Vol. lII, 1952 335

N i c h t k o m m u t a t i v e c a r t e s i s c h e G r u p p e n

"Von GI)NTEIt PICKEnT ill Tiibingen

Unter einer cartesischen Gruppe sei verstanden eine additiv geschriebene, nicht nur aus ihrem ncutralen Element 0 bestehende Gruppe, in der eine weitere, als Multi- plikation gesehriebene'bin~re Verkniipfung mit den folgenden Eigenschaften er- klart ist:

(1) O a = a O ~ 0 [iir alle a ;

(2) aus a =/= b u n d c @ d ]olgt ca - - cb =/: da - - db ;

(3) es gibt eln Element 1 m i t l a = a l = a /fir alle a ;

(4) zu Elementen a, b, c m i t a :~: b gibt es ein x mi t x a - - x b = c "

(5) zu E lementen a, b, c m i t a =/= b gibt es ein y mi t - - a y -k by = c .

I)abei ist wie iiblich a das Element mit a § ( - -a) = 0 = ( - -a) + a , und s tat t a -~ (--b) wird a - - b sowie statt (--b) + a einfach - - b + a geschrieben. Man er- kennt sofort, dag (2) dasselbe bedeutet wie die eindeutige Bestimmthcit des Elementes x in (4) und dasselbe wie die eindeutige Bestimmtheit des Elementes y in (5).

Die cartesischen Gruppen ergeben sich bei der Untersuehung solcher projektiver Ebenen, in denen der Satz yon I)~SARCUES wenigstens fiir eine fcste Achse und ein [estes auf ihr liegendes Zentrmn gilt. Nach R. BAEn ~) lassen sich den nicht auf der Achse liegenden Punkten einer solchen Ebene die Paa.re von Elenlenten einer car- tesisehen (;rruppe so zuordnen, dal3 die den Punkten einer Geraden zugeordneten Paare (x, y) dureh eine Gleiehung y = ax + b oder x ----- c gekennzeichnet sind; um- gekehrt liefert jede eartesische Gruppe auf diese Weise eine projektive Ebene der angegebenen Eigenschaft.

Insbesondere ist natiirlich jeder SchiefkSrper eine cartesische Gruppe. Bekannt- lieh braucht man bei der Definition des SchiefkSrperbegriffs die Kommutativit/it der Addition nicht zu fordern. Es taucht daher die Frage auf, ob es i iberMupt nichtkommutat ive cartesische Gruppen gibt, d. h. solche mit nichtk~)mmutativer Ad- dition, l)iese Frage besitzt zufolge der erwiihnten Beziehung zu gewissen projek-

1) Amer. J. Math. 64, 137 152 (1942). BAEn verweildet den Namen ,,carLesisches System" uml hat in (3) (tie algebraisch unbequemere, geometrisch jedoch nil her liegende Forderung (--1) a =

336 G. PICKI';RT AI~CH. i~I~.Tti.

l iven Ebenen aueh geometrisches Interesse, n~imlieh als Frage naeh der Unabhiingig- keit des die Kommutat ivi t i i t der Addition darstel/enden Schliel3ungssatzes yon dem erw~ihnten Sonderfall des D~SAnGUESSChen Satzes. ]m folgenden wird nun ein Ver- fahren zur Herstellung nichtkommutat iver cartesischer Gruppen angegeben.

N~ther untersueht worden sind bisher lediglich die link~- bzw. rechts-distributiven

cartesischen Gruppen, d .h . solche, in denen stets

(6) (a + b) c = ac + bc

bzw.

(7) c (a + b) = ca + cb

gilt. Gerade unter diesen nun findet man did gesuehten nichtkommutat iven car- tesisehen Gruppen nicht:

Satz 1. Jede links- oder reehts-distributive carlesische Gruppe ist kom~utative).

