Buchbesprechungen 501

E. Kreisel u. a., Zur Quantengeometrodyna- mik. (Schriftenreihe der Institute fur Mathematik b. d. DAdW, Heft 3). VIII+124 S. m. 10 Abb. u. 1 Tab. Berlin 1967. Akademie-Verlag. Preis brosch. 24,90 M.

Die vorliegenden Arbeiten ziehen Konsequenzen aus der EINsTEINschen Konzeption der allgemeinen Relativitatstheorie in differentialgeometrischer und physikalischer Hinsicht. Das geschieht bezuglich einer moglichen Quantisierung dieser Theorie in zwei be- reits fruher veroffentlichten Artikeln von H. J. TRE- DER, welche teils zusammenfassender teils programma- tischer Natur sind. Durchsichtige Gedankenexperi- mente zeigen insbesondere, da8 die Quantenstruktur der Mellinstrumente bei der Bestimmung kleinster Langen zu sehr starken Gravitationsfeldern fiihrt, die sogar mit einem Umschlag der Signatur von der MINKowsKrschen ( + + + - ) in die definite ( + + + + ) verbunden sind. Unabhiingig von diesem gegebenen AnlaR sollte daher die Differentialgeometrie (vier- dimensionaler) RIEMANNscher Riiume veranderlicher Signatur sowie die Folgen fur den Kausalnexus unter- sucht werden. Diesem Problem ist eine Arbeit von E. KREISEL fur den Fall gewidmet, dall noch ein (im Bereich der MINKOWSKI-Signatur zeitartiger) hyper- flachenorthogonaler KILLINGvektor existiert. Zu- nachst wird das Verhalten der licht- und zeitartigen Geodlten an der (voraussetzungsgemall zweidimensio- nal geschlossenen) Grenzhyperflache 8 zwischen bei- den Bereichen der Signatur untersucht. Alle diese Geodaten, welche sich S in bestimmter Weise gena- hert haben, besitzen einen Ast von endlicher Eigen- lange (bzw. affinen endlichen Parameterwert). Je nach der Ordnung, mit der die Determinante des metrischen Tensors gpv auf 8 verschwindet, zeigt sich, daB diese Geodii-ten (a) asymptotisch zu 8 verlaufen oder (b) anf S enden. Sodann studiert Verf. die KLEIN-GoRool.r-Gleichung in einem solchen Raum und zeigt: Im Fall (a) kann eine Losung nicht stetig von einem in den anderen Signaturbereich fortgesetzt werden, der Bereich definiter Signatur wirkt sich auf den MINKowsKIschen nicht aus und ist daher physika- lisch nicht feststellbar. Hingegen ist im Fall (b) der AnschluD von Losungen stetig differenzierbar moglich. Im MmKowsKIschen Bereich konnen die Anfangs- werte nicht mehr beliebig auf raumartigen Hyper- fliichen vorgegeben werden. Die Existenz des Gebie- tes definiter Signatur stort die ubliche Kausalstruktur des physikalischen Gebietes, insofern in der Niihe van S die Kausalfunktion nicht fur alle Paare zueinander raumartig gelegener Weltpunkte identisch verschwin- det. Wegen dieser Nichtlokalitiit der Mesonenwechsel- wirkung ist das Vorhandensein des Signaturwechsels im Prinzip nachweisbar. Nach einer fruheren Inten- tion von TREDER muDte eine zylinderartige Hyper- flache 8 auf der det gJ'lrv = 0, sofern ihre Mantellinien eine Kongruenz von lichtartigen GeodLten bilden, ein Modell eines Gravitons darstellen konnen. Mit dieser Frage beschiiftigt sich eiae Arbeit von D. E. LIEBSCHER. Wie er darlegt, sollte die Struktur des Feldes in der Umgebung der Stelle, wo das Modell das Graviton lokalisiert, der Feldstruktur der Gravita- tionswellen entsprechen. Nun ist diese Struktur da- hingehend zu charakterisieren, daB das Fernfeld des WEYLschen Tensors algebraisch speziell (vom Typ N ) ist, d. h. vier charakteristische Nullvektoren, die sogenannten DEBEVER-Vektoren fallen zusammen. AuSerdem koinzidieren sie mit den (vierdimensional gesehenen) Strahlentangenten. Fur diese Strahlen- kongruenz findet Verf. in seinem Modell ein Bewe- gungskongruenz genanntes Analogon. Er hat daher zu untersuchen, ob und unter welchen Bedingungen das Gravitationsfeld in seinem Modell asymptotisch (d. h. im Fortschreiten auf die Hyperflache S ) vom Typ N ist und der dann vierfach zahlende DEBEVER- Vektor asymptotisch in die Bewegungskongruenz fallt. Modelle mit diesen Eigenschaften erweisen sich als konstruierbar, wobei aich insbesondere der physi-

