Numerische Modellierung von Strömung, Stoff- und ... · tät, Permeabilität B reaktiver Transport!)? (Anlage 1.5.4) Flutungsexperiment an mit Anhydrit beladenem Sandsteinkern C

Numerische Modellierung von Strömung, Stoff- und Wärmetransport in porösen Medien

Prof. Dr. Christoph Clauser

C. Clauser, Numerische Modellierung von Strömung, Stoff- und Wärmetransport im porösen Untergrund

1

Inhalt

INHALT .................................................................................................................................... 1

INTERNATIONALE UND NATIONALE VEREINIGUNGEN UND VERBÄNDE ....... 2

INTERNATIONALE UND NATIONALE PERIODIKA (AUSWAHL)............................ 2

LEHRBÜCHER (AUSWAHL) ............................................................................................... 3

1 POREN, KLÜFTE UND ALLGEMEINE KONZEPTE.............................................. 4 1.1 MOTIVATION: WO IST NUMERISCHE MODELLIERUNG VON STRÖMUNG, WÄRME- UND STOFFTRANSPORT IN PORÖSEN MEDIEN VON INTERESSE? ............................................... 4

a) Wasserwirtschaft/Mengenbilanzen ................................................................................ 4 b) Wasserqualität/Schadstoffbelastung .............................................................................. 4 c) Wärmehaushalt/geothermische Energie, saisonale Wärmespeicherung ....................... 4 d) Kohlenwasserstoff-Förderung: "reservoir engineering"............................................... 4 e) Speicherung von Schadstoffen im tieferen Untergrund ................................................. 4 f) Wärme- und Stofftransport durch Oberkruste ................................................................ 4

1.2 POROSITÄT .................................................................................................................. 5 a) wie sieht der Porenraum aus? ....................................................................................... 5 b) unterschiedliche Arten der Porosität ............................................................................. 5 c) Größenordnung von Porosität: ...................................................................................... 5 d) Doppelt- (bzw. mehrfach) poröse Medien ..................................................................... 5

1.3 WAS IST EIN MODELL? ................................................................................................ 5 1.4 WAS INTERESSIERT ?................................................................................................... 5 1.5 GEKOPPELTE SYSTEME ?.............................................................................................. 6

2 STRÖMUNG .................................................................................................................... 7 2.1 MECHANISMEN UND GRUNDGLEICHUNGEN................................................................. 8 2.2 PERMEABILITÄT ........................................................................................................ 10

3 STOFFTRANSPORT .................................................................................................... 12 3.1 MECHANISMEN UND GRUNDGLEICHUNGEN............................................................... 14 3.2 VERTEILUNGSKOEFFIZIENT UND RETARDATIONSFAKTOR ......................................... 14 3.3 DISPERSIONSTENSOR................................................................................................. 15

4 WÄRMETRANSPORT................................................................................................. 16 4.1 MECHANISMEN UND GRUNDGLEICHUNGEN............................................................... 16 4.2 DICHTE UND SPEZIFISCHE WÄRMEKAPAZITÄT .......................................................... 17 4.3 WÄRMELEITFÄHIGKEIT ............................................................................................. 17 4.4 WÄRMEPRODUKTIONSRATE ...................................................................................... 18

5 NUMERISCHE LÖSUNGSMETHODEN .................................................................. 18 5.1 FINITE DIFFERENZEN METHODE................................................................................ 18 5.2 FINITE ELEMENTE METHODE .................................................................................... 19 5.3 METHODE DER CHARAKTERISTIKEN UND ZUFALLSSCHRITTVERFAHREN .................. 20


2

Internationale und nationale Vereinigungen und Verbände - AHS (International Association of Hydrological Sciences) der IUGG (International Union of Geodesy and Geophysics)

- IASPEI (International Association for Seismology and Physics of the Earth's Interior) der IUGG (International Union of Geodesy and Geophysics)

- IGWMC (International Groundwater Modeling Center), Boulder, Co (USA), Delft (NL)

- EGS (European Geophysical Society), Katlenburg-Lindau

- AGU (American Geophysical Union), Washington

- DVWK (Deutscher Verband für Wasserwirtschaft und Kulturbau), Bonn

- FH-DGG (Fachsektion Hydrogeologie, Deutsche Geologische Gesellschaft) -

Internationale und nationale Periodika (Auswahl) - AAPG Bulletin (American Association of Petroleum Geologists)

- DGM - Deutsche gewässerkundliche Mitteilungen

- Geophysical Journal International (Roy. Astron. Soc. London, Dt. Geophys. Ges., EGS)

- Groundwater

- Grundwasser

- GWF - Wasser, Abwasser

- Hydrological Sciences Journal (IAHS)

- IGWMC newsletter (IGWMC, gratis)

- Journal of Geophysical Research, B (AGU)

- Journal of Hydrology

- Tectonophysics

- Transport in Porous Media

- Wasser und Boden

- Wasser, Energie, Luft

- Water Resources Bulletin

- Water Resources Research (AGU)


3

Lehrbücher (Auswahl) Anderson, M. P., Woessner, W. W. (1992). Applied Groundwater Modeling, San Diego: Academic Press. Aziz, K., & Settari, A. (1979). Petroleum Reservoir Simulation. London: Applied Science Publishers; reprint by Blitzprint

Ltd, Calgary, Canada, 2002. Bear, J. (1972). Dynamics of Fluids in Porous Media. New York: American Elsevier. Bear, J. (1979). Hydraulics of Groundwater. In V. T. Chow, R. Eliassen, & R. K. Linsley (Eds.), McGraw-Hill Series in

Water Resources and Environmental Engineering, New York: McGraw-Hill. Bear, J., Bachmat, Y. (1990). Introduction to Modeling of Transport Phenomena in Porous Media. In J. Bear (Ed.), Theory

and Applications of Transport in Porous Media, Vol. 4, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Bear, J., Tsang, C.-F., & de Marsily, G. (eds.). (1993). Flow and Contaminant Transport in Fractured Rock. San Diego:

Academic Press. Bear, J., Verruijt, A. (1987). Modeling Groundwater Flow and Pollution. In J. Bear (Ed.), Theory and Applications of Trans-

port in Porous Media, Vol. 2, Dordrecht: Reidel Publishing Company. Clauser, C. (ed), 2003. Numerical Simulation of Reactive Flow in hot Aquifers using SHEMAT/Processing Shemat. Springer

Verlag, Heidelberg-Berlin. Chiang, W.-H., Kinzelbach, W., Rausch, R. (1998). Aquifer Simulation Model for Windows 6.0 – Groundwater flow and

transport modeling, an integrated program. Stuttgart: Gebrüder Bornträger. Chiang, W.-H., Kinzelbach, W. (2000) 3D-Groundwater Modeling with PMWIN. A Simulation System for Modeling