Zuerst iiberlegt man sieb, dab as gentigt, die rechts-distributiven e~rtesischen Gruppen zu betr~chten. Bildet man namlich zu einer eartesischen Gruppe eine

neue Struktur mit der dureh a (~ b = b + a bzw. a C) b = ba definierten Addi t ion �9 und Multiplikation �9 welehe im folgenden als die entgegengesetzte Struktur be- zeichnet sei, so ist aueh diese eine eartesische Gruppe; denn (1), (2), (3) gehen je- wells in sich und (4), (5) ineinander tiber. Die entgegengesetzte Struktur einer ear- tesischen Gruppe G i s t nun gen~u d~nn kommutat iv , wenn G diese Eigensehaft h~t, und genau dann rechts-distributiv, wenn G links-distributiv ist. Nach diesen Vor- bereitungen tolgt Satz I sofort aus dem folgenden

I t i l fssatz 1. In einer additiv geschriebenen Grupp'e, in der eine weitere, als Multi-

plikation geschriebene Verkniip/ung mit den Eigenscha/ten (2), (5), (7) erkldrt ist,

geh6rt ein Element a -if:: 0, /iir da8 ]ede Gleiehung c + a - - c ~- xa nach x au/liisbar

ist, dem Zentrum an.

Zum Beweis werden r und s so best immt, dal~ a ~-- ra und e + a - - e ---- sa ist. W~re r :# 8, so liel~e sich nach (5) ein E/ement y mit - - s y § ry ~- c bestimmen, und daraus wiirde mittels (7) - - s (y + a) + ~'(y Wa) -~ - - s a - - ~y + ry + r a ~

e - - a - - c + c -~- a = c , w~s wegen r 5~: s und y 5]= y + a der Eigenschaft (2) wider: sprechen wtirde. Also ist r ~- s und dam it a = e + a --- c fiir alle e, d. h. a liegt im

Zentrum. Bci endlichen cartesisehen Gruppen sind natiirlich die Existenz~uss~gen (4), (5)

eine Folgc der Eindeutigkeitsaussage (2), da eine eineindeutige Abbildung einer end-

a) Nur nebenbei sei erw~ihnt, dag die Rechtsdistributivitiit einer cartesischen Gruppe fiir die damit gebildete pro]ektive Ebene bedeutet, daft der Satz yon DI.:SAn~UES fiir einen weiteren und damit fiir alle Punkte der (festen) Aehse als Zentrum gilt (vgl. etwa M. HALL, Trans. Amer. m~th. Soc. 54, 229--277(1943), insb. S. 266, Th. 6.3). Von dieser Tatsache ausgehend kann man naeh einer briefiiehen Mitteihmg von Herrn KLINCENnEnG (8. 6. 1952) den Satz 1 auch sehr einfaeh geo- metriseh beweisen.

Yol. III, 1 9 5 2 INichtkommutative cartesische Gruppen 337

lichen Menge in sich stets eine Abbildung auf sich i~. Trotz diescr Vereinfachung erscheint die Suche nach endlichen nichtkommutativen cartesischen Gruppen schwie- rig; denn da es keine nichtdesarguessche projektive Ebene mit genau sieben Punkten auf jeder Geraden gibt 3) und daher auch keine nichtkommutative cartesische Gruppe ruit sechs Elementen, miiflte eine nichtkommutative cartesisehe Gruppe mindestens acht Elemente enthalten; die rein kombinatorische Untersuchung, ob eine nicht- kommutative Gruppe von acht Elementen zu einer cartesischen Gruppe gemacht werden kann, ist aber bereits schr langwierig. Wendet man sich daher nun zur Her- stellung unendlicher cartcsischcr Gruppen, so erscheint es zweckmi~l~ig, mit einer Gruppe zu beginnen, die eine zweite bini~re Verkntipfung mit den Eigenschaften (1), (2), (3) besitzt, - - eine solehe sei in~l folgenden als halbcarte~ische Gruppe be- zeichnet - - und diese dann naeh Miigliehkeit zu einer cartesischen Gruppc zu er- weitern. Das gelingt nun immer auf Grund des folgenden Satzes, der zugleich die Existenz nichtkommutativer cartesischer Gruppen beweist, da z. B. der Ring der ganzen Zahlen die Voraussetzungen dieses Satzes crfiillt.

Satz 2. Jede halbcartesische, nicht cartesische Gruppe ldflt sich zu einer nichtkommu- tativen cartesischen Gruppe e'rweitern.