kalisch vernunftige Sachverhalt ergibt, daR ein ein- zelnes so modelliertes Graviton keine Information ubertragen kann. Die besprochenen Arbeiten sind nicht nur fur den theoretischen Physiker reizvoll, son- dern werden auch den Differentialgeometer interes- sieren.

Dresden H.-G. SCHOPF

0. Follinger und W. Weber, Methoden de r Schal ta lgebra . 319 S. m. 221 Abb. Munchen/ Wien 1967. R. Oldenbourg Verlag. Preis brosch.

Das vorliegende Buch gibt eine Einfuhrung in die Theorie von Schaltungen, die aus Schaltelementen mit zwei stabilen Zuetanden aufgebaut sind, und reicht von ersten Betrachtungen zu BooLEschen Algebren bis zu Anwendungen der Theorie endlicher Automaten. Es wendet sich dabei vor allem an den Praktiker, der rnit dem Entwurf derartiger Schaltungen beschiiftigt ist. Alle betrachteten Methoden und Verfahren, aber auch die meisten Begriffsbildungen werden deshalb an Hand von Beispielen eingefuhrt und erlautert, so daD uberall und unmittelbar die Zusammenhiinge zwi- schen der Theorie und den elektronischen Schaltungen zu erkennen sind. Bei der Auswahl der behandelten Methoden sind nach Moglichkeit tabellarische und solche, die von der kanonischen alternativen Normal- form ausgehen, bevorzugt worden, wodurch eine be- sondere Ubersichtlichkeit erreicht wird und die all- gemeinen Uberlegungen stark vereinfacht werden. Man mull dafur allerdings in Kauf nehmen - und das ist ein entscheidender Mange1 des grollen Teils der bis heute uberhaupt entwickelten Verfahren -, dall im- mer eine vollstandige Fallunterscheidung uber alle moglichen Falie zugrunde gelegt wird. Dadurch steigt der zur Beschreibung erforderliche Aufwand im kon- kreten Fall mit wachsender Zahl n der vorkommenden Variablen so stark an, daR die Durchfuhrung praktisch nur fur sehr kleine n moglich ist.

Die Ausfuhrungen beginnen mit einer ubersicht uber verschiedene Codierungsmoglichkeiten, wobei auch das duale Zahlensystem gestreift wird. Danach erfolgt eine anschauliche - vorwiegend auf das VEITCH-Diagramm gestutzte - Einfuhrung in den sogenannten Schaltkalkul, bei der auch die Moglich- keit, ihn als BooLEsche Algebra aufzufassen, erwahnt wird. (Im mathematischen Anhang werden die aller- ersten Schritte einer derartigen Entwicklung ausfuhr- licher dargestellt.) Der inhaltlich erste Teil, welcher der Beschreibung von kombinatorischen Schaltungen mit einem Ausgang gewidmet ist, erreicht im funften Rapitel durch die Angabe von Verfahren zur Kon- struktion der minimalen alternativen Normalformen eines Ausdrucks seinen Abschlull.

Die Autoren schlieSen sich darin bei der Darstel- lung der Verfahren von QUINE und MCCLUSAYE zum Aufsuchen von Primimplikanten eines Ausdrucks allerdings leider der in der amerikanischen Literatur ublichen falschen Auffassung an, nach der die von MCCLUSKEY angegebene Version eine Verbesserung des QwINEschen Verfahrens ist. Das ist jedoch nur dann wirklich der Fall, wenn zusiitzlich - bei MCCLUSKYE notwendiger- bei QTJINE jedoch uberflussigerweise - gefordert wird, daS als Ausgangspunkt die kano- nische alternative Normalform dient, wodurch der eigentliche Vorteil der Qmmschen Version verloren- geht, der darin besteht, daB von einer beliebigen, schon stark verkiirzten alternativen Normalform ausgegan- gen werden kann.

