Neues Thema: Inversion am Kreis (Kreisspiegelung)

Wir arbeiten in(R

2, 〈 , 〉standard

).

Def. Betrachte einen Kreis um O vom Radius r > 0. Inversion (bzgl. desKreises) ist eine Abbildung IO,r : R

2 \ {O} → R2 \ {O}, die Punkt X auf

den Punkt Y abbildet, s.d.−→OY = r2

|OX |2 ·−→OX .

O XY

Koordinatendarstellung:Fur O =

�x0y0

�, X =

�x

y

�.

Dann ist Y = O +−→OY =�

x0y0

�+ r2

(x−x0)2+(y−y0)2

�x − x0y − y0

�Bemerkung |OY | = r2

|OX |2 |OX | = r2

|OX | . Also, |OY | · |OX | = r2

Geometrische Beschreibung der Lage von Y :

◮ O, X , Y liegen auf einem Strahl mit Anfangspunkt O.

◮ |OY | · |OX | = r2

Bemerkung Inversion ist eine Bijektion (als Abbildung desR

2 \ {O} auf sich selbst. )

Einfachste Eigenschaften und komplexe Zahlen

Einfachste Eigenschaften:

1. Liegt X auf dem Kreis um O vom Radius r , so istIO,r (X ) = X .

2. I ist eine Involution: I ◦ I = Id .

3. I bildet innere Punkte des Kreises auf aussere ab undumgekehrt.

4. I kommutiert mit Isometrien: Ist F : R2 → R

2 eine Isometrie,so ist IF (O),r (F (X )) = F (IO,r (X ))

Falls O =�

00

�ist, und r = 1, so ist die Inversion gegeben durch

I�

x

y

�= 1

x2+y2

�x

y

�. Falls wir z = x + i · y setzen, wird die Inversion

wie folgt gegeben:I (z) = z

|z|2:= 1

z, wobei z die komplexe Konjugation ist (da

1z

Ana I= x−i ·y

x2+y2 und deswegen 1z

= x+i ·yx2+y2 . )

Man bedenke auch, dass die Konjugation, also die Abbildungz = x + iy 7→ z = x − iy die Spiegelung bzgl. der Geraden L~0,

�10

�ist.

Inversion als Bijektion von R2 ∪∞

Betrachte verallgemeinerte Ebene R2 := R

2 ∪ ∞︸︷︷︸

ein formaler Punkt

. Dann

definiere die Inversion I : R2 → R

2 wie folgt:

I (X ) =

Y s.d.−→OY = r2

|OX|2 ·−→OX fur X 6= O, ∞

∞ falls X = OO falls X = ∞

Inversion ist eine bijektive Abbildung der verallgemeinerten Ebene aufsich selbst.Frage Warum die Bezeichnung ∞?Antwort: Wir brauchen einenkunstlichen Punkt, um I (O)zu definieren. Je naher X anO ist, je weiter ist I (X ) vonO entfernt. (Weil |OY | =

r2

|OX | ). Man kann sich I (O) als

unendlichen Punkt vorstellen,daher die Bezeichnung.

Def. Ein verallgemeinerter Kreis ist ein Kreis (vom Radius > 0), oderdie Vereinigung G ∪∞

︸ ︷︷ ︸

verallgemeinerte Gerade

, wobei G eine Gerade ist.

Lemma 19. Inversion bildet verallgemeinerte Kreise auf verallgemeinerteKreise ab. Ferner gilt:

◮ Inversion IO,r uberfuhrt alle

verallgemeinerten Geraden, die O

enthalten, in sich selbst,

◮ und andere verallgemeinerte Geraden

in Kreise, die O enthalten.

◮ Inversion uberfuhrt die Kreise, die O

enthalten, in verallgemeinerte

Geraden,

◮ und andere Kreise in Kreise.