Groundwater Flow and Pollution, Springer-Verlag Berlin. Dagan, G. (1989). Flow and Transport in Porous Formations. Berlin: Springer Verlag. Freeze, R. A., Cherry, J. A. (1979). Groundwater. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. Häfner, F., Sames, D., Voigt, H.-D. (1992). Wärme- und Stofftransport. Berlin etc.: Springer Verlag. Helmig, R. (1997). Multiphase Flow and Transport Processes in the Subsurface, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg. Helmig, R.; Jäger, W, Kinzelbach, W. (1997). Modeling and Computation in Environmental Sciences, Vieweg, Wiesbaden. Ingebritsen, S. E., Sanford, W. E., (1998). Groundwater in Geologic Processes. Cambridge: Cambridge University Press. Kinzelbach, W. (1992). Numerische Methoden zur Modellierung des Transports von Schadstoffen im Grundwasser. Schrif-

tenreihe gwf Wasser-Abwasser, 2. Auflage, München: Oldenbourg Verlag, 21, 317. Marsal, D. (1989). Finite Differenzen und Elemente. Berlin etc.: Springer Verlag. Marsily, G. de. (1986). Quantitative Hydrogeology. Orlando, Fla: Academic Press. Peaceman, D. W. (1977). Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation. Developments in Petroleum Science. Amster-

dam: Elsevier, 6, 176. Roache, P. J. (1985). Computational Fluid Dynamics. Albuquerque, NM: Hermosa Publishers. Sahimi, M. (1995). Flow and Transport in Porous Media and Fractured Rock. Weinheim: VCH Verlagsanstalt. Ségol, G. (1994). Classic Groundwater Simulations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. Strack, O. D. L. (1989). Groundwater Mechanics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. Wang, H.F., Anderson, M.P. (1982). Introduction to Groundwater Modeling. San Francisco: Freeman.


4

1 Poren, Klüfte und allgemeine Konzepte

1.1 Motivation: wo ist numerische Modellierung von Strömung, Wärme- und Stofftransport in porösen Medien von Interesse?

a) Wasserwirtschaft/Mengenbilanzen (Anlage 1.1.1) Absenkungstrichter Mannheim-Ludwigshafen

(Anlage 1.1.2) Karstaquifer in der Schwäbischen Alb

b) Wasserqualität/Schadstoffbelastung (Anlage 1.1.3) regionale Chloridbelastung im Oberrheintal aus Kaligruben

(Anlage 1.1.4) hydraulische Sanierung einer GW-Kontamination

c) Wärmehaushalt/geothermische Energie, saisonale Wärmespeicherung (Anlage 1.1.5) thermische Niedrigtemperatur-Dublette ("low enthalpy") (Anlage 1.1.6) thermische HDR-Dublette

d) Kohlenwasserstoff-Förderung: "reservoir engineering" Entnahmestrategien zur optimalen Ausbeute von Lagerstätten; Zwei- bzw. Dreiphasen-fluss bei Sekundär- bzw. Tertiärmaßnahmen (Wasser- bzw. Dampffluten von Lagerstät-ten bis hin zum Auswaschen). Da solche Maßnahmen teuer sind, Optimierung mit Hilfe von Modellrechnungen.

e) Speicherung von Schadstoffen im tieferen Untergrund Problematik der Langzeit-Sicherheitsanalyse, deterministisch ("konservativ") bzw. sto-chastisch (Wahrscheinlichkeitsangabe für Schadensfall): (Anlage 1.1.7a) Endlager für schwach radioaktive Abfälle in der Grube Konrad (Anlage 1.1.7b) Verpressung Tritium-haltiger Lösungen in tiefe Formationen (Anlage 1.1.7c) regionales Strömungsmodell Grimsel (Anlage 1.1.7d) wie trocken sind Salzbergwerke? Rechnungen für die "WIPP site"

f) Wärme- und Stofftransport durch Oberkruste Lagerstättenbildung durch Fluidströmung in Sedimentbecken: (Anlage 1.1.8) MVT-Metallerzlagerstätten (Anlage 1.1.9) Kohlenwasserstoff-Lagerstätten durch Fluidströmung (Anlage 1.1.10) Sedimentbeckenanalyse

Krustenweite Prozesse: "Krustenrülpser" mit massiven, langanhaltenden, wenn auch un-periodischen Fluidströmungen prägten zu einem großen Ausmaß Entwicklung und Zu-sammensetzung der Kruste; Phänomene auf unterschiedlichen horizontalen und vertika-len Längen- und Zeitmaßstäben: (Anlage 1.1.11a) Skizze unterschiedlicher Strömungssysteme (Anlage 1.1.11b) Prinzipmodell für Konvektionsmechanismus in Oberkruste (Anlage 1.1.11c) Strömungs- und Temperaturfelder zu Konvektion in Oberkruste


5

1.2 Porosität

a) wie sieht der Porenraum aus? (Anlage 1.2.1) Unterschiedliche Porenraumgeometrien

b) unterschiedliche Arten der Porosität 1. totale Porosität: Φ = Hohlraumvolumen/Gesamtvolumen des Gesteins {Hohlraumverhält-

nis = "void ratio" = Hohlraumvolumen/Matrixvolumen}

2. effektive (kinematische) Porosität Φe = Volumen des mobilen Wassers/Gesamtvolumens des Gesteins

(Anlage 1.2.2) totale vs. effektive Porosität

c) Größenordnung von Porosität: (Anlage1.2.1) und (Anlage 1.2.3)

d) Doppelt- (bzw. mehrfach) poröse Medien Transport in Klüften, Speicherung in Matrix; klassische Anwendung: Erdöllagerstätten in Kalkstein, aber auch zunehmend im Kristallin; auch zur Berücksichtigung mehrfacher Mineralisationsepochen (Mehrfachporosität) (Anlage 1.2.3) Doppelt-poröses Medium

1.3 Was ist ein Modell? a) physikalische Beschreibung eines Phänomens, meist mit Abstraktion (d.h. Konzentration

auf das wesentliche, allgemeinste) führt unter bestimmten Annahmen (z. B. Isotropie, Homogenität, Symmetrie) auf mathematische Beschreibung in Form von (meist par-tiellen) Differentialgleichungen (PDGL).

b) diese sind entweder analytisch (geschlossen) lösbar (selten, nur für sehr einschränkende Annahmen) oder müssen numerisch, approximativ gelöst werden. Hierzu Umsetzung der PDGL in Rechenvorschrift mittels Finiter Differenzen (FD), Finiter Elemente (FE), Rand-integral Methoden (boundary elements; BE).

c) zur Lösung des Problems ordnet schließlich die Parametrisierung auf dem gesamten Ge-biet den Konstanten der PDGL aktuelle Werte zu. (Anlage 1.3.1) Rheintal-Diskretisierung

1.4 Was interessiert ? 1) Verhalten an diskreten Punkten? (z. B. Schadstofftransport)

2) integrale Größen (z. B. Mengen, Stoff- oder Wärmebilanzen) oder lokale, regionale Mit-telwerte?

3) Vorhersage zukünftigen Verhaltens oder Interpretation der akkumulierten Daten (z. B. Sanierungsstrategien oder Interpretation von Entstehungsgeschichten)?

Danach richtet sich die Modellierung in der Wahl:

1) der physikalisch-mathematischen Formulierung (z. B.: Poren- oder Kluftwasserleiter, ge-sättigte oder ungesättigte Strömung, mit Wasser mischbare oder nicht mischbare Stoffe,


6

Kopplung der Konzentrationen und Strömung (z. B. Salz, Wärme!), Art des Schadstoffs (idealen Tracer oder Stoffe mit Adsorption und chemischer Reaktion).