Man daft voraussetzen,-dab die zu erweiternde halbcartesische Gruppe G nicht die Eigenschaft (4) besitzt; denn den Fall, dal~ (5) vcrletzt ist, fiihrt man durch ~bergang zur entgegengesetzten Struktur, die offenbar wieder eine halbcartesische Gruppe ist, auf diese Voraussetzung zuriick. Es geniigt nun zu zeigen, dab man G in eine nichtkommutative halbcartesische Gruppe G* einbetten kann, in der (4) un- t e rde r zusi~tzlichen Voraussetzung a, b, c E G gilt. Durch Anwendung dieses Er- gebnisses auf die zu G* entgegengesetzte Struktur gewinnt man namlich offenbar eine Erweiterung yon G zu einer nichtkommutativen halbcartesiscl~en Gruppc G', in der (4) und (5) unter der zusatzlichen Voraussetzung a, b, c E G gelten. Fort- gesetzte Wiederholung des yon G zu G' ftihrenden Verfahrens liefert nun eine auf- s teigendc Kette G', G", G'", . . . von halbcartesischen Gruppcn, deren Vereinigung G offensiehtlieh wieder eine halbcartesische Gruppe ist. Gis t abet sogar cartesisch; denn zu a, b, c E G gibt es nach Definition Yon G cine nattirliche Zahl n mit a, b, c ~ G In), und die Existenzforderungen (4), (5) sind dann in G ('+~ erfiillt.

Um nun G' zu biiden, bedient man sigh zweier Verfahren zur Herstellung frcier Erweiterungen. EinmaI handelt es sich um die bekannte ]reie Gruppenerweiterung einer (additiv geschriebenen ) Gruppe G mittels einer (zu G fremden, nichtleercn) Erzeugendenmenge Z. Als Elemente der Erweiterung nimmt man die cndlichen Fol- gen ~: x 1 i x2 . . . -t- xn von mit ,,Vorzeichen" q- oder - - versehenen Elementen % ~ G L J Z , wobei 1. x~ und x~+~ nicht zugleich in G liegeni 2. im Falle x i = xi+ ~ an der /-ten und (/+].)-ten Stelle verschiedene Vorzeichen stehen, 3. bei Xi E G

8) Von G. T~aY 1900 bewiesen; s. R. H. Ba~cK -- H. J. RYs~n, Canadian J. Math, 1, 88~93 (1949).

338 ( ; . PICK ERT ARCIi, MATH.

das u stets § und 4. fih" n > ] stets x i ::/= 0 ist. Die aus zwei solehen

Folgen 4- x 1 . . . i x,, 4- yl . . . 4- Ym zusammengesetzte Folge 4- x I . . . 4- x, 4- Yl . . . 4- Ym wird ira allgemeinen die Forderungen 1--4 nieht erfiillen; doeh gewinnt man aus ihr offenbar genau eine diesen Bedingungen gentigende Folge durch _An- wenden der folgenden Regeln: Nebeneinander stehende gleiche Eleraente versehie- denen Vorzeichens werden gestrichen oder, falls sonst'keine Glieder vorhanden sind, dureh 0 ersetzt; nebeneinander stehende Elemente aus G werden durch ihre Summe ersetzt, falls diese 5A 0 ist oder sonst keine Glieder mehr vorhanden sind, andern fails gestrichen. Die so entstehende Folge wird als die Summe yon i Xl � 9 4- x, und • Y~ . . . • Ym bezeiehnet. Man rechnet leicht hath, dal~ die Menge der beschriebe- nen Folgen dadurch sowie durch Gleichsetzen :von d- x mit x zu einer yon den Ele- menten der Menge G ~ Z erzeugten Obergruppe von G wird und die Vorzeichen d-, - - gerade den in einer additiv geschriebenen Gruppe iiblichen Sinn erhalten4). Es gilt nun

Hilfssatz 2. I n der /reien Gruppenerweiterung einer Gruppe G mit der Erzeugenden-

menge Z /olgt aus u, v, w ~ G ~ ) Z , z E Z , z ~s u , z ~ v stets

Z--~#V--W. Zum Beweis wird d----- - - v + z - - u A-w als Folge mit den oben angegebenen

Eigensehaften :1--4 dargestellt. Dazu hat man im Fall 0 :?~ v ~ G das Element - - v, im Fall~ u, w E G, u # w alas Element - - u -~ w und im Falle 0 # u ~ G, w E Z das 4~lement - - u als ()lied der Folge anzusehen, wiihrend Elemente = 0 sowie bei u = w die Elemente u und w zu streichen sind. Weitere ~nderungen sind wegen z E Z , z :~ u, z =/: v nieht vorzunehmen. ])aher ist d :~ 0, woraus wegen v + d - - w = z - - u die Behauptung folgt.

