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Simulation der Kármánschen Wirbelstraße hinter einem Zylinder bei einer

Reynoldszahl von 200

Numerische Berechnung der Kármánschen Wirbelstraße

Veröffentlichung der Tintschl BioEnergie und Strömungstechnik AG

Christoph Lodes

Dr.-Ing. Rolf Sieber

April 2017

Kurzfassung

Vor dem Hintergrund der langjährigen Erfahrung in der Strömungsmechanik, möchte die Tintschl

BioEnergie und Strömungstechnik die Simulation des bekannten Strömungsmechanik-Phänomens

der Kármánschen Wirbelstraße aufzeigen. Dazu wird die Strömung um einen zylindrischen Störkörper

mit Hilfe des OpenSource Tools OpenFOAM numerisch berechnet und visuell aufbereitet. Da es sich

bei der periodischen Wirbelablösung der Kármánschen Wirbelstraße um eine totale Instabilität1

handelt, ist für die Betrachtung eine zeitabhängige Berechnung nötig. Die zugehörigen Videos dazu

sind unter https://www.youtube.com/channel/UC6MtUdYun1-Xv0fSpyC_Hmg zu finden.

Hintergrund

Eine sehr bekannte Beobachtung in

der Strömungsmechanik ist die

periodische Wirbelablösung nach der

Umströmung eines zylindrischen

Stör- oder Stolperkörpers, welche

durch Theodore von Kármán

entdeckt wurde.

Wird ein Zylinder umströmt, löst die

Strömung an den Kannten des

umströmten Körpers ab und es

entstehen dort Wirbel. Die Wirbel

treten dabei paarweise auf2, es entsteht eine regelmäßige Folge von abwechselnd rechts- und

linksläufigen Wirbeln3

4, welche so einen Strömungsvorgang erzeugen, der als Kármánsche

Wirbelstraße bezeichnet wird5.

Die Wirbel entstehen dabei im Nachlauf des Störkörpers, wachsen, werden zu groß und lösen sich

dann auf6. Wird der Vorgang ausgehend vom Ruhezustand betrachtet, tritt erst eine

Einschwingphase auf und im Anschluss wird die Kármánsche Wirbelstraße gebildet7. Auf Grund der

inhärenten absoluten Instabilität der Kármánsche Wirbelstraße8 ist eine zeitliche Betrachtung der

Strömung unumgänglich.

1 Gong, Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung, 2016, S. 33

2 Surek, Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung, 2017, S.288

3 Guicking, Schwingungen, 2016, S. 186

4 Gong, Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung, 2016, S. 40

5 Surek, Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung, 2017, S.288

6 Guicking, Schwingungen, 2016, S. 186

7 Gong, Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung, 2016, S. 33

8 Gong, Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung, 2016, S. 33

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Die Eigenschaften dieser periodisch alternierende Strukturen9 an einem Zylinder finden unter

anderem bei der Volumenstrommesstechnik und der akustische Messtechnik10

Anwendung.

Simulation der Kármánschen Wirbelstraße

Mit den vielfältigen bekannten Abbildungen von Wirbelablösungen, beispielsweise von Van Dyke11

lag der Fokus dieser Untersuchung auf der Simulation eines umströmten Zylinders. Die Simulationen

wurden für einen 2D-Ausschnitt für eine Reynoldszahl von 200, und damit im laminaren Bereich, und

mit einer Anströmgeschwindigkeit von 1 m/s durchgeführt (und einer daraus resultierenden

Viskosität). Die Anströmung des Störkörpers erfolgte dazu gleichmäßig über die Höhe.

Die Simulationen wurden alle mit dem OpenSource-Tool OpenFOAM durchgeführt. Auf Grund der

beschriebenen Instationarität wurden die Berechnungen zeitabhängig durchgeführt. Des Weiteren

wurde jeweils der Anfahrzustand betrachtet, scilicet ausgehend von einem Ruhezustand gerechnet.

Diese Wahl als Ausgangszustand war zum einen dem Interesse an der Wirbelentstehung und zum

anderen der Tatsache, dass jede stationäre Startlösung eine Verfälschung des transienten

Ergebnisses nach sich zieht, geschuldet. Die zentrale Einstellgröße bei der zeitabhängigen Rechnung

ist die Zeitschrittwahl, da die Zeitschritte direkt mit der Wirbelfrequenz und damit der Courant-Zahl

korrelieren.

Auswertung der Strouhalzahl

Neben einer graphischen Auswertung der Ergebnisse, welche sich diesem Abschnitt anschließt, ist für

die Betrachtung der Kármánschen Wirbelstraße die Auswertung der Strouhalzahl von Interesse. Diese

setzt sich aus der Anströmgeschwindigkeit c, der Ablösefrequenz f und Zylinderdicke d zusammen

und ergibt sich zu

�� ��∙�

�

12,

wobei zudem eine Proportionalität der Wirbelablösefrequenz zur Strömungsgeschwindigkeit 13

besteht. Die Strouhalzahl ergibt sich zu �� � 0.2 für einen Reynoldszahlbereich zwischen 100 und

2*10^514

15

.

