 459 461.

~bee eine-Aufyabe a ~ d, tr ~heor~e &r quadrat~chen 2'orme~ [Sitzung,beriohte der Kaiserliohea Akademie der Wissensohafften in Wien, methem.-naturw. Klasse 12|, Abt. Ha -(-1915)', 8~%45-468], S. 4 4 5 ~

~'ber, ,d~ ,A~aM der ( ~ t t e ~ m ~ e 4ta ~sw~sea. ~ore~he~ ( Zweite Abhandlung) [Naohrioh~n von'~der K/~nigliehen Geseltsehaft,-der Wiesensohaften zu GSt~ngen, mathematisoh-phy,lkalisohe Klasse (1915~, S. 209-248], S. 282-235.


Bis jetzt war diese Abschiitzung nur mit dem Restgliede O(x;) bekannt, und zwar in einem Spezialfall von Herrn Hammersteine), allgemein von mir 7).

Aus I und II k6nnen folgende Eigenschaften abgeleitet werden, die bis jetzt nur mit dem Restgliede O(z~) start O(x o) bekannt waren:

In jedem quadratischen ZahlkSrper x ist die Anzahl der Ideale einer gegebenen Klasse mit Norm ~ x gleich

}'~r X

h + O(xO);

h ist die Anzahl der Klassen des KSrpers, und O~

1

Symbol bezeiehnet.

Im KSrper ~ ist also die Anzahl der Ideale mit Norm _~ x gleieh

III. (Teilerproblem). Es bezeiehne T(n ) die Anzahl der Teiler der positiven ganzen Zahl n, T(x) die summatorisehe Funktion

n ~ _ ~ #~<5 x

C die Eulersche Konstante, und A(x) die Funktion

Uber Dirichlets Ergebnis

z o(V )

war erst Voronoi s) hinausgekommen, indem er

,~ ( x) = O ( xt~ log x) bewies.

(7)

Aus Satz 2 folgt

( x > 0 ,

(x > o).

e) A. Hammersteia: Zw d Beitrtige ~ur Zahlentheorie, Inauguraldissertstion ( 1919), G6ttingen.

v) j . G. van der Corput: Over Iloosterpunten in her platte vlak (De beteekenis van de methodm van Vorona~ en t~feiffer), Inauguraldissertation (1919), Leiden, S. 63.

�9 e) G. Voronoh Sur un probl~me du calcul des fonctions asymptotiques [Journal fiir die reine mad angewandte Mathematik 126 (1903), S. 241-282], S. 243.

Neue zahlentheoretische Abschhtzungen. 219

diese kbsch~itzung ]st sch~irfer als das Voronoische Resultat, aber weniger scharf als die yon mir 9) bewiesene Beziehung

~ (x) = O(x~ aa

O' wo geeignet gewiihlte < i0-6 eine absolute Konstante bezeichnet.

Bemerkungen tiber die S~itze 1 und 2.

Dem Beweise yon Satz 2 werden einige Bemerkungen fiber die S~itze 1 und 2 vorausgeschickt.

Um Satz 1 zu beweisen, habe ich 1~ folgende Voraussetzung ein- gefiihrt"

i Essei a - - ~ und b - - ~ ganz, a < b , f(u) i m I n t e r v a l l a ~ u ~ b reell, differentiierbar'a), f'(u) best~ndig wachsend oder bestii, ndig abnehmend. Es sei flit a ~ u l < u ~ b

A. (8) f'(u~)--f'(ul)u=_u~ stets ~0_ bzw. stets _~_ - -0 ,

wo 0 eine yon u~ und u.~ unabh~ngige positive Konstante ~ 1 bezeichnet 11).

Der Beweis yon Satz 1 stfitzt sich dann auf den folgenden Satz ~)"

9) j. G. van der Corput: Versehdrfung der Abschdtzu~g b~im Tdlc, rprobl6m [ Mathematische Annalen 87 (I922), S. 89-65], S. 39.

lo) j . G. van der Corput: Zahlentheoretiache Abschg~tzunger~ [ Mathematische hn- nalen 84 (1921), S. 53--79], S. 54.

n) (8) ist z. B. eriiillt, wenn f ' (u) vorhanden und best~ndig ~_ ~, bzw. be- stiindig ~ - ~ ) ist; denn dann ist

f' (u~)-f'(u~)=(u~-u,)f"(~)~e(u~-u~), bzw. ~-0(u~-u~) (u~<~<u~). ~e) Vgl. die in FuBnote ~o) genannte hrbeit S. 54 und 62. Wenn in Voraua-

setzung A die Bedingung, dab a--�89 und b--�89 ganz sind, fortgelas~en wird, folgt aus Satz 3

1 Z e~=~f(n) l < 6 " I f ' (b)-- f ' (a) l+l

Um diese Ungleichung zu beweisen, dSrfen wir b--a ~ 5 vor~ussetzen (da die Be-

gesetzt wird, ist a ~ a ~ ~ "~ b, so dab aus Sat;z 3 folgt

I ~ e~'~f(")]< 4" If'(~)-f'(=)l+l

2 al~o wegon 2 ~< ~.

I <~n<' e"~'f(n) l ~ 4 " ]f '(b)--f '(a)[+l

<4 . If'(b)-f'(a)[+l

+ 2 ~ 6 , If '(~)-f '(a)l+l


Satz 3. Unter Voraussetzung A ist

I Z e~nif(n)] < 4"If'(b)-f'(a)]+l ~<~<b ~/~

Es ist klar, dab man hieraus unter gewissen Bedingungen eine obere Schranke ableiten kann fiir die Summe

(9) I 2' a < n ~ b

wenn W(v) in eine Fouriersche Reihe O5

mit ~o=0 entwickelbar ist, indem man in (9) ~(f(n)) mittels (10) in eine Fouriersche Reihe entwickelt, uncl dana Satz 3 mit ]m I �9 f (u) statt f (u) anwendet auf jedes Glied dieser Entwicklung, worin l mlo ~ 1 ist.

OO

Diese Methode liefert z. B..sehr genaue s163 wenn ~ [a~ I )/I m!

konvergiert, aber sie fiihrt nicht unmittelbar zum gewiinschtea Zweck, falls nut gegeben ist, dab ~(v) Voraussetzung B erfiillt. Zwar ist dann V(v) in eine Fourierreihe (10) entwickelbar, abet vielleicht mit /kus- nahme hSchstens abz~ihlbar unendlich vieler Punkte, und aul~erdem wiirde die Methode divergente Reihen geben, da die Koeffizienten a m langsam abnehmen kSnnen (aus Voraussetzung B folgt nut, dab

a ~ " 0(~-~])

ist). Darum betrachten wir, wenn Voraussetzung B gegeben ist, sta~ yJ(v) die F unktion +1_

- - #

~'(v)=t f v ( v + y ) d y , o

wo t eine positive Zahl ist. Diese Funktion ist fiir jeden .Wert yon v in eine Fourierscho Reihe

~ ( v ) - - ~ A,,,e ~'''~"

mit Ao= 0 entwickelbar, und bei gegebenem t i s t

_4,,,----0 -~ .

Die angegel~neMethod~ ist a~ ~(v) anwendbar und gibt dannY}:

�9 *9 Eine Ver~Ilgemeinerung dieses Satzes kann der-Leser in der in FuBnote ~o~ genannten Arbeit, 8.67-finden.


S a tz 4. Unter den Voraussetzungen A und B ist

I ~ ~s( f (n)) l<14~t ' l f ' (bb- f ' (a) l+15 I , v ' ~ " a4n~b

Mit diesem Satze kann man Satz 1 beweisen~).

U m Satz 2 abzuleiten, miissen wit die S~tze 3 und 4 dutch sch~irfere ersetzen. Satz 4 wird dabei ersetzt dutch

Sa tz 5. Falls .R > 1 ist, die Voraussetzungen B und D gelten, und im IntervaU a ~ u ~ b

(11) 1 t, 1 2~_~lf (u) 1 "<: ~

ist, so hat bei geeignet gewiihlten

die Zahl t = R ~+~ die Eigensehaft

c, = v t (k) und

~( f (n ) ) < c,. u + ~/B . a~n~=b

Genau auf dieselbe Art wie Satz 1 aus Satz 4 folgt, so folgt auch Satz 2 aus Satz 5, so da6 es geniigt, den "letzten Satz zu beweisen.

Um Satz 3 zu versch~irfen, liegt es jetzt auf der Hand zu unter- suehen, ob es, falls 2~ > 1 ist, und Voraussetzung D sowie (11) gelten, m6glich ist, zwei hSchstens nur yon k, V und ~' abh/ingige positive Zahlen c a und co' zu finden mit der Eigenschaft

b - - a

Es ist sehr leicht ein Gegenbeispiel zu geben. Es sei n~imlich q > 2 eine ganze Zahl ~ 2 (rood 4), s irgendeine ganze Zahl, und es werde gesetzt

1 u g I ~/, 1 b s q A - ~ , - - R - - q, . a = ~ , = f ( ~ ) == q , ~ ~ - - = 1

Dann ist R > 1; da die linken Seiten yon (2) und (3) verschwinden, gilt Voraussetzung D, und auch (11) ist erfiiHt.

Bekanntlich beweis* man g a n z elementar

"" { I Z e , , , , t ( n , l _ . l s ~ e , ~ , , ~ l - ~/2.a~/~" falls q - - - -0 (mod4) , . a<-._~b . = l 8 l/q" fal ls q 1 (rood 2 ) ,

1~) Denn in der ha Fuilnote 10) erwghntet~ Arbeit wird auf S. 68 eiae Anwendung yon Satz 4 gegeben, und in der in Fui3note t) genannten Abhandlung wird Satz 1 aus dieser Anwendung ~bgaled~t.

222 J.G. van der Corput.

also

(13) ' l / q b - a l b - a ; ~ 2 : t i f ( n ) ~ S ~ . . . . . V . . . .

- - 1 * a~=n<=b V'q 2 ~ .2

Es ist unmittelbar ldar, dal~ wegen ~'~> 0 die Ungleichungen (12) und (13) bei geeignet gewghlten R und b - a miteinander in Wider- spruch sind.

