Numerische Str omungssimulation · Einleitung Mathematische Operationen Programmieren Gra k Fragen, die in dieser Vorlesung diskutiert werden MATLAB als Programmiersprache I Kontrollstrukturen

EinleitungMathematische Operationen

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Numerische Stromungssimulation

Markus Uhlmann

Institut fur Hydromechanik

SS 2010

Bemerkung: Verweise auf zusatzliche Information zum Download erscheinen in dieser Farbe

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2. VORLESUNG

MATLAB – Einfuhrung

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Fragen, die in dieser Vorlesung diskutiert werden

Mathematische Operationen

I Wie benutzt man MATLAB als Taschenrechner?

I Wie erstellt und manipuliert man Vektoren?I Matrizen und Mehrdimensionale FelderI Vektoren/Matrix Opeartionen

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Fragen, die in dieser Vorlesung diskutiert werden

MATLAB als Programmiersprache

I KontrollstrukturenI FunktionenI Datenstrukturen

Grafik

I Welche Funktionen stehen zur grafischen Darstellung zurVerfugung?

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MotivationProgrammstart

Wozu MATLAB?

Werkzeug in Wissenschaft und Technik

I Numerische Mathematik

I Datenanalyse

I Grafische Darstellung

I Datenerfassung

I . . .

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Wozu MATLAB? (2)

Verringerung des Programmieraufwandes

I Vielzahl von Funktionen vordefiniert

I Effiziente und prazise numerische Algorithmen

I Benutzerprogramme sind kompakt

I Weite Verbreitung

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Wozu nicht MATLAB?

MATLAB ist eine Interpretersprache

I wenn es auf extreme Effizienz ankommt:Kompilersprache bevorzugt (C, C++, FORTRAN,. . .)

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Geschichte

I entworfen in den 1970ern von C. Moler

I ursprunglich als Werkzeug in der Lehre (lineare Algebra)

I MATLAB = MATrix LABoratory

I seitdem mehrfach umgeschrieben und standig erweitert

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Umfang des Programmes

I integrierte Entwicklungsumgebung

I Bibliothek mathematischer Funktionenerweiterbar durch Dutzende von “Toolboxes”

I Programmiersprache

I Grafik

I Schnittstellen zu externen Programmen, Geraten

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Open Source Alternative

GNU OCTAVE

I akzeptiert weitgehend den Syntax von MATLAB

I (Homepage)

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http://www.gnu.org/software/octave/index.html


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Entwicklungsumgebung

I Oberflache: Kommandofenster, Variablenbersicht, . . .

I Editor/Debugger starten durch Klicken auf Dateiname

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Erste Schritte

I Interaktion meist uber Kommandozeile

I Eingabeaufforderung mit “>>” dargestellt

I HilfeI uber Kommandozeile: “>> help topic”

z.B “>> help general”

I uber Menu “Help”

I Demos: “>> help demo”

I weitere Ressourcen zu MATLAB: siehe Anhang

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GrundlagenFelder

MATLAB als Taschenrechner

I Eintippen in Kommandozeile (gefolgt durch “Enter”):>> 2+3/4*5ans =

5.7500

I Hinzufugen eines Semikolons: keine Ausgabe>> 2+3/4*5;

⇒ Prioritat der Operatoren:

(),^,*/,+-

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GrundlagenFelder

Variablen

I Variablen werden in der Regel nicht deklariert

I numerische Daten: intern als “double precision” behandelt

I Variablennamen: 1 Buchstabe, gefolgt vonBuchstaben/Zahlen/Underscore; max. Lange: 63

I Gross- & Kleinschreibung!

I legal: MeineVariable, gUter Name

I illegal: 1Variable, var-vec, &fach

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GrundlagenFelder

Zahlenformate

Numerische Typen in MATLAB

Typ Beispiel

Ganzzahl -156reelle Zahl 0.0634

(wissenschaftliche Notation: 6.34e-2)komplexe Zahl -3.78+i*5.47 (i =

√−1)

Inf (Unendlich) Teilen durch 0NaN (”Not a Number”) 0/0 oder Inf - Inf

I Ausgabeformat wird durch format kontrolliert

I Bsp.:

>> x=3.94959399393>> x =

3.9496

>> format long;>> x=3.94959399393>> x =

3.949593993930000V13 15 / 54


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GrundlagenFelder

Konstanten

Vordefiniert in MATLAB

I pi, Kreiskonstante π

I eps, Prazision der Gleitkommaarithmetik

I i,j, imaginare Einheit√−1

I Vorsicht:alle Konstanten konnen vom Benutzer berschrieben werden

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GrundlagenFelder

Eingebaute Funktionen

I Trigonometrie: sin, cos, tan, ...

