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Prof. Dr.-Ing. Hans-Dieter KleinschrodtFB VIII: Maschinenbau, Veranstaltungstechnik, Verfahrenstechnik

Explizite Finite

Elemente MethodeLV02: Masterkurs für MK-M, ME-M und PE-M

Numerische Simulation

FEM versus PFC und CFD

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Numerische Simulationsmethoden

� FEM Finite Elemente Methode

� PFC Partical Flow Code

� CFD Computational Fluid Dynamics

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Ziel

Wirklichkeit: technisches Problem (Versuch)

Simulation:wirklichkeitsgetreu nachahmen

virtuell mit numerischen Methoden

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Beispiele

� Rissschadensanalyse im Rohrboden eines

Wärmetauschers (FEM)

� Ursachenanalyse für Entmischungen in einem Schacht (PFC)

� Ausgasung einer Flüssigkeit in einem

elektrochemischen Reaktor (CFD)

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Ziele der Simulation

� Verständnis des Vorgangs

(Nachbildung der Natur)

� Optimierung des Vorgangs

� Vorhersage des Vorgangs

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FEM: Finite Elemente Methode

dF

k Fkd =

fdK =d3 d4

d2d1

F3

F1

=

0

0

3

1

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14121211

F

F

d

d

d

d

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

2

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Boiler mit Rauchrohrwärmetauscher

Feuerungsraum

1/8 Modell

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Boiler mit Rauchrohen als Wärmetauscher

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Modellannahmen

� linear elastisches Materialverhalten

� kleine Verschiebungen

� Schalen- und Balkenelemente

� 2000 Knoten mit je 6 Freiheitsgraden (DOF)

3 Verschiebungen und 3 Drehungen

� Lineares Gleichungssystem mit

12 000 DOF

� Belastung:

Innendruck + Temperaturdifferenz

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Belastung: Druck und Temperatur

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Vergleichsspannungen nach von Mises

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Vergleichsspannungen im Rohrboden

Rissschaden

3

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PFC: Partical Flow Code

v

vor

v

nach

ωKontakt glatt oder rauh(Gewichtskraft vernachlässigt)

m MasseJS Massenträgheitsmoment

S

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Experiment - Simulation

� Experiment

� Ball fällt zwischen 2 schiefen Ebenen runter ! … oder nicht ?

� Simulation

� FEM mit glattem Kontakt

� FEM mit rauen Kontakt

� PFC mit 1 oder 2 Bällen

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Klassisch (analytisch)

glatt

Fn

S

rauh

FnFs

Sr

F

tTSta te

Impulssatz: (I. Newton)

Drallsatz (eben):(L. Euler)

vmFi&rr

=∑ ω&JM SSi =∑

Zeitinte-gration:

aes

t

t

n vmvmdttFtFe

a

rrrr−=+∫ )]()([ aSeS

t

t

s JJdttFre

a

ωω −=∫ )(

Energiesatz: 2212

212

212

21

aSaeSe JmvJmv ωω +=+ (Stoß ohne

Verluste)Beuth Hochschule für Technik Ber lin, FB VIII, Prof. Dr . Kleinschrodt, LV02: Explizite FEM 16

Klassisch (zeichnerisch)

mva

mve

Kraftstoß

ωa = ωe = 0 ωa = 0 , ωe > 0 ve < va

glatt: rauh:

mva

mve

Kraftstoß

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Numerisch

FEM PFC

F

sn

F

sn

1kn

snF

F ~ sn 3/2 (Hertz) kn Federsteifigkeit

F

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Kontakterkennung bei FEM

Knoten - Element

Knoten - Knoten

Linie - Linie

Linie - Fläche Kontakt-Wizard (Vorsicht Rechenzeit)

Fläche -Fläche

Überprüfungs-bereich 10*l i

l i

4

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Kontakterkennung bei FEM

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Kontakterkennung bei FEM

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Kontakterkennung bei PFC

a < r r

a

Überprüfung im Umfeld von 5*ri

des letzten Zeitschrittes

a

rria < ri + r

explizites Zeit-

Integrations-verfahren

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Kontaktschersteifigkeit, Coulmb-Gleitreibung

Fs

µFn

ks

1

−µFn

ss

elastisch gleitengleiten

Fs

Fn

ss

ks

µ Gleitreibungs-koeffizient

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Kontakt-Verschiebungsgesetz bei PFC