Aus diesem Gegenbeispiel ergibt sich, dal~ Satz 3 nicht auf die ge- nalmte Art zu verschgrfen ist. Die alte Methode, die sich auf Satz 3 stiitzt, gibt dann auch in vielen Fs dieselben Ergebnisse wie die neue Methode, die bier entwickelt werden wird. Wenn z. B. f ( u ) Voraussetzung D erfiill~, und V(v) in die Fouriersche Reihe (10) entwickelbar ist, wobei

die Konvergenz der Reihe _~Ja mi. Y'lmJ vorausgesetzt wird, dann gibt

die ne~e bieChode bei der Absch~tzung der Summe (9) dasselbe Restglied wie die alte Methode, abet die neue Methode ist eben in vielen F/illen

~o

sch~irfer, wo die Konvergenz der Reihe Z l a,~ I" 1/I m l nicht vorausgesetzt

wird. Einfachheitshalber wird in dieser ArbeJ, nur der Fall betrachtet, da$ ~(v) Voraussetzung B erfiillt.

Um die neue Methode zu entwicl~eln, ersetzen wit Satz 3 dutch den folgenden bekannten Satz~) �9

Satz 6. Es sei a < b, F ( n ) im Intervall a <=n <=b de/iniert, redl und dreimal di]]erentiierbar2), .Y"(n) stets positiv oder stets negativ, A = Min (F'(a), F'(b)) , B--- Max(F ' (a ) ,F ' (b ) ) , so daft zu ]edem , , i m Intervall A ~ v ~ B die Zahl n, eiadeutig bestimmt ist durch die Be- ziehungen F' ( n,) .~ ~,, a ~ n, ~ b. .Es sei im Intervall a ~ n _< b

u'a F~, F s und % yon n unabhdngi9 sind. Dann 9ibt es eine h6chstens nut yon c~ abh~ngige Zahl c; mit der

Eigenscha]t , + ;it: 2 =~ (F (..) - - ,,n.)

Z e ~ t ' ~ " ' - - e - ~ - ~ ~, e a<=.<_b A<=,~_B ]/I F"(n,)] �9

<c_. + l o g i 2 + ( b - - a ) F ~ ) + ( b - - a) ~/F~F. . . . . ;

hierin wird das + . oder ---Zeichen benutzt, ]e nachdem F " ( n ) stets ~ositiv oder stets negativ ist.

Aus dem Obenstehenden folgt, alas es fiir den Beweis yon Sa~z 2'. hinreicht, Satz 5 aus Satz 6 abzuleiten. Wie schon in der Einleitung be-

~b) Vgl. die in Fu/3note 9) genannte Arbeit, S. 43.

Neue zahlentheoretische Abschiitzungen. 223

n a e r k t wurde, sind fast alle zur Zeit bekannt0n Gitterpunktabsohiitzungen na i t Sara 2 zu versch~rfen. Um aueh die Gitterpunktprobleme, in denen konxplexe Gewichte auftreten, bequem behaadeln zu kSrmen, fiihren wir fo lgende Definition ein:

De f in i t i on . Es sei a - - � 8 9 b 1_ - -2 , r - } gain; t e r v a l l a ~ u ~ b reell, differentiierbar ~) und ~ Y-

~_ ~ ,u = ~, und im Falle l =t= 0 werde

a < b, f (u) im In-

e ~€ i a]t) g ( U ) - - 2 i s in~l ( f ( u ) - y -It- ~- f'(u) cotg ( a ,~u ~ b )

g e s e t z t .

Unter diesen Vomussetzuagen bezeichae 0 den Bereich a ~ u < b,

Z .~ v ~ f(u) , A ((~) die Summe 2 , ~'(~u+~') erstreckt fiber die Koordi. n a t e n p a a r e u und ~ der Oitterpunk~o yon q, und es worde gesetzt

T(G)---A(G)-- f f dudv 0

- - X ( G ) - - g ( b ) + g ( a )

= A ( O ) i""'"'(b--~) 2 siaa#

=A(a)

falls i = p ~ 0;

fails i + 0 , p = 0 ;

falls 2 = 0 , p ~ 0 ;

falls 2 + 0 , p + 0 .

Aus Sa~z 3 ergibt sioh night nu~ 8atz 4, sondera auoh der folg~&

allgemeinere Satz ~): Sa t z 7. Under den Vorausse~zungen A uad B ~ /r jed~s $ > 0

§ - - t

a < a ~ b 0

Mittels dieses Satzes kann man beweisen*7):

Satz 8. Es sei Voraussa~g C' er/aUt; e~ ad - ~ ~ 1 ~ ~,

a ~ u ~ b, und es bezeivhne G den Bereich a ~ u ~ b, ? ~ v ~ f(u). ~at l s f~ = 0 i85, gib~ e~ eine h4ehs~en~ nut yon I a b h ~ i g e ZaTd

m i t de'," Eiger~sc,]~/~

i ~ . ( a ) l < r (I f"(-) t~ + I f"(u) I) du + ~ - ~ ~ + y 1

16) Sa~ 7 ist die in FuB~ote "~) erw"ahute Ve~llgemeinemng yon ~ 4. �9 ~) Auf S. 68 der in Ful3note ~o) ge~nnten Arbeit kommt nilmlioh ein Satg vet,

d e r ebendort aus Satz 7 ~l~geleite~ w o r t h ist, und eros diesem ~ babe i ~ in d ~ i n h i ]no t e ~) gena~ten Abh~ndlu~8 S~z 8 abge!eitet.

224 J . G . van der Corput.

Falls # + 0 ist, gibt es eine hdch~tens nur van ~ und I~ abhdngige Kanstante c 9 mit der Eigenschaf$

b

(f ) _ 1 _~ f " ( . ,," lf"(u)ltdu+v[_f,,(,,)l V'l b)l

Diesen Satz (aus dem fast alle bis jetzt bekannten Absch~itzungen flit Gitterpunkte mit komplexen Gewichten abgeleitet werden k5nnen) werden wir in dieser Arbeit fo]gendermaflen versch~iffen:

Satz 9. Wenn im vorigen Satz Voraussetzung C' dutch D ersetzt wird, darf in den rechten Seiten der BehauTtungen der ExTo~ent �89 dutch ~ + eo erselzt werden, wo a~ eine geeignet gewdhlte, hSchstens nut

yon k, ~1 und ~1' abhdngige positive Zahl bezeichnet; die Koe//izienten c s u n d c 9 werden dann ersetzt durch einen 2EoeHizient Clo , der hSchstens yon k, 2 und t~ abhdngt.

Mit dieser Versch~fung kann man aUe aus Satz 8 abgeleiteten Ab- schiitzungen verbessern. Genau wie Satz 8 mittels Satz 7 bewiesen worden ist, kann man Satz 9 ableiten aus

S atz 10. Wenn die Voraussetzungen yon Satz 5 er/iillt Bind, und ~!~2<~'~ --2, ~P~_�89 ist, sohatbeigeeignetgewdhltencll ~ cll (k, 2, #)

u~d c o - co(k, ~1, ~1') > 0 die Zahl t-~ 1~ i+~ die Eigenscha/t 1 + -

" C

(14) , l,~, e'"'(~"+~'f(")) f ~( f (n) + y)dy[ < e,l ( .~ -~ , + V ~ ) . a<-<-"<--b 0

Da der letzte Satz Satz 5 als Spezialfall enth~ilt, brauchen wir nur Satz 10 zu beweisen.

Hiitssiitze.

Um Satz 10 aus Satz 6 abzuhiten, brauchen wir verschiedene Hilfss/itze.

H i l f s s a t z 1. Bs sei x a > O ; a + l 3x~, f (n ) /iir jedes ganze n im IntervaU a ~ n ~ b de]iniert und reell, und es sei ]iir jedes ganze g,+ 0 im lntervall ~ xt < g < x,

a < _ 4 voraus, da die linke Seite der letzten Ungleichtmg sonst ~ b - a ~ 1


< 2 ( b - - a ) < 4-b--a --:_- ist. Es geniigt unter der weiteren Voraussetzung " - - ~ / X l

da~ a - ~ und b - �89 ganz sind, zu beweisen

16) I Z < 3"b-~ I a ~ n ~ b ~] ~I

Denn es werde im allgemeinen Fall a ~ [a + -~] d- -~ and fl ~ [b + ~] -- ~, also t t ~ t ~ < : a d - 1 und b - - l < f l ~ b gesetzt. Wegen b - - a > 3 z ~ > 4 8

28 (b - a) > s6 ist fl - - a > b -- a -- 2 > 24 :~w (b -- a), also

b - a < ~ - a und fl - - g :> 4-9 4 9 xl -- X 1 - 36

so daft die Voraussetzungen yon Hilfasatz 1 mit r statt a, mit ff start b 36 und m i t ~-~z 1 start z~ erfiillt sind. Am (16) folgt dann

i Z e,.,f,,,,l <= 3. , - ,~ 7 b -a

b-- a. 3 x~ > 4 die Ungleiohung so dal~ w e g e n - ~

7 b:~a_~_ 1 b - a b - a

gilt. H ie rmi t ist ge~eigt, dall es gentigt (16) zu beweisen, unter der Vo~aussetzung, dall a - ] und b - ~ ganz sind.

E s wercle gesetzt ~+H-I

( 1 7 ) H = [ z ~ ] d - 1 , Sh--I eS.~f~,~ (a<h<b--H.d. -1; /~ ganz): #t---h

D a n n gil t wegen b - a > 3 x~ :> 2 ( H - 1) die Ungleichung

a + H -- l .< b - H-{-1, und es is t b+H-I

a<h<b-H+1 a<k<b-H+1 n=A a<.<b k

falls h bei gegebenem n di~ Reihe de~ ganzen Zahlen durchl~uit mit den

E i g e n s c h ~ e n

a < h < b - - H + l , ~ t - - H + l < h ~ .