2) der Dimensionalität

• 3 D: (Anlage 1.4.1) Salzwasserintrusion in Küstenaquifer wegen Wasserförderung (Anlage 1.4.2) Punktueller Schadstoffeintrag

• 2D Vertikal: 1) Betrachtung der mittleren Konzentration in von Stromflächen völlig eingeschlos-

sener Fahne. 2) Keine Änderung in der zweiten horizontalen Dimension!

• 2 D Horizontal: 1) keine Dichteströmung, 2) keine Änderung mit der Tiefe, häufigstes GW-Modell. Wegen Mittelung der

Geschwindigkeiten mit der Tiefe problematisch bei Schadstofftransport. differentielle Konvektion führt zu großen Dispersionslängen (siehe später).

• 1 D: Säulenversuche im Labor, Transport entlang von Stromröhren

• 0 D: Gebietsbilanz von flächigen Einträgen

1) des Rechenverfahrens 2) der Parametrisierung des Gebietes (Zonierung)

Modellierung erfordert zusätzlich: a) Wahl des Lösungsverfahrens, Implementation am Rechner b) Bestimmung der unbekannten Modellparameter: Kalibrierung (Eichung)

(Anlage 1.4.3) Pe-Kalibrierung c) Validierung: Überprüfung der Vorhersagekraft mittels Daten, die von den Eichdaten un-

abhängig sind d) Anwendung (interaktiver Prozess !) e) graphische Darstellung der Ergebnisse (!)

1.5 gekoppelte Systeme ? Beeinflusst Transport die Strömung durch Veränderung der Fluideigenschaften (Dichte, Vis-kosität)?

(Anlage 1.1.11c)Wärmetransport (Anlage 1.5.1) Salztransport

Falls nicht, kann mit stationärem Strömungsfeld gearbeitet werden (z. B. Endlagerrechnun-gen: Strömungsfeld unbeeinflusst von Nuklidkonzentration, wohl aber von Temperatur und Salinität!). viele Parameter sind f(T, P, C)

(Anlage 1.5.2) Dichte von H2O als f(T, P) (Anlage 1.5.3) Viskosität von H2O als f(T, P)

Beeinflusst Transport die Strömung durch Veränderung der Strömungseigenschaften (Porosi-tät, Permeabilität reaktiver Transport!)?

(Anlage 1.5.4) Flutungsexperiment an mit Anhydrit beladenem Sandsteinkern


7

2 Strömung

Symbol Parameter Einheit

g Schwerebeschleunigung (g ≈ 9,81) ; (gravitational acceleration)

(m s-2)

h hydraulisches Potential, piezometrische Höhe; (hydraulic head)

(m)

h0 hydraulisches Referenzpotential; (reference head) (m)

K=ρf g k/μ Tensor der hydraulischen Leitfähigkeit, Durchlässig-keitsbeiwert, kf-Wert; (hydraulic conductivity)

(m s-1)

k Tensor der Permeabilität, Durchlässigkeit; (intrinsic permeability)

(m2), (Darcy);

1D=10-12 m2

L Aquifermächtigkeit (m)

P Druck; (pressure) (Pa)

S = Ss×L Speicherkoeffizient; (storativity) (m3 m-3)=( - )

SS spezifischer Speicherkoeffizient; (specific storage)

(m3 m-3 m-1) = (m-1)

T = K ×L Tensor der Transmissivität; (transmissivity) (m2 s-1)

T Zeit (s)

tr = k×L Tensor der Transmissibilität; (transmissibility) (m3)

v Darcy Geschwindigkeit (m3 m-2 s-1) = (m s-1)

W Quellstärke (source term) (Injektion: > 0; Extraktion: < 0)

(m3 s-1)

x, y, z räumliche Koordinaten (m)

α , β Kompressibilität von Matrix bzw. Flüssigkeit; (compressibility)

(Pa-1)

φ Porosität ( - )

φe effektive (durchflusswirksame) Porosität ( - )

μ dynamische Viskosität; (dynamic viscosity) (Pa s) = (kg m-1 s-1)

ρf Flüssigkeitsdichte; (fluid density) (kg m-3)

ρr Relativdichte ( - )

ρ0 Referenzdichte der Flüssigkeit; (reference density) (kg m-3)

ρ* Flüssigkeitsdichte der Quelle (kg m-3)


8

2.1 Mechanismen und Grundgleichungen Flüssigkeitsströmung wird durch einen einzigen physikalischen Prozess bewirkt, die Konvek-tion; dies schließt Quellen und Senken mit ein. Für die Herleitung der Strömungsgleichung wird meist ein Kontrollvolumen betrachtet, die Zu- und Abflüsse über alle sechs Seiten bilan-ziert und das Ergebnis im Sinne der Massenerhaltung mit der zeitlichen Änderung der Ge-samtmasse gleichgesetzt. Die Zu- und Abflüsse werden mithilfe der experimentell bestätigten Darcy Gleichung beschrieben.

Gegenwärtig wird diskutiert, inwieweit für starke Dichteunterschiede in der Flüssigkeit auch andere Prozesse wirksam werden; eine abschließende Antwort hierauf steht noch aus. Sollte dies der Fall sein, würde die Darcy Gleichung um zusätzliche Terme ergänzt werden. Für die meisten praktischen Probleme dürfte aber die bisherige Formulierung auch weiterhin Bestand haben.

Die Darcy-Gleichung berechnet die Darcy (Filter) Geschwindigkeit v als Funktion des Dru-ckes P, der Permeabilität k, der Schwerebeschleunigung g, der dynamischen Fluid-Viskosität µ sowie der Fluid-Dichte ρf:

( )fP + ρ g zμ

= −kv grad grad (2.1a)

Statt des Druckes wird oft auch das hydraulische Referenzpotential h0 als unabhängige Vari-able verwendet, wobei h0 sowie die Relativdichte ρr bezüglich einer Referenztemperatur T0 und einer Referenzdichte ρ0 definiert sind:

( ) ( )0

Pf 0

f 0 0 r 0 00 0P

1 d P1 1 und h z bzw. h zg ( ) g

ρ − ρ ξρ = ρ + = ρ + ρ = + = +

ρ ρ ξ ρ∫

(Anlage 2.1.1) Ableitung des hydraulischen Potentials

Nach dieser Variablentransformation ergibt sich für die Ableitungen des Druckes:

00 0 0

hPP g( h z) und gt t

∂∂= ρ − = ρ

∂ ∂grad grad grad

und die Darcy Gleichung lautet:

(2.1b)

Im Fall konstanter Dichte wird sie im Allgemeinen mit Hilfe des hydraulischen Potentials h ausgedrückt. Dies hat gegenüber h0 den Vorteil, dass Piezometerhöhen h (Standrohrspiegel) in der Praxis einfach zu bestimmende Größen sind:

h= −v K grad (2.1c)

Zur Strömungsgleichung gelangt man nun, indem der entsprechende Ausdruck für die Darcy Geschwindigkeit in die Massenerhaltung eingesetzt wird. Aus:

( ) ( )ff0 div

t∂ φ ρ

= + ρ∂

v (2.2)

folgt damit: (2.3)

( )f 0 rρ g h +ρ zµ

= −

K

kv grad grad

( ) ( ) *ff f s

P div P g z Wt µ

⎡ ⎤ρ∂ρ α + φβ = + ρ + ρ⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

k grad grad


9

Hierbei bezeichnen α und β die Kompressibilität der Matrix bzw. des Fluids. Ws = W/dV ist die spezifische Quellstärke in s-1, W der Quellterm in m3 s-1 und ρ* die Dichte des injizierten Fluids in kg m-3.