Def. Ein verallgemeinerter Kreis ist ein Kreis (vom Radius > 0), oder die Vereinigung G ∪ ∞| {z }verallgemeinerte Gerade

,

wobei G eine Gerade ist.Lemma 19. Inversion bildet verallgemeinerte Kreise auf verallgemeinerte Kreise ab. Ferner gilt:

◮ Inversion IO,r uberfuhrt alle

verallgemeinerten Geraden, die O

enthalten, in sich selbst,

◮ und andere verallgemeinerte Geraden in

Kreise, die O enthalten.

◮ Inversion uberfuhrt die Kreise, die O

enthalten, in verallgemeinerte Geraden,

◮ und andere Kreise in Kreise.

Beweis Betrachten eine Inversion IO,r und einen Kreis K . Da Inversionmit Isometrien kommutiert, genugt es die Aussage des Lemmas fur IF (O),r

und den Kreis BildF (K ) zu beweisen, wobei F eine Isometrie ist.

O

Nach Isometrie

O

Also sei O =�

00

�(und deswegen ist I

�x

y

�= r2

x2+y2

�x

y

�,) und der zu

untersuchende Kreis sei K := {�

x

y

�s.d .(x − xc)

2 + y2 − R2 = 0}.

Da I ◦ I = Id , besteht BildI (K ) aus allen Punkten, die auf Punkte von Kabgebildet werden, also aus allen Losungen der Gleichung(

r2

x2+y2 x − xc

)2

+(

r2

x2+y2 y)2

− R2 = 0. Multiplizieren mit −(x2 + y2)

ergibt(x2 + y2)(R2 − x2

c )︸ ︷︷ ︸

(x y)�

R2 − x2c

R2 − x2c

��x

y

�+2r2xc︸ ︷︷ ︸

a1

·x = r4 (∗)

Ist R2 6= x2c , so hat

�R2 − x2

c

R2 − x2c

�zwei gleiche Eigenwerte, und ist (∗)

die Gleichung eines Kreises.(∅ und Punkt sind ausgeschlossen, weil K mehr als einen Punkt hat.)Ist R2 = x2

c , was bedeutet, das K durch O geht,

O

so ist (∗) ⇐⇒ 2xc · x = r2, und dies ist dieGleichung der Gerade.

Beweis fur die Geraden, die durch O gehen ist ahnlich.

Glatte Kurven und deren Tangenten

Def. Eine (glatte ebene) Kurve ist das Bild einer AbbildungC : [α, β] → R

2, d.h., C (t) =�

C1(t)C2(t)

�wobei C1,C2 stetig differenzierbar

sind, und (C ′1)

2 + (C ′2)

2 > 0. Physikalisch kann man eine Kurve als dieBahn eines Teilchens verstehen.Bsp. Strecke

�C1(t)C2(t)

�=�

x0 + u · t

y0 + v · t

�, t ∈ [α, β], ist eine Kurve.

Bsp. Kreis ist eine Kurve. Z.B.�

C1(t)C2(t)

�=�

cos(t)sin(t)

�, t ∈ [0, 2π], ist die

Abbildung deren Bild der Kreis mit der Gleichung x2 + y2 = 1 ist.

Bsp. Ellipse ist eine Kurve. Z.B.�

C1(t)C2(t)

�=0� cos(t)√

λsin(t)√

µ

1A, t ∈ [0, 2π], ist die

Abbildung, deren Bild die Ellipse mit der Gleichung λx2 + µy2 = 1 ist.

Sei C : [α, β] → R2, ( C (t) =

�C1(t)C2(t)

�) eine Kurve. Was ist deren

Tangente im Punkt P = C (t0)?Geometrische Definition: Nehme dieFolge von Sekanten (=Geraden diedurch C (t0) und C (ti ) gehen,) wobeiti → t0. Dann heißt deren Grenzwertdie Tangente.

(Jede Gerade ist gegeben durch eine Gleichung der Formax + by + c = 0, wobei (∗) a2 + b2 = 1 (Hessische Normalform). OBdAist c 6= 0, also konnen wir die Gleichung so wahlen, dass(∗∗) c > 0.Die Bedingungen (∗), (∗∗) bestimmen die Gleichung einer gegebenenGeraden eindeutig. Also bekommen wir die Folgen ai , bi , ci . Die Folgenkonvergieren, siehe Beweis von Lemma 20. Seien a, b, c die Grenzwerte.Dann ist die Gerade mit der Gleichung ax + by + c = 0 die Tangente. )Analytische Definition: Die Tangente einer Kurve C (t) =

�C1(t)C2(t)

�in t0 ist

die Gerade{

C (t0) +�

C ′1 (t0)

C ′2 (t0)

�s wobei s ∈ R

}

.