Für die Bestimmung der Wirbelfrequenz der Berechnungsergebnisse wurden die

Druckschwankungen im Abstromgebiet des Störkörpers aufgenommen und in der nachfolgenden

Abbildung visualisiert. Daraus lässt sich die Wirbelfrequenz direkt ablesen und folglich die

Strouhalzahl berechnen. Zusätzlich zeigt die folgende Abbildung sehr deutlich die Entstehung der

ablösenden Wirbel zu Beginn der Simulation.

9 Gong, Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung, 2016, S. 85

10 Surek, Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung, 2017, S.288

11 Van Dyke, An Album of Fluid Motion, 1982, S.57

12 Surek, Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung, 2017, S.289

13 Reik et al., Flow rate measurement in a pipe flow by vortex shedding, 2010, S. 79

14 Surek, Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung, 2017, S.288

15 Reik et al., Flow rate measurement in a pipe flow by vortex shedding, 2010, S. 79

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Druckverlauf über dem zeitlichen Verlauf im Nachlauf des Störkörpers (Zylinder)

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Abhängigkeit der Ergebnisse von der Gittergröße

Um den Einfluss der Gittergröße auf das Simulationsergebnis zu untersuchen, wurden drei

unterschiedliche numerische Gitter betrachtet und hinsichtlich Ablösefrequenz und Strömungsbild

untersucht. Bei der Betrachtung des Strömungsbildes sind keine Unterschiede zu erkennen,

wohingegen sich die Strouhalzahlen unterscheiden.

Wirbelfrequenz und Strouhalzahl für das grobe Gitter

� � 6.0

�� � 0.180

Wirbelfrequenz und Strouhalzahl für das mittlere Gitter

� � 6.917

�� � 0.208

Grobes Gitter für die Zylinderumströmung

Mittleres Gitter für die Zylinderumströmung

Strömungsbild der Zylinderumströmung für das grobe Gitter

Strömungsbild der Zylinderumströmung für das feine Gitter

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Durch eine weitere Verfeinerung des numerischen Gitters konnte keine Veränderung des

Strömungsbildes beobachtet werden und auch die Strouhalzahlen verbleiben fast identisch.

Wirbelfrequenz und Strouhalzahl für das grobe Gitter

� � 6.917

�� � 0.208

Wirbelfrequenz und Strouhalzahl für das feine Gitter

� � 6.951

�� � 0.209

Grobes Gitter für die Zylinderumströmung

Feines Gitter für die Zylinderumströmung

Strömungsbild der Zylinderumströmung für das grobe Gitter

Strömungsbild der Zylinderumströmung für das feine Gitter

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Einfärbung der Strömung mit einer zusätzlichen Variablen

Druckverlauf über dem zeitlichen Verlauf im Nachlauf des Störkörpers (Zylinder), Vergleich zweier numerischer Gitter

Visualisierung der Strömung mit Hilfe einer zusätzlichen Variablen

Im Rahmen dieser Untersuchung lag

der Schwerpunkt der Betrachtung

nicht nur auf der Auswertung der

Wirbelablösungen mittels

Kennzahlen, sondern auch auf der

graphischen Aufbereitung. Hierzu

wurde eine zusätzliche Variable

eingeführt, welche der Strömung

folgt und somit eine Art Marker

darstellt. Für die Verwendung dieser

zusätzlichen Variablen wurde der

bisherige Solver modifiziert und der seitliche Einlass aufgeteilt, sodass zwar überall eine homogene

Einlassgeschwindigkeit vorliegt, jedoch nur bestimmte Bereiche eine Färbung durch die zusätzliche

Variable erfahren.

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Für eine optimale Darstellung mittels zusätzlicher Variable zeigte sich, dass im Einlauf ein

ausreichend feines Gitter nötig ist, da bei einem zu groben Gitter (auch bei Einstellung eines geringen

Queraustausches) die zusätzliche Variable sehr schnell verschmiert.

Additional Variable, unstrukturiertes, grobes

Gitter, Einlassbereich

Additional Variable, strukturiertes, feines Gitter,

Einlassbereich

Additional Variable, unstrukturiertes, grobes

Gitter, Einlassbereich

Additional Variable, strukturiertes, feines Gitter,

Einlassbereich

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Mit dem Ziel, auch die Umströmung des Störkörpers, die Ablösung und die Wirbelbildung

ausreichend aufzulösen, war eine deutliche Verfeinerung des numerischen Gitters nötig.

