O MÉTODO DE SUPERCAMPOS PARA O CA*LCULO DE …

IMIS-BR—3292

RENATO PIRES DOB SANTOS1

O MÉTODO DE SUPERCAMPOS PARA O CA*LCULO DE

POTENCIAL EFETIVO EM MODELOS COM SUPERCAMPOS

QUIRAIS: OS MODELOS DE WESS E ZUMINO E DE

O'RAIFEARTAIGH

Tese de DOUTORADO

CENTRO BRASILEIRO DE PESQUISAS FtSICAS - CBPF/CNPc,

RIO DE JANEIRO, DEZEMBRO DE Í986

DEDICATÓRIA

a minha mãe

"Be i sei nem Sche in wirst du die Muetter

sehn;

Die einen sitzen, andre stehn und gehrt,

Wie's eben kommt. Gestaltung, Umgestsltung,

Des ewigen Sinnee ewige Unterhaltung,

Umechwebt von Bildern allcr Kreaturj"

(Na sua claridade, verá as Mães;

umas sentadas, outras de péT andando,

como for. Formação, Transformação,

do Eterno Pensar, o entretenimento,

pairando .em. torno, imag^nTs rie .-tod&fc as

cr i aturas)

FAUSTO 11,1,5

AGRADECIMENTOS

P. Prem Prakash Srivastsva, pelas or i ertaçac* capõn-

detíicaç&o, amizade e apoie nos momentos de desânimo.

Aos professores e colegas do CBPF e do L.N1. PPIC

convívio, estímulo e companheirismo.

Aos funcionários do CBPF e do L.MCC pelo ?•- z. \ o e

serviço dedicado.

Aos meus familiares que sempre me est i mui ?.rê,fr e de

m a física tomou tanto do meu tempo.

Aos meus amigos em geral (muitos, felizmente, pare

m citados individualmente).

Ao CNPq pela bolsa.

RESUMO

Aplicamos o método de supercampos ao cálculo do

potencial efetivo ei»! modelos supersime"tr icos. Discutimos os

Métodos de Wemberg e de Jackiw no contexto de teorias de c*mpo

supers imétr i cas, ressaltando a mi. i or simplicidade obtida cuando

se faz uso de superd iagramas de Feynman. Derivamos os

propagadores de supercampos quirais e comentamos sue relação

com propagadores de campos componentes. Calculamos, entro, o

potencial efetivo até 2-loop para o modelo geral com

supercamos cuirais e regularizamo-lo, us'antio regularização

dimensional e o esquema de renormalização por subtração mínima.

Verificamos que o potencial efetivo não é positivo definido e

comenta-se o esquema de Amati e Chou. Trata-se, então, em

particular do modelo de Uess e Zumino com um linico supercampo.

Constatamos, gráficamente, neste modelo, o .potÊBriaX-tocnar-se

multivalente e negativo. Analisamos, em seguida, o modelo de

0 'Raifeartaish, com 3 supercampos e que apresenta quebra

espontânea de supersimetria. Analisando o potencial efetivo,

neste modelo, a 1-loop, verificamos a aquisição de mas&* pilo

boson nao-goldstone de spin zero e altersçSes em seus mi'n

"Está a verdade naquilo cue sucede todos os dias,

nos quotidianos acontecimentos» na Mesquinhez e chatice c? vida

da imensa maioria dos homens ou reside a verdade no sonho que

nos é dado sonhar para fugir de nossa triste condição? Come se

elevou o homem em sua cafeinhadit :>elo mundo: através do tíia-a-

dia de misérias e futricas, ou pelo livre sonho, sei» fronteiras

nem li mi talões? Quem levou Vasco da Gama e Colombo ao convés

das caravelas? Quem dirige as mãos dos sábios a mover as

alavancas na partida dos esputiniques, criando novas estrelas e

uma lua nova no céu desse subúrbio do universo? Onde esta' a

verdade, respondam-me por favor: na pequena realidade de cada

um ou no imenso sonho humano? Quem a conduz pelo mundo afora,

iluminando o caminho do homem? 0 meritfssimo Juiz ou o

paupérrimo poeta? Chico Pacheco, COR. sua integridade, ou o

Comandante Vasco Moscoso de Aragão, capitao-de-longo-curso?"

Jorge Amado

V I

SUMARIO

t

DEDICATÓRIA i

AGRADECIMENTOS iii

RESUMO iv

SUMARIO VÍ

LISTA DE FIGURAS vi.

CAPITULO i SUPERSIMETRIA i

í.i Introdução í

1.2 Espnores Na. Representação [>e Weyl 2

Í.3 Super espaço E Supercantpos 8

1.4 A Ação Supers iwétr ica 15

CAPITULO 2 0 POTENCIAL EFETIVO 21

2.? Introdução 25

2.6 0 Ke"todo De Weinberg (ou De Tacipole) 22

2.7 0 Método De Jackiw (ou De Bolha De Vácuo) 29

2.8 0 Potencial Efetivo Em Teorias Supersimetricas .... 34

CAPITULO 3 DERIVACRO DOS PROPAGADORES DE SUPERCAMPOS 37

CAPITULO A 0 POTENCIAL EFETIVO NOS MODELOS COM N CAMPOS

GUIRAIS TTn ......... 49

4.9 0 Potencial Ao NTvel De Arvore (zero-loop) 49

4.10 0 Potencial Ao Nfvel 1-loop 56

4.11 0 Potencial Ao Nível 2-loop 58

CAPITULO 5 MODELOS PARTICULARES 61

5.12 0 Modelo De Wess E Zun, ino 61

5.13 Modelo De 0'Raifeartaigh 70

CONCLUSÕES &2

VI I

APÊMDICE A ALGUMAS IDENTIDADES ÜTEIS EH SUPERSIMETR1A 63

APÊNDICE B ALGOMAS ÜTEIS IDENTIDADES MATRICIAIS 93

APtNDICE C PROPRIEDADES DAS FUNC&ES GAKA E BETA 95

C.Í4 As Funções Ga»ü E beta 95

C.15 E: pansõt* EM SeVie Para A Função Gaita ^7

APÊNDICE D ALGUHAS INTEGRAIS DE REGULARIZAÇÃO DIMENSIONAL

BIBLIOGRAFIA

VI I I

LISTA DE FIGURAS

i

Fi*.2.4.i TADPOLE DE i-LOOP 31:.

F is.2.A.2 SUPERBOLHAS DE 2-LOOP 36

Ft».4.3.í CONTRIBUÍDA DE 2-LOOP AO POTENCIAL EFETIVO ... 5&

Fig.5.1.1 POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL DE ARVORE

NC MODELO DE WESS E ZUMINO 62

Fis.S.í.2 CAKFO AUXILIAR AO NÍVEL DE ARVORE

NC KODELO DE WESS E ZUKINO

PARTE REAL 62

Fis-5.1.3 CAHPO AUXILIAR AO NÍVEL DE AHfVORE

NC HODELO DE WESS E ZUMINO

PARTE IMAGINARIA 62

Fig.5.1.4 POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL i-LOOP.

NO MODELO DE WESS E 7UHZNO

65

Fis.5.1.5 CAMPO AUXILIAR AO NÍVEL i-LOOP

NO MODELO DE WESS E ZUMINO

Fic-S.i.é POTENCIAL EFETIVO AC NÍVEL i-LOOP


65

F»g.5.1.7 CAMPO AUXILIAR AO NIVÉL i-LOOP


65

FiS'5.1.6 POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL 2-L00P


i y.