Lemma 20. Die analytische und geometrische Definition stimmen

uberein.

Beweis OBdA ist t0 = 0. Betrachte die Taylor-Reihe von C1(t), C2(t) imPunkt t = 0:C1(t) = C1(0) + C ′

1(0)t + Rest1(t) C2(t) = C2(0) + C ′2(0)t + Rest2(t),

wobei limt→0Rest1(t)

t= limt→0

Rest2(t)t

= 0.Dann ist die Gleichung der Sekantedurch C (0),C (t) gleich (LAAG1, Vorl.25)det

�C1(0) − x C2(0) − y

C1(0) − C1(t) C2(0) − C2(t)

�= 0 ⇐⇒

det

�C1(0) − x C2(0) − y

C1(0) − (C1(0) + C ′1 (0)t + Rest1(t)) C2(0) − (C2(0) + C ′

2 (0)t + Rest2(t))

�= 0 ⇐⇒

det

�C1(0) − x C2(0) − y

C ′1 (0) + 1

tRest1(t) C ′

2 (0) + 1tRest2(t)

�= 0 ⇐⇒

x (C′2 (0) +

1

tRest(t))| {z }

a(t)

−y (C′1 (0) +

1

tRest(t))| {z }

b(t)

= det

�C1(0) C2(0)

C ′1 (0) + 1

tRest1(t) C ′

2 (0) + 1tRest2(t)

�| {z }OBdA ist Vorzeichen vonc(t) konstant in der nahevon 0

Da die Normalisierung a 7→ a√a2+b2

, b 7→ b√a2+b2

, c 7→ c√a2+b2

stetig ist

bzgl. a, b, c , ist der Grenzwert von a√a2+b2

, b√a2+b2

und c√a2+b2

gleich dem

Wert in t = 0, und damit gleichx

C′2(0)q

C′1(0)2+C′

2(0)2

− yC′1(0)q

C′1(0)2+C′

2(0)2

= 1qC′1(0)2+C′

2(0)2

det

�C1(0) C2(0)C ′

1 (0) C ′2 (0)

�Also ist der Richtungsvektor der Grenzwertgeraden (proportional zu)(

C ′1(0)

C ′2(0)

)

, und die Gerade geht durch C (0). Damit ist die Gerade wie in

der analytischen Definition.

Winkeltreuesatz

Bsp. Tangente an Kreis {�

cos(t)sin(t)

�,

t ∈ [0, 2π]} in t0 ist die Gerade{�

cos(t0)sin(t0)

�+�− sin(t0)cos(t0)

�s, wobei s ∈ R

}

.

Def. Seien C (t) und C (t) zwei Kurven, die einan-der im Punkt P = C (t0) = C (t0) schneiden. DerWinkel zwischen den Kurven im Schnittpunkt, istder Winkel (alpha ∈ [0, π

2 ]) zwischen deren Tan-genten im Schnittpunkt. Ist der Winkel = 0, soberuhren die Kurven einander

alpha

Satz. Seien C (t),C (t) glatte ebene Kurven, die im Punkt P 6= Oeinander schneiden. Dann gilt: Der Winkel zwischen C und C im Punkt Pist gleich dem Winkel zwischen IO,r (C (t)), IO,r (C (t)) im Punkt IO,r (P).

In Worten: Inversion ist winkeltreu.

Diese Information genugt oft, qualitative Bilder zu machen. Z.B.

