Ztschr. f. angew. 262 Klelne Mittellungen Math. und Mech.

Bogen logarithmisohen Papiers von halb so gro6em Matistab') abschneiden nnd so EU- sammenkleben, da8 dem Pankt b = 100 der h n k t df= 750 genau gegeniibersteht. Die Eiuseiohnung der Linien db erfordert allerdings etwas m&r Arbeit ale das Zeichnen einer *Wanderkurvea. Da diere Linien aber eehr gestreokt rind, gentigt die Bereohnnng weniger Punkte, nnd dieser Yehrarbeit steht der danernde Vorteil der beqnemeren Be- nutsbarkeft gegentiber.

Zur Begriindung rerlege m m dle Cfleiohung ftir h' unter Einfuhrnng einer Hilfs- verllnderlichen c in die Qleichungen

[ ist die logarithmische Abszisse, a, die logarithmisohe Ordinate des Netees, das die crste dieser Qleiohungen darstellt.

Uebrigens ware es mtiglich, dan Net2 dorch eine Anamorphose in der Ordinaten- riohtnng (etwa a d graphischem Wege) so ntnzuwandeln, dafl die at.-Linien sich mit hin- reiohender Genauigkeit BU Qeraden strecken. Damit ware anch der Anwendung des FluohQinienverhhrens dieTtir geiillnet, nnd die Formel liefle sich dann r. B. durch eine zusammengeselzte Flnchtentafel darstellen, die an8 parallelen geradlinigen logaritbmisob e n Leitern !fir M, b, h', u., zwei dazu parallelen Zapfenlinien und einer schwaoh gekrtlmmten Leiter ftir ub bestllnde 433b

I ) Far d u Grnndblrtt wkhlte' lch dar Papier S c h l e l o h e r th SchUI1 Nr. 37O1/2. 8 , far das Schiebeblatt Nr. 366'1,. Das MaEstdbverhlltnia der belden Papfere mu8 rllerdin@a genan 2 : 1 rein, was bei den kluflichen Papleren nlcht immer der Fall ist.

'1 Inzwlschen erschien der #Beitrag zur Verwendnng der Nomogrsphie in der Elsenbetonrech- nuug. von P. E i s n e r uud W. K r e t s c h m e r (Beton und Eisen, Bd. 24, Fetmurr 1925). Das Wertvoliste in dieser Arbeit schelnt mir die DSchluBbeinerkungr zu reln, wrlche die ilbrlgen Ausfahrungen der Arbelt PhedUssig inscht. In dleser SchluObemerkung werden die drei Eisenbetonformeln ebenfalle nilherungsweise verstreckt ; anch wlrd, wie be1 rreiner oblgen Anregung, auf die slch hleraus ergcbendc M6glichkeit einfacherer Rechentaleln hiogewiesen. Melne Atbelt lag Hrn. Kre t schmer seit Juni 1924 i m Yanurkdpt vor. In der grnnnnten VerBffentlichung fat nichts darUbcr gesagt, ob Jene SchloB- bemerkung vor oder nach diesem Zeltpunkt abgefaBt 1st.. E i s n e r nnd K r e t s c h m e r veretrecken die 9. 183 von K r e t s c h m e r mlt TI, ysl l a bezeirhneten Funktionen, wns auch zwckml1Bigcr ist, nls die Verstreckung der Fnnkllon f. Auch ich hatte in der Zwlscl enzelt die Verstreekung der Funktionen y' Ins Auge gefaBt. Doch halte leh tlas von E i s n e r und K r e t s c h m e r mgewaudte, von S c h w e r d t nn- gegebene Ausgleichvcrtahren hler \vie In den melslen dcrsrtlgen Fllllcn nicht far angemessen. Ich gel)e vielmehr den L o g a r i t h m e n g l e i c h c Gewlchte. Bci den rohon thcoretlschen und empirlschen Grnndiagcn dieser Elrenbetonforn~elu gcnagt es also wohl, die flachc Kurve n:wh dem AogeninaU durch clne Geradc zu crsetzrn.

Auf die Begrllndung gehe lch hier nlcht ein.