70

F»8.5.1.9 CAMPO AUXILIAR Y AO NÍVEL 2-L00P

NO HODELO DE MESS E ZUM1NO

70

FiS-í.i.ie POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL 2-LOOP

NO KODF.LO DE VESS E ZUKINO

70

FiS.5.i.li CAMPO AUXILIARY AO NÍVEL 2-LOOP

NO MODELO DE «ESS E ZUMINO

7*

Fi3.5.?.l POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL DF ARVORE

NO KODELO DE O'RAIFEARTAI6H

75

F Í 9 . 5 . 2 . 2 POTENCIAL EFETIVO AO NIVSL D£ ARVORE

NO MODELO DE O'RAIFEARTAIGK

7 5

F i B - 5 . 2 . 3 POTENCIAL EFETIVO AO NIveL DE ARVORE

NO MODELO DE O'RAIFtARTAIGH

7 5

F í S . 5 . 2 . 4 POTENCIAL EFETIVO AO NIVEL DE ARVORE

NO MODELO DE O'RAIFEARTAIGK

7 5

F í g . f . 2 . 5 POTENCIAL EFETIVO AO NIVEL i-LOOP

NO MODELO DE O'RAIFEARTAIGH

&('•

F i s . f í . 2 . 6 POTENCIAL EFETIVO AO NIVEL i-LOOP

NO MODELO DF 0'RAIFEARTAIOH

F , se

CAPITULO &

SUPERSIHETRIA

i.i Introdução

"Superspace is the greatest invention

since the wheel. It far surpasses «11

other approaches tc super symmetry:"

V. Gates Ci>

Supersinetr ia é a u*nica extensão não- t r iv ia l da

simetria do espaço-tempo de Poincarc' que consegue incorporarr

r» U Í mesmo (super)multipleto, partículas COM spsns,

est»t fst »c?.s e ndmeros quânt icos internos di ferentes.

Relacionando bosons e fé>Mions, os geradores da

nntctria são, por conseguinte, ferwiônicos e obedece» a

relações de anticoMutaçSo.

Tentativas anteriores conseguiam rei?.; ion&.r

partículas de spins diferentes mas mesma estat ís t ica e

apresentava por isso geradores bosônicos.

V&Vios teoremas "no-90" foram demonstrados provando

que nenhuma unifícaçSo re la t iv fs t ica nSo-tr iv ia l seria possível

com ta is geradores. A introduçüo dos geradores fermi6nicos na

for»? de uma álgebra graduada de Lie contornou esses teo-e&-.«&.

Outra propriedade surpreendente das teorias de

campo supersimftricas é que, devido ao cancelamento das

divergências ultravioletas dos "loops" fermiônicos COK as

"loops" botânicos , essas teorias tornam-se menos divergentes

*u* at correspondentes nSo-supersimftr icas.

Os Modelos co» vais de uma supersimetria exibe* w*a

convergência ultravioleta ainda maior. Por exemplo, s teoria de

Yans-nills supersimétrica N*4 foi demonstrada recentemente ser

u*« teoria fin its.

Quando a Supersimetria é elevada à condição de

teor;* local r a gravitacSo é, autoaiat i cadente, introdusitía e

isto leva & possibilidade de unificarc»-se as interações f o r t e ,

frac» e eletromagnética com a 9r»vi tacional .

Os primeiros exemplos de simetria de FerKi-Bose

aparecera» no modelo de "str ing" de Neveu,8chwarz e Ramond (2)

com partículas de spin semi-inteiro e na extensão da álgebra de

Poincaré por Gol'fand e Likhtman (3) seguida pela re&lisaçâo

nao-linear da álgebra da Supersimetria por Volkov e Akulov (4)

A introdução de representações lineares da

Supersimetria no contexto da Teoria Gu&ntica de Cawpos foi

apresentada» pela primeira vez, por Wees e Zumino <J> . L090

depois, Saiam e Strathdee e Ferrara encontraram sut« realização

num superespaço de coordenadas e introduziram supercampos sobre

ele para descrever um multipleto de Supersimetria. Isto levou a

u» rápido desenvolvimento na obtenção de extensSes

suptrsime'tr icas de teorias de campo ordinárias e no estudo de

sua» propriedades miraculosas.

i . 2 Espínore* na represent«cio de Weyl

W'^

Vamos trabalhar num espaço de Hinkowsk i

tetrad imeris tonai com métrica h « dioo (-1 1 1 1 ) ' ondr

t>»ft« 0,1,2,3 «''"nota os índices de espaço-tempo. O grupo de

transformações homosèneas de Lorentz (grupo de Lorentz) é

induzido ns& coordenadas do espaço-tempo X* * A m X1" pelo

50(13) de matrizes reais 4x4 A* (Am) satisfazendoprupc

Oe geradores infinitesimais/M(n «So dados por

<í.í)

t a E^lgebrp de Lie

pode ser realizadar e«-ter ma* dos elementos—JT..rS--fX ,¥ da

ttlgebra de Clifford sobre o espaço quadr id imensional de

, o& quais satisfazem

ífl• í

»tr»vée de

O* elementos do grupo de Lie 5(A) são então parametrizados COMO

S ( A ) . . . . . . . . .,

Uma representação irredutível para J pode ser

obtida em termos de matrizes complexas 4x4. A representação

Matricial Jv") »9er então, num espaço espinorial complexo

ger»do pelos quadriespinores de Dirac

Vamos trabalhar numa represent ação t&l que

# r, r*

onde V| • y*IT*ÍT1 JP1 . 0 adjunto definido por t • t T

tritn*form»-se segundo T ^ ^ 5 (A) •

Definimos tambe'» um espinor conjugado de carga

'^«C'V onde C é a matriz de conjugação de carga que satisfaz

c "»'c .«T

Podemos também definir em quatro dimensões um

espmor dp Hajorana com metade das componentes independentes

iMPondo * contrição "% " *H* q u c c w «tuatro dimensões é

consistente com \ TcK * •

NB representação de Weyl das matrizes gama

1 • I' *'\• l [f o)( 1 . 9 )

ondc <T* r ^ «ao matrizes 2 K 2 , 5(A) toma forma de blocos em

d iseortal. Podemos então trabalhar em termos de uma formulação

de biespinores.

Usaremos

onde 9 sao as matrizes de Pauli r resultando

Si A)

( 1 . 1 0 )

( 1 . i i >

com

( 1 . 1 2 )

0 espinor de Dirac assume agora a -forma

* tramsfon»»--»* segundo

0 «ftpinor de c»rg» conjugada é

( 1 . 1 3 )

( 1 . Í 4 )

( i . 1 5 )

A'.

• transfor»a-se da MCSKS forma q u e t . Introduzimos indices de

b ICSP mores

V Í . Í 7 )

def inIMOS

(1.1B)

as transformações resultant

(1.19)

Escrevemos os invar iantes como /C ftg e X ^

i.e., contraímos um índice superior com um índice inferior do

mesmo t ipo.

Introduzindo tensores métricos para levantar e

*b*i>;ar os fndices

(1.20)

temos

<i.2i>

etc.

Identificanos então Xj com o completo conjugado X« *

X* com X* . A conjugação complexa é definida tal que s ordem dos

fatores fermiônicos é invertida

É. M. mi m *

(i.22>

1.3 Superespaço e supercampos

Definimos as transformações de Supersimetria

através de

(campo)(1.23)

fX parâmetros espinoriais constantes 9 Q, Q geradorei?>

infinitesimals da transformação.