(Anlage 2.1.2) Tabelle für α und β

Die Herleitung der linken Seite von (2.3) aus dem ersten Summanden von (2.2) ist äußerst aufwendig und nimmt in den einschlägigen Lehrbüchern (z. B. de Marsily, 1986; Bear & Ver-ruijt, 1987; Bear, 1972) mehrere Seiten in Anspruch, wobei jeweils "ein ganzes Heer von Ko-effizienten" definiert wird (de Marsily, 1986). Es wird daher auf diese Ableitungen hingewie-sen und lediglich deren Endergebnis in Form der linken Seite von Gleichung (2.3) übernom-men.

(Anlage 2.1.3) Ableitung Darcy Gesetz

Damit folgt aus (2.3):

0ρ ( ) 0f 0

sS

hg div[t

∂ρ α + φβ = ρ

∂( )f 0 r s

0

K W

*g h z ] Wµ

′

ρρ + ρ +

ρk grad grad

wobei SS der spezifische Speicherkoeffizient ist und K der Tensor der hydraulischen Leitfähigkeit. Die Strömungsgleichung in drei räumlichen Komponenten lautet also wie folgt (mit Identifizierung der physikalischen Bedeutung der einzelnen Terme):

0S 0 r

Quelltermfreieerzwungenezeitliche Änderung KonvektionKonvektionder Gesamtmasse

Massendivergenz

hS div( [ h z]) Wt

∂ ′= + ρ +∂

K grad grad (2.4a)

oder ausgeschrieben:

0 0 0 0S x y z r

QuelltermfreieKonvektionzeitliche Änderung erzwungene Konvektion

der GesamtmasseMassendivergenz

h h h hS (K ) (K ) (K [ ]) Wt x x y y z z

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ′= + + + ρ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.4b)

(Anlage 2.1.4) Tabelle der Permeabilität von Gesteinen

Merke: (1) Dichteeffekte machen sich nur im Auftriebsterm der Vertikalkomponente bemerkbar;

(2) Kreuzkopplungseffekte sind vernachlässigt.

(Anlage 2.1.5) Liste von Kreuzkopplungseffekten

Im horizontal-ebenen Fall wird oft über die Mächtigkeit L des Aquifers gemittelt. Damit ver-einfacht sich (2.4) zu der in Grundwasserrechnungen gebräuchlicheren Form:

(2.5)

,

wobei der Speicherkoeffizient S, der Tensor der Transmissivität T und der Quellterm W'' aus Mittelung über die Aquifermächtigkeit L aus dem spezifischen Speicherkoeffizienten SS, dem Tensor der hydraulischen Leitfähigkeit K sowie dem Quellterm W'' hervorgehen:

0 0 0x y

h h hS T T Wt x x y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞ ′′= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠


10

L

S S0L

0L

0

S S d bzw. S S L

T K d bzw. T K L

W W d bzw. W W L

= ξ =

= ξ =

′′ ′ ′′ ′= ξ =

∫

∫

∫

Im Falle eines freien, ungespannten Aquifers muss der Speicherkoeffizient in (2.5) durch die effektive Porosität φe ersetzt werden, da die Speicherung nun durch die Bewegung des Grund-wasserspiegels bewerkstelligt wird. Ebenso muss die effektive Transmissivität aus der gesät-tigten Mächtigkeit des ungespannten Aquifers berechnet werden, also der Differenz der Hö-hen von Grundwasserspiegel und Aquiferbasis. In Gleichung (2.4) genügt es, analog hierzu SS durch φe/L zu ersetzen.

Der Quellterm kann außer durch direkte Einspeisung (oder Förderung) auch durch Nieder-schlag, oder Zufluss aus Oberflächengewässern realisiert werden. Da für letztere das Grund-wasserniveau im freien Aquifer von Bedeutung sein kann, wird hierfür meist nach dem soge-nannten „leakage"-Prinzip aus halbgespannten Aquiferen verfahren.

siehe auch (Anlage 5.1.1)

2.2 Permeabilität Durchlässigkeit, inverser Strömungswiderstand; Definiert aus Darcyschem Säulenversuch:

fgrad h mit =ρ gµ

= −kv K K

K: hydraulische Leitfähigkeit, k: Permeabilität

(siehe Anlage 2.1.4)

Analogie zu Ohmschen Gesetz: 1 1I R U R grad− −= ⋅ = − ⋅ ϕ

sowie zur Fourierschen Wärmeleitungsgleichung: grad THq λ= − .

In der Literatur wie auch im Sprachgebrauch werden die folgenden Begriffe häufig missver-ständlich gebraucht bzw. verwechselt:

Eigenschaft des gesättigten Mediums Eigenschaft der Matrix / des Korngerüsts

K: hydraulische Leitfähigkeit k: Permeabilität

T: Transmissivität tr: Transmissibilität

Für einige spezielle Strömungsgeometrien können analytische Formeln für die Permeabilität abgeleitet werden: Strömung in einer Röhre (Hagen-Poiseuille), Strömung zwischen paralle-len Platten u.a.m..

(Anlage 2.2.1) Ableitung von Permeabilitätswerten für unterschiedliche Geometrien


11

For unconsolidated and sedimentary rocks a number of empirical relationships allow to derive permeability from porosity and other quantities, such as: specific surface; average or median pore and grain size; shale content. The best known of these relationships, the Kozeny-Carman equation, relates permeability to porosity and specific surface So, the surface area exposed to the fluid per unit volume of solid material (given in m-1):

3

0 2 20

k cS (1 )

φ=− φ

.

Values used for the constant c0 vary between 1/6 ≤ c0 ≤ 1/2 (Bear, 1972), the most frequently used values being c=1/5 (Bear, 1972; de Marsily, 1986Mar) and c=1/2 (Pape et al., 1999). If the mean grain radius rg is given by rg=3/S0 (Bear, 1972) and c=1/5, the equation can be ex-pressed by:

2 3g

2r

k 45 (1 )φ=− φ

.

For unconsolidated sediments permeability may be expressed in terms of the particle size dis-tribution. With d10=2r10, the “effective grain diameter” which is larger or smaller for 10 or 90 weight % of a sample, respectively, permeability can be expressed by (de Marsily, 1986Mar):

2 210 10k d 1000 r 250= = .

For unconsolidated sand Bretjinski’s formula (de Marsily, 1986) gives hydraulic conductivity fK gk= ρ μ :

- -1716 7 (K in m d ) oK=3.332 10 K=38.56r: (K in m 4 s )× φ φ .

For consolidated porous and fractured rocks Pape et al. (1999; 2000; 2005] derived a three-term power series in porosity φ for permeability k from a petrophysical model in which the internal surface’s roughness is expressed by its fractal dimension which defines the different exponents:

31 2 expexp expk=A B C(10 )φ + φ + φ .

The coefficients A, B, and C and the exponents exp1, exp2, and exp3 need to be calibrated for each type of (clean to shaly) sandstone. They express the different types of compaction and cementation sandstones may have experienced during diagenesis. For an average sandstone from the North-German sedimentary basin Pape et al. [Pape et al., 1999] derived the follow-ing coefficients and exponents:

2 10k=31 7463 191(10 )φ+ φ + φ .