KLEINE MITTEILUNGEN Nomodramme f ir die Obwawlc dcr

Quaderr. Irn folgenden bespreehe ich fllnf graphische Tafeln zur Uerechnung der Ober- fliche des Quaders aus den Kanleiilingen, und zwar: 1 . eine 2-Tafel, 2. eine Fluchlen- tale1 niit eineni Netz, 3., 4. und 5. drei Ta- leln niit verschiebbaren Imilferlen IAtcrii. Die dmi letzteii Taleln gelidreii zur Cruppc der N o m o g r a m m e m i t e i n e m v e r - s c h i e b b a r e n B l a t t oder z w e i d i m c n - s i o i i a l e i i R e c h c n s c l i i e b e r , die erst i n jiiugster Zeit der 1:rauzose 11 a r g o u I i s 1) sy- slemalisch behantlelt hat. Beispiele von der Art meiner A1)l)ildungeii 3 und 4 bei dencii

Cornit. rend. Paris 1933, II 8. 834 bis 826. Nihcrea Uber diese Tifeln. far die Ich den Namen F l & o h e n r c h l e b e r vorschlage, oergl. in der Zu- schrift von Em. K r e t s c h m e r (dleae Zeftschrlft 5 [19411, 8. 182 bis 184) und melnan voranstebenden AnfUtz.

krumme kif ferte Leilern versclio!)en wcrtleii. sind mir in der Lileralur noch niclit kgegnel.

In einer lechnischen Zeilschrift wurde jfingst die noniographischc Preisberechnung von Posl- kislcn behandell*). Da tler Verfnssrr liier1)t.i den Pwis proporlional dcr Oherflichc sctzl, so handclt es sich, wciin inan von dcr Ver- vielfilligung mit ci:iem verindcrlicheti True- rungsfaklor absicht, die in, der Arlwit ' durch A n hingu ng eincr loga r i I h in isrhen hl ul liplikn- tionstafcl Ixwcrkslclli$ wirtl, i i i n tlic ~\uTgnlic: A u s den K a n t c n a, / I , c e i n e s Q u a t l e r s s e i n e O b e r f l i i c h e f n o m o g r a p l t i s c l i

zu b e r e c h n c i i . ES isi also {lie Ctricliong niit 4 Veriinder-

f = = 2 ( a b + a c + b c ) . . . . . (1) lichen

graphisch zu verlafeln, *) B. S t a b l , Prdrbereohnnng be1 vertlnderllohen

Grundprelsen unhr ZnhiUslvbme der Rechw[afel, Y a s c h l n e n b a u , 1935, Heft 5, 9. 115 bls 117.

263 nand 5, Heft 3 _2! ! ! !L?~~ Kleino Mitteilungen -

Mil Riiclcsielit auf die Zusrliliigc fiir Ucber- lappeii IISW. behaiidclt die Arljeit allrrdiiigs (lie elwas a1)gcPnderte Funklion

f = 2 (u’b’+ a i d + 6 ’ ~ ’ ) - 2a’ . . (la), woriii a ’ = u + 2 , b ’ = b f 2 , c ‘=c+2 ist. Da Iieclieiitafeln fbr die Oberfliche des Quadcrs nncli tlcr Formcl (1) roii allgemeinerern Belang win diirfleii, so I)chandle icli die Vertnfclung tlieser Forinel (1). \Veil es aber wiclilig ist, t l a R sich eine Rlethode auch den Ucsonder- licilen anpassen kaun, die die Praxis ini chi- zelneii Fall mit sich bringt, so zeige icli a m SclilulS dieser Arbeit, niit wclchen geringfiigi- ge n Ve I’ f a h 1.e 11

nucli fiir die Gleichung ( la ) brauchbar wcrtlcn. Die iii der oben genaiinlen Arbcil enlworfcnc

Tafel (a. a. O., S. 116, Uild 4 ) ciitlillt, weiin man die erwihiitc letzte TeiltaIcl fiir die Vcr- rirlfalligung mit der Tcueningszahl wrgllRt, nch t beziffertc Leilerii, niimlich G 1,eilcrn fiir Eingangswerte, z w i far a, zwci f i r b. cine fiir c, cine fiir u -t 6, f,crncr 2 Ixilcru, :iuf denen eiii \Verlesprung auszulfthren ist und endlich drei Zapfenlinien. Um einer Gleichuiig von 4 Veriinderlichen willen hat man also dein Vorlcil der parallelen logarilhmisclicii Ixitern zuliel)e cine solche IIiiufung von Ablcse-Ope- rnlioncn iii Kauf gcnoinnici~, daB wesentlichc Yorlcile tler Somogrnpliic, vo r alleni die liebcr- sic.htli-clilicil u i i t l tlie schnclle husfuhrbarkcil tier Ikclinuiig rcrlorcn gclieii und auch die Gcnauigltcit recli t fraglich wirtl. Auch darf bei dics8er Tnfel iiur f (lie Unbclcannlc srin, \vihrcntl IIKIII clocli Tnfcln bcvorzugl, bri (Iciicii jctlc tlcr Vcrintlerli:lirn als Unbckaniilc d l r e l e ~ ~ Itaiin.