Neben de{ freien Gruppenerweiterung wird noeh eine solche ben(itigt, bei der mit Z' g Z und einer eineindeutigen Abbildung ~ yon Z' in Z - - Z ' zwischen den Erzeugenden die Relationen

(8) z - - g(z) +~(z ) (g(z) ~ a , z ~ Z ' )

bestehen. Dieser Begriff laf~t sieh sofort auf den vorigen dadurch zurtiekfiihren, dallt man die freie Erweiterung mit der Erzeugendenmenge Z - - Z ' bildet und in dieser g(z) § ~(z) fiir jedes Element z ~ Z ' gleieh z setzt. Man hat dann

Hilfssatz 3. I n der Gruppenerweiterung einer Gruppe G mit der Erzeugendenmenge

Z und den Relationen (8) /olgt aus u , v , w C G ~ ) Z , z C Z , z : ~ : u , z ~ v ,stets

- - u 4 : v - - o d e r Z ' , = o d e r Z ' , = .

Zum Beweis beaehte man, dag sich jedes Element yon G ~_)Z eindeutig in der Form ff + z mit g E G und z ~ Z - Z ' oder z = 0 darstellen lii/~t; genau im Falle

4) S. etwa O. Sr Abh. math. Sere. Univ. Hamburg 5, 161--183 (1927) oder K. RE1Dr:" MEISTER, Einfiihrung in die kombinatorische Topologie. Braunsehweig ~932, S. 31--33.

Vol. III, 1 9 5 2 Niehtkommutative cartesisehe Gruppen 339

g ~ 0, z =)t= 0 ist dabei g + z E Z ' und ~ (g§ = z. in diesem Sinn seien gi + z i (i = 1, 2, 3, 4) die Darstellungen der Elemente u, v, w, z. Man bildet wieder d = - - v + z - - u + w ~ - - z~ + (--g2 -r q- z4 - - zl + ( - -gl +g3) + z~ und stellt dieses Element in der freien G-ruppenerweiterung mit der Erzeugendenmenge Z - - Z ' dutch eine Folge mit den Eigenschaften 1--4 dar. Ist z 4 =/: zl, so kann bei Her- stellen dieser Folge das Element z 4 (:/: 0) nicht verschwinden, da wegen z :# v jeden- falls - - g2 + g4 =/= 0 oder z 2 =r z 4 ist. In diesem Fall mutt daher d St: 0, also z - - u v - - w sein. Im Falle z 4 = z 1 abet kann wcgen z ~ u nieht ga =t= 0 und gl ~ 0 sein, da ja dann ~(z) = z 4 = z~ -= ~('u) wi~re. Bei g4 =)t= 0, gl = 0 gilt nun z ~ Z ' , ~(z) = z 4 = z 1 = u und bei gl =i t: 0, g4 = 0 umgekehrt u E Z' , ~(u) ---- z.