I Exponentiale: exp, log, sqrt, ...

I komplexe Zahlen: abs, imag, real, ...

I Rundung: round, mod, sign, ...

I Ubersicht uber die grundlegenden Funktionen:>> help elfun oder specfun oder elmat

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GrundlagenFelder

Arbeiten mit aufgezeichneten Kommandos/Programmen

Verschiedene Optionen

1. Aufzeichnen der eingegebenen Kommandos einer Session:diary

2. Speichern des momentanen Zustandes (gesamter Speicher):save

3. Editieren/Aufrufen von eigenen Skripten:M-Files

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GrundlagenFelder

Aufzeichnen mit diary

I diary(’dateiname’) startet Aufzeichnung aller Kommandosund deren Resultate in Datei

I Datei kann mit Texteditor bearbeitet werden

I diary on und diary off schalten Aufzeichnung ein/aus

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GrundlagenFelder

Sichern des Arbeitsspeichers mit save

I save(’dateiname’) sichert die Werte aller momentanenVariablen in einer binaren Datei dateiname.mat

I Datei kann durch load(’dateiname’) geladen werden

I Anzeige der momentan aktiven Variablen & -dimensionen:>> whos

I mehr Information: >> help save und >> help load

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GrundlagenFelder

Erzeugen von MATLAB-Scripts in Textfiles

M-Files

I Editieren in eingebautem Editor (oder beliebigem Texteditor)

I Kommentarzeilen starten mit %

I Speichern als: dateiname.m

I Laden in MATLAB durch Dateinamen (ohne “.m”):>> dateiname

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GrundlagenFelder

Felder in MATLAB

Matrizen als grundlegende Elemente

I MATLAB arbeitet in der Regel mit Matrizen(2-dimensionalen Feldern)

I ein Skalar ist eine Matrix mit einem einzigen Element (1x1)

I ein Zeilenvektor ist eine Matrix mit einer Zeile (1xN)

I ein Spaltenvektor ist eine Matrix mit einer Spalte (Nx1)

I Mherdimensionale Felder sind moglich

Dimension eines Ausdruckes: size(ausdruck)

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GrundlagenFelder

Vektoren

Zeilenvektoren

I Liste von Ausdrucken, durch Komma oder Leerzeichengetrennt, in eckigen Klammern.

Beispiel eines Zeilenvektors mit 3 Elementen:

>> vec = [1 3, sqrt(5)]

vec =

1.0000 3.0000 2.2361

>> size(vec)

ans =

1 3

>> length(vec)

ans =

3

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GrundlagenFelder

Operationen mit Vektoren

Arithmetik

I Addition/Subtraktion von Vektoren gleicher Lange: +, -

I Multiplikation von Skalar und Vektor: *

Beispiel:

>> avec = [1 3 5]; bvec = [1 1 4];

avec-2*bvec =

-1 1 -3

I Operationen, die elementweise ausgefuhrt werden:

.* ./ .^

(Produkt, Division, Potenz)

Beispiel:

>> avec = [1 3 5]; bvec = [1 1 4];

avec.*bvec =

1 3 20V13 24 / 54


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GrundlagenFelder

Spaltenvektoren

I wie Zeilenvektoren, aber Elemente durch Semikolon oderZeilenende getrennt.

Beispiel: Erzeugung eines Spaltenvektors mit 3 Elementen

>> svec = [1; 3; sqrt(5)]

svec =

1.0000

3.0000

2.2361

>> size(svec)

ans =

3 1

>> length(svec)

ans =

3

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GrundlagenFelder

Transponieren von Vektoren

Der Hochkomma-Operator

I Umwandeln von Zeilen- in Spaltenvektoren (und umgekehrt):>>vektor’

Beispiel:

>> zvec= [1 3 5], svec = [1; 3; sqrt(5)]

zvec =

1 3 5

svec =

1.0000

3.0000

2.2361

>> zvec+2*svec’

ans =

3.0000 9.0000 9.4721

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GrundlagenFelder

Arbeiten mit Vektoren

Reduktionsoperationen

I Summieren der Elemente eines Vektors: sum

Beispiel:>> vec = exp((1:20)/20); % erzeugt vektor der laenge 20

>> sum(vec) % summiert die elemente

ans = 35.2319

I Produkt der Elemente eines Vektors: prod

I Maximal-/Minimalwert der Elemente eines Vektors:max, min

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GrundlagenFelder

Auffinden bestimmter Elemente

Die Funktion find

I ermittelt Indizes von Elementen, welche eine vorgegebeneBedingung erfullen: index vec = find(bedingung)

I Beispiel: Funktionswerte mit mindestens 90% desMaximalwertes bestimmen.x=(0:100)/100;

y=sin(2*pi*x).^2.*exp(3*x);

index=find(y>=0.9*max(y));

plot(x,y,’k-o’); hold on;

plot(x(index),y(index),’ro’);

plot([0 1],[1 1]*.9*max(y),’k--’);

I Nutzung der Funktion find fuhrt zu extrem effizientem Code

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GrundlagenFelder

Weitere nutzliche Vektoroperationen

I Sortieren der Elemente: sort

I Unterdruckung von Mehrfacheintragen: unique

I Abfrage ob leeres Feld: isempty(Erzeugung eines leeren Feldes mit: [] )

I . . .

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GrundlagenFelder

Matrizen

Definition

I Matrix = rechteckige Anordnung von Zahlen (Zeilen, Spalten)

I Bedeutung in linearer Algebra

Matrizen in MATLAB

I Matrix = zweidimensionales Feld

I Dimension: (M ×N), M Zeilen, N Spalten

I viele mathematische Operationen zur Auswahl

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GrundlagenFelder

Generieren von Matrizen

Direkte Eingabe

I analog zu Vektoren: Elemente in eckigen Klammern,Zeilenende durch Semikolon markiert

I Beispiel: (2× 3) Matrix

>> Amat=[1, 2, 5; 3, 1, 4] % oder auch: Amat=[1 2 5; 3 1 4]

>> Amat =

1 2 5

3 1 4

>> size(Amat)

>> ans =

2 3

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GrundlagenFelder

Generieren von Matrizen (2)

MATLAB Funktionen zur Initialisierung

I Matrizen mit konstanten Eintragen: ones, zeros

I zufallige Eintrage: rand

I Identitatsmatrix: eye

I Matrix mit einer besetzten Diagonalen: diag

I Beispiele:

konstante (3× 2) Matrix

>> Bmat=ones(3,2)*5

>> Bmat =

5 5

5 5

5 5

diagonale (3× 3) Matrix

>> Cmat=diag([1 2 3])

>> Cmat =

1 0 0

0 2 0

0 0 3V13 32 / 54


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GrundlagenFelder

Generieren von Matrizen (3)

MATLAB Funktionen zur Initialisierung

I Matrix erzeugung durch Verkettung/Aneinanderreihung von(Teil-)Matrizen Dimension beachten

konstante (3× 2) Matrix

>> Amat =

5 5

5 5

5 5

diagonale (3× 3) Matrix

>> Cmat =

1 0 0

0 2 0

0 0 3

>> Cmat =[A B]

>> Cmat =

5 5 1 0 0

5 5 0 2 0

5 5 0 0 3

@@@R

��

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GrundlagenFelder

Der Doppelpunkt-Operator

I ”a:b:c” ist Abkurzung fur:Vektor mit Elementen von a bis c, Schrittweite b

Beispiel:>> 1:2:10

ans = 1 3 5 7 9

>> 5:-1:3

ans = 5 4 3

I Initialisieren eines Vektors/ Auswahlen von Teilbereichen

Beispiel:>> vec=(1:2:10)

ans = 1 3 5 7 9

>> vec(2:4)

ans = 3 5 7

I weitere Information: ”>> help colon”V13 34 / 54


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GrundlagenFelder

Indizierung von Matrizen

Ansprechen einzelner Elemente

I Indexpaar, durch Komma getrennt: >> Amat(i,j)

Mehrere Elemente

I Indexbereich mit Doppelpunkt: >> Amat(3:6,j)

I gesamter Bereich mit Doppelpunkt >> Amat(:,j)

I Schlusselwort end fur obere Grenze: >> Amat(i,3:end)

I Indexvektoren: >> Amat([2 5],j)

I Ausprobieren! (z.B. “getting started” zum Thema Matrizen)