Eine vie1 cinfaclicrc Tafcl, die allcrtliiigs kchiiie logari:liniisclieii Leitern cii tliii! t. Iwkii~uc innn schon folgcntlcrinnt3eii :

Schiril,l man (lie Glcichung ( 1 j in tlcr Forni

Fun Ii ti 0 nsiincle r u 11 gcn me i 11 c

Vergl. M. v. Pi r a n i , Gralihische Darslellung in \Visseiischaft und Technik, 1. Aufl. 9 50, 6. 121, Gleichung (6). P. W e r k n i e l s t e r gtbt (Ztsohr. 1. m g . Math. u. Mech., 4 , 1924, Heft 3. S. 260 bin 2 6 5 ) neben der Z-Tnfel noch andere Tafelformen fIlr die oblge Qleichuug an.

t.nthilt, und zwar filr jetle tlieser Vcrlntlcr- lirlicii u u r e i ne 1,eiler otlcr 1,inicnschar (also Iceinc ii b e r z P h 1 i e i i S y s t e ni c ), tlainil jctle der Verinderlichen nls Unbekanntc auftrc,ten kann. Ferner wdiischt man, daB mdglichst m i t e i i i c r e i n z i g e n E i n s t e l l u n g des Ablesegerlls die zusamniengelibrigen IVcrte a 11 e r diescr Verinderlichen g l e i c h z e i I i g uberschaubar werden, daniit m a n durch Ver- iiiideruug der Einstellung leiclit tlie derii Inge- nicur so wertrollen beliebigen Variationen der zusammengclidrigeii Werlc herbeifbhren kann. Uin wieriel, so fragt niaii beispielsweise. muB ich c kleiner machcu, weiiii a uiii 0,5, 6 UIII 1,s zunirnmt und f unvcriindert blciben soll? I m folgendeu will icli nacll versclliedencn llclliodcn fiir die Oberfllche dcs Quatlers l’afeln cntwerfcn. die dicse Fordcruiigen er- - fiillen I) Es sei noch beincrkt, tlaR die Cleicliung (1) -

ZII dcr scliwierigcreii Art roii Glcichungcn init 4 Ycr5nderlichcn gelidrt, bei deiieii cs nicht iiidglich ist, (lurch einc Uniformung zwei dcr Veriiiiderlichen (z. 13. f und a) auf die einc Sei!e und die beiden aiidcren (6 uiid c ) auf die antlerc Sei!e tler Gleichung zu bringcii.

1. E i n e I ~ l u c h l c n l a f c l m i t e i n e n l K e tz. \Vir sehreil)cii tlic Gleicliung (1) i i i tlcr Forni

a ( b + C) + bc - f / Z = 0 . . . . (3). Ih die (;kichung in a und f linear i s t3 , so

I;Bnneii wir einc V c r s t r e c k 11 II g vcrsuchcn. \Vir sctzeii . . . . . (4).

.r u i i t l !I sintl hicr Itcine Koordinalcn son- tlvrii llilfsreriiitlcrli~lii~. Die A I I s ni e r z u 11 g (Eliniiiialiori) roii c nus tlicseii beitfen Glci- chiingcii crgilil tlic iii .L‘ uiid I i n i * n r e G l c i c l i ling

u i i t l (lie :\usmcrzung roii 6 nus tlcii Glei- chiingcn ( 4 ) crgibt chenso

x = b + C, y = h c

y - b l . c + b 2 = 0 . . , , , , (5)

Y - C C C + C ’ = O . . . . . . . (6). Sctzt mnii ferncr tlie \Yerlc ( 1 ) i i i [lie Glci-

cliung (3 ) eiii, so crliiill niaii y + a x -fl2 = 0 * . . . . . (7).

D:I die Cleichungeii (i), (6) uiid (7) in x untl y roin rrstcii Gratlc sind, so ist die Vcr- slrcckung gclungen. aus den Glcicliuiigc.ii (.;), (6) unc l ( 7 ) aus, so

Merzt ninn jetzt x untl

crgil)t sicli 1 - /, h2 ’

1 - - c ca ~ = 0 . . . (8) .

1 (I - fl2 ~

I ) LNDt mail Problcren zii, st i ltniin die Glci- chung (1) auch mit Hilfe eincr Rechentalel filr die allgemeine Gleiehung dritten Grzdes gel(ist werdeii. Denn 112 ist dcr Koeffialent tles liiieareii Qliedes der Glelchung, die a, b und c zu \Vur- zeln hat.

a) Hinreichend wilre sohon, wenn die Qleichung in zwei Funktionen y (a, f ) nnd y (a, f J linear wire. Uelier die im folgenden angewnndte E 1 1 m 1 n n - t i o n s r e g e l verglelche man diese Zeitscbrift 4 , 1924, 9. 66.