The following figure gives an example for shaly to clean sandstones which illustrates the strong non-linearity, involving exponents of porosity as large as 10.


12

Log-log plot of permeability k versus porosity φ for different consolidated and uncon-solidated clean and shaly sandstones from the North German sedimentary basin. The colored curves, calibrated by several hundred data points, correspond to different clean to shaly sandstones (top to bottom), and are validated by independent data (symbols). The broken red line corresponds to an average North German sandstone, the straight dotted line to the frequently employed cubic relationship between permeability and po-rosity, and the bent, straight line characterizes French Fontainebleau sandstone.

100 101 1023 4 5 6 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7

porosity φ (%)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

perm

eabi

lity

(nm

2 )

φ (%)

k (n

m2 )


13

3 Stofftransport


C Konzentration: Masse gelöster Substanz pro Vo-lumeneinheit der Lösung (concentration)

(kg m-3)

Ca = f(C) Konzentration von an der Matrix adsorbierter Substanz

(kg m-3)

C0 Anfangskonzentration vor Zerfall (kg m-3)

d0 molekulare Diffusionskonstante in Wasser (m2 s-1)

D Diffusions-Dispersions-Tensor des porösen Me-diums (diffusion-dispersion tensor)

(m2 s-1)

F Formationsfaktor (formation factor) ( - )

f(C) Gleichgewichtsisotherme (mL g-1) = 10-3 (m3 kg-

1)

Kd = f(C) Gleichgewichtsverteilungskoeffizient

(equilibrium distribution coefficient)

(mL g-1) = 10-3 (m3 kg-

1)

Le, L mittlere effektive Länge der Strömungsbahnen in einem porösen Medium zwischen zwei parallelen Ebenen des Abstandes L

(m)

( )d M

1R 1 K

− φ= + ρ

φ

Retardationsfaktor (retardation factor) ( - )

Q Quellstärke (source term) (Injektion > 0; Extrak-tion < 0)

(kg m-3 s-1)

L T,α α longitudinale, transversale Dispersionslängen (m)

ij

1: i j0 : i j

=⎧δ = ⎨ ≠⎩

Kroneckersymbol (Kronecker’s delta) ( - )

λ Konstante des exponentiellen Zerfalls (exponen-tial decay constant)

(s-1)

mρ Dichte der Matrix

(mass per unit volume of solid grains of porous medium)

(kg m-3)

21

e

L ( F)L

−⎛ ⎞τ = = φ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Tortuosität (Gradlinigkeit) der Hohlräume im po-rösen Medium (tortuosity factor <1); manchmal auch als Kehrwert definiert, also als Wegverlän-gerung (totuosity>1)

( - )


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3.1 Mechanismen und Grundgleichungen Anders als für Flüssigkeitsströmung können beim Transport von in der Flüssigkeit gelösten Substanzen eine Reihe weiterer physikalischer Prozesse wirksam werden. Neben Quellen und Senken sowie der reinen Advektion, der konvektiven Verschleppung eines Inhaltsstoffes durch ein Strömungsfeld, müssen in aller Regel auch molekulare Diffusion sowie hydrody-namische Dispersion berücksichtigt werden. Je nach Problemstellung können jedoch auch die Adsorption eines Stoffes am Porengerüst, Lösung und Fällung von Matrixbestandteilen in und aus der Flüssigkeit, sowie Zerfall bzw. Abbau des Inhaltsstoffes wichtig sein. Zudem kann es zur Rückkopplung auf das Strömungsfeld kommen, wenn die Konzentration der gelösten Substanz die Dichte der Flüssigkeit merklich verändert. Da Dichteeffekte jedoch ausführlich am Beispiel des Wärmetransportes behandelt werden, sollen diese beim Stofftransport ausge-klammert werden. Auch Lösungs- und Fällungsreaktionen werden im folgenden nicht weiter betrachtet, wohl aber Adsorption und Zerfall.

Ähnlich wie bei der Herleitung der Strömungsgleichung werden auch bei der Transportglei-chung die Zu- und Abflüsse über alle sechs Seiten eines Kontrollvolumens bilanziert und mit der zeitlichen Änderung der gesamten Substanzmasse gleichgesetzt. Für den Fall konstanter Flüssigkeitsdichte können alternativ hierzu auch die Volumina bilanziert werden. Anders als bei der Strömungsgleichung müssen aber nicht nur die konvektiven Flüsse betrachtet werden, sondern auch die von den anderen wirksamen Prozessen verursachten. Ausführliche Herlei-tungen finden sich in den einschlägigen Lehrbüchern (z. B. de Marsily, 1986;Bear & Verruijt, 1987; Bear, 1972).

Im folgenden werden eine exponentielle Zerfallsreaktion der Form t0C C e−λ= sowie soforti-

ge, lineare, reversible Adsorption betrachtet. Für diesen Fall lautet die Transportgleichung:

QuellenAdvektionDispersion Adsorption undZerfallzeitliche Änderung

der GesamtmasseMassendivergenz

CR div( C C) Q R Ct

∂φ = − + − φ λ

∂D grad v , (3.1)

wobei R der Verzögerungs- (Retardations-) Faktor ist, ρm die Dichte der Matrix, Q ein Quell-term, λ die Zerfallskonstante und D der Diffusions-Dispersionstensor. R ist im Allgemeinen definiert durch:

am

C (1 )R 1C

∂ − φ= + ρ

∂ φ, (3.2)

wobei Ca die Konzentration der an der Matrix angelagerten Substanz ist. Für eine lineare Be-ziehung zwischen Ca und C: a dC K C= , wobei Kd der sogenannte Verteilungskoeffizient oder „Kd–Faktor“ ist, welcher angibt, wieviel Substanz aus der Lösung an der Matrix adsor-biert wird, folgt für den Verzögerungsfaktor im obigen Fall für t

0C C e−λ= :

m d(1 )R 1 K − φ

= + ρφ

(3.4)

3.2 Verteilungskoeffizient und Retardationsfaktor Der Name für den Retardationsfaktor weist auf die Auswirkung von Adsorption auf den Stofftransport hin: Dividiert man (3.1) durch R, so erhält man eine Transportgleichung ohne Adsorption, jedoch mit um den Faktor R-1 verkleinerter Darcy-Geschwindigkeit. Die Größe des Verteilungskoeffizienten wird üblicherweise in mL g-1 angegeben und schwankt zwischen


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d0 K 1000≤ ≤ oder größer. Für dK 1, wird die Adsorption so stark, dass sich der gelöste Stoff im wesentlichen immobil verhält.

(Anlage 3.2.1) Schadstoffausbreitung für unterschiedliche Kd - Werte

Gleichgewichts-Verteilungsfunktionen f(C) = Ca werden als "Isothermen" bezeichnet, weil sie das chemische Gleichgewicht bei konstanter Temperatur beschreiben. Neben der hier betrach-teten linearen Adsorption, die bei sehr kleinen Konzentrationen verwendet werden kann, gibt es weitere, nicht-lineare Isothermen. Die bekanntesten sind:

Isotherme zweiter Ordnung: 2a 1 2C K C K C= − 1 2K , K 0>

Freundlich-Isotherme a 1 2C K Cexp(K )= 1 2 2K , K 0; K 1> ≤

Langmuir-Isotherme 1a

2

K CC1 K C

=+

1 2K , K 0>

Während sich lineare Adsorption in einer Verzögerung der Ausbreitung auswirkt, deformieren nicht-lineare Adsorptions-Isothermen die Form der Schadstoffverteilung zusätzlich. Retarda-tionsfaktors unterscheidet man hierbei konkave (R nimmt mit zunehmender Konzentration zu) und konvexe (R nimmt mit zunehmender Konzentration ab) Isothermen.