Beweis OBdA ist r = 1 und O =�

00

�. Dann ist I

�x

y

�= 1

x2+y2

�x

y

�, und

deswegen I(�

C1(t)C2(t)

�)= 1

C1(t)2+C2(t)2

�C1(t)C2(t)

�. Dann ist der Richtungvektor

von I (C (t)) gleich

ddt

(1

C1(t)2+C2(t)2

�C1(t)C2(t)

�)=

0BB� C′1(t)

C1(t)2+C2(t)2− 2C1(t)

C1(t)C′1(t)+C′

2(t)C2(t)

(C1(t)2+C2(t)2)2

C′2(t)

C1(t)2+C2(t)2− 2C2(t)

C1(t)C′1(t)+C′

2(t)C2(t)

(C1(t)2+C2(t)2)2

1CCA =

1(C1(t)2+C2(t)2)2

�C2(t)2 − C1(t)2 −2C1(t)C2(t)

−2C1(t)C2(t) C1(t)2 − C2(t)2

��C ′

1 (t)C ′

2 (t)

�= 1

γ

(α ββ −α

) �C ′

1 (t)C ′

2 (t)

�,

wobei α, β, γ nur von C (t) abhangen.Also werden wir fur die Kurve C , s.d. C (t) = C (t) , die Formel

ddt

I (C (t) = 1γ

(α ββ −α

) C′1(t)

C′2(t)

!mit denselben α, β, γ haben.

Wir wissen aber, dass 1γ

(α ββ −α

)

zu einer orthogonalen Matrix

proportional ist. Also ist v 7→ 1γ

(α ββ −α

)

v eine Verkettung von einer

orthogonalen Abbildung und einer Streckung. Dann ist der Winkel

zwischen u, v gleich dem Winkel zwischen 1γ

(α ββ −α

)

v ,

1γ

(α ββ −α

)

u, also ist der Winkel zwischen C ′(t),C′(t) gleich dem

Winkel zwischen (I (C (t)))′, (I (C (t)))′.

Diese Information genugt oft, schulgeometrische Aufgaben zu losenAufgabe Der Kreis S beruhrtS1 und S2. Man beweise: Diefolgenden 3 Geraden

1. durchBeruhrungspunkte.

2. durch Mittelpunkte vonS1 und S2.

3. die Gerade, die beideKreise beruhrt

haben einen gemeinsamenSchnittpunkt.

HA: Winkel zwischen Kreisund Gerade fallen in beidenSchnittpunkten zusammen.

A

B

C

Beweis: ACB ist gleichschenklig, und deswegen ∠CAB = ∠CBA. Da∠CAO = ∠CBO = π

2 , gilt ∠BAO = ∠ABO.

Folgerung Betrachte ein Oauf der Geraden und eine In-version, die A in B und B in Auberfuhrt (d.h. |AO| · |BO| =r2). Dann fuhrt sie den Kreisin sich selbst uber.

A

B

O

Beweis. Die Gerade enthalt O und wird deswegen auf sich selbstabgebildet. Der Kreis wird auf einen Kreis abgebildet (Lemma 19). Dader Kreis die Punkte A und B enthalt, und da A auf B, B auf Aabgebildet wird, wird das Bild des Kreises die Punkte A und B enthalten.Da Inversion winkeltreu ist, erhalt sie Winkel zwischen Bild des Kreisesund der Geraden, also wird der Kreis auf sich selbst abgebildet.

AB

OS 1S2

Losung der Aufgabe Be-trachte die Gerade durchBeruhrungspunkte, und dieGerade durch Mittelpunktevon S1 und S2. Sei O derenSchnittpunkt.

Nehme die Inversion mit Zentrum in O, die A in B und B in A uberfuhrt(r =

√

|OA| · |OB|). Nach HA wird Kreis auf sich selbst abgebildet.Dann wird S1 auf einen Kreis abgebildet, der Kreis in A beruhrt. Aber daGerade auf sich selbst abgebildet wird, und da sie durch Mittelpunkt desKreises S1 geht (s.d. Winkel zwischen S1 und Gerade gleich π/2 ist),muss nach Winkeltreuesatz die Gerade durch Bild des Kreises S1 gehen.Also ist das Bild von S1 gleich S2. Ahnlich zeigt man, dass das Bild vonS2 der Kreis S1 ist.