Ztschr. f. an ew. Math. nnd Zech. . .. - - - .- - - 264 Kleino Mitteilungen

Dainit ist die linke Srite der Glcichung (3) nuf die fi lr cine I~luchtentafel erforderliche Dclcrminantenforiii gebraclit. hhltiplizicrt inan noch die zweite Spaltc dicser Dclerniinante init dein MaBstabfaklor - - X und die dritte mit dem hlaBstabfalilor ti, und rersteht unter 5 uiid y jelzt rechtwinlilige oder schie€winklige karte- sische I<oordinalen, so sagt die Gleicliung (8.) nus, dnI3 die drci l’unkte

x = - L a y = - p 612

auf ciner Gernclen liegen. Die Glcichungspaare (9) und (10) stellen ein und dieselbe, init b oder c Luceiffcrtr, gew6hnliche P a r a b e l dar, dcren Puiikle sicli nach diesen Gleicliungen leich t errechnen untl zeichnen lassen. Die Clcichuiigcn (11) stellen zwei Scharcu von Parallelen z u den Koordioaleiiaehseu dar.

Bild 1 ist tlie rerkleinerte Wiedergabe der mit den \Vcrtcn X = 10 mm, p = 1 inn1 gezeich- nelen Tafel. U m ihr cine gunstige Form zu gcben, wdhllc icli den Wiiikel dcr Koor- dinalenachwn zu 1200. Das D r e i e c 1i s - p a p i e r von C a r l S c h l c i c h e r & S c l i t i l l in D ii r e 11 l iekrte oline weilercs das crfordcr- liche Koordinalennetz. Zur Erliulei-ung 11al)e ich die Koordina!eiiarliseii cingezcichnet.

Abb. 1.

Die cingczeichnelc Stcllnng cles Wcisers zcigl, daI3 fiir b - 7 , c=2 , r 1 = 4 dcr IVerl f = 100 Iierauskoiiini t .

Was die B c r c i c l i c belriffl, so lassen sich ewnr die init 0 Ixginncntleii Ucreiche von 0,

0, c u n t l 1 I),clicl)ig Iiocli nustlehnen. 1st ~ J W

f gesucht, so wirtl das 13rgel)nis uni so un- gcnaner, je nlher b niid c zusaininenlicgeri und je grCBcr u ist. In dieseni Falle wird man tlrshalb dic gr6l3tc und die klcinslc Kantc nu1 tlcr 1,ciler ftir b und c anselzcii. Sintl allc tlrei l<nnleii niclit sehr voneinaiider vcrsehic- dcii, so ist tlcr Ungcnauigltcit I)ci tlicscr Form tlcr Tnfel nichl al)zuhclfen. Ilcwcgcn sich die \\‘c:rk roii zwei Iianteii 1) und c in zwci bc- giwizleu, roncinandcr gelr~~nnteii Ucreiclien, so kaiin iii geeigneten I’5lleii cine projrltlivc (liomograpliisclic, kollinenrc) Trnnsfornialion dns IIild rcrksern . hlau kaiin z. B . tlie I’arabel dcrarl in eiiie Hyperbe1 nniwnnd~ln, ciaU clicsc nuf ihreni eiiien ‘1st die L, \Ycrlc u n d

nuf ihreni andemii Ast tlie c-Wertc tr lgt und clan zwischcn Iieitlen Aeslen das Nctz (ct , f ) liegt. Es erhi,hl stets die Geu:iuiglceit, weiiii das System tler gesuchten \:erioderlichcn ( f ) zwischen die Sysleine der gegebenen Vcrsnder- lichen (die Leitern fi ir b uiid c) zii liegen kommt. Doch madit eiiie solclie Umforinung vie1 iiiehr Rechen- uiid Zcic1ienarl)eil als das sehr rasch herstellbare Bild 1.

Analog der obcii in deli Gleichungcu ( 4 ) bis (8) ausgeftilirlen Verstreckung irt iio:.h folgcndc andere Verstreckung m6glich:

x = a, y = f 1 . . (4a)

x ( 6 + c ) - y / 2 + 6 c = 0 . . . (?a),

5 - a = O . I . (5a), y - - f = O . , . (Gz),

1 u -- 0 1 -I: I = o . . (Wa)..