Additional Variable, unstrukturiertes, grobes

Gitter, Körperumströmung

Additional Variable, strukturiertes, feines Gitter,

Körperumströmung

Additional Variable, unstrukturiertes, grobes

Gitter, Körperumströmung

Additional Variable, strukturiertes, feines Gitter,

Körperumströmung

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Einfärbung der Strömung mit Hilfe von Partikeln

Visualisierung der Strömung mit Hilfe von Partikeln

Auf Grund der Anforderungen an

ein hochwertiges Simulationsgitter

bei der gezeigten Visualisierung der

Strömung mit Hilfe einer

zusätzlichen Variablen, wurde als

Alternative die Visualisierung mit

Hilfe von Partikeln realisiert. Dazu

können an beliebigen Punkten

Partikel in die Strömung aufgegeben

und verfolgt werden. Die

Eigenschaften der Partikel wurden

so gewählt, dass sie der Strömung

folgen.

Der Einsatz der Partikel ist hierbei unabhängig vom numerischen Gitter; es tritt kein Verschmieren

auf. Darüber hinaus ist der Einsatz verschiedener Partikel leicht umsetzbar, mit erweiterten

Möglichkeiten bei der Visualisierung. Die erweiterten Visualisierungsmöglichkeiten der Partikel

entstehen zudem bei der freien Wahl der Startpunkte.

Partikel, alle vom gleichen Typ

Partikel, verschiedene Typen

Partikel, Start am Einlass

Partikel, Start vor dem umströmten Körper

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Vergleich

Mit der Einführung der zusätzlichen Variablen, in Kombination mit der Findung des idealen

numerischen Gitters, und der Integration von Partikeln wurden zwei sehr gute Methoden für die

Visualisierung von Simulationsergebnissen der Kármánschen Wirbelstraße aufgezeigt. Im Folgenden

sind zunächst zwei Fotographien der Kármánschen Wirbelstraße hinter einem Zylinder bei einer

Reynoldszahl von 10516

und 14017

, welche eine Wasserströmung mit kolloidalem Rauch darstellen, zu

sehen. Im Anschluss daran sind Simulationsbilder der Kármánschen Wirbelstraße, zum einen mit

Partikeln und zum anderen mit einer zusätzlichen Variablen, hinter einem Zylinder und einem Würfel

für eine Reynoldszahl von 200 zu sehen. Sowohl die Darstellung mit Hilfe mit Partikeln, als auch mit

der zusätzlichen Variablen liefern aussagekräftige Ergebnisse.

Vertiefte Einblicke in die Entstehung und das Verhalten der Kármánschen Wirbelstraße liefert der

youtube-Kanal der Tintschl BioeEnergie und Strömuzngstechnik AG

(https://www.youtube.com/channel/UC6MtUdYun1-Xv0fSpyC_Hmg).

Kármánschen Wirbelstraße hinter einem Zylinder bei einer Reynoldszahl von 105, Wasserströmung

mit kolloidalem Rauch18

16

Van Dyke, An Album of Fluid Motion, 1982, S.57 17

Van Dyke, An Album of Fluid Motion, 1982, S.56 18

Van Dyke, An Album of Fluid Motion, 1982, S.57

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Kármánschen Wirbelstraße hinter einem Zylinder bei einer Reynoldszahl von 140, Wasserströmung

mit kolloidalem Rauch19

Simulation der Kármánschen Wirbelstraße mit Hilfe von Partikeln, hinter einem Zylinder bei einer

Reynoldszahl von 200

19

Van Dyke, An Album of Fluid Motion, 1982, S.56

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Simulation der Kármánschen Wirbelstraße mit Hilfe einer zusätzlichen Variablen, hinter einem

Zylinder bei einer Reynoldszahl von 200

Simulation der Kármánschen Wirbelstraße mit Hilfe einer zusätzlichen Variablen, hinter einem Würfel

bei einer Reynoldszahl von 200

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Literaturhinweise

Dominik Surek, "Hydrodynamik; Eindimensionale stationäre inkompressible Strömung”, Handbuch

Maschinenbau, Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik, 23., überarbeitete

Auflage, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden, 2017

Jinn Gong, "Grundlagenuntersuchung zur aktiven Beeinflussung der abgelösten Strömung ”, Springer

Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden, 2016

Dieter Guicking, "Schwingungen - Theorie und Anwendungen in Mechanik, Akustik, Elektrik und

Optik”, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden, 2016

M. Reik/ R. Höcker/C. Bruzzese/M. Hollmach/O. Koudal/T. Schenkel/H. Oertel, "Flow rate

measurement in a pipe flow by vortex shedding”, Forschung Ingenieurwesen (2010) 74: 77–86,

SpringerVerlag, Karlsruhe, 2010

Milton Van Dyke, "An Album of Fluid Motion”, The Parabolic Press, Stanford, 1982