AnschlieBend daran werden Schaltungen mit meh- reren Ausgangen betrachtet, wobei als theoretisches Hilfsmittel BooLEsche Vektoren und Matrizen aber auch sogenannte ,,Funktionsbundel" betrachtet wer- den. Diese Ausfuhrungen wurden noch gewinnen, wenn dariiber hinaus die in neuerer Zeit entwickelte

DM 60, -.

502 Buchbesprechungen

Theorie der ,,multiple-output.prime implicants" dar- gestellt wurde (man vgl. z. B. E. J. MCCLUSKEY and H. SCHORR ,,Essential multiple-output prime impli- cants" Proc. of Sympos. on Math. Theory of Auto- mata. New York 1962, Polytechnic Press of Poly- technic Inst. of Brooklyn, Brooklyn 1963).

Die folgenden Untersuchungen der Losungsver- hiiltnisse von Boomschen Glei chungssystemen leiten zum letzten Teil uber, der zeitabhiingigen Schaltungen gewidmet ist. Die hier angegebenen Losungsverfah- ren werden benotigt, um, von einem (minimalen) endlichen Automaten ausgehend, eine Schaltung (mit vorgegebenen Speicherelementen) konstruieren zu konnen, deren Arbeitsablauf gerade den Algorith- mus realisiert, der durch den vorgegebenen Automa- ten festgelegt ist. Ausfuhrlich behandelt werden hier besonders die verschiedenen Speicherelemente fur eine Dualstelle und ihre jeweiligen tfbergangsfunk- tionen. AuRerdem wird fur alle giingigen Speicher- elemente und auch fur den allgemeinen Fall das System der Bestimmungsgleichungen fur die Ein- gangssignale gelost. In den angegebenen Beispielen werden besonders Ziihlschaltungen behandelt.

Der mathematische Anhang enthiilt auf der Grund- lage des HuNTINGToNschen Axiomensystems Beweise fur einige grundlegende in der BooLEschen Algebra gultige Beziehungen sowie die Grundbegriffe der Theorie endlicher Automaten.

Obwohl das Buch den Anspruchen eines an der Theorie selbst interessierten Lesers nicht voll gerecht werden kann, ist es doch ein wesentlicher erster Schritt zur Verkleinerang, wenn auch nicht Beseiti- gung einer (bisher breiten) Lucke in der deutschspra- chigen Literatur und kann allen, denen es vorwiegend um die Anwendung des behandelten Stoffgebietes geht, nur empfohlen werden.

Leipzig H. ROHLEDER

B. Sz.-Nagy e t C. Foias, A n a l y s e h a r m o n i q u e XI+

I m Jahre 1953 bewies B. SZ.-NAGY das folgende

Zu jeder Kontraktion T , d. h. IlTll 5 1, eines Hilbertraumes @ 1aRt sich in einem geeigneten Erweiterungsraum P eine unitiire Transformation U (d. h. U* U = U U* = I) finden derart, daR Tn = P Un ( P - Orthogonalprojektion von P auf @) fur alle n = 0, 1, 2 , . . . gilt. Man kann den Erweiterungsraum in dem Sinne minimal wah- len, daR er von den Elenienten U*f (f E @ , n = 0 , f l , &2, . . .) aufgespannt wird. Dabei ist die Struktur (8, U, a} bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Dieses Theorem wurde zum Ausgangspunkt einer weit ausgebauten Theorie der kontrahierenden Trans- formationen, zu der die Verfasser die wesentlichen Beitriige und Anregungen - u. a. auch in ihrer be- kannten Reihe ,,Sur les contractions de I'espace de HILBERT". I -XI1 (Acta Sci. Math.) - gaben. Diese Theorie wird in der vorliegenden Monographie aus- fuhrlich dargestellt; daruber hinaus finden sich im An- schluR an jedes Kapitel ergiinzende Bemerkungen, in denen u. a. auch auf andere operatorentheoretische Ergebnisse eingegangen wird, die im Zusammenhang mit der behandelten Thematik stehen.