, b + c - ‘ I / z b c Die linke Srite dcr letzteii Gleicliung ist die

erzeugencle Delerniiiianle eincr Familie pro- jekliv veiwaudter Fluclltentaleln init zwei ge- radcn Leitern fiir a uiid f untl ciiicni Netz VOII b- untl c-Gera:len, die eineii Kegclschnilt einhtillen. Diese Familie ist d:ial zu der von drr Delerminante tler Gleicliung (8) crzeugtcii Familie, und die Gleichungen (5) bis (7) slellen ciuen ihrcr Verlre!er dar, wenn ma11 in ihnen x und !I als karlc,iscli Koordinaten deu le t .

2. E i n c K u r v c n t a f c l n u f l o g a r i l h - n i i s c l i c r G r u n d l a g e m i t c i n e r g e r a d - 1 i ii i g c n l o g a r i 111 m i s c h c n L c i t e r a 1 s \ V e i ser . Dic Gleichuiig (1) lX3t sich schreilven:

oder 1)

lologv/2) = ]Ologa-t log(b+c) + 1 0 l o g b - t l u g c (12).

Nun zeicline icli auf ciem G r u n d b l a t t tin ler Z ugrundelegung ci lies rcchtwinkligrn Koord i na tensysleins tlas N c t z 1 . (13)

172 = a (b + c) + he

Gb,c = log (6 -t C )

yble = log ( b e ) = log 6 + log c und tlie I<urvenschar

10 log (!IZ) = lo? + 10‘9. . . . , (14). In diesen Clcichungen wurtlcn deli Inufen-

dt’n Koortlinnlcii x und y die Bnclislabenzcigcr (b, c) un t l f gegeben, uin die Zugehdriglwit dcs Punliles (r, g) zu dein betreffenden System ZII kennzeichncn.

Fcriicr zeicline icli aiif dein vcrschicb1)arcii Rlnlt clic I.cilcr

. . . . . . . (16). 1 ru = log a ?/<‘ = 0

hnch liier d-utct der Zeiger o clic ZugchOrig- licit m r Leitcr (a) an.

I ) In der folgenden Glelchang (12) 1st die Qlei- chuog (1) auf dle von M a r g o u l i i angegebene :illgemeine Form gebracht, dle In meiner oben angefnhrten Znschrlft abgeleitet wlrd.

Baud 5, Heft 3 Juni 1925 Kleine Mitteilungen 265

Nun geht die Gleichung (14) in die Glei- chung (12) fiber, wenn man sctzt

. . . . (16).

Das bedeutet: Man lege die logarillimischc Lciter (15) so auf das Grundblatt, daB ihr mit 1 bezifferler Anfangspunkt auf dcii Punkt

u n d daB der Trlger der Lciler (15) parallel zur X-Achse des Grundblatts liegt. Dann f i l l t dcr m i l a be,iffe.te I'unkt (xu, y.) ditser loga- ritlimischei Leiter aur den Pu ikt (21, yj), d. h. auf die mit f bezifferte Kurve der Schar (14).

Benutzt man doppelt logarithmisches I'apicr, und hezeichiiet man mit i, die Beziffcrungen der logari hniischeii I(oordinateiilinicii, so srhreiben sizh die Gleicliungeii (13) und (14) folgeuderniaBen:

I xf= x b , c

yf = ya + y h c y b , e

( z b , c , yb,e), d. h. aUf den Netzpunkt (b, C) fBII1

- x = b + c - - y - b c - 1 (Ma), f , 2 = x + y (14a).

Diese Kurvcn lassen sich ohne jede Rech- nung in das logarilhmische Netz punktweise einzeidinen. Das Nctz (13a) zeichnet man ebenso, wie man aul gewbhnlichem Koor- dinalcnpapier (hlillimeterpapier) das Netz x = b f c , y = b c zeichnen wfirde. Auf den1 Papirr S c h l e i c h e r & S c h G l l N r . 3701/e.8 findet mail z. B. die mit 2 bezifferte b . Kurvc, indem man vom Nclzpunkt x = 2.5; y = 1 ausgehend iinmer cinc Masclie nach rechts und zwei nach oben weiter geht. Noch leichter sind die f-Kurven einzutragen, die ja das logarilhmische Bild der Geradenschar f / d = x + sind.

Bild 2 stellt das Cerippe der Tafel dar. Die unten sichtbare a-leiter m u 5 man sich auf einem konderei i Papierslreifen aufgezeichnet denken.