(Anlage 3.2.2) Wirkung unterschiedlicher Adsorptionsisothermen

3.3 Dispersionstensor Im bezüglich der Dispersionslängen isotropen Fall wird der Dispersionstensor nach Scheideg-ger sowohl durch die Dispersionslängen αT und αL und den molekularen Diffusionskoeffizien-ten d0 als auch durch das Geschwindigkeitsfeld definiert - das bedeutet insbesondere, dass in einem nicht gleichförmigen Geschwindigkeitsfeld die Komponenten des Dispersionstensors von Ort zu Ort variieren, der Tensor also völlig heterogen ist:

( ) i jij T ij L T 0 ij

v vv d= α δ + α − α + φ τ δD

v, (3.5)

wobei |v| der Absolutbetrag und vi bzw. vj die Komponenten in i- und j-Richtung der Darcy-Geschwindigkeit sind, und τ der Tortuositätsfaktor des porösen Mediums ist, ein Maß für die Gradlinigkeit der Strömungsbahnen im Porengeflecht; δij ist das Kroneckerdelta. Die D11 Komponente lautet damit z. B.:

( )2 2 2

1 1 1 2 311 T L T 0 L T 0

v v v v vD d d+= α + α − α + φ τ = α + α + φ τv

v v v, (3.6)

und die D12 = D21 Komponente:

( ) 1 212 21 L T

v vD D= = α − αv

. (3.7)

Der molekulare Diffusionskoeffizient d0 in Wasser liegt für die wichtigsten Ionen in der Grö-ßenordnung von 10-9 m2 s-1 (z. B. NaCl bei 20° C: d0 = 1,3× 10-9 m2 s-1).

Der Tortuositätsfaktor ist hier definiert als τ =(φ F)-1=(L/Le)2 < 1, wobei Le die mittlere Länge

der effektiven Strömungsbahnen in einem porösen Medium zwischen zwei parallelen Ebenen des Abstandes L ist und F = ρ0/ρw der geoelektrische Formationsfaktor, welcher sich aus den spezifischen elektrischen Widerständen des gesättigten Gesteins (ρ0) und des Formationswas-


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sers (ρw) ergibt. Manchmal wird τ´ auch als der Kehrwert dieses Wertes definiert (und den-noch als Tortuosität bezeichnet), und ist dann größer als 1. Mithilfe des Formationsfaktors F, der sich aus geoelektrischen Bohrlochuntersuchungen bestimmen lässt, kann die Tortuosität aus τ =(φ F)-1 (bzw. für τ =(Le/L)2 aus τ´= φ F) berechnet werden. Werte aus der Praxis schwanken zwischen τ = 0,1 für Tone und τ = 0,7 für Sande. Die Dispersion ist Ausdruck der Heterogenität des mikroskopischen Strömungsfeldes, bzw. der Schwankungen der lokalen Strömungsvektoren in Richtung und Betrag um den makroskopischen Mittelwert, den die Darcy-Geschwindigkeit darstellt. Modellierte man das tatsächliche Strömungsfeld in den Porenkanälen, wie es z. B. bei den sogenannten "Zellularen Automaten" geschieht, gäbe es keine Dispersion. Sie hängt also offensichtlich mit dem Be-reich zusammen, über den gemittelt wird, dem "repräsentativen Elementarvolumen" (REV). Deshalb kann es auch nicht überraschen, dass die Dispersionslängen keine Materialparameter im eigentlichen Sinne sind, d. h. dass ihre Größe von der charakteristischen Länge des Ver-suchs abhängt, mit dem sie bestimmt werden. Werte für αL schwanken von einigen 10-3 m in Säulenversuchen im Labor bis zu 102 m aus Tracerversuchen im Gelände. Die Werte für αT sind in der Regel um einen Faktor 5 - 10 kleiner.

(Anlage 3.3.1) Skalenabhängigkeit der Dispersionslängen

(Anlage 3.3.2) Wirkung unterschiedlicher Dispersionslängen

(Anlage 3.3.3) REV Konzept am Beispiel der Porosität

(Anlage 3.3.4) Strömungsmodellierung mit zellularem Automaten

4 Wärmetransport


c spezifische Wärmekapazität des porösen Mediums (J kg-1 K-1)

cf spezifische Wärmekapazität der Flüssigkeit (J kg-1 K-1)

H Wärmeproduktionsrate (W m-3)

T Temperatur (°C)

λ Tensor der Wärmeleitfähigkeit (W m-1 K-1)

ρ Dichte des porösen Mediums (kg m-3)

4.1 Mechanismen und Grundgleichungen Die Transportgleichung für Wärme gleicht in vielem der für gelöste Stoffe: ebenso wie diese wird sie aus einer Bilanzierung der Zu- und Abflüsse über alle sechs Seiten eines Kontrollvo-lumens hergeleitet, und auch die wichtigsten wirksamen physikalischen Prozesse sind diesel-ben: Diffusion (Wärmeleitung), Advektion, sowie (Wärme-) Quellen bzw. Senken. Dennoch gibt es einige wichtige Unterschiede zum Stofftransport, die eine gesonderte Behandlung er-forderlich machen.

Zum einen wird Wärme im porösen Medium, anders als in Wasser gelöste Substanzen, nicht nur in der flüssigen Phase transportiert, sondern vermöge der im allgemeinen recht guten Wärmeleitfähigkeit der Gesteine bzw. Lockersedimente in nicht unerheblichem Maße auch über die Matrix. Zudem ist der thermische Diffusionskoeffizient, die Temperaturleitfähigkeit,


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mit ungefähr 10-6 m2 s-1 drei Größenordnungen größer als die molekulare Diffusionskonstante d0. Weiterhin, und damit unmittelbar zusammenhängend, ist der Beitrag der Dispersion zur Wärmeausbreitung mit Ausnahme sehr großer Darcy-Geschwindigkeiten (genauer: Péclet Zahlen: Pe > 3000; ( )f

Pe c vL /⎡ ⎤= ρ λ⎣ ⎦ = Advektion / Konduktion) vernachlässigbar klein (Bear, 1972, p. 651).

Zum anderen kann, zumindest für kristalline Gesteine mit ihrer radiogenen Wärmeproduktion, die Matrix selbst Wärmequellen enthalten. Und schließlich reduziert sich die Anzahl der in Frage kommenden physikalischen Transportprozesse, da es eine Adsorption, bzw. einen Zer-fall von Wärme nicht gibt.