Temos que, para uma Super*i«etria local, os

geradores satisfazem as seguintes relações de anticomutação

Temosr também,

(i.25)

onde Pj é o gerador das translaçoes do espacç-tempo, definido

C O M O P k*-id| > Os geradores de rotações de Lorentz satisfazem

Temos da eqn.24 o importante resultado

,27 >

que demonstra que a energia em qualquer estado é positiva

definida e que um estado fundamental supersímétrico tem energia

nula -

UM art i f íc io Muito dtil para se trabalhar COM

teorias de canpo supersiMétricas é o de representar-se UM

tupcrMultiPieto por UM supercaMpo definido nu* superespaço de

coordenadas geradas por

'1.28)

onde o índice A varia sobre índices bosônicos h» e ferwiônicos of

c *t . As transforMações de SupersiMetr ia são, pois, real iradas

COMO supertransiações sobre pontos do superespaço

íi.29)

Os operadores diferenciais são, entSo, definidos

através de

\Q«i.30)

e, de

11

*" - 5," à« 9" * & li 9'

t*MOS

ti.32)

Note-se que d{ comuta COM Q« e Q« e é, portanto,

UM» derivaca covariante COM relação a es tas transformações; por

outro lado, d« e £ * não são. As derivadas espinortais

covariantes devem sat i s fazer

.33)

Em vista das expressões explícitas para Ç(^ e Qi, na eqn.32,

podemos defint-las como

5* - i »'«•'/â,(i.34)

As derivadas c ovar* antes sa'o necessárias para

i»PoreM-se vínculos covariantes sobre supercampos, be» COMO na

construção de Lagrangianas invariantes sob transformações de

Super simetr ia. No Apend'ice A apresentamos algumas propriedades

c identidades dtets das derivadas covariantes.

Sâo dteis, também, os operadores de. projeção

«Dp.

TBsatisfazem »4*rt*TVB^ * Estes operadores serão

utilizados para se definirem partes irredutíveis de um

supercampo geral. No apêndice A, incluamos algumas identidades

contendo esses operadores.

Um supercaiftpo, definido em um ponto do superespaço,

tem uma expansão em seVíc de Taylor que, devido a ?.nt tcoruutação

dvs coordenadas $ e $ , termina apôs um n timer o finito de termos

t- tem a forma geral

<1.36)

onde |,fl, X/»**f Cl denotam campos componentes do

supermultipleto correspondente ao supercampo em questão.

A toma de dois supercampos t urn super campe , bem

seu produto. A variação infinitesimal do supercampo

definida er> termos- das variações dos campos componentes

íi.37)

c & forma de F em pontos infinitesimalmente próximos

dad» por

Rt) + W-O^t HD+

(Í.38)

Sob uma transformação de 'superei metri?, o

super campo F(?) e mapeado em F ({') . Um supercampo escala^*

pode ser definido requerendo-se que permaneça invariante sob

super transiacoes

se»(i.39)

Temos, entüo,

' - Sb)

Os superca»pos são representações lineares da

álgebra de Sàpersi»etria, Mas essas representações são CM geral

rrcutíveis. Podem-se porém usar as derivadas covariantes para

mporee-sc vínculos diferenciais sobre esses supercampo*, os

quais serio preservados por transformações de Supersimetria.

TcrcMOS, entao,

sgpercawpo escalar quiral

ou * .0

supercampc escalar antiquiral $(X,ft ,$)«

ou D f = 0

Os vCnculos diferenciais acima podem ser facilmente

resolvidos, resultando

9 [AM

(1.42)

Esses supercampo* contém, pois, espinores de

15

«tajorana i(x) e ^K*) , campos escalares complexos A(<) e AM e

c u p o s esc alares coup 1 exes auxiltares F(rt e FU) .1 Esses CAMPOS componentes tr»nsforMKR-sc por

Supersinetri» COKO

(1.43)

1.4 A acSo supers i «nitr ica

A construção de uma acSo invariante por

transformações de Supersimetria é f ác i l fazendo-se uso de

super campos. De vez que o produto de supercampos é um

•uprrcampo e que a componente de mais a l ta ordem em 9 de um

supercampo quiral transforma-se numa divergência (vide

e q n . i . 4 3 ) , segue-se que a integral da componente mais a l ta

ordem de ($>'$-fk'••) sobre todo o espaco-tempo

( 1 . 4 4 )

4 um mvariante. Em termos de campos componentes, por exemplo.

são invurtantet por supersimetria.

Notc-sc que eqn.44 dá origem a temos de potencial r

não envolvendo derivadas espaço-tempora i s .

Para obterem-se ter«os cintfticos, faz-se uso*

t, de supercampo antiquiral. Assim,

í UM invariante. Note-se que altfm dos ternos cintfticos usuais

P«r» os campos de »ate>iar obttfM-se também um termo potencial

para o campo auxiliar..

Assii», a ação mais serai para ft campos quirais f;

pode ser escrita como

onde WCI) ^ um p o l í n ô m i o em s u p e r c a m p o s q u i r a í » chamado

Buperpotenc ial.

£ conveniente introduzir a notação

-id 1*

>

(1.48)

Podemos exprezsnr eqn.47 em termos de campos

componentes. Temos

.4?)

onde W(^) mW(í,-• Ai) depende apenas do campo escalar Af do

multípleto (A| '•i , F i) ' Ten'os ent»o a Lagrangiana par»

«upcrcampos quirais em interaçío como

t - - M)(JfA.)t|[(i,»1)«'íc - t -V

onde o potencial V é dado por

V- -[fiF, •

IB

J,(1.51)

0 dltimo termo represent» uma interação de Yukawa COM campos

cspmoriais, enquanto o potencial escalar U, relevante para o

estudo de quebra espontânea de Supersimetria é

(1.52)

Podemos eliminar o campo auxiliar Pf usando sua

de movimento

. odti

(1.53)

re*ultmndo

ü

A Lagransíana toma entío * forma

+ • c.c.

19

(1.55)

fornece a matriz de massa fermiônica quando

calculada no mínimo do potencial escalar. A matriz c!e massa

bocònica é dada por

/

(i.56)

Seus elementos nSo-diagonais têm a forma

enquanto os elementos diagonais sSo

Para o estado fundamental supersimrftr ico, ü * 0

implica que P | « F i » 0 e portanto bòsons e ftfrmions tém a

2<d

wassa. No caso de quebra espontânea de simetria, devemos

di»gonalirar a matriz de massa bosônica e encontramos, então,

ndssaí diferentes para os diferentes campos componentes do

supermultipleto

Uma ação renorroa)izável é obtida para

a.59)

oncíe triji e O;:| sSo tensores completamente simétricos nos

índices. Temos então

0 modelo com h campos quirais definido por eqn.59

será estudado em detalhe nos capítulos 3 e A seguintes.

21

CAPITULO 2

O POTENCIAL EFETIVO

"O Grande Vácuo não pode consistir

senão em ch ' i? este ch'i não pode

condensar-se senão para forcar todas

as corsas; e essas coisas não pode»

senão dispersar-se de modo a formar

(uma vez mais) o Grande Vácuo."

Chang Tsai (6)

2.1 Introdução

E comum estudar-se a quebra espontânea de simetria

na chamada aproximação semiclássica, isto é, investigando-se o

mínimo do potencial, definido como o oposto da soma de todos os

termos não- derivativos na densidade de Lagrangiana.

0 potencial efetivo para uma teoria de campos: foi

introduzido por Euler, Heisenberg e Schwinger e estendido ao

estudo da quebra espontânea de simetria por Jona-Lasinio e

permite estender-se até ordens superiores essa análise.

Por exemplo, na aproximação clássica, o estado

fundamental é dado ' • Io mTnimo do potencial

Analogamente, os mfnimos do potencial efetivo fornecem, sem

qualquer aproximação, os vácuos verdadeiros da teoria.

Essa abord&sem permite ainda estudar casos em que

BE correções radiativas altera» a estrutura da teoria,

transforMantío UM mínimo do potencial efetivo em UM máximo, filem

ditto, existe uma expansão diagramátice tal que o seu primeiro

terno reproduz a aproximação semi class tea.

Inicialmente, o cálculo era feito somando-se uma

s^rie infinita de diagramas de Feynman com momentos externos

nulo',. Isso constituía-se, obviamente, numa tarefa extremamente

trabalhos» e impraticável» acim» de i-loop.

Entretanto, as contribuições de ordens maiores de

loop são imaortantes, pois se uma an«log:a com a aproximação

WKB tiver sentido, a contribuição de 2-1OOP deve ser a primeira

puramente quântica. A aproximação de i-loop é muito simples, o

que não ocorre para os termos de ordem superior; portanto pode

acontecer que efeitos relevantes não apareçam até 2-loop.