OS 1S2

Dann wird die Geradedurch O, die S1 beruhrt,�

auf sich selbst abgebildet (Lemma 19)S2 beruhren (Winkeltreuesatz)

Also haben alle 3 Geraden durch Beruhrungspunkte,

durch Mittelpunkte von S1 und S2, die Gerade, die beide Kreise

beruhrt, einen gemeinsamen Schnittpunkt O.

O

A

B

C

Aufgabe Betrachte die geschlossene Ket-te aus 4 Kreisen: S1 beruhrt S2, S2 beruhrtS3, S3 beruhrt S4, und S4 beruhrt S1. Manzeige: die Beruhrungspunkte der Kreise lie-gen auf einem Kreis.

Beweis. Betrachte die Inversion mit Zen-trum in O. Nach der Inversion werden dieKreise wie rechts aussehen. Der Kreis durchOCA wird in eine Gerade durch C und Auberfuhrt. Man zeige: die Gerade enthalt B.

A

B

C

A

C

BNalpha

alpha

P

Wir betrachten die gemeinsame Tangen-te in B. Es gilt: ∠CPB = ∠ANB = alpha.Nach HA ist ∠BAN = ∠ABN. Da alpha +∠BAN = ∠ABN = π, ist ∠ABN = π−alpha

2 .

Ahnlich, ist ∠CBP = π−alpha2 . Also ist

∠CBP = ∠ABN,und die Segmente CB undBA liegen auf einer Geraden.

Kreise, die zum Inversionskreis orthogonal sind

Folgerung A Betrachte einen Kreis, derzum Kreis mit Zentrum in O und Radius rorthogonal ist. Dann gilt: die Inversion IO,r

bildet den Kreis auf sich selbst ab.

O

O

A

B

Beweis. Die Tangenten zum Kreis sindin den Schnittpunkten orthogonal zu denTangenten des Inversionskreises, und gehendeswegen durch O.Der Kreis, dessen Tan-genten OA und OB, und die Punkte A undB haben die folgenden Eigenschaften:8<: I (A) = A, I (B) = B

BildI (OA) = (OA) BildI (OB) = (OB)Kreis beruhrt OA in A und OB in B

. Dann

beruhrt das Bild des Kreises OA in A undOB in B, und deswegen fallt es mit demKreis zusammen.

Sekantensatz

Folgerung B(Sekantensatz)|OB| · |OC | = |OA|2

O

A

BC

Beweis Betrachte denKreis mit Mittelpunkt Ound Radius r = |OA|.

O

A

BC

Er ist orthogonal zum Kreis. Dannbildet IO,r den Kreis auf sich ab. DaIO,r die Gerade erhalt, ist IO,r (B) =C . Dann ist |OB| · |OC | = r2 =|OA|2.

Folgerung C Jeder Kreis, der durch A und IO,r (A) geht, ist zumKreis um O vom Radius r orthogonal.

Warum heißt Inversion auch Kreisspiegelung?

Folgerung D Alle Kreise, die zumKreis um O vom Radius r orthogonalsindund Punkt A enthalten (ange-nommen, A liegt nicht auf dem Kreisum O vom Radius r), haben genau2 gemeinsame Schnittpunkte (z.B. Aund B). Ferner gilt: IO,r (A) = B undIO,r (B) = A.

O

A B

O’

A B

Bemerkung Betrachte die Spiegelung Sbzgl. einer Geraden G . Dann sind alle Kreise,die durch A 6∈ G und B := S(A) gehen, zurGeraden orthogonal.Bemerkung Inversion von O ′ vom Bild

oben gibt das Bild links.

Frage Was macht eine Inversion mit dem Abstand zwischen Punkten?Lemma 21 Sei A,B ∈ R

2 \ O.Dann gilt:

|IO,r (A)IO,r (B)| = |AB| r2

|OA|·|OB| .