-

-

Siiid z. B . gegebcii die I<anlenlBngcn 1, 3, S, so bezeichne man folgeiidei'maBrn: a=:], b=l, c = 8. hlan stelle also den Anfangspunkt 1 der a-Leiler auf den Netzpuiikt b = 1, c=S des Grundblaltes ein uiid haltc dabci die a-Leiter so, daB sie p:ira!lcl tlcn in tlai Gruiidblalt ein- gezeicline:en, nur der Ausrichtuiig der a.Leiter tl ieiienden w ngciwcli h i Liiiicn s teh 1. Dann Pill t tler Punlit a = 3 der a-Leitcr auf die Kurve I = 50. IIan ltaiiu alwr a:wh sekzcn: a = S, 6 = 1, c= 3. Man slelle iu diesem Falle den Anfangspunlit 1 der a-Leiler auf den Ketzpunlit b = 1, c =- 3 dcs Crundblalter ciii uiid halte dic a-Lei!er wieder parallel zii den wagercclitcii Ilichllinien. Daiin zeigt dcr Leilerpunkl a = S den Wert f =70 in der Kurvenschar an.

Slat1 auf einern Papiwstreifeu, kann man dic a-IAter , auch auf tlein Crundblalt entwerfen. hlan greilt d a m die Strecke zwischen den Punkten 1 und a dieser Lri:er mit dem Stech- zirkel all, se tz t liierauf die cine Zirkelspilzc auf den Nclzpunkt (6, c ) uiid die andere auf die durch den gcnannten Nelzpunkt gehende Richllinic. Diese zweite Zirkelspitze zcigt d a m den gesuchten Wert 1 an. Auf diese Weisc kann der Lexr ohne weileres Proberechnungen an Bild 2 ausffihren.

Die Linieii (b) uiid (c) bildeii ein und die- selbe Schar und hidlen eine Gerade ein. 1st f gesucht, so wird man nach MBglichkeit wie- der die gr6Bte uiid die Itleinste Ihnte 31s b und c ansetzen, da in der NBhc der Hall- geraden di.c Nelzpunklc uiisichcr werdcii. Sind alle dmi Kantcii nahczu gleich, so ist dic Tafel ebenso wie in demsclben Falle Bild 1 schlecht zu gebrauclieu. In drr hier gczeich- nelen Form iit die Tarel. hquein benutzbar, wenn b uiiil c innerhalb der durch ein Bogenviexcli begrenzlen Berei-he 0,23 5 6 5 1 ; 4 5 c 5 10 liegen. Dagegen kann die Lingc der drilten Kante Q auf beliebige Wertehwiche ausgedehnt werden. Die Tafelform ist also

brauchbar fur die Ober- flBchenberechnung von Qua- dern, die die Form von flachen Schachteln, Platten, Brettern oder Latten haben.

Die Tafel lSDt sich in der Ordinatenriehtung naeh eiuem beliebigen Gesets deh- nen oder stauchen. Die f-Linien werden im allge- meinen das (6, e)-Netz durch- setzen. Sollte dies storen. 80 kann man fiir die f-Schar urn eine beliebige Strecke C nach rechts schleben, wenn man gleichzeitig auf der a - Lei ter als Einsatzpunkt statt des Punktes 1 einen Punkt wlhlt, der urn die Strecke c weiter naeh links

I I l l liegt. In den Gleichungen

I a-- 2 J ' ' J ) j j d (14) und (16) ist dann xf W&Z __-__ durch (xj - C) und z., durch

Abb. 2. (za - C) eu ersetzen.

Ztschr. f. an ew. 266 Kleine Mitteilungen Math. und hffech.

Vorteilhnlt is1 an der Talel, t laD mil w:icIi- sriitlcr kziffei-ung die Linirnscliaren sicli nach eineni Geselz zusammendringen, das dcni lo@- rilliinischen quantitativ nahe stelit und dali :iuch die a - b i t e r logarithmiscli ist. Die rela- live Geiiaiiigkeit tier Lhungen ist tleinuacli iii rersclii~rdcneii \ ~ e r ~ t ~ l ~ c r e i r I i c n nnniiherutl dic- sellK!.

3. E i n e T n f e l m i t c i n c r I ) c z i l l r r t c n , I; r 11 111 111 c 11 S c 11 i c 1 1 c k u r v c W e i s c r. Die Gleirliuiig (1 ) l i B t sicli aucli sclircibcn

f = (a + b + c)' - (a3 + 6' + c') . (17) Damit i\t dic Gleichuiig nuf cine n e w \Vcisc

nuf die fiir zw~,itliint.li~io:1alc Schiebcr crforder- liclic lori i i gel)ralht.