Bei dem zweiten Verfahren handelt es sich um multiplik.ative Systeme. Unter einem solehen soll hier eine algebraische StrUktur M mit einer als Multiplikation ge- schriebenen Verkniipfung verstanden werden, in der (3) gilt und ein Element 0 mit (1) vorhanden ist. Ftir eine zu M fremde, nicht leere Menge Z wird nun die Menge M(Z) derjenigen endtiehen Folgen eingeftihrt, welche aus den Elementen E M ~_9 Z zusammen mit einem besonderen Zeichen, etwa (, gebildet werden ~) und die Eigen- schaften haben: Das letzte Glied der Folge ist Element von M ~ ) Z , und vor ihm stehen genau so viel Klammern wie Elemente ~ M U Z, w';thrend vor jedem anderen Glied E M k_) Z mehr Klammern als Elemente E M O Z stehen; folgen auf eine Klammer zwei Glieder ~ M L.)Z aufeinander, so diirfen diese nicht beide zu M gehSren; enthiilt die Folge mehr als ein Glied, so kommt weder I noch 0 in ihr -~or. Beispiele solcher Folgen sind ((x~x2(xs(XaX 5 und (((xlx2x~x4, wobei in beiden Folgen nicht xl, x 2 E M und in der ersten nieht x4, x 5 E M sein daft. Eine Folge E M(Z), bei d e r n u r ein Glied in M (..)Z liegt, enth~lt nun auch keine Klammer und daft daher mit ihrem einzigen Glied gleichgesetzt werden. Das Produkt von Elementen / ' , / " ~ M(Z) wird im Fa l le / ' = 0 oder /" = 0 a]s 0, im Fa l le / ' ---- 1 a!s/", im Falle /" ~ 1 als ]', im Fa l l e / ' , / " E M als das bereits in M erkliirte Produkt ] '/", und sonst als ( / ' /" , d. h. als durch Hintereinandersetzen mit vorgesetzter Klammer entstanden, erklhrt. Man erkennt leicht, da] dieses Produkt tats~chlieh wieder in M(Z) liegt. Das so erhaltene multiplikative System M(Z), welches M als Unterstruktur enthiilt, wird als die/reie multiplikative Erweiterung yon M mit der Erzeugendenmenge Z be- zeichnet. Da]~ diese Bezeiehnung sinnvoll ist, also jedes Element von M(Z) sich wirklich auf genau eine Weise mu]tiplikativ aus Elementen von M k_)Z zusammen- setzt, ergibt sich nebenbei aus dem

Hilfssatz 4. Ein Element / yon M (Z), welches nicht in M k__) Z liegt, ldflt sich an! genau eine Weise als Produkt yon zwei Faktoren =~: 1 schreiben, und diese Faktoren sind Jr=/. Ein Element von Z besitzt keine solche Zerlegung.

s) Bei einer einzigen binSren Verkniipfung ist bekanntlieh die schliel]ende Klammer ]edes Klam- merpaares iu der fihlichen Klammerschreib\veise iiber[l(issig. Aus dieser Bemerkung ergibt sich der hier eingesch]agene Weg.

340 G. PICKERT ARCH. MATH,

Die letzte Aussage folgt sofort daraus, dat~ ein Produkt von Faktoren =~= 1, das nicht in M liegt, mindestens eine Klammer enthiilt. Um die erste Aussage zn be- weisen, sei x I . . . . . x, (n > 1) die Teilfolge der Glieder ~ M O Z der betreffenden F o l g e / ~ M ( Z ) - - M ~ . 3 Z und n i die Anzahl der vor (d. h. in der Folge [ links yon x,.) stehenden Klammern. Diese Klammerver te i lungszah len n i miissen nach der Definition yon M ( Z ) die Bedingungen erftillen:

(9) i ~ n i ( i~- ] . . . . . n - - I ) , n n = n - - ] .

Soll nun / Produkt der Folgen/ ' , /" (:~:]) sein, so mul~ ffir eine gewisse natiirliche Zahl m ~ n die Folge 1' die x 1 . . . . . xm und die Folge/" die xm§ 1 . . . . . x, enthalten. Die Klammerverteilungszahlen yon / ' sind dkbei die n ~ - 1 . . . . . n ~ - 1 und die yon /" die n m t l - - n m . . . . n , - - n m , da ja sis zwisehen x~ und xm+ 1 vorkommenden Klammern zu f" gereehnet werden mtissen. Die Bedingungen (9) fiir die Klammerverteilungszahlen yon / ' ergeben nun n i ~- i (i ----- 1 . . . . . m - - 1), n~ = m, d. h. m ist eindeutig bestimmt. Da aus (9) % _ ~ = n - 1 folgt, ist eine solchc Zahl m tats~chlich vorhanden und ~ n. Man stellt sofort lest, da~ Zerteilung yon [ unmittelbar hinter Xm und Weglassen der vordersten Klammer - - w e g e n nl ~ 1 beginnt / mit einer solehen - - wirklich zwei Folgen /', /" =/= ] und 5/= / aus M ( Z ) liefert, deren Produkt ~ f ist.