O

A

B

I(A)

I(B)

Beweis. Die Dreiecke OAB und O I (A) I (B) sindahnlich, weil Winkel O gleich ist, und|OA||OB| = |OI (B)|

|OI (A)| , weil |OA| · |OI (A)| = |OA| ·

|OI (B)| = r2. Dann |AB||I (A)I (B)| = |OA|

|OI (B)| . Dann

|I (A)I (B)| = |AB| · |OI (B)||OA|

|OB|·|OI (B)|=r2

= |AB| · r2

|OB|·|OA| ,

Def. Doppelverhaltnis (A,B;C ,D) ist die Zahl|AC ||BC | : |AD|

|BD| = |AC |·|BD||BC |·|AD| . (∗)

Lemma 22 (A,B;C ,D) = (I (A), I (B); I (C ), I (D)) (falls es definiert ist)(In Worten: Inversion erhalt das Doppelverhaltnis.)Beweis. Nach Lemma 21 ist

|IO,r (A)IO,r (C)| = |AC |r2

|OA| · |OC |, |IO,r (B)IO,r (C)| = |BC |

r2

|OB| · |OC |

|IO,r (A)IO,r (D)| = |AD|r2

|OA| · |OD|, |IO,r (B)IO,r (D)| = |BD|

r2

|OB| · |OD|.

Einsetzen in (∗) ergibt die Aussage.

Satz von Ptolemaus

C

A

B

D

Satz von Ptolemaus. Ecken eines VierecksABCD liegen auf einem Kreis. Dann gilt:|AC | · |BD| = |AB| · |CD| + |AD| · |BC |.

Beweis.Z.z.: 1 = |AB|·|CD|+|AD|·|BC||AC|·|BD| . Aber

|AB|·|CD|+|AD|·|BC||AC|·|BD| =

|AB|·|CD||AC|·|BD| +

|AD|·|BC||AC|·|BD| = (A,D;B,C ) + (D,C ;A,B) und das

andert sich nicht nach einer Inversion (Lemma 22). Nach geeigneterInversion (s. Bild) wird das Bild wie folgt verandert:

C

A

B

O

Nach Inversion I

I(B)

I(A) I(C)

I(D)

Da b c

Man bezeichne |I (A)I (B)| = a, |I (B)I (C )| = b, |I (C )I (D)| = c . Dannist |I (A)I (C )| = a + b, |I (B)I (D)| = b + c , |I (A)I (D)| = a + b + c . Esfolgt|I (A)I (B)|·|I (C)I (D)|+|I (A)I (D)|·|I (B)I (C)|

|I (A)I (C)|·|I (B)I (D)| = ac+(a+b+c)b(a+b)(b+c) = ac+ab+b2+bc

ab+b2+ac+bc= 1,

Kreistreu Transformationen.

Def. Wir sagen, dass eine bijektive Abbildung F : R2→ R

2ist

Kreistreu, wenn fur jeden verallg. Kreis K gilt: das Bild F (K ) ist auch einverallg. Kreis.Konvention. Wir werden die Isometrien und Ahnlichkeitstransformationsals Abbildungen von R

2→ R

2wie folgt verstehen: fur jede Isometrie oder

Ahnlichkeitstransformation F wir erweitern den Definitionsbereich bisR

2= R

2 ∪ {∞}:wir setzen F (∞) = ∞.

Jede Kreistreu Transformation ist eine

Ahnlichkeitstransformation, oder die Verkettung einerInversion und einer Isometrie.

Def. Wir sagen, dass eine bijektive Abbildung F : R2

→ R2

ist Kreistreu, wenn fur jeden verallg.Kreis K gilt: das bild F (K) ist auch ein verallg. Kreis.Konvention. Wir werden die Isometrien und

Ahnlichkeitstransformations als Abbildungen von R2→ R

2wie folgt verstehen: fur jede Isometrie oder

Ahnlichkeitstransformation F wir erweitern den Definitionsbereich bis R2

= R2 ∪ {∞}:

wir setzen F (∞) = ∞.