RI:iii zciclint! liicrnacll nuP tliSiii G r II I I t l - 11 1 a I t t l ic Ibczilfcrte Paraliel

a 1 s

. . . . . . . . (1%) I xa = a9

y,, = a i i i i t l t l i r Pnrnl)elschar

f = y p - z/ . . . . . . . (19). I:crnrr zcicline iii:iii nuf tlcni S c 11 i c I) e -

11 I :I 1 t die Imiffcrtrii Paraliclii

t les Schiehblalts nul tlic Liiiic /= 100 tlcs Giundblalts.

Givntlblat t 11 ntl Sch icbc blal t tliirfeii gleicli- zeilig i n jcdrr der I<oortlina1eiiriclitungcn iiarli cinsm be1 iebigen lio iis I an I e n Ma Dslab gcdchn I oder geslaucht wrrtleti. I n I3ild :I aurde dir Abszisseneinhcit gleich !/," dcr Ortlinateuein- lieit gewihlt. Ebcnso \vie bei Biltl 2 c ~ ~ i p r i ~ l t l t es sich, CQr tlas Schiebcblalt niclit durrli- sichliges Papicr, sondern tlieselbc I'apiersorlc wie f f~r das Grundblalt zu wililen, tla cs liier- 1x4 walirsclieiiiliclier isl, d a W beirle Bliiltcr sicli unter deni EinTluR von Fruchtigltril, 'I'cin- lxralur und Alter g I c i c 11 ni ii 13 i g iiiiilern.

Im Gegensatz ZII dcii beideii rorigcn TnI~>lii bleibt die rorliryentle auch gut br:tuclib:tr, wcnn a, b und c naliezu odcr vdllig glcicli werden. Die Tafel ist bier fQr d e n Brrcicli 0-10 fiir jtde tler IiarilenlBngrn gczeichiiel.

4. E i n F l i c l i e n s c h i c b c r v o u d e r h r l tles v o r i g e n , j e d o c h n i i t t r a n s z c i i - tie n t e 11 1i II r v c 11. Schrcibt ni:in (lit> (;lei- cliung (1 ) in der Form

50 crgibt sich, entsprechcntl tler vorigcii LO- sung, ltir tlns (;ruiidblalt (lie Lciter

s o = Ila y.=loga . I . . . . . (21) I

und die Kurvenscliar f / 2 = Z/ loy/ . . . . . . . (25 ) .

Die Eliininalion von a aus dcn Gleichringen (24) zeigt, d a R der Triger tlcr Lciter (21) cine dcr Iiurren (2,;) ist.

Fcriier erliill dns Schicbeblatt die Leitcru

(27). xc = l / c yo = log c ) I (2GA

Z b = - l i b ?/b = - log b \Vicder wird tlic Einslcllun,n tie? Schicl)c~-

bhlls a u f dns G1*undblalt ausgedriklil tlurcli tlic Glviehungen

. . . . . (28 ) . I ql - Xn = Xe - xb

?/.f - y. = ye - yb

Uaiid 5, tieft :I Juni 1925 Kleine Mitteilungen 267

.- . - ~~~ -. - - -

IXc Eliiiiiiialioii der 8 GrWeii sw, yo, I b , y b , re, yc, q, y/ au8 den 9 Gleiohungen (24), (25), ( Z G ) , (27);(28) ergibt wieder die Gleichung (23) orlcr (1). ,

hbb. '1 zeigt dieien Fliichenscliicbcr. Das Scliicl.e!,la't, da< aucli hier nicht tlurchsichtig zu seiii braucht, irt gejtriclielt auf da5 Grund- blalt gezcicliiict iind zeigt, daR sicli fiir a=2. b = 4, c = 7 der \Vert / = 100 crgibt. Die f - Linien ! ind in der .Abbiltlung stark IIC- srhnil ten.

_'li@z3 \ \ \ f l

Abb. 4 .

hni Js;clilcJten herstellbar w l re diese Tafel mit Hilfe eines I{oordiiiatenpapiers, desscn Ab- szisscnach* cine Heziprokeuleilung uiid dcsscii Ordinalcnachse cine logarithinisrhe Teiluiig hitle. Bezeichnet man iiiinlicli niit die Bezifferungen einej Punktes ciieses rapiers, so laulet die Glcichung tler a-Leiter stall (24) jelzt

& = a , ya=a . . . . (24s). Die Glcichung der ICurvenschar (25) laulel

y/=flZ.z/ . . . . . , . (25a) . Alle Kurveu dcr /-Schar sind, wie es auch

bei Abb. 3 der Fall war, miteinander urid mil den1 Triger der a-Leiler kongruent uiid ciit- slehen durcli Parallel\erschiebuiig eincr ciiizi- gen unler ihnen.