Zu der halbcartesischen Gruppe G, die ja hinsiehtlich ihrer Multiplikation aueh ein multiplikatives System ist, wird nun die freie multiplikative Erweiterung G~ mit der Erzeugendenmenge T gebildet; dabei ist T eine solche Teilmenge der Menge aller Tripel (a, b, c) mit a, b, c E G, a 5L b und c ::/: xa - - xb fiir alle x ~ G, welche von jedem Tripelpaar (a, b, c), (b, a , - - c ) genau ein Tripel enthi~lt. Da G die Be- dingung (4) verletzen soll, ist T tatsi~chlich nieht leer. Nach Hilfssatz 4 gilt ftir (a, b, c), (a', b', c') ~ T stets (a, b, c) a 5~= (a', b', c') b', so daft dutch (a, b, c) a -~ (a, b, c) b die Menge G'~ ( ~ G~) der (a, b, c) a (mit (a, b, c) E T) in die Menge G~--G'~ abgebildet w i r d - und zwar offenbar eineindeutig. Wie der Vergleich mit (8)zeigt, kann man daher in der dort angegebenen Weise zu der Gruppe G die Gruppen- erweiterung G 2 mit der Erzeugendenmenge G~- -G und den Relationen

(10) (a, b, c) a -~ c ~- (a, b, c) b fiir (a, b, c) ~ T

bilden. Wegen (a,b,c) ~ 1 =/= i ~ (a ,b ,c) fiir (a ,b ,c) ~ T ist diese Gruppe nicht- kommutativ, und wegen (10) gilt in ihr (4) unter der Voraussetzung a, b, c ~ G. Es ist also nur noch erforderlieh, G 2 zu einer halbeartesischen Gruppe zu erweitern. Zu diesem Zweck wird eine Folge yon multiplikativen Systemen G2,+1 (n----- 1, 2 . . . . ) und eine solche yon Gruppen G~,+2 (n----- 1, 2 . . . . ) rekursiv folgendermaBen definiert: G2n+~ ist die freie multiplikative Erweiterung yon Gs~ ~ mit der Erzeugendemnenge G2, , - - G ~ , _ ~ und G~,+, die ireie Gruppenerweiterung yon G~ mit der Erzeugende~- menge Gs, + ~ G~,. Die Vereinigung G* aller G~, ( ~ " 1, 2 . . . . ) ist dann offensicht-

Vol. iII, 1 9 5 2 Nichtkommutative cartesische Gruppen 341

lich sowohl Gruppe wie multiplikatives System, so dal~ nur noeh die Giiltigkeit yon (2) gezeigt werden mulk

Zuers t wird die schwachere Aussage bewiesen:

( 1 1 ) =/= be, fiir a b, o

Seien im Gegenteil Elemente a, b, c ~ G mit a =/= b, c :r O, ac-= be gegeben6). Dann k~innen a, b, c nicht allc in G liegen, da G sogar die Bedingung (2) erfiillt. Sei n die kleinste natiirliehc Zahl mit a, b, c ~ G 2 , _ 1. Gemiil~ der Erzeugung yon Ge,_ 1 als freie multiplikative Erweiterung yon G~, .~ bzw. (ira F a l l en ~-- ]) von G liegt ac ( : b e ) nieht in G2,_ 3 bzw. G. Naeh Hilfssatz 4 ware daher ac ~- be nur fiir c ~ 1 mSglieh, was aber wieder a = b liefern wiirde.

Beim Beweis yon (2) darf vorausgesetzt werden, dal~ a, b, c nieht samtlich in G liegen; denn G erfiil]t ja (2) bereits, m sei nun die kleinste natiirliche Zahl mit a, b, c, d ~ G,,. Der Fall, da/~ eins' der Elemente a, b, c, d ---- 0 ist, wird dureh (] 1) erledigt. Aus a, b, c, d =i~ 0 folgt dann naeh (11), dal~ ca =/= cb =~ gb :~= da ~ ca

gilt. O . B . d . A . daft nun noeh angenommen werden, dal~ a oder c n i c h t in G~_~ bzw. (bei m---- 1) nicht in G liegt; denn die Behauptung yon (2) andert sieh nicht, wenn a mit b oder c m i t d vertauseht wird. Im Falle m ---- 2n (n : ], 2 . . . . ) ist a oder c demni~eh Erzeugende von G2, + ~, so daft ca in G e , + ~ - - G.~, liegt, d. h. Erzeugende von G2, .~ ist, wahrend cb, da, db jedenfalls in Ge,+~ liegen. Gemal~ der Bildung yon Ge,+~ gilt dasselbe aber auch im Falle m ---- 2n ~ 1 (n ---- ], 2 . . . . ). Hilfssatz 2 liefert daher in beiden Fallen die Behauptung ca - - cb ~ da --- db. Es bleibt daher nur noch der Fall m ---- 1 zu erledigen. Im Falle c = 1 darf a nicht in G liegen, so dal~ c und d ohne Verletzung der Voraussetzung ,,a oder c n i c h t in G" ver- tauseht werden diirfen. Daher kann c ~ 1 angenommen werden. Wegen ca E G1 - - G und cb, da, db E G~ lal~t sieh nun in Anbetracht der Definition yon G 2 der Hilfssatz 3 anwenden. Es ergibt sieh somit ca - - cb ~ d a - - rib, d, h. die Be- hauptung yon (2), oder abet