Fii r jedes n im IntervaLl a + H -- 1 < ~ I bleiben noch Zahlen n iibrig, niimlioh die gan~en Z~hlen "in den~ Intervallen a < ~ < a -~-H -- 1 und b -- H -t- 1 < ~ < b,

Mathematische Annalml. 89. 15


und fiir jedes dieser n durchl/iuft he ine aus mindestens einer und hSch- stens H konsekutiven Zahlen zusammengesetzte Reihe. Hieraus folgt

J dL'l==-H fiir a + H - - l < n 3 x ~ und x ~ > l ergibt sich aus(18) und (19)

_ v 1 + Z 1) I --x" Sh H .-v' eS~,if(.I ] :< (H -- 1) (a,~.n<a+H-l~ b-H+l<n<b a<h<b-H+ 1 a<n<b

2 b - - a 2 b - - a = 2 ( H - - 1 ) ~ < H . 2 x ~ < - f f H . - - - - < H. __ . . ( 2 0 )

(21)

Nach der Schwarzschen Ungleichung ist

t ~. S a ] ~ ~ (b - - a ) ~-Y IShi 'z" a<h<O-H+ i a<h<b-H + i

Wegen (17) ist

(22)

so daB, falls

(23)

h + H - l h + H - 1 H-1 ISh] ~ = I .X-- l e2ni(f(m)-f(")) ~-"

m=h n=h g=-H+l • e2.ui (f(n+g)-f(n))

h <n<h4.H~l h-g = =h+H~l-~

W g = \~ a<h<'~'--H + l

~ e~.~i (f(n+g)-f(n)) h <n<h+H-1

h-g = "=-h+H-l-g

gesetzt wird,

(24)

(25) b--a .Hg.

aus (20), (21), (22) und (23) folgt

.<.<b + H " i w , i.

Hierin ist wegen (23) und (17)

]Woi---=(b-- H + l - - a ) H < - -

Wegen (23) ist fiir g + 0

(26) Wg = • e ~=~(f(n+y~-f(')) ~ 1, a b h

a - g < t t < b - g

falls h bei gegebenem n die Reihe der ganzen Zahlen durchliiuft mit den Eigenschaften

n - - H + l < h < n n - - / / + l + g ~ ~ n + g

und

(27) a < h < b - - H + l .

Fiir jedes n im Intervall a + H -- 1 < n < b -- H-f- 1 durchliiuft h genau / / - lg[ konsekutive Zahlen, niimlich die ganzen Zahlen des Intervalles


( ~ z ~ H + g + l , n ) oder des Intervalles ( n - - H + l , n + # ) , je nach- d e m g posi~iv oder negativist; denn dannist auch (27) erIiillt, W ~ H ~ 1 bleiben noeh ZaMea n iibrig, n~mlich die ganzen Zahlen in d e n Intervallen a < n ' < a ~ - H - 1 und b - H + l < : n < b , und far j edes dieser n durchliiuft h h6chstens H - [gI konsekutive Zahlen. Es i s t also

(28)

~___(H-1)( ~ 1

also

( 2 9 )

{ X ' l : H - l g [ far a + H - l < n < b H + I

~Y'I < H --[gl fiir a < n < a + H - I und Iiit b - - H + l < n < b . h

Aus (26) und (28) iolgt fiir g =b 0

b

2 b - a + ~' 1 ) - - ~ ( / / - - 1 ) ' < H . ~ < s - / / . ~

wegen (15) . . . . 2 b - a i w~l < ~. b-~ ~ H . ~

Au~ (s4), (25) und (29) to~gt

I0//~ <~" r ~ ,,

5 b-a =ffigH..

b - a < 8 . b - a

wegen ~ + - - < 3. Hiermit ist (16), also die Behauptung I~wicmn.

Hi l f ssa tz 2. Es sei x~> O, r ~ gcnt~ ~ 0 , a + l < b, b . . . . a > x~, f (u) ira Intervvdl a ~_ ~ ~ b d e / i ~ , redl u~d q + 2 diJjerentiierbwt~), f(c+g)(u) s~e~ t~oe@iv od~ ~ ~,gativ, und u ~ i

1 x~ < If (f+e ~" (a ~ u ~ b) fl-~ " (b--a)* (U)[ < -~ (30)

~t~d

(8x) ] f('+~ (~2)l < r "1 f(~+m (%)1 (~,~ ~b). Dann gibt es eine h ~ r ~ s nut t~t ex, s~td q abh~ngige g~?d r

mi$ der Eigenscha~ % "< "~ t. b ~

(32) [ ~

w o Q ~ 2 t + s - 2 gese~ worden i~.

Bemerkung. Von die~em q ~ 0 mad q == 1 ~awenden.

Sat~ women wit nut die SIXffiialf/flle

15"

228 J.O. vsn der Corput.

(33)

flit q ~ 1 findet man h~ingigem c~

(34)

Fiir q ~ 0 findet man bei geeignet gewiihltem, hSchstens nut von c1~ abhiingigem c~

] e ~ i f i s ) a t Z t I ~ C~ �9 - - ,

bei geeignet gew~ihltem hSchstens nur yon ca~ ab-

�9 b--a

I Z e 2 n i f ( n ) l ~ C l s . ~ e .

Beweis. Ohne Beschr~inkung der Allgemeinheit

und > 2 �89 ~ voraus, da die Behauptung sonst trivial ist. F~ille unterscheiden, je nachdem q----0 oder :> 0 ist.

1. Es sei q ~ 0 . Eigenschaften

(35)

und

setzen wir x~ > c~:

Wit werden zwei

Wegen (30) und (31) gibt es eine Zahl ~ mit den

1 ... . . . . X2_ _. < ~) ~ c,~ < 1 c1~ ( b _ a ) ~ - ~ x.2

Q --~ i f" (u) l ~ c1".~ (a ~ u ~ b).

A (wo jedoch a - - ~ und b - - � 89 nicht ganz zu sein

und

] f(~+~)(u~ + g ) - f(~+')(u~)l < c~,. tf('+l)(u~ - ~ g ) - f(a+l)(u~) t a - g = u,--'-~b--g

2 l n - -

1 x2 o 1 z~. I gi f(g+~) fr c~- I gl e--~ . ( b _ a ), .C e,,-- " t.--b ~ < l ( U -J[- g ) - - ( U ) l < - - - z , < '~ . - a," 1- --

x 2 Q

Fiir

(30)

(36)

Voraussetzung brauchen) ist dann erfiillt, so dab

(87) I < 6. l f ' (b ) - f ' (a ) t+l

und hierin ist wegen (36) end (35) b

1 f , 1 f f . V ~ ' ( b a ) < ~ b-a~/x___~ ~,. < ~ . t f ' ( b ) - ( a ) i = /~ I (~) ldu <__c~ - = ~10." o

und 1_ ~'~ c ~ �9 b-a

~/ ~ V ~ '

so dal] (32) mit c~s ---- 6 c~, n-, 6 c}~ aus (37) folgt.

2. Es sei q ~ 1, und es sei der Hilfssatz fiir q - 1 bewiesen.

jedes g mit l ~ l g l < Vx-~g ist im Intervall a < : u < : b wegen a--g ~ ~ b--g und (31)

aus Satz 3 (vgl. Ful3note 12) folgt

Neue zahlentheoretkche Ab~ch~t~ungen. 229

Die

wegen

L~nge des ~ u <: b ist betrachteten Intervalles a - g - --b

b - - a - - ! g l > ~ q > 1

I2: I r162162 V z~ 0

b - - a > z ~ > 2 x , e und I g t < Y~,-tz~ e .

Die Voraussetzungen des zu beweisenden Hilksat~z bleiben also gelten, iall~

x.. dutch z~ ~, das Intervall a _K u K_ b duroh das Intervall a-ga ~ u <: $ ~

die Zahl q dutch q - - 1 , die l~mlction f(u) dutch f(~ + ~ ) - - f ( ~ ) ersetzt we~den. Da unser Hilksatz flit ~ - I bewiesen vorausgeset~ wird, gilt wegen 2 e+~- 2 - - ~ Q - 1 bei geeignet gew~hltem, h6olmtens nut yon c~ und ~ abhiingigem c~ ;> 1 fiir jedes gsnze g + 0 im Intervall

�89 ~ g ~ u die Ungleicbung

- - - ~ r |O " "

Die Voraussetzungen yon Hilksatz 1 eind dann erf'dllt mit

1 �89

(wegen z s :> 1 and r > 1 ist x~ .~ ~ ~/~-~, also b daft (32) mit c~s -- 4 ~ bewiesen ist.

H i l i s s a t z 3. Es sei z s > O, k gan= ~ 2, M ~ x~, w redl, und

1 M t - t M ~+s < < �9

Dann is$ die A n=ahl der ffanzen ~ a ~ n m im Im~vaZl ~! ~ m < 2 M,

k ~ e r I D

vo~z k ~ z d ~ , ~ 8 gald b ~ ~ . Bow ois..,"0l~ne B e a c h ~ g dr .s Jet~n wie =, >

voraus. Es bueiclme ~ irgendaine gan~ Zahl ~ 0, und u werde

~tw . f (u) = ( , + ~ ) , _ , (M s u ~ 2 M ) .

- a > ~, > 4~r ~o

die die U n g ~ n g w t~ |

230 J .G . van der Corput.

Wir werden zwei Fiille unterseheiden, je naehdem l wl ~ oder

g i m 1. Es sei ]w I ~ M ~x~. Dann ist wegen (38) und M : > x 3 Interval l M ~ u ~ 2 M

1 1 In] <~ 1 ]nwJ Inwt <~ In: ~,-7~,--;'M ~ " - C -~,')7~;~ <11"(~)'. < c,, ~ - ~ c~. ~;

und

if" (u~)l < Coo 1 t"(%)i (M ~ "~ ~ 2M); 1$.3 - -

hierin bezeichnen, c~9 und C~o (desgl. c~ , c.,~, c~s, c~4, %,~, c~6 und c2: nachher) geeignet gewiihlte, hSehstens nur von k und c~7 abhiingige ZahIen.

denn

X 2 = Min I~1 ti!

X 3

es ist

Die Voraussetzungen von Hi lhsatz 2 sind in diesem Falle erfiillt mit

q = 0 ; a ~ M ; b ~ 2 M ;

~; )" --- Max (c,, C~o )" ' [ n i ' cl~ ' cl7 cl~)' '

~ ~> x.~ und b - - a = M ~ x : ~ s ) x a = .

Aus (38) folgt dann

(40) t Z ~="<"] < o~, ~( ~ 2. Es sei M k x ~ . <

~ ~ _ _ < 2 ~ 1 1 1

r M:- lnlx2 <--~,, und

w I. Dann ist wegen (38) im Intervall

-wl <: If" Inwl I,~i

If'" (u,)l < c.~3-I/"'(%)1

Die Voraussetzungen von Hilfssatz 2 sind in

q ~ l ; a = M ;

0 x , - - M i n n l . x 2 , I n l ' c~,

dean es ist

c19 ~ vg s :> 1 und

Aus (34) iolgt dann

(41)

(M ~_ Ul .< 2M) - - ' b $ 2 ~ ~

diesem Falle erfiillt mit

b==2M;

= Max (c.2.., % c~, co.3);

b - - a = M > x2 :> x2 ~ x 3.