Acima de í-loop são geralmente'empregados métodos

funcionais como o de Jackiw (7) . Aqui, no entanto, faremos uso

também de um método primeiramente observado por Weinberg (8> e

demonstrado de forma funcional por Lee e Sciaccaluga (9) .

2.2 0 método de Ueinberg (ou de tadpole)

Considere-se inicialmente um modelo simples com

campos bosânico», descrito por uma ação

onde U(é) é um polínómic quart ico em ^ para £>er

rcnormalizavel. Introduzimos agor* uma quebra espontânea de

23

simetria, considerando que o campo < (x) tenha UM valor esperado

/ no vácuo

onde \F; é dado ao nfvel de árvore por

* 0(2.3)

Para fazer-se a expansão perturbativa em torno de

u» vácuo estável(mfniMO absoluto de U(t))> transladamos o campo

cowo 4j — • 4j * i na eqn.l e expandimos e» •; em série de Taylor

em torno de iT{. Obtemos, assim,

3! 41

com

X. è*W\

coef (2.5)

Note-se que d» eq.3, o primeiro temo na

nula-se.

Acrescentando UM terno de interação 1inear tfo CAMPO

co» UM campo externo (fonte) J*(x) , tenos

titm - Ji (o(2.6)

(2.7)

onde ü é o propagador inverso do campo.

Definimos agora o gerador das funções de Green

conexas W(J) através de

WÍJ) *x 4(2.8)

Tem-se em part icular que

(2.9)

tendo c , vi*lor esperado no vácuo do campo

fonte Jix) F chamado campo cliCssico e

na presença da

d WUD A , <2.íe>

Zl(^#y) , propagador completo (soma das funções cie dois

pont os >

Definimos, agora* o gerador funcional das funções

de Green irredutfves por uma partícula <IÍP) Flê)» através da

tansformacSo de Legendre

Í 2 . í l >

t un funcional de 4c «PÒs a eliminação de «T através da eqn.9.

Temos

= -Jl

(2 .12)á+;

c dctth forma a condição para quebra espontânea de s imetr ia

c o n s i s t e em

(2 .13 )

para \T n lo nulo.Temos também

(2 .14)

e, «ssiib, e» vista da

Isso justifica o no»e Ação Efetiva dado a

Mostra-se, em geral, que

* r (Xi,...,Xn;tr)

ondr C ("i, •••, *r>) é a funçSo de Green de h pontos conexa,

ta»béM chamada vértice próprio de h pernas. Podemos, portanto,

eecrcver

£ especialmente interessante o caso em que o campo

clássico assume uma configuração constante ?íe0()*i; ? neste

caco ,podemos escrever

r fazendo-se definir a transformada de Fourier de P (

1 v«*. • • • t "»• i - i • - • • • i» . i Ki . . . , KK - v j «ewi»i t i n ' *• ' . 19)

Assuminoo-se a invariância traslacionai do modelo,

tfllOS

(2.20)

e, portanto.

X^''-'0^^

, onde V ( f ) r furvçSo do e-anw&-clí(s*icor «í o ctfnww«hj~1*otenc i al

Efet ivo. O fator (2v) ^(#) indica que f(^) 4 proporcional ao

volume do sistema.

Esta relaçSo foi ut i l izada por Coleman e Ueinberg

para o calculo do potencial e fe t ivo .

Da eqn. í3 , vê-te que podemos estudar a quebra

evpontinea de simetria procurando-se mínimos de V(l) para

nio-nulo.

No caso eu que <fc nlo é constante, pode-se expandir

eu série de Taylor eat potências do memento can&nico d»4c

obtrndo-se

r i o • J A | - VMO •Í<2.22>

Tomando-se, agora, a derivada d» rqn.2i com relação

» f e f&zendo-se § • iT , obtém-se

er desta forma, a soma infinita na eqn.21 é substituída pela

integração em tT| na eqn.23

Assim, o potencial efetivo é obtido da integração

eiri |T da soma dos vértices prdprios de í perna ("tadpoles") com

momento externo nulo.

Esta relaçSo é válida ordem a ordem de loop. Assim,

par<< se calcular o potencial efetivo até uma certa ordem de

loor, calculam-se os tadpoles (usando-se as regras de Feynman e

OÍ propagadores da teoria transladada) até esta ordem de loop,

obtendo-se, para mais de um campo, um sistema de equações

diferenciais parciais em vi, o qual deve ser, então, resolvido.

Naturalmente, o resultado da soma dos tadpoles deve ser

regularizado e o método de 't Hooft e Veltman pode ser

utilizado, levando a uma expressão que pode ser facilmente

inte?r ada.

2.3 O »étodo de Jackii» (ou de bolha de vácuo)

D» eqn.21, fazendo-se * « lT , temos também que

. - roo<2.24>

, isto é, o potencial efetivo pode ser também obtido d» soma

dot vértices próprios sem pernas externas ("bolhas de viícuo").

Considere-se agora o gerador funcional da teoria

transladada como * ** T * T »

Í!.25>

que podemos escrever conto

i (>(••) + jd'x f jjwjiiW, (J)<2.26)

com

•f

assim

V(J') •

onde W é calculado no valor J de J tal qur

»w IJ.J*

0 terno G/(T) é, natural went e, o nfvel de árvore, e Wf contéK os

ternos de orde» superior.

Calcula»osr agorar tt . Te»-*e

&3 (2.36)

e i»pondo-se que tt* ^ temos, portanto, da eqn.28.

(2.31 >

Substituindo, entSo, J obtido de eqn.3i o*

result a

í W(ÍT) «

(2.32)

3i

Introduzindo, agora, o objeto

0X0 - of{*

<2.33>

vê-se qut

W 1

Considere-sc, agora, a ação

<(>(2.35)

que tem a mesma forma que p/(4)? com parâmetros que dependem de

$'. Veja-se que ela corresponde a eqn.35 sem o termo V(v).

Os termos quadrát icos em 0} definem o propagador

correspondente para o campo e os demais, constituem numa

interação

±

x (•';•)

Na teoria dada pela ação fif(4), cot) <o|<$C*)|c>»0, as

bolhas de vácuo IiP são dadas por P(o) , isto é, W(<T) calculado

em um J tal que

= o(2.37)

ou, o que é equivalenter

ÁI = o(2.38)

Desta formar as bolhas de vácuo IIP para a teoria

dada pel? eqn.35 süo dadas, a menos de um fator de

normal izacão, por W(^*;k) calculado em K* tal que

(2.39)

hostra-se que

• o(2.40)

Portanto,

33

(ÍÍ.41)

tf a soma de todas as bolhas de vácuo IIP da teoria governada

pela ação eqn.35, a menos de um fator de normalização.

A normalização da eqn.33 é obtida, considerando-se

que UM termo cine>ico (ação quadratics) na expansão

perturbativa não leva a transições vácuo-vácuo. Dividimos,

então, eqn.33 por

J£D[4](2.42)

e, consequent emente, Pfe") adquire o termo adicionai

* (2.43)

que é de i-loop Temos, assim.

<2.44)

Para obter-se o potencial efetivo, fazemos V •

resultando finalmente

V(0). jg^ín det l

;£(</•; A(2.45)

onde o "Jit imo termo representa a soma das bolhas de vácuo IIP,

calculadas COM a Lagrangiana de interação dada na eqn.36, de

ordem superior a i-loop-

2.4 0 potencial efetivo em teorias supersimétricas

Para calcularmos o potencial efetivo em teorias de

campo supersimétricas, de vez que Srivastava (10) obteve uma

expressão para o gerador funcional para supercampos quirais,

poderíamos tentar desenvolver para supercampos uma formulação

análoga a" feita nas seções anteriores.