(12) ca ~- ta ' , cb = tb ' ,

Worin t ~ - (a ' ,b ' ,c ' ) ~ T oder t ---- (b ' ,a ' ,c ' ) E T ist. Im F a l l e a ~- 1 folgt aus (12) (ta')b ~- tb', weshalb nach Hilfssatz 4 b =~= 1, b' =~= ]. und daher wiederum nach Hilfs- Satz 4 b : b', t -~ ta' ist. A n s t = ~a' abet ergibt sieh nach demselben Hilfssatz a' ~ 1, so dalil (12) c-~ t liefert. Im Falle a ~ 1 folgt wegen c ~ 1 aus der ersten Gleiehung (12) nach Hi]fssatz 4 ebenfalls c = t u n d a : a', wahrend die zweite Gleichung (]2) b --~ b' liefert. In beiden Fallen ist also a, b ~ G undc = (a,b,c') ~ T

oder c ~- (b, a, c') ~ T. Wegen (10) hat man daher ca - - cb = c' oder cb - - ca = c'

Und somit c : (a,b, c a - - c b ) E T oder c = (b,a, c b - - c a ) E T . Da yon diesen beiden Tripeln naeh Definition yon T nur eines in T liegen kann, ist c demnaeh durch a, b

6) Der Fall a :~ b, c =V O, ca :~ cb ertedigt sich genau so.

342 (] . PIcKle:lIT AII(:II. MATll.

und c a - - c b ( E G ) eindeutig bestimmt, l)a (a,b, c a - - c b ) oder (b,a, c b - - e a ) in T liegt, ist zufo]ge der Definition von T die Behauptung yon (2) im Fa l Ied ~ O be- reits bewiesen. Liegt nun d nicht in G, so gclten die eben ftir c angestellten I~ber- legungen auch fiir d, so dal~ aus c a - - c b = d a - - d b die G leiehung c = d folgen wiirde. Damit ist (2) allgemcin bewiesen.

Da G 2 freie Gruppenerweiterung yon G mit der Erzeugendenmenge G 1 - - G; - - (i' ist, hat bestimmt nieh$ jedes Element der Gruppe 6+ endliehe Ordnung, ganz gleich wie O gewiihlt wird. ~'iir G kann man nun aueh z. B. den Ring der Polynome in einer Unbestimmten iiber dem Primkfrper der Charakteristik 2 nehmen. Damit ist dann gezeigt, da~ es eartesisehe Gruppen .mit I -t: 1 = 0 gibt, in denen nicht jedes Element die Ordnung 2 besitzt. Nun l~esagt eine Gleichung a =~- a ----- 0 ftir ein Element a =(:: () einer eartesischen Gruppe, dal3 in tier dureh die cartesische Gruppe gelieferten projektiven Ebene das vollstiindige Viereck mit den durch die Elementpaare (0, 0), (0, a), (a, 0), (a, a) bestimmten Eckpunkten kollineare Diagonal- punkte besitzt. Es gibt also eine projektive Ebene, in weleher der Satz von DES- AnGUES fiir eine feste Achse und ein festes auf ihr liegendes Zentrum gilt und in welcher einige, abet nicht alle vollstiindige Vierecke kollineare Diagonalpunkte habenT).

~'" , ..... ~en 29. 1(I. 1952. Em~( ~an~ am

~) Vgl. G. PI':KERT, Math. Z. 56, 131--133 (1952), wo ein solches Beispiel, jedt~ch ohnc die hier erreichte teilweise Giiltigkeit des D~sAR~ur:sschen Satzes angegeben wird.