Bsp. Jede Isometrie und jede Ahnlichkeittransformation ist kreistreu: sie

sind bijektiv auf R2 und deswegen auch auf R

2. Sie bilden Kreise −→

Kreise, Geraden −→ Geraden, also veralg. Kreise auf veralg Kreise.Bsp. Inversion ist auch kreistreu (Lemma 19).Bsp. Verkettungen von Ahnlichkeittransformationen und Isometrien sindkreistreu: sie sind bijektiv als Verkettungen von bijektiven Abbildungen.Offensichtlich, wenn F1 und F2 kreistreu sind, ist auch F1 ◦F2 kreistreu: inder Tat, fur einen veralg. Kreis K haben wir dass F1 ◦ F2(K ) = F1(F2(K ))ein veralg. Kreis ist, weil F2(K ) ein veralg. Kreis ist.

Satz. Eine kreistreu Abbildung F : R2→ R

2ist eine

Ahnlichkeittransformation oder die Verkettung von einer Inversion undeiner Isometrie.

Beweis. Sei F : R2→ R

2eine kreistreu Abbildung.

Fall 1. F (∞) = ∞. Dann gilt: Bild von jede Gerade ist Gerade. Also, die

Abbildung F beschrankt auf R2 = R

2\ {∞} ist dann eine geradentreu

Abbildung, also eine Kollinearitat (siehehttp://users.minet.uni-jena.de/∼matveev/Lehre/LA10/vorlesung9.pdf)Dann ist die eine bijektive affine Abbildung nach Fundamentalsatz derreellen affinen Geometrie, siehe Satz 17 aushttp://users.minet.uni-jena.de/∼matveev/Lehre/LA10/vorlesung9.pdf,also hat das Aussehen F (x) = Ax + b. Wenn A nicht zu einerOrthogonalmatrix proportional ist, ist Bild des Einheitkreises kein Kreis.Also, F (beschrankt auf R

2) hat das Aussehen F (x) = k ·Ox + b fur eineOrhtogonalmatrix O; dann ist sie eine Ahnlichkeitsabbildung.

Fall 2. F (∞) = Z 6= ∞. Wir betrachten dann eine Inversion IZ ,r mitZentrum Z und Radius r . Radius r konnen wir zuerst beliebig wahlen,spater werden wir aber den Radius r eichen.Die Abbildung IZ ,r ◦ F ist eine kreistreu bijektive Abbildung und erfulltdie Bedingung F (∞) = ∞. Dann ist sie IZ ,r ◦ F eineAhnlichkeitsabbildung, wie wir es oben in Fall 1 bewiesen haben, also ist

IZ ,r ◦ F (x) = k · Ox + b.

Man merke jetzt, dass die zwei Inversionen mit einem Zentrum undverschieden Radien IZ ,r und IZ ,R unterscheiden sich durch eine zentrischeStreckung mit Koeffizient R2/r2: z.B. direkt ausrechnen: die Formel furIZ ,r und IZ ,R sind

IZ ,r (X ) = Z +r2

|XZ |2−→ZX , IZ ,R(X ) = Z +

R2

|XZ |2−→ZX .

Die Formel fur die Streckung mit dem Koeffizient k und Zentrum Z ist

SZ ,k(X ) = Z + k(X − Z ).

Dann gilt fur k = R2/r2:

SZ ,k ◦ IZ ,r (X ) = Z + k

(

Z +r2

|XZ |2−→ZX − Z

)

= Z +R2

|XZ |2−→ZX = IZ ,R .

Dann aus IZ ,r ◦ F (x) = k ·Ox + b bekommen wir IZ ,R ◦ F (x) = Ox + 1kb,

wobei R so gewahlt ist dass k = R2/r2. Wir wenden die Inversion IZ ,R

auf beiden Seiten der letzten Gleichung und bekommenF (x) = IZ ,R(Ox + 1

kb),

Verkettung von Inversionen

Folgerung. Verkettung von Isometrien und Ahnlichkeitabbildungen (inbeliebiger Reihenfolge) ist eine Ahnlichkeitsabbildung oder eineVerkettung von Inversion und Isometrie.

Beweis. Die Verkettung von Isometries und Ahnlichkeitabbildungen ist

eine kreistreu Abbildung und daher eine Ahnlichkeittransformation oder

die Verkettung von einer Inversion und einer Isometrie.