I 27 ,

< 2 ~.~, M \ji_CV + ~ r

Neue zahlentheoretische Abschiktzungen. 231

( 4 2 )

g i l t .

-kus (40) und (41) iolgt, dab stets die Ungleichung

I Z e~"i f l " l < C,.~.M( vr~ ' r

Es werde jetzt die Funktion Z(v) folgendermaBen definiert: Es habe d i e l~'unk~ion Z(v) die Periode 1; es sei 2 ( - - v ) -- Z(v), und Z(0) -- 2; es

s e i x (v) = 0 im Intervall z~ -- ~, undes sei X (v)im Intervall 0 <: v ~ , I

e i n e lineare Funktion yon v (also X ' ( v ) = - - z~) . Dann ist

4 ( 4 3 ) Z(v) x~' + 4 cos2nnr, ~=1

m i t 9

a , --~ y . ( v ) c o s 2 n n v d v ' - ~--~j o o

a l s o wegen O < z ( v ) ~ _ 2 4 (44) o<a .<~2

x~ (1 4 ~ ~'~ sin 2 n ~ v d v -- 4 n ~ , -- cos-~r-, ) ,

x=' und < 2 . ' . "

Aus (43), (44) uud (42) fol~ Wll

• ~ Min xt

| zth

< -~--, + c,,,~ Z ~,qT~-7 +.IV;/ Md:O

M < C~7 �9 ~ , .

Die Anzahl der ganzen Zahlen ~ im Inte~alI M ~ m < 2 M, fiir die (39) w

( @1 > o. clenn far diese m ist Z )k-1 ~ 1, mid es I

m i t is t tier HiLfssstz bewi~n . Hilfssatz 4. ~a~ei z ~ > 0 , a + l x ~ , k r ~ 1 ;

es seien w e, ~o~, . . . , W~ redl und [tir jede~ ganse h 4" 0 in, Inferrer

X4


Dann besitzt das Polynom k

Wq

q=0 die Eigenacha/t

7$ k - q

Z e~'=if(n) I b - - a I ~ Cos �9 _ _ �9 I K ' a<--n~b ~/ Z 4

hierin ist c~s eine geeignet gewdhlte, h6chstens nut yon Ir abhdngige Zahl, und K bezeichnet die Zahl 2 k-1

B e w e i s . Ohne Beschriinkung der Allgemeinheit setzen wit x 4 ~ 4 Wir werden zwei Ftille unter- voraus, da die Behauptung sonst trivial ist.

scheiden, je nachdem k ~ 1 oder > 1 ist.

1. Es sei k ~ l . Da (45) fiir h = l gilt, ist j �9

a<n 1, und es sei unser Hilfssatz fiir b - 1 bewiesen. Fiir jedes ganze g ~- 0 im Intervall ~ x 4 < 9 < �88 x 4 ist

k-1 Wq k - l - q

f (n 4- g) -- f (n) -----~,-' (/r n mit W o : gwo, q=O

und falls dann m irgendeine ganze Zahl =p 0 im I n t e r v a l l - (�88 < m < (�88 k-~ bozeichnet, dann ist h = m g eine ganze Zahl ~ 0 im Interval l - - ( ~ x ) ' < h < ( ~ x ) k, so daft ( 4 5 ) g i l t , woraus folgt

' - [ 111 I m w ~ m w ~ :> b ~ > b - a - l g I"

b g Z._: Die Liinge des Intervalls a <: u .~ ist wegen b -- a ~ x~ und I g ~ 4

a - - g ~ - - b - -

b - - a - - ] g l > > 1 ,

1 so dab die Voraussetzungen des zu beweisenden Hilfssatzes mit ~ x 4 s ta t t x4,

m i t d e m I n t e r v a l l a ~ u < b a - g - - ~ b - g s t a t t a ~ u ~ b ' m i t k - - 1 s t a t t k , und

mit f (~ -~ g) - - f ( n ) s tar t f (n) erfiillt sind. Da unser Hilfssatz fiir k -- 1 bewiesen vorausgesetzt wird, ist b'ei geeignet gewiihltem c~9--c29(k ) > 4

1 P e~n~(f(n+#)_f~n) ) ~ r . ~s �9

a <n 4 und �89 K :> 1 die Ungleichungen x~ < -i x~ und b -- a ~ x~ ~ 3 x~, so da~ die Yoraussetzungen yon Hilfssatz 1 erfiillt sind, und hieraus folgt die Behaup~ung mit c~ ~ 4 ~ .

H i l f s s a t z 5. Es sei x ~ > l , k ganz ~ 2 , Cso>O , M > x ~ , ~ p < ~" es sei f~ (m) (0 ~ h < lc - - 1) j a r jedes ganze m im Inter-

vall M ~ m ~ 2 M de/iniert und reell, und es werde gesetzt

k - 1 w

f ( m , n) = ~." (=+")~- I a=o

wo w unabhdngig vo~ m u n d n i~t, und die

(46)

Ungleichung

1 M ~:-1 M ~+2

C3 o Xb

er/i~llt. ~8 werde geedz$ K - 2 ~- x .

Schliefllieh gebe es zu jedem ganzen m im IntervaU M < m < 2 M zwei Zahlen 7,, und ~,,, mit der Eigenschafl 0 < ~,,, -- ~,,, < z, we z eine van m unabMingige Zahl ist, und die Ungleivhung

~r

(47) z > --1. xsS+ xk+l cso

eff~It. Dann gibt e8 eine h&hs~ens n u t vo~ k und Cso

mit der JEigenschafl

(48) 2 ! <~< e ' " ' '("*'"' I < Csl " - , M ~ - - m ( f i M m-- = m

Beweis.

abhdngige •ahl r

E;~+i _ _ "

I/x6 K

Es werde x e ~ x~ T M gese~zt; ohne Beschr/inkung der All- gemeinhei~ setzen wir x e > ~/-~so voraus. Wir-werden die ganzen Zahlen m im Intervall M ~ m < 2 M in drei Gruppen '(yon denen eine oder zwei leer sein kSnnen) zerlegen, und zwar auf diese Art: die ers~e Gruppe enthiilt die ganzen Zshlen m (und nut diese) im Intervall M ~ m < 2 M , flit die es wenigsCens eine ganze Zshl h -~- 0 im Intervall -- x~ < h < z~ gibt mit der Eigenschaft

(49) ]

die zweite Gruppe enth~lt d der Eigensehaft

(50)

hw 1

die nicht zur ersten Gruppe gehSdgen m mit

z

r

234 J . G . v a n d e r Corput .

und die dritte Gruppe enth~ilt die iibrigen im Intervall M _< m < 2 M liegenden ganzen Zahlen.

Wit werden zuerst die erste Gmppe untersucl~en. Falls h e i n e ganze _ k k bezeichnet, ist wegen (46) Zahl + 0 im Intervall x 6 < h < x 6

1 M k - 1 M k+'-' - - �9 - - . . . . . . . . . . . .

C~o x, < !hJ " jwJ < Cso ,2

so dab es nach Hilfssatz 3 mit x 3=x.~ , c~:=c3o und mit h w stat t w

M ganze im Intervall M ~ m < 2 M bei gegebenem h hSchstens c3~.-~

Zahlen ra gibt, fiir die (49) gilt; hierin ist Cs~ " (desgl. c33 nachher) eine geeignet gew~ihlte Zahl, die hSchstens nur yon k und Cao abh~ingt. Da es

k ~ hSchstens 2 k ganze Zahlen + 0 gibt, enthiilt im Intervall -- x e < h < x~ x 6 die erste Gruppe hSchstens

k M 2 �9 M 2x 6 . c s s ~ = c3~ k l , + l ....

. . . . . . . V ' ; E

Zahlen, so dal3 der Beitrag der zur ersten Gruppe gehSrigen m in die linke Seite von (48) wegen (47) hSchstens

M (z + 1) Mz 2 ~o. ~ , + ~ _ < 2(~ . + ~o) ~,+~/~o /Z5 . . . . "

betr~gt.

.Jede Zahl m d e r zweiten Gruppe hat die Eigenschaft, dal3 fiir jedes ~ die linke Seite von (49) grSi]er ganze h + 0 im Intervall -- x 6 < h < x~

" l

a l s ~ , also wegen (47) und (50) grSBer als

Jr

1 . x ~ k + i 1 x 8

eao z ~" C,o ~m--y,n

ist. Dann ist wegen (47) und (50)

~ " ' - Y~ :> \~/c~o / > 1,

so dab die Voraussetzungen yon Hilfssatz 4 mit

, 1 , a = r,~, b = ~,,, f ( n ) = f ( m , n ) ,

erfiillt sin&

W 0 ~ - W

Nach Hilfssatz 4 ist dann fiir jedes m der zweiten Gruppe

[ Z I ~ e 2 ~ t f ( m ' ~ ) l ~ C83 " .K ~ Z

- - ~ C33 " K k + l --,

N e u e z a h l e n t h e o r e t i s c h e A h s c h g t z u n g e n . 235

so dal~ der Beitrag der zur Seite yon (48) h6ehstens

ist.

zweiten Gruppe gehSrigen m in die linke

Mz 2 Cas �9 jg J:+l

Fiir die Zahlen m d e r dritten Gruppe ist z

dim - - Y,. + 1 < (1 + C3o ) x~+l ~ , ~ V X5

also der Beitrag der zur dritten Gruppe gehSrigen m i s t kleiner als

2(1 + %0) Mz JKk+l �9

. V X 6

Aus dem Obenstehenden folgt (48) mit %~ = 2 (cw+Cao) + 2%s-[- 2 (1-4- c3o ).

H i l f s s a t z 6. .gs sei h ganz ~ 1 , M > 0 , N > 0 , r M ( f l - a ) > 19 P ( o ) ein Polynom h t~ Grades mit reellen Koeffizienten, und es sei im Intervall a ~ o ~ fl

I '(o)I < N .

Dan~ iet der KoeHizient var~ o n im Polynam P(o ) absolut ge- 2

nommen hdchstens hs. N . (2 h M) a

Beweis. Fiir jedes positive ganze q ~ h ist

(52) 1,h'M" ) + " " + h:hhM ----~ 'P'^ ' (a)=P --

and diese Differenz ist wegen (51) absolut < 2N.