Ao invés disso, simplesmente consideraremos os

campos componentes de um supermultipleto como campos

independentes no tocante às expressões anteriormente obtidas

eqn.2.23 e eqn.2.45. Faremos uso, porém, da técnica de

supergráficos para calcular os gráficos necessários.

Assim, considerando-se a ação para campos quirais

eqn.1.47

mtribuiremos valor esperado nao nulo no vácuo aos campos

» ai

<o\Vi\o>' o

(2.44)

35

COMO O vácuo deve ser invariante de Lorentz, nantenos o campo T

COM valor esperado nulo.

Transiadimos, então» os supercampos COMO

i — ii + °i + \i •*

(2.47)

obtendo par» a ação,

** Ai #,

(2.48)

i « c.c k;Acom

(2.49)

Dos termos quadraticos obtém-se o propagador do®

supercampos (o que será feito no próximo capítulo) e os

super9ráficos de Feynman serSo calculados com a Lagrangiana de

interação.

Temos, por exemplo, na fí«.l, o tadpole de i-loop.

De acordo com a eqn.2.23, o tadpole com perna

externa Ã{0) fornece a derivada do potencial com relação a Q e

36

AO»

Flo)

Figura 2.4.1p TADPOLE DE i-LOOP

o COM pern» r(CJ, a derivada com relação a r.

No caso das bolhas de vácuo (sem pernas externas),

a soma das superbolhas IIP a 2 ou mais loops (vide fig.2) é a

soma das bolhas IIP dos campos componentes e, portanto, segundo

etc.

Figura 2.4.2SUPERBOLHAS DE 2-L00P

eqn.2.45, fornecem o potencial a mesma ordem de loop.

37

CAPÍTULO 3

DERIVAÇÃO DOS PROPAGADORES DE SUPERCAMPOS

Derivemos agora os propagadores de supercampos para

o Modelo envolvendo CAMPOS quirais.

Considerando-se a lagrangiana do Modelo COM T\

quirais eqn.1.47 transladada segundo eqn.2.47» eqn.2.46,

COM ITI|5 e 0;;^ si Métricos nos índices» te»os então» a

lagrangiana l i v re

e a de interação

(3.2)

Devido ao vínculo a que f está su je i to , (vide

eqn.i.41) define-se um supercampo "potencial" através de

(3.3)

r o qual realiza os vínculos

38

t>-f. . o(3.4)

Temos a variação funcional

, ,

í3.5>

Acrescrntando-sc os terwos de fixação de

c de fonte

(3.6)

a ação livre obtida da eqn.i e variando-se con relação aos

campos S temos então as

fâ-li)(3.7)

OU

*** • [Pi +V' ss

Das duas priweiras, obtenos

e das duas tfltiaias»

Escrevendo a tilt ima equação como

Impondo-se

(3.6>

(3.9)

< 3 . Í 0 )

( 3 . 1 Í )

( 3 . 1 2 )

40

considerando-se as expansões

(3.13)

e resolvendo-a para os coeficientes A,B,C,D e E, obtemos

'- (0-ôo)"f

DC * [(D- õa) - f (D. aày^fâ (D. õaf

(3.14)

Temos assim

41

co«Ar&»C e D dados acima.

' Da mesma forma» escrevemos A$$ cono

*'') U

e por processo idêntico obtemos

À»[(D-ad>- ( (D-daf1 ! ]"1 - (o-adf1

» a[(D-õo) .

DC •

« (0-a5)Ho[[(D-oõ)-

(3.16)

(3.17)

Podemos agora obter 4ss c ^ss c l a 5 equaçSctD eqn.6

como

com

F * - (D.5a)Mf[(0-Qa) - f (O-aof'f]"1

^ - õ[(D-oa)-

F . - (D - ««)"* f [CD- 5a) - f (D- ao)"1

0*6» - - a[(D-da) - ÇCD- aor'f]"1 f a(D-5«)

(3 '2Í )

Par» o modelo de Uess e Zumino, com um tinico campo

q u i r a l , teitios

4Í

QC« Db « DD* i

o u - P I - atp-ia.) pj

Dos "propasadores" dos supercampos "potenciais" $ e

§ podemos obter os propagadores dos supercampos quirats f e Ç

at rave's das relações

16 1* (3.23)

Temos, cntSo

íV fD f • F •

0*0*0'+ F + l e ' 0 4 HSf|D* ID**1]

É mais «itil» porém a sua expressão no espaço dos

momentos. Assim, COM

<3.25)

resulta

Aè

• *

(3.26)

com

» —

r . ry . f

Ce *+0

• 2a

47

=[(?'<<>«)- JCpt^

f | " j "

<3.27>

que &e reduzem, para um dnico campo quiral a

S>C?)«

46

\k\l)

4 i

onde da eqn.2.5, temos

• m +

<3.28)

(3.29)

49

CAPÍTULO 4

0 POTENCIAL EFETIVO NOS MODELOS COM N CAMPOS GUIRAIS '

Neste capítulo, fazendo uso dos me*todos de Weinberg

(tadpole) e de Jack ti* (bolha de vácuo), calcularemos o

potencial efetivo para o modelo geral supers im^tr ico com t\

campos quinais, apresentado no capítulo 1.

4.1 0 potencial ao nível de árvore (sero-loop)

Seja a ação transladada para o modelo com n campos

quirais, eqn.2.4B,

Segundo o método de Jackiw, visto na seção 4 do capítulo 2,

lemos da ação acima, imediatamente, o potencial efetivo ao

nível de árvore como

V. * -

(4.1)

resultado que reproduz, simplesmente, o potencial escalar

clássico definido na eqn.i.52.

Das equações de movimento eqn.i.53

temos que o resultado «cima se reduz a

V. - \h\

e também

'o *

(4.3)

cr portanto, o mfnimo do potencial ocorre para r s F* 0 se

. Neste caso, o potencial a nível de árvore é nulo

c, consequentemente, a Supersimetria não é quebrada ao nível de

árvore se o determinante acima não se anula (vide eqn.i.27).

Poderíamos, é claro, ter calculado o tadpole de 6-

loop e integrado, segundo o método de Weinberg. Todavia o

método de Jackiw fornece o mesmo resultado de maneira mais

simples.

No próximo capítulo, analisaremos a contribuição de

0-1OOP, que acabamos de calcular, nos modelos particulares de

Uess e Zumino *• de 0 "R» ifearta ish.

4.2 0 potencial ao nível i-loop

Para obtermos a contribuição de i-loop ao potencial

efetivo, poderíamos, ainda de acordo com o método de Jackiw,

calcular o termo de i-loop segundo a eqn.2.45. No entanto,

preferimos fazer uso do método de Weinberg de vez que é mais

simples calcular o tadpole de 1-loop e integrá-lo, do çue

inverter o propagador, calcular o determinante, etc.

Considere-se, então, a Lagrangian* de interação, eqn.3.2., e

Si

calculemos o tadpole de i-loop, o qual e' dado por

Í; Tr g;(4.4)

que, da expressão para o propagador, obtida no capitulo 3,

resulta

dtr

Temos desta forma as derivadas parciais do potencial como

5 5 i

r in.Tr

'{IT)'

Tr 9.- (k1âi)" \ [v<™ • [ ^ °5)" fl"1

Pura F * 0 r ambas derivadas se anulam, indicando um mínimo

do potencial.

Podemos integrar agora esse resultado, us?ndo a&identidade* do apêndice B como

. ?)

cow

H

Podemoe 9. tnda reescrever este como

) (**r O T - HH

1' { (4.9)

onde

O H

IH

, VHB

HH

Temos ainda

Tr in tr, 0

53

oô)ri (4.11)

co»

y-((4.12)

e desta forma resulta o potencial como

,13)

COM

(4.14)

Se F * 0 (mfnimo do potencial), o potencial se anula, de

forma que a Super*imetria não é quebrada também a i-loop, nesta

sítuaçüo.