21

111

nnn kkk+=

21

111

sss kkk+=

Fs

Fs

Fn

Fn

∆ss

sn

v2

v1

kn1, ks1

kn2, ks2

sss skF ∆=∆

nnn skF =

ns FF µ≤

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Berechnungszyklus bei PFC

Lösung der Kraft-Verschiebungsgesetzefür jeden Partikel

Lösung der Bewegungs-gleichungen für jeden Partikel infolge ΣFi u. ΣMi

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Lösung der Bewegungsgleichungen (PFC)

explizites Zeitintegrationsverfahren

ΣΣΣ

=Si

iy

ix

y

x

M

F

F

d

d

SJ

m

m

ϕ&&

&&

&&

für ein Partikel gilt:

tt fdM =&&dyn. Gleichgewicht zur Zeit t:

Zentrale Differenzenformel: ( )tttttt dddt

d ∆+∆− +−∆

= 21

2&&

tttttt ddfMtd ∆−−

∆+ −+∆= 212neue Lage:

)2,2min(s

S

n kJ

km

krittt =∆≤∆Stabilitätsbedingung:Beuth Hochschule für Technik Ber lin, FB VIII, Prof. Dr . Kleinschrodt, LV02: Explizite FEM 26

Zeitschritt bei PFC

Stoßzeit:nk

mST π=

mknf π2

1=Eigenfrequenz:

Zeitschritt in PFC für die Integration:nk

mt =∆F

t

∆t

TS

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Roheisenherstellung (COREX-Anlage)

Füllsilo

Schacht

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Fließschema eines COREX-Prozesses

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PFC versus FEM

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Lösung Gesamtgleichungssystem bei FEM

ttt fdKdM d =+ )(&&

ttttdttt dddKfMtd ∆−−

∆+ −+−∆= 2)( )(12

Massenmatrix M i. a. nicht mehr DiagonalmatrixSteifigkeitsmatrix K nichtlinear, Aufbau in jedem∆∆∆∆t

Explizite FEM-Programmsysteme•LS-DYNA, ABAQUS Explizit u.a.

Implizite FEM-Programmsysteme•ANSYS, NASTRAN, ABAQUS u.a.

tttttt fdKdM d ∆+=∆+∆+ + )(&&dyn. Gleichgewicht zur Zeit t+∆t:

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2D-Idealisierungen eines 60° Ausschnittes

Ansicht eines 60°- Aus-

schnittes des SchachtesRadialschnitt Tangentialschnitt

Symmetrische Randbedingungen

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Stückerz

Dichte 3800 kg/m³

Massenstrom 150 t/h

Innerer Reibungswinkel 45°

Größtkorndurchmesser 35 mm

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Zeitlicher Verlauf

20 SekundenEchtzeit: 40 Sekunden 60 Sekunden

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Animation Füllung und Entleerung

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Kontaktkraftverteilung

Schacht Spinnenbein

eventuellBrücken-bildung

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Spurverfolgung ausgewählter Partikel

120 SekundenEchtzeit: 228 Sekunden

Entmischung

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CFD: Computational Fluid Dynamics

Gasentwickelnde Elektrode im elektrochemischen Reaktor

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Phänomene

� Gasentwicklung ~ Stromstärke

� Blasendurchmesser < 50 µm

� Blasenstraße oben breiter (Schwerefeld)

� Mischdichte sinkt (fein verteilte Blasen)

� Viskosität steigt

� Rückströmung unerwünscht

� Ohmscher Widerstand steigt

� technische und wirtschaftliche Verluste

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Randbedingungen

Einlaufprofil

(laminar)

Wand

(Haftung)

Auslauf

(p=0)

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Flotranlösung versus Versuchsergebnisse

Riegel (1997)

Elektrolytegeschwindigkeit vL= 0.03 m/s (Einlauf) (Spalt W = 8 mm) Stromdichte j = 500 A/m² (Elektrode)

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VSUM über 25 s transienter Analyse

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Geschwindigkeitsprofile (Spalt W = 3 mm)

vL= 0.026 m/sj = 450 A/m²

vL = 0.16 m/sj = 6250 A/m²

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Zusammenfassung

� Numerische Simulation erhöht Verständnis

� Modellwahl ist entscheidend

� Simulation spart Kosten für Versuche

� Verkürzung der Entwicklungszeit

� Nichtlineare Probleme erfordern Spezialwissen

� Erhöhte Anforderungen an die Ausbildung