Die Wärmetransportgleichung für ein inkompressibles poröses Medium (d. h. ∂φ/∂t = 0) lautet somit:

( ) f fQuellenWärmeleitung Wärmeadvektion

zeitliche Änderungdes Wärmeinhalts Divergenz des Wärmetransportes

c T div T c T Ht

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟ρ = − ρ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠λ grad v (4.1)

T ist die Temperatur, ρ die Dichte, c die spezifische Wärmekapazität, λ der Tensor der Wär-meleitfähigkeit und H die Wärmeproduktionsrate des gesättigten porösen Mediums.

4.2 Dichte und spezifische Wärmekapazität Dichte und spezifische Wärmekapazität treten in (4.1) nur als Produkt auf, der volumenbezo-genen Wärmekapazität. Der Wert für das poröse Medium wird entsprechend der Porosität aus dem Fluid- und Matrixanteil berechnet. Es existieren eine ganze Reihe unterschiedlicher Mit-telungsformeln für derartige "zusammengesetzte Medien", wobei in Analogie zu elektrischen Schaltkreisen die Werte für Parallel- und Serienschaltung untere und obere Grenzwerte lie-fern. Wesentliche Unterschiede ergeben sich in der Regel für sehr kleine bzw. sehr große Po-rositäten. Im Grundwasserbereich üblich ist die lineare Mittelung, die der Serienschaltung entspricht, also f f m mc c (1 ) cρ = φ ρ + − φ ρ . Das Produkt ρm cm hat für die meisten Gesteine den innerhalb von 20 % bemerkenswert konstanten Wert von 2,3 × 106 J m-3 K-1. ρf und cf von Wasser variieren jedoch stark mit der Temperatur, aber auch mit dem Druck. (Anlage 4.2.1) ρf cf von Wasser als f(T, P)

4.3 Wärmeleitfähigkeit Liegt das gewählte Koordinatensystem parallel zu den drei Anisotropieachsen des Wärmeleit-fähigkeitstensors, so genügt es, seine drei Hauptachsenelemente zu betrachten. Anisotropie liegt häufig bei Gesteinen vor, deren Gitteraufbau Vorzugsrichtungen kennt, wie z. B. bei Tonmineralien. Aber auch die Ablagerungsgeschichte von Sedimentgesteinen führt häufig zu unterschiedlichen Werten in horizontaler und vertikaler Richtung. Wie bei der volumenbezo-genen Wärmekapazität setzt sich die Wärmeleitfähigkeit des porösen Mediums aus einem Fluid- und einem Matrixanteil zusammen. Bei der Wärmeleitfähigkeit ist neben anderen Mit-telungsformeln wie der linearen Mittelung das geometrische Mittel am gebräuchlichsten:

(1 )f m .φ −φλ = λ λ

Die Wärmeleitfähigkeit von Wasser bei 20° C beträgt 0,6 W m-1 K-1, die von Gesteinen liegt zwischen etwa 0,1 W m-1 K-1 für Steinkohle und 8,0 W m-1 K-1 für Quarzit (13,6 für reinen Quarz). Sowohl λf als auch λm sind temperaturabhängig, wobei die Gesteinswärmeleitfähig-keit einem T-1-Gesetz folgt.


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(Anlage 4.3.1) Wärmeleitfähigkeit von Wasser als f(T, P) (Anlage 4.3.2) Wärmeleitfähigkeit verschiedener Gesteine

(Anlage 4.3.3) Gesteinswärmeleitfähigkeit als f(T)

4.4 Wärmeproduktionsrate Wenn die Porenflüssigkeit keine wärmeproduzierenden Substanzen enthält, wird H durch die radiogene Wärmeproduktion der kristallinen Gesteine bestimmt. Sie nimmt Werte in der Größenordnung von einem bis einigen µWm-3 an. Diese müssen noch zur Normierung auf das poröse Medium mit dem Matrixvolumen (1-φ) multipliziert werden.

(Anlage 4.4.1) Wärmeproduktionsrate verschiedener Gesteine

5 Numerische Lösungsmethoden Für die numerische Lösung der Strömungs- und der Transportgleichungen stehen eine Reihe von unterschiedlichen Verfahren zur Verfügung. Zur Lösung der Strömungsgleichung am gebräuchlichsten sind die Methoden der Finiten Differenzen (FD) und der Finiten Elemente (FE). Vom Ansatz her zwischen diesen beiden Verfahren angesiedelt ist die Methode der In-tegrierten Finiten Differenzen (IFD); ein in den letzten Jahren stark entwickeltes Verfahren ist die Methode der Randelementintegrale oder "boundary elements" (BE), mit dem die Dimen-sionalität eines Problems um eine Stufe vermindert wird.

Diese Verfahren sind wohl auch bei der Transportmodellierung die am häufigsten gebrauch-ten. Zusätzlich existieren hier jedoch Methoden, die die raum-zeitliche Ausbreitung von Mar-kierungsteilchen ("tracer") im vorgegebenen Geschwindigkeitsfeld berechnen, die Methode der Charakteristiken ("method of characteristics": MOC) und das Zufallsschrittverfahren ("random walk method").

Eine Herleitung und detaillierte Behandlung dieser Methoden sprengt den Rahmen dieses Kurses. Es wird daher auf die angeführten Lehrbücher verwiesen, insbesondere auf (in alpha-betischer Reihenfolge): Bear & Verruijt (1987), Huyakorn & Pinder (1983), Kinzelbach (1987), Marsal (1989), de Marsily (1986), Roache (1985) und Wang & Anderson (1982). Im folgenden werden die wichtigsten Eigenschaften der Methoden jedoch kurz skizziert.

5.1 Finite Differenzen Methode Das FD-Verfahren besticht durch seine mathematische und formale Simplizität und ist relativ einfach zu programmieren. Sein Nachteil, zumindest in der üblichsten Form von Rechteckgit-tern, ist seine geometrische Inflexibilität. Alle gängigen kommerziellen Programme zur Koh-lenwasserstoff-Lagerstättensimulation beruhen auf dem FD- bzw. dem IFD-Verfahren. Im Differenzenverfahren werden Zeit und Raum in Intervalle unterteilt. Das Gebiet wird in meist rechteckige Intervalle diskretisiert. Es sind jedoch auch prismatische oder polygonale Gitter möglich; diese finden aber meist nur bei den IFD-Methoden Verwendung. Es werden sowohl knoten- als auch gitterzentrierte Netzwerke verwendet; im Grundwasserbereich sind knotenzentrierte Gitter aber häufiger anzutreffen. Da die Zuordnung von physikalischen Ei-genschaften blockweise geschieht, müssen im letzteren Fall effektive mittlere Eigenschaften berechnet werden, die das Gebiet zwischen zwei Blockmittelpunkten (den Knoten) repräsen-tieren. Üblicherweise verwendet wird hierbei (in Analogie zu einem Stromkreis mit in Reihe geschalteten elektrischen Widerständen) das harmonische Mittel:


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( )1 1 11 2T 0,5 T T .

− − −= +

Die Differenzengleichungen können aus den PDGL für Strömung bzw. Transport durch die Approximation der Differential- durch Differenzenquotienten hergeleitet werden. Üblicher-weise werden hierbei die Taylorentwicklungen nach dem ersten Glied abgebrochen. Es sind jedoch auch Näherungen höherer Ordnung möglich; diese werden jedoch in den gebräuchli-chen Programmen wegen des daraus resultierenden höheren numerischen Aufwandes selten verwendet. Alternativ können die Differenzengleichungen auch über eine Bilanzierung der Zu- und Abflüsse in und aus einem Kontrollvolumen hergeleitet werden.