Agora a derivada parcial com relação a \[ pode serregularizada usando-se as integrais do apêndice D como

If v"?(4.Í5)

Da Resms forma, a derivada parcial com relação

regularised? é dada por

dô:

1.16)

e a contribuição regularizada a i-loop ao potencial efetivo é

dada por

(4.17)

Partindo de uma lagrangiana regularizada

Í.18>

encontramos para o potencial efetivo ao nfvei de árvore

V. -- - [(m.jcj + «J i • (mijo,-« fo òi

(4.19)

Sendo

1(4.20)

identificamos, então, o contratermo de 1-loop, 2-1OOP, etc.,

COMO

(4.21)

De vez que

vemos que podemos renormalizar o potencial efetivo a 1-loop

fazendo

(4.22)

resultando a contribuiçSo renormalizada de í-loop como

1.23)

Este esquema de renormalizacão é comumente chamado Esquema de

Subtração Mínima Hod if içado (subtraindo não só o polo

dimensional mas todo o coeficiente de Vr .

Note-se porém que

H

Portanto, comparando-se este resultado com a eqn.l,

vê~se que para Q grande, podemos ter uma inversão de sinal no

termo cinético da ação efetiva.

Para remediar isto, seguindo Amati e Chou (11)

podemos impor que a constante de renormalizaçao seja obtida

através da condição

(4.25)

Com isto, obtemos

Tr íf(4.26)

e a contribuição de 1-loop ao potencial efetivo como

(4.27)

YNote-se que X r Y e GO são matrizes hermitianas,

C O M O se vê de eqn.4.i4 e eqn.12, e, desta form?,

d i agona 1 i rííve i s.

Podemos, então, escrever cada termo envolvendo seus

logar>tmos, na eqn.23 e na eqn.27, em termos dos seus

respect ivos autovalores.

Por exemplo,

T U

X»

(4.28)

onde C/ é a matriz que diagonal iza X , Xt ^ ^ d iagonal izada e

X; são seus autovalores.

Vale assim ressaltar que se algum dos autovalores

de X , Y ou AH for negativo em alguma região de valores dos

h^t a contribuição de i-loop ao potencial efetivo será, em

geral, aí' complexa.

58

No próximo capítulo, analisareMOs a contribuição de

i-loop, que acabaMos de calcular, nos Modelos particulares de

Uess e ZuMino, de O'Raifeartaigh e nun Modelo COM siMetria

interna.

4.3 0 potencial ao nível 2-loop

A 2-loop, vê-se da eqn.2.45 que o Método de Jack iw

volta a ser Mais simples que o Método de Weinberg e por isso

faremos uso dele aqui. Calculamos, então, os diagramas

apresentados na fig.l, que fornecem, respectivamente.

Figura 4.3.1CONTRIBUIÇÃO DE 2-L00P AO POTENCIAL EFETIVO

y U&)t*

59

e, das expressões dos propagadoresr

4 Cff

g, Ã

I*

9»

91 Â 6TC )

Devido «( complexidade deste resultado, não faremos

a substituição dos coeficientes do propagador no caso geral de

n supercampos, mas apenas no modelo de Uess e Zumino, com um

•inico super camp o, no proximo capTtulo.

CAPITULO 5

MODELOS PARTICULARES

Neste capítulo, aplicaremos os resultados gerais,

obtidos anteriormente, para o potencial efetivo, aos modelos de

Wess e Zuroino e de 0'Raifeartaigh

5.1 0 modelo de Wess e Zumino

6 ação do modelo de Wess e Zumino (5) é dada por

(5.Í )

e o potencial efetivo ao nível de árvore resulta, de eqn.4.1,

V, - - [ (rrJc 4. g 4 Í ) P t + CmA? * Ç / c £ ) f ' t + ÍFc | fj(5.2)

Temos das equaçBes de movimento para e da matriz

de massa fermínônica

(m(5.3)

*0 <as quais nüo anulam Q) fornecem vácuos

dm teoria em termos do CUMPO A como

<5.4>

Apresentamos, na fig.i, gráficos do potencial

efetivo, ao nfvel de árvore, para Q*T/£ , em função de

Figura 5.1.1POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL DE ARVORE

NO MODELO DE WESS E ZUHINOX» d/ft • A dependência em F foi eliminada através da sua

equação de movimento. Nas figs. 2 e 3 apresentamos os gráficos

dc$r(F) e de jlir(f)*m função de X ? segundo essa equação. .

Temos agora, a í-loop,

63

Figura 5.1.2CAMPO AUXILIAR F AO NÍVEL DE ARVORE

NO MODELO DE UESS E ZUMINOPARTE REAL

Figura 5.1.3CAMPO AUXILIAR P AO NÍVEL DE ARVORE

NO MODELO DE WESS E ZUMINOPARTE IMAGINARIA

«s. *

t (Ht1 I \<5.5)

6A

con autovalores

ai

e o potenctal efetivo a i-loop regularizado, de eqn.4.í?r

o? Ma!/,*')-i iai" 6» (IÍ<5.7>

Assim, a í-loop, o potencial efet ivo renormalizado e a

constante de renorroalizaçao são dados, no esquema de subtração

mfnima , da eqn.4.23, por

(5.9)

r no esquema de Amati e Chou, da eqn.4.27, por

Temos nas figs. 3, 6 os gríff i cos do

potencial efetivo e de V nos esquemas de subtração mínima e de

virisG« 1.57

-2. -1. -0. I. 2.A

figura £1.1.4POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL Í-LOOP

NO MODELO DE UESS E ZUMINOAmati e Chou, respectivamente. Consideramos, por simplicidade,

A e F reais.

Conforme mencionado no final da seção 4.2, temos

que, quando O- torna-se negativo, a contribuição dp i-loop ao

potencial efetivo torna-se complexa. Isso correspond»? a região

66

Y1MSG« 1.57

2y~i 0. i.\ 2

Figura 5.1.5CAMPO AUXILIAR y AO NTVEL i-LOOP


VI!.57

-2. -I. -0. I. 2.A

Figura 5.1.6POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL 1-LOOP

NO MODELO DE WESS E ZUMINOde X , cm torno d» origem, en) que a curva nao foi traçada.

Temos ainda, da eqn.4.30, a contribuição de 2~loop

ao potencial efetivo como

YlC« 1.57

-2.PI. 0. 1\ 2.

Figura 5.1.7CAMPO AUXILIAR AO NlVEL i-LOOP


68

lltf A, lèt • i-ifl /*« JU 9L . a! U

i(Q;âi_2 V //I

a!

Ssi

- t 1*1*4 a»^7f

(5.12)

Tal resultado foi obtido, calculando-se as bolhas

de vácuo da fig.4.3.1 com os superpropagadores eqn.3.28, em

computador, fazendo uso do sistema als^brico REDUCE (12)

Todos os cálculos analíticos, deste ponto do trabalho en.

diante, foram, também, realizados com o auxilio do REDUCE.

Para renormal izar Vj£ , consideraremos não sd o

contratermo provindo do potencial ao nível de árvore,Vi » dado

na eqn.4.21, mas tambe'» o provindo da contribuição de 1-loop

acima, quando considerada a Lagrangiana regularizada eqn.4.18.

Obtemosr no esquema de subtração mfnimar

—ir

Cr no esquema de Amati e Chou,

(5.16)

Nas figuras 7, 8, 9 e 10, apresentamos gráficos do

potencial efetivo e de y , em ambos os esquemas, considerando,

novamente, A e f* reais.

Além da região em que o potencial torna-se

complexo, nota-se, no primeiro esquema, que o potencial torna-

se mult ivc>.lente e negativo, de acordo com a análise feita na

seção 4.2.

V2MSC- 1.57

-2. ' -1. .