Wir multiplizieren

die h verschiedenen auf diese Art gefundenen Beziehungen (g = I, fl, ..., h). Wegen

h

q = l

= (--1)nh! m

findet man

falls r < h,

falls r = h,

h h 2h+i

womi~ der Hilfssatz bewiesen ist, da der KoeNzient yon o h im Polynom

P (~) den Kbsolutwert" ~ IP (h) (r besitzt.

H i l f s s a t z 7. E ~ ~ e i ~7 > 1 , k ganz > 2, c3~ > 1 z ~ 2 ~ a >

2 ~ --'~ 44

(53) M (8 - >

236 J . O . van der Corput.

~o (o) im Intervall a ~ o ~ fl reell, sei im I ntervall a ~ o ~ fl

1 M ' - , . v < }~"(~)1 < ~,.~o, ( 5 4 ) ~ ,

k § 1-mat diHerentiierbar~), und es

M k t ~ ' *+ ' ) (o ) I __< ~ , . - - .

Zu jedem 9anzen m im InServalle M ~ m ~ 2 M gebe es zwei Zahlen mi| der Eigenschafl r= und O,~

Es werde schliefllich

44(h + 1)P h_ (55) Pl = 5 Ph = ~

geseSzt.

Dann gibt es eine h&hstens nu t yon k und cs~ mit der Eigenschajt

, , -x (~ _ ,~) M ~ ~Pk-- M<=m.(s ?m<n<am ~/:V 7

Falls rp ( o ) eir~' Polynom k re'* Grades ist , gib~ es h6chsSens nur yon k abhdngige Zahl c~e mit der Eigenschafl

(57)

Teil

+1 (h=2,3,. . .)

abhdngige Zahl c3. ~

sogar eine

P~"~+~)~{"-~-~ [ ( p - . ) M ~

Beweis. Wir werden den Beweis in zwei Teile zerlegen; im ersten leiten wit (56) aus (57) ab und im zweiten Weil zeigen wir, dab

(58)

gesetzt.

(59)

der HJlfssatz hiermit allgemein bewiesen ist.

I. Es sei (57) bewiesen, und (56) zu beweisen. Es werde

44~k - 1

x s = x744q~+z)~k_~ + is

Beim B~wei~ ~on (56) dar~ man (58) er~etzen durch

denn man kann wegen x s ~ x 7 das Intervall (~,~) in Teilintervalle Za ~ X 8 (~', fl') zerlegen, deren Lange :>M und ~ - ~ - ist, und wenn (56) mit

(~:, fl') start (6, fl) gilt, damn i s t �9 M s

M g = c , ~ . - - ~ _ . (p - ,~).

Neue z~hlentheoretische Abechiitzungen. 237

Es werde gesetzt o- ,z (o -,z) ~'

~ ' ( o ) = ~ (,~) + -i7-., ~ ' ( ~ ) + �9 �9 �9 + ~

Wegen (54) und (59) ist im

I P ( o ) - ~ (o )1 < - (~ -~ )~+ ' = ( k + t):

2~+~ < (~ + t):" c~," ~

Intervall r < o ~ fl

�9 ~ 8 ~ x ~ "

1 ~+~ 2 ~+~ 1

denn wegen (55) ist

44 (k+ 1) P t - t 13 1 44 ( k + l ) ~ _ ~ + 18 44(k+ 1 ) p t _ t + 13 p~

Hieraus folgt

( ~ < o _ ~ ) .

1 ~ k ~ ~

hierin bezeiehnet c87 (desgl. css und cs~ naekher) eine geeignet gewghlte, hSehstens nut yon k und c,~ abhgngige Zahl. Es ist also

(6o)

wegen

(~-- ~,,~+1 <=(m+~).(fl--a)+l < 3 M-(fl-- a) + M.(/3--a)=4M.($-a). Nach der Definition yon P (~), wegen de~ le~zten der Ungleichungen

(54) und wegen (59) ist im Intervall a =< o ~

l~"(, , )- q~"(o)l < {~-"}~-~ ~--~ ~ - ~ ' . M . . . . . - - ( k - l ) : ce' ~, - - ~ ( k - 1 ) ~ x, "

. . - x.~-~ .~ ~0~+~ I~ ~ 7 ~ p

�9 , ~ ~ ~ _ 9,~ , - - X ~ + ~ L .

�9 ,i~, and ohne B o s , k r ~ , ~ g der Allgemei~hei~ e hinreichend gro$ gewiihlt ~erden kann, diii-fe;~ wir , .,

?

2 ~+1 l 1 ca._..L7 --~ 2 ~ ' 3 M ' ( k + i)! '*,4"~" ~,_---7 = ~ _


(61)

also wegen (54)

(~2)

voraussetzen, und dann is~ M I P " ( o ) - ~"(o)1 < ~ ,

~ 4

M IV"(o)l > 2~---~.

s ergibt sich aus (61) Wegen cs~ > 1 and M > x:

M ~ 1 ~ ' " ( o ) - - ~ " ( o ) I < c~,M < c.,'x-,o.

also aus (54) and (58) M' (68) ]P"(o)I < 2c~, . ~ < ~ ~ , . ~

1 3 * - - - 1 0

Wegen (59), (62) und (63) sind die Voraussetzungen unseres Hills- 1 5

satzes mit P ( o ) start ~(o), mit x~ start xT, mit 2ca, statt ca, erfiillt, und da (57) bewiesen vorausgesetzt wird, ist

(64) M~m<aM r~<-a<=a,=

pC--~ M ~ i < 2r vk=,/-Ts

Vzp

(~ -- a) M ~

denn wegen (55) ist 1 I8 442vk_~ 1

T/t-1 44 4 4 ( k + l ) ~ k _ l + 1 8 Pl,

Aus (60) und (64) folgt (56) mit %5 = 8c8~ + 2e86. Hiermit ist Tell I erledigt.

II. Um je~z~ den Hilfssatz allgemein zu beweisen, werden wir ver- sehiedene Fiille unterseheiden.

1. Es sei ~ (a) ein Polynom zweiten Grades. Dann sind die Voraus- setzungen yon Hilfssatz 5 mit

erf~t, da (46) aus (54) und (47) wegen Cso > 1 aus (53) folgt. Da in diesem:'Falle X k + 1 = 5 = Io 1 ist, folgt dann (57) aus (48).

2. Es S~i ~(o) eine beliebige Funktion, die die Voraussetzungen des Kit/~satzes mif~ :k .=2. erfiillt. Da (57) naoh 1. fiir iedes ~.#lynom zwei~n Grades gilt, gilt nooh Tefl I Ungleiehung (56) fii~..jed~F.a~i/on, die 4i.a Voraussetzungen des Hilfssa~zes mit k = 2 erfiillti ~, so dal~ der ttilfssatz fiir k = 2 bewiesen ist.

Neue zahlentheoretische Absch~itzungen. 239

3. Es sei k~_ 3; es sei ~(o) ein Polynom k- ten Grades, und es sei w

unser Hilfssatz fiir k - 1 bewiesen. Es bezeichne ~.~ den Koeffizienten

yon o k im Polynom (p(o). Falls M k - 1

ist, dann sind die Voraussetzungen unseres Hilfssatzes mit k s~att b - 1 erfiillt, und da der Hilfssatz fiir ] ~ - 1 bewiesen vorausgesetzt wird, ist

Wit d~irfen also Mlr I

(6~) Iwl > es,. ~,

( # - ~ ) . M ~

V x~

annehmen. Wegen (53) ist M (3 -- a) > 1, so dab wegen (54) die Voraus- setzungen yon Hilfssatz 6 mit

M' P (o) = ~"(o) , h = k - 2, ~v = o8,. ~0

erfiillt sind. Nach Hilfssatz 6 ist

M ~+~ . 4) k-2 (66) [w I < c8o x~o mit c . ---- 2 c8, (2 k - .

Aus (65) und (66) folgt, dal] die Voraussotzungen yon Hil/ssa~;z 5 mit

' - b p '

Ca0 = Max ( 1 , CsQ)

erfiillt sind; denn dann ist cso > 1, also wegen (53), x 7 > 1 und /~ _ 3 44 K - s § ~.k+----- i -

z > x~ s ~ 1 x7 CSO

Wegen K k - b l < Tk-1 folgt (57) aus Hilfssatz 5, so dal~ (57) vollstiindig bewiesen ist.

4. Da (57) gilt, folgt aus Tell I, dal] auch (56) allgemein gilt.

B e w e i s y o n Satz 10.

Wir werden (14) mit

(67) co--Min 8(15p~+8) ' 8~ ,+4k '

beweisen, wo ~Pk 4urch (55) defin{ert worden ist. In diesem Beweise bezeichnen

C4o, C4x, . . . , 06s

geeignet gew~hlte Zahlen, die hSchstens nut yon /c abh~ngen diirfen.

240 J . O . van der Corput .

Uberall mit Ausnahme hfchstens abziihlbar unendlich vieler Punkte v ist W(v) in eine Fouriersche Reihe

(68) y~(v)-- Z a,,, es'~''' mit a,,,=f e-~m~''~v(v)dv m ~ o o

entwickelbar. Wegen der Monotonie yon ~(~) im Intervall ist wegen (08) und wegen ! V (v) t ~ 1

1 .2 .1 , /~ ( 1 (69) lamt s ~ I--m I--~ Iml"

Auflerdem ist ffir jedes v wegen (68)

+ • t

t f V:(v + y)dy= 2 A,, e ~'~'~ O m = - ~

mit

also wegen (69)

so da6

(70 )

oder

+• b t

A,,,~ a,,,t f eem~'~dy, 0

1 2 t 1 l _ g l 1 u f l d I A I J l ~ A A, , . _ _ . ~ m . < i,,, j . . . . <

die linke Seite yon (14) nicht grSfler ist als

2 Mm(1 mi' 1 ~___i~) [ <~n < eg.=, (~.,+(.+~,) f(m, I . a_-- =b

Es werde gesetzt

a - - Min(f ' (a ) , f'(b)) %, = ~ + (m + ~ )a und

O < v < l

fl= Max(f ' (a ) , f ' (b));

If"' (u) l ~_ If" (u) I~+'~' ~ R-(~+~), Fs__ - fm+~l

so d a b

a m - - 2 .-+- (m + #) fl und tim = 2 -{- (m + # ) a ,

je nachdem die ganze Zahl m (und also auch m + ~t) positiv oder negativ ist; es ist also a < fl und a m <: tim.