Die b- uiid die c-Leiter des Schiebeblatts sind niit der a-Leilcr des Grundblatts koii . griient, uiid zwar licgt die c-Leiler geiiau so iiii Ketz wie die a-Leitcr, wlhrcnd die b.Leiter g r g e n i h r dieLer Lage uni 1800 gedrelit ist.

I-eiclit IlBt sicli die Tafcl aucli auf e i i i - f a c h l o g a r i l h n i i s c h e n i P a p i e r Iicr- s!el:en, desseii Abszis: enach e gleichlBrmig uiid desseii 0rdina:enachsc lo~arilliniiscli getcilt iit . IIat iiian eine cinzige f-I<nrrc yezcicliiiet, so iibertrlgt man sie auf eiii Ijlalt I'auspapicr, verschie1)t dieses parallel zur Ortliiinlciirirlilting

-

jctzt - -

und slicht die I 'uti l ik durcli. 111 h b b . 4 ist das Blatt zuiii SC'hluD, iini liaiidfichcr ZLI wer- dcii, um elwas weiiiger als 450 gedrcht wordcn. Die 0rdiua:eiiachse ist dic niit 0 bczifferte f - Linic. Dic aul ih r seiikrecht steliciide Ab- szissenaclise gelit durcli deli I'uiikt 1 der a- Lei:er.

Die vier ers'eii der vorslclieiitl eiitwiclteltrn Verlahi,eii lasseu sic11 d.ircli fo:gcude Funk- lionsinderuiigeii auf citic Glcicliuiiy voii der Form ( la) (S. 263) iil)erlragen: I n GI. (2) (S. 263) sclze mau slatt a? die Funklion (&fa') untl iiii i ibripn slalt a, b, c die GrdDcn a', b'. c'. In den Gleichungen (3) (S. 263) uiid (12: (S.2G-l) sctze iiiaii s t a l l ( b + c ) die Punktioii (b'+c'- 1) utid iiii iibrigcii statt a, b, c die G r b k i i a', b', c'. Endlicli sebe man in der Gleichuug (17) [S. 266) slatt a2 die Fiiiiktioii cc'e f 2a' tint1 iiii iibrigen slat1 a, 0 , c die G r d k i i a', b', c'. 111 den Tafeln werdeii naliirlich schliel3licli die Leilcrn uiid Scliareii fiir a, 6 , c gezcich- net uiid beziffert. Sic leiteii sicli aus tlcn- jeiiigcii liir u', b', c', etitsprecliend den Glci- chuiigen a' = a f 2, 0' = b + 2, c' = c f 2, in dcr einfachsleii Weise ab.

Marburg. P. L u c k e y . 451

Ueber mecfranirebe Aur~leirhuap. Man hat bekanntlich sehr viele inechanische Aus- gleichsformelii, d. h. Formeln vom Typus

ya = sop*+ a1 (p=-1+ p=+ 1) + . . . + an (p* + I + ps-J vorgcschlageii und aiigewandt, wo die a p s i - lire Zahlcu sind,

pz der IEobachtete, y. der ausgcglicltciie \Vt,rt. die clcm \\'crle 3 einer ganzzahligen Variablen c~nlsprcL*lieii (x = 0. 1, . . . n) . Nicht abei., so vie1 icli \veil$, die besoiiders ciiifache I.brmel

n o + 2 ( a 1 + a ~ + . . . + a " ) = 1 ,

+ 1/2 (ps- , + ps + 9) + . . .I ! ( c > l), welche den groDen Vorzug bidet, dali sic tlic Anzahl der Glieder frci IRDt, die man reclils wirklich in Uetracht ziehen will 1). Diesc An- zahl wird liir jedeii Wcrt voii z voni iiuiiieri- scheii \\'erlc dcr rernaclilissiglcii Summandrii

1:oriiiel (a ) wirtl alier aucli (lurch eiiicn aiidcicii bemerkenswerlcii Umslaiid ausgrzeicli- iict; daD sic niclit a:is der wiederholtcn und elwas blindeii Anwendung der parabolischeii Inlerpolalioii uiid Bilduiig von !ditlelwertcm und Millelwerteii voii Mitlelwertcii enlspriugt, sonderii ails eiiieni Varialioiispi~bleiiic, wc1- clics iiian als die aiialylisclic Formulierung tlcsseri klraclitcii Itann, was iiiaii von eincr iiiccliaiiisclieu Ausglcicliuiig vcrlangt: uiiiilicli

pa-k-1 + p s + k + 1 dihiiigen.

I ) Brlcht man bei dem (k + l)-sten GItede ab, 80 wlrd man natnrllch bk durch L ~ - ~ (s-1) ersetzen, denn es ist