'is ]

i

r 1 -*

0. 1/*2

\

Figura 5.1.8POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL 2-L00P


5.2 Modelo de 0'Raifeartaigh

Este modelo contém três -supercampos quirais com

interaçSo dada pelo superpotencial

71

Y2MSG- 1.57

+0. 1.^2.

Figura 5 . 1 . 9CAMPO AUXILIAR y AO NÍVEL 2-LOOP

NO MODELO DE WCSS E ZUMINO

V21.57

-2.S- -0. 1. 2.

Figur» 5.1.10POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL 2-LOOP

NO MODELO DE UESS E ZUMINO

Temos, então, da eqn.2.5,

Y21.57

Fi9ura S.i.liCAKPO AUXILIAR AO NÍVEL 2-L00P

NO MODELO DE MESS E ZUMINO

(

\

0 O O\o o JO m 0

to o o\Io 9 0\o o o-

\ /

/ \

o P o

s o o]0 0 0/

0 tn 0

8o o o

Temos a* equações de moviMento para F

73

**

F*- -(5.20)

Note-se que neste modelo o sistema de equações

F * 0 nao tem solução e desta forma, cia eqn.1.54, este modelo

apresenta quebra espontânea de supersimetria.

Temos ainda

QQ

n»

Da eqn.4.i, resulta o potencial efetivo ao nfvel de*

árvore como

(5.22)

7A

resulta

Utilizando-se as equações de movimento para r

(5.23)

Derivando~se conn relação a Al' "1 c ^1 e igualando-

se a zero para localizar-se o mínimo do potencial

<5.24>

obtemos

(5.£

Substituindo-se esse resultado na derivada com

relaçSo a ^ verifica-se que (A\) é indeterminado e que

real, obedecendo a

Temos, port ant o, d u a s fases distintasr

simétrica:

Apresentamos na figuras i, 2?, 3 e A, gráficos do

potencial BO nfvcl de árvore para as duas fases. Con o não

^ A2

Figura 5.2.1POTENCIAL EFETIVO AO NlVEL DE ARVORE

NO MODELO DE 0 'RAIFEARTAIGKpodemos representar a variação do potencial nos três campos,

apresentamos o% casos Aj*0 e ^(«0 .

A matriz de massa fermionica vista na seção Í.A

resulta de Q,j

Vemofcf d» eqn.22 f que o campo /\f nik- tem masca, que

o campo A) tem mass* In e o campo complexo Aj apresenta

" s p l i t t i n g " de mass».

76

Figura 5.2.SPOTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL DE ARVORE

NO MODELO DE O'RAIFEARTAIGH

Fiçura 5.2.3POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL DE ARVORE

NO MODELO DE O'RAIFEARTAIGHEscrevendo Aj« A* t í A. temos

U*

<5.27)

Figura 5.2.4POTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL DE ARVORE

NO HODELO DE O'RAIFEARTAIGHConsideremos, agora, a contribuição de í-loop dada

pela eq.4.21

V, * ^(5.28)

com

QQ f* \o aa)

< 5 . 2 9 )

Temos o polinomio característico de i ,

det(Yf-U)«

78

(5.30)

Conclui-se de imediato que Oú tem um autovalor nulo

e dois positivos e que Y tem dois autovaloes nulos e dois

pares de autovalores iguais e positivos.

Seja, agora, o pol inònio característ ico de X ,

* X * -

(í o? oâ q,

U

<í/.3í>

No c»«o mais simples em que A l ' A* r

reais, o polinômio acima se fat or& como

• «ft1 • 9

(5.32)

c, sendo o termo independente de mesmo s inal que o em A ,

concui-se que, neste caso, X terá1 pelo menoi dois autov&lores

não POS i t i vos.

Por outro lado, para Pjt~ 0 , temos

det(X l-U)= >•

(5.33)

e , p o r t a n t o , d o i s a u t o v a l o r e s nu l o t p a r a X . Alen< d i t s e ,

c o n s i d e r a n d o - s t a equação 'de movimento p a r s F4 , ao nível de

árvore , Ft c Af r e a i t , temos

r,. 34 >

e, portanto, na fase simétrica, nessa aproximação, X n?o teria

autovalores negat1vos-,

Como ^ se anula no mfr. imo co potencial so n fvel de

árvore, mais precisamente satisfazendo òVo/òAjsO , concluímos

que podemos esperar, impondo o mínimo do potencial com relação

a Aj , se os valores dos mínimos doe campos naose afastarem

muito dos de árvore, uma região em que os «eis autovalores de

X sejani não-negat i vos.

Apresentamos nas figs. 5 e 6 gráficos do potencial

efetivo a i-loop com A$*(^jV . No referente a fsse

assimétrica, nota-se uma região (nao traçada) en que o

potencial se torna complexo.

Para maior percepção das características da

contribuição de í~loop, apresentamos, seus gráficos nas figuras

7 e B.

Observamos que, na fase simétrica, a correção

favorece uwa situação assimétrica, com o aparecimento de

mfnímoa com relação a A^ e a transformação do mfnimo n« origem

em máximo loc«<l.

t.tr. ambos os c a s o s , n o t a - s e também que o míriimo j á

81

F igu ras 5 .2 .5 e 5 . 2 . 4POTENCIAL EFETIVO AC tflVEL :-LOOP

NO MODELO DE C'RftlFEARTAIGH

r»?.o

s 5 .2 .7 r Z.Z.VPOTENCIAL EFETIVO AO NÍVEL i-LOO-

NO MODELO DE 0'RftIFEARTAIBKcpendcnte de- A< r surg indo uns r,>'n ini- r a r »

tnc!ic& campo adqu i r i u por correçl lo

er.»

CONCLUSÕES

O 'métotío do potencial efetivo mostrou-se eficiente

para o estudo de modelos C D I supercampos cuirais, per», t indo

discutir o efeito de correções quânticas sobre os vácuos cesses

Modelos, verificando quebra espontânea de supersimetria,

aquisição ce massa, ele.

0 Método de supercampos, na forma de supe^d i»?ra:»as

de Feimmar. e de super propagadores, demonstrou-se bastante

conveniente pela maior simplicidade nos c«lculos, mesmo * nivel

de 2-loop, onde se necessita, na prática, calcular apenfs dois

superd i agramas.

A Computação Algébrica foi de inestimável utilidade

nos cálculos em geral, dando maior confiança e per Rwtrndo

análises dos resultados obtidos que seriam muito mais d;ffceis

se», ela.

Também a Computação Gráfica SE mostrou >it 11,

especialmente na análise da correção quantica ao espectro de

massa no modelo de 0 'Raifeartaigh.

Nesta tese, além dos resultados interessantes

encontrados, tais como a nâo-positividade do potencial efetivo,

no modelo de Wess e Zumino, no esquema de subtração mínír»*. e a

aquisição de massa pelo bdson nâo-goldetone, no mocelo de

0 'Raifeartaigh, mostrou-se a eficiência dos recursos, acima

mencionados, de que o pesquisador dispõe e que podem ser

aplicados, com vantagem, a outros modelos que os aqui

diftcutidos.

APÊNDICE A

; ALGUMAS IDENTIDADES ÜTEIS EM SUPERSIMETRIA

Considerando-se a representação de WGL1 cfrs a?

ises de Paul i ,

(. A. 1 )

com

onde

•

o (6-3)

í A . •« )

que

f ( i « 1 . 1 .(A.5)

t emot?

r í - «r*c'}

i-m. t • >

M a i r a i n d a ,

< A . 7 )

• -< A . B )

Scjam agora os b i csp inorcii.