I m Kapitel I werden die Grundlagen der Theorie der isometrischen und unitiiren Erweiterungen von Kon- traktionen entwickelt, deren geometrische Eigen- schaften im Kapitel I1 untersucht werden. AuRerdem wird hier eine fur die folgenden Betrachtungen auRer- ordentlich bedeutsame Klassifikation der Kontrak- tionen bezuglich des asymptotischen Verhaltens ihrer Iterierten angegeben. I n den Kapiteln I11 und IV

d e s o p h r a t e u r s d e l ' e s p a c e d e H i l b e r t . 373 S. Budapest 1967. Akademiai Kiad6.

fundamentale Theorem :

leiten die Verfasser einen Funktionalkalkul fur Kon- traktionen her, der wesentlich auf den Eigenschaften der minimalen unitaren Erweiterung einer Kontrak- tion aufbaut und eng mit der Theorie der inneren und iiuBeren Funktionen verbunden ist. Als Anwendung dieses Funktionalkalkuls ergeben sich Aussagen uber Halbgruppen von Kontraktionen und - mit Hilfe der CAYLEY-TranSfOrmation - Aussagen uber accretive Operatoren und ihre gebrochenen Potenzen.

Eine zentrale Rolle fur die weiteren Untersuchungen spielen die im Kapitel V bewiesene Faktorisierbarkeit kontraktiver analytischer Funktionen sowie die im Abschnitt V. 3 angegebenen Lemmata uber eine FouRIERsche Darstellung HILBERTscher Raume und der entsprechenden Operatoren bezuglich ein- und zweiseitiger Translationen, die eines der wesentlich- sten Ergebnisse im Rahmen dieser Theorie ist.

Von auBerordentlicher Bedeutung erweist sich auch der im Kapitel VI eingefuhrte Begriff der charakteri- stischen Funktion einer Kontraktion. Mit Hilfe dieser operatorwertigen analytischen Funktion gelingt es, ein Funktional-Model1 fur Kontraktionen anzugeben, das eine eingehende Analyse der Struktur der betrach- teten Kontraktionen zulaBt. Insbesondere ergeben sich interessante Zusammenhiinge zwischen bestimm- ten Faktorisierungen und invarianten Teilriiumen entsprechender kontrahierender Transformationen. Fur eine gewisse Klasse von Kontraktionen, die durch das asymptotische Verhalten ihrer Iterierten charak- terisiert wird, beweisen die Verfasser die Existenz sowie Spektraleiaenschaften invarianter Unterriiume (Kapitei VII).

Das Kapitel VII I ist dem Studium soaenannter schwacher*Kontraktionen - das sind Konstraktio- nen T, fur die I - T* T von endlioher Spur ist und deren Spektrum den Einheitskreis nicht uberdeckt - gewidmet. In Analogie zur Theorie normaler Opera- toren wird fur diese Klasse von Operatoren eine Spektralzerlegung angegeben.

AbschlieBend werden im Kapitel IX Kriterien fur die Unicellularitiit sowie fur die Ahnlichkeit von Kontraktionen zu unitaren Transformationen ange- geben, woraus sich wiederum - mittels der CAYLEY- Transformation-Kriterien fur die Ahnlichkeit accre- tiver Operatoren zu selbstadjungierten Transfor- mationen herleiten lassen,.

Der Referent gibt der uberzeugung Ausdruck, daB das vorliegende Buch, das sich nicht nur durch eine auBerordentlich interessante Thematik, sondern auch durch eine sehr schone und geschlossene Darstellung auszeichnet, bald in der Reihe der wichtigen Mono- graphien uber die Theorie linearer Operatoren einen festen Platz einnimmt.

Dresden V. NOLLAU

W. A. Veeoh, A S e c o n d C o u r s e i n C o m p l e x A n a l y s i s . IX+246 S. m. Fig. New York/Amster- dam 1967. W. A. Benjamin, Inc. Preis geb. $ 8.75.

Einen diesem ,,zweiten Kurs" vorangestellten ,,er- sten Kurs" gibt es nicht. Es wird damit darauf hin- gewiesen, daB hier an Studierende gedacht ist, die uber gewisse funktionentheoretische Grundkenntnisse verfugen und tfbung im niathematischen Denken be- sitzen.

Das Ziel der ersten drei Kapitel besteht im Beweis des RIEMANNschen Abbildungssatzes, der hier als Spezialfall eines Existenzsatzes uber tfberlagerungs- fliichen vorgefuhrt wird. I n einer in sich geschlosse- nen Darstellung werden alle Hilfsmittel hierzu bereit- gestellt. So befaRt sich das erste Kapitel mit der analytischen Fortsetzung und beginnt mit der Defi- nition der Exponentialfunktion als Potenzreihe und in diesem Zusammenhang mit der Einfuhrung der Zahl n. Das zweite Kapitel ist den linearen Funktio- nen (im Sinne der Funktionentheorie), der Nicht-