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http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/learn_matlab/f2-8955.html


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GrundlagenFelder

Losung linearer Gleichungssysteme

Problemstellung

I technische Probleme → oft große lineare Gleichungssysteme

I A~x = ~b Matrix A, Vektoren ~x, ~b

I gegeben: A, ~b; gesucht: ~x → Losung: ~x = A−1~b

Losung mit MATLAB

I “backslash” Operator: >> x = A\bI MATLAB wahlt je nach Fall die effizienteste Methode

I Hilfe hierzu: >> help slash(Link zur Online Information zu linearer Algebra in MATLAB)

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http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/math/f4-982991.html


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KontrollstrukturenFunktionenDatenstrukturen

Kontrollstrukturen

Bedingungen

I Mehrstufige Auswahl: if ...elseif...else...end

I Vergleichsoperatoren: <, <=, >, >=, ==, ~=

I Logische Verknupfungen: &, |, ~, xor

I Hilfe zu den Vergleichsoperatoren: >> help relop

I Beispiel:if max(vec)<0 % ’vec’ sei ein gegebener vektor

disp(’alle Elemente negativ’)

elseif max(vec)==0

disp(’alle Elemente nicht-positiv’)

elseif isempty(vec)

disp(’leeres Feld’)

else

disp(’positives Maximum’)

endV13 37 / 54


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Schleifen

Zahlergesteuert

I for zaehler=ausdruck...end

I Beispiel: vec=[1 5 13];

for index=1:length(vec)

disp(vec(index))

end

Bedingungsgesteuert

I while ausdruck...end

I Beispiel:

a=6;

while a>0

a=a-rand;

end

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Funktionen

Programmtext in sog. “M-Files”

I Programm ohne jegliche Parameter: Script

I Programmteil mit ubergabe von Parametern: Funktion

I Struktur einer Funktion: Datei funktionsname.m

function [output params]= funktionsname(input params)% Kommentare, Hilfstext...Kommandos...end

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Funktionen (2)

Beispiel

I Funktion zur Bestimmung der Standardabweichung

I Datei standardabweichung.m

function [sigma]= standardabweichung(vec)% Standardabweichung eines Vektorsmittelwert=sum(vec)/length(vec);sigma= sqrt(sum((vec-mittelwert).^2)/length(vec));end

I Aufruf:>> myvec=[4 2.5 6.1 -8 -2];>> sigma=standardabweichung(myvec)>> sigma = 5.0221

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Typische MATLAB Programmstruktur

I MATLAB-Script fungiert als “Hauptprogramm”

I Aufruf beliebiger Anzahl von Funktionen(siehe Beispiel “Pendel” weiter unten)

I Achtung: alle M-Files des Projekts mussen auffindbar sein(siehe: >> help path)

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Benutzerdefinierte Datenstrukturen

Verschiedene Datentypen/-langen in einer Struktur

I Erzeugung (ohne Deklaration) durch Zuweisung an Elemente:

>> NeueStruktur.name=’Hans Meier’;>> NeueStruktur.alter=27;>> NeueStruktur.ruhepuls=42>> NeueStruktur =

name: ’Hans Meier’alter: 27ruhepuls: 42

I Details hierzu: >> help struct

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Einfache Diagramme

Liniendiagramme

I plot(x,y) – Liniendiagramm mit Wertepaaren (x, y)

Beispiel:>> x=(0:100)/100;y=sin(2*pi*x);

>> plot(x,y);

erzeugt:

I Linientypen, Farbe, Strichstarke, etc.: ”>> help plot”

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Einfache Diagramme

Beschriftung von Diagrammen

I xlabel(’text’) erzeugt Beschriftung der horizontalen Achse

I analog: ylabel, title, legend

Beispiel:>> x=(0:100)/100;y=sin(2*pi*x);

>> plot(x,y);xlabel(’x-Achse’);ylabel(’y-Achse’);

>> title(’Linienplot’);legend(’sin(2*pi*x)’);

erzeugt:

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Einfache Diagramme

Mehrfache Liniendiagramme

I mehrere Wertepaare in einem Kommando:plot(x1,y1,x2,y2,...)