Es werde jetzt Satz 6 angewandt mit

~ ( ~ ) = ~ u + 0 n + ~ ) f ( u ) ; A=~m; B=~m; ~'o= Im+.l - 2 R ; C7-~--2"

Wegen (2), (11) und ( 6 7 ) i s t

Neue zahlontheorotische Absch~itzungen. 241

gesetzt

(~)

werden daft. Nach Satz 6 ist dann

t 2 ~ i (if,- ~') n~, + {m + , , , } / (nr)} ~ o . , - t i [ ~ + {m+/~)f{n)) ~ e

,~= =~ .,.<-_.<-t~,~ V l .~+~ l . l f " (~.)l

wegen

In (71) bezeiehnet n~ die Beziehungen

(72) Z + ( ~ + tt) f ' (n,) = v

eindeutig bestimmte Zahl, und das + - nachdem ( m + t* ). f " ( u ) im Inte~vall negativ ist.

( 7 8 )

wegen

( 7 ~ )

Es ist

1 8i~ 1 die zu jedem v im Intervall a~, ~ v _< fl,~ dutch

und a ~ _ n , ~ b

oder ---Zeichen wird benutzt, je a ~< u ~ b stets positiv oder stets

1/~. m,o ?

(~7) ist ~ < ~-, also t s :V~, ~na hie,'aus folgt

t (2 + /~ < c48 W $ ~ - - OO

_ ~u

au~erdem ist

~=_ Min J m l ' ~-i ' 1~+7~ <c i~ ir = 2--] %-s m # o

Es geniigt jotz~ ,zu beweisen

(75)

{Z i~ ' ~_-_~ (ItalY'

Mathematische Aunalen. 89.

I~1 t ~=,_-p~ VI f"{~,)T L

( - - ' --b-za 1/~) 16

(76)

4a

242 J . G . van d e r C o r p u t .

denn aus (71), (73), (74), (75) und (76) folgt, daft der Ausdruck (70), also auch die linke Seite von (14), kleiner ist als

b - a . b - a c,~ c,~ 1/~' -[- 2c,1 c4s V-R -[- c,~ c,s. R]:+ = -4 c4~ c , R t +.,

(Ri+~, + �9

77)

Ohne Beschr~inkung der Allgemeinheit setzen wir

b -- a > 2R ~-]~

voraus; denn wegen (11) ist

(7s ) { ~ . - , ~ . = I~ + ,ul'[ f ' (b) - - f'(a)[ b

--Im+~l f f"(u) du < 2 I m l . b----~ a ~ R

so da~ die linke Seite von (76)

O0 . M,n(1 ) (b-a ~ = - ~ Iml ~' lml R -Jr- 1 .1/2--R ~ c,6 R ~ o '

also, falls b - a ~ 2R ~-�89 kleiner als 4c4. t / R ist.

t- ~/R)

Wegen (78) ist der Beitrag in die linke 8eite yon (76) eines Oliedes

mit ] m [< R ~ - ~ hSchstens

1 fl,~-- am+ 1 '~ < 2r b-~ V~lr

so dab der Oesamtbeitrag in die linke Seite von (76) aller Olieder mit

[ m[ < R t - ~~ hfchstens

ist.

[2 ~" - ~ ] oo

,,,--x = - i~1 ~- 21+o, m=I=o

Wegen (78) ist der Beitrag in die linke Seite yon (76) eines Oliedes

mit I m ] ::> R } +do hSchstens

Min( ltm[ ~ J t ) ~ . - a . + l ~ 2 v ~ . ( b - a ) t 1 ~fR "' 1 / 1 r t,,,ig br ,,hi ~ --=- ~ , 2B

Neue zahlentheoretisohe Abseh~tzungen. 243

so dal~ der Gesamtbeitrag in

{m] :>/~~ + ~ hSchstens

ist.

die linke Sei~e yon (76) slier Olieder mit

--a)t. 1 ~/-~) b--a V~) <: o's ((b. �89 ~,+,o~ + ~ c,s ( - ~ + ~ +

Es geniigt jetzt zu beweisen

1 t I

�9 b,a.. <~ c ~ R~}+ ~ ,

denn mit Riicksicht auf das Obenstehende folgt (76) + c~8 -}- c,~ aus (79).

Es ist hinreichend zu zeigen, dal] aus

und

folgt

(8o)

R t''~~ <: M < .R ~ +~o~

_ _ e~t((#.-~}n~ + {m+p)f(~.)) I

mit cd6 -- cd7

~< ] I : ( ~-: ,x) M'

Es sei n~mlieh (80) bewiesen, und (79) zu beweisen.

d nv 1

~ ; (~ +~).f"(~,) '

Wegen (72) ist

(81)

. M ~ (b - a)

16'*

also stets positiv oder stets negativ, so da~ n. eine monotone Funl~ion yon ~ ist; wegen der Monotonie yon ["(u) /st dann f"(n.) eine monotone

1 Funktion yon v, und zwar e/he Funktion, die nsch (11) absolut :~ 2 2

ist, so dab mittel~ partieller ~ aus (80) folgt.

244 J .O. van der Corput.

2 1 2 . . . . . . .

~, ' - ) . . )< ,~ Om'-,'-~. V l f " ( , , , i i ~

Hieraus folgt, wean N ----- R ~ -~176 hSchstens betriigt

,~ , ~ < ~ M i n ( 1

n>__o 2v.~h_<m<z~.~+t ~=0 \ _~-2~' zV.2 I* < R~ +4to

Da alle Voraussetzungen gelten bleiben, wean f ( u ) durch - - f ( u ) und Ft dutch - - # ersetzt wird, dad in (81) f ( u ) durch - - f ( u ) , p durch - - ~ ersetzt werden; wenn man daan m durch -- m ersetzt, ergibt sich, daft (81) such giiltig ist, wenn m nicht die ganzen Zahlen des Intervalls (M, 2M) , sondern des Intervalls ( - - 2 M , - M) durchl/iuft. Hieraus ergibt sich

~ i ((~. - ,,) n~ + (m +,, , ) f (n,,)) I M ~ ( b - - a ) i <2c5~" /~+g,o

gesetzt wird, dab die linke Seite von (79)

t t 2c~. (b-a)'(2hN)~---7 - 5 - hr~,- 2 ~ " R '~ + ~ o,

g

X + '__ s _< 2%~- R�89 ~ L t N~ 1~2'~ 2h>~ V-

< c~" R ~ + ~ o, �9 _~.~.

_____2c5 ~ ( b . a ) . t �89 b - a �9 R-;,:~ ~ = 2c,:. Rt + ~ "

Hiermit ist gezeigL dall (79) aus (80) folgt, so dab es geniigt, (80) zu beweisen.

Da f" (s ) im Intervall a _< s _< b stets positi~ oder stets negativist, gibt es zu jedem o im Intervall a < o ~ fl eine und nur eine Zahl s, mit den Eigenschaften

(82) f ' ( s ) = o und a _ < s < b Falls

(8a) ~(-)-- f ( ,o)- o,o gasetzt wird, folgt aus (72), (82) und (83)

somit

und v = 2 + ( m + ~ ) o

(2 -- ~,)n, + (m + t t ) f (n, ) -- (m + i t ) ( - - oso + f(s.))

=(m +.~)~(o) =(m + ~)~ ~ + . . Wegen (83) und (82) ist

~ ' ( ~ - , , , ,

ds~ _ _ - - . - . .

tto 19~ " ( O ) --~ 1

(84) f', (.o~, f ' " (So) also f " ' (s,,)

c p " ( o ) - - (f,,(so))~ do - - ( f " ( so ) )* '


(85)

allgemein fiir 2 ~ q =< k (wie man leicht mittels einer vollstiindigen In- duktion beweist) bei geeignet gewiihlten Koeffizienten Wh,.h~ ..... h,_~ (welche nut yon den Parametern h~, h~,... , hq_~ abhgngen)

1 .... ,f(a~+~') f(a~+ . f(at_t+u) ~,~+,~(o)=(r,,(s ,,,__ ( ,o). ~) (8<,).. .. (,<,),

falls die letzte Summe erstreckt wird iiber alle nicht-negativen ganzen Zahlen h~, h~, . . . , hq_~ mit einer Summe = q -- 1.

Wegen (84) und (11) ist

(86) R ___< i ~ " ( 0 ) I < 2R (a ~ ~ ~ f l ) ;

wegen (85), (3) und ( 11 ) ist

�9 �9 2 ~t-,~ R~t- ,~ odor ~ c~s R ~ - ' ~ I ~<~'+ ' (o) I < e~ 1 f " (s<,) l - I ' + ' ~ c.~ _ , 1 je naehdem der Exponent ~ k - ~1 positiv ist oder nieht; es ist also stets

(87) I~,*+,(o)I < 2'~c0~ ~ - " . Wir werden jetzt mittels (67) beweisen, daft die Voraussetzungen yon

Hilfssatz 7 mit x~ = R #~ und ca~ = Max(3 , 2�89 erfiillt sind. Es ist

es ist

1 1 co < 6(g~,-+i) ' also 3

1 co-< /22 1) '

as t i ~ +

- - - 2 c o > 1 2 p ~ c o , also M > x 7 s;

1 66 also ~ -- 3 eo > -i8- Pk co,

und wegen ( 1 1 ) u n d (77) folgt hieraus

b M ( f l _ a ) = M f l f . ( u ) r d u > M . b - a > _--_111 >Rr > XT'd

1 ist wegen, o~ < M ~R�89163 ~[~"(o)I

es ist 1 1

r , also ~ - - - 8 c o - - 1 5 p k c o _ ~ O

und hieraus folgt wegen (86)

I~"(o) 1 ___ 9R < 2 R ~ - s ~ - ' ~ ~ < 8 M '

sehlieBlieh ist 2,1 , also co ~ 8 p ~ + 4 k

und hieraus folgt wegen ( 8 7 )

M k > . R ~ ( t - 2 ~ , ) ~ R t ~ - , ~ + O , , , o > 1 _ _ _ 2 t t e ~

~o ;

3

11


Da also die Voraussetzungen von Hilfssatz 7 mit x: ~ R ]pk~ ediillt sind, folgt (80) aus (56), womit der 8atz 10 bewiesen ist.

Anwendungen.

Um eine sehr allgemeine Anwendung von Satz 9 ableiten zu k5nnen, fiihren wit zwei neue Definitionen ein.