~X" 'M/*f <A.V)

co» contrsções

"XX = "X1

onde

com

í

4

lemos, então

(A.11)

0 -l\1 o) (A-12>

(A.13)

X

c desta for»» r

TX'TX

e como

(A.15)

(A.17)

com

87

•* > - fp v

r c 5-«J I t »

Da mesma for«»ikr

Vale, então, a propriedade

= - it 0

e, da mesm» forma,

(A.20)

(A. I'D

<A.23)

São iitet&> ta»be"mr at propriedades

Tem-ser ntnda, que

(A.24)

(A.25)

(A.26)

(A.27)

(A.28)

89

(A.29)

e, £ ciarc-r

(A.SC)

Com relação a derivada cspinortal, ver ifi.am-se

seguintes propriedades

VC c*l

Derivam-se, entüo

(A.3ÍT)

Introduzindo-se a derivada covarí»r»te com relação «

truntformaçôes globais de supersiwetr ia , tem-se as relações

mu i t o «it € i £.

Cf.33)

Pela troca de X Por JÍ1 , obtém-se igualmente

»•)

Têm-se também

i*(t5#yfWJfVr). Si t'fi ê*

C , E> I

-4 (••'JO

(A.36)

Definindo-se os operadores de projecSo

140

-se f entüor as

V£f

= (

16

ÍA.38)

APÊNDICE B

ALGUMAS IUE1S IDENTIDADES MATRICIAIS

Cclec inare»os aqui aisumas identidades matriciais,

•cnos cotiu-is, utilizadas em nosso trabalho.

Sejam A » B » C e H matrizes gerais, pore» dr ordem

tal que o produto e a ç>oam entre elasr onde aparecer, seja

def m ido.

Sr então, a& seguintes identidades

Tr h

(1 +<b.2>

(B.3)

Tr(/nA 4 ínB) - Tr <B.5>

o h)„ 6)

:.7>

APÊNDICE C

PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES GAMA E BETA

C l As funções- gana c beta

Vejamos asor» algumas propriedades da função

Ela pode ser def inicia através da fórmula de Eu ler

'0

Fazendo-se a mudança de variável

t - li

ternos um?, expressão equivalente

(C.i)

C.2>

r também, a definição

E(i) = 2&>n 1 '3 n niC

Est» forma é conhecida como de produto infinito de

Euler, d* qual decorre

En particular, dí, eqn.i,

Cdft) =

A função beta é definida por

ou, equivalentemente, por

e rclac »on&-se com 9. funçío gama através de.

(C.4>

(CS)

(C.7)

<C.8>

9?

Define-se, ainda» a funtSo psi ou digat»a

d» roí

COM a seguinte

CO»

t der

C.2 t>:pansocs cm &e>ie pura a função

(C.ii)

São tfteis algumas expansões em série da função gama

quando o seu argumento se aproxima de um numero inteiro.

Inicialmente, de

<C.Í4>

t emoi;

(C.Í5)

Usando-se agora a relação

resulte»

C '' •

Em particular, fazendo uso das expressões p&-•«

vistas no apêndice C.i, tem-ftfê

i8>

Tew-se

Si r

E» part tcular

e^t- y

D» mesma forma, a partir da relacSc

M)

(C.21)

r,

En. part icular,

PU)--v ** L." J 4 ' 1 9 ' " - r . | , - , | T . . .

:.23)

E ainda, a part ir de

" E ( *±

P(-»»*e) " E(1*OI>(f?t)

it .22)

1*1

o + 3>(n4i) V

En part icular,

:.26)

APÊNDICE D

ALGUMAS INTEGRAIS DE REGULARIZAÇÃO DIMENSIONAL

Derivemos agora algumas integrais «iteie

ar iz&cão dimensional.

Partindo da integral básica»

\

onde

- l i • k{ + lc{ • kí

definindo

retultando

Passando para &h dimensSes

( D . i )

< D . 2 >

103

ut)"1

onde jtf é ui; parâmetro com dimensão de «as'sa.

A parte angular pode ser integrada resultando

t 4K-f

n*)

que, em vista da expressSo integral da função beta v»£-ta na

o i de apêndice Cr resulta, finalmente.

AsUL

<D.5>

Considere-se, agora, o caso particular

<D.6)

Fazendo-se o limite h - * 1-€-/£ , temos

(D.7)

<D.8>

t a da função gama eqn.C.24, te»ot

- J<D.V)

onde

No caso em que l\ é uma matriz quadrada, tentos

Contiderc agora

JoSf (^«m\HÍl4mJ) * m}-*} jUtf» U *

Do resultado anterior tcnos

• _ • _ ÍT^^™*ST I ^ ^ • * •

m}-

^L-4—r ímíir

Da mesma

L• * * " («it*)1

+ 1 +1* t £(f-riAr,

íD.í3>

(D.15)

1

(D.16)

[I

\d!i_ _J (d!$_ < m j [H + if MJ

^J^ciÎI*- ] <D.i8)

CalculCMOS agor» a integral de 2-loop

Combinando os dois denominadores em P^ usando-se

parpmetriz^çâo de Feynman

temos

Fazendo-se » translaçüo de womento PJL "• "PJL• 4X

resulta

em

(D.22)

c usando r. formula D»5, integramos em

['d» íá

(D.23)

Integrando agora a parte angular de Of. fazendo uso

d» fórmula

(D.24)

tem-te

x f f -

Fará V\\/wi\<H tc»oi fazendo uso de

(D.26)

f «»-•'•«•*»

(D.27)

Expandindo m funçSo h ipcrgcoB»^tr »ca cm

integrando-*» e* X resulta

l i »

Fazendo-se o Unite n -»&•£& trwos

- í (ml

^ £ r.-.j iV. íff\ IjA)) + ^ . "Sy* y* 4Jd

com

. -i» 4 i AiU) - í

l i i

Por outro lado, coabinando-se, na eqn. i8 , o

drno».. nado-es em t>{ tefe-se

. tá&JÜ M L (d, _ _ L,/at:11 ut)« f(i)t(o)t W-* Wf» »'i*^»x)tí»i.^4^/y

7

-- - (W

V c r i f i c a - * c , porCM, que

t f - J t ) i l " t

# . . ^ p * * • « * JL i i- JI i i ft_& r» ^» . t_a — i '

r.

(D.31)

tem um» M*>;Í»O par» Xs 1/ ( (* l"»|/w»f) var iundo, entretanto, entre

t c 1

Devt» formar tento» usando eqn.23

112

U . *. r\» h ; AtMf)

(D.33)

Expandindo a* funções hipcrgeow^tricas cm

r» n)

H ' - a ) ^

(D.34>

c integrando cm X

7((MO"

113

-í

F (*-*+*' i+*;U*li i-WM) )

<D.35>

Para wj /»*} < 1 r u«a»os novamente eqn.23 e

em série

(D.36)

Fazendo-se o limite h -* I- Hi remulta a me»ma

eqr».28, agora com

114

,-i-k

<D.37>

115

BIBLIOGRAFIA

(1) V. GATES Et Alii, Physic» i5D<1985)289' 1

(2) A. NEVEU, J. H. SCHWAR2, Nucl. Phys. B3H 1971)86 2

(3) Yu A. GOL'FAND, E. P. JIKHTMAN, JETP Lett. 13<1971)323

<4) D. V. VOLKOV E A. P. AKULOV, Phys. Lett 46B<1973)109 2

(5) J. WESR É B. ZUKINO, Nucl. Ph«s. B7«(1974)39;B.

ZUMINO, Nucl. Phys. B89(1975)535 2

(6) Cit. In Fr it jof Cstpra, "0 Tao Da Ffsica", P. 163,

CultriKr Sao Paulo, 1984 21

(7) R. JACKIU, Phus. Rev. D9(1974)1686 22

(8) S. WEINBERG, Phys. Rev. 07(1973)2887 22

(9) S.Y. LEE E A.M. SCIACCALUBA, Nuc. Phys B96(1975)435 22

(10) P. P. 8RIUASTAVA, Phys. Lett. 149B(1984)135 34

(11) D. AM ATI E Kuang-cttao CMOU, Phus. Lett. 114B<1982)129

(12) R. P. Doe SANTOS, "Using Reduce In Supersymmetry",

Cbpf, 1987 68

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