I mehrere Kommandos, ”Festhalten” durch hold:plot(x1,y1);hold on;plot(x2,y2);

Beispiel:>> x=(0:100)/100;y1=sin(2*pi*x);y2=cos(2*pi*x);

>> plot(x,y1,x,y2);legend(’sin(2*pi*x)’,’cos(2*pi*x)’);

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Einfache Diagramme

Verndern des Achsenbereiches

I axis([x1 x2 y1 y2]) setzt Ober- und UntergrenzenBeispiel: >> axis([0 0.5 0 1]);

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Einfache Diagramme

Weitere Eigenschaften von Diagrammen

Benutzen der ”Handles” von Grafikobjekten

I ein ”Handle” ist die Identifikation eines GrafikobjektesBsp.: h=plot(x,y), Handle gespeichert in Variable h

I dient der Referenzierung (ahnlich Zeiger auf Objektdaten)

I Auflisten der Eigenschaften: get(h)

I Verandern von Eigenschaften: set(h,’Eigenschaft’,Wert)

Beispiel: Linienfarbe auf ’rot’, Linientyp auf ’gestrichelt’ setzenset(h,’Color’,’r’,’LineStyle’,’--’)

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Einfache Diagramme

Export von Diagrammen

Gangige Grafikformate

I print -d format dateinameerzeugt Grafikdatei namens dateiname im Format format

I typische Formate: Postscript (eps), JPEG (jpeg),TIFF (tiff), PNG (png), . . .

Ausgabe als MATLAB Diagrammobjekt

I hgsave(handle,’dateiname’)erzeugt MATLAB-spezifische Grafikdatei namens dateiname

I Laden der Gafik durch hgload(’dateiname’)

I Vorteil: Diagramm kann weiterbearbeitet werden (3D Grafik!)

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Einfache Diagramme

Beispiele

Zufallsvariablen

I Erzeugung von Daten mit der rand Funktion

I Analyse, grafische Darstellung der Daten

Bewegung eines Doppelpendels

I

I (MATLAB Code)

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http://www-turbul.ifh.uni-karlsruhe.de/uhlmann/VORLESUNG/infobau/ws09/v13/pendel.tgz


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AufgabenLiteratur

Zusammenfassung

MATLAB

I Mathematische Operationen→ direkt anwendbar auf Vektoren

I Starken: numerische Mathematik, Datenanalyse, Grafik

I effizientes Programmieren durch machtigen Befehlssatz

I weitreichende Grafikmoglichkeiten

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AufgabenLiteratur

Aufgaben zum Nachdenken/Ausprobieren

I Erklaren Sie die Ausgabe erzeugt durch folgende Anweisungen:

t=0.1

n=1:10

e=n/10-n*t

I Erzeugen Sie einen Vektor mit 10 gleichmassig verteilten Werten im Intervall[0, 1] (einschlielich der Randwerte).

I Plotten Sie die Exponentialfunktion ex an den oben bestimmten Stutzstellen imIntervall [0, 1].

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AufgabenLiteratur

Aufgaben zum Nachdenken/Ausprobieren

Schreiben Sie eine Funktion, die einen Vektor (mit numerischenDaten) mittels “bubble sort” in aufsteigender Reihenfolge sortiert.Vergleichen Sie die Ausfuhrungszeit Ihrer Funktion mit der Zeit,die die MATLAB Funktion sort benotigt. (Hinweis: Zeitmessungmit Hilfe von tic,toc)

Erzeugen Sie ein Diagramm mit einem Kreis mit Radius r = 1.5.(Hinweis: das Achsenverhaltnis eines Diagramms kann mit demBefehl axis kontrolliert werden.)

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AufgabenLiteratur

Weiterfuhrendes Material zu MATLAB

I Information auf der Seite des Herstellers Mathworks

I Skripte in deutscher Sprache:S1, S2

I Englischsprachige Skripte:Moler, Dundee

I Deutschsprachige Bucher:B1, B2, B3, B4

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http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/index.html

http://www-m3.ma.tum.de/m3old/ftp/matlab.pdf

http://www.esi.ac.at/~susanne/MatlabSkriptum.pdf

http://www.mathworks.com/moler/intro.pdf

http://www.maths.dundee.ac.uk/~ftp/na-reports/MatlabNotes.pdf

http://dx.doi.org/10.1007/978-3-8351-9074-0

http://swbplus.bsz-bw.de/bsz281901635cov.htm

http://www.ulb.tu-darmstadt.de/tocs/202290425.pdf

http://www.ubka.uni-karlsruhe.de/hylib-bin/suche.cgi?opacdb=UBKA_OPAC&nd=286732890&fbt=6850078-281901635

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