Def in i t ion . Es bezeichae G einen Bereich, der yon einer geschlossenen Jordankurve begrenzt wird und einen bestimmten Inhalt J(G)hat; es werde vorausgesetzt, daft diese Jordankurve hSchstens nur eine endliche Anzahl yon Strecken enth~ilt, und dab die Gleichung jeder in dieser Kurve vorkommenden Strecke gebracht werden kann in die Gestalt u = 7, oder

1 ganz ist. v,~7, wo 7 - - ~ 1 und < 1 Es bezeichnen I und # reelle Zahlen ~ _ - ____~, und A(G)

bezeichne die Summe .~eg~it~u+t '~, erstreckt fiber die Koordinatenpaare (u, v) der Oitterpunkte yon G, wobei die Oitterpunkte auf dem Rande yon G nur halb in Anschlag gebracht werden.

Es werde jetzt die Funktion T(G) folgendermal~en definiert"

1. Falls 2 - - / z = 0 ist, ist

T(G)= JI-(G)-- J(G).

2. Falls ~l + 0, ~ = 0 ist, ist

-- - 1 V :J: e-9~'~r l" T(G)--A(G)-~ 2i,ia=x .~

die letzte Summa wird erstreekt fiber alle Strecken des Randes von O mit der Gleichung v = 7 (wo also 7 - - ~ ganz ist), und 1 bezeichnet die (positive) Liinge der Strecke; des -F-- oder ---Zeichen wird benutzt, je nachdem in der Umgebung eines Innenpunktes der Strecke die Punkte im Innern yon G rechts oder links yon der Strecke liegen; die Summe ist also Null, wenn der Rand von (7 keine Strecken v = 7 enthiilt.

3. Falls 2 = 0, ~ + 0 ist, ist

T ( G ) = + 27 + e l;

die letzte Summe wried erstreckt fiber alle Strecken im Rande von G mit dot Gleichung u = 7 (wo also 7---~ ganz ist), und l bezeichnet die (positive) Liinge der Strecke; des ~-- oder ---Zeichen wird benutzt, je nachdem in der Umgebung eines Innenpunktes der Strecke die Punkte in, Innern yon G oberhalb oder unterhalb der Strecke liegen; die Summe ist Null, wenn der Rand yon G keine Strecken u = 7 enthiilt.

#

4. Falls ~ 4ffi 0, /, + 0 ist, ist -2---

T ( a ) = (O).

Neue zahlentheorotiseho Absehiitzungen. 24;7

Die erste in der Einleitung erwiiimte Anwendung ist dann ein Spezial- fall des folgenden sehr allgemeinen Satzes.

S a tz 11. Voraussetzungen" 1. Es sei Y32 eine Menqe yon Bereichen G, und es sei 932 ein-eindeutig abbildbar auf die Menge der positiven gahlen x.

2. Es werde G begrenz~ yon einer geachlossenen Jordankurve, die au, einer beschrdnkten Anzahl yon Strecken und Kurven zusammenffesetzt ist.

3. Jede im Rande ,)on G vorkommende ~trecke hat die Gleichung u =~, oder v = y, wo ? - ~ ganz ist und van x abhangen dar/.

4. Die Gleiehung ieder im Rande van (7 vorkommenden Kurve kann gebracht werden in die Gestalt

v = f ( u ) ( a _ < u s oder u - - f ( v ) ( a ~ v ~ _ b ) ;

hierin sind a und b (a < b) abhdngig yon m mit der Eigensehafl b -- a --=- O(x) ; f (w) ist eine im Intervall a ~_ w ~_ b de/inierte redle, auch yon x abhdngige Funktior~ you w, die /iin/mal nach w differentiierbar ~) ist, eine monotone zweite Derivierte f " (w) besitzt, und die Be- ziehungen

(88) f'(w) = o(1) ; f"(w)

gleichmdflig in w (a < w _< b) erliillt. Unter diesen Voraussetzunqert gibt es eine absolute Konstante T < ]

mit der giaen,chafl z ( o ) = o(~ , ) .

DaB dieser Sa~z" die erste Anwendung als Spezialfall enthiilt, ist klar. Denn es sei A~ (x) bzw. A~ (x) gleieh der Summe ~ e ~=~(~u+~v), erstreckt iiber die Koordinatenpaare u und v i m Innern und auf dem Rande der Ellipse (5), wobei die Gitterpunkte auf dem Rande ganz bzw. halb in Anschlag gebracht werden- hierbei wird -- ~ ~ 2 < �89 und t ~ # ~ 1 vorausgeser Naeh Sat,. 11 (mit 1/x statt x) gibt es eine absolute Kon- stante 0 -- �89 v < ~ miO der Eigenschaft

Da

ist, folgt hieraus

--- O(ze)

a , (~) = l ima, (~ + h) h=O

A, (x)---- . ~ H: o ( z o ) Ca~, a,, - a~, ,

fal ls 2 = / x ----- O,

in den anderen Fiil len.

fal ls g - - ff -- 0,

in den anderen F~llen.


Die zweite in der Einleitung genannte Anwendung ist ein Spezialfall von Satz 12.

Satz 12. Es seien die Voraussetzungen 1, 2 und 4 des voriger~ Satzes er]iillt, und es werde die drilte Voraussetzung ersetzt durch die /olgende allgemeinere Bedingung :

3*. Jede ira Rande yon G vorkommende Strecke hat die Gleichung ganz und yon x ab- u - - 7 , oder v ~ 7, oder v ~ m u ; hierin ist 7- -~ .

Mingig, m rational und yon x unabhdngig.

Dann gibt as eine absolute Konstante �9 ~ w derart, daft die Anzah~ der Gitterpunkte ira Innern und au/ dem Rande yon G, wobei die Gitterpunkte auf dem Rande vor~ G halb in Anschlag gebracht werden, gleich

J ( G ) q - O ( x ~) ist.

Dieser Satz enth~,tt die zweite Anwendung als Spezialfall: Denn es bezeichne A s (x) bzw. A~ (x) die Anzahl der Gitterpunkte im Innern und auf dem Rande des in dieser Anwendung behandelten Sektors, wobei dio Gitterpunkte auf den zwei Strecken nut halb, die nicht auf diesen Strecken liegenden Gitterpuh~e auf dem Bogen des Kegelschnittes ganz bzw. halb gerechnet werden. Dann ist nach Satz 12 (mit ~/x start x)

A, = csx + O (xo), a18o

A s (x) --~ limA~ (x -~- h) = csx + O ( x ~ h=O

Jetzt werden wir die Sgtze 11 and 12 beweisen.

Beweis. Alle in diesem Beweise gezogenen Hilfsgeraden laufea parallel zu einer der Koordinatenachsen, und zwar in einer Entfernung 7, wo 7 - �89 ganz ist. MitteIs solcher Geraden kaan man G zeichnen als die Differenz yon zwei Bereichen G 1 und G~ derart, dal] jede dieser zwei Bereiche mittels Geraden mit der genannten Eigenschaft in eine be- schriinkte &r~ahl yon Teilbereichen G 8 zu verteilen ist, deren jeder wenigstens eine der folgenden Voraussetzungen erfiillt:

1. 6~ 8 ist ein Rechteck 71 ~_ u _~ 7~, 78 -- ~ v _~ 74, wobei 71 ~,1 y. --~,1+ . 7 8 - ~ und Y4 -- �89 gans sin&

2. d~ 8 lieSr ganz im Innern und auf dem Rande eines Q u a d r a t ~ ~ dessen Mitt~Iplmlrt mi~ einem Gitterpunkt ~sammen~illt~, und dessen: Seiten die L~inge 1 .hsben und parallel zu den Koordinatenachsen la~6n.~.

3. EventueI1 ~ach Umkehrtmg oder (und) Ver~ausehung der Koordi- natenaohsen ist d~a: das Trapez 7~ ~ u ~ 7 ~ , rs ~ v ~ m u , wobei 71 -': ~, 7~-- 1. 2, ~'a-'-~ ganz siad und yon x abh~ingen diirfen, m rational


und von x unabh~ngig ist. Dieser Fall tritt nioht im Beweis yon Satz 11 auf, aber kann im Beweis yon Satz 12 vorkommen.

4. Eventuell nach Umkehmng oder (und) Vertauschung tier Koordi- natenachsen ist G s der Bereich a _~ u ~ b, ~, ~ v ~ f (u) ; hierbei diirfen a, b, y und f(u) yon x abh~ngen; a ist y und erfiillt die Funktion f(w) die Beziehungen (88).

Aus der Definition der T-Funktion ergibt sich unmittelbar, dab im ersten und aueh im zweiten Falle T(Gs) beschr~nkt ist. Da im dritten Falle m rational und unabh~ingig yon x ist, ist dann die Anzahl der Gitterpunkte im Innern und auf dem Rande yon Gs, wobei die Git~erpunkte auf dem Rande halb in hnsohlag gebracht werden, gleich

Betrachten wir jetzt den vierten Fall. Es werde b - a-----y gesetzt, so da l ]y eine positive Funktion yon x bezeichnet. Alle in diesem Be- weise vorkommenden Beziehungen mit dem Landauschen Zeichen 0 be- ziehen sich aui x, und sind gleichm~il~ig in w im Intervall a _~ w _~ b. Wegen y --= O (x) und (88) ist

(89) f '(w)--O(1) und fv(w).---O-~. W

Fiir a ~ w + 3 h ~- b und q = l , 2 oder 3 ist wegen (89)

q.hf,,(w)+q~ "~h' f,,,(w ) + q ~ . ~ f ' v (w)

24 ($) + f'(w + qh) -- f'(w) - - O(1);

hierin ist ~ eine geeignet gew~,hlte Zahl im Interval1 (w,w ~ 3h) bzw. ( w ~ - 3 h , w) . Es ist also

h ~ f,,, h a hf'(w)--]- -~ (w)~ Tf 'V(w)=O(1);

h ~ h a 2 . h f " ( w ) + 4 . y f " ( w ) + 8..-6-fXV(w)---O(1) and

8.hf"(w)+9. f'(w)+ Wir multii)lizieren beide Seiten von diesen Beziehungen bzw. mit 3, --3 und 1. Nach Addition finder man

hS fXV(w)--O(1), and d a h = • y gew~ihlt werden kann, Iolgt aus (89)

(90) f '(w)-- O(1) ,rod frV'(w) = O -~ .