(Anlage 5.1.1) Bild 1-8, 10-14 aus Kinzelbach-Skript

Bei den Transportgleichungen können bei der Approximation des Advektionsterms zwei un-erwünschte numerische Effekte auftreten: Oszillationen und künstliche, numerische Dispersi-on. Oszillationen treten bei Verwendung des genaueren zentralen Differenzenquotienten ab einer Gitter Peclet-Zahl von PeΔ ≥ 2 auf. Sie können bei Verwendung eines luvseitigen Diffe-renzenquotienten ("upwind scheme") vermieden werden, allerdings auf Kosten einer erhöhten numerischen Dispersion, die sich in einer Unterschätzung der tatsächlichen Konzentrationen bzw. Temperaturen auswirkt.

(Anlage 5.1.2) Bild 35 aus Kinzelbach-Skript

5.2 Finite Elemente Methode Der große Vorteil der Finiten Elemente, ist die nahezu unbeschränkte Anpassungsfähigkeit der FE-Gitter an beliebige Geometrien, sowie die Möglichkeit, ohne größere Probleme lokal die Diskretisierung zu verfeinern. Weiterhin gestattet eine Ausrichtung der Elementseiten parallel zu den Stromlinien (sofern möglich) die Minimierung der numerischen Dispersion in transversaler Richtung. Ursprünglich besonders im (Bau-) Ingenieurbereich vorangetrieben ist die Methode in den letzten 15 Jahren auch im Grundwasserbereich und den Geowissenschaf-ten intensiv angewendet und weiterentwickelt worden.

Bei den Finiten Elementen wird das Modellgebiet in Elemente von beliebiger, unregelmäßiger Form unterteilt. Im zweidimensionalen Fall am verbreitetsten sind Drei- und Viereckselemen-te. Die Eckpunkte der Elemente sind die Knoten des Gitters. Innerhalb jedes Elementes wird zwischen den berechneten Knotenwerten (Grundwasserhöhen, Konzentrationen, Temperatu-ren) interpoliert, sodass die Variablen stetig variieren. Am einfachsten, und am häufigsten verwendet, ist die lineare Interpolation. Ihr Nachteil ist, dass ihre Ableitung eine Konstante ergibt, und deshalb z. B. die Darcy Geschwindigkeit (oder die Wärmestromdichte) element-weise konstant ist, und zwischen den Elementen in aller Regel Unstetigkeitssprünge aufweist. Es sind natürlich ohne weiteres Interpolationen von höherer Ordnung möglich. Der Preis ist wiederum ein höherer Rechenaufwand. Wie bei den Approximationsformeln der Finiten Dif-ferenzen muss eine Abwägung zwischen Nutzen und Aufwand über eine sinnvolle Wahl der Interpolationsfunktion entscheiden. Schließlich spielt bei allen finiten Verfahren ja auch noch die Feinheit des Gitters eine Rolle. Und da kann durchaus eine lineare Interpolationsformel für eine feines Gitter ein ebenso gutes oder besseres Ergebnis zeigen wie etwa eine höhere Interpolation bei gröberem Gitter.

Das FE-Gleichungssystem wird wiederum durch Bilanzierung und Forderung nach Kontinui-tät gewonnen, hier jedoch an den Knoten. Hierbei besteht der Beitrag eines Elementes zur Ergiebigkeit eines Elementknotens aus der Summe der halben Durchflüsse durch die angren-zenden Seiten. Die Summe der Beiträge aller an einen Knoten angrenzenden Elemente muss nun wegen der Kontinuität gleich der Quellen und Senken am Knoten sein; im instationären Fall kommt noch ein Speicherterm hinzu. Die Vereinigung aller Elemente, die einen Knoten


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gemeinsam haben heißt "patch" dieses Knotens, die Übersetzungsregel von der lokalen zur globalen Knotennummer Inzidenzmatrix ("element matrix"). Die Zeit wird wie bei den Fini-ten Differenzen in Intervallen diskretisiert und Zeitableitungen als Finite Differenzen reali-siert.

Alternativ zur Herleitung aus Bilanzbetrachtungen für alle Knoten können die Knotenglei-chungen nach dem Verfahren von Galerkin hergeleitet werden, das durch n Bedingungen für n Knoten sicherstellt, dass die Residuen an den Knoten minimiert werden.

(Anlage 5.2.1) Bild 21-24 aus Kinzelbach-Skript

5.3 Methode der Charakteristiken und Zufallsschrittverfahren

Die Grundidee dieser beiden Methoden ist, bei der Transportmodellierung den advektiven und den dispersiven Anteil in zwei voneinander unabhängigen Schritten zu berechnen. Zu diesem Zweck werden bei der MOC im Modellgebiet eine große Anzahl von Markierungsteilchen mit variabler Konzentration verteilt; beim Zufallsschrittverfahren wird dagegen genau die Anzahl von Markierungsteilchen konstanter Masse an entsprechenden Stellen verteilt, die der dorti-gen Stoffkonzentration entspricht. Der advektive Schritt besteht nun in beiden Methoden dar-in, dass die Markierungsteilchen im vorgegebenen Strömungsfeld mitschwimmen, sich also entlang der sogenannten "Charakteristiken" der Strömungsgleichung bewegen. Der Vorteil dieser beiden Methoden bei der Transportmodellierung liegt in der Vermeidung von numeri-scher Dispersion.

Der dispersive Schritt wird bei der MOC durch eine numerische Lösung der reinen Dispersi-onsgleichung am neuen Ort des Teilchens realisiert, z. B. durch ein FD- oder FE-Verfahren. Die Konzentrationsänderungen aufgrund der Dispersion werden den Markierungsteilchen als Änderung ihrer Konzentration mitgeteilt. Beim Zufallsschrittverfahren wird die Dispersion durch eine Zufallsbewegung der Teilchen um ihre im advektiven Schritt erreichte Positionen modelliert. Die Varianz der hierfür benutzten Gaußschen Verteilungsfunktion ist durch L2 tα Δ definiert und entspricht hierdurch den statistischen Eigenschaften des dispersi-ven Prozesses. Die raum-zeitliche Verteilung von Teilchen, die derartige Zufallsschritte aus-führen wird durch die Fokker-Planck Gleichung beschrieben. Diese gleicht der Transportglei-chung beinahe. Der Unterschied liegt genau im Dispersionsterm. Der dem div (D grad C) der Transportgleichung entsprechende Term der Fokker-Planck Gleichung lautet: div grad (DC) = 2 (DC)∇ . Um dies zu berücksichtigen, muss daher noch zusätzlich ein Korrekturterm angebracht werden. Aus der Überlagerung vieler solcher Zufallsschritte entsteht dann die der Dispersion entsprechende raum-zeitliche Konzentrationsverteilung. Diese wird aus den Punk-teverteilungen mittels Überlagerung mit einem Gitterraster und Division der im Raster befind-lichen Schadstoffmasse durch das Wasservolumen ermittelt.

(Anlage 5.3.1) Bild 36-39

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Numerische Modellierung von Strömung, Stoff- und ... · tät, Permeabilität B reaktiver Transport!)? (Anlage 1.5.4) Flutungsexperiment an mit Anhydrit beladenem Sandsteinkern C