250 J .G . van der Corput.

Auf entspreehende Art leitet man aus diesen zwei Beziehungen ab

(') f" (') (91) f"'(w)-- 0 ~/ und (w)--- O ~ . 85

Wit werden jetzt zwei Fglle unterseheiden, je nachdem y __< x s~ oder 86

> a: 86 ist. 85

I. Es sei y _ < x ~.

(92)

Nach Satz 8 ist wegen (91) und (88)

T(O)=Of (1 -~ + d ,, + O 0/-~ )

85

----- O(y ~) q- 0(1) q- O (l/x) = O(x~). 85

II. Es sei y :> x s6. Dann sind bei hinreichend grol~em x die Voraus- ] und ' = 1- setzungen yon Satz 9 erfiillt mit b ~ 4, ~ - ~ i ~ ~ 2.

Denn wegen (91) und (88) ist

If"(,,,) 1 ~+�89 \ ~,' / = 0 -x-_~-~_~ = 0 ,

und jedes System yon drei nicht-negativen ganzen Zahlen hi, ha, h a mit einer Summe ---- 3 hat wegen (91), (90), (89) und (88) die Eigenschaft

(94) ! f(h,+~) (,~).fh,+~) (w).fh,+~) (w) l = 0 ~ x'~" -~+e~ I f ( w ) I j ' ~ - l+e~ \ y-a /

=o(.;.) =0(7 ) so dafl bei hinreichend grol]em x die linken Seiten yon (93) und (94) < 1 sind. Die Yoraussetzungen von Satz 9 sind dann erfiilIt, so dal3 es eine positive absolute Konstante eo gibt mit der Eigensehaft

{ i( 1) �9 0 1 (95) , T(Gs)---- g,yi+r --k du-Jr- O(1/x)

= o(y~ -~) + o ( 1 ) + o ( r ~ ~ = o (x~- ) + o(v'~).

Aus (92) und (95) foIgt, dal] es eine positive absolute Konstante < ~ gibt mit der Eigenschaft

(96) T ( G s ) = O ( x ' ) .

Da im Intervall a __u ~ b stets r < f(u) ist, gibt es eine positive Zald Po < 1 mit dee Eigenschaft ~, < f ( u ) - - Po" Falls G 3 (p) (0 < p ~ Po)

Neue zahlentheoretisohe Absoh~tzungen. 251

den Bereich a ~ u ~ b, ~, ~ v ~ f (u) - p bezeichnet, findet man, wenn man f (u) durch f (u) -- p ersetzt, start der Beziehung (96)

(97) T(Ga(p))=O(x')

gleiehm~il~ig in p. Es bezeichne B die Summe ~'e~=~(xu+,,), erstreckt fiber die Koordi-

natenpaare (u, v) der Gi~terpunkte auf der Kurve a ~_ u < b, v : f(u). Wegen B==T(Gs)--LimT(G~(~)) folgt aus (96) und (97)

p=O

(98) B = o ( , ' ) .

Naeh den Definitionen der T-und T-Funktionen ist

- - 1 o o t g ~ 2 (e~ .~ ~ f,

falls 2 ~ 0, # - - 0, 1

in den anderen Fgllen, so dab aus (96), (98) und ~f ' (w)=O(1) folgt

Wit werden jetzt die S~itze 11 und 12 in wenigen Zeilen beweisen; in diesen Zeilen muB man flit den Beweis yon Satz 12 die T-~unktioa eines Bereiches ersetzen dutch die 2=.Funtrtion, vermindert um den Inhalt des Bereiches, und hierbei ist die 2:-Funktion die Amm~ dar Gitterpunl~e im Innern und auf dem Rande des Bereiohes, wobei die Gitte~unkte aui dem Rande halb in Anschlag gebracht werden.

Nach dem Obigem ha~ jeder der Teilbereiohe G 8 yon Ga und G~ eine T---Funktion = O(x~), und wie sich unmittelbar aus der Definition der T--Funktion ergib~, ist T(G~) bzw. T(dr 9) gleich der Summe der T-Funktionen der" Teilbereiche yon G 1 bzw. Gg, also

~(G:L)=O(x ~) und T(Gg)--O(x~).

Nach der Definition der T.Funktion ist

=

Hiermi~ sind die giitze 11 und 12 volist~ndig bewies~n.

TeUerproblem.

Schliel~lich werclen wit noch das Teilerproblem be~rachten, Um Ab- sch~,tzung (7) a ~ Satz 2 abzuleit~n, braucht man noch zwei neue S~tze.

Satz 13. Es seie~ die VorausseSzungen yon Hilfssatz 2 er]~$.


B e h a u p t u n g e n . 1. Falls Voraussetzung B gilt, gibt es eine h6ch- stens nur van q und ct~ abhdngige Zahl c54 mi t der Eigenscha/t

' Z I b - a i w ( f ( n ) ) ...... . a<__~, <= b Vz~

2. Falls die bei der De/ in i t ion von T (G) genannten Bedingungen er/iillt sind, gibt es eine h6chsten8 nur yon q, c,~, ~ und Ix abhdngige Zahl c.~ mi t der Eigenscha/t

b - - a t T(G)I < %" o+~--"

Oenau wie Satz 1 aus Satz 4, und Satz 8 aus Satz 7 folgt~4)r~), so folgt der obige Satz aus

Satz 14. E8 sei - - ~ _..< ~ __< ~_, _ 1_2 - - < # = < �89 m ganz ~ 0-, es seien die Voraussetzungen yon Hil]ssatz 2 und es sei Voraussetzung B er/iillt;

es werde t o+~ - - - - ~/x~ gesetzt.

D a n n gibt es eine h6chstens n u t van q und c~o. abhdngige Zahl c.,, mi t der Eigenscha/t

1 4 - -

(99) t e ~(~''+"f('~)) v ( f ( n ) - 4 - y ) d y < c.~.. t " a ~ t = _ b 0

Beweis. Genau wie beim Beweis yon Satz 10 beweist man, dal~ die linke Seite yon (99) nicht gr51~er ist als der Ausdruck (70). Die Voraus- setzungen yon Hilfssatz 2 sind mit ,lu -4- (m -5/x) f (u) start f (u), mit

z~ stat~ x~, mit 2 c1~ statt c1~ erfiillt, so da~ es eine hSchstens nur yon iml q und c~2 abhi~ngige Zahl c57 gibt mit der Eigenschaft

(b-a) ~/ Iml ] ,~7 e~=~(~ .+c~+~)f(.)) I < %

und dann ist der Ausdruek (70) kleiner als

% .

Hiermit ist unser Satz bewiesen.

Teilerproblem- Es bezeichne W(v) irgendeine Funktion, die Voraus- setzung B erfiillt; es bezeichne x eine Zahl > 1, a eine Zald im Intervall

( loo) < <

Neue zahlentheoreti~che Absch~tzungen. 253

und es werde gesetzt 1 ( a ' ) x

x, -2-Min ~-,5 ; c,~ 2~, ---- b=2a, f(u)=u

Dann sind die Voraussetzungen yon Hilfssatz 2 erfiillt. b - - a : a ~ 2 x ~ > x ~ ; im Intervall a ~ u ~ b ist

und

Nach Satz

(101)

6 x 6 x 2 : x 2 ~ • ~ < . < ~ f ' " ( ~ ' = ~ - ~ < ~ < - , . . , 2 ~ ( b - - a ) ~ a" ~-- ------- z.,

]f'"(u~) ~2~lf"(u.~)l.~2~[f'(u~)i 13 ist dann

I (de~gl. e~o

( a~u~b) .

Denn es ist

(a .~ u, < b). - - 1 4 i ~ - - -

I Y~('f(n))l~c~'(b--a)'(~/-~ i /x) a<_,.<b -~+ ' b~ + 1

< (c,, ~- 1)- (x+b* -~ x-+b +);

und c~ nachher) eine geeignet gew~hlte hierin bezeichnet c~9 absolute Konstante.

Es bezeichne H die grii•te ganze Zahl h ~iir die 2-V~ 1 ~_ x ~ ~,

Dann ist 2H+1 < 2x ~, also

(102) I 27 w(f(n))l < 2x +.

Aus (101) mit a - - 2-~- ~ (O~h~_H) folgt

H 1 .Z v,(f(n))]~_2[ Z v,(f(n))J

(103) ~H+I-- ~a+l ~"< ~h < (c.. + 1) 2 ( ~ § + ~i~ 2 - ~ + ~- +++~'2 -~h)

h=0

< c~ o (x t~ q- x ~ ) < 2C~o x ~ .

Aus (102) und (103) folgt

(104) I 27 ~(f (n) ) [ ,< c~x ~t.

x i m Bei hinreiohend ,grol~em x erfiillt die Funktion f(u)~.---~ vail x ~ _ u ~ x t: Voraussetmmg D diesem Intervalle gelten die mii~ig in u)

ist.

Inter-

mit k = 4 , ~ = 7 ' - - ~ , Denn in folgenden AbschRtzungen (und zwar gleich-

254 J.G. van der Corput. Neue zahlentheoretische Abschiitzungen.

(105) I f " ( u ) I I f " (u) 1~+~

und 1

f " (u) so dab flit iedes System von drei mit einer Summe = 3

fig

= o ,

kD/

f(h+~)(u)=O(-~) (h=o, 1,2 oder 3)

nicht-negativen ganzen Zahlen hi, h~, h a

(106)

35

if" (u) l {t'4-*+~ eh;u uaT+a" ug+a"

0 uT 1 = = o ?: = o

ist.

die linken Seiten dann

von (105) und (106) kleiner als 1. Bei hinreichend groflem x sind also fiir jedes u im Interval] a ~ u ~ b

Nach Satz 2 ist

1

. ~ y,(f(.))= o ( f \~/ du +

= o ( ~ ~ + ~ - ~ ~ ' ) + o ( { / ? ) = o(~ ~-~,~ + o(x~). 1 (107) Iolgt, dal~ es eine absolute Konstante O < 5

die Be-

(107)

Aus (104) und gibt mit der Eigenschaft

(108) V v,(f(n))=O(xO). Da bekanntlich fiir die durch (6) definierte Funktion A (x)

ziehung

A ( x ) = - - 2 ~ ( ~ _ [ ~ 1 - - 1 ) + O ( 1 ) 1 s )

gilt, folgt (7)unmit te lbar aus (108) mit y~ (v) = v -- [v] -- �89

R o t t e r d a m , den 15. Oktober 1922.

as) Vgl. z. B. E. Landau: ~oer JOivichlets Teilar~roblem [Nachriohten der Ge- sellsohaft der Wissenschaften zu GSttingen, Mathematisch-phyaikalisohe Klasse (1920), S. 18-8B], S. 15-16.

(Eingegangen am 20. 10. 1922.)

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